captulo 1

Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas
Revista de Investigación Científica. ISSN 0188-5367
Volumen 2, número 2, Nueva Época. Mayo-Agosto 2006
URL: www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion
Solución numérica para la valoración de hidrogramas
de entrada a un embalse
Numerical solution for numerical valuation of hydrographs
of entrance to dam
Jorge Bluhm Gutiérreza, Fidel Alejandro
Ortiz Roblesb, Oscar Antonio Dzul Garcíab.
a
Unidad Académica Preparatoria
Universidad Autónoma de Zacatecas
b
Maestría en Planeación de Recursos Hidráulicos
Universidad Autónoma de Zacatecas
Resumen
En México es muy común la falta de información referente a los hidrogramas de
entrada en las presas durante ciertos periodos de tiempo, así como la carencia de
registros respecto a los volúmenes de salida. Los hidrogramas de entrada a los
embalses, en un determinado lapso, son de vital importancia en el estudio y análisis
de eventos hidrológicos. El núcleo del presente trabajo está conformado por varias
etapas: a) la determinación de datos mínimos para obtener gastos de entrada al
embalse, la revisión de los fundamentos y las expresiones que intervienen en el
fenómeno; b) análisis de diversos métodos numéricos utilizados en la resolución de las
ecuaciones planteadas, identificando los que mejor cumplen con los requisitos
necesarios; c) la definición de metodologías para establecer, a partir de los algoritmos
propuestos, los de resultados más precisos y de fácil aplicación. En general se empleó
esta metodología en la presa El Cazadero.
Palabras claves: solución numérica, métodos numéricos, valoración de hidrogramas,
análisis numéricos, datos discretos, embalse.
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Abstract
In Mexico the lack of information referring to hydrographs of entrance is very common
in the prey for certain periods of time and on the other hand, the existence of registries
of volumes of exit. Hydrographs of entrance to the dams for a certain period of time is
of vital importance in the study and analysis of hydrologic events. The nucleus of this
work is conformed by the stages: a) The determination of minimum data to obtain
expenses of entrance to the dam, the revision of the foundations and expressions that
take part in the phenomenon; b) analysis of diverse numerical methods used to solve
the raised equations, determining those that better fulfill the necessary requirements;
and c) the definition of methodologies to determine, between the proposed
algorithms, those of precise results but and easier application. The Cazadero Dam was
applied to the methodology to the Prey.
Keywords: numerical solution, numerical methods, numerical valuation of hydrographs,
numerical analysis, discreet data, dam.
Introducción
Algunos de los propósitos de un vaso de almacenamiento son el control de avenidas
y sus diversos usos [2]. El tránsito de avenidas (que puede ser representado en todos
sus efectos y en cálculos por hidrogramas de entrada al vaso) es un algoritmo que
sirve para determinar el hidrograma de salida de una presa, dado un hidrograma de
entrada. Entre las principales aplicaciones de esta técnica se encuentran:
a) Conocer la evolución de los niveles en el vaso y de los gastos de salida por la
obra de excedencias. Con la finalidad de evaluar si la política de operación es
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adecuada y, en caso de presentar una avenida, no poner en riesgo la presa,
bienes materiales y vidas humanas.
b) Hacer pronósticos de gastos de salida ante situaciones de peligro con previa
investigación.
c) Corregir las dimensiones de la obra de excedencias. [11]
Las justificaciones de este trabajo son: determinar una metodología pertinente en la
obtención del hidrograma de entrada, a una cuenca con un punto de control;
generar información especializada para analizar y consultar la operación óptima
sobre obras hidráulicas. Información que, en un momento dado, pueda servir de
base a proyectos de modificación y toma de decisiones.
En cuanto a los objetivos se plantean a continuación:
•
Precisar los datos mínimos necesarios para la obtención de los gastos de
entrada al embalse.
•
Establecer los fundamentos y expresiones que intervienen en el fenómeno.
•
Identificar cuáles esquemas numéricos solucionan las fórmulas planteadas.
•
Determinar los procedimientos numéricos que generan los resultados más
exactos. [3]
Para efectuar el procedimiento del tránsito de avenidas en vasos, es necesario contar
con una información básica e indispensable como el hidrograma de entrada al vaso
dentro de un análisis específico. Enseguida se presenta el desarrollo para obtener una
metodología en la valoración del hidrograma de entradas (gastos que ingresan por
unidad de tiempo) a un embalse.
Caso de estudio
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Se consideró realizar el estudio en la presa «El Cazadero» ubicada en el Río
Aguanaval, con una capacidad de 30.95 millones de m3. Su ubicación geográfica es
23º 42’ norte y 103º 06’ oeste, perteneciente al municipio de Saín Alto, Zacatecas
(Figura 1). El uso principal del embalse es el desarrollo de la agricultura de riego. [18]
Figura 1. Vista del vertedor y caseta de la obra de toma, presa El Cazadero.
Metodología
Se usó el método hidrológico basado en la ecuación de continuidad. Este método
es sencillo y toma en cuenta los caudales afluentes que provienen de una variedad
de fuentes. La ecuación de continuidad completa es: [14]
P + E − S − Evap = ΔV
(1)
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Donde P es la cantidad de precipitaciones que caen sobre la superficie del
almacenamiento durante un periodo de observación, E es el agua superficial y
subterránea que entra, S es el agua superficial y subterránea que sale, Evap es la
cantidad de agua evaporada desde la superficie del almacenamiento, ∆V la
variación en el volumen de agua del embalse en el periodo establecido.
Para el caso de una avenida la cantidad de precipitaciones en un embalse,
contribuye al caudal desde el comienzo de la tormenta. En general su importancia es
menor, por lo que se le integra a menudo en el escurrimiento superficial E (P es
eliminado de la ecuación de continuidad). Respecto al escurrimiento subterráneo,
para casi la totalidad de los casos, la duración del trayecto hacia la salida es mayor
que la de las otras componentes del caudal, debido a la lentitud de las velocidades
de flujo subterráneo.
En una cuenca de dimensiones y características medias, el volumen de agua
aportado a la capa subterránea por una tormenta emplea, regularmente, más de un
mes en pasar por la salida. A causa de esto, la contribución de las aguas
subterráneas al caudal total es siempre gradual y no representa sino una pequeña
fracción en los gastos pico de las crecidas. En eventos de corta duración (el tiempo
de duración promedio de una avenida del orden de pocas horas) tal componente
puede ser despreciado, sin afectar de manera sustancial la obtención de los gastos
totales correspondientes. [15]
En el caso de la componente de evaporación, expresada por una tasa de escasos
mm/día, al considerar un evento con una duración de algunas horas, se puede
simplificar el cálculo, eliminando dicha componente en la ecuación de continuidad,
lo que no produce grandes errores en el cálculo. Al vaso de almacenamiento es
aplicable la ecuación de continuidad (Conservación de la masa [6]) para realizar el
análisis. La representación de la ecuación es:
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dV
=E−S
dt
(2)
Donde:
dV
= Variación del volumen almacenado en el tiempo, [7, 10]
dt
E = Gasto de entrada al vaso
S = Gasto de salida del vaso
Se manejaron las cantidades de entrada a esta expresión como datos discretos [20]
y como ecuaciones ajustadas, y se aceptaron sólo los resultados generados para
datos discretos.
En la
resolución de la ecuación diferencial [4, 19] planteada (ecuación (2)), se
propusieron dos métodos numéricos. Métodos paso a paso: Euler y Runge-Kutta (de
segundo y tercer orden). Métodos multipaso: Predictor-corrector de Milne, fórmulas
abiertas de Adams (segunda, Adams-Bashforth de tercer y cuarto orden), fórmulas
cerradas de Adams (de segundo, tercero y cuarto orden). [5]
Para la aplicación de los métodos se seleccionó un incremento de paso de una hora
(∆t = 1 h), que representa el intervalo de tiempo, dentro del cual se toman las lecturas
de la escala del nivel en la presa. Esta selección se realizó con base en el criterio de
la repetición de un cierto número de cifras significativas en varios intervalos de tiempo
a prueba, en el resultado se observó que es el que más coincidencias posee. [5]
Los esquemas numéricos que se desarrollaron [3] para obtener el gasto de ingreso a
la presa El Cazadero se enlistan a continuación:
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Método de Euler
Ei = Si +
Vi+1 − Vi
Δt
(3)
Método de Runge-Kutta de segundo orden
2(Vi+1 −Vi )
Δt
(4)
2(Vi+1 −Vi )
− Ei + Si + Si+1
Δt
(5)
Ei+1 = Si + Si+1 − Ei +
Runge-Kutta de tercer orden
Ei+1 =
Método predictor-corrector de Milne
Predictor
Ei =
3
8
(V
i +1, p
− Vi −3 )
Δt
− Ei − 2 + S i − 2 + 12 Ei −1 − 12 S i −1 + S i
(6)
Corrector
Ei +1 =
3(Vi +1,c − Vi −1 )
Δt
− Ei −1 + S i −1 − 4 Ei + 4 S i + S i +1
(7)
Segunda fórmula abierta de Adams
Ei =
2
3
(Vi+1 − Vi )
Δt
+ S i + 13 Ei −1 − 13 S i −1
(8)
Fórmula de Adams-Bashforth de tercer orden
Ei = 12
19
(Vi +1 − Vi )
Δt
+ 198 (Ei −1 − S i −1 ) − 191 (Ei −2 − S i −2 ) + S i
(9)
Fórmula de Adams-Bashforth de cuarto orden
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24
Ei = 55
(Vi+1 −Vi )
Δt
(
) 37 (
) 9(
)
+ 59
55 Ei−1 − Si−1 − 55 Ei−2 − Si−2 + 55 Ei−3 − Si−3 + Si
(10)
Fórmula cerrada de Adams de segundo orden
Ei +1 =
2(Vi +1 − Vi )
+ S i +1 − Ei + S i
Δt
(11)
Fórmula cerrada de Adams de tercer orden
Ei +1 = 125
(Vi+1 − Vi )
Δt
− 85 (Ei − S i ) + 15 (Ei −1 − S i −1 ) + Si +1
(12)
Fórmula cerrada de Adams de cuarto orden
E i +1 =
24
9
(Vi +1 − Vi ) − 19 (E
Δt
9
i
− Si ) +
5
9
(Ei −1 − S i −1 ) − 19 Ei − 2 + 19 S i − 2 + S i +1
(13)
Análisis de Resultados
Los datos necesarios para la solución numérica de las ecuaciones señaladas (3-13),
para un evento específico se obtuvieron a partir de: [3]
a) Tablas Elevaciones-Volúmenes
b) Tablas Elevaciones-Gastos en el vertedor
c) Datos de Escala-Almacenamiento-Gasto vertido, en el periodo del 5 al 30 del
mes de septiembre de 2003
Los datos utilizados comprenden de las 23:00 horas del 21 de septiembre, a las 15:00
horas del 23 del mismo mes, en el año 2003. Estos datos se emplearon debido a su
disponibilidad y confiabilidad, características indispensables en la realización de un
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análisis adecuado. En la figura 2 se presenta la solución numérica de los hidrogramas
de entrada al vaso de la presa El Cazadero para los diferentes métodos; sin embargo
no se muestran las gráficas de los métodos de las fórmulas cerradas de Adams de
tercer y cuarto orden, a causa de los problemas de estabilidad numérica. [3]
Para identificar los métodos numéricos aplicados y la validez de los resultados
satisfactorios, se revisó la estabilidad y convergencia de cada uno de los esquemas
planteados [1, 4, 5, 16, 17]. Además, se efectuó un análisis de los resultados
obtenidos respecto a los registros, que nos permitiera determinar el método que
brindara mejores resultados presentó. Lo anterior consiste en calcular la verificación de
continuidad en cada método:
E − S = ΔV
(14)
Donde
E = Volumen de entradas al vaso durante el intervalo de tiempo
S = Volumen de salidas del vaso durante el mismo intervalo
∆V = Cambio del volumen almacenado en el vaso en el intervalo
de tiempo
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Hidrogramas de Gastos de Entrada
Δ t = 1 hora
600
Euler
500
R-K 2°
R-K 3°
Milne
2a-Abierta-Adams
3a-Abierta-Adams
4a-Abierta-Adams
2a-Cerrada-Adams
Salidas por vertedor
Gasto (m3/s)
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
25
-100
30
35
40
45
t (h)
Figura 2. Avenida registrada del 21 al 23 de septiembre de 2003
y los hidrogramas estimados numéricamente.
Se puede obtener la estimación del error [9, 13] en los diferentes esquemas,
mostrados en la tabla 1 para los diversos métodos numéricos. [3]
Tabla 1. Cálculo del error cometido al aplicar diversos métodos numéricos.
Método
∆V (m3)
E (m3)
S (m3)
E−S (m3)
Error (%) = | (E−S)/∆V |·100 −100
Euler
-1550000
23481840
25048514
-1566674
1.1
R-K-2°
-1550000
24367182
25048514
-681332
-56.0
R-K-3°
-1550000
24367182
25048514
-681332
-56.0
Milne
-1550000
23639924
25048514
-1408590
-9.1
2a-Abierta-Adams
-1550000
23488529
25048514
-1559985
0.6
3a-Abierta-Adams
-1550000
23492520
25048514
-1555994
0.4
4a-Abierta-Adams
-1550000
23508217
25048514
-1540297
-0.6
2a-Cerrada-Adams
-1550000
24367182
25048514
-681332
-56.0
Si el primer término de la ecuación (14) fuera idéntico al segundo miembro, el error
porcentual obtenido sería igual a cero. Entonces, si se pretende que un método sea
más preciso, su error en porcentaje debe ser lo más cercano posible al valor cero.
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Conclusiones
Es necesario apuntar, que los resultados obtenidos al utilizar los datos por medio de
ecuaciones ajustadas en los métodos, fueron muy pobres y estuvieron por debajo de
sus correspondientes resultados al emplear los datos discretos. Debido a esto, sólo se
recomienda usar expresiones deducidas para tales datos. [8]
A partir de los análisis de estabilidad, convergencia y validación de resultados, se
concluye que el método más favorable fue el método de la cuarta fórmula abierta
de Adams (ecuación (10)). El cual, al aplicar a datos discretos, presentó excelente
estabilidad, un menor error de truncado [12], buena convergencia, así como una
forma de hidrograma uniforme y sin depresiones parciales. La secuencia que se utilizó
para su uso fue la siguiente:
a) Los tres valores anteriores al tiempo de inicio deseado
(indispensables al comienzo del método) se lograron al hacer
uso del método Euler, que tiene por expresión la fórmula;
Ei = Si +
Vi+1 −Vi
Δt
()
Para su obtención se realizaron las sustituciones adecuadas de
los datos de volúmenes y salidas. Fáciles de conseguir a partir
de las escalas correspondientes a las horas anteriores al inicio
de la tormenta.
b) Se sustituyó en la siguiente expresión;
24
Ei = 55
(Vi+1 −Vi ) + 59 (E
Δt
55
i−1
9
− Si−1 ) − 37
55 (Ei−2 − Si−2 ) + 55 (Ei−3 − Si−3 ) + Si
()
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c) Se tabularon los datos, y con ellos se elaboró el hidrograma
correspondiente.
Sin detrimento de lo anterior, para casos en que se cuente con poco tiempo y
recursos, y se requiera de resultados, hasta cierto grado confiables, se debe emplear
el método de Euler: de fácil aplicación y programa en cualquier hoja de cálculo.
Mención especial requiere la determinación del gasto pico (gasto máximo) en el
diseño de obras hidráulicas. En este caso, el método que proporciona el mayor gasto,
(y que se encuentra dentro de las normas de seguridad, como lo marcan las básicas
de ingeniería), es el Método Milne, que presenta estabilidad en la curva de
concentración o rama ascendente, así como un error de truncado reducido y
convergencia, condiciones que garantizan conseguir el gasto pico seleccionado.
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