fisica principios y aplicaciones vol. i

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann
Facultad de Ciencias
FISICA: PRINCIPIOS Y APLICACIONES VOL. I
Lic. Jesús Alfredo Chacaltana García
Lic. Luis Alfaro Herrera
Tacna – Perú
2003
INTRODUCCIÓN
Entre las ciencias, la física es la más fundamental, se ocupa de la
interacción y la estructura de la materia. Los físicos saben bien que la
física es excitante y bella.
Pero no lo creen así, las demás personas, para ellos el simple hecho de
nombrarlo les causa temor, pánico: Este libro mas que solucionar
problemas complicados, lo que pretende es mostrar la belleza de la
física y la profundidad de sus principios básicos, su aplicaron a la vida
diaria y como base del conocimiento científico. Pretende ser legible,
interesante y accesible a los estudiantes, darles una comprensión de
los principios básicos de la física.
En todo el libro se destaca los temas principales: la comprensión del
concepto y la resolución de problemas. En este libro se ha dirigido el
material en varios capítulos, de tal manera que cada uno de ellos
presente un cuerpo unificado de conceptos: mecánica newtoniana,
leyes de conservación, sistemas continuos, oscilación y ondas, calor y
termodinámica, con esta división ayudamos a que los alumnos
organicen sus conocimientos.
Así como hincamos cada capitulo como un caso como presentación de
los conceptos que se tratan, cada tema dentro del capitulo se pregunta
con una descripción conceptual antes de recurrir a las matemáticas.
Desde este modo hacemos énfasis en que el trabajo con el concepto es
el paso inicial y esencial para resolver un problema. Después usamos
con el concepto es el paso inicial y esencial para resolver un problema.
Después usamos las matemáticas para llegar a la solución. De igual
manera, tratamos de hacer énfasis en el uso de diagramas para
ayudar a conceptuar problemas y planear su solución. Pedimos a los
alumnos que usen diagramas como auxiliares gráficos para entender
los demás, pasar de la presentación verbal al modelo matemático. A
diferencia de muchos textos, aquí no solo decimos a los estudiantes
que usan diagramas; nosotros mismos siempre lo hacemos. Si bien
hacemos tratado de que los ejemplos iniciales sean directos y de
asegurar que muestran un aumento gradual de la dificultad dentro de
un capitulo o parte, a lo largo del libro hay problemas típicos que
muestran la importancia del método para resolver problemas
detalladamente y a veces intrincados con la finalidad que evalúen sus
conocimientos y su capacidad para utilizar el material. Confiamos en
que el material que les estamos presentando le sea de mucha ayuda
para los lectores interesados en el tema.
Los Autores.
CAPITULO
ANALISIS
I
VECTORIAL
1-1.. Vector – Elementos de un vector.
1-2.. Clasificación de los Vectores
.
1-3.. Vectores Unitarios.
1-4.. Componentes de un vector.
1-5.. Operaciones con vectores.
A. Adición de dos vectores colineales.
1-5.A.1.. Resultante máxima.
1-5.A.2.. Resultante mínima.
B. Adición de de dos vectores concurrentes.
1-5.B.1.. Método del triangulo
1-5.B.2.. Método del paralelogramo.
1-5.B.3.. Método del polígono.
C. Diferencia de dos vectores concurrentes.
D. Descomposición de un vector en sus componentes
rectangulares.
E. Multiplicación de vectores.
1-5.E.1.. Producto Escalar.
1-5.E.2.. Producto Vectorial.
1- 1. VECTOR.Es un ente matemático que se representa por un segmento
de recta dirigida, que nos permite representar gráficamente
dentro del espacio euclidiano tridimensional, una magnitud
vectorial.
En fisica, el vector sirve para representar a las
magnitudes físicas vectoriales. Así tenemos: Velocidad, Fuerza,
Peso, Gravedad, etc.
Notación Vectorial (Fig. 1.1)
Se denota por:
r
r
A = OP = A ∠ θ
r
r
Fig. 1.1 Los vectores Ax y Ay son los vectores componentes
r
r
rectangulares de A en las direcciones x , y. ( Az = 0 .)
ELEMENTOS DE UN VECTOR.Punto de Aplicación.Es el punto donde se supone actúa la magnitud vectorial.
Dirección.Es la orientación que tiene el vector en el sistema de
coordenadas tridimensionales. En el plano cartesiano se define
mediante el ángulo que forma el vector, respecto del eje x
positivo.
tan θ =
Ay
Ax
=
12
⇒ θ = 37 0
16
θ = arctan(Ay Ax )
Por lo tanto:
(1-1)
Sentido.Es la orientación que lleva el vector y que nos indica hacia
donde se dirige. Gráficamente se representa por una cabeza de
flecha.
r
A = OP
Magnitud o Modulo.Nos indica el valor de la magnitud vectorial. Desde el punto
de vista geométrico es el tamaño del vector.
Tenemos:
r r
r
r
A = Ax + Ay + Az
Pero:
r
r
Ax = Ax iˆ = Ax iˆ
r
r
Ay = Ay ˆj = Ay ˆj
r
r
Az = Az kˆ = Az kˆ
r
A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ
el modulo es :
r
A=
( Ax )2 + (Ay )2 + ( Az )2
(1-2)
r
A = A=
(16)2 + (12)2 + (0)2
= 20
1- 2. CLASIFICACION DE LOS VECTORES
a). Vectores Colineales.Vectores que tienen una misma línea de acción o están
contenidos en una misma recta. (Fig.1-2 a)
b). Vectores Paralelos.Vectores que tienen sus líneas de acción respectivamente
paralelas.
L1 // L2 (Fig. 1-2 b).
c). Vectores Coplanares.-
Se denominan coplanares cuando dos o mas vectores
están contenidos en un mismo plano. (Fig. 1-2 c).
d). Vectores Concurrentes.Cuando todos ellos tienen un mismo punto de aplicación o
sus líneas de acción se interceptan en un mismo punto.
(Fig. 1-2 d).
FIG. 1-2 Clases de Vectores. (a) Colineales, (b) Paralelas,
(c) Coplanares, (d)
Concurrentes.
1- 3. VECTORES UNITARIOS
Un vector unitario o unidad, es un vector sin dimensiones y
de longitud unitaria, que se emplea para especificar una
dirección dada. Normalmente se usan los símbolos iˆ, ˆj , kˆ para
representar los vectores unitarios que apuntan en las direcciones
de los ejes x , y , z , respectivamente. Siempre incluiremos un
circunflejo ( ∧ ) en el símbolo de un vector unitario para
distinguirlo de los vectores ordinarios cuya magnitud puede o no
ser 1.
FIG. 1-3 Vectores unitarios en el espacio tridimensional.
r
Dado un vector no nulo V = ( x, y, z ) , llamaremos vector
unitario a un vector Vˆ que tiene la misma dirección del vector
r
V , como:
r
V
Vˆ = r
V
(1-3)
⎛ x y z ⎞
Vˆ = ⎜ r , r , r ⎟
⎜V V V ⎟
⎝
⎠
1- 4. COMPONENTES DEr UN VECTOR
Considere un vector A en el plano xy que forma un ángulo θ
con el eje x positivo como se muestra en la figura 1-1.
r
r
r
r
Ax = A cos θ ⇒ Ax = A cos θ
r
r
r
r
Ay = Asenθ ⇒ Ay = A senθ
pero:
r
r
r
A = A x + A y = A x iˆ + A y ˆj = A cos θ .iˆ + Asen θ . ˆj
r
r
Cuando representamos dos vectores A y B en términos
r de sus
componentes, podemos expresar la resultante vectorial R usando
vectores unitarios como sigue:
r
A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ
r
B = B x iˆ + B y ˆj + B z kˆ
(1-4)
r r r
R = A+ B
r
R = ( Ax + B x )iˆ + (Ay + B y ) ˆj + ( Az + B z )kˆ
r
R = R x iˆ + R y ˆj + R z kˆ
(1-5)
EJEMPLO 1- 1
r
r
Siendo A = ( 2 ; - 3 ) y B = ( 1 ; 3 ), Hallar un vector unitario
en la dirección del
r
r
r
vector V = 5 A − 3B
Solucion :
r
r
r
V = 5 A − 3B = 5(2;−3) − 3(1;3) = (10;−15) − (3;9) = (10 − 3;−15 − 9)
r
V = (7;−24)
r
V
ˆ
V = r =
V
(7;−24)
(7 )
2
+ (− 24 )
2
⎛ 7 − 24 ⎞
⇒ Vˆ = ⎜ ;
⎟
⎝ 25 25 ⎠
EJEMPLO 1- 2
r
r
Dados los vectores A = 3iˆ − 3 ˆj + 2kˆ ; B = −iˆ + 4 ˆj − 5kˆ . Encontrar:(a)
la resultante (b) la direccion de su resultante con respecto al eje
x e y.
Solucion :
(a)
r r r
R = A+ B
r
R = (3 − 1)iˆ + (− 3 + 4 ) ˆj + (2 − 5)kˆ
r
R = 2iˆ + ˆj − 3kˆ
(b) Con respecto al eje x, tenemos :
R
cos α = rx
R
v
R =
⇒
(2)2 + (1)2 + (− 3)2
α = arccos(R x R )
r
= 14 = 3,74
α = arccos(2 3,74) = 57 0 40 '
Con respecto al eje y , tenemos :
β = arccos(R y R )
r
β = arccos(1 3,74) = 74 0 29 '
1- 5. OPERACIONES CON VECTORES
1- 5.A. ADICION DE DOS VECTORES COLINEALES.
1- 5.A.1. Resultante Máxima ( Rmax )
Los vectores están alineados en un mismo sentido y el
ángulo formado entre ellos es cero.
r r
r
Rmax = A + B
(1-6)
1- 5.A.2. Resultante Mínima ( Rmin )
Los vectores están orientados en sentidos contrarios y
forman un ángulo de 180°.
r
r r
r
r
Rmin = A + (− B) = A − B
(1-7)
r
A
r
B
r
−B
r
A
FIG.1-4 (a) Resultante maxima ( Rmax ) y (b) Resultante
minima ( Rmin )
1- 5.B. ADICION DE DOS VECTORES CONCURRENTES
Es una operación vectorial que consiste
en encontrar un
r
único vector llamado vector resultante ( R ), capaz de sustituir
a un grupo de vectores de una misma especie.
Las condiciones para la suma de vectores se expresan en
forma mas conveniente por métodos geométricos. Así
tenemos:
1- 5.B.1. Método del Triangulo.Es un método geométrico que consiste en trasladar
paralelamente un vector y colocarlo a continuación
de otro,
r
de tal suerte que el vector resultante R forma el otro lado
del triangulo. (Fig. 1-5).
r r r
R = A+ B
(1-8)
1- 5.B.2. Método del Paralelogramo.r
r
Cuando los dos vectores A y B parten de un mismo punto
y forman un ángulo determinado entre ellos, se puede
calcular su resultante a partir de la ley de cosenos.
r r r
R = A+ B
r r
r
R = A+ B =
( Ar ) + ( Br )
2
2
r r
+ 2 A B cosθ
A 2 + B 2 + 2 AB cosθ
R=
(1-9)
Llamada también LEY DE COSENOS.
Casos Particulares :
I .- Si
θ < 90°
II .- Si θ >
cos 90 ° = 0
90°
R=
,
,
A 2 + B 2 + 2 AB cosθ
R=
A2 + B 2
;
III.-
R=
Si
90°
θ
<
A + B − 2 AB cos(180 − θ )
2
<
180°
,
2
FIG. 1-5 Método del triangulo.
FIG. 1-6 Resultante
de la suma de dos
vectores
concurrentes.
1- 5.B.3. Método del Polígono.Cuando se tiene tres o mas vectores se suman todos ellos
colocándose unos a continuación del otro, de tal modo que
conserven su dirección y sentido, el vector resultante es el
que cierra el polígono. No interesa el orden en que se
colocan los vectores, ellos cumplen con la ley de
asociatividad y conmutatividad.
15.C.
DIFERENCIA
DE
DOS
VECTORES
CONCURRENTES
La diferencia entre dos vectores se obtiene sumando al
primero el negativo del segundo, esto es:
r r
r r
r
D = A + (− B) = A − B
r r
r
D = A− B
r r
r
D = A− B =
pero :
( Ar ) + ( Br )
2
2
cos ( π − θ ) = - cos θ
r r
+ 2 A B cos(π − θ )
⇒
D=
A 2 + B 2 − 2 AB cosθ
(1-10)
FIG. 1-7 Diferencia de dos vectores concurrentes.
EJEMPLO 1- 3
Una partícula experimenta tres desplazamientos consecutivos
r
r
r
dados por: r1 = 2.iˆ + ˆj − 2.kˆ ; r2 = −3.iˆ + 3. ˆj − 5.kˆ ; r3 = 4.iˆ − ˆj + 3.kˆ ; en
centímetros. Hallar la magnitud de su desplazamiento y su
dirección con respecto al eje +x.
Solución:
r r r r
R = r1 + r2 + r3
r
R = (2 − 3 + 4 ).iˆ + (1 + 3 − 1). ˆj + (− 2 − 5 + 3).kˆ = 3.iˆ + 3. ˆj − 4.kˆ
r
R =
(3)2 + (3)2 + (− 4)2
= 5,83 cm.
θ = arctan(R x R )
r
θ = arctan(3 5,83) = 27 O13'
1- 5.D. DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN SUS
COMPONENTES RECTANGULARES.Para definir las componentes de un vector (Fig.1-8), se
traza un eje en el sistema de coordenadas rectangulares y
sobre estos se proyectan los vectores, descomponiendo
cada uno de ellos en sus respectivos ejes, uno paralelo al
eje x y uno paralelo al r eje y. En símbolos los vectores
componentes del vector A es igual a,
r r
r
A = Ax + Ay = Ax .iˆ + Ay . ˆj
(1-11)
Las componentes
Ax y
Ay
de un vector
r
A
son solo
números, no son
vectores. Podemos calcular las
r
componentes de A si conocemos la magnitud de A y su
dirección.
De la definición de las funciones trigonometricas, tenemos:
cosθ =
Ax
⇒ Ax = A. cosθ
A
sen θ =
Ay
A
⇒ Ay = A. sen θ
(1-12)
r
r
Fig.1-8 Los vectores A r y B son los vectores componentes
rectangulares de A en las direcciones x , y
Donde el ángulo θ es medido desde el eje +x girando
hasta el eje
+y.
r
r Si conocemos las componentes de los
vectores A y B , y usando la ecuación
(1-12) podemos
r
calcular la magnitud de la resultante R .
r
2
2
R = Rx + R y
(1-13)
Donde R x es la suma de todos los módulos de los vectores
que se encuentran en el eje de las x, conservando su signo
y R y es la suma de todos los módulos de los vectores que
se encuentran en el eje de las y.
La dirección de un vector resultante se obtiene de la
definición de la tangente de un ángulo.
tanθ =
Ry
Rx
y
θ = arctan(R y R x )
(1-14)
EJEMPLO 1- 4
Hallar la resultante y direccion para el sistema de vectores
mostrados en la figura:
Solución:
⎛ 2⎞
⎛3⎞
⎟ = 0,8 N.
Rx = ∑ Fx = F2 . cos 53o − F1. cos 45o = 8.⎜ ⎟ − 4 2 .⎜⎜
⎟
⎝5⎠
⎝ 2 ⎠
⎛ 2⎞
4
⎟ + 8.⎛⎜ ⎞⎟ − 6 = 4,4 N.
R y = ∑ Fy = F1.sen45o + F2 sen53o − F3 = 4 2 .⎜⎜
⎟
⎝5⎠
⎝ 2 ⎠
r
R = Rx .iˆ + Ry . ˆj
r
R =
(Rx )2 + (Ry )2
=
(0,8)2 + (4,4)2
r
R = 4,47 N.
La dirección esta dada como:
θ = arctan(Ry Rx )
⇒
⎛ 4,4 ⎞
⎟ = 79 o 41'
⎝ 0,8 ⎠
θ = arctan⎜
1- 5.E.- MULTIPLICACION DE VECTORES.Se pueden también expresar muchas relaciones físicas en
forma concisa usando productos de vectores, que por
definición se tiene de dos tipos. Uno de ellos llamado
producto escalar que al efectuar da un escalar como
producto, en cambio el producto vectorial al operar da lugar
a un nuevo vector.
1- 5.E.1.- PRODUCTO ESCALAR
r
r
El producto escalar
r r de dos rvectores A y B , representado
por
r el símbolo A • B (leer A multiplicado escalarmente por
B ), es una magnitud escalar, denominada producto punto
o
producto
interno.
Matemáticamente
se
obtiene
r
multiplicando
el modulo del vector A por el modulo del
r
vector B , por el coseno del ángulo formado entre los dos
vectores.
r r r r
A • B = A B . cosθ
(1-15)
con la condición de que el producto escalar de los vectores
unitarios, sea:
iˆ • iˆ = ˆj • ˆj = kˆ • kˆ = (1)(1). cos 0 0 = 1
iˆ • ˆj = iˆ • kˆ = ˆj • kˆ = (1)(1). cos 90 0 = 0
El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y
puede ser positivo, negativo o cero.
1- 5.E.2.- PRODUCTO VECTORIAL
r
r
El producto vectorial de dos vectores A y B , también
llamado producto
r rexteriorr o producto cruz, se representa
por
el
símbolo
A
× B (leer A multiplicado vectorialmente por
r
Se define r como
B ).
r el vector perpendicular al plano
determinado por A y B en la dirección de la mano derecha,
cuya magnitud esta dada por:
r r r r
A × B = A B .senϕ
(1-16)
→
→
AX B
→
B
ϕ
→
A
r r
Fig. 1-9 Vectores A y B están
perpendicular a este plano.
Con la condición de que:
en
un
plano
r r
y A × B es
iˆ × iˆ = ˆj × ˆj = kˆ × kˆ = 0
iˆ × ˆj = − ˆj × iˆ = kˆ
ˆj × kˆ = − kˆ × ˆj = iˆ
kˆ × iˆ = −iˆ × kˆ = ˆj
Observación:
r r
La magnitud del vector A × B es equivalente
al área del
r
r
paralelogramo ( S ), determinado por A y B ,
r r
S = A× B
y el área del triangulo es:
A∆ =
1
(S )
2
EJEMPLO 1- 5
Determine el ángulo entre los dos vectores:
r
B = 4iˆ − 2 ˆj + kˆ .
r
A = 2iˆ − 3 ˆj + kˆ
Solución:
r r
A • B = (2 )(4 )(iˆ • iˆ ) + (− 3)(− 2 )( ˆj • ˆj ) + (1)(1)(kˆ • kˆ ) = 8 + 6 + 1 = 15
r
A=
(2)2 + (− 3)2 + (1)2
= 14
r
B =
(4)2 + (− 2)2 + (1)2
= 21
r r
A• B
15
cosθ = r r =
= 0,875
AB
14 21
θ = arc. cos(0,875) = 28 0 57 ' ≈ 29 0
EJEMPLO 1- 6
y
r
r r
r
Sean A = (3;2;-2) y B = (3;-1;5)
; calcular
que
A × B yr verificar
r
r r
r
A • (A × B ) = 0 y
es perpendicular tanto a A como a B ( Si
r r r
B • ( A × B ) = 0 ; entonces son perpendiculares ).
Solución:
r
A = 3iˆ + 2 ˆj − 2kˆ y
r
B = 3iˆ − ˆj + 5kˆ
kˆ
3 2
3 −2
2 −2
.kˆ
. ˆj +
.iˆ −
−2 =
3 −1
3 5
−1 5
3 −1 5
iˆ
r r
A× B = 3
ˆj
2
r r
A × B = (2 )(5) − (− 1)(− 2 ).iˆ − (3)(5) − (3)(− 2 ). ˆj + (3)(− 1) − (2 )(3).kˆ
r r
A × B = 8.iˆ − 21. ˆj − 9.kˆ
para comprobar si es perpendicular, se tiene:
r
Perpendicular al vector A :
r r r
A • ( A × B ) = (3.iˆ + 2. ˆj − 2.kˆ ) • (8.iˆ − 21. ˆj − 9.kˆ )
= (3)(8) + (2 )(− 21) + (− 2 )(− 9 ) = 0
r
Perpendicular al vector B :
r r r
B • ( A × B ) = (3.iˆ − . ˆj + 5.kˆ ) • (8.iˆ − 21. ˆj − 9.kˆ )
= (3)(8) + (− 1)(− 21) + (5)(− 9 ) = 0
r
r
Por lo tanto podemos decir que A y B son perpendiculares a
r r
A× B
CAPITULO II
CINEMÁTICA – CAÍDA LIBRE
2.1 CINEMÁTICA
2.2 MOVIMIENTO MECÁNICO : ELEMENTOS
2.3 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.
2.4 VELOCIDAD MEDIA.
2.5 VELOCIDAD INSTANTÁNEA.
2.6 MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO.
2.7 ACELERACIÓN.
2.8 FORMULAS
ADICIONALES
DEL
MOVIMIENTO
VARIADO.
2.8.1. TIEMPO DE ENCUENTRO O SEPARACIÓN.
2.8.2. TIEMPO DE ALCANCE.
2.9 MOVIMIENTO
ADICIONALES.
DE
CAIDA
LIBRE:
FORMULAS
2.10 MOVIMIENTO COMPUESTO.
2.11 MOVIMIENTO DE PROYECTILES.
2.11.1. CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO.
2.11.1.1. TIEMPO DE VUELO.
2.11.1.2. ALTURA MÁXIMA.
2.11.1.3. ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO.
2.12 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES.
2.1.- CINEMÁTICA.Parte de la mecánica que estudia la descripción del movimiento
de las partículas independientemente de las causas que lo
producen, de su masa y de la interacción con otros
cuerpos.
2.2.- MOVIMIENTO MECANICO.Es el desplazamiento de un cuerpo con respecto a un
observador en un determinado tiempo ( ∆t ).
ELEMENTOS.a) Móvil.- Partícula de masa m que realiza el movimiento.
r
b) Vector Posición ( r ).- Es la ubicación del móvil en el
espacio tridimensional durante su desplazamiento.
r
c) Desplazamiento ( d ).- Es una magnitud vectorial que se
define como el cambio de posición que experimenta un
cuerpo o partícula con respecto al sistema de referencia,
elegido como fijo.
FIG. 2.1
r r r
r1 + d = r2
si A (2;5)
B(6;2)
r r r
r
d = r2 − r1 = ∆r
⇒
⇒
⇒
(2-1)
r
r1 = 2iˆ + 5 ˆj
r
r2 = 6iˆ + 2 ˆj
r
d = 4iˆ − 3 ˆj
r
d =
(4)2 + (− 3)2
=5
d) Espacio.- Es la longitud total recorrida por el móvil
durante su trayectoria.
e) Trayectoria.- Son las distintas posiciones que va
ocupando un cuerpo que se mueve a medida que
transcurre el tiempo. La trayectoria o recorrido de un
móvil puede ser rectilíneo, curvilíneo, circular o
parabólico; sin embargo si la trayectoria es recta, puede
llamarse distancia.
2.3.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.Cuando el móvil se mueve a lo largo de una trayectoria
recta, se le denomina movimiento unidimensional o
rectilíneo. Los espacios recorridos por el móvil son
directamente proporcionales a los intervalos de tiempo
empleados manteniendo su velocidad constante durante todo
el movimiento.
De ello podemos decir que el movimiento de un cuerpo es
rectilíneo cuando su trayectoria es una recta y la posición del
objeto esta definido por su desplazamiento medido desde un
punto arbitrario.
r
2.4.- VELOCIDAD MEDIA ( v m )
El termino velocidad se usa para representar tanto la magnitud
(valor numérico) de la rapidez con que se mueve un
objeto, como la dirección en la que se mueve. Por lo
tanto, la velocidad es un vector y la rapidez es solo una
magnitud.
El movimiento de una partícula se define por completo si se
conoce su posición en el espacio en cualquier instante.
Considérese una partícula que se mueve desde el punto P
hasta Q para una posición inicial y final.
r
Entonces, la velocidad media ( v m ) de la partícula se define
como la rapidez de cambio de posición a través del tiempo.
r r r
∆x x 2 − x1
r
vm =
=
∆t
t 2 − t1
(2-2)
El objeto se mueve hacia la derecha ( ∆x >0). El signo del
desplazamiento y/o de la velocidad indica la dirección; la
velocidad media será positiva si el objeto se mueve hacia la
derecha y cuando se mueve hacia la izquierda es negativa.
Por lo tanto, la velocidad media se define en términos de
desplazamiento y no como distancia totalmente recorrida,
esto es:
dis tan cia.recorrida
(2-3)
tiempo.recorrido
Esta definición se puederescribir en forma breve como:
d
r
(2vm =
∆t
4)
Donde d represente la distancia, ∆t el tiempo transcurrido y
r
v m la rapidez media.
rapidez.media =
EJEMPLO 2-1
¿Cuánta distancia puede recorrer un motociclista en 5,0
horas si su rapidez media es de 13,6 m/s.?
Solución:
r
v m = 13,6 m/s = 48,96 Km/h
t = 5,0 h.
d = v m .t = (48,96 Km/h).(5,0 h) = 244,8 Km.
2.5.- VELOCIDAD INSTANTANEA.Este concepto es especialmente importante cuando la velocidad
media en diferentes intervalos de tiempo no es constante.
Para eso necesitamos definir la velocidad instantánea que
es la velocidad en cualquier momento, mas exactamente
se define como la velocidad media en un intervalo de
tiempo infinitamente corto. Se puede formular de la
siguiente forma:
r
v≡
r
lim ∆x dx
= .iˆ
∆t → 0 ∆t dt
(2-5)
lim
r
) quiere decir que la relación ( ∆x ∆t ) se debe
∆t → 0
evaluar en el limite cuando ( ∆t ) tiende a cero. Si ( ∆t )
r
tiende a cero, ( ∆x ) también tiende a cero, pero la relación
r
( ∆x ∆t ) tiende a un determinado valor, que es la velocidad
instantánea en algún momento.
La notación (
La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa o cero. En
adelante se usara la palabra velocidad para designar la
velocidad instantánea.
EJEMPLO 2-2
Si el movimiento de una partícula esta regida por la
siguiente ecuación:
x = at 2 + 2bt , donde b =16,0 cm y a =5,0 cm/ s 2 . Sean t1 =2 s
y t 2 =4 s
Determine la velocidad media y la velocidad instantánea
para t =4 s.
Solución:
2
x1 = 5(2 ) + 2(16)(2 ) = 84 cm
Para t1 =2 s
Para
t 2 =4 s
x 2 = 5(4 ) + 2(16)(4 ) = 208 cm.
2
r
∆x ⎛ x 2 − x1 ⎞
⎛ 208 − 84 ⎞ ˆ
r
⎟⎟.iˆ = ⎜
= ⎜⎜
vm =
⎟.i = (62. cm s ).iˆ
∆t ⎝ t 2 − t1 ⎠
⎝ 4−2 ⎠
r
r dx d
v=
=
at 2 + 2bt .iˆ = (2at + 2b ).iˆ
dt dt
(
Para t = 4 s
)
r
v = [2(5)(4 ) + 2(16 )].iˆ = (72 cm s ).iˆ
2.6.- MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO.En este tipo de movimiento, la aceleración permanece
constante en valor, dirección y sentido. Esto es, la aceleración no
varía durante el tiempo y el movimiento es en linea recta. Donde
la velocidad cambia en modulo aumentando o disminuyendo
progresivamente, por lo cual los espacios recorridos y los
tiempos empleados durante el movimiento serán diferentes.
r
2.7.- ACELERACIÓN ( a ).Magnitud física vectorial, que nos indica la variación del
modulo de la velocidad en un determinado tiempo. La
aceleración media se define como la rapidez de cambio de la
velocidad por el tiempo que emplea en hacer ese cambio.
r r r
∆v v 2 − v1
r
(2-6)
=
am =
∆t
t 2 − t1
Para el movimiento lineal, solo necesitamos usar valores
numéricos de a , v1 , v 2 y ∆v con signo más o menos para indicar
la dirección con respecto a un sistema de referencia previamente
r
escogidos. La aceleración instantánea ( a ) se puede definir en
analogía a la velocidad instantánea, como:
r
lim ∆v dv
r
=
a=
(2-7)
∆t → 0 ∆t dt
r
Donde ∆v representa la variación de la velocidad durante un
intervalo de tiempo infinitamente pequeño ∆t .
De las definiciones anteriores podemos decir que la
aceleración es la rapidez con la que cambia la velocidad,
mientras que la velocidad es la rapidez con que cambia la
posición.
EJEMPLO 2-3
La velocidad de una partícula se mueve de acuerdo a la siguiente
ecuación:
r
v = 55 − 6t 2 .iˆ. m s
Donde t esta en segundos. Calculese la aceleración media
en el intervalo de tiempo t = 0 a t = 2,5 s y la aceleración
instantánea en t = 3 s.
Solución:
2
v1 = 55 − 6(0 ) = 55 m s
Para t1 = 0 s
(
)
v 2 = 55 − 6(2,5) = 17,5 m s
Para t 2 = 2,5 s
2
r r
v − v ⎛ 17,5 − 55 ⎞
r
am = 2 1 = ⎜
⎟.iˆ = −(15 m s ).iˆ
t 2 − t1 ⎝ 2,5 − 0 ⎠
(
)
r
Si v = 55 − 6t 2 .iˆ
r
r dv
r
a=
= −12t.iˆ
⇒
a = −12t = −12(3) = −36 m s 2
dt
Para simplificar las ecuaciones anteriores podemos decir que cuando el
tiempo inicial para cualquier caso sea cero: t1 = 0 , t 2 = t tiempo
transcurrido, la posición y la velocidad inicial: x1 = x0 y v1 = v0 , y
para el tiempo t la posición y la velocidad serán: x 2 = x y v 2 = v .
La velocidad media durante el tiempo t será:
vm =
x − x0
t
⇒
x = x0 + v m .t
Y la aceleración (se supone constante en el tiempo).
(2-8)
v − v0
(2-9)
t
v = v0 + a.t (2-10)
a=
v − v0
(2-11)
a
Como la velocidad aumenta a una tasa constante (aceleración
constante), la velocidad media será en realidad una velocidad
promedio v p entre las velocidades inicial y final.
t=
v0 + v
= vm
(2-12)
2
Combinando las ecuaciones (2-8), (2-10) y (2-12), cuando la
aceleración es constante, se tiene:
1
x = x0 + v0 .t + .a.t 2
(2-13)
2
Si sustituimos las ecuaciones (2-11) y (2-12) en (2-8), y despejando
v 2 , tenemos:
2
v 2 = v0 + 2.a.( x − x0 )
(2-14)
vp =
En
general podemos decir que las formulas que gobiernan el
movimiento uniformemente variado cuando la aceleración es
constante, las resumimos a continuación:
v = v0 ± a.t
(2-15.a)
1
x = x0 + v0 .t ± .a.t 2 (2-15.b)
2
2
v 2 = v0 ± 2.a.(x − x0 ) (2-15.c)
v0 + v
(2-15.d)
2
Donde podemos observar que la aceleración es positiva cuando la
velocidad del móvil aumenta progresivamente y es negativa la
aceleración cuando el móvil va disminuyendo su velocidad en el
tiempo.
vm =
2.8.- FORMULAS ADICIONALES DEL MOVIMIENTO VARIADO.1).- Tiempo de encuentro o separación ( t e ).-
te =
dA + dB
v A + vB
(2-16)
2).- Tiempo de alcance ( t a ).-
ta =
d
,
v A + vB
v A > vB
(2-17)
3).- Distancia recorrida en el n-esimo segundo (aceleración
constante)
1
d = v0 ± .a.(2n − 1)
2
(2-18)
4).- Velocidad media-promedio.-
vm− p =
2v1 .v 2
v1 + v 2
(2-19)
EJEMPLO 2-4
¿Qué distancia recorrerá una partícula durante el quinto segundo
de su movimiento, si parte con una velocidad de 2 m/s y
una aceleración de 6 m/s2?
Solución:
v0 = 2 m/s
a = 6 m/s2
n = 5
Remplazando en la formula:
1
d = 2 + (6 )[2(5) − 1] = 29 m.
2
2.9.- MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE.En este tipo de movimiento los cuerpos tienen como
trayectoria una línea vertical. El ejemplo mas sencillo de
movimiento
variado
con
aceleración
aproximadamente
constante, lo constituyen los cuerpos que caen a tierra
prescindiendo de la resistencia del aire (sin rozamiento).
Un cuerpo que cae libremente por accion de su peso, es un
caso particular de movimiento uniformemente variado, por lo
tanto las formulas deducidas para dicho movimiento son las
mismas que para caida libre, haciendo las siguientes
especificaciones:
a (Aceleración) ⇒ g (Aceleración de la gravedad)
x (Distancia) ⇒ y (Altura de caida)
La aceleración de un cuerpo en caida libre se denomina
aceleración debido a la gravedad y se representa por la letra g
cuyo valor varia inversamente con la altura, de modo que a
mayor altura g es menor. Así tenemos:
En los polos: g = 9,83 m/s2
En el ecuador: g = 9,78 m/s2
En promedio: g = 9,80 m/s () = 32,16 pies/s2
Bajo estas consideraciones se tiene las siguientes formulas:
v = v0 ± g .t
(2-21.a)
1
y = y 0 + v0 .t ± .g .t 2 (2-21.b)
2
2
2
v = v0 ± 2.g.( y − y 0 ) (2-21.c)
1
d = v0 ± .g .(2n − 1) (2-22)
2
De las formulas anteriores vemos que cuando el cuerpo cae la
aceleración de la gravedad es positiva, en cambio cuando sube la
aceleración de la gravedad es negativa.
FORMULAS ADICIONALES
a).- Tiempo de encuentro ( t e )
te =
y
v A + vB
(2-23)
b).- Tiempo de alcance ( t a )
ta =
d
,
v A − vB
v A > vB
(2-24)
EJEMPLO 2-5
Un cuerpo se deja caer desde cierta altura y en los últimos 6 s
recorre los últimos 9/16 avos de su altura ( g = 10 m/s2).
Solución:
En el tramo AB
t AB = t
7
1
7
h = v A .(t ) + .g .t 2 ⇒
h = g.t 2
(1)
16
2
8
En el tramo AC
t AC = t + 6
1
2
2
h = v A .(t + 6) + .g .(t + 6 ) ⇒ 2h = (t + 6 ) ……. (2)
2
Dividiendo (1) en (2)
7h
gt 2
t2
7
8 =
⇒
=
2h g (t + 6) 2
16 (t + 6) 2
7 + (t 2 + 12t + 36) = 16t 2
7t 2 + 84t + 252 = 16t 2
9t 2 − 84 − 252 = 0
La solución para t es: t = 11.7s
Reemplazando en (2)
g
(t + 6) 2
2
10
h = (11.7) 2 = 5(17.7) 2 = 1566m
2
h=
2.10.- MOVIMIENTO COMPUESTO
Es aquel movimiento en el cual existe simultáneamente 2 o
mas tipos de movimientos simples. Ejemplo movimiento
rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo variado, movimiento
circular uniforme, etc. Como el desplazamiento del móvil resulta
de la superposición vectorial de dos o más movimientos, el
intervalo de tiempo empleado para ello es el mismo para ambos
movimientos.
Galileo galilei, enuncio un principio a la luz de la
experimentación, como consecuencia de la independencia de los
movimientos, de tal forma que “si un cuerpo tiene un
movimiento compuesto, cada uno de los movimientos se
cumple como si los demás no existieran”. Permaneciendo
constante la velocidad en el eje horizontal, y la distancia
recorrida d = vt en cambio la velocidad en el eje vertical es
variable, partiendo desde el reposo v yo = 0 y su altura h se
calcula como h =
1 2
gt .
2
2.11.- MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Se le llama también movimiento balistico. En la descripción
del movimiento compuesto (dos direcciones) se han
analizados tan solo el desplazamiento y la velocidad pero
con frecuencia los cuerpos tienen aceleración. Por lo tanto
vamos a estudiarlo como movimiento acelerado al
movimiento de un proyectil.
Se denomina proyectil a
cualquier objeto que se le comunica una velocidad inicial,
siguiendo una trayectoria determinada por la fuerza
gravitatoria que actua sobre el y por la resistencia del
rozamiento de la atmósfera.
El movimiento de un proyectil es el de un objeto que se
arroja al aire en un Angulo determinado, que tiene como
trayectoria
una
línea
curva
denominada
parabólica,
cumpliéndose que la velocidad en el eje x es constante
( vx = cons tan te ) y la velocidad en el eje y es variable en el tiempo
( v y = var iable ).
Por comodidad, supondremos que el movimiento se inicia
cuando el tiempo ( t = 0 ) en el origen de un sistema de
coordenadas, donde x0 = y0 = 0 ; la aceleración de la gravedad
“( g )” es constante en todo el recorrido del móvil y esta dirigida
hacia abajo. Además, que consideramos la resistencia del aire
como despreciable.
CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO
Componente de la velocidad inicial:
r
vxo = (v0 cos ϕ )iˆ = vx (Constante)
v yo = (v0 senϕ ) ˆj
(Variable)
(2-25)
(2-26)
Las coordenadas del proyectil en cualquier instante “ t ” es:
vxo = v0 cos ϕ iˆ
(2-27)
La rapidez () como función del tiempo para el proyectil es:
v y = (v yo − gt ) ˆj = (v0 senϕ − gt ) ˆj
(2-28)
La trayectoria en cualquier instante se puede obtener como:
r
x = vxotiˆ = (v0 cos ϕ )tiˆ
(2-29)
1
r
y = (v yot − gt ) ˆj =
2
1 2⎤
⎡
⎢(v0 senϕ )t − 2 gt ⎥ ˆj
⎣
⎦
(2-30)
r
La rapidez v como función del tiempo para el proyectil es:
r r
r
v = vxiˆ + v y ˆj
r
v = (vxiˆ) 2 + (v y ) 2
(2-31)
La trayectoria en cualquier instante se puede obtener como:
vy
⎛ vy ⎞
(2-32)
⇒ θ = arctan⎜⎜ ⎟⎟
tan θ =
vx
⎝ vx ⎠
1.- Tiempo de vuelo ( tV )
El tiempo que demora en subir ( t S ) el proyectil hasta el
punto máximo de altura de la trayectoria es equivalente al
tiempo que demora en bajar ( t B ) hasta alcanzar la misma altura
del cual partió. El tiempo que demora en subir hasta alcanzar el
pico es:
De (2-28)
vy = vyo − gts
vO senϕ
g
2v senϕ
Como: tV = tS + t B = 2ts ⇒ tV = O
g
vy = 0 ;
0 = v0 senϕ − gt S ⇒ t S =
(2-33)
(2-34)
2.-Altura máxima ( H )
De la ecuación (2-21.c) y considerando que la rapidez
alcanzada en un punto máximo ( vY = 0 ); tenemos:
2
v Y = v 2YO − 2 g ( y − yO ); y0 = 0
0 = v 2O senϕ − 2 gH ⇒ H =
v 2 O sen 2ϕ
2g
3.- Alcance horizontal máximo ( R )
Como el movimiento en el eje horizontal es rectilíneo
uniforme ( v X = cons tan te ), el alcance máximo recorrido por
el proyectil es:
De la ecuación (2-4)
d =V.t
2
2v senϕ
2v
R = v XOtV = (vO cos ϕ )( o
) = O senϕ cos ϕ
g
g
Por trigonometría se sabe que:
2 senϕ cos ϕ = sen2ϕ
Entonces:
(2-36)
2
R =
v0
sen 2 ϕ
g
Dividiendo las ecuaciones (2-35) y (2-36)
tan ϕ =
4H
R
(2-37)
Si elevamos al cuadrado la Ec. (2-34) y lo dividimos por la
Ec. (2-35), se tiene:
(2-38)
H=
g 2
tV
8
EJEMPLO 2-6
Desde la superficie terrestre se lanza un proyectil con una
velocidad de 49 m/s, formando un ángulo de elevación
con la horizontal de (53). Determine:
a) la posición, velocidad y dirección del proyectil para t =
2,5 s.
b) El tiempo necesario para alcanzar el punto máximo y la
altura en ese punto.
c) El alcance horizontal y la velocidad vertical en dicho
punto.
Solución:
a)
v XO = vO cos ϕ = (49m / s ) cos 53º = 29,4m / s
vYO = vO senϕ = ( 49m / s ) sen53º = 39,2m / s
x = v XO t = ( 29,4m / s )( 2,5s ) = 73,5m
1 2
1
gt = (39,2m / s )( 2,5s ) − (9,8m / s 2 ) = 67,4m
2
2
= xiˆ + yˆj
= 73,5iˆ + 67,4 ˆj
y = vYOt −
r
r
r
r
r
r = (73,5) 2 + (67,4) 2 = 99,7 m
v X = v XO = 29,4m / s
vY = vYO − gt = (39,4) − (9,8)( 2,5) = 14,7 m / s
r
v = v X iˆ + vY ˆj
b)
r
ˆj m / s) sen53º
4iˆ +ϕ14,7(49
v = 29
v .sen
trS = O
=
= 4.0s
2 / s2
g ,4) 2 + (149,,78)m
= 32,9m / s
v = ( 29
2
vO senvϕ (49m⎛/ 14
s) 2,7sen
⎞ 53º = 78,4m
θH ==tan −1 ( y ) == tan −1 ⎜
⎟ 2= 26,5º
2 gv X
2(9⎝ ,29
8m,4/ s⎠ )
2
tV = 2t S = 2(4,0 s ) = 8,0 s
c)
R = v X tV = (29,4m / s )(8,0 s ) = 235,2m
vY = −vYO = −39,2m / s
2.12.- MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
Al inicio del capitulo se encontró que el movimiento de una
partícula esta completamente definido si se conoce sus
coordenadas como función del tiempo, ahora se ampliara
este concepto al movimiento de una partícula en el plano
xy, sobre una trayectoria curva plana y en el mejor de los
casos al espacio tridimensional.
El movimiento de una partícula sobre un plano se puede
analizar bajo dos criterios, el primero es que si se conoce
la fuerza que actúa sobre la partícula a lo largo de cada
punto del espacio, se puede hallar la ecuación que rige a
su movimiento y en el otro caso conociendo el movimiento
de la partícula se puede conocer la velocidad, la
aceleración y la fuerza resultante que actúa sobre el.
GENERALIZANDO:
r
a). Vector posición ( r )
r
r = xiˆ + yˆj
r
b).- Velocidad instantánea ( v )
(2-39)
r
r
∆ r dr
r
v = lim
=
dt
∆t → 0 ∆ t
r r
r
v = v X iˆ + vY ˆj
(2-40)
r
r
∆v dv
r
r
c).- Aceleración instantánea ( a ) a = lim
=
dt
∆t → 0 ∆t
2r
r d r
a = 2 41)
= a X iˆ + aY ˆj
dt
d)
r r r
v = v0 + at
v X = v XO + a X t
v y = vYO + aY t
(2-
(2-42)
1r
r r r
e).- r = rO + vOt + at 2
2
r
Con rO = O
1r
r r
r = vO t + at 2
2
(2-44)
(2-43)
1
x = v XOt + a X t 2
2
1
y = vYOt + aY t 2
2
NOTA: En el caso del movimiento de la partícula en el espacio
tridimensional,
solamente
agregamos
la
coordenada
correspondiente al eje z y se analiza el movimiento como si
fuera en el plano.
CAPITULO III
CINEMÁTICA CIRCULAR
3.1. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
3.2. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR.
3.2.1. DESPLAZAMIENTO ANGULAR.
3.2.2. LONGITUD DE ARCO.
3.2.3. VELOCIDAD ANGULAR.
3.2.4. VELOCIDAD TANGENCIAL.
3.2.5. PERIODO.
3.2.6. FRECUENCIA.
3.2.7. ACELERACIÓN CENTRÍPETA.
3.2.8. ACELERACIÓN ANGULAR.
3.2.9. ACELERACIÓN TANGENCIAL.
3.2.10. ACELERACIÓN TOTAL.
3.3. FORMULAS GENERALES
CIRCULAR VARIADO
FORMULAS ADICIONALES.
PARA
EL
MOVIMIENTO
3.1.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.Por definición es el movimiento que una partícula describe al
girar alrededor de una curva cerrada (una circunferencia)
con respecto a un punto de referencia o eje de giro.
3.2.- ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR.-
r
1.- Desplazamiento angular ( θ )
Es el vector que señala la dirección en que gira el móvil y
que el ángulo central formado es el correspondiente al
arco descrito durante su movimiento. Su dirección es
normal al plano de giro. Se mide en radianes (Rad.) o
revoluciones (Rev.)
1 Rev. = 2 π Rad. = 1 vuelta = 360º
2.- Longitud de arco ( l )
Es el espacio recorrido por el móvil cuando pasa de la
posición A a la posición B.
l = θr
3.- Velocidad angular ( ϖ )
Magnitud física vectorial que indica la rapidez de giro de
una partícula en la unidad de tiempo. Su dirección es
perpendicular al plano de rotación.
r
r θ
ω=
t
1 RPM = 1 rev/min.
r
4.- Velocidad tangencial ( vT )
Es una magnitud vectorial que se define como la longitud
de arco recorrido por el móvil en la unidad de tiempo. Se
llama también velocidad lineal.
r
r
l θ rr
r
r
vt = =
= ω rr ⇒
t
t
r
vt = ωr
5.Periodo ( T )
Es el tiempo ( T ) que emplea el móvil para realizar una
vuelta completa o revolución.
t
T=
n = número de revoluciones
n
6.- Frecuencia ( f )
Es el número de revoluciones que da el móvil en la unidad
de tiempo.
n 1
f = =
f =1hertz=1/s
t t
r
7.- Aceleración centrípeta ( aC )
Llamada también aceleración radial, central o normal. Es
una magnitud vectorial que mide la rapidez de cambio que
experimenta la velocidad en dirección y sentido en un
determinado tiempo. Se le representa por un vector que
apunta en todo instante 2alr centro de circunferencia.
r vt r
r
aC =
= ω2rr
r
(3-4)
r
8.- Aceleración angular ( α )
Magnitud vectorial que mide la rapidez con que la
velocidad angular de la partícula, varia en el tiempo.
(3-5)
αv =
r r r
∆ω ω − ω O
=
∆t
t
Unidades: ω : rad / s ; α = rad / s 2 ; t = s
r
9.- Aceleración tangencial ( at )
Es aquella aceleración que produce cambios en el modulo
de la velocidad tangencial. Es un vector tangente a la
r
r r
r trayectoria.
v − vO dv
r ∆v
at = T =
=
t
dt
∆t
r
ωr r
r ∆v
r
at = T =
r = αrr
t
t
(3-6)
r
10.- Aceleración total ( aT )
2
dv r v r
r
r r
aT = at + aC = θ − t r
dt
r
r
aT =
( ar ) + ( ar )
2
t
ω = ω0 ± α t
PARA
EL
MOVIMIENTO
(3-9)
1
2
θ = θ 0 + ω0 t ± α t 2
ω 2 = ω0 2 ± 2α (θ − θ 0 )
θ ω0 + ω
=
(3-8)
2
C
3.3.- FORMULAS GENERALES
CIRCULAR VARIADO.Tenemos:
t
(3-7)
2
(3-10)
(3-11)
(3-12)
Donde la aceleración angular ( α ) es positiva cuando la velocidad
angular ( ω ) aumenta en el tiempo y será negativa cuando
su velocidad angular va disminuyendo progresivamente.
FORMULAS ADICIONALES:
1.- Cuando las partículas giran alrededor de un mismo eje
de giro (diferentes radios), sus velocidades angulares serán
las mismas.
r
ω1 = ω2
(3-13)
2.- S i dos ruedas están en contacto o conectados por una
cuerda, sus velocidades tangenciales son iguales.
r
r
vt ( A) = vt ( B )
(3-14)
EJEMPLO 3-1
Un disco que inicialmente esta en reposo, es acelerado a razón
de 12 π Rad./s2. Calcular el número de vueltas que da en
el sétimo segundo.
Solución:
En el n-esimo segundo, tenemos:
1
θ n = v0 ± α (2n − 1)
2
1
(12π rad 2 )[2(7) − 1]
s
2
θ n = 78πrad .
v0 = 0 ⇒ θ n =
θ n = 78πrad .
1vuelta
⇒ θ n = 39vueltas
2πrad
EJEMPLO 3-2
La luna gira alrededor de la tierra describiendo aproximadamente
una circunferencia de radio () = 384 000 km y tarda 27,3
días en dar una vuelta completa. ¿Cual es la aceleración
de la luna hacia la tierra?
Solución:
r = 384000 Km = 384 x106 m
T = 27,3días = 23,4 x105 s
2πr 2(3,1416)(384 x106 m)
=
= 1030 m
s
T
23,4 x105 s
m 2
v 2 (1030 s )
La aceleración es: aC =
=
= 2,76 x10 − 3 m 2
6
s
384 x10
r
v=
CAPÍTULO IV
ESTÁTICA
4.1.- DEFINICIÓN DE ESTÁTICA
4.2.- EQUILIBRIO
4.3.- FUERZA
4.4.- INTERACCIÓN FUNDAMENTAL
4.4.1.- INTERACCIÓN GRAVITACIONAL
4.4.2.- INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
4.4.3.- INTERACCIÓN NUCLEAR FUERTE
4.4.4.- INTERACCIÓN NUCLEAR DÉBIL
4.5 – FUERZAS FUNDAMENTALES
4.5.1.- FUERZAS DE ATRACCIÓN DE LA GRAVEDAD
4.5.2.- FUERZAS DE COULOMB
4.5.3.- FUERZAS DE GRAVEDAD HOMOGÉNEA
4.5.4.- FUERZAS ELÁSTICA
4.5.5.- FUERZAS DE ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO
- ROZAMIENTO ESTÁTICO
- ROZAMIENTO ELÁSTICO
4.5.6.- FUERZA DE RESISTENCIA
4.6.- LEYES DE NEWTON
4.6.1.- PRIMERA LEY DE NEWTON
4.6.2.- SEGUNDA LEY DE NEWTON
4.6.3.- TERCERA LEY DE NEWTON
4-1.- DEFINICIÓN DE ESTÁTICA
Parte de la mecánica (estudia a los cuerpos en estado de reposo
o de movimiento, considerando las causas que provocan dichos
estados), que analiza al sistema de las fuerzas que actúan sobre
un cuerpo material en estado de equilibrio.
4-2.- EQUILIBRIO
Un cuerpo se considera en estado de equilibrio (con respecto a
un sistema de referencia), cuando permanece en reposo o se
desplaza con un movimiento rectilíneo uniforme.
r
4-3.- FUERZA ( F )
Es una magnitud física vectorial que surge como consecuencia de
la interacción de los cuerpos. Esta magnitud hace que los
cuerpos estén en equilibrio, que cambien la dirección de su
movimiento o que se deformen. La fuerza en el sistema S.I. se
mide en Newton (N)
1 N = 1 Kg. m 2 = 105 dinas
s
1 Kilogramo Fuerza (Kg.F) = 9,8 N
4-4.- INTERACCIÓN FUNDAMENTALES
Se conoce hay cuatro interacciones fundamentales. Estas
interacciones se distinguen por su naturaleza, su intensidad y
también por su alcance, lo que puede llamarse su radio de
acción.
4-4.1.- INTERACCIÓN GRAVITACIONAL.- Engloba tanto la atracción
entre las estrellas y los planetas, como la fuerza de gravedad
que actúa sobre todos los objetos que nos rodea.
4-4.2.- INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.-Es la interacción entre
cargas eléctricas inmóviles o en movimiento. Se manifiesta
las reacciones químicas, es responsable de la cohesión de
átomos y de las moléculas, de los cuerpos macroscópicos
general.
las
en
los
en
4-4.3.- INTERACCIÓN NUCLEAR FUERTE.-Se ejerce entre los
constituyentes del núcleo, los nucleones (protones o neutrones).
Es la responsable de la cohesión de los núcleos.
Esta interacción es la más intensa, pero de corto alcance
(alrededor de 2x10-15m).
4-4.4.- INTERACCIÓN NUCLEAR DÉBIL.- Responde de la radiactividad
beta ( β ) y de ciertas desintegraciones de partículas elementales.
Es de corto alcance (aproximadamente 10-18m.).
4-5.- FUERZA FUNDAMENTALES.Las fuerzas fundamentales son los que se encuentran mayormente en
base a los fenómenos mecánicos (que dependen de la gravedad)
y los eléctricos. Citando las leyes de estas fuerzas, cuando las
masas (cargas) en interacción se encuentran en reposo o se
mueven con una velocidad menor a la de la luz (no relativista).
4-5.1.- FUERZA DE LA ATRACCIÓN DE LA GRAVEDAD
Actúa entre dos puntos materiales. En concordancia con la ley de
gravitación universal, esta fuerza es proporcional al producto de
las masas de los puntos m1 y m2, e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia (r) que los separa, y esta dirigida a lo
largo de la recta que une ambos puntos.
F =G
m1m2
r2
(4-1)
Donde G es la constante de gravitación universal
2
G = 6,673x10-11N. m
Kg 2
4-5.2.- FUERZA DE COULOMB
Es la fuerza que actúa entre las dos cargas puntuales q1 y
q2
F=K
q1q2
r2
Donde r es la distancia de separación entre las dos cargas y K es
la constante dieléctrica de coulomb, que depende del sistema de
unidades elegido. Esta fuerza puede ser tanto de atracción como
de repulsión, señalándose que la ley de coulomb deja de
cumplirse exactamente si las cargas se mueven
4-5.3.- FUERZA DE GRAVEDAD HOMOGÉNEA
r
r
F = mg
(4-3)
Donde m es la masa del cuerpo, g es la aceleración de la fuerza
de la gravedad (ec. 2-20)
(4-4)
g = 9,8 m 2 = 32,16 pie 2
s
s
r
Hay que indicar que el peso W es la fuerza, con la cual el cuerpo
actúa sobre un apoyo o una suspensión, fija con relación al
cuerpo dado. Por ejemplo, si el cuerpo con el apoyo (suspensión)
están inmóviles respecto a la tierra, el peso coincide con la
fuerza de la gravedad. En caso contrario el peso esta dado
como:
r
r r
W = m( g − a )
(4-5)
r
Donde a es la aceleración del cuerpo con relación a la tierra.
4-5.4 FUERZA ELÁSTICA
Es una fuerza proporcional al desplazamiento del móvil de
la posición de equilibrio ry está orientada hacia esta posición.
r
F = − Kr
(4-6)
r
Donde r es el radio vector, que especifica la posición del móvil
con respecto a la posición de equilibrio, K es un coeficiente que
depende de las propiedades elásticas del material. Por ejemplo la
fuerza de deformación elástica durante el estiramiento
(comprensión) de un resorte o de una barra, se le conoce como
la ley de Hooke, esta fuerza se determina como:
F = K∆L
(4-7)
Donde ∆L es el valor de la deformación (estiramiento o
comprensión) elástica sufrida por el resorte.
4-5.5.- FUERZA DE ROZAMIENTO POR DESPLAZAMIENTO
Es la fuerza que surge durante el desplazamiento de un
cuerpo con respecto a otro
r
r
f = µN
(4-8)
Donde µ es el coeficiente de rozamiento que depende de
la naturaleza yr del estado de las superficies en contacto (de su
rugosidad) y N es la fuerza normal que actúa perpendicular a la
superficie en contacto durante su desplazamiento.
Es una fuerza que se opone al movimiento de un objeto
debido a la interacción con otro cuerpo y siempre estará dirigido
en sentido contrario a la dirección de su movimiento.
Las fuerzas de rozamiento son muy importantes en la vida
cotidiana, por ejemplo, las fuerzas de rozamiento nos permite
caminar o correr y son necesarios para el moviendo de los
vehículos con ruedas. Las fuerzas de rozamiento pueden ser de
dos clases:
A) ROZAMIENTO ESTÁTICO: Este tipo de fuerza aparece cuando
los cuerpos en contacto no deslizan. Su valor máximo se
presenta cuando el deslizamiento es inminente.
r
r
f S = µS N
Donde µ S : coeficiente de rozamiento estático
B) ROZAMIENTO CINÉTICO: Esta fuerza se presenta cuando las
superficies en contacto se deslizan una respecto a la otra. Su
valor es prácticamente constante.
r
r
f K = µK N
Donde µ K : coeficiente de rozamiento cinético.
TABLA Nº1
MATERIAL
µS
µK
Acero sobre acero
Aluminio sobre acero
Cobre sobre acero
Caucho sobre concreto
Madera sobre madera
Vidrio sobre vidrio
Madera encerada sobre nieve
húmeda
Madera encerada sobre nieve seca
Metal sobre metal (Lubricado)
Hielo sobre hielo
Teflón sobre teflón
Articulaciones sinoviales en
humanos
0,74
0,61
0,53
1,0
0,25-0,5
0,94
0,57
0,47
0,36
0,8
0,2
0,4
0,14
0,1
0,15
0,1
0,04
0,04
0,06
0,03
0,04
0,01
0,003
4-5.6.- FUERZA DE RESISTENCIA
Es la fuerza que actúa sobre los fluidos (gas o líquido)
durante su movimiento de traslación. Esta fuerza depende de la
r
velocidad del cuerpo v respecto al medio, estando dirigido en
sentido inverso al desplazamiento.
r
r
F = − Kv
(4-9)
Donde K es un coeficiente positivo, característico para el cuerpo
y el medio dado. Este coeficiente depende en general de la
r
velocidad v , sin embargo a velocidades pequeñas se puede
considerar en muchos casos prácticamente constante.
4-6.- LEYES DE NEWTON
Isaac Newton estableció sus leyes del movimiento teniendo
como base el estudio realizado del movimiento de los planetas y
debido a las características de su movimiento de un punto
material. Si un cuerpo tiene durante su movimiento diferentes
aceleraciones, este no podrá cumplir con las leyes de Newton.
Así tenemos:
4-6.1.- 1º LEY DE NEWTON “PRINCIPIO DE INERCIA”
Todo cuerpo material permanece en reposo relativo o se
mueve con velocidad constante en línea recta (movimiento
rectilíneo uniforme), a menos que una fuerza neta que actúa
sobre él lo obligue a cambiar de estado.
4-6.2.-2º LEY DE NEWTON “LEY DE LA ACELERACIÓN Y LA
FUERZA”
Todo cuerpo material sometido a la acción de una fuerza
resultante diferente de cero, adquiere necesariamente una
aceleración en la misma dirección en la misma dirección y
sentido de la fuerza resultante. De ello observamos que la
aceleración de un cuerpo directamente proporcional a la
resultante de las fuerzas aplicadas a dicho material e
inversamente proporcionales a la resultante de las fuerzas
aplicadas ha dicho material e inversamente proporcional a la
masa del cuerpo.
r r r
r r
F = F1 + F2 + F3 + F4
r
r
r r
r
a = FR / m ⇒ FR = ∑ F = ma
(4-10)
4-6.3.- 3º LEY DE NEWTON “LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN”
Newton póstula la interacción entre dos cuerpos A y B
como: “La fuerza con los que dos puntos materiales actúan uno
sobre el otro, son siempre de igual módulo y están dirigidas en
direcciones contrarias a lo largo de la recta que une estos
puntos”.
r
r
F12 = − F21
(4-11)
En esta tercera ley de Newton se supone que ambas fuerzas son
de igual módulo en cualquier momento de tiempo, independiente
del movimiento del punto.
EJEMPLO 4-1
Calcule la resultante y la dirección de las fuerzas que están
actuando sobre el bote de la figura.
Solucion:
F1 X = F1 cos 45º = (60)(0,707) = 42,4 N
F1Y = F1sen45º = (60)(0,707) = 42.4 N
F2 X = F2 cos 37º = (80)( 4 ) = 64 N
5
F2Y = F2 sen37º = (80)( 3 ) = 48 N
5
RX = F1 X + F2 X = 42,4 + 64,0 = 106,4 N
RY = F1Y − F2Y = 42,4 − 48,0 = −5,6 N
r
R = RX iˆ + RY ˆj
r
R = (106,4iˆ − 5,6 ˆj ) N
r
2
2
R = (106,4 ) + (− 5,6 ) ⇒ R = 106,5 N
La dirección es:
⎛R
R
tan θ = Y ⇒ θ = tan −1 ⎜⎜ Y
RX
⎝ RX
⎞
⎛ − 5,6 ⎞
⎟⎟ = tan −1 ⎜
⎟ = −3º
⎝ 106,4 ⎠
⎠
EJEMPLO 4-2
Hallar el alargamiento del resorte, si su constante de elasticidad
es K=20N/cm. las esferas pesan 60N y 120N cada uno y se
encuentran en equilibrio.
Solucion:
sen37º =
WA
WA
⇒R=
sen37º
R
60 N
⇒ R = 100 N
3
5
R cos 37 º = F
R=
R cos 37 º = KX
(
)
⎛4⎞
X ⇒ X = 4cm.
(100 N )⎜ ⎟ = 20 N
cm
⎝5⎠
4-7.- PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO (EQUILIBRIO
DE TRASLACIÓN)
Un punto material (partícula) o cuerpo rígido se encuentra
en equilibrio si la suma de todas las fuerzas que actúan sobre
ella es cero. También podemos decir que la aceleración lineal del
centro de masa debe ser cero cuando se observa desde un
sistema de referencia inercial.
r
∑F = 0
(4-12)
En la expresión vectorial dada por la ecuación (4-12) son
equivalentes a tres ecuaciones escalares correspondientes a las
componentes x, y, z. En consecuencia:
∑F
X
=0
∑F
Y
=0
∑F
Z
=0
(4-13)
Existen casos de equilibrio en el que se refiere de un cuerpo
rígido sujeto a tres fuerzas, que se encuentran en equilibrio y
que las líneas de acción de las tres fuerzas se intersecan en un
punto común, son las fuerzas concurrentes.
→
δ
F1
→
F2
R
Q
β
O
P
α
→
F3
De la figura (4-3) la línea de acción de las tres fuerzas pasan por
el punto O. se obsérvese que mientras las fuerzas sean
concurrentes, de la condición de equilibrio se tiene que
→
→
→
F1+ F 2 + F 3 = 0
4.7.1.- TEOREMA DE LAMY (Ley de Senos)
Si tres fuerzas coplanares actúan sobre un cuerpo en equilibrio
tal como se observa en la figura (4-3). El módulo de cad fuerza
es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.
F1
F2
F3
=
=
(4-14)
Senα Senβ Senδ
Caso particular: Si α = β = δ = 120º , todas las fuerzas son iguales
F1 = F2 = F3
4.7.2.- DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (DCL)
Es un dibujo aislado de un cuerpo perteneciente a un sistema
donde se gratifican las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
45º
→
→
W
T
45º
W
Y
→
T
45º
→
R
X
→
W
Y
60º
X
30º
→
→
R
T
30º
60º
→
W
→
R
→
W
→
30º
T
EJEMPLO 4-3
Hallar las relaciones en los puntos A y B de la esfera que esta en
contacto con las paredes. Si se considera a la esfera que pesa
260N.
SOLUCIÓN:
RA
RB
W
=
=
Sen120º Sen127 º Sen113º
RA
W
260( Sen60º )
=
⇒ RA =
⇒ RA = 244,61
Sen(180º −120º ) Sen(180º −113º )
Sen67 º
RB
RA
A
B
W
53º
60º
Y
RB
RA
113º
30º
37º
120º
127 º
X
→
W
RB
W
260( Sen53º )
=
⇒ RB =
⇒ RB = 225,58
Sen(180º −127 º ) Sen(180º −113º )
Sen67 º
EJEMPLO 4-4
Si cada polea pesa 30N. Determine el peso P para que se
mantenga en equilibrio el sistema.
SOLUCIÓN:
1) Para la polea A:
∑ Fy = 0
2 T − 100 = 0 ⇒ T1 = 50 N
2) Para la polea B
∑ Fy = 0
2 T2 − T1 = 0 ⇒ T2 =
3) Para la polea C
T2 = P ⇒
50
= 25 N
2
P = 25 N
C
B
P
A
100 N
→
4.8.- MOMENTO DE LA FUERZA (τ ) también llamado Torca
→
τ
→
Consideremos una fuerza F aplicada sobre un cuerpo rígido, en
→
el punto P tal como se observa en la figura (4-5). Si r es el
vector posición de dicho punto relativo a P la torca o momento
→
asociado a la F respecto de O esta dada por:
→
→
→
(4-15)
Γ = r xF
→
F
→
F senϕ
ϕ
r
o
p
por definición el momento de una fuerza es una magnitud física
vectorial que aplicad sobre un cuerpo rígido trata de hacerlo
girar alrededor de un punto o de un eje. Por lo tanto es igual al
producto de la fuerza por la distancia trazada desde el centro de
→
→
giro o, perpendicular a la línea de acción de la fuerza Γ = r Fsenϕ
Γ = rF
(4-16)
Si ϕ = 90º ; senϕ = 1
F : Newton (N)
r = metros (m)
τ
= N.m
Fig. 4.5 Momento de una fuerza que actúa sobre un cuerpo
rígido en el punto O
El momento es perpendicular al plano de rotación, si gira en
sentido antihorario el momento es positiva, en cambio si gira en
sentido horario el momento es negativo.
→
r
→
r
F
P
P
r
→
F
→
r
Fig 4-6 Momentos de una fuerza, el torque será positiva
(antihorario) como se observa en la figura 4-62, en caso
contrario el torque será negativo (horario) como en la figura 46b
→
Si nos acordamos que: r = xiˆ + yˆj + zkˆ
→
F = Fxiˆ + Fyˆj + Fzkˆ
ˆj
⎡ iˆ
⎢
y
= r xF = ⎢ x
⎢ Fx Fy
⎣
→
→
τ
→
τ
→
kˆ ⎤
⎥
z⎥
Fz ⎥⎦
= ( yFz − ZFy )iˆ − ( xFz − ZFx) ˆj + ( xFy − YFx)kˆ
Donde
→
τ =τ
x
iˆ + τ y ˆj + τ z kˆ
→
(4-17)
→
En particular, si tanto r como F se encuentran en el plano xy, z
= 0 y Fz=0, entonces:
→
τ
(4-18)
= ( xFy − yFx)kˆ
4-9.- SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO (Equilibrio de
rotación)
La segunda condición es un enunciado del equilibrio rotacional,
es decir, la aceleración angular alrededor de cualquier eje debe
ser cero, o lo que es mismo decir, que todo cuerpo rígido que se
encuentra sometido a la acción de un sistema de fuerzas, este
no gira, si la suma de los torques con respecto a cualquier punto
es igual a cero.
→
∑τ
(4-19)
=0
Esta magnitud vectorial, es equivalente a tres ecuaciones
escalares, para cada una de las direcciones x, y, z.
∑τ
x
∑τ
=0
y
∑τ
=0
z
=0
(4-
20)
Cuando las fuerzas no se aplican al mimo punto sino que actúan
en un cuerpo rígido, se distinguen dos efectos: traslación y
rotación.
La traslación del cuerpo se determina por el vector suma de las
fuerzas.
→
→
→
→
→
R = F 1 + F 2 + F 3 + .... = ∑ F i
i
⇒
→
→
R = ∑ Fi
i
(4-21)
El efecto de rotación sobre el cuerpo se determina por el vector
suma de los torques de las fuerzas, todas evaluados sobre el
mismo punto.
→
τ
→
→
→
= τ + τ + τ + .... =
3
1
2
→
∑τi
⇒
i
→
→
τ = ∑τ i
(4-22)
i
General mente R y τ no son perpendiculares, por consiguiente
las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido no pueden
reducirse a una sola fuerza o resultante.
→
→
CAPITULO V
DINÁMICA
5.1 MASA
5.2 PESO
5.3 RELACIÓN ENTRE FUERZA Y ACELERACIÓN
5.4 APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON
5.5 LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
5.6 CAMPO GRAVITACIONAL
5.7 VARIACIONES DE LA GRAVEDAD (g)
5.8 LEYES DE KEPLER
5.9 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL
5.10 FUERZA GRAVITACIONAL ENTRE DOS CUERPOS
DINÁMICA
En el capítulo anterior se trato sobre la estática, que es la física
de los objetos en equilibrio. Este capítulo se estudia la dinámica
que es la física que estudia la relación entre movimiento de un
cuerpo y las causas (fuerzas) que producen este movimiento.
5.1.-MASA (m)
Es una magnitud escalar de módulo constante. Se define como
una medida de la inercia de un cuerpo (masa inercial) o como la
relación entre la fuerza resultante aplicada sobre un cuerpo y la
aceleración que adquiere debido a su posición (masa
gravitacional). Es aditiva. Su unidad de medida en el sistema
internacional es el kilogramo (Kg). En el laboratorio la masa de
un objeto se mide frecuentemente con balanzas de dos brazos
iguales comparando con pesos patrones de masas de ellos
tenemos:
a) Masa Inercial.- De la segunda ley de Newton, sabemos que
la masa m de un objeto es el factor de proporcionalidad
→
→
existente entre la fuerza resultante F RES = m a . De este
modo la masa de un objeto es la propiedad del objeto
responsable de su resistencia a cambiar de velocidad.
Imaginemos un automóvil y un bus es estado de reposo, si
quisiéramos moverlo debido a la fuerza física, esta
dependerá de la cantidad de masa y la fuerza aplicada, por
lo tanto podemos decir que a mayor masa mayor fuerza de
igual manera a menor masa menor fuerza:
→
m=
F
→
(5.1)
a
b) Masa Gravitacional.- La masa de un objeto también
aparece en la ley de Newton de la gravitación universal. El
módulo F de la fuerza gravitatoria que actúa sobre un
objeto de masa m debida a otro objeto de masa M es
GmM
(suponemos que ambos objetos pueden ser
F=
r2
tratados como partículas).
En esta expresión la masa de un objeto es la propiedad del
objeto responsable de que sea atraído por otro mediante la
fuerza gravitatoria. Podemos suponer que nos encontramos
cargando una caja con objetos diversos, la fuerza que se debe
ejercer para sostener la caja depende de la masa gravitacional
de los objetos contenidos en ella.
→
w
(5.2)
g
El termino <<masa de un objeto>> caracteriza dos propiedades
diferentes del objeto. Por una parte es una medida de la
resistencia de un objeto a cambiar su velocidad (masa inercial) y
por otra parte mide la atracción gravitatoria que actúa sobre un
objeto po otro de su entorno (masa gravitacional). Para los
propósitos de esta discusión, vamos a distinguir la masa inercial
(m1) de la masa gravitacional (mG).
m=
→
¿Por qué denominamos <<masa>>a estas dos propiedades
distintos de la materia, la masa inercial y la masa gravitacional?
Porque los experimentos demuestran que son propiedades entre
sí. Uno de estos experimentos es la medida de la aceleración de
objetos diferentes durante su caída libre. En la caída libre todas
las fuerzas que actúan sobre el objeto son despreciables a
excepción de la fuerza de gravedad ejercida por la tierra.
Consideremos una bala en caída libre cerca de la superficie de la
tierra y tomamos la dirección positiva y vertical hacia arriba,
m m
entonces ∑ Fy = −G G 2 T , donde mG es la masa gravitatoria de la
RT
bola. De la segunda Ley de Newton.
−G
⎛ Gm
mG mT
= m1∂y ⇒ ∂y = −⎜⎜ 2T
2
RT
⎝ RT
⎞⎛ mG ⎞
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟
⎠⎝ mI ⎠
⎛ Gm ⎞
El factor ⎜⎜ 2T ⎟⎟ es independiente del objeto cuyo movimiento
⎝ RT ⎠
estamos describiendo, pero mG y mI dependen de él. Como
sabemos, todos los objetos en caída libre experimentan la misma
aceleración: ∂y = − g . Si dejamos caer una piedra en vez de la
bala, obtendremos también para la piedra que ∂y = − g . Luego
∂y es independiente del objeto esto significa que el coeficiente
⎛ mG ⎞
⎜⎜
⎟⎟ debe ser independiente del objeto. En otras palabras,
⎝ mI ⎠
nuestros experimentos demuestran que para cualquier objeto mg
es proporcional a m1. Ya que m1 es proporcional a mG podemos
elegir nuestras unidades de forma que ambas sean iguales. Esto
se hizo tácitamente cuando se evaluó G a partir del experimento
de cavendish, por tanto, m1 = mG.
La afirmación de que la masa inercial es igual a la masa
gravitacional es una afirmación basada en los experimentos.
5.2.- PESO (W)
Es una magnitud física vectorial. El peso de un objeto es la
fuerza gravitatoria resultante con que la tierra atrae cuerpos que
lo rodean (hacia abajo), hacia el centro de ella y se determina:
→
→
W = m. g
(5.3)
El peso de un objeto es proporcional a su masa. Por ejemplo, la
masa de un hombre adulto típico es 60 Kg, luego el científico
italiano, Galileo Galilei afirmaba que los objetos que caen cerca
de la superficie terrestre tienen todos la misma aceleración, g, si
se desprecia la resistencia del aire. La fuerza que produce esta
aceleración se llama fuerza de la gravedad (W: peso)
El peso de un cuerpo varía de acuerdo al lugar en que se
encuentra; en cambio la masa permanece constante en cualquier
lugar.
5.3.- RELACIÓN ENTRE FUERZA Y ACELERACIÓN
Si bien Newton era un experimentador nato a la vez que un gran
teórico, buscó siempre comprobar cuidadosamente sus ideas con
experimentos de laboratorio y observación astronómica.
Supongamos una situación en la cual se esta empujando un
carrito de masa “m” sobre una superficie horizontal lisa, sin
→
rozamiento. Cuando se ejerce una fuerza horizontal F , el carrito
→
se mueve con una aceleración a en la misma dirección de la
fuerza aplicada; sis se aplica el doble de la fuerza anterior, la
aceleración se duplica. De igual forma si la fuerza aplicada se
→
incrementa a 3 F , la aceleración se triplicay así sucesivamente.
De estas observaciones, se puede concluir que la aceleración de
cualquier objeto es directamente proporcional a la fuerza
resultante que actúa sobre él.
→
→
a α F RES
(5.4)
La aceleración de un objeto también depende de su masa, para
ello imaginemos un bloque que se encuentra sobre la superficie
→
lisa sin rozamiento, este experimentara una aceleración a . Si la
masa del bloque se duplica, la misma fuerza producirá una
→
aceleración que es la mitad de la anterior (
a
). Si la masa se
2
→
1
a
de ser la aceleración ( )y
triplica, la aceleración disminuirá a
3
3
así sucesivamente.
Por lo tanto se concluye que la aceleración producida por una
fuerza determinada es inversamente proporcional a su masa.
→
1
a α
(5.5)
m
Juntos los dos resultados anteriores, dan la segunda Ley de
Newton:
La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la
fuerza resultante que actúa sobre él, e inversamente
proporcional a su masa.
→
→
F
a = RES
(5.6)
m
En la tabla 5-1 se resumen las unidades de fuerza, masa y
aceleración.
TABLA 5-1: unidades F,m y a
Sistema de
Unidades
SI
Kg.
Aceleración
(a)
m/s2
G
cm/s2
Masa (m)
C.G.S.
Sistema Ingles
Slug
ft/s2
(Convencional)
1 Newton = N = 105dinas = 0,225 Lb.
Fuerza (F)
N=Kg. m/s2
Dina =g.
cm/s2
Lb = Slug.
ft/s2
5-4.- APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON
5.4.1) Método para resolver problemas de mecánica.Un problema de mecánica. La segunda ley de Newton
proporciona el principio fundamental para resolver un
problema, como es una relación vectorial, puede separarse en
sus componentes:
→
∑F
→
X
= maX
→
∑F
→
Y
= m aY
→
∑F
→
Z
= m aZ
(5.7)
Los procedimientos para resolver un problema se puede
dividir en tres partes:
a) Hacer un dibujo del sistema e identificar las fuerzas que
actúan sobre el objeto (u objetos) a los que se aplicará la
segunda ley de Newton.
b) Dibujar un diagrama de un cuerpo libre que incluya los
ejes de coordenadas. Estos ejes deben estar orientados de
forma que los cálculos se simplifiquen.
c) Escribir las componentes de la segunda Ley de Newton en
función de las cantidades conocidas y desconocidas.
Resolver las ecuaciones, sustituir los valores numéricos de
las cantidades conocidas y calcular cada una de las
incognitas.
EJEMPLO 5-1
TENSIÓN DE UNA CUERDA
Una caja que pesa 500N cuelga de tres cables como se muestra
en la figura 5.1. Dos de los cables forman los ángulos 30º y 40º
con la horizontal. Si el sistema esta en equilibrio, calcule la
tensión en los cables.
Solución:
De la gráfica vemos que la tensión en el cable vertical T3 que
sostiene a la caja, se ve que T3 = W = 500 N
(1)
Del diagrama de cuerpo libre se sostiene a las tres cuerdas como
en la Fig. 5.1 (b), se descompone las fuerzas en sus
componentes X y Y como sigue:
Para la fuerza T1
T1X = T1 cos40º
T1y = T1 sen40
Para la fuerza T2
T2X = T2 cos30º
T2y = T2 sen30
De la primera condición de equilibrio se tiene:
∑ FX = T2 X − T1X = 0 ⇒ T2 cos 30º −T1 cos 40º = 0 ⇒ T1 cos 40º = T2 cos 30º
(3)
∑ FY = T1Y − T2Y − T3 = 0 ⇒ T1sen40º −T2 sen30º −500 = 0 ⇒
T1sen40º = 500T2 sen30º (4)
De (4) y (3)
T1sen40º 500 − T2 sen30º
=
T1cos 40
T2cos30º
500 − T2 sen30º
Tan 40º =
T2cos30º
500 − T2 (0,5)
0,839 =
⇒ T2 (0,866)(0,839) = 500 − T2 (0,5)
T2 (0,866)
0,726 T2 + 0,5 T2 = 500 ⇒ 0,226 T2 = 500 ⇒ T2 = 2212,4 N (5)
Calculando T1, reemplazando en (5) y en (3)
T cos 30º (2212,4)(0,866)
T1 = 2
=
= T1 = 2501,2 N (6)
cos 40
(0,766)
Por lo tanto:
T1 = 2501,2 N ; T2 = 2212,4 N ; T3 = 500 N
EJEMPLO 5-2
MÁQUINA DE ATWOOD
Si dos masas m1 y m2 (m1 > m2) cuelgan verticalmente sobre
una polea sin rozamiento tal como se observa en la figura 5.2
más conocida como máquina de Atwood.
a) Determine la aceleración del sistema y la tensión de la
cuerda.
b) Cuando m1 = 15 Kg y m2 = 6 Kg determine la tensión y la
aceleración.
Solución:
T
T
a
m2
a
m1
m2
m1 g
m2 g
(a)En la figura 5.2ª , se muestran las fuerzas que actúan sobre
cada una de las masas.
m1
De la segunda
ley de Newton, con m1 hacia abajo (m1 > m2) y
m2 hacia arriba se tiene:
(1)
∑ F = ( ∑ m) a
m1 g − T + T − m2 g = (m1 + m2 )a
(m1 − m2 ) g = (m1 − m2 )a
(m1 − m2 ) g
(2)
m1 + m2
Aplicando la segunda ley de Newton para la masa m1, se tiene:
∑ F = m1a
a=
⎡ (m − m2 ) g ⎤
⎡
m1 (m1 − m2 ) ⎤
m1 g − T = m1 ⎢ 1
⎥ ⇒ T = ⎢m1 −
⎥g
m1 + m2 ⎦
⎣ m1 + m2 ⎦
⎣
⎡ m 2 + m1m2 − m12 + m1m2 ) ⎤
2(m1m2 )
T =⎢ 1
g
(3)
⎥g ⇒ T =
m1 + m2
m1 + m2
⎣
⎦
b) Si m1 = 15Kg y m2 =6Kg
a =¿?
T = ¿?
Reemplazando en (2)
(15 − 6) Kg 9,8 m 2
(m1 − m2 ) g
s ⇒ a = 4,2 m
= a=
s2
(15 + 6) Kg
m1 + m2
2(m1m2 )
2(15 x6) Kg
g ⇒T =
T =
(9,8 m 2 ) ⇒ T = 84 N
s
m1 + m2
(15 + 6)
a=
EJEMPLO 5-3
DOS BLOQUES SOBRE UN PLANO
INCLINADO
Dos bloques de masa m1 = 8 Kg y m2 = 15 Kg, están conectadas
por una cuerda de peso despreciable que pasa por una polea
ligera lisa y sin rozamiento como se muestra en la fig. 5.3 la
masa m2 esta sobre un plano inclinado que forma un ángulo de
37º con la horizontal.
a) Determine la aceleración del sistema y la tensión de la
cuerda.
b) Si el bloque m2 con el plano inclinado tiene un coeficiente
de rozamiento µ = 0,4 . Encontrar la aceleración y la tensión
en la cuerda.
Solución:
m2
m1
a
T
m2
m2 gsen37 º
37 º
x
m2 g
a
T
m2 g cos 37 º
m1
m1 g
(a)
Como la cuerda conecta ambos bloques (la cuerda se
considera inextensible), estas tienen la misma magnitud.
En la figura 5.3b se aplica a la 2da ley de Newton sobre todo el
sistema.
∑ F = ( ∑ m) a
m2 gsen37º −T + T − m1 g = (m1 + m2 )a
m gsen37º − m1 g
(m sen37º − m1 ) g
⇒a= 2
a= 2
m1 + m2
m1 + m2
⎡ 3
⎤
m
⎢15( 5 ) − 8⎥ Kg 9,8 s 2
⎣
⎦
a=
⇒ a = 0,43 m 2
s
(8 + 15) Kg
De la figura 5.3b, encontramos la tensión:
∑ F = m1a
T − m1 g = m1a ⇒ T = m1a + m1 g = m1 (a + g )
T = 8 Kg (0,43 + 9,8) m 2 ⇒ T = 81,8 N
s
b) Si µ = 0,4 entre el bloque m2 y el plano inclinado. Encontrar la
aceleración y la tensión en la cuerda.
y
a
T
N
m2
m2 gsen37 º
F
x
37º
a
T
m2 g cos 37 º
m2 g
37º
m1
m1 g
Determinando la fuerza de rozamiento para el bloque m2.
f =µ N
(1)
Pero ∑ FY = N − m2 g cos 37 º = 0
N = m2 g cos 37 º
Entonces f = µ m2 g cos 37 º
(2)
da
Usando la 2 ley de Newton:
∑ F = ( ∑ m) a
m2 gsen37º + f − T + T − m1 g = (m1 + m2 )a
Reemplazando (2) en (3)
m2 gsen37º + µ m2 g cos 37º − m1 g = (m1 + m2 )a
4
⎤
⎡ 3
15( + 0,4 x ) − 8⎥ Kg 9,8 m 2
⎢
s
[m ( sen37º + µ cos 37º ) − m1 ]g ⇒ a = ⎣ 5
5
⎦
a= 2
(8 + 15)Kg
m1 + m2
a = 2,5 m 2
s
De la figura, encontramos la tensión:
T − m1 g = m1a ⇒ T = m1a + m1 g = m1 (a + g )
T = 8Kg (2,5 + 9,8) m 2 ⇒ T = 98 N
s
EJEMPLO 5-4
DOS BLOQUES SUSPENDIDOS POR UNA
POLEA FIJA Y MÓVIL
En la figura 5.5 el bloque A pesa 40 N y B pesa 50 N. Una cuerda
continua inextensible pasa por las poleas fija P1 y móvil P2. Hallar
las tensiones T1 y T2 y la aceleraciópn de cada bloque. Cada
polea pesa 10 N y el peso de las cuerdas es despreciable.
Solución.Las aceleraciones de los bloques son:
1
(1)
a A = a ; aB = a
2
Por la propiedad de las poleas:
T2 = 2T1
(2)
da
Aplicando la 2 ley de Newton para el bloque A
∑ FA = mAa A
⎛ 40 ⎞
40 − T1 = ⎜
⎟a
⎝ 9,8 ⎠
⎛ 40 ⎞
T1 = 40 − ⎜
⎟a
⎝ 9,8 ⎠
(3)
P1
T1
aA
P2
A
T1
A
40 N
T2
T1B
T1
P2
T2
10 N
aB
T2
B
50 N
Aplicando la 2da ley de Newton para el bloque B
∑ FB = mB aB
Como la polea pesa 10 N se debe sumar con la masa del bloque
B que pesa 50 N
⎛ 50 10 ⎞⎛ a ⎞
+
T2 − 50 − 10 = ⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ 9,8 9,8 ⎠⎝ 2 ⎠
⎛ 30 ⎞
(4)
T2 = 60 + ⎜
⎟a
⎝ 9,8 ⎠
De (3) y (4) en (2)
⎡
⎛ 30 ⎞
⎛ 40 ⎞ ⎤
60 + ⎜
⎟a = 2⎢40 − ⎜
⎟a ⎥
⎝ 9,8 ⎠
⎝ 9,8 ⎠ ⎦
⎣
60 + 3,06a = 80 − 8,16a
3,06a + 8,16a = 80 − 60
20
11,22a = 20 ⇒ a =
⇒ a = 1,78 m 2
s
11,22
Como a = 1,78 m
T1 = 40 −
s2
40
(1,78) ⇒ T1 = 32,73N
9,8
a A = a = 1,78 m
aB =
T2 = 2T1 ⇒ T2 = 2(32,73) = 65,46 N
EJEMPLO 5-5
s2
a
= 0,89 m 2
s
2
DOS BLOQUES EN CONTACTO
→
Se aplica una fuerza F de 35N sobre dos bloques en contacto
cuyos peso para el bloque 1 es de 18N y el bloque 2 es de 26N,
tal como se observa en la figura 5.6. Ambos bloques se deslizan
sobre una superficie horizontal y lisa (sin rozamiento) sobre una
superficie horizontal y lisa (sin rozamiento). Determinar la
aceleración del sistema y la fuerza que actúa sobre los dos
bloques.
Solución:
W2
F
W1
N1
F
P
W1
W1
N2
Q
W2
W2
Como ambos bloques están en contacto uno contra otro, la
aceloeración que tendrá es la misma usando la segunda ley de
Newton.
F = ma
⎛ w + w2 ⎞
⎟⎟a
F = ⎜⎜ 1
⎝ g ⎠
⎛ 18 + 26 ⎞
Reemplazando: 35 = ⎜
⎟a
⎝ 9,8 ⎠
35
⇒ 7,8 m 2
s
4,49
da
Del bloque 2, aplicamos la 2 ley de Newton:
⎛w ⎞
⎛ 26 ⎞
Q = ⎜⎜ 2 ⎟⎟a = ⎜
⎟(7,8) ⇒ Q = 20,68 N
⎝ 9,8 ⎠
⎝ g ⎠
35 = 4,49a ⇒ a =
En el caso del bloque 1, se tiene:
⎛w ⎞
F − P = ⎜⎜ 1 ⎟⎟a
⎝ g⎠
⎛
⎞
⎜ 18 N ⎟ m
35 N − P = ⎜
⎟7,8 s 2 ⇒ P = (35 − 14,33) N
⎜ 9,8 m 2 ⎟
s ⎠
⎝
P = 20,68 N
De los resultados vemos que P = Q , condición de la tercera ley
de Newton.
5.5.- LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
En base a las leyes de movimiento estudiadas por Galileo Galilei
y por las leyes del movimiento planetario estudiado por J.
Kepler, convenció a I. Newton que cada partícula en el universo
ejerce una fuerza gravitacional sobre todas las demás.
De acuerdo al leyenda la teoría de la gravedad surgió en la
mente de Isaac Newton, cuando vio caer una manzana de un
árbol en Woolsthorpe, Lincolnshire (Inglaterra) en 1666,
mientras descansaba bajo la sombra de un árbol. Esto lo llevó a
imaginar que quizás todos los cuerpos en le universo son
atraídos unos a otros de la misma forma que la tierra atrae a la
manzana. Newton procedió a analizar los datos astronómicos del
movimiento de la luna alrededor de la tierra, observando que
ambos fenómenos, aparentemente no relacionados son causados
por la misma fuerza gravitatoria atractiva de la tierra. Del
análisis de estos datos, enunció la ley que gobierna la fuerza de
atracción de la tierra sobre el cualquier cuerpo que cae (fig. 5.7)
LUNA
MANZANA
TIERRA
La ley de la gravitación universal, establece que:
“Cualquier partícula de materia del universo atrae a cualquier
otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al
producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado
de las distancias que las separa”.
Esta ley de la gravitación universal fue publicada en 1687 por I.
Newton en su famoso libro: Mathematical Principles of Natural
Philosophy.
Si las partículas tienen masa m y M y estan separadas por una
distancia r, la magnitud de la fuerza gravitacional entre ellos es
expresada matemáticamente como:
→
mM
F = G 2 rˆ
(5.8)
r
Donde:
G = constante universal o constante gravitacional
2
G = 6,6726x10-11 N . m
(S.I)
Kg 2
Z
M
→
F
→
m
F
Y
X
r
ESPEJO
FUENTE DE LUZ
m
r
M
m
M
En 1798, Henry Cavendish (1731-1810) hizo la primera medida
de G con una exactitud bastante razonable. El aparato de
Cavendish constaba de dos esferas de una barra ligera horizontal
suspendida de una libra muy fina, como en la figura 5.9. Dos
esferas grandes de masa M cada una, se colocan cerca de las
esferas pequeñas. La fuerza de atracción entre las esferas
grandes y pequeñas provocan que la barra gire y se tuerce la
libra, en el sentido de las manecillas del reloj, vista desde arriba.
El ángulo que gira la barra suspendida se mide por la deflexión
de un haz de luz reflejado desde un espejo colocado en la
suspensión vertical. La deflexión de la luz es una técnica efectiva
para ampliar el movimiento. El experimento se repitió varias
veces con diferentes masas y con diferentes separaciones. A
partir de las medidas de las fuerzas que actúan sobre las esferas
permitió calcular las fuerzas gravitatorias. Cavendish describió su
experimento como una medida del peso de la tierra, que como
es lógico una vez conocido el valor de G se puede determinar la
masa de la tierra y de igual manera la masa de los demás astros.
5.6 CAMPO GRAVITACIONAL.Cuando una partícula de masa n se encuentra en un punto
→
dosnde el campo es g , la partícula experimenta una fuerza
→
→
F = m g . Como la fuerza gravitacional sobre le objeto esta
dirigida hacia el centro de la tierra y tiene una magnitud mg. De
aquí, vemos que el campo gravitacional que un objeto
experimenta en algún punto tiene una magnitud igual a la
aceleración de la gravedad en ese punto. Como la fuerza
gravitacional sobre un objeto tiene magnitud GM m 2 donde M es
r
la masa de la tierra, entonces:
→
→
F
g=
m
(5.9)
→
mM
(5.10)
rˆ
r2
→
M
(5.11)
Entonces: g = −G 2 rˆ
r
Donde
“Galieo estableció que la aceleración debido a la gravedad es
igual para todo cuerpo pequeño”
Pero: F = −G
r = es la distancia entre la partícula y el centro de la tierra
r̂ = vector unitario dirigido hacia la partícula
5.7.- VARIACIONES DE g
a) CON LA ALTURA:
Newton demostró que la atracción gravitatoria que ejerce la
tierra sobre los cuerpos se traduce en un movimiento
acelerado cuando antes estos son dejados caer libremente,
verticalmente, verificándose que la aceleración de la gravedad
( g ) de la caída será menor cuanto más lejos nos encontramos
de la superficie terrestre. Es decir que g disminuye al
aumentar la altura. En la superficie de la tierra la fuerza es el
peso.
→
→
mM
W = m g = G 2 rˆ
r
→
→
GM
Si r = R (radio terrestre) ⇒ g = 2 rˆ ⇒ g R 2 = GMrˆ
R
(5.13)
Consideremos un cuerpo de masa m a una distancia h sobre la
superficie de la tierra, donde r = R + h, la fuerza gravitacional
es:
→
GmM
GMm
F=
rˆ =
2
r
( R + h) 2
La aceleración de la gravedad a dicha altura es g '
g'=
GM
GM
r=
rˆ
2 ˆ
r
( R + h) 2
(5.14)
m
h
mg '
R
Reemplazando (5.13) en (5.14) tenemos:
2
⎛ R ⎞ →
(5.15)
g'= ⎜
⎟ g
⎝R+h⎠
De aquí se observa que g ' disminuye conforme aumenta la
altura. Como el peso verdadero del cuerpo es mg ' , se puede ver
que cuando r → ∞ el peso verdadero se aproxima a cero.
b)
CON LA LATITUD:
El movimiento de rotación de la tierra sobre su eje produce un
cambio en el valor de la aceleración de la gravedad, variando
según el punto de la superficie de la tierra. Así tenemos que
en el polo es mayor la gravedad que en el ecuador debido a
que el radio ecuatorial es mayor que el radio polar. Entonces
la gravedad al nivel del mar es:
g en el polo: g = 9,83 m 2
s
g en el ecuador: g = 9,78 m 2
s
g promedio (a 45º de latitud) g = 9,80 m 2
s
c) CON LA PROFUNDIDAD:
Por debajo de la superficie terrestre g va disminuyendo y en
el centro de la tierra los cuerpos no pesaran
Los experimentos efectuados por Galileo, Newton y los físicos
modernos han determinado aceleraciones iguales en cada tipo
de objeto tiene una masa gravitacional M G que responde a la
atracción y que es distinta a la amasa inercial M I del objeto,
que es lo que determina las respuestas a las fuerzas y si se
eligen las mismas unidades M G y M I pueden hacerse
numéricamente iguales para cada objeto. La comprobación de
este hecho diferencia a la gravedad de las demás fuerzas
fundamentales y constituye el punto de partida para Einsten
en su teoría la gravedad con la estructura del espacio-tiempo.
5.8.- LEYES DE KEPLER
El movimiento de los planetas o cualquier otro cuerpo celeste
ha sido observado por el hombre desde tiempos
inmemorables. En un principio los primeros científicos veían a
la tierra como el centro del universo, este modelo llamado
Geocéntrico fue planteado por el astrónomo polaco Nicolás
Copernico (1473-1543). Sugirió que la tierra y los demás
planetas giraban alrededor del sol, describiendo orbitas
circulares (teoría heliocéntrica formulada en 1543). Copernico
afirmaba que le modelo geocéntrico no satisfacía a la mente.
Proponía un sistema que usaba las siguientes hipótesis:
(a)
La tierra giraba sobre su eje una ves ala día
(b)
La tierra alrededor del sol , junto al resto de
planetas
(c) Las estrellas estaban a una distancia de la tierra
mucho mayor que el sol y los planetas.
Esta teoría fue continuada por el astrónomo Tycho Brahe
(1546-1601) realizando mediciones exactas durante 20 años,
proporcionando la base científica para que esta teoría sea
aceptada en la actualidad. Lo curioso de estas observaciones
es que fueron estudiadas utilizando una brújula y un sextante,
pues para su época aún no habían inventado el telescopio.
Las mediciones astronómicas efectuadas por Brahe, fueron
continuadas por el astrónomo alemán Johannes Kepler (15711630) que se dedico por espacio de 16 años al encontrar un
modelo matemático que describa el movimiento de los
planetas. Después de muchos cálculos encontró la forma de
medir el movimiento de revolución de Marte alrededor del sol,
pero que estos se movían describiendo una órbita elíptica, con
le sol en uno de los focos. Entonces generalizó este análisis
para incluir el movimiento de todos los planetas. Estas leyes
conocidas como de Kepler son:
PRIMERA LEY DE KEPLER.-Todos los planetas se mueven en
orbitas elípticas alrededor del sol, considerándose a dicho
cuerpo (sol) ubicado en unos de sus puntos locales.
SEGUNDA LEY DE KEPLER.-Consideremos un planeta (o
cometa) de masa m moviéndose alrededor del sol en una
orbita elíptica. La fuerza gravitacional que actúa sobre dicho
cuerpo se encuentra dirigida hacia el sol, esta fuerza que esta
dirigido siempre hacía un punto fijo se llama fuerza central. La
teoría que actúa sobre el planeta es:
→
→
→
→ →
τ = r x F = 0 ; r // F
→
(5.16)
→
dL
dt
De las ecuaciones (5.16) y (5.17)
Además τ =
(5.17)
→
dL
= 0 ⇒ L = constante
dt
(5.18)
→
Donde L es el momento angular del planeta, es una
constante de movimiento, pero:
→
→
→
→
→
→
→
L = r x p = r xm v = m( r x v ) = constante
(5.19)
→
L → →
= r xv
m
(5.20)
PLANETA
→
SOL
→
→
d r = v dt
r
dA
→
→
De la figura 5.11, el radio vector r barre un área d A en un
tiempo dt . Esta área es igual a la mitad del área del
paralelogramo formado por los vectores
entonces:
→
r
y
→
→
d r = v dt ,
→
→
1→
1→ →
d A = r x d r = r x r dt
(5.21)
2
2
Reemplazando (5.20) en (5.21)
→
→
⎛→ ⎞
→
dA
L
1⎜ L ⎟
=
= constante
d A = ⎜ dt ⎟ ⇒
2m
2⎜ m ⎟
dt
⎠
⎝
(5.22)
→
Donde L y m son constantes del movimiento. Entonces se
puede concluir que:
“El radio vector dibujado desde el sol hasta cualquier planeta
barre áreas iguales en intervalos de tiempos iguales”
Esta segunda ley de Kepler es una consecuencia del hecho
que la fuerza de la gravedad es una fuerza central, la que
implica la conservación del momento angular. Por lo tanto, se
aplica esta ley a cualquier evento que involucre fuerzas
centrales, que intervengan o no en el reciproco del cuadrado.
TERCERA LEY DE KEPLER: Consideremos un planeta de masa
m que gira alredor del sol de masa M, describiendo una
orbitacircular, como se observa en la fig. 5.12. Para que le
planeta se mantenga en movimiento la fuerza gravitacional
sobre el planeta es igual a la fuerza centrípeta, como:
Mm mv 2
G 2 =
(5.23)
r
r
M
G
= v2
(5.24)
r
→
v
SOL
→
r
PLANETA
Pero la velocidad orbital del planeta es v = 2π r / T donde T es su
periodo, entonces reemplazamos en (5.24)
2
GM ⎛ 2π r ⎞
GM 4π 2 r 2
=⎜
=
⎟ ⇒
r
r
T2
⎝ T ⎠
⎛ 4π 2 ⎞ 3
4π 2 r 3
⎟⎟r
(5.25)
⇒ T 2 = ⎜⎜
GM
⎝ GM ⎠
Como M: masa de la sol = 1,991x1030
2
4π 2
Si Λ =
(5.26)
= 2,97 x10−19 s 3
m
GM
La ecuación 5.25 es la tercera ley de Kepler, que dice:
“El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta es
proporcional al cubo del semeje mayor de la orbita elíptica”
T2 =
Esta ecuación es válida para cualquier planeta, porque no
depende de su masa para calcular el periodo.
Kepler introdujo con estas tres leyes una explicación precisa del
comportamiento del sistema solar. Además inició una nueva
forma de describir los fenómenos naturales, fomentando la
creencia de que la ciencia moderna al formular una teoría esta
debe estar estrictamente de acuerdo con los datos
experimentales.
Posteriormente Newton, al introducir las leyes del movimiento y
la ley de la gravitación universal, proporciono una teoría
general que unificaba las leyes de Kepler y la atracción
gravitatoria de la tierra. Una de las comprobaciones a las que
Newton sometió sus leyes fue la de demostrar que los planetas
describían orbitas elípticas y que estas estaban de acuerdo con
la primera ley de Kepler.
De la segunda ley de Newton y de la ley de la Gravitación
universal aplicadas a un planeta en una orbita circular se
demuestra la tercera ley de Kepler.
Por lo tanto: las tres leyes de Kepler para el movimiento de los
planetas pueden obtenerse a partir de la segunda y tercera ley
de Newton junto con la ley de la Gravitación Universal de
Newton.
5.9.- ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL
Por definición la energía potencial gravitacional, es la energía
asociada con la posición de una partícula. Cuando la partícula
esta cerca de la superficie terrestre la energía potencial asociada
es Ep=mgy, en cambio la fuerza gravitacional entre las dos
1
partículas varía como 2 y que la energía potencial solo depende
r
de la separación de las partículas. Verificamos que la fuerza
gravitacional es conservativa y que este depende de la
→
coordenada polar r , o lo que es mismo F(r) r̂ , donde r̂ es un
vector unitario dirigido desde el origen de coordenadas hasta la
partícula en consideración.
Por lo tanto concluimos que el cambio de la energía potencial
gravitacional asociada con le desplazamiento de una partícula, es
dado como el trabajo negativo hecho por la fuerza gravitacional
al desplazarse.
rf
∆U = U f − U O = − ∫ F (r )dr (5.27)
rO
Como la fuerza esta dada como:
→
GmM
rˆ
r2
Donde r̂ : vector unitario dirigido desde la tierra hasta la
partícula y el signo negativo indica que la fuerza es de atracción.
Entonces:
rf ⎛
GmM ⎞
U f − UO = −∫ ⎜ −
⎟dr
rO
r2 ⎠
⎝
F =−
U f − U O = GmM ∫
rf
rO
r
f
dr
⎡ 1⎤
=
GmM
−
⎢ r⎥
r2
⎣ ⎦ rO
rf
⎡1 1⎤
U f − U O = −GmM ⎢ − ⎥
⎣⎢ rf rO ⎥⎦ rO
(5.28)
Si consideramos que la partícula se encuentra muy lejos de la
tierra, donde la fuerza es cero, es decir para r0 = 0 para U 0 = 0 ,
se obtiene:
GmM
(5.29)
r
Esta expresión se cumple para r > R, donde R es el radio
terrestre. Además vemos que la energía potencial gravitacional
U (r ) = −
varía como
1
y es negativa debido a que la fuerza es de
r
atracción.
Por lo tanto el trabajo neto produce un aumento en la energía
potencial total es la suma de todos los pares de partículas, por
ejemplo si el sistema contiene tres partículas, su energía es:
⎛mm
mm m m ⎞
(5.30)
U total = U12 + U13 + U 23 = −G ⎜⎜ 1 2 + 1 3 + 2 3 ⎟⎟
r13
r23 ⎠
⎝ r12
Donde el valor absoluto de Total representa el trabajo necesario
para separar las partículas a una distancia infinita
5.10.-FUERZA GRAVITACIONAL ENTRE DOS CUERPOS.La ley de gravitación universal dad por la ecuación 5.8, solo es
valido si los cuerpos en estadio se consideran como partículas,
por lo tanto se puede calcular la fuerza de interacción entre una
partícula y un cuerpo que tenga dimensiones finitas.
Entonces la energía potencial asociada a un sistema que consta
de una masa puntual m y un cuerpo de masa M, se obtiene
tomando la energía U como una integral.
dM
(5.31)
U = −Gm ∫
r
Donde r es la distancia la partícula hasta el elemento ∆M , de la
masa del cuerpo.
Una vez que se ha evaluado la energía U, la fuerza se puede
calcular tomando la derivada negativa de esta función escalar,
Ahora si el cuerpo posee una simetría esférica, la fuerza esta
dada como una dependencia de la posición r,
→
dU
(5.32)
F =−
rˆ
dr
→
dM
o también F = −Gm ∫ 2 rˆ
(5.33)
r
Donde r̂ es un vector unitario dirigido desde el elemento dM
hasta la partícula.
FUERZA GRAVITACIONAL ENTRE UNA PARTÍCULA Y UNA
MASA ESFÉRICA.Consideremos la fuerza gravitacional que interacciona entre una
partícula y una masa de simetría esférica. Esta se va a estudiar
como una esfera sólida o un cascarón esférico.
a) CASCARÓN ESFÉRICO.Tenemos una cascarón de masa M, donde se considera que la
masa de dicho cascarón estuviera concentrado en el centro de
la esfera hueca este atrae a una partícula de masa m. Si la
partícula esta dentro del cascarón esférico, la fuerza sobre
está es cero, en cambio si la partícula esta fuera del cascarón
la fuerza es diferente de cero, como:
→
F = 0 ; para r < R
(5.34)
→
GMm
(5.35)
F = − 2 rˆ ; para r > R
r
CAPITULO VI
TRABAJO – ENERGÍA - POTENCIA
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.1
TRABAJO MECÁNICO
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE
ENERGÍA CINÉTICA
ENERGÍA POTENCIAL
LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA MECÁNICA
POTENCIA MECÁNICA
TRABAJO MECÁNICO
Es una magnitud escolar. Por definición el trabajo W realiza
→
por una fuerza constante F que actúa sobre un objeto que
→
se desplaza una distancia d , es:
W = F. d .Cos θ
W = Fd . d
Fd = F Cos θ
La unidad SI del trabajo es el Newton por metro (N.m) a lo
que asignaremos el nombre de Joule (J).
Además
1 J = 107 ergios = 0.102 Kgm
1 Kilogrametro = 1 Kgm = 9.8 J
CASOS PARTICULARES
a. Si las fuerzas están en la misma dirección y sentido del
movimiento, realiza un trabajo positivo. En este caso θ
=0
W=F.d
b. Si la fuerza es perpendicular al movimiento, no realizan
trabajo, pero θ = 90°
W=0
c. Las fuerzas que tienen igual dirección, pero sentido
opuesto al movimiento, realizan trabajo negativo. En
este caso θ = 180
W = (F Cos 180°) d = - F . d
6.2
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE
El
trabajo
realizado
durante
un
desplazamiento
→
→
→
infinitesimal d r , esa dado por d w = F d r , el trabajo total W
se obtiene integrando a los largo de la trayectoria desde el
punto inicial i al punto final f.
f →
→
W = ∫ F .d r
i
Si la fuerza puede depender de las coordenadas (x,y,z),
entonces:
f
W = ∫ (F x d x + F y d y + F z d z )
i
Si consideramos el trabajo realizado por la fuerza
gravitatoria, s tienen que Fy = -m g
f
W = ∫ ( − mg )d y = − mg ( y f − y i )
i
En otras palabras, el trabajo realizando por la fuerza
gravitatoria es indispensable de la trayectoria que une i
con f.
6.3
ENERGÍA CINÉTICA (k)
De la segunda ley de newton, se ve que a medida que un
objeto se mueve de Xi a Xf, su velocidad cambia de Vi a Vf
de ello se tiene:
a x = ∑ Fx / m
Vf 2 − Vi 2 = 2ax( Xf − Xi ) ⇒ a x =
Vf 2 − Vi 2
2( Xf − Xi )
Comparando:
∑ Fx = Vf 2 − Vi 2 ⇒ ( Fx)( Xf − Xi) = 1 (m)(Vf 2 − Vi 2 )
∑
m
2( xf − xi)
2
1
1
W total = (∑ Fx)( Xf − Xi ) = mVf 2 − mVi 2
2
2
Se le conoce como el teorema de la energía cinética.
Estos definimos 1/2 mV2, como la energía cinética K que
posee un objeto de masa M cuando se desplaza con una
→
velocidad v .
Las unidades para la energía cinética son las mismas que
para el trabajo.
Además;
1eV( electrón Voltio)= 1,6021x 10-19
1MeV= 106 eV
Es una magnitud física escalar que sirve para expresar la
medida cuantitativa movimientos de los cuerpos o
partículas en virtud a su velocidad, con respecto a un
sistema de referencia.
6.4
ENERGÍA POTENCIAL (U)
La energía potencial es una función de las coordenadas tal
que la diferencia entre sus posiciones iniciales y final es
igual al trabajo efectuado sobre la partícula para moverla
de su posición inicial a la final.
A→
→A
→
→
→ →
→
W = ∫ F d r = F ∫ d r = F(r b − r a )
B
B
→
Si
→
→∧
F = m g = −m g j
y
m
→
rA
→
∇r
→
dr
m
→
rB
x
→
∧
∧
→
∧
∧
r A = X A i + YA j
r B = X B i + YB j
⎡
∧
∧
∧ ⎤
W = (− mgj ) • ⎢( X B i + YB j ) − ( X A i + YA j )⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
W = −mg (YB − YA )
W = mgYA − mgYB
donde mg = U
Es
la
energía
gravitatoria
Además
potencial
→
→
U = − F• r
∂U → ∂U → ∂U →
i−
j−
k
∂x
∂y
∂z
∂U
∂U
∂U
Fx = −
Fy = −
Fz = −
∂x
∂y
∂z
y la ley de energía potencial elástica esta expresada como:
Ep= 1 / 2 Kx2
K: Constante de elasticidad del
resorte
X: desplazamiento del resorte
F = − ∇U = −
6.5
LEY DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
En cualquier proceso, la energía total ni aumenta ni
disminuye la energía se puede transformar de una forma
otra y transferir de un cuerpo a otro, permaneciendo la
cantidad total constante.
Em = K + U + Ep
Pero si ala única fuerza que realice trabajo sobre un cuerpo
o sistema de cuerpos, es su peso, entonces la energía
mecánica del sistema se conserva en el tiempo.
K+U=0
Es decir:
1
1
mgy1 + mV 12 = mgy 2 + mV 2 2
2
2
6.6
TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA MECÁNICA
Si el trabajo realizado por fuerzas diferentes al peso y la
fuerza elástica sobre un cuerpo o sistema, es igual a la
variación de la energía mecánica.
W = ∆ Em Æ W = (Em)final – (Em)inicial
POTENCIA MECÁNICA (P)
Es una magnitud física escalar que no expresa la medida
de la rapidez con que se ha realizado el trabajo.
6.7
→
→ →
dw
dr
P=
=F
⇒ P =F v
dt
dt
La unidad de la potencia en el sistema S. I. es Watt (vatio)
que es igual a 1J/s
1 Watt (vatio)
Æ
1 caballo fuerza (H.P.) =
1 Watt = 1J/s
745 Watts
1 caballo vapor (C.V.) =
735 Watts
Trabajo realizado = potencia x tiempo. Por lo tanto el
trabajo realizado durante 1 hora, si la potencia es de un
kilovatio, será 1 kilovatio-hora (kw.h)
Ejemplo 6-1
Un cuerpo de 8 kg cae libremente desde la parte superior
de un edificio desde una altura de 10 m. Calculara la
energía cinética de dicho cuerpo cuando llega al suelo y
demostrar que es igual a la energía potencial del mismo
antes de caer.
Solución:
V0 = 0
V2 = V0 + 2 g h Æ V2 = 2 (9,8 m/s2) (10 m) Æ v = 14
m/s
K =1/2 m v2 = 1/2 (8kg)(196 m2/s2) = 784 J
U = mgh = (8 kg) (9,8 m2/s2) (10m) = 784 J
Ejemplo 6-2
Calcular la fuerza que ejerce los gases de la polvera sobre
un proyectil de 6 kg que tiene una velocidad de 800 m/s al
salir del tubo de un cañón de 5 m de longitud.
Solución:
m = 6 Kg
v = 800 m/s
F . L = ½ m v2 Æ F = m v2/2L
L = 5m
F=
(6kg )(800m / s ) 2
= 384 000 N
2(5m )
CAPITULO VII
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - COLISIONES
7.1
7.2
7.3
7.4
CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
IMPULSO.
COLISIONES O CHOQUES.
7.4.1 CHOQUES SEGÚN SU LÍNEA DE ACCIÓN.
7.4.1.1
CHOQUE FRONTAL.
7.4.1.2
CHOQUE OBLICUO.
7.4.1.3
COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN.
7.4.1.4
LEY DE REFLEXIÓN EN COLISIONES.
7.4.2 CHOQUE SEGÚN LA DISIPACIÓN DE ENERGÍA.
7.4.2.1
CHOQUE ELÁSTICO.
7.4.2.2
CHOQUE INELÁSTICO.
7.4.2.3
CHOQUE PERFECTAMENTE INELÁSTICOS.
CAPITULO VII
7.1
→
Cantidad de movimiento ( p )
Es una magnitud vectorial cuya dirección y sentido coincide
con el de la velocidad y se define como la masa de la
partícula por su velocidad, como:
→
→
p=mv
(7-1)
De la segunda ley de Newton;
→
→
→
→
→
→
d ( p)
d v d (m v )
=
=
=
⇒
=
F
F
m
a
m
∑
∑
dt
dt
dt
(7-2)
Las unidades de la cantidad de movimiento o momentum
lineal en el sistema S.I. es: N.S
7.2
Conservación de la cantidad de movimiento
→
Si la fuerza neta F sobre el sistema es cero, entonces
→
→
dp
= 0 y la cantidad de movimiento total p , no cambia
dt
en el tiempo. Por lo tanto: la cantidad de movimiento de la
partícula permanece constante tanto en magnitud como en
dirección, si la fuerza resultante que actúa sobre una
partícula es cero:
→
→
∑ F = 0 ⇒ m v = Constante
(7-3)
Así por ejemplo en el choque de dos cuerpos de masas m1
y m2
Cantidad de mov. antes del choque = cantidad de mov.
después del choque
m1u1 + m2u 2 = m1v1 + m2 v2
(7-4)
Generalizando:
Para los sistemas de partículas el momentum lineal total
esta dado como:
→
→
∑ p = ∑m v
i
i
i
i
→
=P
i
(7-5)
→
∑m v
i
i
→
→
→
= M vc ⇒ P = M vc
i
(7-6)
→
donde M es la masa total del sistema y v c la velocidad del
centro de masa
→
→
dP
= ∑ F N ; si
dt
→
→
∑F
N
=0
→
P = M v c = constante
(7-7)
7.3
→
Impulso ( I )
Conocido también como impulsión. Es una magnitud física
vectorial, que nos expresa la acción casi instantánea que
realiza una fuerza externa sobre un cuerpo. Por definición
es el producto de la fuerza resultante por el intervalo de
tiempo.
De la ecuación (7-2)
→
→
d p = F dt
(7-8)
Integrando esta ecuación tenemos
→
tf
→
→
p f − pi = ∫ F dt
ti
Entonces:
→
tf
→
→
∆ p = ∫ F dt = I
ti
(7-9)
El impulso de la fuerza resultante que actúa sobre un
objeto esta relacionado con el cambio en la cantidad de
movimiento. La unidad S.I. del impulso tiene las mismas
dimensiones que la cantidad de movimiento: N.S
7.4
Colisiones o choques
Son aquellas interacciones mutuas de corta duración que
se producen cada vez que dos cuerpos con movimiento
relativo interactúan por contacto, generándose entre ellos
fuerzas impulsivas variables y muy intensas, las mismas
que originan deformaciones y aceleraciones muy grandes
en la velocidad de los cuerpos. Durante el choque las
fuerzas internas son muy grandes comparadas con las
externas, por lo tanto la cantidad de movimiento total de
los cuerpos es la misma antes y después de la colisión.
7.4.1
Choques según su línea de acción
7.4.1.1 Choque Frontal.- Llamada también colisión
directa o en una sola dimensión y son aquellas
en donde los cuerpos se mueven sobre una
misma línea de acción antes y después del
choque.
La cantidad de movimiento nos da:
m1v1 + m2 v2 = m1v'1 + m2 v'2
(7-10)
y la conservación de la energía cinética, es:
1
1
1
1
2
2
(7m1v1 + m2 v2 = m1v1 '2 + m2 v2 '2
2
2
2
2
11)
Las componentes de las velocidades finales
pueden obtenerse si se conocen las masas y las
componentes de las velocidades iniciales.
7.4.1.2
Choque oblicuo.- Se le conoce como
colisiones oblicuas o en dos dimensiones y se
caracteriza por que los cuerpos se mueven en
direcciones o rectas distintas antes y después
del choque. Aunque sepamos que la colisión
es elástica nos proporciona únicamente tres
ecuaciones, una para a cada una de las
componentes de la cantidad de movimiento y
otra para la conservación
de la energía
cinética. Sin embargo cada velocidad final tras
las colisiones tiene dos componentes y por
tanto hay cuatro incógnitas.
La conservación de la cantidad de movimiento,
para la dirección x:
m1v1 = m1v'1 cos θ1 + m2 v'2 cos θ 2
(7-12)
y para la dirección y:
0 = m1v'1 senθ1 − m2 v '2 senθ 2
(7-13)
Si la colisión es elástica, la conservación de la
energía nos da:
1
1
1
2
m1v1 = m1v1 '2 + m2 v2 '2
2
2
2
(7-14)
7.4.1.3
Coeficiente de restitución δ
Es un numero adimensional que por definición
relaciona la velocidad relativa de alejamiento
después del choque y la velocidad relativa de
acercamiento antes del choque.
δ=
δ=
Velocidad alejamiento
Velocidad Acercamiento
→
→
→
→
v'2 − v'1
v1 − v2
(7-15)
;
0 ≤ δ ≤1
7.4.1.4
Ley de reflexión en colisiones
Para un cuerpo de masa “m” que interacciona
frontalmente con una superficie se suple:
∧
tan . r =
∧
tan . i − µ (1 + δ )
(7-16)
donde
δ
µ :
∧
r :
∧
i :
Coeficiente de rozamiento
Angulo de incidencia
Angulo de incidencia
7.4.2
Choques según la disipación de energía
El valor de δ esta íntimamente relacionado con la
pérdida de energía cinética, según este el valor de
δ pueden clasificar en:
7.4.2.1 Choque elástico δ = 1
Son aquellos donde los cuerpos luego de la
colisión conservan la misma energía cinética,
no
experimentando
ninguna
deformación
permanente, tampoco liberan energía (calor).
K(antes) = K(después)
(7-17)
7.4.2.2
Choque inelástico 0 < δ < 1
En estos choques los cuerpos presentan
deformaciones
luego
de
su
separación
liberándose energía en forma de calor, lo que
conduce a una disminución de la energía
cinética total de los cuerpos.
K(antes) > K(después)
7.4.2.3 Choque perfectamente inelástico δ = 0
Se le llama también choque plástico. Se
caracterizan por que los cuerpos durante la
colisión se liberan en forma de calo
deformándose permanentemente los cuerpos,
avanzando junto los cuerpos del choque con la
misma velocidad. La energía cinética total de
los cuerpos es menor después del choque.
CAPITULO VIII
MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ANGULAR
CINEMÁTICA DE LA ROTACIÓN
ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL
8.3.1 MOMENTO DE INERCIA
8.3.2 TEOREMA DEL EJE PARALELO
DINÁMICA ROTACIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR
CAPITULO VIII
8.1
Velocidad y aceleración angular
El modulo de la velocidad angular es el valor absoluto de la
rapidez con que cambia la coordenada angular.
dθ
ω=
dt
(8-1)
→
La velocidad angular ω es un vector, cuya dirección viene
dado por el sentido de rotación según la regla de la mano
derecha cuando el objeto esta en rotación alrededor del eje
z.
→
∧
ω = ωz k
(8-2)
dθ
ωz =
dt
(8-3)
la aceleración angular es un vector con dirección a lo largo
del eje rotación, es decir:
→
∧
α = αz k
(8-4)
dω
d 2θ
αz = z = 2
dt
dt
(8-5)
Donde α z es positiva cuando ω z esta aumentando y
negativa cuando ω z esta disminuyendo. Las unidades S.I.
es ω es rad / s 2 .
8.2
Cinemática de la rotación
De la ecuación (8-3), integrando obtenemos:
θ (t ) = θ o + ω z .t
(8-6)
Si a la ecuación (8-5) consideramos que la aceleración
angular es constante. Integrando tenemos
θ (t ) = θ o + ω z = ωoz + α z .t
(8-7)
dθ
= ω z = ωoz + α z .t
dt
Integrando:
1
θ (t ) = θ o + ω zo .t + α z .t 2
2
(8-8)
Eliminando el tiempo de las ecuaciones (8-7) y (8-8), se
tienen:
ω 2 Z = ω 2 ZO + 2α Z (θ − θ O )
(8-9)
8.3
Energía Cinética rotacional
Cuando un cuerpo gira alrededor de un punto de
referencia, existe una energía cinética asociada con su
rotación.
La energía cinética de todas las partículas que los
componen, es:
1
2
K = ∑ mi vi
i 2
1 ⎛
2⎞
⇒ K = ω 2 ⎜ ∑ mi Ri ⎟
2 ⎝ i
⎠
si vi = Riω
(8-10)
1
K = ω2I
2
(8-11)
Donde
2
I = ∑ mi Ri
I es el momento de inercia.
i
(812)
8.3.1 Momento de inercia (I)
Por definición el momento de inercia puede
interpretarse como la suma de los productos de la
masa de cada partícula de un cuerpo rígido por el
cuadrado de su distancia al eje de giro.
Para obtener un momento de inercia de un objeto
continuo, como una polea o una rueda, se debe
considerar; la masa ∆mi = ρi ∆Vi , donde ρ i es la
densidad de masa.
I = ∑ ∆mi Ri = ∑ ρi ∆Vi Ri
2
i
2
i
I = lim
∆Vi →0
∑ ρ ∆V R
i
i
i
i
2
= ∫ ρR 2 dV
V
(8-13)
Por lo tanto el momento de inercia de un objeto
continuo es:
I = ρ ∫ R 2 dV
V
(8-14)
En general podemos decir que el momento de inercia
varía de una configuración a otra, debido a la
simetría, forma y ubicación de su centro de masa.
8.3.2 Teorema del eje paralelo
Este teorema Proporciona una relación entre el
momento de inercia respecto a un eje que pasa por
un punto arbitrario P y el momento de inercia
respecto a otro eje paralelo que pasa por el centrote
masa del objeto Icm.
I p = I cm + Md 2
(8-15)
2
2
I cm = ∑ mi xi + yi
(
)
i
(8-16)
8.4
Dinámica rotacional de un cuerpo rígido
El momento angular L de una partícula respecto al origen
“O” esta definido por el producto vectorial de su vector
instantáneo de su posición y su momento lineal p.
→
→
→
L = r× p
(8-17)
La mayoría de las partículas de la masa mi es mi vi ri ,
respecto del origen O.
⎛
2⎞
Lz = ⎜ ∑ mi ri ⎟.ω
⎝ i
⎠
Lz = Iω
(8-18)
8.5
Conservación del momento angular
Habíamos encontrado que el momento lineal total de un
sistema de partículas permanece constante cuando la
fuerza resultante que actúa sobre el sistema es cero. Por lo
tanto el momento angular total de un sistema es constante
si el momento de una fuerza externa resultante que actúa
sobre el sistema es cero.
→
→
dL
∑ τ ext = dt = 0
(8-23)
→
⇒ L = cons tan te
(8-24)
CAPITULO IX
MOVIMIENTO OSCILATORIO - ONDULATORIO
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
MOVIMIENTO OSCILATORIO.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.).
9.2.1 AMPLITUD.
9.2.2 FRECUENCIA ANGULAR.
9.2.3 PERIODO.
9.2.4 FRECUENCIA.
9.2.5 CONSTANTE DE FASE.
9.2.6 ELONGACIÓN.
ECUACIONES DEL M.A.S.
PÉNDULO SIMPLE.
PÉNDULO FÍSICO.
OSCILACIONES AMORTIGUADAS.
OSCILACIONES ARMÓNICO FORZADO.
CAPITULO IX
9.1
Movimiento Oscilatorio
Un movimiento será periódico u oscilatorio, si la
fuerza que actúa sobre el cuerpo produce un
movimiento hacia uno y otro lado de su posición de
equilibrio. Por ejemplo las oscilaciones de una masa
sujeta a un resorte, el movimiento de un péndulo, los
latidos del corazón de un animal, las vibraciones de
los
átomos
en
los
sólidos,
la
ondas
electromagnéticas, las ondas de radio, del radar, etc.
Dos tipos de movimiento que están estrechamente
relacionados con el movimiento oscilatorio son el
movimiento circular (o parcialmente circular) y el
movimiento ondulatorio. En el caso de un
movimiento armónico, un cuerpo oscila entre las
posiciones espaciales durante un periodo indefinido,
sin pérdida
rozamiento).
de
energía
mecánica
(no
hay
9.2
Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
Se dice que una partícula en movimiento a lo largo
del eje X tiene un M.A.S. cuando su desplazamiento
respecto al equilibrio varía con el tiempo según la
relación:
(9-1)
x = A cos ( wt + ϕ o )
donde A, w y ϕ o son constantes del movimiento.
Si X = A cos θ
pero de la gráfica
θ = wt + ϕ o
(9-2)
(9-3)
⇒ X = A cos ( wt + ϕ o )
ϕo : constante de fase
9.2.1 Amplitud (A)
Desplazamiento máximo de la
respecto a la posición de equilibrio.
9.2.2 Frecuencia Angular (w)
partícula,
2π
= 2π f
T
(9-4)
w=
9.2.3 Periodo (T)
Es el tiempo que tarda una partícula en
→
regresar a la misma posición r con la misma
→
velocidad v
m
2π
T = = 2π
w
k
(9-5)
k: constante del resorte
9.2.4 Frecuencia (f)
De una oscilación, es la cantidad de ciclos
completos por unidad de tiempo.
1
w
f= =
T 2π
(9-6)
f (hertz) = ciclo/s
9.2.5 Constante de fase ( ϕo )
Da a conocer cual fue el desplazamiento en el
instante t = 0.
9.2.6 Elongación (X)
En un instante dado, es la distancia a la
posición de equilibrio en dicho instante.
9.3
Ecuaciones del M.A.S.
Las ecuaciones armónicas se pueden analizar de dos
puntos de vista:
En el primer caso de acuerdo a la ley que los describe
y que obedecen a una ley representada por un
función cosenoidal y en otro caso por las causas que
la produce, por la acción de un fuerza restitutora, es
decir, una fuerza dirigida hacia la posición de
equilibrio y que aumenta a medida que el cuerpo se
aleja de su posición de equilibrio.
Dicho de otra manera, si la primera definición utiliza
una descripción de las oscilaciones en las
coordenadas
espacio-tiempo
(cinemática),
segunda describe la causa (dinámica).
la
Para el caso de un resorte, el cual la fuerza ejercida
por el resorte estirado o comprimido esta dado por:
→
→
F ( x) = − k x
(9-7)
de la 2º ley de Newton
F = − kx = ma
(9-8)
dv
dv
m
= mv
= − kx
dt
dx
m v dv = − kx dx
(9-9)
1
1
1
1
integrando: mv 2 + k x 2 = mvo2 + k xo2 = const (C )
2
2
2
2
1
1
∴ mv 2 + k x 2 = C
2
2
(9-10)
donde el primer término es la k del cuerpo y el
segundo término es su energía potencia elástica Ue ,
por lo tanto la energía total E, es:
E = k +Ue
(9-11)
entonces:
1
1
E = mv 2 + k x 2
2
2
(9-12)
de la fig. (2) vemos que cuando v = 0 ⇒ Xmax = A
A = X mzx =
2E
k
(9-13)
además: v =
2E − k x2
m
(9-14)
Desarrollando la ecuación (9-8) se tiene:
X = A cos ( wt + ϕ o )
(9-15)
m
k
T = 2π
(9-16)
m
w=
k
(9-17)
Diferenciando la ecuación (9-15), tenemos:
Velocidad:
v (t ) = − w A sent ( wt + ϕ o )
(9-18)
Aceleración:
a(t ) = − w2 A cos( wt + ϕ o ) = − w2 x
(9-19)
los valores máximos:
vmax = w A
(9-20)
amax = w2 A
(9-21)
Además:
Ángulo de fase
( ϕo )
⎛
vo ⎞
⎟⎟
⎝ w xo ⎠
ϕo = tan −1 ⎜⎜ −
(9-22)
Amplitud (A)
A = xo2 +
vo2
w2
(9-23)
1
Energía total (E) E = k A2
2
(9-24)
v = ± w A2 − x 2
Velocidad (v)
(9-25)
9.4
Péndulo Simple
Consiste en una masa puntual, suspendida por una
cuerda ligera e inextensible. Cuando se separa hacia
un lado de su posición de equilibro y se le suelta el
péndulo oscila en un plano vertical por la influencia
de la gravedad. El movimiento es periódico y
oscilatorio.
El desplazamiento a lo largo del arco “ x ” esta dado
como:
x = Lθ ⇒ θ = x
L
(9-26)
La fuerza restauradora, es tangente al arco:
F = − m g Senθ
(9-27)
para ángulos pequeños Sen θ ≈ θ
(9-28)
d 2x
x
F = m 2 = − mgθ = − mg
dt
L
(9-29)
d 2x ⎛ g ⎞
+ ⎜ ⎟x = 0
dt 2 ⎝ L ⎠
(9-30)
Su solución es:
x = A cos ( wt + ϕ o )
(9-31)
g 2π
L
=
⇒ T = 2π
L T
g
(9-32)
donde T es el periodo del péndulo.
w=
9.5
Péndulo Físico
Llamada también péndulo compuesto. Consta de un
cuerpo rígido suspendido de un eje fijo que no pasa
por su centro de masa.
De la figura (4) sabemos que:
τ = − (mg ) (d senθ ) = I α
(9-33)
d 2θ
− m g d sen θ = I 2
dt
(9-34)
para ángulos pequeños Sen θ ≈ θ
d 2θ ⎛ mgd ⎞
+⎜
⎟θ = 0
dt 2 ⎝ I ⎠
(9-35)
su solución a la ecuación diferencia es:
θ = θ o cos ( wt + ϕ o )
(9-36)
Donde w =
mgd 2π
=
⇒ T = 2π
I
T
I
mgd
(9-37)
Expresándose el periodo del péndulo compuesto en
función del momento de Inercia.
9.6
Oscilaciones Amortiguadas
Un movimiento oscilatorio del tipo amortiguado,
indica que la amplitud de la partícula decrece
gradualmente hasta que se detiene, para ello
debemos suponer que aparte de la fuerza elástica –
kx, también actúa otra fuerza opuesta a la velocidad
debido a la viscosidad del medio en el cual tiene
lugar el movimiento, esta fuerza es –bv, donde b es
una constante y v es la velocidad. La ecuación del
movimiento es:
F = − kx − bv
(9-38)
d 2x
dx
m 2 = − kx − b
dt
dt
2
d x
dx
+ 2γ
+ wo2 x = 0
2
dt
dt
(9-39)
b
k
Si 2γ =
y wo2 =
m
m
(9-40)
Su solución es de la forma:
x = A e r1t + B e r2t
(9-41)
r1 = − γ + γ 2 − wo2
(9-42)
r2 = − γ − γ 2 − wo2
9.7
(9-43)
Oscilador Armónico Forzado
Es aquel oscilador cuyas vibraciones es el resultado
de la aplicación de una fuerza externa a una partícula
sometida a una fuerza elástica.
En general el movimiento mecánico se describe al
especificar la posición de todos los puntos del medio
perturbado como una función del tiempo. Todas las
ondas transportan energía, dependiendo la cantidad
de energía del mecanismo y del medio por el cual se
transporta.
Sea F la fuerza aplicada (oscilante) y w la frecuencia
angular
F = Fo cos ( wt + ϕ )
(9-44)
Fuerza elástica: Fe = − kx
(9-45)
Fuerza de amortiguamiento: F = − bv
(9-46)
F = − kx − bv + Fo cos ( wt + ϕ )
d 2x
dx
F
+ 2γ
+ wo2 x = o cos ( wt + ϕ )
2
dt
dt
m
(9-47)
La solución general de la ecuación es:
x = xh (hom ogénea) + x p ( particular )
(9-
48)
xh: la solución a la ecuación diferencial homogénea,
se logra igualando la primera parte de la ecuación a
cero:
x h = A e − γ t cos ( w 1 t + θ )
(9-49)
xp: la solución a la parte particular es de la forma:
Fo
m
xp =
⋅ cos ( wt + ϕ s )
2
2 2
( wo − w ) + 4 γ 2 w2
(9-50)
Entonces:
x = A e −γ t cos ( w1t + θ ) +
Fo
1
⋅
⋅ cos ( wt + ϕ s )
2
2 2
m ( wo − w ) + 4 γ 2 w2
(9-51)
donde vemos que la primera parte es la solución
transitoria y se extingue exponencialmente con el
tiempo y dependiendo de las condiciones iniciales del
problema, en cambio la segunda parte es el estado
estacionario que no depende de las condiciones
iniciales.
CAPITULO X
MECÁNICA DE FLUIDOS
10.1 Fluidos.
10.2 Clasificación de la mecánica de fluidos.
10.2.1 Hidromecánica
1. Hidrostática
2. Hidrodinámica
10.2.2 Aero mecánica
1. Aerostática
2. Aerodinámica
10.3 Hidrostática
10.4 Conceptos físicos
10.4.1
Densidad
10.4.2
Densidad relativa
10.4.3
Peso específico
10.4.4
Presión
10.4.4.1 Visión molecular y de la presión
10.4.4.2 Principio de Pascal
10.5 Variación de la Presión en un fluido en reposo
10.6 Presión atmosférica
10.7 Fluidos compresibles
10.8 Principios de Arquímedes
10.9 Presión manométrica
10.9.1
Manómetro
10.10
Hidrodinámica
10.10.1 Líneas de flujo
10.10.2 Flujo de fluidos
a. Flujo laminar
b. Flujo turbulento
10.10.3 Líneas de corriente
10.11
Ecuación de continuidad
10.12
Ecuación de Bernoulli
10.13
Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli
10.13.1
Presión a una profundidad “h”
10.13.2
Teorema de Torricelli
10.13.3
Tubo de Venturi
10.13.4
Otras aplicaciones de la ecuación de Bernoulli
a. Flujo de aire en una ala
b. Potencia de un generador de viento
10.14
Viscosidad.
MECÁNICA DE FLUIDOS
La materia se puede clasificar en sólidos y fluidos y esta última
en líquidos y gases, un sólido es una sustancia rígida que
conserva su forma frente a fuerzas externas y distorsión,
mientras que un fluido es una sustancia no rígida que no
conserva su forma frente a tales fuerzas. En cambio, un fluido
fluye siempre que actúan sobre las fuerzas de distorsión. Otra
característica entre los sólidos y los fluidos es que los primeros
se resisten a los agentes externos a cambiar su forma, en
cambio los fluidos prácticamente no se resisten a dichos agentes.
Las fuerzas sobre los fluidos se dividen en internas y externas,
las primeras son fuerzas relacionadas con la presión, que es una
consecuencia natural del movimiento de los fluidos, en cambio
dentro de las fuerzas internas tenemos la viscosidad, que
aparece al ponerse en contacto las diferentes capas del fluido.
10.1.
Fluido.
Es toda sustancia que se deforma continuamente baja la
acción de una fuerza tangencial describiendo y
formulando las leyes que gobiernan el comportamiento
de los líquidos y gases. Un fluido no tiene un volumen
definido sino que adopta la forma del recipiente que lo
contiene, puede pasar de un recipiente a otro.
Tanto los líquidos como los gases tienen diferentes
propiedades, no tienen forma propia y estos fluyen al
aplicarles una fuerza externa. La diferencia está en las
fuerzas de cohesión – repulsión, para el caso de los
líquidos hay un equilibrio entre ambas fuerzas, pero en
los gases predomina la repulsión sobre la cohesión, por
lo tanto:
Los líquidos son prácticamente incompresibles, y
Los gases pueden ser comprimidos, reduciendo su
volumen.
10.2.
Clasificación de la mecánica de fluidos.
Se divide en:
10.2.1 Hidromecánica.
Estudia los líquidos y su comportamiento que presenta
debido al recipiente que lo contiene, se divide en:
1.
Hidrostática. Estudia a los líquidos en reposo
relativo
2.
Hidrodinámica. Estudia a los líquidos en
movimiento, dependiendo de su viscosidad.
10.2.2 Aeromecánica.
Estudia las propiedades mecánica de los gases y se
divide en:
1.
2.
Aerostática. Estudia los fluidos gaseosos en
reposo.
Aerodinámica. Estudia los gases en movimiento y
sus propiedades dinámicas.
10.3.
Hidrostática.
Parte de la estática de fluidos que estudia a los líquidos
en equilibrio. Analiza el comportamiento y los efectos
físicos que origina el agua en estado de reposo.
10.4.
Conceptos físicos.
10.4.1 Densidad (ρ). La densidad es una propiedad
característica de una sustancia, aún cuando la masa y el
volumen son directamente proporcionales, la relación de
proporcionalidad es diferente para cada sustancia. Esto
explica porque dos cuerpos de sustancias diferentes que
ocupan el mismo volumen no tienen la misma masa o
viceversa. Por lo tanto:. La densidad es aquella magnitud
escalar, molecularmente homogénea que nos expresa la
cantidad de masa (m) que tiene un cuerpo por unidad de
volumen (V).
m
(10.1)
ρ=
V
Su unidad en el SI es el [kg/m3]
La densidad es la propiedad característica de cada
sustancia y estos varían de acuerdo a ciertas condiciones
de medida como la temperatura, la presión, etc.
Asi tenemos: La densidad del agua a 4 ºC es:
ρ agua = 1 g / cm 3 = 10 3 kg / m 3
La densidad del mercurio a 0 ºC es:
ρ Hg = 13,6 g / cm 3 = 13,6 × 10 3 kg / m 3
Podemos decir que el usuario es 13,6 veces mas denso
que el agua.
Las densidades de algunos sólidos, líquidos y gases como
vienen dado en la tabla 10.1
Tabla 10.1. Densidades de algunas sustancias comunes
a 1 atm (760 mmHg)
Sustancia
SÓLIDOS
Aluminio
Oro
Cobre
Vidrio
Granito
Hierro
Plomo
Plata
Acero
Agua (hielo)
Madera de Arce
LIQUIDOS
Aire (liquido)
Sangre
Etanol
Glicerina
Hidrógeno (liq.)
Mercurio
Oxigeno (liq.)
Cloroformo
Agua pura
Agua de mar
GASES
Aire
Argón
CO2
Helio
Hidrógeno
Nitrógeno
Oxigeno
Agua (vapor)
Sol (centro)
Espacio
Interestelar
Temperatura
(ºC)
Densidad
g/cm3
kg/m3
20
0
20
20
20
20
20
0
20
0
20
2,7
19,3
8,5
2,6
2,7
7,7
11,3
10,5
7,7
0,917
0,7
2700
1930
8500
2600
2700
7700
11300
10500
7700
917
700
-183
37
20
0
-253
0
-183
20
4
15
1,14
1,05
0,791
1,26
0,07
13,6
1,14
1,483
1,0
1,025
1140
1050
791
1260
70
13600
1140
1483
1000
1025
0
10
20
30
0
0
0
0
0
0
100
0,00129
0,00125
0,00120
1,00116
0,00178
0,00198
0,000178
0,0000899
0,00125
0,00143
0,000596
1,29
1,25
1,20
1,16
1,78
1,98
0,178
0,0899
1,25
1,43
0,596
∼1,6x105
∼10-27
Para una sustancia homogénea, con una masa y
volumen infinitesimal, se puede obtener su masa en
forma diferencial como:
(10.2)
dm = ρ dV
10.4.2 Densidad Relativa (ρR)
La Densidad Relativa ρR de una sustancia, es el cociente
entre la densidad de un cuerpo ρ con respecto a otra
tomada como referencia normalmente en la densidad del
agua, es decir:
ρR =
ρ
ρ agua
(10.3)
Como es la cantidad adimensional, para sustancias
líquidas se toma como referencia el agua y para los
gases con frecuencia es el aire, en condiciones normales.
10.4.3 Peso específico.
Se denomina así a la magnitud física escalar que nos
informa de la fuerza con que la tierra atrae a un volumen
unidad, para ello se introduljo el concepto de específico γ
el cual se define como el peso (w) de la sustancia por
unidad de volumen (V), es decir.
w
γ =
(10.4)
V
Si se reemplaza w = m.g.
w
m
γ = = ⎛⎜ ⎞⎟ × g = ρ g
V ⎝V ⎠
(10.5)
Donde la unidad de medida es el S.I. es (N/m3)
10.4.4 Presión (P)
El concepto de presión tiene especial utilidad en los
fluidos. De tal forma que al aplicar una fuerza sobre un
cuerpo, los efectos que provoca no solo dependen de su
intensidad, sino también de cómo está distribuida sobre
dicho cuerpo.
La presión de un fluido viene a ser una magnitud física
vectorial que nos indica como la intensidad de la fuerza
aplicada sobre un fluido se distribuye
perpendicularmente sobre una superficie dada.
P=
F
A
(10.6)
La unidad de presión en el SI. Es el Pascal, se representa
por [Pa].
1 Pa ≡ 1 N / m 2
Otras unidades que se usan a veces son las dinas/cm2;
LbF/pulg2 y kgF/cm2, esto es:
1 kgF 9,8 N
=
= 9,8 × 10 4 N / m 2
2
2
cm
cm
Existen otras unidades de presión que aún se siguen
usando en la actualidad junto con el Pascal, entre ellas
se encuentra la atmósfera y el bar.
1 atm(atmosfera) = 1,013250 × 10 5 Pa = 760 mmHg
1 bar = 10 5 Pa = 1,02 KgF / cm 2
Es un hecho experimental que un fluido ejerce una
presión en todas direcciones. Esto lo saben muy bien los
nadadores y buceadores que sienten la presión del agua
en todas las partes de su organismo. En determinado
punto en un fluido en reposo, la presión es isotrópica, es
la misma en todas las direcciones, si no fuera así, el
fluido estaría en movimiento.
Se sabe también que cuanto mayor es la fuerza que
actúa sobre una superficie dada, mayor será la presión;
de igual manera si el área es menor para una fuerza dad,
mayor será la presión obtenida.
Si hubiera una fuerza que no es normal a la superficie
sobre la cual actúa, entonces se considera la
componente perpendicular a la sección transversal y la
presión es:
F cos ϕ
(10.7)
P=
A
La componente F sen ϕ es una fuerza paralela a la
superficie, tiende a producir una translación o
movimiento entre las distintas cepas del fluido.
Como la presión varía en un fluido en equilibrio, de
densidad uniforme con la profundidad; para un líquido a
una profundidad h, esta se debe al peso de la columna
del liquido sobre el punto. Así, la fuerza que actúa sobre
el área es F = mg = ρAhg, donde Ah es el volumen de la
columna, ρ la densidad del líquido, que se supone
constante y g la aceleración de la gravedad. Entonces la
presión P es:
F ρAhg
(10.8)
P= =
A
A
P = ρgh
(10.9)
De donde vemos que la presión depende únicamente de
la densidad del líquido y de la profundidad dentro del
líquido. Si la densidad es constante y no varía con la
profundidad, el fluido es compresible. Por lo tanto, todos
los puntos del fluido que se encuentran a la misma
profundidad tienen igual presión, no importando la forma
del recipiente ni la cantidad de líquido que contiene.
10.4.4.1.
Visión molecular de la presión.
Las moléculas que componen un fluido siempre se
encuentran en movimiento y lo hacen por interacción
entre ellos y con las paredes del recipiente que lo
contiene, la presión es el resultado de la transferencia de
la cantidad de movimientos de esos choques.
Observándose con bastante simplicidad en un modelo de
gas ideal, que se basa en las siguientes hipótesis.
1. En cualquier volumen pequeño hay una cantidad muy
grande de moléculas.
2. Las moléculas se encuentran en movimientos
continuos y aleatorios.
3. Se pueden despreciar las fuerzas entre las moléculas,
excepto durante un choque.
4. Todos los choques son elásticos
Consideremos este modelo para calcular la presión de un
gas encerrado dentro de las paredes de una pequeña
caja cúbica de lado “a” que contiene N moléculas de gas,
de masa m para cada molécula. Por conveniencia
despreciamos las colisiones entre las moléculas. Una
molécula que se mueve con velocidad vx choca
elásticamente con una pared y le transmite una cantidad
de movimiento de magnitud 2mvx. Al dejarla libre
repetirá el choque después de un tiempo ∆t = 2a/vx,
entonces la cantidad de movimiento es:
r
2
dp
mv x
2mv x
=
=
(10.10)
F=
dt
2a / v x
a
de la segunda ley de Newton para todas las moléculas.
r
2
2
dp
mv x
N .m < v x >
F =∑
=∑
=
;donde
dt
a
a
N
N
La presión es proporcional a la densidad del gas y a la
rapidez promedio de las moléculas elevada al cuadrado.
Los líquidos se comportan de manera distinta, debido a
que la separación entre las moléculas es comparable a su
tamaño y que sus moléculas interaccionan fuertemente.
Para tener una idea el comportamiento de las moléculas
en un líquido nos podemos imaginar como que están
unidos por resortes de longitud “d”, oscilando cada
molécula hacia arriba y abajo, los modelos de gas ideal y
de líquido incompresible ilustran las propiedades de los
fluidos.
10.4.4.2.
PRINCIPIO DE PASCAL
Debido al hecho de que la presión en un fluido solo
depende de la profundidad y que la presión en la
superficie se transmite a cualquier punto en un fluido.
Esto fue observado por el científico Francés Blaise Pascal
(1623-1662) y dice:
“Un cambio en la presión aplicada a un fluido
incompresible y encerrado se transmite íntegramente a
cualquier punto del fluido y a las paredes del recipiente
que las contienen”.
Una de las aplicaciones mas importantes de este
principio es la prensa hidráulica, representada en la
Fig.(10.3). Se aplica una fuerza F1, a un pequeño pistón
de área A1, la presión se transmite a través del fluido
hasta un pistón mas grande de área A2. Debido a que la
presión es la misma en ambos lados de la prensa se
tiene:
F
F
F1
A
(10.15)
P=
= 2
= 1
A
A2
F2 A2
Su aplicación directa es en los frenos hidráulicos con
cualquier maquina electromotriz; rampa para subir
autos, gatos y herramientas hidráulicas, entre otros
equipos que hacen uso de este principio.
Por lo tanto, este principio es una consecuencia
necesaria de las leyes de la mecánica de fluidos, mas
bien que un principio independiente; el principio d Pascal
puede ser interpretado como una consecuencia de la
presión hidrostática y del carácter incomprensible de los
líquidos.
10.5.
Variación de la presión en un fluido de reposo
Si un fluido esta en reposo, todas las partes del fluido
esta en equilibrio. Consideremos un pequeño elemento
de fluido sumergido dentro de la masa del fluido, y que
por comodidad matemática escogemos un elemento
rectangular y que el eje Z es vertical
La fuerza sobre las caras verticales del elemento
rectangular es:
r
dF1 = P ( z )dxdykˆ
r
dF2 = − P ( z + dz )dxdykˆ
(10.16)
su peso es:
(10.17)
r
r
dw = dmg = ρdVg = − ρgdxdydzkˆ
En equilibrio, las fuerzas a lo largo de los ejes verticales
se compensan:
∑ Fz = P( z )dxdy − P( z + dz )dxdy − ρgdxdydz = 0
P ( z ) − P ( z + dz )
− ρg = 0
dz
P ( z + dz ) − P( z )
= − ρg ............(10.18)
dz
Lim P ( z + dz ) − P( z ) = dP
(10.19)
dz → 0
dz
dz
Para obtener la ecuación del equilibrio hidrostático
dP
(10.20)
= − ρg
dz
Como la derivada de la presión con respecto a la altura
es una constante y podemos integrarla directamente la
ecuación (10.20) como sigue:
P2 dP
Z2
∫P1 dz dz = ∫Z1 − ρgdz
P2 − P1 = − ρg ( Z 2 − Z 1 )
Principio fundamental de la Hidrostática.
Por lo general se conoce el valor de la presión en
determinado lugar Z1 en el fluido y la coordenada Z2
puede ser cualquier punto en el fluido, entonces:
P − P1 = − ρg ( Z − Z 1 )
(10.22)
P = P1 + ρg ( Z 1 − Z )
Si la parte superior del liquido se encuentra en el límite
de la atmósfera y el fluido se iguala P1 = P0 (Presión
atmosférica) y la diferencia de las distancias de ambas
presiones es representada como la altura:
h = Z1 − Z
P = P0 + ρgh
(10.23)
La presión absoluta P a una profundidad h por debajo de
la superficie de un líquido abierto a la atmosfera es
mayor que la presión atmosférica en una cantidad igual a
ρgh.
Esto equivale a decir que la presión es la misma para
todos los puntos que se encuentran a la misma
profundidad.
Ejemplo 10.1 ¿Cuál es la masa aproximada de aire que
se encuentra contenida dentro de un recinto de 4m x 3m
x 3,5 m? (ρaire=1,29 kg/m3).
Solución
m
⇒
ρ aire .V
V
m = (1,29 kg / m 3 )(4m × 3m × 3,5 ) = 54,18 kg
ρ=
Ejemplo 10.2 ¿Cuál es la presión absoluta y la fuerza
total sobre el fondo de una piscina de natación de 8m x
50m, cuya profundidad uniforme es de 2m?
(P0=1,013x105 Pa).
Solución
a.
P = P0 + ρgh
P = 1.013 x10 5 Pa + (1,0 x10 3 kg / m 3 )(9,8 m / s s )(2m) = 1,209 x10 5 Pa
b.
F = P× A
F = (1,209 × 10 5 Pa )(8m × 50m ) = 4,84 × 10 7 N
Ejemplo 10.3 Una presa de 235 m de ancho está llena
de agua hasta una altura de 120 m, tal como se observa
en la figura. Encontrar la fuerza total que soporta la
presa.
Solución
La presión a una profundidad h debajo del nivel del agua
P = ρgh = ρg (120 − Z )
(*)
es:
Cómo:
dF = PdA = P (235dz )
(**)
Reemplazando, (*) en (**).
dF = ρg (120 − Z )(235dz )
dF = (1,0 × 10 3 kg / m 3 )(9,8m / s 2 )(120 − Z )(235dz )
dF = 2,3 × 10 6 (120 − Z )dz N
120
120
Z2 ⎤
6⎡
6
2
,
3
10
120
2
,
3
10
120
dF
Z
dz
Z
=
×
−
=
×
−
(
)
∫
∫0
⎢
2 ⎥⎦ 0
⎣
F = 1,65 × 1010 N
10.6.
Presión Atmosférica
La presión de la atmósfera terrestre, en cualquier fluido,
disminuye la profundidad o aumenta la altura. Pero la
atmósfera terrestre es algo mas complicado, porque no
sólo varía mucho la densidad del aire con la altitud, sino
que además no hay una superficie superior definida de la
atmósfera a partir del cual se puede medir la altura h, la
presión del aire en un determinado lugar varía
ligeramente de acuerdo con el clima.
En 1643, el evangelista Torricelli (1608 - 1647), ideó un
método para medir la presión atmosférica al inventar el
barómetro de Hg que consta de un tubo largo de vidrio
que se ha llenado de Hg (ver fig. 10.5) y después se ha
invertido en un recipiente de Hg. En el punto 2, el
espacio vacío que se ha observado en el tubo de vidrio
contiene vapor de Hg cuya presión es tan pequeña que
puede aproximarse a cero (P2 = 0); en cambio la presión
en el punto 1 es equivalente a la presión atmosférica, P1
= P0 = 1 atmósfera, que equivale a la presión que ejerce
toda la columna de aire encima de dicho nivel. En el
experimento se considera que tiene una temperatura T=
0ºC, al nivel del mar y la diferencia de alturas entre los
puntos 1 y 2 es de 760 mm.
De la ecuación de presión absoluta entre los puntos 1 y
2, encontramos:
P1 = P2 + ρ Hg g∆Z
⇒
P0 = 0 + ρ Hg g∆Z
(10.24)
P = ρ Hg g∆Z
(10.25)
Reemplazamos los valores numéricos, tenemos:
P0 = (13,6 × 10 3 kg / m 3 )(9,8m / s 2 )(0,76m ) = 1,013 × 10 5 Pa
Las equivalencias con otras unidades, es:
1 atm = 1,013 × 10 5 Pa = 10,33 m H 2 O = 14,7 Lb / pu lg 2
Entonces, como la tierra está rodeada por una capa de
aire que por tener peso presiona a todos los objetos
sumergidos en este gran océano que es la atmósfera.
Esta distribución de fuerzas toma el nombre de presión
atmosférica.
Ejemplo 10.4 Para el sistema
mostrado, encontrar la presión
hidrostática en los puntos A y B
del sistema mostrado en la
figura.
Solución
Presión en el punto A.
PA = ρ H 2O gh A
PA = (1,0 × 10 3 kg / m 3 )(9,8 m / s 2 )(0,2 m )
PA = (1,96 × 10 3 Pa ) = 1,96 kPa
Presión en el punto B.
PB = PA + ρ Hg ghB
PB = (1,96 × 10 3 Pa ) + (13,6 × 10 3 kg / m 3 )(9,8 m / s 2 )(0,5 m )
PB = (68,6 × 10 3 Pa ) = 68,6 kPa
Ejemplo 10.5. Sabiendo que la prensa hidráulica está
en equilibrio donde F1=60N, γ1=4cm y D2=20cm ¿Cuál es
el peso del bloque w?
Solución
Del principio de Pascal: P1=P2
F1 F2
=
A1 A2
F1
60 N
W
W
=
=
2
2
2
πγ 1
D
(4 cm)
(20 cm) 2
π 2
4
4
60 × 100 N
W =
= 375 N
16
10.7.
Fluidos compresibles.
Hasta ahora hemos considerado a la presión atmosférica
como una cantidad conocida, pero el comportamiento
mismo de la atmosfera es un problema hidrostático con
un fluido compresible. El modelo de gas ideal se aplica
bastante bien al aire: la presión atmosférica es
proporcional a la densidad y al cuadrado promedio de la
rapidez de las moléculas. La temperatura del aire, que
suponemos constante, determina ese cuadrado
promedio. Entonces, la densidad y la presión son
directamente proporcionales.
ρ
P
=
P0 ρ 0
ρ=
⇒
P
ρ 0 .........(10.26)
P0
Donde P0 y ρ0 son la presión y la densidad del aire en la
superficie de la tierra, que definiremos que está en Z=0.
Entonces la ecuación (10.20) pueden escribirse como:
dP
P
= − ρg = ρ 0 g
dz
P0
1 dP
1 ⎛ dP ⎞
dP dP P
pero:
=
⇒
=
.
.
⎜
⎟
dZ
P dZ
P dZ dZ ⎝ P ⎠
ρ g
1 ⎛ dP ⎞ 1
[d (ln P )] = − 0
⎜
⎟=
dZ ⎝ P ⎠ dZ
P0
Como la presión depende de la posición (altura),
tenemos:
Z d
Z ρ g
0
∫0 dZ [ln P(Z )]dZ = −∫0 P0 dZ
ρ g
ln P( Z ) − LnP (0) = − o ( Z − 0 )
Po
Si P(0)=P0 (Presión atmosférica)
ln P( z ) − ln P0 = −
ρ0
P0
gz
P ( z ) = P0 e − ( ρ 0 g / P0 ) z
⇒
ρ
⎛ P( z ) ⎞
ln⎜
⎟ = − 0 gz
P0
⎝ P0 ⎠
(10.27)
La presión disminuye exponencialmente con la altura.
Ejemplo 10.6. Encontrar la presión atmosférica en la
ciudad de Tacna – Perú, en el paseo cívico, si sabemos
que se encuentra a 562 m. Sobre el nivel del mar.
ρ 0 = ρ aire (0º C ) = 1,3 kg / m 3
P0 = 1 atm = 1,013 × 10 5 Pa
g = 9,72 m / s 2
Solución
Reemplazando valores en la ecuación (10.27)
P ( z ) = P0 e − ( ρ 0 g / P0 ) z
−(
1, 3 kg / m 3 ×9 , 72 m / s 2
1, 013×10
P( z ) = (1,013 × 10 Pa )e
P( z ) = 0,944 × 10 5 Pa
5
Por lo tanto:
10.8.
5
)( 562 m )
Pa
P(Tacna ) = 93% P0
Principio de Arquímedes.
El principio de Arquímedes se puede enunciar como
sigue:
“Todo cuerpo sumergido en forma parcial o total en un
líquido en reposo relativo, es empujado hacia arriba por
una fuerza que es igual al peso del fluido desplazado
por
r
el cuerpo, denominado fuerza de empuje ( E )”.
r r
E =W
r
E = mg = ρ f .Vg
Donde:
ρf :
(10.28)
(10.29)
Densidad del fluido
V:
Volumen desplazado
por el cuerpo sumergido
g:
Aceleración de la
gravedad.
El principio de Arquímedes incluye
también casos en los que el objeto flota. En estos casos
solo parte del objeto está en el fluido y así el volumen
del fluido desplazado es igual al volumen del objeto que
queda por debajo de la superficie del fluido. En equilibrio
la fuerza de empuje es igual al paso del cuerpo.
ρ f gVs = ρ c gVc
ρ
Vs
= c
Vc ρ f
Donde:
Vs :
Vc :
ρc :
ρf :
(10.30)
Volumen sumergido del cuerpo
Volumen total del cuerpo
Densidad del cuerpo
Densidad del fluido
Cuando se mezclan dos fluidos inmiscibles con
densidades diferentes, el fluido de menor densidad flota
10.9.
sobre el de densidad mayor. Por ejemplo el agua, flota
sobre el mercurio, por tener menor densidad que el
mercurio.
Si los dos fluidos son miscibles, el menos denso flotará
sobre la superficie del mas denso, si se tiene cuidado de
no mezclarlos.
En verano, como el agua de la superficie es calentado
por el sol, se hace menos denso que el agua fría situada
por debajo, por lo tanto flota el agua caliente sobre la
fría y evita mezclarse con el agua de los niveles mas
bajos.
En invierno se hiela el agua de la superficie, donde se
observa que el agua en estado sólido (hielo) tiene menor
densidad que en estado liquido. Por lo tanto, el hielo
flota en la superficie y el agua que queda por debajo del
hielo está a una temperatura un poco por encima del
punto de congelación.
En cambio en el aire de la atmósfera terrestre, ocurre lo
contrario, durante el día el sol calienta la superficie de la
tierra y esta calienta a su vez el aire de la atmósfera
inferior, este aire mas caliente y menos denso asciende a
la parte superior y el aire de arriba, mas denso y frío,
desciende, existiendo una mezcla continua del aire de la
parte inferior y del nivel superior.
Presión Manométrica.
Por definición la presión manométrica (Pm) es la
diferencia entre la presión absoluta (P) de un fluido y la
presión atmosférica (P0).
Pm = P − P0
(10.31)
La presión manométrica se mide fácilmente con un
dispositivo conocido como manómetro de aire libre.
10.9.1
Manómetro. Consiste en un tubo en forma de
“U”, que contiene un líquido como agua o
mercurio, con un extremo libre, abierto a la
atmósfera y el otro conectado a un sistema
cuya presión se desea medir, tal como se
muestra en la figura (10.7).
De la figura vemos que la presión en el punto A y B son
iguales, ya que están al mismo nivel.
PA = PB
(10.32)
P = P0 + ρ Hg gh
Donde P es la presión que se desea medir y ρ Hg es la
densidad del mercurio.
P − P0 , la diferencia entre presiones atmosféricas y la
atmosférica, es la presión manométrica.
P − P0 = ρ Hg gh
(10.33)
Por lo tanto, la presión manométrica del tubo abierto,
mide directamente la presión manométrica en función de
la densidad del líquido y de la diferencia de alturas h de
las columnas del tubo.
Ejemplo 10.7. ¿Qué parte del
volumen total de un Iceberg está
totalmente sumergida en el agua,
sabiendo que tiene un volumen de
12500 m3? La densidad del hielo
es ρ h = 0,917 g / cm 3 y del agua de
mar ρ H 2O mar = 1,025 g / cm 3
Solución.
Del
de Arquímedes.
r principio
r
E =W
E =m s g = ρ H 2O mar .Vs g
W = mh g = ρ h V g
ρ H O mar Vs g/ = ρ h V g/
Entonces:
Vs =
2
ρ hV
ρ H O mar
2
=
(0,917 g / cm 3 )(12500 m 3 ) = 11183 m 3
(1,025 g / cm 3 )
Por lo tanto el volumen sumergido corresponde al
89,46% del volumen total del Iceberg.
Ejemplo 10.8. En el esquema adjunto:
ρ1 = 0,791 g / cm 3
ρ 2 = 1,26 × 10 3 kg / m 3
ρ 3 = 1,0 × 10 3 kg / m 3
Determine:
a.
La presión en el punto A
b.
La presión en el punto B
c.
La altura X
Solución.
a. Presión en el punto A
PA = (791 kg / m
3
b. Presión en el punto B
PA = ρ1 gh1
)(9,8 m / s 2 )(0,3 m ) = 2325,5 Pa
PB = PC
PB = PA + ρ 2 gh2
PB = 2325,5 Pa + (1,26 × 10 3 kg / m 3 )(9,8 m / s 2 )(0,12 m )
PB = 2325,5 Pa + 1481,8 Pa = 3807,3 Pa
c. La altura X.
Como la presión en el punto B es:
P
3807,3 Pa
PB = ρ 3 gx
⇒
x= B =
= 0,3885 m
3
ρ 3 g (1,0 × 10 kg / m 3 )(9,8 m / s 2 )
x = 38,85 cm
10.10. Hidrodinámica.
Los fluidos en movimiento son mucho mas complejos que
los fluidos en reposo. En lugar de estudiar el movimiento
de cada partícula del fluido como una función del tiempo,
en su lugar haremos uso de la segunda Ley de Newton
para encontrar las propiedades del fluido en cada punto
del sistema, mientras las partículas del sistema fluyen de
uno a otro lado.
Para descubrir totalmente un fluido en movimiento,
necesitamos conocer su velocidad en cada punto, al igual
que su presión y su densidad. Para esto se requieren
relaciones entre esas variables. La relación entre presión
y densidad, proviene de nuestros modelos de líquidos
incompresible o de gas ideal. Obtendremos las otras dos
relaciones a partir de la conservación de la masa y la
energía.
10.10.1. Líneas de flujo. Se denomina así a la
trayectoria seguida por un elemento de un fluido móvil,
que pasan a través de un elemento de área
perpendicular a la velocidad de flujo. Un haz de líneas de
flujo forma un tubo de corriente y podríamos
imaginarnos que todo el flujo está constituido por
muchos tubos cada uno con el tamaño y la forma de un
tubo de corriente. En general la velocidad del elemento
varía tanto en magnitud como en dirección, a lo largo de
su línea de flujo
10.10.2. Flujo de fluidos. Se pueden diferenciar dos
tipos de flujo.
a. Flujo Laminar.
Un flujo es laminar o estacionario si cada particula
del fluido sigue un camino uniforme, de tal modo que
las capas vecinas del fluido se deslicenentre sí
suavemente y los caminos de cada partícula no se
cruzan, entonces la velocidad del fluido en cualquier
punto permanece constante en el tiempo.
b. Flujo Turbulento.
El flujo turbulento es un flujo irregular, caracterizado
por pequeñas zonas o regiones donde se forman
pequeños círculos irregulares semejantes a
remolinos, llamadas corrientes parásitas o
secundarias.
10.10.3. Líneas de corriente. Se define como aquella
curva cuya tangente en cualquier punto coincide con la
dirección de la velocidad del fluido en dicho punto.
Cuando se trata de un flujo estacionario, las líneas de
corriente coinciden con las del flujo.
10.11. Ecuación de Continuidad.
En el flujo estable, no cambia la cantidad de masa en
determinado volumen. Cuando el fluido pasa de manera
estable por el tubo de corriente de la figura (10.9), la
misma cantidad de fluido que entra al tubo en A1 en
cualquier intervalo de tiempo ∆t, sale por A2 durante el
mismo intervalo, la velocidad es tangente a la línea de
corriente a lo largo de la cual se mueve.
Para un intervalo pequeño de tiempo ∆t.
∆X 1 = V1 ∆t
(10.34)
∆X 2 = V2 ∆t
Como la sección transversal para la región A1, tiene una
masa ∆m1 que es proporcional a la masa ∆m2 que pasa
por el área A2, tenemos:
∆m1 = ρ1 A1 ∆x1
→
∆m1 = ρ1 A1V1 ∆t
(10.35)
∆m1 = ρ1 A1 ∆x1
→
∆m1 = ρ1 A1V1 ∆t
(10.36)
Como la masa se conserva:
∆m1 = ∆m2
ρ1 A1V1 ∆t = ρ 2 A2V2 ∆t
ρ1 A1V1 = ρ 2 A2V2
(10.37)
Esta expresión se llama ecuación de continuidad.
Como ρ es constante para el fluido incompresible, la
ecuación (10.37) se reduce a:
A1V1 = A2V2
(10.38)
El producto Av representa el gasto volumétrico, que es el
volumen (V) del fluido que pasa por determinada sección
transversal (A) por segundo.
∆V A ∆x
G=
=
= Av
(10.39)
∆t
∆t
por lo que tenemos que el gasto volumétrico a lo largo
de todos los puntos de la tubería es constante.
Av = Cons tan te
(10.40)
La ecuación (10.40) nos dice que cuando el área de la
sección transversal es grande, la velocidad es pequeña y
cuando el área es pequeña la velocidad es grande.
Ejemplo 10.9. ¿Qué diámetro debe tener un tubo de
calefacción si el aire que circula en su interior a 5 m/s,
debe sustituir al aire de una habitación de 4450 m3 de
volumen, cada 20 minutos?. Considere la densidad del
aire en la habitación constante.
Solución.
t = 20 min = 1200 s.
V1 = 5 m/s
V2 = 450 m3
D1 = ?
A1v1 = A2 v 2
v2 =
;
A1v1 = A2 (
A1v1 =
Si
V2
t
⇒
A1 = πr =
2
1
πD12
4
A1 =
⇒
x2
t
x2
)
t
V2
450 m 3
=
= 0,075 m 2
v1t (5 m / s )(1200 s )
D1 = 2
A1
π
=2
0,075 m 2
π
= 0,3090 m
D1 = 30,90 cm
Ejemplo 10.10. En una tubería con un diámetro de 6
cm, fluye agua a razón de 3,5 x 10-4 m3/s. Se abre una
pequeña abertura de (1,2 mm x 2,5 mm) y la rapidez del
flujo de salida disminuyen 3%.
a. ¿Cuál es la rapidez promedio del chorro de agua que
sale por la abertura?
b. ¿Cuál es la rapidez promedio del agua en la tubería?.
Solución.
D1 = 6 cm = 6 × 10 −2 m
A1 = πr12 =
π
4
D12
(3,1416 )(6 × 10 −2 m )
2
A1 =
= 2,83 × 10 −3 m 2
4
Q1 = 3,5 × 10 −4 m 3 / s
A2 = 1,2mm × 2,5mm = 3,0mm 2 = 3 × 10 −6 m 2
v1 = 100%v = v
v 2 = 97%v = 0,97v
De la ecuación de continuidad.
Q
3,5 × 10 −4 m 3 / s
Q1 = Q2 = A2 v 2
v2 = 1 =
= 116,7 m / s
A2
3 × 10 −6 m 2
Si v1=v y v2=0,97v
v=
v2
116,7
=
= 120,3 m / s
0,97 0,97
10.12. Ecuación de Bernoulli.
Este principio fue desarrollado por Daniel Bernoulli (1700
- 1782) en el siglo XVIII. Esta ecuación establece que
donde la presión del fluido es alta y la velocidad del
fluido es baja. Por ejemplo, si se miden las presiones en
los puntos 1 y 2 en la figura 10.10, se encontrará que la
presión es mayor en el punto 1 donde la velocidad es
menor que en el punto 2, por lo mismo la presión en el
punto 2 debe ser menor que en el punto 1, lo cual
permite que el fluido acelere.
Bernoulli desarrolló una ecuación que expresa este
principio en forma cuantitativa. Para deducirla,
supondremos que el fluido es incompresible, no viscoso,
con un flujo laminar y estable.
Para el caso general, supondremos que el fluido pasa por
el tubo de sección transversal no uniforme, que varía de
altura sobre un determinado nivel de referencia como en
la figura 10.10.
Esta ecuación es una aplicación del principio de
conservación de energía aplicado a un fluido ideal.
Tomaremos en cuenta la cantidad de fluido que aparece
sombreada y calcularemos el trabajo efectuado para
moverla de la posición en el punto (1) al punto (2).
W1 = F1 ∆X 1 = P1 A1 ∆X 1 = P1 ∆V
W2 = − P2 A2 ∆X 2 = − P2 ∆V
(10.41)
(10.42)
W = W1 + W2
El trabajo total es:
W = ( P1 − P2 )∆V
(10.43)
La energía cinética y potencial entre los dos puntos es:
1
1
∆K = (∆m )v 22 − (∆m )v12
2
2
(10.44)
∆U = ∆mgy 2 − ∆mgy1
Usando el teorema del trabajo – energía, en las
ecuaciones (10.43) y (10.44) tenemos:
W = ∆K + ∆U
1
1
2
2
1 ⎛ ∆m ⎞ 2 1 ⎛ ∆m ⎞ 2 ⎛ ∆m ⎞
⎛ ∆m ⎞ gy
P1 − P2 = ⎜
⎟v 2 − ⎜
⎟v1 + ⎜
⎟ gy 2 − ⎜
⎟ 1
2 ⎝ ∆V ⎠
2 ⎝ ∆V ⎠
⎝ ∆V ⎠
⎝ ∆V ⎠
∆m
ρ=
∆V
1 2 1 2
P1 − P2 = ρv 2 − ρv1 + ρgy 2 − ρgy1
2
2
1 2
1 2
(10.45)
P1 + ρv1 + ρgy1 = P2 + ρv 2 + ρgy 2
2
2
( P1 − P2 )∆V = (∆m )v 22 − (∆m )v12 + ∆mgy 2 − ∆mgy1
Si
Esta ecuación se conoce como Ecuación de Bernoulli,
pues fue el quien la estableció originalmente en 1738 en
su obra Hidrodinámica.
En general la ecuación de Bernoulli se puede formular en
todo punto del fluido.
1
P + ρv 2 + ρgy = Cons tan te
(10.46)
2
De la ecuación anterior vemos que la energía cinética por
unidad de volumen (1/2ρv2) y la energía potencial por
unidad de volumen (ρgy) tiene el mismo valor a lo largo
de una misma línea de corriente. Y la inclusión del
término presión en esta ecuación de la energía es para
tener en cuenta el trabajo efectuado por las fuerzas
internas.
Ejemplo 10.11
Si el agua que se distribuye en una casa de tres pisos,
se bombea desde el primer piso a una velocidad de 1.60
m/s, a una presión de 5 atmósfera por un tubo de 4 cm
de diámetro. ¿Se desea conocer la velocidad del flujo y
la presión que soportará un tubo de 1.2 cm de radio en
azotea de la casa a 10m de altura?
Solución
v1= 1.60 m/s
P1= 5 atm = 5,05x105 N/m2
D1= 4 cm
r2= 1,2 cm
y1= 0
y2= 10m
v2= ?
P2= ?
De la ecuación de continuidad
A = π r2 =
A1v1 = A2 v 2
π
4
D1 v1 = π r2 v 2
v2 =
2
2
π
4
D2
2
⇒ v2 =
D1 v1
4r2
2
(4cm )2 (1,60m / s )
= 4,4 m / s
2
4(1,2cm )
Para calcular la presión usamos la ecuación de Bernoulli
1
1
2
2
P1 + ρ v1 + ρ gy1 = P2 + ρ v 2 + ρ gy 2
2
2
1
2
2
P2 = P1 + ρ g ( y1 − y 2 ) + ρ (v1 − v 2 )
2
2
2
N
kg
m
kg ⎡
m
m ⎤
1
P2 = 5,05 × 10 5 2 + ⎛⎜10 3 3 ⎞⎟⎛⎜ 9.8 2 ⎞⎟(0 − 10m ) + ⎛⎜10 3 3 ⎞⎟ ⎢⎛⎜1.60 ⎞⎟ − ⎛⎜ 4.4 ⎞⎟ ⎥
s⎠ ⎝
s⎠ ⎦
2⎝
m
m ⎠⎝
s ⎠
m ⎠ ⎣⎝
⎝
P2 = 4.15 × 10 5
N
= 4.11 atm
m2
Ejemplo 10.12
Determinar la presión que soportará un tubo en el punto
2 con 10 cm de diámetro, si en el punto 1 la presión es
de 8 atmósferas y tiene un diámetro de 25 cm, para un
fluido que circula por un tubo tal como se muestra en la
figura sin rozamiento, de peso específico γ = 6664 N/m3
y Q= 0,2 m3/s
Solución
D2=10cm = 10-1 m
D1=25 cm = 25x10-2 m
P2=?
P1=8 atm= 8.08x105 N/m2
γ =6664 N/m3
Q= 0.2 m3/s
Como γ = ρg ⇒
ρ=
γ
g
=
6664 N / m 3
9 .8 m / s 2
⇒
ρ = 680kg / m 3
De la ecuación de continuidad
Q
Q
4Q
4(0.2m 3 / s )
Q = A2 v 2 ⇒ v 2 =
=
=
=
= 25.46m / s
2
A2 πD2 2 / 4 πD2 2
π (10 −1 m )
4Q
4(0.2m 3 / s )
Q
=
=
= 4.07 m / s
A1 πD1 2 π (25 × 10 − 2 m )2
De la ecuación de Bernoulli
1
1
2
2
P1 + ρ v1 + ρ gy1 = P2 + ρ v 2 + ρ gy 2
2
2
Q = A1v1 ⇒ v1 =
2
⎛ 8 . 08 × 10 5 N ⎞ + 1 ⎛ 680 kg ⎞ ⎛ 4 . 07 m ⎞ + 0 = P + 1 ⎛ 680 kg ⎞ ⎛ 25 . 46 m ⎞ + ⎛ 680 kg ⎞ ⎛ 9 . 80 m ⎞ (10 m
⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟
2
s ⎠
s ⎠
2⎝
m 3 ⎠⎝
m 3 ⎠⎝
s2 ⎠
m2 ⎠ 2 ⎝
m 3 ⎠⎝
⎝
⎝
8.136 × 10 5 = P2 + 2.870 × 10 5
P2 = 5.266 × 10 5
N
= 5.21Atm
m2
10.13. Aplicaciones De La Ecuación De Bernoulli
La ecuación de Bernoulli se puede aplicar en una gran
variedad de casos, así tenemos:
10.13.1 Presión a una profundidad “h”
Las ecuaciones de la hidrostática son casos especiales de
la ecuación de Bernoulli, cuando la velocidad es nula en
todos los puntos. cuando el fluido está en reposo.
v1 = v 2 = 0 , la ecuación de Bernoulli queda como:
P1 + ρgy1 = P2 + ρgy 2
P1 = P2 + ρg ( y 2 − y1 )
Si
P1 = P ; P2 = P0 ; y 2 − y1 = h
entonces:
P = P0 + ρgh
(10.47)
10.13.2 Teorema de Torricelli
La ecuación de Bernoulli se puede aplicar para calcular la
velocidad v1 de un líquido que sale de un agujero en el
fondo de un tanque, fig. (10.11).
La figura representa un depósito de sección A2 lleno
hasta la profundidad y2 de un líquido de densidad ρ.
Suponiendo que el diámetro del recipiente es grande en
comparación con el tubo de salida (A1), entonces v2 será
casi cero (v2 ≈ 0). Los puntos 1 y 2 están abiertos a la
atmósfera por lo tanto la presión en ambos puntos es
igual a la presión atmosférica.
P1 = P2 = P0
(10.48)
reemplazando estos valores en la ecuación (10.45) se tiene:
1
P0 + ρv12 + ρgy1 = P0 + 0 + ρgy 2
2
1
ρv1 2 = ρg ( y 2 − y1 )
2
v1 = 2 g ( y 2 − y1 )
A este resultado se le llama teorema de Torricelli,
aunque se e que es un caso especial de la ecuación de
Bernoulli, fue descubierto un siglo antes por Evangelista
Torricelli. Es decir la velocidad con que sale el líquido
para un tanque abierto es igual a la que adquiere un
cuerpo en caída libre, cuando cae desde la misma altura.
Esto se debe a que la deducción dela ecuación de
Bernoulli se basa en la conservación de la energía.
10.13.3 Tubo De Venturi
Es esencialmente un tubo con un angostamiento o
garganta, que se puede usar para medir la velocidad de
un flujo en fluidos incompresibles. en este caso el fluido
se mueve, donde su altura no cambia mucho, es decir y1
= y2.
En este caso la ecuación (10.45) se transforma en:
1
1
P1 + ρv12 = P2 + ρv 22
2
2
De la ecuación de continuidad
A
A1v1 = A2 v 2 ⇒ v1 = 2 v 2
A1
entonces:
1
2
2
P1 − P2 = ρ (v 2 − v1 )
2
(10.50)
(10.51)
2
2
⎞ 1
⎛
A ⎞
1 ⎛ 2 A2
ρ ⎜⎜ v 2 − 2 v 2 2 ⎟⎟ = ρv 2 2 ⎜⎜1 − 2 2 ⎟⎟
2 ⎝
A1 ⎠
A1
⎠ 2
⎝
2
ρv
2
2
P1 − P2 = 2 2 (A1 − A2 )
2 A1
P1 − P2 =
2 A1 ( P1 − P2 ) = ρv 2 (A1 − A2
2
v 2 = A1
2
2
2
)
2( P1 − P2 )
ρ (A1 2 − A2 2 )
(10.52)
Ejemplo 10.13
Un gran tanque de agua tiene un orificio de 2 cm2 en uno
de sus lados a 2,20 m. debajo de la superficie de agua
¿Cuál es el gasto volumétrico (en kg/s) a través del
orificio?
Solución
A= 2cm2 = 2x10-4 m
h= 2.20 m
Q= ? (kg/s)
De la ecuación de Torricelli
v 2 = 2 gh = 2(9.8m / s 2 )(2.20m )
v 2 = 6.57 m / s
El gasto volumétrico
Q2 = A2 v 2
Q2 = (2 × 10 −4 m 2 )(6.57 m / s ) = 1.31 × 10 −3 m 3 / s
Q2 = 1.31 × 10
−3
m 3 10 6 cm 3
1kg
×
× 3 3 = 1.31kg / s
3
s
1m
10 cm
Ejemplo 10.14
Por una tubería horizontal fluye etanol (ρ=791 kg/m3) la
presión es 5.2x105 Pa en un punto donde la rapidez es
de 3,6 m/s. Encontrar la presión y la rapidez para otro
punto donde el área es cinco veces menor que la
posición inicial.
Solución
P1= 5.2x105 Pa
v1= 3.6 m/s
A1= A
A2= A/5
ρetanol = 791 kg/m3
De la ecuación de continuidad:
A
Q = A1v1 = A2 v 2 ⇒ A(3.6m / s ) = v 2 ⇒ v 2 = 18.0m / s
s
Reemplazando en la ecuación (10.50)
1
1
P1 + ρv12 = P2 + ρv 22
2
2
2⎝
m ⎠⎝
5.25×10 = P2 + 1.28×105
2
1
kg
m
= P2 + ⎛⎜ 791 3 ⎞⎟⎛⎜18 ⎞⎟
2⎝
s⎠
m ⎠⎝ s ⎠
(5.2 ×105 Pa) + 1 ⎛⎜ 791 kg3 ⎞⎟⎛⎜3.6 m ⎞⎟
2
5
P2 = 5.25×105 − 1.28×105 ⇒ P2 = 3.97 ×105 Pa
10.13.4 Otras aplicaciones de la ecuación de
Bernoulli
Muchos fenómenos de la vida cotidiana. se pueden
explicar por lo menos en parte con la ecuación de
Bernoulli, así tenemos:
Flujo de aire por una ala
El flujo de aire por una ala de avión se puede considerar como si
fuera incompresible, siempre que la velocidad del aire
sobre el ala se pequeña en comparación con la velocidad
del sonido en el aire. Esto es válido para los aviones
pequeños, pero no es una buena aproximación para os
aviones de reacción a gran altura.
La fuerza de sustentación que sostiene al avión, es una
aplicación de la tercera ley de Newton, de tal forma que
al moverse en un ala inclinada, este empuja al aire hacia
abajo y este a su vez ejerce una fuerza hacia arriba
sobre el ala manteniendo al avión en el aire.
De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, la diferencia de
las velocidades se relaciona con una diferencia de
presiones; la presión sobre la parte superior del ala Ps es
menor que la presión sobre la cara inferior Pi; la
diferencia de presiones origina una fuerza ruta F hacia
arriba sobre el área del ala (A).
F = (Pi - Ps)A
(10.53)
La magnitud de la fuerza de sustentación que sostiene al avión
depende de la desigualdad en las velocidades de flujo
entre la cara superior e inferior del ala, que a su vez
depende de la diferencia de tamaños de los tubos de
corriente; esa diferencia a su vez, depende del grado de
inclinación del ala así como de su forma. El grado de
inclinación se mide con el ángulo de ataque: α; que es el
que forma la cuerda del ala y la dirección no perturbada
del flujo de aire. La ecuación de Bernoulli muestra que la
diferencia de presión depende de la densidad del aire, de
la velocidad del aire, de la forma del ala, por lo tanto la
fuerza de sustentación está dada como:
1
(10.54)
Fs = C s ρv 2 A
2
donde:
Cs: Coeficiente de sustentación (es proporcional a α y el
diseño del ala)
A: Are del ala
Esta
fuerza de sustentación aumenta a medida que se
incrementa la velocidad del aire, el área del ala, su
curvatura, el ángulo de ataque entre el ala y la horizontal.
En la práctica , generalmente las alas se inclinan hacia
arriba provocando que la masa de aire debajo del ala
genere una fuerza adicional hacia arriba.
POTENCIA DE UN GENERADOR DE VIENTO
La idea de usar el aire como una fuente de energía
(energía eólica), no es algo nuevo, existen pruebas de
que en Babilonia y China se usaron molinos de viento,
hace aproximadamente cuatro milenios.
La energía proporcionada por los vientos, tiene algunas
desventajas y la más importante de ellas es debido a la
variación de la velocidad de los vientos. Se puede
calcular la potencia generada por unidad de área.
K V
(10.55)
Potencia = .
V t
K 1 2
= ρv
donde
V 2
V
= A.v
t
1
1
Entonces: P = ⎛⎜ ρv 2 ⎞⎟( A.v ) = ρv 3 A
2
⎝2
⎠
P 1 3
= ρv
(10.56)
A 2
es la potencia disponible por unidad de área.
La potencia máxima está dada como:
Pmax
8
=
ρv 3
A
27
(10.57)
10.14 VISCOSIDAD (η)
La fricción existente entre los fluidos se llama viscosidad,
que en esencia es una fuerza de rozamiento entre las
distintas capas del fluido al moverse entre sí. En los
líquidos, la viscosidad se debe a las fuerzas de cohesión
entre las moléculas, en cambio en los gases se debe a
los choques entre las moléculas.
Los diferentes fluidos tienen diversas magnitudes de
viscosidad, mientras más viscoso es el fluido mayor será
la fuerza requerida para desplazarse.
Experimentalmente se encuentra que el modulo de la fuerza F
sobre la plataforma móvil depende no sólo del módulo de
su velocidad, sino también de su área A y de la distancia d
entre las placas.
Por lo tanto se define como:
Av
F =η
d
F d
F
η= .
;
≡ esfuerzo de corte
A v
A
La unidad de viscosidad en el sistema:
η: Poiseuille ≡ N.s/m2
S.I.
η: 1 poise ≡ dina.s/cm2
C.G.S.
(10.58)
La viscosidad es una propiedad intrínseca de un fluido y
no depende de la naturaleza de la superficie a lo largo
del cal se mueve el fluido. Un valor grande de η
corresponde a un fluido muy viscoso como la glicerina o
el aceite, mientras que un valor pequeño corresponde a
un fluido ligero como el agua o el éter.
Como la viscosidad de algunas líquidos y gases varía con
la temperatura, este debe indicarse a la cual ha sido
medido la viscosidad.
El flujo de un fluido en un tubo redondo depende de la
viscosidad del fluido, de la diferencia de presión y de las
dimensiones del tubo. Si un fluido no tuviera viscosidad
podría pasar por un tubo horizontal sin aplicarle fuerza
alguna.
El francés J.L. Poiseuille, determinó como las variables
afectan la rapidez de flujo de un fluido incompresible en
régimen laminar dentro de un tubo cilíndrico, tal como se
observa en la figura (10.15).
Esto se le conoce como ecuación de Poiseuille:
πr 4 ( P1 − P2 )
Q=
8ηL
(10.59)
donde:
r : radio interior del tubo
Q : gasto volumétrico
P1-P2: diferencia de presiones
Esta ley se establece que la cantidad de fluido que circula por
una tubería es proporcional a la disminución de la presión
a lo largo de la misma y a la cuarta potencia del radio de
la tubería. esta ley es solo una aproximación valida
cuando la velocidad de flujo v es suficientemente
pequeña. Si la velocidad es grande, el flujo ya no es
laminar, por el contrario aparece la turbulencia, y ya no es
válida la ecuación de Poiseuille.
La aparición de la turbulencia se puede caracterizar
aproximadamente mediante el llamado “NÚMERO DE
REYNOLDS” (Rs):
Rs =
donde:
2 ρr v
η
(10.60)
v : velocidad del fluido
ρ: densidad del fluido
r: radio del tubo
Experimentalmente se sabe que el flujo es laminar si Rs
tiene un valor menor que unos 2000, pero es turbulento
si Rs es mayor a ese valor.
Cuando un objeto se mueve en relación con un fluido,
este ejerce una fuerza semejante a la fricción sobre el
objeto, esta fuerza se llama fuerza de retardo y se debe
a la viscosidad del fluido y también a grandes
velocidades, a la turbulencia formada detrás del objeto.
El movimiento de un objeto en relación con un fluido, se
puede definir usando el número de Reynolds,
ρLv
'
Rs =
η
(10.61)
donde ρ es la densidad del fluido.
Cuando el número de Reynolds es menor que 1, como el
caso de objetos pequeños, el flujo alrededor del objeto
es laminar y la fuerza viscosa Fv es directamente
proporcional a la velocidad del objeto.
Fv = kv
(10.62)
la magnitud de k depende del tamaño y la forma del
objeto y de la viscosidad del fluido para una esfera de
radio r y volumen
, el valor de k es:
k = 6πrη
(10.63)
la fuerza viscosa sobre una esfera pequeña, cuando el flujo es
laminar, está expresada por una ecuación que se conoce
como ecuación de stokes:
Fv = 6πrηv
(10.64)
Para números de Reynolds mayores de 1 (entre 1 y 10) habrá
turbulencia detrás del cuerpo y la fuerza de retardo será
mayor que la obtenida con la ecuación de Stokes para una
esfera. Para objetos más aerodinámicos, habrá menos
turbulencia y menos retardo. Experimentalmente se ha
encontrado que cuando hay turbulencia la fuerza de
retardo aumenta directamente con el cuadrado de la
velocidad.
Un objeto de masa m cayendo dentro de un fluido bajo la
acción de la gravedad tiene varias fuerzas actuando
sobre el como se observa en la figura (10.16): la fuerza
de gravedad: mg; el empuje hidrostático: E y la fuerza
viscosa: Fv.
pero:
De la segunda Ley de Newton:
mg - Fv - E = ma
(10.65)
mg = ρc.V.g
Fv = kv
E = ρf.V.g
Entonces:
ρcVg - kv - ρfVg = ma
(10.66)
(ρc - ρf)Vg - kv = ma
(10.67)
A medida que el objeto cae, su velocidad
aumenta,
de
igual
manera
aumenta la fuerza viscosa hasta
que su magnitud es igual al peso
efectivo del cuerpo, entonces la
velocidad se hace constante, por
lo tanto la aceleración es nula. Su valor se puede calcular
esta velocidad haciendo a=0 en la ecuación (10.67), y
(ρ c − ρ f )gV
v=
k
(10.68)
para una esfera pequeña:
4
V = πr 3
3
k = 6πrη
donde:
(ρ c − ρ f )g (4 / 3πr 3 )
v=
6πrη
v=
2(ρ c − ρ f )gr 2
9η
(10.69)
donde:
ρc y ρf: densidad del cuerpo y del fluido
r : radio de la esfera
η : viscosidad del fluido
g : aceleración de la gravedad
A esta velocidad también se le llama velocidad terminal o
velocidad de sedimentación y se puede acelerar el
proceso de sedimentación una centrífuga. Ejerciendo una
fuerza sobre la partícula, aumentando la aceleración de
la gravedad en un valor de w2R en la ecuación (10.68),
(ρ c − ρ f )w 2 RV
v=
(10.70)
k
donde:
w : velocidad angular del rotor
R : distancia del objeto al eje de rotación
Ejemplo 10.15
Por una delgada tubería de 1.60 mm de diámetro de un
motor experimental circula aceite ligero de motor de
viscosidad η=0.5 Pa.s. Si la tubería tiene una longitud de
12.3 cm y una diferencia de presiones de 2.2x104 N/m2.
Determine el gasto volumétrico en cm3/segundos.
Solución
D = 1,60 mm = 1,60 × 10 3 m
⇒
r=
D
= 0,8 × 10 −3 m
2
L = 12,3 cm = 12,3 × 10 −2 m
P1 − P2 = 2,2 × 10 4 N / m 2
Q=
πr 4 ( P1 − P2 )
8ηL
π (0,8 × 10 −3 m ) (2,2 × 10 4 N / m 2 )
4
Q=
8(0,5 N .s / m 2 )(12,3 × 10 − 2 m )
Q = 5,75 × 10 −8
= 5,75 × 10 −8 m 3 / s
m 10 3 L 10 3 cm
×
×
= 5,75 × 10 − 2 cm 3 / s
3
s 1m
1L
CAPÍTULO XI
TERMOMETRÍA - DILATACIÓN - CALORIMETRÍA
11.1 Termometría
11.2 Temperatura
11.2.1
Equilibrio térmico
11.2.2
Termómetros
11.2.3
Punto triple del agua
11.2.4
Escalas de temperatura
11.3 Dilatación térmica
11.3.1
Dilatación lineal
11.3.2
Dilatación superficial
11.3.3
Dilatación volumétrica
11.4 Calorimetría
11.4.1
Calor
11.4.2
Equivalente mecánico del calor
11.4.3
Capacidad calorífica
11.4.4
Calor específico
11.4.5
Diferencia entre temperatura, calor y energía
interna
11.4.6
Calor latente
11.4.7
Equilibrio
térmico
o
ley
cero
de
la
termodinámica
11.5 Cambios de fase
11.6 Transmisión de calor
11.6.1
Conducción
11.6.2
Convección
11.6.3
Radiación
11.1 Termometría
Desde el punto de vista macroscópico se ha definido a la
materia en dos estados normales como : sólidos y fluidos,
sin embargo observando estos estados en su estructura
atómica vemos que estos dependen de las fuerzas de
cohesión o de repulsión. En un material sólido las fuerzas
de cohesión es muy intensa como para que las moléculas o
átomos se mantengan en posiciones mas o menos fijas,
formando agrupamientos que se conoce como red
cristalina, vibrando alrededor de sus posiciones mas o
menos fijas especialmente. En los fluidos se tiene dos
subestados, en los fluidos líquidos hay una compensación
entre las fuerzas de cohesión y repulsión, y en los fluidos
gaseosos predomina la fuerza de repulsión, manteniendo
las moléculas una separación lo suficientemente alta como
para que su interacción no sea muy intensa, y cuando
colisionan se mueven en distintas direcciones.
Las moléculas de los cuerpos están en constante
movimiento lo que hacen de que estas posean cierta
energía. Cada cuerpo o conjunto de moléculas poseen
cierta energía interna que es igual a la suma total de las
energías cinética y potencial de interacción de cada una de
sus moléculas. Por lo tanto si podemos calcular
estadísticamente el movimiento molecular de un cuerpo,
estamos midiendo su temperatura.
11.2 Temperatura
El concepto de temperatura, es una magnitud física escalar
que mide el grado de agitación molecular que en promedio
tiene las moléculas de un cuerpo. La temperatura
caracteriza el grado de calentamiento de un cuerpo en
términos de caliente o frío, de modo que un cuerpo estará
caliente cuando corresponde a una temperatura más alta,
que otro cuerpo que está a menor temperatura, está frío.
A menudo es conveniente pensar en la temperatura de un
cuerpo como una magnitud que está relacionada con el
movimiento aleatorio de las moléculas y que el incremento
de su temperatura está asociada con el incremento de la
velocidad promedio de sus moléculas y de la energía
cinética promedio.
11.2.1 Equilibrio Térmico
El concepto de temperatura está íntimamente relacionado
con el estado de equilibrio térmico entre dos sistemas.
Cuando dos o más sistemas se hallan en equilibrio térmico,
se dicen que tiene la misma temperatura. Si dos sistemas
se ponen en contacto y al hacerlo sus variables comienzas
a cambiar, entonces los sistemas no estaban a la misma
temperatura; sin embargo, llegaran a estar a una
temperatura
térmico.
común
cuando
se
alcance
el
equilibrio
El termómetro puede ser utilizado junto con la ley cero de
la termodinámica para determinar si dos sistemas
separados A y B están en equilibrio térmico. Si el
termómetro determina que A y B tiene la misma
temperatura se dice que ambos sistemas están en
equilibrio térmico, pero si los sistemas A y B no tienen la
misma temperatura, entonces no están en equilibrio ambos
sistemas.
11.2.2 Termómetros
Un instrumento que se utiliza para medir la temperatura se
llama termómetro. Hay muchos tipos de termómetros, pero
su funcionamiento siempre depende de alguna propiedad
de la materia, que cambia con la temperatura. Algunas de
éstas propiedades físicas son:
- Cambio en el volumen de un líquido
- Cambio en la longitud de un sólidos
- Cambio en la presión de un gas a V constante
- Cambio en el volumen de un gas a P constante
- Cambio en la resistencia eléctrica de un conductor
- Cambio en el calor de cuerpos muy calientes
Antiguamente se tomaba como untos fijos de calibración
de los termómetros el punto de congelación (0ºC) y el
punto de ebullición (100ºC) del agua, pero actualmente la
base es el punto triple del agua.
Los termómetros más usados en los laboratorios técnicos y
de investigación son:
a) Par termoeléctrico (termopar)
b) Termistor
c) Pirómetro óptico
d) Termómetro de resistencia de platino
e) Termómetro de gas a volumen (V) constante.
11.2.3 Punto Triple del Agua
Corresponde al punto donde la temperatura es de 273.16 K
y de presión equivalente de 0.61 Kpa, pueden coexistir en
equilibrio el agua (líquido), el vapor de agua y el hielo.
11.2.4 Escalas de Temperatura
No hay razón física fundamental para preferir una escala
determinada de uso tan común en la mayoría de países, o
de escoger otra análoga a ella, pero como la escala celsius
se basa en el punto de congelación del agua, más fácil de
reproducir, se toma como referencia para elaborar las
otras escalas. La escala de temperatura que resulta es
independiente del termómetro usado, así tenemos:
1) Escala Celsius, de Anders Celsius (1701-1744)
2) Escala Fahrenheit, de Gabriel Fahrenheit (1686-1736)
3) Escala Kelvin, de William Thomson, lord Kelvin (18241907)
4) Escala Rankine
Relación entre las escalas:
Tc TF − 32 TK − 273.15 TR − 491.67
=
=
=
5
9
5
9
(11.1)
a) Escala Celsius:
Tc = TK − 273.15 K
5
TC = (TF − 32º F )
9
5
TC = (TR − 491.67 º R )
9
(11.2)
b) Escala Fahrenheit (Tf)
9
9
TF = Tc + 32º F TF = (TK − 273.15 ) + 32º F TF = (TR − 491.67 º R ) + 32º F
5
5
(11.3)
c) Escala Kelvin (Tk)
T K = T C + 273 . 15 K
(11.4)
Ejemplo 11.1
TK =
5
(T F − 32 ) + 273 . 15 K
9
TK =
5
(T R − 491 . 67 º R ) + 273 . 15 K
9
Un objeto que tiene una temperatura de 80ºC ¿cual es su
temperatura en grados Fahrenheit y en grados Kelvin?
Solución:
9
TF = Tc + 32º F
5
9
TF = (80 ) + 32 = 144 + 32 ⇒ TF = 176º F
5
TK = TC + 273.15K
TK = 80 + 273.15K ⇒ TK = 353.15K
Ejemplo 11.2
Si un termómetro tiene entre 32ºF y 212ºF una longitu30
d de 20 cm. ¿a cuántos grados equivale una longitud de 12
cm? Exprese dicho resultado en grados kelvin.
Solución:
T = 212º F − 32º F = 180º F
180 200
180 × 12
Si
=
⇒ x=
= 108º F
x
12
20
TF = 108º F + 32º F = 140º F
Tenemos:
TF − 32º F TK − 273.15 K
140º F − 32º F TK − 273.15 K
=
⇒
=
9
5
9
5
TK = 60 + 273.15 = 333.15 K
Ejemplo 11.3
Si un globo tiene un volumen de 80 cm3 y una temperatura
de 65ºC justo antes de reventarse. Exprese dicho
resultado en grados Fahrenheit.
Solución
TC TF − 32º F
65 TF − 32
=
⇒
=
5
9
5
9
TF = 13 × 9 + 32 = 149º F
11.3 Dilatación Térmica
Si calentamos o enfriamos un cuerpo, observamos que
ellos se dilatan o se contraen respectivamente, esto se
explica porque a nivel molecular el cuerpo a alta
temperatura aumenta las distancias entre las moléculas y a
bajas temperaturas estas distancias disminuyen.
11.3.1 Dilatación Lineal
En los resultados experimentales se ha obtenido que para
pequeños cambios de temperatura, el aumento de tamaño
es proporcional al cambio ∆T de temperatura; puesto que
cada molécula se aleja de sus vecinas, el aumento total ∆L
en cualquier dimensión lineal L0, también es proporcional a
la dimensión original.
∆L = α Lo ∆T
(11.5)
L-Lo = α Lo (T-To)
L = Lo (1+α (T-To))
(11.6)
donde:
L: Longitud final
Lo: Longitud inicial
α: coeficiente de dilatación térmica lineal
T y To: temperatura final e inicial
En la tabla (11.1) se dan los valores de α para algunos
materiales, observando que dicho valor varia con la
temperatura y esta es la razón por la cual los termómetros
fabricados con materiales distintos no concuerdan con
exactitud, sin embargo si la variación de temperatura no es
muy grande, la variación entre los termómetros se pueden
pasar por alto.
11.3.2 Dilatación Superficial
El aumento superficial de un cuerpo, debido al aumento de
temperatura, está expresada como:
∆S = 2α So ∆T
(11.7)
S = So [1 + 2α (T − T0 )]
(11.8)
11.3.3 Dilatación Volumétrica
También podemos describir la expansión de un sólido por
el cambio en su volumen, debido al cambio de
temperatura.
∆V = β Vo ∆T
(11.9)
V = Vo [1 + β (T − T0 )]
(11.10)
donde:
Vo: volumen inicial
V : volumen final
T y To: temperatura final e inicial
β : coeficiente de dilatación térmica volumétrica
Para sólidos isotrópicos se encuentra que β=3α, mas no así
para líquidos y gases, ya que no poseen formas definidas.
Tabla 11.1: Coeficientes de expansión térmica a 25ºC
Coeficiente de
Coeficiente de
dilatación térmica
dilatación térmica
Material
volumétrica: β(10-6K-1)
lineal: α (10-6K-1)
SÓLIDOS
Aluminio
25
75
Latón
19
56
Hierro o acero
12
35
Plomo
29
87
Vidrio (Pyrex)
3.2
9
Vidrio ordinario
9
27
Cuarzo
0.4
1
≈12
≈36
Concreto
Mármol
1.4 - 3.5
4 - 10
Cobre
25
Hielo
51
invar. 36 (Ni-Fe)
1.6
Platino
9
Hule duro
80
Silicio
3
Plata
19
Sodio
70
Estaño
20
Zinc
35
LIQUIDOS
Gasolina
950
Mercurio
Alcohol
Glicerina
Agua
GASES
Aire (y la mayor parte
de los demás gases a
presión atmosférica)
181
1100
500
260
3400
Ejemplo 11.4
Se tiene un alambre de cobre de 160 m de longitud a 24ºC
¿qué longitud poseerá a 97ºC?
Solución
L = Lo (1+α (T-To))
L = (160 m) [1+(25x10-6K-1)(370,15-297,15)K]
L = 160,29 m
Ejemplo 11.5
Una habitación cerrada tiene 800 m3 de volumen. (a)¿Cual
es la masa de aire almacenada dentro de ella a 0ºC? (b)Si
la temperatura aumenta a 20ºC, ¿cuánta mas de aire se
incrementa en la habitación?
Solución
a)
b)
m0
kg
⇒ m0 = ρV0 = ⎛⎜1.29 3 ⎞⎟(800m 3 ) ⇒ m0 = 1032kg
V0
m ⎠
⎝
V = Vo [1 + β (T − T0 )]
ρ=
V = (800m 3 ) [1 + (3400 × 10 −6 K −1 )(293.15 − 273.15 )K ]
V = 854.4m 3
kg
m = ρV = ⎛⎜1.29 3 ⎞⎟(854.4m 3 ) = 1102.18kg
m ⎠
⎝
∆m = m − m 0
∆m = 1102.18 − 1032 = 70.18kg
11.4 Calorimetría
Se acostumbra a hablar del flujo de calor, como el calor
que fluye de manera espontánea de un cuerpo de mayor
temperatura a otro de menor temperatura.
De uso común en nuestra vida diaria empleamos la palabra
“calor”, como si supiéramos qué es. Pero con frecuencia el
término se usa de manera inconsistente, por lo tanto es
necesario que expliquemos que es calor, los conceptos
relacionados con él y cómo podemos cuantificar el
intercambio de calor.
11.4.1 Calor (Q)
Es una forma de energía debido al movimiento aleatorio de
las moléculas. El calor es una energía no almacenable, que
solo existe mientras haya entre los cuerpos en contacto
una diferencia de temperatura para que pueda calificarse
como calor, la energía emitida o absorbida de un sistema
debe haber sido transferida únicamente a causa de una
diferencia de temperatura entre el sistema y su entorno.
Para representar el calor usamos el símbolo Q, y como es
una transferencia de energía tiene dimensiones de energía.
La unidad SI de calor es el Joule (J).
1 J= 0.2389 cal = 9.487x10-4 Btu
1 Btu (unidad térmica británica) = 1055 J = 252 cal
Hay otras unidades de calor que son de uso frecuente
como:
Caloría (cal)
Se define como la cantidad de calor necesaria para elevar
1 grado celsius la temperatura de 1 gramo de agua, de
14,5ºC a 15,5ºC.
1 cal = 4,186 J = 0,427 Kgm
1 Kcal = 1000 cal.
11.4.2 Equivalente Mecánico del Calor
La idea de que el calor se relaciona con la energía, la
trataron de demostrar varios científicos del siglo XIX,
Thompson lo sugirió por primera vez al observar el calor
liberado durante la perforación de los cañones, sin
embargo James Joule (1818-1889) fue el primero en
establecer la equivalencia entre las dos formas de
energías. Después de muchos experimentos, Joule
encontró que determinada cantidad de trabajo siempre era
equivalente a determinada cantidad de calor. En forma
cuantitativa 4,186 Joules de trabajo equivalen a 1 caloría
de calor.
11.4.3 Capacidad Calorífica (c)
La capacidad calorífica de cualquier sustancia se define
como la cantidad de energía calorífica que se requiere para
elevar la temperatura de la sustancia en 1 grado celsius.
Q
c=
∆T
(11.11)
donde:
Q: calor: Joule (J)
∆T: Variación de temperatura (∆T=T-To): ºC
c: capacidad calorífica: J/ºC
11.4.4 Calor Específico (Ce)
Es una magnitud escalar propio para sustancia y cuyo valor
nos indica la cantidad de calor debe ganar o perder la
unidad de masa para elevar o disminuir su temperatura en
un grado.
Q
Ce =
m∆T
(11.12)
donde:
Q: calor (J)
m: masa (kg)
∆T: variación de temperatura (K)
Un cuerpo es un buen conductor del calor cuando su calor
específico es bajo y es mal conductor cuando su calor
específico es alto.
Por lo general los calores específicos se definen para dos
procesos: a volumen constante y a presión constante. En
las tablas de valores casi siempre se presenta el calor
específico a presión constante (Cp), pues es el más fácil de
medir. Sin embargo, es más fácil de calcular el calor
específico a volumen constante (Cv).
Así pues:
dQ = mCpdT
(11.13)
T
Q = m ∫ CpdT
T0
(11.14)
donde el calor cedido a un sistema a presión constante se
expresa en J/kg.K en el S.I.
El calor específico Cp se define para el caso límite de
cambios infinitesimales de temperatura, sin embargo para
pequeños cambios de temperatura los calores específicos
de muchas sustancias son independientes de esta.
Entonces:
Q = m. Cp. ∆T
(11-15)
Tabla Nº 11.2 Calores específicos a 25ºC y 1 atm de
presión atmosférica
Cp
Sustancia
J.kg-1K-1
cal.g-1ºC-1
Aluminio
910
0.215
Cobre
386
0.092
Hierro
447
0.107
Plomo
128
0.031
Mercurio
140
0.033
Tungsteno
136
0.032
Helio
5200
1.24
Nitrógeno
1040
0.25
Oxígeno
920
0.22
Carbono (diamante)
509
0.121
Agua
4180
0.998
Hielo (-10ºC)
2100
0.50
Alcohol (etílico)
2500
0.60
Vidrio (crown)
67
0.016
Ejemplo 11.6
Un trozo de metal de calor específico Ce=910 J/kg.K y
masa m=400 g recibe 3600 cal de manera que su
temperatura aumenta hasta 100ºC ¿cual era la
temperatura inicial del metal?
Solución
m= 400g = 0,4 Kg
Q= 3600 cal = 15069,6 J
T = 100ºC = 373.15 K
To= ?
Q = mCe∆T = mCe(T − T0 )
Q
T0 = T −
mCe
15069.6 J
T0 = 373.15 K −
(0.4kg )(910 J / kg.K )
T0 = 331.75 K = 58.6º C
11.4.5
Diferencia entre temperatura, calor y
energía interna
Empleando la teoría cinética, podemos hacer una clara
distinción entre temperatura calor y energía interna o
térmica.
La temperatura, en grados Kelvin, es una medida de la
energía cinética media de las moléculas individuales; el
calor es una transferencia de energía, como energía
térmica, de un objeto a otro debido a una diferencia de
temperatura, en cambio la energía interna, es la energía
total de todas las moléculas del objeto.
Además la dirección del flujo de calor entre dos objetos
depende de sus temperaturas y no de cuánta energía
térmica tiene cada uno de ellos.
11.4.6 Calor Latente
La mayoría de las sustancias pueden coexistir en fase
sólida, líquida o gaseosa, así por ejemplo, el agua puede
ser hielo, líquido o vapor. Un cambio de estado de uno a
otra fase se denomina cambio de fase y la energía
absorbida o emitida se denomina calor latente. Por lo tanto
el calor requerido para cambiar la fase de cierta masa “m”
de una sustancia pura está dada por:
Q = m.L
(11.16)
donde L se llama calor latente (calor oculto) de la sustancia
y depende de la naturaleza del cambio de fase, así como
de las propiedades de la sustancia.
El calor necesario para cambiar una sustancia del estado
sólido al líquido se llama calor de fusión o calor de
congelación y se representa por Lf.
El calor que se necesita para transformar una sustancia
líquida a vapor se llama calor de vaporización, calor de
ebullición o calor de condensación y se representa como:
Lv
Los cambios de fase se pueden explicar en términos de un
reacomodo de las moléculas cuando se agrega o se quita
calor de una sustancia.
Por ejemplo considérese el calor requerido para convertir
un bloque de hielo de 1.0 g a -30ºC a vapor (vapor del
agua)a 120ºC. En la figura (11-A) se muestra los
resultados experimentales.
Tabla Nº 11.3 Calores latentes a la presión de 1 atm
Calor de
Calor de
Punto de
Punto de
fusión
ebullición
Sustancia
fusión
J/Kg ebullició
J/Kg
Kcal/k
(ºC)
n (ºC)
(x105
Kcal/kg (x105
g
)
)
Oxígeno
-218.8
3.3
0.14
-183
51
2.1
Agua
0
79.7
3.33
100
539
22.6
Alcohol etílico
Plomo
Tungsteno
Plata
-114
327
3410
961
25
5.9
44
21
1.04
0.25
1.84
0.88
78
1750
5900
2193
204
208
1150
558
11.4.7
Equilibrio térmico o ley cero de la
termodinámica
Se supone que todas las variables de estado (P,V,T) tienen
el mismo valor en todos los puntos del sistema y de este
modo se usa un único valor para todo el sistema. Por lo
tanto si el sistema permanece constante en el tiempo, se
dice que esta en estado de equilibrio.
El concepto de temperatura está ligado con el estado de
equilibrio térmico entre dos sistemas. Entonces dos
sistemas se ponen en contacto y al hacerlo sus variables
comienzan a cambiar, esto nos indica que los dos sistemas
no estaban a la misma temperatura, sin embargo llegarán
a estar a una temperatura común, cuando se alcance el
equilibrio térmico.
Cuando en un recipiente cerrado y aislado térmicamente
son introducidos dos cuerpos uno caliente y el otro frío, se
establece un flujo de calor entre los cuerpos, de manera
que disminuye la temperatura del cuerpo caliente debido a
que pierde calor y el otro aumenta su temperatura debido
a que gana calor, hasta que no exista flujo de calor.
Del principio de conservación de la energía, se cumple que
el calor ganado por el cuerpos frio es igual al calor perdido
por el cuerpo caliente.
Q(ganado) = - Q(perdido)
(11.17)
Ejemplo 11.7
¿cuanto calor debe cederse (a presión atmosférica) a 500
gramos de agua en forma de hielo a 0ºC para convertirlo
en vapor a 100ºC?
Solución
8.5
8.7
48
23
m= 500 g = 0.5 kg
T1= 0ºC = 273.15 K
T2= 100ºC = 373,15 K
Lf= 3,33x105 J/Kg
Lv= 2,26x106 J/kg
Ce(H24180 J/Kg.K
Q1 = mL f
Q2 = mCe(T2 − T1 )
Q3 = mLv
Q = Q1 + Q2 + Q3
J ⎞
J ⎞
⎛
⎛
⎛
6 J ⎞
Q = (0,5kg )⎜ 3,33 × 10 5
⎟ + (0,5kg )⎜ 4180 ⎟(373.15 − 273.15 )K + (0,5kg )⎜ 2,26 × 10
⎟
kg ⎠
kg ⎠
kg ⎠
⎝
⎝
⎝
Q = 0,17 × 10 6 J + 0,21 × 10 6 J + 1,1 × 10 6 J
Q = 1,5 MJ
11.5 Cambio de Fase.
Cuando un cuerpo pasa de una fase (sólida, líquida o gas)
a otra, se llama cambio de fase y esto sólo sucede cuando
los cuerpos experimentan una ganancia o perdida de calor.
En consecuencia durante el cambio de fase la sustancia
experimenta un reordenamiento molecular, adoptando
nuevas propiedades físicas y perdiendo otras, manteniendo
la presión y temperatura constante, cambiando de
volumen. Para el agua se cumple:
11.6 Propagación del Calor
El proceso de propagación del calor se lleva a cabo
mediante tres procesos básicos.
11.6.1
Conducción.
La conducción del calor sólo ocurre si hay una diferencia de
temperatura entre dos partes del medio conductor y el
sentido del flujo calorífico es siempre de los puntos de
mayor a menor temperatura.
Para un bloque de espesor infinitesimal dx, con una área
en la sección transversal A y cuyas caras opuestas se
encuentran a diferentes temperaturas, se puede escribir la
ley de conducción del calor como:
dQ
dT
= H = − KA
dt
dx
(11.18)
Donde:
dQ
:Rapidez de la transferencia de calor
H≡
dt
A
: área
K
: Conductividad térmica del material
dT
: Gradiente de temperatura
dx
El signo menos en la ecuación indica que el calor fluye en
la dirección decreciente de la temperatura.
Cuando la temperatura es constante en el tiempo,
entonces
dT T1 − T2
, donde L es el espesor de la placa (o longitud
=
dx
L
de la barra)
T −T
H = KA⎛⎜ 2 1 ⎞⎟
⎝ L ⎠
(11.19)
11.6.2
Convección
En la convección de calor este se transmite mediante el
movimiento de materia en forma de corriente de
convección.
Dichas
corrientes
pueden
aparecer
espontáneamente en fluidos cuya densidad varía con la
temperatura. Así por ejemplo, en el. aire, como
consecuencia del campo gravitacional de la tierra, las
corrientes de convección tienen lugar de tal forma que el
aire con mayor temperatura (menor densidad) asciende y
el aire con menor temperatura (mayor densidad)
desciende. Este mismo proceso se observa cuando se
caliente un cuarto con un calentador cuando se hierve el
agua, en el sistema de calefacción por agua caliente, etc.
Por lo mismo si la sustancia caliente es obligada a moverse
mediante un ventilador o bomba, el proceso se llama de
convección forzada y si los fluidos se mueven a causa de
diferencia de densidad se denomina convección natural o
libre.
11.6.3
Radiación
La transmisión de calor por radiación tiene lugar entre
superficies mediante la emisión y posterior absorción de
radiación electromagnética. A diferencia de la conducción y
la convección, la radiación no requiere ningún medio para
su propagación y puede tener lugar incluso en el vacío.
La energía irradiada (o emitida) por una superficie es
proporcional a su temperatura absoluta elevada a la cuarta
potencia y depende de las características dela superficie. el
flujo de calor emitido por una superficie se expresa
mediante la siguiente expresión:
P = σ A e T4
(11.20)
siendo:
P: potencia radiada por el cuerpo (Watts)
σ: constante de Steffan Boltzmann
σ=5,6696x10-8 W/m2K4
A: área de la superficie (m2)
e: constate de emisividad
T: temperatura en grados absolutos (K)
Cuando la radiación incide sobre un cuerpo ,
parcialmente
absorbida,
parcialmente
reflejada
parcialmente transmitida a través del cuerpo.
es
y
Ejemplo 11.8
Dos placas de cobre y aluminio de espesores L1=12cm y
L2=18 cm respectivamente, están en contacto térmico
como en la figura. Las temperaturas de las superficies
exteriores son T1=60ºC y T2=265ºC. Determine la
temperatura en la interface y la rapidez de transferencia de
calor a través de las placas en estado estacionario.
Solución
L1= 12 cm = 12x10-2 m
L2= 18 cm = 18x10-2 m
A= 100 cm2 = 10-2 m2
k1(Cu) = 401 W/m.k
k2(Al) = 237 W/m.k
T1= 60ºC = 333.15K
T2= 265ºC = 538.15K
H1 = H 2
K 1 A(T − T1 ) K 2 A(T2 − T )
=
L1
L2
Reemplazando sus valores respectivos:
⎛ 401 w ⎞(T − 333.15 )K ⎛ 237 w ⎞(538,15 − T )K
⎜
⎟
⎜
⎟
m.K ⎠
m.K ⎠
⎝
⎝
=
12 × 10 − 2 m
18 × 10 − 2 m
3(401T − 133593,15 ) = 2(127541,55 − 237T )
1203T + 474T = 255083,1 + 400779,45
655862,55
T=
= 391,09 K
1677
T = 117,9 º C
Entonces
K A(T − T1 ) (401W / m.K )(10 −2 m 2 )(391,09 − 333,15 )K
H1 = 1
=
L1
12 × 10 − 2 m
H 1 = 1936,2 watts
Ejemplo 11.9
Un estudiante sin ropa está en un cuarto a 26ºC si la
temperatura de la piel del estudiante es de 38ºC. ¿Cuanto
calor pierde su cuerpo en 2 horas, suponiendo que la
emisividad de la piel es 0.90. El área de un estudiante
adulto es aproximadamente 2.5 m2.
Solución
P = σv A e T4
pero:
=
(5.6696x10-8W/m2k4)(2,5m2)(0.90)[(311.15)4Pneta
(299.15)4]k4
Pneta = 174.05 W.
Q
⇒
Q = P×t
t
Q = (174,05W )(7200 s ) = 1,25 × 10 6 J
Como P =
Ejemplo 11.10
Un calorímetro contiene 340 g de agua a 20ºC. Se
introducen en el un cilindro de plomo de 800 g y otro de
aluminio de 1100 g, mbos a 100ºC. Hallese la temperatura
final si no hay p´rdida de calor al medio ambiente.
(Ce(Pb) = 128 J/kg.K ; Ce(Al) = 910 J/kg.K)
Solución
Qgana el H2O = Qpierde(Pb+Al)
m H 2O Ce( H 2 O )(Te − T1 ) = m Pb Ce( Pb )(T2 − Te ) + m Al Ce( Al )(T2 − Te )
⎛
J ⎞
J ⎞
J ⎞
⎛
⎛
⎟(Te − 293.15 ) = (0,80kg )⎜128
⎟(373,15 − Te ) + (1,1kg )⎜ 910
⎟(373,15 −
kg.K ⎠
kg.K ⎠
kg.K ⎠
⎝
⎝
⎝
1421,2Te − 416624,78 = 38210,56 − 102,4Te + 373523,15 − 1001Te
2524,6Te = 828358,49
828358,49
Te =
= 328,11K = 54,9 º C
2524,6
(0,34kg )⎜ 4180
CAPÍTULO XII
TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES
12.1 Ecuación de Estado de un gas ideal
12.2 Procesos térmicos
12.2.1
Ley de Boyle-Mariotte
12.2.2
Ley de Gay-Lussac
12.2.3
Ley de Charles
12.3 Calculo de la presión
12.4 Relación entre la temperatura y la energía interna en un
gas ideal
12.5 Equipartición de la energía
12.6 Capacidades caloríficas de los gases ideales
TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES
Es una rama de la mecánica estadística que nos permite
expresar algunas magnitudes macroscópicas en función de
promedios tomados sobre movimiento moleculares y obtener así
un
conocimiento
más
profundo
de
las
propiedades
termodinámicas de un sistema explica el comportamiento de los
gases, considerando en el análisis la variación de las variables
macroscópicas de P, V y T.
12.1 Ecuación de Estado de un Gas Ideal
La ecuación de estado es una ecuación que relaciona las
variables de estado: Presión (P), Volumen (V) y
Temperatura (T) de un gas ideal en estado de equilibrio,
permaneciendo constante en el tiempo (su estado no
varía), pero en cambio se tiene en cuenta la masa del gas.
PV = nRT
(12.1)
donde:
P: presión (Pascal = N/m2)
V: volumen (m3)
T: temperatura absoluta (K)
n: cantidad de sustancia (moles)
m
(12.2)
n=
M
m: masa de la sustancia
M: Peso molecular de la sustancia
R: constante universal de los gases
R = 8.31 J/mol.K
Podemos calcular el valor R en condiciones normales:
Po= 1 atm
Vo= 22.4 litros
To= 273 K
n = 1 mol
R=
(12.3)
R=
PV
nT
atm − Lit
(1atm )(22,4 Litros )
= 0,082
(1mol )(273K )
mol.K
12.2 Procesos Térmicos.
12.2.1
Ley De Boyle-Mariotte (Curva Isotérmica)
Para n y T constantes, el volumen de una masa gaseosa es
inversamente proporcional con la presión que experimenta.
P V = constante
(12.4)
de la gráfica 12-1 (a)
P1 V1 = P2 V2
(12.5)
12.2.2
Ley de Gay-Lussac (Curva Isovolumétrica)
Para n y V constantes, la presión del gas es directamente
proporcional con su temperatura absoluta.
P
= Cons tan te
T
(12.6)
De la gráfica 12.1 (b)
P1 P2
=
T1 T2
(12.7)
12.2.3
Ley de Charles (Curva Isobárica)
Si n y P son constantes, el volumen de una masa gaseosa
es directamente proporcional con su temperatura absoluta.
V
= Cons tan te
T
(12.8)
De la gráfica 12.1 (c)
V1 V2
=
T1 T2
(12.9)
Todos estos resultados juntos se resumen en la relación:
PV
PV
= Cons tan te
⇒
= Cons tan te
nT
T
(12.10)
Ejemplo 12.1
Un gas ideal experimenta un proceso en el que la
temperatura se duplica y la presión se triplica. (a)¿en qué
factor cambia el volumen del gas? (b) representar los
estados inicial y final en un diagrama P-V.
Solución
a) P1V1 = nRT1
P2V2 = nRT2
→
→
Reemplazando:
PV1 = nRT
(3P )V2 = nR (2T )
⇒
nRT
P
2 nRT ⎞
V2 = ⎛⎜
⎟
3⎝ P ⎠
V1 =
⇒
2
V2 = V1
3
b)
Ejemplo 12.2
Se tiene un gas de Helio que se encuentra inicialmente en
un estado caracterizado por P=0.73 Kpa, V=12L y
T=320K. (a) Determinar la cantidad de gas presente. (b)
Si el gas se expande isotérmicamente hasta un volumen de
18 L, determinar la presión del helio en este estado.
Solución
a) P1= 0.73 Kpa = 720.6x10-5 atm
V1= 12L
T1= 320 K
R = 0.082 atm-L/mol.K
PV = nRT
n=
(720,6 × 10 −5 atm )(12 L ) = 3,3 × 10 −3 moles
PV
=
RT (0,082atm − L / mol.K )(320 K )
b) T= constante
V2= 18L
P2= ?
P1V1 = P2V2
(730Pa)(12L) = P2 (18L)
P2 = 486.6 Pa
12.3 Calculo de la Presión
Sabemos que un gas a presión (P) ejerce sobre una pared
de área A una fuerza de módulo F=PA. Desde el punto de
vista microscópico esta fuerza se debe a las colisione de
las moléculas con la pared. Supongamos que la molécula
choca elásticamente con la pared. La componente x de la
velocidad de la molécula pasa de ser inicialmente vx a ser vx después de la colisión.
la cantidad de movimiento es:
∆P = p x ( final ) − p x (inicial ) = m(− v x ) − m(v x ) = −2mv x
(12.11)
El impulso que la pared ejerce sobre la molécula
I ' x = ∆p x = −2mv x
(12.12)
Y el impulso de la molécula a la pared es:
I x = 2mv x
(12.13)
El valor promedio del impulso que la molécula transmite a
la pared es:
m∆t
Ix =
v x2
∑
L1
(12.14)
la fuerza promedio Fx ejercida sobre esta pared
I
m
Fx = x = ∑ v x2
∆t
L1
(12.15)
m∑ v x2
F
P= x =
⇒
PV = m∑ v x2
L2 L3 L1 L2 L3
(12.16)
Pero el promedio del cuadrado de la velocidad molecular
es:
v 2 = v x2 + v y2 + v z2 = 3 v x2
(12.17)
pero
∑v
2
x
=N v
2
x
=
N v2
3
(12.18)
PV =
Nm 2
v
3
(12.19)
Se encuentra que para un volumen dado, la presión de un
gas es proporcional al promedio del cuadrado de la
velocidad de las moléculas. Esto nos indica que cuanto más
rápido se mueven las moléculas, entonces la presión es
más alta.
12.4 Relación entre la Temperatura y la Energía Interna
en un Gas Ideal
Consideremos un gas ideal monoatómico, en el cual las
moléculas constan de un sólo átomo como He, En, Ar, Xe,
Kr, Rn, en condiciones normales y que las partículas se
comportan como partículas puntuales (despreciándose la
energía potencial de interacción entre ellos) la energía
interna U es la suma de las energías cinética traslacional
de las moléculas es:
1
U = m∑ vi2
2 i
(12.20)
La energía cinética promedio <K> de una molécula está
dada
1
m∑ vi2
∑i vi2 1 2
1
2 i
K =
= m
= mv
N
N
2
2
(12.21)
La energía interna de un gas ideal monoatómico:
1
U = N K = mN v 2
2
(12.22)
donde:
PV =
1
2 1
Nm v 2 = ⎛⎜ Nm v 2 ⎞⎟
3
3⎝2
⎠
(12.23)
2
PV = U
3
(12.24)
como: PV = nRT
2
3
U = nRT
⇒
U = nRT
3
2
(12.25)
Encontramos que la energía interna de un gas ideal es
proporcional a la temperatura absoluta para el gas ideal
monoatómico.
Entonces:
Para un sistema formado por n moles debe contener N
moléculas de tal modo que:
N
n=
NA
(12.26)
Donde: NA: Número de Avogadro (NA ≡ 6.023x1023 mol-1)
U=
3 NRT
2 NA
(12.27)
K =
U 3RT
=
N 2N A
(12.28)
3
K BT
2
K =
(12.29)
Si KB: constante de Boltzmann
R
KB =
≡ 1,38 × 10 − 23 J / K
NA
(12.30)
La ecuación (12-29) nos dice que la energía cinética de
traslación promedio de las molécula es proporcional a la
temperatura. Esta ecuación es perfectamente válido para
cualquier gas, y también con razonable exactitud para
líquidos y sólidos.
Si queremos calcular la velocidad promedio de las
moléculas, lo hacemos en función de la velocidad
cuadrática media vrms, como:
v rms = v 2
(12.31)
como:
K =
1
3
m v 2 = K BT
2
2
(12.32)
v2 =
3K B T
m
(12.33)
v rms =
3K B T
m
(12.34)
12.5 Equipartición de la energía
La energía cinética promedio de las moléculas de un
sistema a temperatura T es:
K =
1
3
m v 2 = K BT
2
2
(12.35)
como existen tres direcciones espaciales en las que la
molécula puede moverse, un gas ideal monoatómico tiene
tres grados de libertad y la energía mecánica promedio de
una molécula, es:
1
E = 3⎛⎜ K B T ⎞⎟
⎝2
⎠
(12.36)
La generalización de este resultado se conoce como
teorema de equipartición de la energía. Así para un
sistema molecular a temperatura T en el que cada
molécula tiene nα grados de libertad. La energía mecánica
molecular promedio viene dado:
1
E = nα ⎛⎜ K B T ⎞⎟
⎝2
⎠
(12.37)
Para un gas ideal monoatómico tiene 3 grados de libertad,
entonces nα=3, en cambio para las moléculas de los gases
diatómicos o poliatómicas, tiene más de 3 grados de
libertad. En promedio la energía mecánica de cada
molécula diatómica a temperatura T será:
1
E = 5⎛⎜ K B T ⎞⎟
⎝2
⎠
(12.38)
12.6 Capacidades caloríficas de los gases ideales
La cantidad de calor cedido al sistema a volumen constante
puede expresarse en función de la capacidad calorífica a
volumen constante Cv en la forma:
dQ = n Cv dT
(12.39)
Como dU = dQ y n es el número de moles del sistema
1 dU
Cv = .
(12.40)
n dT
La ecuación (12.25)
3
d ⎛⎜ nRT ⎞⎟
1
3
2
⎠
Cv = . ⎝
⇒
Cv = R
n
dT
2
en cambio el calor a presión constante es:
dQ = nCpdT
(12.41)
(12.42)
De la primera ley de la termodinámica:
dQ = dU + dW
(12.43)
nCpdT = nCvdT + PdV
(12.44)
pero
PdV = nR dT
(12-45)
entonces:
nCpdT = nCvdT + nRdT
Cp = Cv + R
⇒
Cp − Cv = R
3
5
Cp − R = R
⇒
Cp = R
2
2
(12-46)
(12.47)
(12.48)
Además:
γ =
Cp 5
= = 1,67
Cv 3
(12.49)
Tabla 12-1 Capacidades caloríficas para algunos gases a 1
atm y 20ºC
γ = Cp/Cv
Gas
Cv (J/mol.K)
Cp (J/mol.K)
He
12.5
20.8
1.67
Ar
12.5
20.8
1.67
H2
20.4
28.8
1.41
O2
21.1
29.4
1.40
N2
20.8
29.1
1.40
Cl2
25.7
34.7
1.35
CO2
28.5
37.0
1.30
NH3
27.8
36.8
1.31
C2H6
43.1
51.7
1.20
Ejemplo 12.3
Cada una de las moléculas de n cierto gas poliatómico a
1850 K tiene tres grados de libertad traslacionales, tres
rotacionales y cuatro vibracionales, que contribuyen a su
energía mecánica. Determinar: (a)la energía mecánica
molecular promedio y (b)la energía interna de 2 moles de
este gas.
Solución
a)
nα = 3 + 3 + 4 = 10 Grados de libertad
1
E = nα ⎛⎜ K B T ⎞⎟
⎝2
⎠
1
E = (10 )⎛⎜ ⎞⎟(1,38 × 10 − 23 J / K )(1850 K ) = 1,28 × 10 −19 J
⎝2⎠
b)
La energía interna es:
U = N E = nN A E
U = (2 moles )(6,02 × 10 23 mol −1 )(1,28 × 10 −19 J ) = 1,54 × 10 5 J
CAPITULO XIII
TERMODINÁMICA
13.1 Primera ley de la termodinámica
13.2 Calor, Trabajo, energía interna.
13.3 Trabajo efectuado por un gas ideal
13.3.1 A presión constante
13.3.2 A temperatura constante
13.3.3 En un proceso adiabático
13.4 Aplicaciones de la primera Ley de la termodinámica
13.4.1 Proceso Isócoro
13.4.2 Proceso adiabático
13.4.3 Proceso isobárico
13.4.4 Proceso isotérmico
13.4.5 Expansión libre
13.4.6 Proceso cíclico
13.5 Segunda Ley de la Termodinámica
13.6 Ciclos Termodinámicos
13.6.1 Ciclo de Carnot
13.7 Entropía.
TERMODINÁMICA
La termodinámica es el estudio de la relación entre calor, trabajo
y energía, y en particular de la conversión de energía en trabajo.
Los orígenes de la termodinámica y sus leyes se encuentran en
una serie de inventos prácticos que se llevaron a cabo durante la
revolución industrial y en particular en el descubrimiento de la
máquina de vapor no fue sino hasta la segunda mitad del siglo
pasado cuando quedó ampliamente reconocido que el calor y el
trabajo mecánico son formas de transferencia de energía y que
la energía es una magnitud que se conserva. Entre los científicos
que contribuyeron activamente en el desarrollo paulativo de
estas ideas estaban Benjamín Thompson (1753 - 1814) y James
Joule (1818 - 1889).
Al describir la termodinámica con frecuencia nos referimos a
sistemas determinados. Un sistema es cualquier objeto o
conjunto de objetos que deseamos considerar. Todo lo demás en
el universo, que no pertenece al sistema, se conoce como su
medio ambiente. Un sistema cerrado es aquel para el que no
entra ni sale masa. En un sistema abierto, puede entrar o salir
masa, muchos sistemas idealizados que estudiamos en física son
sistemas cerrados, y un sistema cerrado es aislado si no pasa
energía en cualquiera de sus formas por sus fronteras, en caso
contrario no es aislado.
13.1 Primera ley de la termodinámica.
La primera ley de la termodinámica es una ley que
descansa en la experimentación tomando como referencia
el principio de conservación de la energía. El que la energía
transferida sea calor o trabajo va a depender de lo que
elijamos como sistema. El trabajo realizado por un sistema
no solo depende de los estados inicial y final de dichos
sistemas sino también de cómo se lleva a cabo el proceso.
Por lo mismo el calor cedido a un sistema depende tambien
de cómo se lleva a cabo el proceso, siendo diferente para
cada instante del proceso.
De acuerdo a un gran número de experimentos, se puede
generalizar diciendo que mientras el calor cedido al sistema
y el trabajo realizado por este dependen del proceso, su
diferencia Q – W no depende del proceso y solo es función
de los estados inicial y final del sistema.
En consecuencia: “En todo proceso en que se cede un calor
Q al sistema y este realiza un trabajo W, la energía total
transferida a dicho sistema es igual al cambio en su
energía interna ∆U”.
Q = ∆U + W
(13.1)
(13.2)
∆U = U f − U i
Donde:
U f : Energía interna final
U i : Energía interna Inicial.
Si
Entonces
W = PdV
dQ = ∆U + PdV
(13.3)
(13.4)
Se ha adoptado el convenio de que Q indica la cantidad de
calor agregado al sistema y W el trabajo realizado por él.
Por lo tanto, Q es positivo cuando entra calor al sistema
(+Q) y (-Q) cuando el sistema pierde calor; W es positivo
cuando el sistema hace trabajo y negativo cuando se hace
trabajo sobre el sistema.
13.2 Calor, trabajo, Energía Interna.
En los capítulos anteriores vimos que el calor es una
transferencia de energía de un cuerpo a un segundo cuerpo
que está a temperatura mas baja. Por lo tanto el calor es
muy semejante al trabajo. Para distinguirlos, se define al
calor como una transferencia de energía debido a una
diferencia de temperatura, mientras que el trabajo es una
transferencia de energía que no se debe a una diferencia
de temperatura.
En cambio la energía interna de un sistema puede
interpretarse a nivel molecular como la suma de las
energías cinéticas de las moléculas de dicho sistema. De
este modo un aumento de la energía interna de un gas
ideal corresponde a un aumento en la energía cinética total
de sus moléculas (y un aumento en su temperatura).
13.3 Trabajo efectuado por un gas Ideal.
El trabajo es la energía transferida entre un sistema y su
entorno por métodos que no dependen de la diferencia de
temperatura entre ambos. Como el trabajo mecánico es el
producto de una fuerza por un desplazamiento, el trabajo
realizado por el sistema (maquina) está siempre ligado con
el movimiento de alguna parte de su entorno (parte
mecánica movil).
Este trabajo es positivo (Ver figura).
La fuerza ejercida sobre el embolo por el gas es:
Fx = PA
(13.5)
dW = Fx dx ;
dV = Adx
(13.6)
(13.7)
dW = PAdx = PdV
Entonces tenemos:
dV > 0 ⇒ dW = 0 Existe una expansión (trabajo positivo)
dV < 0 ⇒ dW < 0 Es un proceso de comprensión (Trabajo
negativo)
dV = 0 ⇒ dW = 0 Proceso isovolumétrico (V=cte), (no hay
trabajo)
En cambio si el sistema cambia desde V1 (Volumen inicial)
a V2 (Volumen final), se tiene:
V2
w = ∫ PdV
V1
(13.8)
Para ello consideremos los siguientes procesos que se
efectúan en un gas ideal.
13.3.1
A Presión Constante. (P0=cte)
V2
W = P0 ∫ dV = P0 (V2 − V1 )
V1
W = P0 ∆V
(13.8)
(13.10)
El trabajo realizado por el sistema es igual al área bajo la
curva correspondiente al proceso tal como se observa en la
figura (13.2)(a).
13.3.2
A Temperatura constante (T=cte)
nRT
Como: PV = nRT
P=
V
(13.11)
V2 nRT
V2 dV
(13.12)
W =∫
dV = nRT ∫
V2 V
V V
⎛V ⎞
(13.13)
W = nRT ln⎜ 2 ⎟
⎝ V1 ⎠
⎛V ⎞
ln⎜ 2 ⎟ > 0 En este caso el trabajo es
⎝ V1 ⎠
⎛V ⎞
positivo, pero si V2 < V1
⇒
ln⎜ 2 ⎟ < 0 y el trabajo es
⎝ V1 ⎠
negativo, o lo que se lo mismo P1V1 = P2V2 = nRT , entonces
reemplazando se tiene:
⎛V ⎞
W = P1V1 ln⎜ 2 ⎟
(13.14)
⎝ V1 ⎠
Si V2 > V1
⇒
Tal como se observa en la figura (13.2)(b)
13.3.3 En el Proceso Adiabático.
(No hay transferencia de calor desde/hacia el sistema). A
este proceso se le conoce como una expansión libre
adiabática, donde el estado inicial y final del gas son
idénticas, la curva representada en la figura (13.3),
Cp
depende del valor de γ =
y que cumple con la relación.
Cv
(13.15)
PV γ = const
PV γ
PV γ = P1V1γ
P = 1 γ1
⇒
(13.16)
V
El trabajo es:
V2 dV
P1V1γ
dV = P1V1γ ∫
γ
V1
V1 V
V1 V γ
1 ⎛ 1
1 ⎞
W = P1V1γ
⎜⎜ γ −1 − γ −1 ⎟⎟
1 − γ ⎝ V2
V1 ⎠
V2
V2
W = ∫ PdV = ∫
Simplificando:
PV ⎡ ⎛ V ⎞
W = 1 1 ⎢1 − ⎜ 1 ⎟
γ − 1 ⎢⎣ ⎝ V2 ⎠
γ −1
⎤
⎥
⎥⎦
(13.17)
(13.18)
(13.19)
Ejemplo 13.1. ¿Cuánto calor debe cederse a presión
constante a 1,5 moles de hierro para elevar su
temperatura desde 280 ºK hasta 320 ºK (MFe=56)?
Solución.
m
⇒
m = nM
M
Q = nMC e ( Fe)(T2 − T1 )
Q = (1,5 mol )(56)(447 J / kg º K )(320 − 280)º K
Q = 1,50 × 10 6 J = 1,50 MJ
Ejemplo 13.2. Un clavo de hierro de 20 gramos esta
siendo golpeada por un martillo de 0,45 kg, la velocidad
del martillo cuando choca con el clavo es de 9 m/s. Si la
mitad de la energía cinética del martillo se convierte en
energía térmica del clavo. ¿Cuántas veces debe golpearse
para elevar su temperatura 25 ºC?.
Solución.
N
( K m ) = Qc
2
N ⎛1
2 ⎞
⎜ mm v m ⎟ = mc C e ( Fe)∆T
2 ⎝2
⎠
N
(0,45 kg )(9 m / s ) 2 = (20 × 10 −3 kg )(447 J / kg º K )(298 º K )
4
N (9,11) = 2264,12
⇒
N = 292 veces
Q = mC e ( Fe)∆T ;
n=
13.4 Aplicaciones de la 1ra Ley de la Termodinámica.
La primera ley de la termodinámica describe los cambios
de energía en cualquier proceso que lleve a un sistema
desde un estado inicial de equilibrio a otro estado de
equilibrio final. Esto podemos determinar como:
13.4.1
Proceso
Isócoro.
(Isovolumétrico)
(V=cte).
Se tiene que:
dW = PdV
(13.20)
Si dV = 0
⇒
W = ∫ PdV = 0
(13.21)
Q = ∆U + W
(13.22)
Pero:
Q = ∆U
(13.23)
Entonces
De todo el calor cedido es igual al cambio de su energía
interna.
13.4.2
Proceso Adiabático (Q=0)
Es un proceso en el que no se cede calor al sistema, por
tanto:
dQ = 0
⇒
Q=0
(13.24)
De la primera ley de la termodinámica aplicada a un
proceso adiabático.
Q = ∆U + W
⇒
∆U = −W
(13.25)
Lográndose evitar que haya transferencia de calor entre
un sistema y su entorno al aislar el sistema mediante
paredes adiabáticas o bien llevar a cabo el proceso muy
rápidamente, de forma que pueda despreciarse la cantidad
de calor transferido.
13.4.3
Proceso Isobárico (P=cte)
Q = ∆U + PdV
(13.26)
El calor cedido al sistema puede evaluarse usando los
datos de los calores específicos y los calores latentes.
13.4.4
Proceso Isotérmico (T=cte)
Este tipo de proceso es aquel en que una sustancia cambia
de fase (por ejemplo de sólido a líquido). En este tipo de
proceso se sede calor al sistema y este puede realizar un
trabajo sobre su entorno, pero la temperatura no cambia.
13.4.5
Expansión Libre
Consideremos un recipiente que contiene dos cámaras, una
de ellas tiene un gas y la otra se ha hecho un vacío.
Si la membrana se separa, se rompe espontáneamente y el
gas se expande libremente hasta llenar todo el recipiente,
a este proceso se le llama expansión libre, observándose
que:
P1V1T1U 1
→
P2V2T2U 2
(13.27)
Debido al aislamiento, el proceso es adiabático (Q=0) y el
sistema no realiza trabajo sobre su entorno (W=0),
entonces:
Q = ∆U + w
⇒
∆U = 0
(13.28)
O lo que es lo mismo: U 1 = U 2 , los estados inicial y final del
gas tienen la misma energía interna. En una expansión
libre el volumen cambia de V1 hasta V2 y la temperatura de
T1 y T2, de modo que:
U (V2 , T2 ) = U (V1T1 )
(13.29)
Pero en un proceso de expansión libre nos conduce a la
conclusión de que la energía interna de un gas ideal solo
depende de la temperatura.
13.4.6
Proceso Cíclico.
Es un proceso en el cual el sistema regresa al estado inicial
del que había partido. Es decir en un proceso cíclico los
estados inicial y final son el mismo y la energía interna del
sistema debe ser igual a cero.
Si W es el trabajo total realizado en el ciclo y Q el calor
cedido al sistema donde ∆U = 0.
Q = ∆U + w
Q=w
(13.30)
Entonces el trabajo realizado por el sistema en un ciclo es
igual al calor neto cedido a dicho sistema.
Ejemplo 13.3
Un cilindro contiene He a 310 ºK y está cerrado por un
pistón movil. El gas se encuentra inicialmente a una
presión de 2 atm (202 kPa), ocupando un volumen de 48
L, se expande isotérmicamente hasta un volumen de 106
L. Luego el gas se comprime isobáricamente volviendo a su
volumen inicial de 48 L. Evaluar el trabajo realizado por el
gas.
a.
En la expansión isotérmica.
b.
En la compresión adiabática y
c.
En todo el proceso
d.
¿Cuál es la temperatura final del gas?
Solución.
a.
P1 .V1 = nRT
⎛V ⎞
W = nRT ln⎜ 2 ⎟
⎝ V1 ⎠
⎛V ⎞
W = P1V1 ln⎜ 2 ⎟
⎝ V1 ⎠
106 L ⎞
W = (202 KPa )(48 × 10 −3 m 3 )ln⎛⎜
⎟ = 7,7 KJ
⎝ 48 L ⎠
b.
⇒
W = P2 (V3 − V2 )
P1V1
(202 KPa ) (48L )
(48 × 10 −3 − 106 × 10 −3 )
(V3 − V2 ) =
106 L
V
W = −5,3KJ
W =
c.
WT = 7,7 + (−5,3) = 2,4 KJ
d.
P1 P3
=
T1 T3
→ T3 =
T1 P3 (310 K )(91KPa )
=
= 140 K
P1
202 KPa
13.5 Segunda Ley de la Termodinámica
Si la primera ley de la termodinámica se basa ene l
principio de conservación de energía, la segunda ley se
sustenta en la manera natural que tiene el calor para
propagarse en las zonas de alta temperatura hacia los de
baja temperatura. Esta ley la enunció R.J. Clausius (18221888).
“El calor pasa en forma natural de un objeto caliente a uno
frío, nunca pasará espontáneamente de un objeto frío a
uno caliente”.
Como este enunciado se aplica a un proceso determinado,
necesitamos un enunciado más general que incluya los
demás procesos, entonces podemos decir que:
“Es imposible construir una máquina térmica capaz de
convertir todo el calor que se le entrega en trabajo”.
Entonces una máquina térmica es cualquier dispositivo
mecánico que se encarga de transformar la energía
térmica en trabajo mecánico.
W N = Q1 − Q2
(13-31)
donde:
WN : trabajo neto del ciclo
Q1 : calor absorbido en el foco caliente
Q2 : calor perdido o cedido al foco frío
La idea de cualquier máquina térmica es que se pueda
obtener energía mecánica cuando se permita el paso del
calor de una temperatura alta a una baja, como se observa
en la figura (13-5).
La eficiencia de una máquina térmica se define como la
relación entre el trabajo neto entregado por la máquina y
el calor invertido por su funcionamiento.
η=
W N Q1 − Q2
=
Q1
Q1
(13-32)
o tambien:
η=
T1 − T2
T1
(13-33)
de igual manera:
Q1 Q2
(13-34)
=
T1 T2
Ejemplo 13-4
¿Cuál es la máxima eficiencia obtenida para una máquina
de vapor entre 600ºC y 320K?
Solución
T −T
T
η = 1 2 = 1− 2
T1
T1
T
η = 1 − 2 = 1 − 0.37 = 0.63
T1
η = 63%
13.6 Ciclos Termodinámicos
Es aquel proceso termodinámico en donde el sistema
retorna a su estado inicial por un camino diferente. En todo
ciclo termodinámico la variación de la energía es igual a
cero.
13.6.1 Ciclo de Carnot
Fue escrito por el ingeniero francés Sadi Carnot en 1824.
Carnot consideró una máquina térmica ideal que alcanzaría
la máxima eficiencia trabajando entre dos temperatura TA
y TB, el ciclo correspondiente se denomina ciclo de carnot.
Este ciclo consta de cuatro procesos:
De:
a. 1 Æ 2: expansión isotérmica (T1=const.): El sistema
absorbe una cantidad de calor QA.
b. 2 Æ 3: expansión adiabática reversible: la temperatura
del sistema desciende de TA a TB.
c. 3 Æ 4: compresión isotérmica (T2=const.): se extrae
una cantidad de calor QB del sistema.
d. 4 Æ 1: compresión adiabática, que completa el ciclo:
la temperatura del sistema aumenta, volviendo a TA
desde TB.
La maquina de Carnot es un caso especial de una máquina
térmica más general denominada máquina reversible, cuyo
ciclo está compuesto en su totalidad por etapas
reversibles.
La eficiencia para una maquina que desarrolla el ciclo de
carnot es:
T
ηc = 1 − B
(13-35)
TA
Por lo tanto este resultado lo podemos resumir en el
Teorema de Carnot: “Todas las máquinas reversibles que
operan entre dos temperaturas TA y TB, tienen la misma
eficiencia η c , y ninguna máquina que opere entre estas
temperaturas puede tener mayor eficiencia que esta”.
13.7 Entropía (S)
Si la entropía es una variable de estado, ésta describe el
desorden de determinado estado termodinámico sin
importar cómo llegó el sistema a ese estado. Por lo tanto el
cambio de entropía entre dos estados es independiente de
la trayectoria elegida para evaluarlo.
Entonces:
dQ
(13-36)
∆S = ∫
T
La entropía también se puede describir desde un punto de
vista microscópico. La cantidad de microestados posibles
que corresponde al macroestado determina su entropía
como no conocemos en qué microestado está el sistema,
cuanto más microestados sean posibles, menos
información estará disponible y la entropía será mayor. La
ecuación exacta de la entropía de un macroestado es:
S = k ln Ω
(13-37)
donde:
k: constante de Boltzmann
Ω: cantidad de microestado
La segunda ley de la termodinámica dice que la entropía
del universo tiende a aumentar.
BIBLIOGRAFÍA
¾ SERWAY, R, Física – Tomo I, Ed. McGraw-Hill Interamericana
de México 1993.
¾ GETTYS, E; KELLER, F; SKOVE, M; Física Clásica y Moderna
Ed. Mc. Graw-Hill Interamerica de España, S.A. España –
1991.
¾ GINCOLI; D; Física, Ed. PRENTICE – MALL HISPONOAMERICA,
S.A. MEXICO – 1994.
¾ TARASOV, L; TARASOVA, A; PREGUNTAS Y PROBLEMAS DE
FÍSICA, ED. MIR MOSCU, URSS, 1980.