Historia de las Matemáticas _ MCarmen Rodríguez Sánchez

María del Carmen Rodríguez Sánchez
ACTIVIDAD UTILIZANDO LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
Situación a estudiar:
Poliedros de Kepler-Poinsot
Curso:
Matemáticas 2º ESO
Tema:
Geometría. Cuerpos geométricos
Conceptos a desarrollar en clase:
Poliedros regulares cóncavos, sus características y desarrollos planos. Transformación de un
poliedro por estelación para convertirse en otro. Poliedros duales. Visión espacial. Fórmula
de Euler.
Objetivos:
Conocer parte de la historia de la geometría y la inquietud que ha presentado su estudio a lo
largo del tiempo. Ampliar el conocimiento de los cuerpos geométricos con el estudio de
cuatro poliedros regulares cóncavos. Reconocer los elementos de estos poliedros y sus
características. Llegar a identificar el proceso de transformación que sufre un poliedro para
convertirse en otro. Conocer las relaciones que existen entre unos poliedros y otros. Mejorar
la capacidad de visión espacial trabajando con elementos 3D. Razonar el cumplimiento de la
Fórmula de Euler. Saber investigar y buscar información precisa.
Actividades propuestas:
Se pretende que los alumnos realicen las construcciones (una de ellas cada uno) de los
poliedros de Kepler-Poinsot, que posteriormente pondrán en común con sus compañeros,
teniendo una visión global de todos los sólidos. Así, deben ser capaces de identificar todos
sus elementos y características para completar una tabla de propiedades de estos poliedros,
ayudados también de la lectura de la actividad. Posteriormente se pide que expliquen
razonadamente el cumplimiento o no de la Fórmula de Euler en cada uno de los cuatro
sólidos de Kepler-Poinsot. Y por último, una actividad de búsqueda de información.
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María del Carmen Rodríguez Sánchez
ACTIVIDAD: Poliedros de Kepler-Poinsot
Johannes Kepler (1571-1630), fue un importante astrónomo y matemático
alemán, crucial en la revolución científica. Es conocido principalmente por sus
leyes sobre el movimiento de los planetas en su órbita alrededor del Sol. Pero
también fue relevante su faceta en el campo de las matemáticas.
Louis Poinsot (1777-1859), fue un importante físico y matemático francés
conocido por sus aportaciones a la dinámica de los sólidos y a la mecánica
racional. Creó la mecánica geométrica, que demuestra cómo un sistema de
fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido se puede descomponer en una sola
fuerza resultante y un par de fuerzas de giro.
A lo largo de la historia los poliedros han estado estrechamente asociados con el mundo del arte y se
han presentado figuras en diferentes situaciones, antes incluso de ser descubiertas o consideradas
como algo que nunca antes se ha visto. Este es el caso, por ejemplo, de un poliedro denominado
pequeño dodecaedro estrellado que apareció en 1430 en un mosaico del pavimento de la basílica de
San Marcos en Venecia, atribuido a Paolo Uccello (Img. 1). O dos figuras llamadas gran dodecaedro
y gran dodecaedro estrellado (Img. 2), que fueron representadas en el libro de grabados en madera
de Wenzel Jamnitzer, titulado Perspectiva Corporum Regularium, publicado en 1568.
Img. 1
Img. 2
Es en 1619 cuando Kepler se dio cuenta que había sólidos sin reconocer, al observar que existían
dos maneras diferentes de pegar 12 pentagramas a lo largo de sus aristas para obtener un poliedro
regular. Cuando en un solo vértice se unen 5 pentagramas, se obtiene la figura que nombró como
pequeño dodecaedro estrellado. En cambio, si en cada vértice se encuentran 3 pentagramas, se
obtiene el gran dodecaedro estrellado.
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Fue después, en 1809, cuando Poinsot definió dos poliedros no convexos regulares en los que
todavía no se había reparado, el gran dodecaedro y el gran icosaedro, y presentó un argumento
combinatorio para probar que no puede haber otros. En realidad, publicó el hallazgo de cuatro
nuevos sólidos regulares, sin conocer que dos de ellos ya aparecían en un estudio de Kepler de
1619. Las 12 caras del gran dodecaedro son pentágonos, igual que en el dodecaedro, pero aquí se
intersecan unas a otras. El gran icosaedro está formado por 20 triángulos, intersecados entre sí.
Como anécdota podemos mencionar que los poliedros de Poinsot son los duales de los poliedros de
Kepler.
Img. 3
Por lo tanto podemos decir que un sólido de Kepler-Poinsot, es un poliedro regular no convexo, que
tiene por caras polígonos regulares, que forman el mismo ángulo entre sí, y que en todos sus
vértices convergen el mismo número de caras.
Todos los poliedros de Kepler-Poinsot se pueden obtener a través de un proceso llamado estelación,
partiendo de los sólidos Platónicos. Este proceso consiste en extender las caras del poliedro hasta
que las rectas se intersequen. Así, partiendo de las extensiones de los lados de un polígono se
construye un nuevo polígono. Dependiendo del tipo de poliedro que sea tendrá más o menos
estelaciones, por ejemplo el tetraedro y el cubo no tienen ninguna, el octaedro 1, el dodecaedro 3 y
el icosaedro 59. Fue Cauchy en 1811 quien descubrió que los poliedros de Kepler-Poinsot son
estelaciones de los sólidos Platónicos y demostró que tanto unos como otros son los únicos
poliedros regulares que existen.
En todos estos poliedros, pueden existir líneas donde intersectan dos caras que en realidad no son
aristas de ninguna cara, de modo que parte de cada cara pasa por el interior de la figura, a estas
líneas se les llama falsas aristas porque no forman parte del poliedro. De manera similar, pueden
existir falsos vértices al cruzarse tres de las líneas anteriores en un punto, el cual no será ningún
vértice del poliedro.
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Pequeño dodecaedro estrellado
Poliedro regular cóncavo, compuesto por doce caras pentagramáticas. En cada vértice se encuentran
cinco estrellas de cinco puntas. Es el poliedro dual del gran dodecaedro. Puede formarse partiendo
de un dodecaedro y colocando una pirámide pentagonal en cada una de sus caras.
Gran dodecaedro estrellado
Poliedro regular cóncavo, compuesto por doce caras pentagramáticas que se intersectan. Cada
vértice lo forman tres estrellas de cinco puntas. Las veinte puntas del poliedro son pirámides
triangulares isósceles, dispuestas como las caras del icosaedro. Es poliedro dual del gran icosaedro.
Gran dodecaedro
Poliedro regular cóncavo, compuesto por doce caras pentagonales regulares (seis pares de
pentágonos paralelos). En cada vértice convergen cinco de estos pentágonos. Es el poliedro dual del
pequeño dodecaedro estrellado.
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Gran icosaedro
Poliedro regular cóncavo, compuesto por veinte caras triangulares (equilateros) que se cruzan. En
cada uno de los vértices confluyen cinco de estos triángulos. Es el poliedro dual del gran
dodecaedro estrellado.
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Referencias
Imágenes:
1
http://www.veraviana.net/web/Piccolo%20Dodecaedro%20Stellato%20posto%20all%E2%80%99interno%20di%20un
%20Cerchio%20di%20Esaedri,%20in%20S.%20Marco%20a%20Venezia%20Paolo%20Uccello.jpg
http://www.veraviana.net/keplerpoinsot.html
2
http://www.veraviana.net/web/jamnitzer-gsd-big.jpg
http://www.veraviana.net/keplerpoinsot.html
3
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Kepler-Poinsot_solids_(es).svg/600px-KeplerPoinsot_solids_(es).svg.png
https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_de_Kepler-Poinsot
4
https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander%27s_Star#/media/File:Alexander%27s_Star.jpg
https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander%27s_Star
5
https://dl.dropboxusercontent.com/u/9790844/Geocaching/kepler.jpg
https://www.geocaching.com/geocache/GCJAZF_geohunter-5-the-kepler-star?guid=7d4594ab-f437-4c81-adb56172ee88990f
Páginas:
http://www.georgehart.com/ (Enciclopedia sobre poliedros y temas relacionados con ellos)
http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/art.html
http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/kepler.html
http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/jamnitzer.html
http://wright.ava.ufsc.br/~grupohipermidia/graphica2013/trabalhos/POLIEDROS%20ESTRELADOS%20O
%20ESTUDO%20DOS%20SOLIDOS%20GEOMETRICOS%20ALEM%20DOS%20LIVROS%20DIDATICOS.pdf
(Simposio nacional de geometría – poliedros estrellados)
http://avrinc05.no.sapo.pt/solidos_regulares.htm (Blog sobre geometría - sólidos)
http://cmapspublic2.ihmc.us/rid=1197453226493_1083040394_6479/%3Cstrong%3EPoliedros%3C/strong%3E.pdf
(Historia de los poliedros – Universidad de La Laguna)
http://www.sacred-geometry.es/?q=es/content/estelaciones (Blog sobre geometría)
http://cibem7.semur.edu.uy/7/actas/pdfs/1009.pdf (Conferencia sobre geometría espacial en el aula)
http://www.veraviana.net/keplerpoinsot.html (Página interactiva sobre geometría)
http://trazoide.com/glosario/poliedros-de-kepler-poinsot/ (Glosario de dibujo técnico)
Johannes Kepler:
https://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler
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María del Carmen Rodríguez Sánchez
Louis Poinsot:
https://es.wikipedia.org/wiki/Louis_Poinsot
Poliedros de Kepler-Poinsot:
https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_de_Kepler-Poinsot
https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%E2%80%93Poinsot_polyhedron
Dodecaedro:
https://en.wikipedia.org/wiki/Dodecahedron
Pequeño dodecaedro estrellado:
https://en.wikipedia.org/wiki/Small_stellated_dodecahedron
http://mathworld.wolfram.com/SmallStellatedDodecahedron.html
http://www.veraviana.net/web/pequenododecaedroestrelado.jpg
Gran dodecaedro estrellado:
https://en.wikipedia.org/wiki/Great_stellated_dodecahedron
http://mathworld.wolfram.com/GreatStellatedDodecahedron.html
http://www.veraviana.net/web/grandedodecaedroestrelado.jpg
Gran dodecaedro:
https://en.wikipedia.org/wiki/Great_dodecahedron
http://mathworld.wolfram.com/GreatDodecahedron.html
http://www.veraviana.net/web/grandedodecaedro.jpg
Gran icosaedro:
https://en.wikipedia.org/wiki/Great_icosahedron
http://mathworld.wolfram.com/GreatIcosahedron.html
http://www.veraviana.net/web/grandeicosaedro.jpg
Recortables:
http://www.korthalsaltes.com/es/model.php?name_en=Kepler-Poinsot_Polyhedra_in_color
http://www.korthalsaltes.com/pdf/collection_004.PDF
Libro Perspectiva Corporum Regularium:
http://aproged.pt/biblioteca/jamnitzer.pdf
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