Problema 277 de trianguloscabri

Problema 277 de trianguloscabri
[1] (Juan Bosco Romero) Sea A* un punto interior de BC en el triángulo ABC. Las
bisectrices interiores de loa ángulos BA*A y CA*A intersecan a AB y a AC en D y E
respectivamente. Demostrar que AA*, BE y CD son concurrentes.
[2] (Loeffer) Lugar geométrico del punto de concurrencia si ABC es equilátero.
[3] (J.B. Romero) Lugar geométrico de los baricentros, circuncentros, ortocentros e
incentros de los triángulos A*ED, rectángulos en A* cuando A* varia sobre BC.
Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez.
Usaremos coordenadas baricéntricas:
<< Baricentricas`;
También representaremos gráficas de curvas con ecuaciones implícitas:
<< Graphics`ImplicitPlot`;
Además definimos una nueva función para calcular las bisectrices del ángulo formado por dos rectas.
Afortunadamente, no necesitamos estas ecuaciones, sólo el lugar en que cortan a los lados del triángulo,
por lo que la cosa se simplificará.
BisectrizRectas@8a1_, b1_, c1_<, 8a2_, b2_, c2_<D :=
Ha1 x + b1 y + c1 zL2 ê HSA Hb1 − c1L ^ 2 + SB Hc1 − a1L ^ 2 + SC Ha1 − b1L ^ 2L −
Ha2 x + b2 y + c2 zL2 ê HSA Hb2 − c2L ^ 2 + SB Hc2 − a2L ^ 2 + SC Ha2 − b2L ^ 2L
Comenzamos introduciendo las coordenadas del punto AA*
ptA1 = 80, v, w<;
Ahora hallamos los puntos de intersección D y E.
Solve@8BisectrizRectas@Recta@ptA1, ptAD, Recta@ptA1, ptBDD
Solve@8BisectrizRectas@Recta@ptA1, ptAD, Recta@ptA1, ptBDD
awy
99x → − è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!! =,
2
2
2
c v − a v w + b2 v w + c2 v w + b2 w2
awy
9x → è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!! ==
c2 v2 − a2 v w + b2 v w + c2 v w + b2 w2
avz
99x → − è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!! =,
c2 v2 − a2 v w + b2 v w + c2 v w + b2 w2
avz
9x → è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!! ==
2
2
2
c v − a v w + b2 v w + c2 v w + b2 w2
0, z
0, y
0<, xD
0<, xD
2
trianguloscabri277.nb
Entonces, podemos definir
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!
c2 v2 − a2 v w + b2 v w + c2 v w + b2 w2 , 0=;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!
ptE = 9a v, 0, c2 v2 − a2 v w + b2 v w + c2 v w + b2 w2 =;
ptD = 9a w,
à [1] (Juan Bosco Romero) Sea A*un punto interior de BC en el triángulo ABC.Las
bisectrices interiores de loa ángulos BA*A y CA*A intersecan a AB y a AC en D y
E respectivamente.Demostrar que AA*,BE y CD son concurrentes.
Comprobamos que AA*, D y E están alineados.
Det@8Recta@ptA, ptA1D, Recta@ptB, ptED, Recta@ptC, ptDD<D
0
à [2] (Loeffer) Lugar geométrico del punto de concurrencia si ABC es equilátero.
Hallemos el punto de concurrencia P de AA*, BE y CD.
ptP = Punto@Recta@ptA, ptA1D, Recta@ptB, ptEDD
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!
9a v w, v c2 v Hv + wL + w H−a2 v + b2 Hv + wLL , w c2 v Hv + wL + w H−a2 v + b2 Hv + wLL =
Para hallar el lugar geométrico de P, hallamos v,w de las dos últimas coordenadas y susituimos en la
primera:
Solve@8y == %@@2DD, z == %@@3DD<, 8v, w<D
y
,
99v → −
2
2
2
2
Hc y − a y z + b y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4
z
w→−
=,
Hc2 y2 − a2 y z + b2 y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4
y
,
9v → −
Hc2 y2 − a2 y z + b2 y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4
z
w→−
=,
Hc2 y2 − a2 y z + b2 y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4
y
,
9v →
Hc2 y2 − a2 y z + b2 y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4
z
=,
w→
Hc2 y2 − a2 y z + b2 y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4
y
,
9v →
2
2
2
2
Hc y − a y z + b y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4
z
w→
==
2
2
2
2
Hc y − a y z + b y z + c2 y z + b2 z2 L1ê4
x2 = a2 v2 w2 =
a2 y2 z2
c2 y2 − a2 y z + b2 y z + c2 y z + b2 z2
trianguloscabri277.nb
Entonces la ecuación del lugar del punto P es
lugarP = x2 Hc2 y2 − a2 y z + b2 y z + c2 y z + b2 z2 L − a2 y2 z2 ;
Para obtener una figura simple de esta curva consideramos un triángulo concreto y definimos una ventana
para la figura:
cA = 80, 3<;
cB = 8−4, −1<;
cC = 82, −1<;
ampl = 5;
vax = 8x, −ampl, ampl<; vay = 8y, −ampl, ampl<;
Ahora dibujamos el triángulo y la curva:
triangulo = Graphics@8RGBColor@0, 0, 1D, Line@8cA, cB, cC, cA<D<D;
curvalugarP = ImplicitPlot@BarCar@lugarP 0, cA, cB, cCD,
vax, vay, DisplayFunction → Identity, PlotPoints → 100,
PlotStyle → 8AbsoluteThickness@2D, RGBColor@1, 0, 0D<D;
Show@8triangulo, curvalugarP<, Axes → False,
AspectRatio → Automatic, ImageSize → 400D;
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trianguloscabri277.nb
Para conseguir una descripción de esta curva, calculamos su conjugada isogonal, en busca de una fórmula
más sencilla:
FactorAlugarP ê. 9x →
−
a2
x
,y→
b2
y
,z→
c2
z
=E
a2 b2 c2 Hb2 c2 x2 − a2 c2 y2 + a4 y z − a2 b2 y z − a2 c2 y z − a2 b2 z2 L
x2 y2 z2
Obtenemos que la conjugada isogonal del lugar de P es una cónica. La idea es buscar cinco puntos que
cumplan la ecuación.
isogonallugarP = b2 c2 x2 − a2 c2 y2 + a4 y z − a2 b2 y z − a2 c2 y z − a2 b2 z2 ;
Solve@8isogonallugarP == 0, z == 0<, xD
Solve@8isogonallugarP == 0, y == 0<, xD
ay
ay
99x → −
=, 9x →
==
b
b
az
az
99x → −
=, 9x →
==
c
c
Resulta entonces que la cónica corta a los lados AB y AC en los puntos los puntos (a,b,0), (-a,b,0), (a,0, c),
(-a,0,c), es decir los ppuntos en que también cortan a los lados las bisectrices de los ángulos B y C.
Sustituyendo x por a2 e y por b2 resulta
Factor@isogonallugarP ê. 8x → a2 , y → b2 <D
a2 b2 Ha2 − b2 − zL Hc2 + zL
trianguloscabri277.nb
Por tanto, Ia2 , b2 , -c2 M es un punto de la curva.
De forma parecida podemos obtener el punto Ia2 , -b2 , c2 M. Estos puntos son los vértices del triángulo
tangencial correspondientes a C y B, respectivamente. Con esto, tenemos SEIS puntos, por lo que la
cónica queda determinada.
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