Estudio comparativo de diferentes tipos de agujeros negros

Proyecto de Iniciación a la Investigación
Estudio comparativo de diferentes
tipos de agujeros negros
Por
Jose Marı́a Pérez Poyatos
Tutor
Bert Janssen
Departamento de Fı́sica Teórica y del Cosmos
Universidad de Granada
Julio de 2016
Imagen tomada de la pelı́cula Interstellar
Resumen
Los agujeros negros son una de las más exóticas e interesantes soluciones que pueden ser
obtenidas a partir de las ecuaciones de campo de Einstein. De hecho, la solución de Schwarzschild fue la primera solución exacta obtenida de estas ecuaciones, unas ecuaciones que el mismo
Albert Einstein pensaba que jamás serı́an resueltas. Los agujeros negros han sido estudiados durante mucho tiempo por cientı́ficos tan importantes como pueden ser Stephen Hawking o Roger
Penrose, contribuyendo enormemente en este campo e incluso descubriendo algunas de las propiedades cuánticas de estos objetos. El hecho de que tengan un punto singular en su interior,
donde la curvatura se hace infinita y las ecuaciones pierden su validez completamente, suscita
interés incluso hoy en dı́a, ya que la gravedad parece ser imparable y ninguna fuerza conocida
es capaz de oponerse a ella para llegar a un estado estable sin singularidad. En este proyecto estudiaremos los agujeros negros que históricamente han sido importantes por diversas razones,
como el ya mencionado agujero negro de Schwarzschild, con el cual estableceremos el procedimiento seguido en el resto de apartados para estudiar la estructura causal de los diferentes casos
que trataremos. Todos los casos estudiados tienen un alto grado de simetrı́a, con lo cual pueden
ser abordados de una forma relativamente sencilla con unos conocimientos más o menos básicos
sobre Fı́sica y Geometrı́a Diferencial. También estudiaremos espacios que no presentan un agujero negro, como son los espacios de De Sitter y de anti-De Sitter, para conocer sus principales
propiedades para luego, posteriormente. sı́ introducir un agujero negro de tipo Schwarzschild y
estudiar unas estructuras causales que no suele ser frecuente encontrar en la bibliografı́a.
Índice
1. Introducción y motivación del proyecto
4
2. Agujero negro de Schwarzschild
7
2.1. Derivación de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2. Estudio de los horizontes de la solución de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3. Estructura causal de la solución de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Agujero negro de Reissner-Nordström
14
3.1. Formalismo de Palatini y derivación de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Estudio de los horizontes de la solución de Reissner-Nordström . . . . . . . . . . . . 17
3.3. Estructura causal de las diferentes soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.1. Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordström subextremal . . . 18
3.3.2. Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordström extremal . . . . . 22
4. Espacio de De Sitter
26
4.1. Derivación de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2. Estructura causal de la solución de De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5. Espacio de Anti De Sitter
31
5.1. Estructura causal de la solución de anti De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6. Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de De Sitter
35
6.1. Estudio de los horizontes de la solución de Schwarzschild De Sitter . . . . . . . . . . 35
√
6.2. Caso subextremal R0 > 3 3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2.1. Estructura causal del caso subextremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
√
6.3. Caso extremal R0 = 3 3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.1. Estructura causal del caso extremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7. Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de anti-De Sitter
43
7.1. Estudio de los horizontes de la solución de Schwarzschild Anti De Sitter . . . . . . . 43
7.2. Estructura causal de la solución de Schwarzschild Anti De Sitter . . . . . . . . . . . . 44
7.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8. Conclusiones finales
48
9. Bibliografı́a
50
1
1.
INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN DEL PROYECTO
4
Introducción y motivación del proyecto
Antes de estudiar los diferentes tipos de agujeros negros, debemos conocer las matemáticas que
se esconden tras ellos y las ideas básicas que sustentan la teorı́a de la Relatividad General. Para
empezar, las ecuaciones de campo de Einstein en unidades tales que c = 1:
1
Rµν − Rgµν = −8πGTµν
2
(1.1)
son unas ecuaciones tensoriales. Esto es ası́ debido al Principio de Covariancia Generalizado, que
nos dice que no hay ningún observador privilegiado y que las leyes de la fı́sica han de escribirse
de idéntica forma en todos los sistemas de referencia, tanto inerciales como no inerciales, es por
ello que nuestras ecuaciones deben escribirse en términos de objetos que transformen bien ante
cambios de coordenadas, y estos son escalares, vectores y tensores. Por otro lado, estas ecuaciones
manifiestan “la idea más feliz de la vida de Einstein”, que fue la identificación del campo gravitatorio con la geometrı́a del espacio, por lo que gravedad y geometrı́a dependı́an ı́ntimamente una
de otra, lo que es una consecuencia del Principio de Equivalencia, según el cual observadores en
caı́da libre en un campo gravitatorio son localmente equivalentes a observadores en el vacı́o. Es
por ello, que sus ecuaciones de campo debı́an relacionar la geometrı́a del espacio con las fuentes
de campo gravitatorio, que son la masa (como en la teorı́a newtoniana) y además, la energı́a, que
es una de las grandes lecciones de la Relatividad Especial, y es que masa y energı́a son las dos
caras de una misma moneda. Esto es lo que refleja la parte derecha de la ecuación, donde aparece
el tensor de energı́a-momento, que contiene toda la información del contenido energético de la
solución estudiada. En la parte izquierda de la ecuación, tenemos el tensor de Ricci que a su vez
es contracción del tensor de Riemann, que refleja la geometrı́a del espacio; el escalar de Ricci, que
es la traza del tensor de Ricci; y la métrica, que es lo que buscamos al resolver estas ecuaciones.
A pesar de que a priori, esos tres objetos no están relacionados, lo están ı́ntimamente a través
de la conexión. La conexión es un objeto matemático no tensorial que nos indica cómo cambia
un vector de un espacio tangente a otro al hacer transporte paralelo en la variedad, y es que los
vectores viven en los espacios tangentes a las variedades.Y es que en una variedad arbitraria, los
espacios tangentes cambian de punto a punto. Necesitamos un representante de un vector dado
perteneciente a un espacio tangente en otro espacio tangente, y la forma de hacerlo es gracias a la
conexión. La conexión, a priori, es totalmente arbitraria: diferentes conexiones, nos darán diferentes nociones de curvatura. Pero existe una conexión preferida, que posee la importante cualidad
de que se relaciona con la métrica de la forma:
Γµν =
ρ
1 ρλ g
∂µ gλν + ∂ν gµλ − ∂λ gµν ,
2
(1.2)
donde asumimos el convenio de ı́ndices repetidos de Einstein; un mismo ı́ndice arriba y abajo
en una expresión significa sumatorio sobre todos los valores que pueda tomar dicho ı́ndice. Esta
conexión cumple las siguientes dos propiedades:
Tµν = Γµν − Γνµ = 0
ρ
ρ
ρ
;
∇µ gνρ = 0
(1.3)
La primera de ellas nos dice que el tensor de torsión es nulo, y por ende, la conexión es simétrica.
La consecuencia geométrica de este hecho, es que el cuadrilátero formado por dos vectores, haciendo transporte paralelo de ambos, es cerrado. La segunda, nos dice que la derivada covariante
de la métrica es nula, por lo que podemos conmutar la derivación con la subida y bajada de ı́ndi-
5
1
INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN DEL PROYECTO
ces, operación que se realiza con el tensor métrico. A partir de la conexión, podemos definir el
tensor de Ricci
λ
Rµν = Rµλν
= ∂µ Γλλν − ∂λ Γλµν + Γλµσ Γσλν − Γλλσ Γσµν ,
(1.4)
que también está relacionado con la métrica, de tal forma que sólo aparecen ecuaciones diferenciales de segundo orden para la ésta, que era otro de nuestros objetivos, ya que las ecuaciones
diferenciales en fı́sica son siempre de segundo orden dado que siempre tenemos dos condiciones
de contorno. Como podemos ver, estas ecuaciones van a ser altamente no lineales, lo que va a
hacer que no se conozcan soluciones generales a las mismas.
En este proyecto, vamos a tratar con agujeros negros, que son soluciones exactas de la ecuaciones
de campo de Einstein. Son objetos en cuyo interior se encuentra una singularidad fı́sica, es decir, un
punto del espacio- tiempo en el que las ecuaciones se desmoronan y donde tenemos una curvatura
infinita. Esta singularidad está aislada del resto del espacio-tiempo por un horizonte de sucesos,
lugar a partir del cual, una vez cruzado, no hay retorno, ya que ni siquiera la luz es capaz de
salir. Existen soluciones sin horizonte, pero nosotros aplicaremos la hipótesis de censura cósmica
propuesta por el fı́sico matemático Roger Penrose, según la cual estos objetos no existen en la
naturaleza.
Como hemos dicho, en nuestras soluciones van a aparecer singularidades, es decir, puntos del
espacio-tiempo donde alguna de las componentes de la métrica va a divergir, y conviene distinguir
los dos casos posibles:
• Singularidades fı́sicas: son lugares del espacio-tiempo donde la curvatura se hace infinita y
nuestras ecuaciones no son válidas ahı́.
• Singularidades de coordenadas: son aquellas que aparecen por usar un sistema coordenado
concreto. Un cambio de coordenadas la hace desaparecer o bien la lleva a otro punto que
antes del cambio de coordenadas era completamente regular. Un ejemplo serı́a el origen en
coordenadas polares planas.
En nuestro estudio, van a aparecer diferentes tipos de geodésicas, que son las lı́neas que las
partı́culas libres siguen por la variedad. Los dos tipos de geodésicas que vamos a encontrarnos
son los siguientes:
• Geodésicas nulas: son las trayectorias que siguen los rayos luminosos. La norma de sus vectores tangentes es nula, lo que equivale a decir que gµν ẋ µ ẋ ν = 0
• Geodésicas temporales: son las trayectorias que siguen las partı́culas materiales. La norma
de sus vectores tangentes es la unidad gµν ẋ µ ẋ ν = 1.
En nuestro estudio, supondremos simetrı́a esférica y estaticidad. La simetrı́a esférica hace que nos
baste con estudiar las geodésicas radiales, que son aquellas que van en dirección radial, pudiendo
ser entrantes o salientes.. La estaticidad consiste en la invariancia de la métrica ante inversiones
temporales, y será la causante de la conservación de la energı́a por unidad de masa a lo largo de
las geodésicas, ecuación que se plantea de la forma gtt ṫ = E.
Estudiar agujeros negros consiste en conocer la estructura causal de los mismos, que es el conjunto
de puntos que pueden influenciar a otros, este es el motivo por el cual estudiamos el comportamientos de las geodésicas, ya que conociendo las trayectorias de los rayos luminosos podemos
1
INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN DEL PROYECTO
6
conocer el cono de luz futuro de cualquier observador en cualquier lugar. Esto es importante, ya
que según la Relatividad Especial, un observador se mueve dentro de su cono de luz futuro y
no puede salir de él, ya que eso supondrı́a velocidades superiores a la de la luz. En Relatividad
Especial, los conos de luz eran de la forma:
Figura 1: Conos de luz en Relatividad Especial
Veremos que en un espacio curvo, la variedad de conos que aparecen es bastante más amplia e
interpretaremos su forma y orientación, ya que variarán de un punto a otro precisamente por la
curvatura. Lo importante es que el tiempo dentro de un cono de luz siempre va sobre la bisectriz
que pasa sobre su vértice, por lo que un observador en reposo se moverá en estos diagramas a lo
largo de dicha bisectriz.
La motivación que nos lleva a estudiar estos objetos es la siguiente:
• Como hemos mencionado antes, son soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein. Como mencionábamos al principio, el propio Einstein pensaba que no podrı́an obtenerse de
sus ecuaciones soluciones exactas. En concreto, las que estudiaremos aquı́ presentan mucha
simetrı́a.
• Esta simetrı́a es la que hace que se puedan obtener de una forma relativamente sencilla y
siguiendo el proceso presentado aquı́.
• Históricamente, han resuelto problemas que la Gravitación Universal de Newton no podı́a,
como la precesión del perihelio de Mercurio y dan correcciones de orden superior a las trayectorias predichas por Newton.
• Una de ellas es posible que represente nuestro universo en el futuro: se trata de la solución
de De-Sitter.
• Han cambiado nuestra forma de entender el espacio el tiempo, haciendo que ambos sean
dinámicos e intercambiables y no meros espectadores como lo eran para la mecánica newtoniana.
7
2.
2
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD
Agujero negro de Schwarzschild
Este tipo de agujero negro, fue la primera solución exacta de las ecuaciones de Einstein y es una de
las más sencillas de encontrar. Es una solución de las ecuaciones en el vacı́o y fue la solución que
determinó correctamente la precesión del perihelio del planeta Mercurio, ya que las ecuaciones de
Newton no eran capaces de ello.
2.1.
Derivación de la solución
Las ecuaciones de Einstein
1
Rµν − Rgµν = −8πGTµν
2
en ausencia de materia y energı́a, hacen que el tensor de energı́a-momento sea nulo por lo que:
Tµν = 0.
Quedando la ecuación de Einstein de la forma:
1
Rµν − Rgµν = 0.
2
Si multiplicamos por la métrica inversa y operamos podemos despejar el escalar de Ricci:
g
µν
1
Rµν − Rgµν
2
= R − 2R = 0 ⇒ R = 0.
El escalar de Ricci es nulo y la ecuación de Einstein sin traza queda mucho más sencilla:
Rµν = 0.
Aún ası́, es muy complicado resolver esta ecuación tensorial de forma general, por lo que vamos
a proponer un Ansatz, es decir, una forma para la métrica que contemple todas las caracterı́sticas
que buscamos de nuestra solución, es decir, buscamos una solución que sea esféricamente simétrica y estática. Por ello buscamos una métrica con la forma:
ds2 = e2A(r) dt2 − e2B(r) dr2 − r2 dΩ22
donde A y B son funciones dependientes de la coordenada radial y que hemos de determinar y
dΩ22 = dθ 2 + sin2 θdϕ2 es el elemento de lı́nea de la 2-esfera. Esta métrica tiene todas las caracterı́sticas que buscamos, ya que sólo depende del módulo de la distancia, siendo esféricamente
simétrica, es decir, invariante ante rotaciones SO (3), y la estaticidad está asegurada debido a que
ninguna componente depende de la coordenada temporal y no hay términos cruzados que involucren al tiempo.
Con esta métrica, tenemos que calcularnos los sı́mbolos de Christoffel usando su definición a partir
de las componentes de la métrica 1.2. Los sı́mbolos no triviales son los siguientes:
2
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD


Γttr = A0






Γ r = e 2( A − B ) A 0


 tt
Γrrr = B0





Γrθθ = −re−2B




 r
Γ ϕϕ = −re−2B sin2 θ
8
θ = r −1
Γrθ
Γθϕϕ = − sin θ cos θ
Γrϕ = r −1
ϕ
Γθ ϕ = cot θ
ϕ
que nos servirán para el resto de los casos que vamos a estudiar. A continuación tenemos que
calcular el tensor de Ricci, que en función de los sı́mbolos de Christoffel tiene la forma 1.4, y cuyas
componentes no nulas son

h
i
2


Rtt = −e2( A− B) A00 + ( A0 ) − A0 B0 + 2r −1 A0











2


R = A00 + ( A0 ) − A0 B0 − 2r −1 B0

 rr
(2.1)





Rθθ = e−2B [rA0 − rB0 + 1] − 1











 R = sin2 (θ ) R
ϕϕ
θθ
Ahora debemos imponer que se cumplan las ecuaciones de Einstein, es decir, debemos igualar
todos los términos del tensor de Ricci a cero Rµν = 0.
El sistema de ecuaciones diferenciales que tenemos parece sobredeterminado, ya que tenemos dos
funciones incógnita y cuatro condiciones, pero unas ecuaciones son linealmente dependientes de
otras. Resolviendo el sistema, obtenemos que la forma explı́cita de nuestra métrica es
ds2 =
1−
2M
r
2M −1 2
dt2 − 1 −
dr − r2 dΩ22 .
r
(2.2)
Trivialmente se comprueba que las componentes de esta métrica cumplen todas las ecuaciones
diferenciales que tenı́amos arriba. Las coordenadas {t, r, θ, ϕ}, son λας empleadas por un observador que se encuentre en el infinito. Estas coordenadas, que son las que usaremos inicialmente en
todos los casos estudiados aunque variando el observador que las emplea, se denominan coordenadas de Schwarzschild. La métrica, ası́ presentada, representa el campo gravitatorio creado por
una masa puntual m =
2.2.
M
G
situada en r = 0.
Estudio de los horizontes de la solución de Schwarzschild
La métrica presenta varios puntos donde algunas componentes divergen o van a cero. No nos detendremos en los que hacen que algún término del elemento de lı́nea de la 2-esfera sea nulo, ya
que eso es un artefacto de usar coordenadas esféricas, y un simple cambio a coordenadas cartesianas los harı́a desaparecer. Fijándonos en la componente gtt de la métrica, es decir, su componente
temporal, vemos que ésta se anula en r = 2M y que diverge para r = 0. Tenemos que ver si se
tratan de singularidades fı́sicas o de coordenadas. Para la singularidad en r = 0 , calculamos el
invariante de curvatura de Kretschmann, ya que cualquier otro es nulo por construcción, por ser
el tensor de Ricci nulo. Estos invariantes se construyen debido a que todos los observadores van a
obtener el mismo valor, por ser escalares. La otra razón, es que si encontramos un invariante que
diverja en el punto considerado, entonces tenemos asegurado que ese punto es una singularidad
9
2
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD
de tipo fı́sico.
Rµνρλ Rµνρλ =
48M2
r6
De forma inmediata vemos que este invariante de curvatura diverge en r = 0 y que es totalmente
regular en r = 2M, lo cual quiere decir que en r = 0 tenemos una singularidad fı́sica y que la
curvatura en ese lugar es, de hecho, infinita. El hecho de que este invariante no diverja en r = 2M,
no nos dice nada acerca del carácter de esta singularidad. Veamos si con el cambio de coordenadas
adecuado somos capaces de ver que se trata de una singularidad de coordenadas.
Esto es general, dada una métrica esféricamente simétrica y estática, los horizontes se encuentran
en aquellos puntos que hagan que la componente gtt de la métrica se anule, y esto será lo que
apliquemos a lo largo de todo el proyecto.
2.3.
Estructura causal de la solución de Schwarzschild
Estudiar la estructura causal de una solución, implica conocer las trayectorias de los fotones y de
las partı́culas materiales, lo que equivale a calcular las geodésicas nulas y temporales, respectivamente, del espacio, que son las trayectorias seguidas por las partı́culas libres que se mueven por
la variedad.
Comenzamos calculando las geodésicas radiales nulas gµν ẋ µ ẋ ν = 0, es decir, el vector tangente a
las mismas es un vector nulo por tener norma nula. Con esta ecuación obtenemos
1
r
2M
dt
=±
=
±
1
+
=
±
dr
r − 2M
r − 2M
1 − 2M
r
que integrando, nos da la forma explı́cita de las geodésicas radiales nulas
t = ± (r + 2M ln |r − 2M |) + C0 .
El signo positivo nos indica las geodésicas salientes, es decir, que parten hacia el infinito desde un
punto y el signo negativo las geodésicas entrantes, las que llegan del infinito al punto en cuestión.
Para visualizar mejor la estructura causal de la solución vamos a dibujar un diagrama de conos de
luz. Éste se construye de tal manera que se dibujan las geodésicas entrantes y las salientes y vemos
los puntos donde intersectan. Una vez determinados esos puntos, dibujamos las lı́neas tangentes
a ambas geodésicas en los puntos de intersección. Con este diagrama podemos ver los horizontes
y las influencias causales que cualquier punto puede ejercer sobre otro. En este caso, los conos de
luz son:
2
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD
10
Figura 2: Conos de luz de la solución de Schwarzschild
En este diagrama podemos apreciar que la solución se aproxima a lo visto en Relatividad Especial
(recordemos los conos de luz de la Figura 1) cuando nos alejamos del horizonte, ya que los conos
de luz no están inclinados y presentan un vértice de 90º. Más próximo al horizonte, los conos de
luz comienzan a estrecharse, lo cual es indicativo de que a las geodésicas les es más difı́cil salir
de esa zona. Los conos de luz están totalmente cerrados en el horizonte, lo cual nos indica que los
rayos de luz no son capaces de salir de esa zona para llegar al infinito ni son capaces de cruzarla
para llegar al interior del horizonte, Pero veremos que esto es una consecuencia de las coordenadas
empleadas.
A continuación vamos a ver que la superficie r = 2M es una superficie de corrimiento infinito
hacia el rojo para el observador que se encuentra en el infinito. Para ello suponemos r = const en
la métrica 2.2
dτ 2 =
1−
2M
r
dt2
e integramos
r
∆τ =
1−
2M
∆t
r
(2.3)
Supongamos que el observador cayente envı́a una señal al observador en el infinito de periodo ∆τ.
Este periodo y el que medirá el observador que se
qencuentra en el infinito ∆t, están relacionados
1−
a través de 2.3. Justo en el horizonte, el término
2M
r
es nulo, por lo que la única forma de
que ∆τ sea finito es que ∆t sea infinito, con lo cual, lo que mide el observador en el infinito es
que esta señal tiene un periodo infinito, o lo que es lo mismo, un corrimiento al rojo infinito. Este
observador jamás verá al observador cayente atravesar el horizonte, ya que su única manera de
comunicarse es a través de señales luminosas y estas, como hemos visto, no son capaces de llegar
desde el horizonte al infinito en un tiempo finito.
Veamos ahora qué es lo que ocurre con las geodésicas radiales temporales, que se calculan de la
siguiente forma:


gµν ẋ µ ẋ ν = 1






 1−
2M
r
ṫ = 1.
Con la primera ecuación imponemos que la geodésica es temporal, ya que el vector tangente tiene
11
2
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD
norma unidad. La segunda ecuación impone que la partı́cula cae desde el infinito con velocidad
dt
dτ
= 1, es decir, los
tiempos transcurren de la misma forma para el observador que cae y para el observador que se
encuentra en el infinito: estamos diciendo que no tenemos efectos relacionados con la dilatación
del tiempo de la Relatividad Especial y a su vez estamos imponiendo la conservación de la energı́a
por unidad de masa de la partı́cula que sigue dicha geodésica, algo que podemos hacer debido a
la estaticidad de la solución. Combinando ambas ecuaciones, obtenemos
nula, ya que haciendo que la coordenada radial tienda a infinito, tenemos que
dr
=±
dτ
r
2M
r
que integrando para las geodésicas entrantes
1
τ=
3
r
2 3/2
r0 − r3/2
M
Es decir, una partı́cula que parta desde una distancia r0 de la singularidad, llegará a ella en un tiempo propio (tiempo medido por el observador que cae) finito. Si las geodésicas radiales temporales
pueden cruzar el horizonte, no hay motivo por el cual las nulas no sean capaces de hacerlo. Para
solucionar esta discrepancia y ver que la singularidad en r = 2M es una singularidad de coordenadas, construimos las coordenadas de Eddington-Finkelstein (E-F) avanzadas, que se construyen
a partir de las geodésicas radiales nulas:
t̃ = t + 2M ln |r − 2M |
Estas coordenadas, están pensadas para estudiar qué es lo que ocurre en el interior del horizonte.
Con estas nuevas coordenadas, las geodésicas radiales nulas toman la forma



t̃ = −r + C0

entrantes



t̃ = r + 4M ln |r − 2M| + C
0
salientes
y que la métrica que tenı́amos en un comienzo sea
ds2 =
1−
2M
r
dt̃2 −
4M
2M
dt̃dr − 1 +
dr2 − r2 dΩ22
r
r
(2.4)
La componente temporal de la métrica se sigue anulando en el horizonte, pero el determinante
se puede calcular en este caso. Un hecho evidente es que ha aparecido un término cruzado dt̃dr
que nos rompe la estaticidad de la métrica. Nos ocuparemos de ello más adelante. Construimos el
diagrama de conos de luz en estas coordenadas:
2
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD
12
Figura 3: Conos de luz en las coordenadas de E-F avanzadas
donde podemos ver que las geodésicas entrantes pueden cruzar el horizonte que era lo que esperábamos, pero las salientes del interior no pueden hacerlo, confirmando que esta zona es una
zona de corrimiento infinito hacia el rojo para el observador situado en el infinito. Por lo tanto,
tenemos un horizonte de sucesos en el que ninguna señal puede salir al exterior y todo lo que
entra está inevitablemente destinado a caer en la singularidad, ya que ésta se encuentra en el futuro de cualquier observador del interior al horizonte, como pudimos ver al calcular las geodésicas
radiales temporales y como podemos ver en este diagrama al ver la inclinación que presentan los
conos de luz, ya que estos apuntan hacia la singularidad. Es debido a esta inclinación de los conos de luz por lo que es imposible quedarse a una distancia constante de la singularidad, ya que
recordemos que el tiempo en un cono de luz corre en la dirección de la bisectriz de su vértice.
Viendo la métrica 3.6, al entrar en el horizonte cambian los signos de las componentes temporal y
espacial , invirtiendo la coordenada radial y temporal sus papeles. Estar a una distancia constante
equivaldrı́a a parar el transcurrir del tiempo, lo cual es imposible.
Finalmente, esta singularidad fı́sica es de tipo espacial, ya que como hemos calculado, se encuentra en el futuro de todo observador que se adentre a través del horizonte. Por lo tanto, en estas
coordenadas confirmamos lo que veı́amos en las coordenadas de Schwarzschild.
Como hemos dicho antes, parece que hemos roto la invariancia temporal que tenı́amos al principio, debido al término cruzado que nos aparecı́a en la métrica en coordenadas de E-F avanzadas
2.4. Pero también podı́amos haber optado por construir
t̄ = t − 2M ln |r − 2M |
que son las coordenadas de E-F retardadas. En estas coordenadas, las geodésicas radiales nulas
tienen la forma



t̄ = −r − 4M ln |r − 2M| + C0

entrantes



t̄ = r + C
0
salientes
y que la métrica sea
ds2 =
1−
2M
r
dt̄2 +
4M
2M
dt̄dr − 1 +
dr2 − r2 dΩ22 .
r
r
Vemos que en este caso el término cruzado es de signo contrario al del cambio de coordenadas
anterior, por lo que el cambio t̄ ↔ t̃ mapea una métrica en la otra. De modo que si considera-
13
2
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD
mos las dos métricas, y los dos sistemas de coordenadas, tenemos asegurada la invariancia ante
traslaciones temporales que tenı́amos inicialmente. Si dibujamos los conos de luz en estas nuevas
coordenadas,
Figura 4: Conos de luz en las coordenadas de E-F retardadas
vemos que la parte exterior del horizonte es idéntica a la de las otras coordenadas, pero dentro la
situación es totalmente diferente: las influencias causales pueden salir de él y nada puede cruzarlo,
lo cual equivale a decir que serı́a un tipo de agujero blanco. Esto nos indica que ninguno de los dos
sistemas de coordenadas cubren completamente la variedad sino solo parches de ella, como hemos
mencionado antes. Las coordenadas avanzadas cubren una región asintóticamente plana con una
singularidad cubierta por un horizonte en el futuro, mientras que las retardadas describen otra
zona asintóticamente plana con una singularidad cubierta por un horizonte en el pasado. Estos dos
sistemas de coordenadas juntos, nos describen por completo toda la variedad que está compuesta
por un agujero blanco y un agujero negro.
2.4.
Conclusiones
La parte más importante de esta sección es la presencia de un horizonte de sucesos que o bien no
deja pasar las influencias causales desde la parte interna del horizonte a la parte asintóticamente
plana, o bien no deja pasar influencias causales desde la parte asintóticamente plana a la parte
interior. Sea como sea, tenemos un horizonte de sucesos que envuelve a la singularidad aislándola
del resto del universo. En las coordenadas avanzadas, una vez cruzado el horizonte de sucesos,
tenemos una singularidad inevitable en el futuro del observador cayente. En el otro caso, usando
las coordenadas retardadas que nos nos descubren una nueva zona que no veı́amos con las coordenadas de Schwarzschild, tenemos una singularidad inevitable que en este caso se encuentra en
el pasado y protegida también por un horizonte de sucesos, de la cual las influencias causales salen y llegan a una zona asintóticamente plana, pero no son capaces de volver a cruzar el horizonte
para volver al interior.
3
AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM
3.
14
Agujero negro de Reissner-Nordström
Este tipo de agujero negro es ir un paso más con respecto a la solución de Schwarzschild, ya que
introducimos un campo eléctrico en dirección radial. Se podrı́a añadir también una “carga magnética” que produjese un campo magnético también radial, pero para ello tendrı́amos que introducir
el concepto de monopolo magnético y eso no afectarı́a a las conclusiones que se van a obtener de
esta solución. En este caso vamos a hacer uso de una nueva herramienta que nos va a facilitar un
poco las cosas, como lo es el Formalismo de Palatini, que pasamos a detallar a continuación.
3.1.
Formalismo de Palatini y derivación de la solución
El caso de la solución de Schwarzschild, era muy fácil de resolver a partir de las ecuaciones de
Einstein debido a que el tensor de energı́a-momento era nulo, pero se demuestra que esas ecuaciones se pueden obtener a partir de un principio variacional, en concreto a partir de la acción de
Einstein- Hilbert
ˆ
4
s=
d x
q
1
| g|
R ,
2κ
(3.1)
usando el formalismo de Palatini, donde hemos introducido la constante κ = 8πG Éste formalismo consiste en suponer que la métrica y la conexión son dos entidades que no tienen relación,
de forma que constituyen dos campos independientes. Por lo tanto, para obtener la ecuación de
Einstein simplemente tenemos que aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange a la métrica y a la
conexión. Para la métrica la ecuación es muy sencilla
∂L
= 0,
∂gµν
ya que explı́citamente no aparecen derivadas de la métrica, todas las derivadas forman parte de
la conexión y hemos supuesto que no tiene relación alguna con la métrica. Ahora bien, debemos
aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange a la conexión, obteniendo
ρ
Tµν = 0
∇µ gνρ = 0
;
que son las condiciones 1.3 que satisfacı́a la conexión de Levi-Civita. Por ello sólo derivamos respecto de la métrica sólo donde ésta aparezca explı́citamente.
A continuación vamos a aplicar este formalismo a la acción para las ecuaciones de Einstein de un
objeto cargado
ˆ
s=
d4 x
q
| g|
1
1
R − Fµν F µν
2κ
4
(3.2)
donde Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ es el tensor electromagnético que es antisimétrico y que se define a
partir de derivadas de los potenciales electromagnéticos Aµ . En términos de los campos eléctrico
~E y ~B, podemos escribir el tensor de la forma:

Fµν
0

 − Er
=
 −E

ϕ
− Eθ
Er
Eϕ
0
− Bθ
0
Br
Bθ
−Bϕ
Eθ


Bϕ 

− Br 

0
(3.3)
15
3
AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM
La acción 3.2 es la suma de la acción 3.1 que nos da el vacı́o de las ecuaciones de Einstein y la
acción de Maxwell del campo electromagnético. Identificamos nuestro lagrangiano
L=
q
q 1
1
1 µν
1
µν
µα νβ
| g|
R − Fµν F
g Rµν − Fµν g g Fαβ
= | g|
2κ
4
2κ
4
y aplicamos el formalismo de Palatini, obteniendo
Rµν −
1
1
ρ
Rgµν = κ Fµρ Fν − gµν Fρλ F ρλ .
2
4
(3.4)
Donde hemos hecho uso de las siguientes propiedades :
∂g
= − ggµν ; R = gµν Rµν ; F µν = gµα gνβ Fαβ .
∂gµν
Ahora debemos derivar respecto de nuestro otro campo independiente, que es el potencial electromagnético Aµ . La ecuación de Lagrange para este caso viene dada por
∂µ
∂L
∂ ∂µ Aν
!
= 0,
que teniendo en cuenta la definición del tensor electromagnético a partir de los potenciales (Fµν =
∂µ Aν − ∂ν Aµ ), nos da
∂µ
∂L
∂ ∂µ Aν
!
= ∂µ
q
| g| F µν
=0
A continuación obtenemos la ecuación de Einstein sin traza, para ello multiplicamos 3.4 por gµν ,
obteniendo:
R = 0,
donde hacemos uso de que trabajamos en una variedad con cuatro dimensiones. En cualquier otro
caso, el escalar de Ricci dejarı́a de ser nulo. La ecuación de Einstein sin traza toma la forma más
sencilla
1
ρ
Rµν = κ Fµρ Fν − gµν Fρλ F ρλ .
4
Por lo tanto, el problema a resolver viene dado por:
1
ρ
Rµν = κ Fµρ Fν − gµν Fρλ F ρλ
4
q
∂µ
(3.5)
| g| F µν
= 0.
(3.6)
De nuevo proponemos un Ansatz para la métrica esféricamente simétrico y estático y otro para el
tensor electromagnético 3.3 de forma que sólo haya campo eléctrico de forma radial:
ds2 = e2A(r) dt2 − e2B(r) dr2 − r2 dΩ22
(3.7)
Ftr = E (r )
(3.8)
Con 3.7 podemos calcular el determinante de la métrica:
3
AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM
| g| = e2( A+ B) r4 sin2 (θ ) ⇒
q
16
| g| = e( A+ B) r2 sin (θ )
Por lo tanto, la única derivada distinta de 0 es la siguiente:
q
∂r
| g| Frt
= −∂r e( A+ B) r2 sin (θ ) e−2( A+ B) E (r ) = 0
Obteniendo
∂r e−( A+ B) r2 E (r ) = 0.
Para que esta última derivada sea nula, lo que hay entre paréntesis debe ser una constante que no
dependa de r, por ello el campo eléctrico debe ser de la forma:
Q
E (r ) = e ( A + B ) 2
r
(3.9)
siendo Q es una constante de integración cuyo significado veremos más adelante, pero que ya
intuimos que tiene que ver con la carga eléctrica de muestra solución..
El tensor de Ricci, ya lo tenemos calculado de Schwarzschild, y tiene la forma 2.1. Ahora calculamos el tensor de energı́a-momento. Comparando 3.5 con 1.1 teniendo en cuenta que R = 0, vemos
que el tensor de energı́a-momento viene dado por:
Tµν =
1
1
ρ
gµν Fρλ F ρλ − Fµρ Fν = gµν Fρλ F ρλ − gνλ Fµρ F λρ
4
4
Sustituyendo el Ansatz para el tensor electromagnético y la métrica, tenemos que las componentes
no nulas del tensor de energı́a-momento son:

2

T = 21 e2A Qr4


 tt
Tθθ =



 T = − 1 e2B Q2
rr
2
r4
Tϕϕ = sin2 (θ ) Tθθ
1 Q2
2 r2
Para obtener las funciones incógnita, igualamos los dos miembros de la ecuación de Einstein,
obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
h
i
2
κ
Q2
− e2( A− B) A00 + A0 − A0 B0 + 2r −1 A0 = − e2A 4
2
r
A00 + A0
2
− A0 B0 − 2r −1 B0 =
κ 2B Q2
e
2
r4
(3.10)
(3.11)
κ Q2
e−2B rA0 − rB0 + 1 − 1 = −
2 r2
(3.12)
sin2 (θ ) Rθθ = −κ sin2 (θ ) Tθθ
(3.13)
Este sistema de ecuaciones diferenciales se resuelve de forma idéntica que en el caso de Schwarzschild, obteniendo el resultado final para la métrica y el campo eléctrico
ds2 =
1−
2M
1 Q2
+ κ 2
r
2 r
−1
2M
1 Q2
dt2 − 1 −
+ κ 2
dr2 − r2 dΩ22
r
2 r
Ftr = E (r ) =
Q
r2
(3.14)
(3.15)
17
3
AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM
donde de nuevo, las coordenadas {t, r, θ, ϕ} son las empleadas por un observador situado en el
infinito.
Para ver el significado de la constante de integración Q, hacemos uso del teorema de Gauss:
˛
˛
~E · d~s = Q
q=
S
1 2
r sin (θ ) dθdϕ = Q
r2
ˆ
S
ˆ
π
2π
dϕ = 4πQ
sin (θ ) dθ
0
0
A raı́z de esto, vemos que la constante de integración es la carga encerrada en el espacio salvo por
un factor de normalización de 4π, por lo tanto esta solución representa el campo creado por un
objeto de masa m =
M
G
y carga q = 4πQ situado en r = 0.
Un aspecto llamativo de la métrica, es que depende de Q2 , lo cual significa que una partı́cula
de prueba neutra experimentará las consecuencias de la existencia del campo eléctrico, pero no
será capaz de reconocer el signo de la carga. En el fondo no debe de extrañarnos, ya que al introducir un campo eléctrico, que contiene energı́a, se acopla a la gravedad y al espacio deformando
éste último de forma diferente a como lo harı́a una masa por sı́ sola.
3.2.
Estudio de los horizontes de la solución de Reissner-Nordström
Como podemos ver a simple vista, la solución se hace singular en varios puntos y tenemos que
distinguir si se tratan de singularidades fı́sicas o de coordenadas. Para verlo, calculamos un nuevo
invariante de curvatura, en este caso calcularemos Rµν Rµν , que será distinto de cero, al contrario
que en Schwarzschild. Previamente escribimos Rµν :
1
µ
Rµν = gµα gνβ Rαβ = κ F ρ F νρ − gµν Fρλ F ρλ
4
Calculamos el invariante:
1
1
ρ
µ
Rµν Rµν = κ 2 Fµρ Fν − gµν Fρλ F ρλ F σ F νσ − gµν Fαβ F αβ
4
4
y operando un poco obtenemos
Rµν Rµν = κ 2
Q4
r8
Vemos de nuevo que la singularidad en r = 0 es una singularidad fı́sica, mientras que el resto
posiblemente sean de coordenadas.
Calculamos explı́citamente las otras singularidades, Para soluciones estáticas, los horizontes son
aquellos puntos en los que la componente gtt de la métrica se hace nula, como ya habı́amos visto
en el caso de Schwarzschild:
1−
2M
1 Q2
1
+ κ 2 = 0 ⇒ r2 − 2Mr + κQ2 = 0
r
2 r
2
(3.16)
Como vemos, esta ecuación es cuadrática en r, que puede tener dos, una o ninguna solución real.
Todo dependerá de la relación entre sus parámetros:
R± =
2M ±
p
4M2 − 2κQ2
2
Por lo tanto, tenemos que distinguir los tres casos posibles:
• Si M2 <
1
2
2 κQ ,
entonces no hay soluciones reales y la singularidad en r = 0 no tiene ho-
rizontes que la protejan, por lo que influencias causales pueden escapar de ella. Haciendo
3
AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM
18
uso de la hipótesis de censura cósmica mencionada arriba, descartamos este caso por ser no
fı́sico. CASO SOBREEXTREMAL.
• Si M2 = 12 κQ2 , entonces hay una solución y un único horizonte degenerado. En este caso la
carga y la masa están ajustadas. CASO EXTREMAL.
• Si M2 > 12 κQ2 , entonces hay dos soluciones reales y dos horizontes. CASO SUBEXTREMAL.
3.3.
Estructura causal de las diferentes soluciones
3.3.1.
Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordström subextremal
En este caso, tenemos dos horizontes situados en
r
R± = M ±
1
M2 − κQ2 .
2
Si escribimos la métrica en función de ellos, se nos queda la siguiente expresión:
ds2 =
r2
(r − R + ) (r − R − ) 2
dt −
dr2 − r2 dΩ22
2
(r − R + ) (r − R − )
r
(3.17)
Para obtener la estructura causal, hay que estudiar de nuevo el comportamiento de las geodésicas
radiales nulas, cuya expresión es la siguiente
"
t = ± r+
#
R2−
R2+
ln |r − R+ | −
ln |r − R− | + C0 .
R+ − R−
R+ − R−
Donde el signo + denota geodésicas salientes y el signo - geodésicas entrantes. A partir de ellas,
vamos a dibujar el diagrama de conos de luz de nuestra solución que nos ayudará a ver claramente
la estructura causal de esta geometrı́a
Figura 5: Conos de luz de la solución de Reissner-Nordström subextremal en coordenadas de
Schwarzschild
De nuevo, tenemos una zona asintóticamente plana donde los conos de luz se comportan como
en Relatividad Especial. Cerca del horizonte los conos de luz se van cerrando hasta que lo están
19
3
AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM
totalmente: de nuevo nuestras coordenadas dejan de ser válidas más hacia delante, ya que la componente temporal de la métrica se anula y la radial diverge. Podemos ver de nuevo que el primer
horizonte es una superficie de corrimiento infinito hacia el rojo para el observador que se encuentra en el infinito y que el segundo horizonte es una superficie de corrimiento infinito hacia
el azul para el observador que lo cruza. Veamos primero que el primer horizonte es una zona de
corrimiento infinito hacia el rojo. Para ello procedemos igual que en el caso de Schwarzschild e
integramos lo siguiente para r = cte
dτ 2 =
(r − R + ) (r − R − ) 2
dt .
r2
Ası́ obtenemos
p
∆τ =
(r − R + ) (r − R − )
∆t.
r
Si r = R+ y ∆τ es finito, ya que es el observador entrante es quien nos manda señales de periodo
∆τ, entonces ∆t = ∞, con lo cual el perı́odo de una señal mandada desde el horizonte externo tiene
un perı́odo infinito para el observador que está en el infinito, lo cual implica un desplazamiento
infinito al rojo. Esto de nuevo nos dice, que el observador en el infinito jamás verá al otro cruzar el
primer horizonte.
Para saber lo que sucede más allá del primer horizonte, volvemos a crearnos las coordenadas de
E-F avanzadas a partir de las geodésicas radiales nulas
t̃ = t +
R2−
R2+
ln |r − R+ | −
ln |r − R− |.
R+ − R−
R+ − R−
Esto hace que nuestras geodésicas entrantes y salientes tengan la forma


t̃ = −r + C0






t̃ = r +
2R2+
R+ − R−
entrantes
ln |r − R+ | −
2R2−
R+ − R−
ln |r − R− | + C0
salientes
y la métrica sea
ds2 =
R+ + R−
R+ R−
(r − R + ) (r − R − ) 2
( R+ + R− ) r − R+ R−
d
t̃
−
2
drd
t̃
−
1
+
−
dr2 − r2 dΩ22 .
r
r2
r2
r2
Vemos ahora que la métrica es totalmente regular ahora en r = R± , por lo que queda confirmado
que esos puntos eran singularidades de coordenadas, aunque de nuevo hemos vuelto a romper la
invariancia temporal de la métrica debido al término cruzado que nos ha aparecido. A continuación dibujamos los conos de luz.
3
AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM
20
Figura 6: Conos de luz de la solución de Reissner-Nordström subextremal en coordenadas de E-F
avanzadas
Como vemos, en r = R+ , las geodésicas salientes tienen una pendiente infinita, con lo cual, en ese
punto se forma un horizonte de sucesos: ninguna señal que se emita desde dentro puede salir al
exterior. Además, por la orientación de los conos, es imposible estar en reposo en la zona entre los
dos horizontes, ya que en ella las componentes temporal espacial de la métrica cambian de signo
y la coordenada radial se convierte en la coordenada temporal, y por ello, el observador que entre
en esta zona, está inevitablemente destinado a cruzar el horizonte interior. Una vez allı́, vemos
que sorprendentemente es una zona en la que el observador puede volver a estar en reposo y no
llegar a la singularidad, ya que las componentes temporal y radial de la métrica vuelven a cambiar
de signo y de nuevo a intercambiar sus papeles. Esta singularidad es muy diferente a la que nos
encontrábamos en el caso de Schwarzschild, ya que ésta se encontraba en el futuro de cualquier
observador, mientras que ésta es evitable, por ello, esta singularidad es de tipo temporal.
Ya que sabemos que las geodésicas radiales nulas son capaces de cruzar los dos horizontes, podemos demostrar que el horizonte interior es una superficie de corrimiento infinito hacia el azul para
los observadores que lo cruzan. Para ello el observador en el infinito manda señales de perı́odo
∆t, que cruzan los horizontes y llegan al observador que cae. Éste medirá:
p
∆τ =
( R+ − r ) ( R− − r )
∆t
r
Justo en el horizonte interior, r = R− ,donde se encuentra nuestro observador, medirá un perı́odo
nulo de las señales luminosas, lo cual supone para él un corrimiento infinito hacia el azul. Si
esto fuese ası́, estas señales tendrı́an una energı́a infinita y desestabilizarı́a toda la solución en
esa zona, ya que esa energı́a interactuarı́a fuertemente con el campo creado por la carga masiva,
desestabilizando totalmente la solución.
Veamos ahora qué forma tienen las geodésicas radiales temporales para ver cual es el comportamiento de una partı́cula masiva. Para ello, sabemos que la energı́a es una magnitud conservada
en una métrica estática y a su vez, la condición de geodésica radial temporal impone que:
gtt ṫ = E
(3.18)
gµν ẋ µ ẋ ν = 1.
(3.19)
Combinando ambas ecuaciones, podemos despejar la velocidad radial del observador cayente
s
ṙ = ±
E2 − 1 +
2M
κQ2
− 2
r
2r
(3.20)
21
3
AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM
El radicando se anula en los siguientes puntos de retorno:
q
rretorno = −
M
±
E2 − 1
M2 + 12 κQ2 ( E2 − 1)
(3.21)
E2 − 1
Nos quedamos con la solución de signo positivo que es la que hace que el punto de retorno sea
positivo, ya que en estas unidades la energı́a es mayor que 1 y ese caso corresponderı́a al de
una partı́cula que cae desde el infinito con velocidad nula, como hemos visto en Schwarzschild..
Como vemos, la gravedad se hace repulsiva debida al término con carga y la partı́cula se frena,
algo realmente sorprendente, ya que ahora la partı́cula invierte su movimiento y puede salir del
segundo horizonte. Esto es para una partı́cula libre, es decir, sólo actúa sobre ella la gravedad,
ya que si nuestro observador llevase alguna fuente energética consigo, serı́a capaz de permanecer
en reposo en esa zona sin tener que moverse por la repulsión que genera el término con carga e
incluso llegar a la singularidad, pero esta vez siguiendo lı́neas no geodésicas.
Es fácil, a partir de la ecuación 3.20, obtener el tiempo que un observador cayendo desde el infinito
con velocidad nula, tardarı́a en cruzar la zona entre los dos horizontes. Si la velocidad radial era:
s
ṙ = ±
E2 − 1 +
2M
κQ2
− 2.
r
2r
Podemos integrar fácilmente y obtener
∆τ =
2
3 ( R + + R − )2
( R + − R − )3 .
donde como condición de contorno hemos impuesto que la velocidad inicial era nula en el infinito,
o lo que es lo mismo E = 1. Vemos, que la partı́cula tarda un tiempo finito en cruzar los dos
horizontes, algo que ya sabı́amos debido a la inclinación de los conos de luz que no permitı́an
estar en reposo en la zona entre los dos horizontes. Si hacemos el lı́mite R+ = 2M y R− = 0,
entonces:
∆τ =
4M
.
3
Que es el tiempo que se tardarı́a en llegar desde el horizonte a la singularidad en un agujero negro
de Schwarzschild desde el punto de vista del observador que cae.
De momento hemos visto que la partı́cula llega al primer horizonte, lo cruza y se ve obligada a
cruzar el segundo hasta llegar a un punto en el que la gravedad se vuelve repulsiva. Pero para
conocer lo que sucede después, debemos construir las coordenadas de E-F retardadas
t̄ = t −
R2+
R2−
ln |r − R+ | −
ln |r − R− |,
R+ − R−
R+ − R−
haciendo que la expresión para nuestras geodésicas sea ahora:


t̄ = −r −



2R2+
R+ − R−



t̄ = r + C
0
ln |r − R+ | +
2R2−
R+ − R−
ln |r − R− | + C0
entrantes
salientes
y nuestra métrica sea de la forma
ds2 =
R+ + R−
R+ R−
(r − R + ) (r − R − ) 2
( R+ + R− ) − R+ R−
d
t̄
+
2
drd
t̄
−
1
+
−
dr2 − r2 dΩ22 .
r
r2
r2
r2
3
AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM
22
Nuevamente rompemos la invariancia temporal de nuestra métrica, pero del caso anterior sabemos que el cambio t̃ ↔ t̄ mapea una métrica en la otra. Dibujamos los conos de luz en estas
coordenadas:
Figura 7: Conos de luz de la solución de Reissner-Nordström subextremal en coordenadas de E-F
retardadas
Aquı́ podemos ver, por la inclinación que presentan las geodésicas, que se puede volver a cruzar el
horizonte interior, para cruzar seguidamente el exterior y salir a una nueva zona asintóticamente
plana, en principio diferente de la inicial. Además, nada indica que la partı́cula no pueda volver a
repetir el proceso.
Esta solución aporta respecto de la de Schwarzschild, que presenta dos horizontes, una exterior,
que forma un horizonte de sucesos y uno interior, que esconde una singularidad bastante diferente, ya que ésta es temporal y por ello no se encuentra inevitablemente en el futuro del observador
cayente, permitiendo estar en reposo cerca de ella si seguimos lı́neas no geodésicas. La lección más
importante de este caso, es que la gravedad se vuelve repulsiva, algo que no es de esperar, pero
que en este caso gracias a la carga eléctrica, es posible. Por ello, la partı́cula puede escapar de este
agujero negro a otra zona asintóticamente plana, en principio diferente a la inicial pero no hay que
olvidar algo importante, y es que el segundo horizonte es una superficie de corrimiento infinito
hacia el azul y esto hace que las caracterı́sticas de la solución no sean del todo como las hemos
estudiado aquı́, ya que la energı́a infinita de las señales interactuarı́a muy fuertemente con el campo gravitatorio inicial destrozando posiblemente por completo, todas las caracterı́sticas anómalas,
pero por otro lado intrigantes, de esta solución.
3.3.2.
Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordström extremal
Este caso es muy parecido al anterior salvo que tenemos un único horizonte situado en r = M.
Veamos si preserva las caracterı́sticas principales de la anterior solución, para ello sustituimos en
la métrica y en el campo eléctrico los dos horizontes por el valor mencionado, obteniendo
r2
(r − M )2 2
ds =
dt
−
dr2 − r2 dΩ22 ; Ftr = ±
r2
(r − M )2
2
r
2M
.
κ r2
De nuevo calculamos las geodésicas radiales nulas, cuya expresión difiere bastante de las del caso
anterior
M2
t = ± r + 2M ln |r − M| −
+ C0 .
r−M
Los conos de luz en estas coordenadas son:
23
3
AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM
Figura 8: Conos de luz de la solución de Reissner-Nordström extremal
Vemos que lejos del horizonte, la estructura causal es parecida a la de la Relatividad Especial
y que los conos de luz se cierran conforme nos acercamos al horizonte. Al igual que en el caso
subextremal, el horizonte vuelve a ser de nuevo una zona de corrimiento infinito hacia el rojo,
por lo que un observador en el infinito no verá jamás al observador cayente cruzar el horizonte.
Veamos que este horizonte es también un superficie de corrimiento infinito hacia el rojo. Para ello
procedemos igual que en el caso anterior, obteniendo
∆τ =
r−M
∆t.
r
Dado que las señales que manda el observador desde el horizonte, tienen perı́odo ∆τ, eso obliga
a que ∆t sea infinito, ya que r = M, confirmando, por tanto, que se trata de una superficie de
corrimiento infinito hacia el rojo. Para saber lo que le sucede al observador cayente una vez ha
cruzado el horizonte y hacer que la métrica sea regular en él, construimos las coordenadas de E-F
avanzadas
t̃ = t + 2M ln |r − M | −
M2
.
r−M
Lo cual hace que nuestras geodésicas sean:


t̃ = −r + C0



entrantes



t̃ = r + 4M ln |r − M | − 2M2 + C
0
r− M
salientes
y la métrica:
ds2 =
2Mr − M2
2M
M2
(r − M )2 2
d
t̃
−
2
drd
t̃
−
1
+
−
dr2 − r2 dΩ22
r
r2
r2
r2
La métrica se vuelve completamente regular en ese punto. En este caso, por existir un único horizonte, no existe zona intermedia en la cual no se pueda estar en reposo y por ello la coordenada
radial es espacial para r > M, nula en r = M y espacial de nuevo para r < M. En estas coordenadas, los conos de luz son:
3
AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM
24
Figura 9: Conos de luz de la solución de Reissner-Nordström extremal en coordenadas de E-F
avanzadas
Como vemos, es totalmente análogo a la solución subextremal pero sin zona intermedia. Las
geodésicas radiales nulas pueden cruzar el horizonte, pero no pueden salir de él. Una vez dentro, es posible mantenerse en reposo sin llegar a la singularidad, por lo que ésta singularidad es
de tipo temporal también.
Una vez que sabemos que el observador cayente es capaz de cruzar el horizonte, calculamos las
geodésicas radiales temporales, para ver si de nuevo, como en el caso subextremal, tenemos puntos de retorno:
ṙ2 = E2 −
(r − M )2
.
r2
Como vemos, la partı́cula tendrá un punto de retorno cuando la velocidad radial sea nula, esto es:
rretorno =
M
E+1
por lo que de nuevo la gravedad se vuelve repulsiva de nuevo, preservando esta cualidad del caso
subextremal. Una vez hemos determinado que el observador se detiene, construimos las coordenadas de E-F retardadas
t̄ = t − 2M ln |r − M| −
M2
r−M
haciendo que las geodésicas tomen la forma

2

t̄ = −r − 4M ln |r − M| + r2M


− M + C0

entrantes



t̄ = r + C
0
salientes
y la métrica sea
ds2 =
2Mr − M2
2M
M2
(r − M )2 2
d
t̄
+
2
drd
t̄
−
1
+
−
dr2 − r2 dΩ22 .
r
r2
r2
r2
Dibujamos los conos de luz en estas coordenadas:
25
3
AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM
Figura 10: Conos de luz de la solución de Reissner-Nordström extremal en coordenadas de E-F
retardadas
Es totalmente análogo al caso subextremal. Tenemos una singularidad cubierta por un horizonte
del cual las influencias causales pueden salir debido a que las geodésicas salientes pueden hacerlo
pero influencias causales del exterior no pueden cruzar el horizonte. El observador es capaz de
volver a cruzar de nuevo el horizonte para volver a una nueva zona asintóticamente plana.
Como vemos, esta solución es muy parecida al anterior, salvo que no tenemos una zona intermedia en la cual inevitablemente tengamos que seguir hacia delante. El hecho de que la masa y la
carga estén ajustadas en esta solución, hace que sólo tengamos un único horizonte, en este caso de
sucesos, y que presenta un corrimiento infinito hacia el rojo para el observador que se encuentra en
el infinito. Esta solución es lo
qque esperarı́amos encontrar si estudiáramos el lı́mite de la solución
subextremal cuando | Q| →
2
κM
.
4
ESPACIO DE DE SITTER
4.
26
Espacio de De Sitter
Este espacio es una solución de las ecuaciones del vacı́o pero con una constante cosmológica positiva. La constante cosmológica fue un término que Einstein añadió a sus ecuaciones cuando se
dio cuenta de que predecı́an un universo en expansión. Dado que él pensaba que el universo era
estático y que no cambiaba en el tiempo, se vio obligado a añadir este parámetro en las ecuaciones
de campo de forma que siguieran cumpliéndose el Principio de Covariancia Generalizado y el
Principio de Equivalencia, aunque hay que renunciar a obtener el espacio de Minkowski, que nos
da toda la dinámica de Relatividad Especial, como solución de las ecuaciones en el vacı́o. Vamos
a estudiar este caso antes de pasar a estudiar un agujero negro en este espacio para comprobar si
al añadir el agujero negro se preservan algunas de las caracterı́sticas de esta solución.
4.1.
Derivación de la solución
Si a la acción de Einstein-Hilbert, le añadimos una constante cosmológica, que en principio no
supondremos que sea positiva o negativa
ˆ
d4 x
s=
q
| g|
1
R−Λ ,
2κ
de forma que Λ podemos interpretarla como la densidad de energı́a del vacı́o, obtenemos que la
ecuación de Einstein es la siguiente
Rµν −
1
Rgµν + κΛgµν = 0.
2
Como siempre, multiplicamos la ecuación anterior por la métrica inversa para obtener el escalar
de Ricci:
R = 4κΛ
que como vemos, en este caso no es nulo. Finalmente, la ecuación de Einstein sin traza queda de la
forma
Rµν = κΛgµν
(4.1)
Al igual que en los casos anteriores, proponemos el Ansatz para una métrica esféricamente simétrica y estática, teniendo que resolver un sistema de ecuaciones idéntico al de Reisnner Nordtröm
3.10, 3.11 3.12 3.13, con el tensor de energı́a-impulso de 4.1. Una vez resuelto, obtenemos la métrica general siguiente
ds2 =
1
2M
1 − κΛr2 −
3
r
1
2M −1 2
dt2 − 1 − κΛr2 −
dr − r2 dΩ22 .
3
r
(4.2)
Donde hemos elegido una de las constantes de integración que nos aparecen como −2M para
recuperar la métrica de Schwarzschild en el caso en que Λ = 0. Por lo tanto, esta métrica describe
el campo gravitatorio creado por un objeto de masa m =
M
G
situado en r = 0, en un universo
con constante cosmológica tipo De Sitter o anti-De Sitter dependiendo del signo de la misma.
Particularizado 4.2 para una constante cosmológica positiva y un espacio sin presencia de materia,
obtenemos la métrica
2
ds =
r2
1− 2
R0
!
2
dt −
r2
1− 2
R0
! −1
dr2 − r2 dΩ22 .
(4.3)
27
4
ESPACIO DE DE SITTER
Donde definimos el parámetro:
r
R0 =
4.2.
3
κΛ
(4.4)
Estructura causal de la solución de De Sitter
En este caso, la métrica 4.3 tiende a la métrica de la Relatividad Especial cuando r → 0, por lo que
nuestras coordenadas serán las de un observador situado allı́. Vemos que la componente temporal
de la métrica se anula en r = R0 y debemos determinar si se trata de una singularidad fı́sica o si
por el contrario es de coordenadas. Previamente vamos a calcular las geodésicas radiales nulas y
estudiar la estructura causal de la solución. Las geodésicas en este caso son
r + R0
1
|.
t = ± R0 ln |
2
r − R0
Donde el signo + denota geodésicas salientes y el signo - hace referencia a geodésicas entrantes.
Vamos a ver que estructura causal nos ofrecen estas geodésicas. Para verlo dibujamos el diagrama
de conos de luz:
Figura 11: Conos de luz del espacio de de-Sitter
Los conos de luz se asemejan mucho a los de Relatividad Especial en la zona r < R0 , como hemos
mencionado antes, y parece que las señales de luz no pueden salir de esa zona, ya que los conos de
luz están totalmente degenerados, pero eso es lo que nos dice que precisamente nuestras coordenadas dejan de ser válidas más allá. Vemos también que esta métrica no presenta singularidad en
r = 0, hecho decisivo para que nuestro observador que usa las coordenadas {t, r, θ, ϕ}pueda situarse allı́. Calculemos las geodésicas radiales temporales para saber qué le sucede a una partı́cula
masiva que parta desde la zona r < R0 con velocidad nula:
r = r0 e
±τ/R
0
.
Es decir, una partı́cula que estuviese en reposo se mueve por efecto de la expansión o contracción
del propio espacio pudiendo, en principio llegar a cruzar el horizonte. Vemos de esta expresión
que las trayectorias con r = cte no son geodésicas, salvo la r = 0.
Podemos comprobar que el horizonte es una superficie de corrimiento infinito hacia el rojo para
el observador situado en el origen, para ello procedemos igualmente que en los casos anteriores
s
∆τ =
1−
r2
∆t.
R20
Si el observador que va a cruzar el horizonte desde la parte interior manda señales luminosas de
periodo ∆τ al observador situado en el origen, entonces el periodo ∆t debe ser infinito, ya que
la componente temporal de la métrica es nula. Por lo tanto, para el observador en el origen la
4
ESPACIO DE DE SITTER
28
señal sufre un corrimiento infinito hacia el rojo, y por ende, jamás verá al otro observador cruzar
el horizonte.
Para comprobar que la única singularidad que tenemos es de coordenadas, construimos las coordenadas de E-F avanzadas a partir de las geodésicas radiales nulas
t̃ = t +
1
r + R0
| − r.
R0 ln |
2
r − R0
Con estas coordenadas, nuestras geodésicas tienen la forma


t̃ = −r + C0



entrantes



t̃ = −r + R ln | r+ R0 | + C
0
0
r − R0
salientes
.
y la métrica toma la forma:
2
ds =
r2
1− 2
R0
!
2
dt̃ −
r2
1+ 2
R0
!
dr2 − 2
r2
dt̃dr − r2 dΩ22 .
R20
Como vemos, la métrica es regular en el horizonte a pesar de que la componente temporal se anule
podemos calcular el determinante, con lo cual confirmamos que la singularidad en r = R0 es una
singularidad de coordenadas.
Veamos lo que sucede con las geodésicas una vez pasan el horizonte, para ello dibujamos los conos
de luz
Figura 12: Conos de luz del espacio de De Sitter en coordenadas de E-F avanzadas
Como vemos, es imposible estar en reposo en la zona r > R0 y cualquier partı́cula estarı́a obligada a cruzar el horizonte, debido al cambio de signo de las componentes radial y temporal de la
métrica 4.3 Las coordenadas temporal y espacial han intercambiado su papel y por ello avanzar
en el tiempo en la zona exterior al horizonte, consiste en moverse hacia valores más pequeños
de la coordenada radial. Las geodésicas radiales entrantes pueden cruzar el horizonte, pudiendo influenciar causalmente esta zona, pero nada de lo que suceda en el interior del horizonte
podrá afectar causalmente al exterior. En este caso tenemos un horizonte cosmológico, ya que este
horizonte no esconde una singularidad fı́sica del resto del universo. Con estas coordenadas vemos
la parte de la variedad que supone un universo en contracción, ya que una partı́cula en reposo en
la zona exterior, cruzarı́a el horizonte.
Para ver la parte de la variedad que supone un universo en expansión, construimos las coordenadas de E-F retardadas
t̄ = t −
Nuestras coordenadas radiales nulas son:
1
r + R0
R ln |
| + r.
2 0
r − R0
29
4

r + R0


t̄ = r − R0 ln | r− R0 + C0

entrantes



t̄ = r + C
0
salientes
ESPACIO DE DE SITTER
Y la métrica toma la forma:
2
ds =
r2
1− 2
R0
!
2
dt̄ −
r2
1+ 2
R0
!
dr2 + 2
r2
dt̄dr − r2 dΩ22
R20
Figura 13: Conos de luz del espacio de De Sitter en coordenadas de E-F retardadas
En este caso, una partı́cula que se encuentre dentro del horizonte, se verá obligada a cruzarlo y
no podrá volver a estar en contacto causal con la zona de la que provenı́a ya que las geodésicas
entrantes tienen una pendiente de 90º en el horizonte. Además, no podrá estar en reposo una vez lo
cruce, ya que las componentes temporal y espacial de la métrica cambian de signo e intercambian
su papel. Esta coordenadas son las que describen la parte de la variedad que conforma un universo
en expansión, finalmente todo sale de la parte interior del horizonte, para no volver a estar en
contacto causal nunca más.
Con este par de sistemas de coordenadas, cubrimos la variedad entera y el cambio t̃ ↔ t̄, mapea
una métrica en la otra conservando la invariancia ante traslaciones temporales y vemos dos comportamientos radicalmente opuestos de la misma variedad. Esto será importante cuando añadamos un agujero negro a este espacio. Esta métrica, no tiene ningún punto preferido para situar
el origen, ya que no tenemos ninguna singularidad de tipo fı́sico que nos rompa la isotropı́a del
espacio. Debido a esto, todo observador tiene derecho a considerarse r = 0 y estar en reposo y
ver una estructura como la que hemos presentado aquı́. Esto es lo que diferencia al horizonte cosmológico de esta solución del horizonte de sucesos de las soluciones anteriores: el hecho de que
no es absoluto y que dependa del observador.
4.3.
Conclusiones
El espacio de De Sitter tiene dos componentes, que son un universo en expansión y un universo en
contracción, algo que no pasaba en los anteriores casos. Algo también novedoso es que no tenemos
una singularidad fı́sica en ningún punto, pero sı́ tenemos un horizonte cosmológico en r = R0 con
corrimiento infinito hacia el rojo para el observador en el origen, que una vez atravesado, no se
puede acceder de nuevo a la zona de la que se procedı́a. Lo que sorprende de este espacio es que
representa una solución del vacı́o y aún ası́ este espacio es dinámico e interactúa con las partı́culas
de prueba que podamos introducir en él, y esto es algo que no sucedı́a en el vacı́o de las ecuaciones
de Einstein sin masa, cuya solución es el espacio de Minkowski. En él, una partı́cula en reposo no
4
ESPACIO DE DE SITTER
30
cambiarı́a su estado, mientras que aquı́ la propia expansión o contracción del espacio es la que hace
que se muevan las partı́culas, ya que las colocamos con velocidad nula y no hay ninguna fuerza
que actúe sobre ellas. Es interesante estudiar esta solución, ya que el universo a escalas tales que
podamos suponer las galaxias como partı́culas materiales, tiene un comportamiento análogo. Otro
hecho sorprendente es la existencia de este horizonte cosmológico, que como hemos mencionado,
no es absoluto y depende del observador debido a que la métrica de De Sitter es isótropa. También
será interesante comprobar como influyen todas estas propiedades cuando añadamos un agujero
negro.
31
5.
5
ESPACIO DE ANTI DE SITTER
Espacio de Anti De Sitter
El espacio de Anti De Sitter es el análogo al espacio de De Sitter pero con constante cosmológica negativa. Este hecho puede parecer que no cambia las cosas en gran medida, pero vamos a
comprobar que el signo de la constante cosmológica es decisivo en la estructura causal de este
espacio.
5.1.
Estructura causal de la solución de anti De Sitter
Considerando que la constante cosmológica es negativa en la expresión 4.2 y que no hay masa en
este espacio, tenemos:
2
ds =
r2
1+ 2
R0
!
2
dt −
r2
1+ 2
R0
! −1
dr2 − r2 dΩ22 .
(5.1)
Las coordenadas {t, r, θ, ϕ}son las empleadas por un observador que se encuentre en el origen y
el parámetro R0 se define ahora como
r
R0 =
−3
κΛ
para que sea positivo el radicando y poder calcular la raı́z.
La estructura matemática de la métrica es muy parecida a la del caso anterior, pero ese signo +
hace que la estructura causal de esta solución sea totalmente diferente. Una caracterı́stica notable
es que esta métrica no es singular en ningún punto (salvando como siempre los puntos que anulan
las componentes de la métrica relativas al elemento de lı́nea de la 2-esfera ), algo que no sucedı́a
en el resto de casos estudiados. Para ver la estructura causal, calculamos las geodésicas radiales
nulas, obteniendo
t = ± R0 arctan
r
R0
+ C0 .
Donde el signo + denota geodésicas salientes y el signo - geodésicas entrantes. Esta expresión para
las geodésicas es sorprendente, porque en ellas aparece un función periódica. Un rayo de luz que
salga de r = 0, llegará al infinito en un tiempo ∆t =
π
2 R0 ,
como podemos ver trivialmente al
sustituir esos valores en la expresión para la geodésica. Veamos a ver qué podemos obtener de su
estructura causal, para ello dibujamos los conos de luz en las coordenadas que estamos usando.
Figura 14: Conos de luz de la solución de anti De Sitter
Vemos que cuanto más nos alejamos del origen, los conos de luz más se abren, pudiendo influenciar causalmente cada vez más zonas del espacio, mientras que cerca del origen la solución es
prácticamente el espacio de Minkowski. Esto es de esperar, dado que si las geodésicas son periódicas y pueden llegar al infinito en un tiempo finito, cuanto más nos alejemos del origen, mas
5
ESPACIO DE ANTI DE SITTER
32
zonas podremos influenciar causalmente. Esta métrica es, al igual que el caso De Sitter, isótropa.
Esto hace que cualquier observador pueda considerarse a sı́ mismo como r = 0 y ver la estructura
causal presentada en este diagrama.
Aunque la métrica es regular en todos los puntos, vamos a construimos las coordenadas de E-F
avanzadas, que en este caso son
r
R0
t̃ = t + R0 arctan
− r.
Lo que hace que las geodésicas entrantes y salientes tengan las siguientes expresiones:


t̃ = −r + C0



entrantes



t̃ = −r + 2R arctan r + C
0
0
R0
salientes
Y que la métrica sea:
2
ds =
r2
1+ 2
R0
!
2
dt̃ −
r2
1+ 2
R0
!
dr2 + 2
r2
dt̃dr − r2 dΩ22
R20
Los conos de luz en este caso son de la forma:
Figura 15: Conos de luz de anti De Sitter en coordenadas de E-F avanzadas
Al no existir horizontes ni singularidades fı́sicas, en estas coordenadas vemos lo mismo que en
las coordenadas de Schwarzschild, es decir, cuanto más lejos del origen más regiones del espacio
podemos influenciar causalmente.
Por completitud, estudiamos la solución en la coordenadas de E-F retardadas:
t̄ = t − R0 arctan
r
R0
+ r.
Las geodésicas son de la forma:

r

t̄
=
r
−
2R
arctan

0
R0 + C0


entrantes




salientes
t̄ = r + C0
.
Y la métrica toma la forma:
2
ds =
r2
1+ 2
R0
!
2
dt̄ −
r2
1+ 2
R0
Dibujamos los conos de luz en estas coordenadas:
!
dr2 − 2
r2
dt̄dr − r2 dΩ22 .
R20
33
5
ESPACIO DE ANTI DE SITTER
Figura 16: Conos de luz de la solución de anti De Sitter en coordenadas de E-F retardadas
Como vemos, este cambio de coordenadas no nos aporta nada nuevo respecto a lo visto anteriormente.
Ahora que tenemos claro el comportamientos de las geodésicas radiales nulas, calculemos la forma
de las geodésicas radiales temporales para ver si conseguimos obtener más información de este
espacio. La forma explı́cita de las geodésicas radiales temporales viene dada por
r = ± R0
p
E2 − 1 sin
τ
R0
que como vemos, son también periódicas. Pero hay una diferencia muy importante respecto de las
nulas y es que una partı́cula situada en r = 0, debe tener una cierta energı́a para poder moverse,
ya que la amplitud amplitud de su desplazamiento depende totalmente de ella. Una partı́cula
con energı́a mayor que la unidad en esas unidades, podrá moverse del origen hasta una distancia
máxima, para luego retornar de nuevo a r = 0. Vemos entonces, que las trayectorias con r = cte
no son geodésicas salvo la r = 0 en caso de que la partı́cula tenga una E = 0. Al contrario que las
geodésicas nulas, estas no son capaces de llegar al infinito, ya que para que lo hicieran deberı́an
tener una energı́a infinita para que la amplitud de su movimiento también lo fuera.
Si reparametrizamos la coordenada radial como
r = R0 tan ρ 0 < ρ <
π
,
2
podremos tener una visualización de este espacio como cilindro sólido. Este cambio de coordenadas hace que la métrica inicial 5.1tome la forma
ds2 = cos−2 ρdt2 − R20 cos−2 ρdρ2 − R20 tan2 ρdΩ22 .
Vemos que cuando ρ →
π
2,
entonces gtt → ∞. Esta hipersuperficie ρ =
π
2
o lo que es lo mismo,
r = ∞, es una hipersuperficie temporal ya que su vector tangente es temporal. Esto se puede ver
realizando el siguiente cálculo, sabiendo que ρ̇ = θ̇ = ϕ̇ = 0:
gµν ẋ µ ẋ ν = cos−2 ρṫ2 > 0
Esto es cierto para todo valor de la coordenada ρ, en particular para ρ =
π
2
En estas coordenadas, las geodésicas radiales nulas y temporales son:


ρ = ± Rt0



geodésicas radiales nulas



tan ρ = ±√ E2 − 1 sin τ
R0
geodésicas radiales temporales
Gracias a este cambio de coordenadas, podemos representar las geodésicas en un cilindro de radio
5
ESPACIO DE ANTI DE SITTER
ρ=
π
2
34
en el que el eje vertical sea el tiempo:
Figura 17: Espacio de anti De Sitter como cilindro sólido
En principio, este cilindro deberı́a ser infinito debido a que la coordenada temporal corre desde
−∞ a +∞, pero debido a la periodicidad de las geodésicas, toda la información queda recogida
en el intervalo 0 < t < 2πR0 , pudiendo asociar ambos extremos del intervalo, ya que las geodésicas se repiten.. Otro hecho que podemos ver en esta representación es que las geodésicas radiales
temporales jamás llegan a la frontera, debido a que la constante cosmológica negativa las atrae.
Deberı́a emplearse una energı́a infinita para que pudiesen llegar. En cambio, las geodésicas radiales nulas sı́ que llegan en un intervalo de tiempo ∆t = π2 R0 y retornan a ρ = 0 en un intervalo de
∆t = πR0 .
5.2.
Conclusiones
Este es un espacio que poco se parece a su análogo con constante cosmológica positiva: ya que no
hay horizontes de ningún tipo. Lo único que preserva de su análogo es que es un espacio isótropo,
y todo observador tiene derecho a creerse en reposo en él y ver la misma estructura causal que
hemos presentado aquı́. Lo más remarcable de anti-De Sitter es la presencia de geodésicas radiales
periódicas y en concreto de geodésicas radiales nulas que llegan al infinito en un tiempo finito, algo
que no es de esperar. Pero es que este espacio es infinito, como todos los que hemos estudiado,
pero que presenta una frontera en el infinito, algo que es difı́cil de visualizar, pero que hace que de
alguna forma las geodésicas radiales nulas lleguen allı́ y “reboten” para llegar de nuevo en tiempo
finito al origen. El hecho de que este espacio tenga estas propiedades tan patológicas hizo que
nunca se considerara como un modelo realista de nuestro universo al contrario de lo que sucede
con De Sitter.
35
6
6.
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER
Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de De Sitter
A continuación, vamos a estudiar la métrica de un agujero negro de Schwarzschild en un espacio
en expansión o contracción, como lo es el espacio de De Sitter. Éste poseı́a un valor positivo de la
constante cosmológica y esto hará que nos aparezcan diferentes casos que estudiar. También veremos hasta qué punto influye la presencia del agujero negro en las caracterı́sticas de este espacio.
6.1.
Estudio de los horizontes de la solución de Schwarzschild De Sitter
La métrica 4.2 con valor positivo de la constante cosmológica, presentará horizontes cuando la
componente gtt se anule:
1−
r2
2M
−
= 0.
2
r
R0
(6.1)
Donde el parámetro R0 se define igual que en el espacio de De Sitter 4.4. El número de soluciones
que presenta la ecuación 6.1 dependerá de la relación entre los parámetros R0 y M. Estudiamos
el comportamiento de la función que aparece en 6.1 y comenzamos por los lı́mites en cero y en
infinito:
!
r2
2M
−
r
R20
lı́m
1−
lı́m
r2
2M
1− 2 −
r
R0
r → 0+
r →∞
= −∞
!
= −∞.
Debido a esto, nuestra función gtt debe presentar un máximo en algún punto. Calculémoslo:
d
2r
2M
gtt = 2 − 2 = 0.
dt
r
R0
Despejando:
1/3
rmax = MR20
.
Debemos comprobar que el punto encontrado es, efectivamente, un máximo. Para ello estudiamos
la derivada segunda
d2
−4M
2r
gtt =
− 2 < 0 ∀r.
2
3
dr
r
R0
Con esto queda comprobado que es un máximo. Pero para presentar horizontes, dicha componente de la métrica debe anularse en, al menos, un punto. Por eso, debemos calcular el valor que toma
la función en ese máximo y ver si es positivo, negativo o nulo:
gtt (rmax ) = 1 −
MR20
2M
−
1/3
R20
MR20
2/3
.
Si ese valor es positivo, la métrica tendrá dos horizontes, debido a que los lı́mites en r = 0+ y
r = ∞ son −∞ y para que eso sea posible, la función debe cortar al eje radial en dos puntos; si
el valor es nulo, tendrá un único horizonte. Para que el valor anterior sea positivo o nulo debe
verificarse la siguiente condición:
MR20
2M
1−
−
1/3
R20
MR20
2/3
√
≥ 0 ⇐⇒ R0 ≥ 3 3M
Por lo tanto, distinguimos tres casos:
√
1. Si R0 > 3 3M tenemos dos horizontes situados en r− y r+ . Caso subextremal.
(6.2)
6
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER
36
√
1/3
= 3M. Caso extre2. Si R0 = 3 3M tenemos un único horizonte situado en rmax = MR20
mal.
√
3. Si R0 < 3 3M tenemos una singularidad desnuda y por lo tanto lo consideraremos como
un caso no fı́sico aplicando de nuevo la hipótesis de censura cósmica. Caso sobreextremal
Hemos hablado de los horizontes, pero esta métrica presenta una singularidad, fı́sica en este caso,
en r = 0. No vamos a calcular ningún invariante y vamos a razonar con el siguiente argumento:
si el parámetro R0 tiende a infinito o tomamos distancias pequeñas en torno al origen, el término
cuadrático
r2
R20
es despreciable haciendo que la métrica tienda a la métrica de Schwarzschild, que
ya demostramos que poseı́a una singularidad fı́sica en ese lugar. Por lo tanto, en estos casos la
singularidad también será de tipo fı́sico, un lugar donde la curvatura va a ser infinita.
6.2.
√
Caso subextremal R0 > 3 3M
Comenzamos estudiando el caso subextremal, por analogı́a con como lo hicimos cuando estudiamos el agujero negro de Reissner-Nordström. En este caso tenemos dos parámetros independientes que son la masa y la constante cosmológica.
6.2.1.
Estructura causal del caso subextremal
La métrica venı́a dada por:
ds2 =
2M
1
1 − κΛr2 −
3
r
1
2M −1 2
dt2 − 1 − κΛr2 −
dr − r2 dΩ22 .
3
r
Donde las coordenadas {t , r, θ, ϕ}son las empleadas por un observador que se sitúa entre los dos
horizontesr− y r+ . Escribimos la componente gtt de la siguiente forma
1−
r3 − R20 r + 2MR20
2M
r2
(r + r0 ) (r − r − ) (r − r + )
=−
.
− 2 =−
2
r
R0
R0 r
R20 r
Donde r0 es el valor absoluto del polo que presenta el polinomio del numerador en la parte negativa del eje radial, ya que si un polinomio cúbico tiene dos soluciones, existe una tercera y por el
comportamiento que presenta la componente gtt , ésta se haya en la parte negativa del eje, como
podemos apreciar en la Figura 18.
Figura 18: Comportamiento de la componente temporal de la métrica
Veamos las condiciones que tienen que satisfacer los parámetros r0 , r− y r+ para ser raı́ces del
polinomio cúbico. Para ello deshacemos los paréntesis del numerador en la expresión anterior y
comparamos término a término:
37
6
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER
r3 − R20 r + 2MR20 = r3 + (r0 − r+ − r− ) r2 + (r+ r− − r0 r− − r0 r+ ) r + r0 r+ r−
Fácilmente, vemos que las condiciones que deben satisfacerse son las siguientes



r0 = r + + r −









2 + r 2 + r r = R2
r+
+ −
−
0








2
2


 2r+ r−2+r+ r− = 2M
r +r +r r
+
−
.
+ −
Dado que al principio sólo tenı́amos dos parámetros que eran M y R0 , estas tres ecuaciones no
pueden ser linealmente independientes y dado que r0 no es un parámetro fı́sico, por representar
la raı́z del polinomio cúbico en la parte negativa del eje radial, nos podemos deshacer de él y
escribirlo en función de r− y r+ como vemos en la primera de las ecuaciones, de tal forma que
no aparezca en las otras, que ha sido lo que hemos hecho al escribir las condiciones de la forma
anterior.
La coordenada t es temporal en la zona entre los dos horizontes y es espacial en todos los demás
puntos. Para que las geodésicas sean coherentes con ello, tomamos que las geodésicas salientes
tengan ahora el signo negativo y las entrantes el positivo:
t=∓
2 + r2 + r r
r+
r − r+
r + r+ + r−
r − r+
+ −
−
2
2
| + r−
| + 2r+ r− ln |
| + C0
ln |
r+
ln |
r + r+ + r−
r − r−
r − r−
(r+ − r− ) (r+ + 2r− ) (2r+ + r− )
Los conos de luz de esta solución vienen dados por:
Figura 19: Conos de luz de la solución de Schwarzschild De Sitter subextremal
En este caso tenemos tres zonas claramente diferenciadas. Por un lado, tenemos un espacio de De
Sitter en expansión en el que no se puede estar en reposo, aislado por un horizonte de una zona
intermedia en la cual se puede estar en reposo y que a su izquierda tiene un horizonte que si se
atraviesa, se acaba en una singularidad de tipo espacial, por estar en el futuro de todo observador
que se adentre, como se puede deducir de la orientación de los conos de luz en cada zona. La
métrica es degenerada en estos horizontes por lo que vamos a buscar un cambio de coordenadas
que nos la regularice en ambos horizontes.
Comenzamos construyendo las coordenadas de E-F avanzadas:
t̃ = t −
2 + r2 + r r
r+
r − r+
r + r+ + r−
r − r+
+ −
−
2
2
r+
ln |
| + r−
ln |
| + 2r+ r− ln |
| − r,
r + r+ + r−
r − r−
r − r−
(r+ − r− ) (r+ + 2r− ) (2r+ + r− )
6
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER
38
las geodésicas entrantes y salientes vienen dadas por:


t̃ = −r + C0


entrantes

i
h

2
2

2(r +
+r −
+r + r − )
t̃ = −r −
2 ln | r −r+ | + r2 ln | r +r+ +r− | + 2r r ln | r −r+ | + C
r+
+ −
0
−
r +r + +r −
r −r −
r −r −
(r+ −r− )(r+ +2r− )(2r+ +r− )
salientes
y la métrica toma la forma:
2
ds =
r2
2M
1− 2 −
r
R0
!
2
dt̃ − 2
2M
r2
+
2
r
R0
!
dt̃dr −
2M
r2
1+ 2 +
r
R0
!
dr2 − r2 dΩ22 .
(6.3)
Ahora la métrica es completamente regular en los horizontes. Los conos de luz son:
Figura 20: Conos de luz en las coordenadas de E-F avanzadas.
Estas coordenadas nos cubren la parte intermedia y la izquierda de la variedad ya que los conos de
luz en estas zonas preservan su orientación con respecto a la Figura 19. Tenemos una zona intermedia en la que se puede estar en reposo y que si desde allı́ cruzamos el horizonte interno, caemos
inevitablemente en la singularidad, por lo que esta singularidad es una singularidad espacial, ya
que de la orientación de los conos, deducimos que ésta se encuentra en el futuro del observador
que se adentre en esta zona. Esta orientación es debida a que en al atravesar el horizonte interior,
las coordenadas espacial y temporal intercambian sus papeles y por ello, avanzar hacia el futuro
consiste en avanzar hacia valores de la coordenada radial decrecientes. Por lo tanto, el horizonte
interior es un horizonte de sucesos que aı́sla la singularidad del resto del universo.
Buscamos ahora unas coordenadas que nos regularicen la métrica en el horizonte exterior, para
ello construimos las coordenadas de E-F retardadas
t̄ = t +
2 + r2 + r r
r+
r + r+ + r−
r − r+
r − r+
+ −
−
2
2
r+
ln |
| + r−
ln |
| + 2r+ r− ln |
| + r,
r + r+ + r−
r − r−
r − r−
(r+ − r− ) (r+ + 2r− ) (2r+ + r− )
que hacen que las geodésicas entrantes y salientes sean

h
i
2(r 2 +r 2 +r + r − )
2 ln | r −r+ | + r2 ln | r +r+ +r− | + 2r r ln | r −r+ | + C

t̄ = r + (r+ −r− )(+r+ +−2r− )(2r+ +r− ) r+
+ −
0
−
r
+
r
+
r
r
−
r
r
−
r

+
−
−
−

entrantes




salientes
t̄ = r + C0
,
y que la métrica venga dada por:
2
ds =
r2
2M
1− 2 −
r
R0
!
2
dt̄ + 2
r2
2M
+
r
R20
!
dt̄dr −
r2
2M
1+ 2 +
r
R0
!
Que también es regular en los dos horizontes. Los conos de luz son ahora
dr2 − r2 dΩ22
(6.4)
39
6
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER
Figura 21: Conos de luz en las coordenadas de E-F retardadas
Estas coordenadas nos cubren la parte de la variedad que va desde la zona intermedia hacia la
parte derecha del segundo horizonte debido que en estas zonas la orientación de los conos es la
misma que en la primera Figura 19 donde presentábamos los conos de luz de esta solución. La
zona intermedia es una zona en la cual se puede estar en reposo debido a que las coordenadas
temporal y radial desempeñan cada una su papel, pero al travesar el horizonte externo, estas
coordenadas intercambian sus papeles, por lo que avanzar hacia el futuro consiste en moverse
hacia valores de la coordenada radial crecientes. Dado que la gravedad decrece con el cuadrado
de la distancia, la presencia de la singularidad es despreciable a grandes distancias, por lo que este
horizonte es un horizonte cosmológico como lo era en el espacio de De Sitter. Cada observador
tiene derecho a creerse en reposo y por lo tanto tener su propio horizonte cosmológico.
6.2.2.
Conclusiones
Este caso tiene dos horizontes, como acabamos de ver. Presenta una zona intermedia en la cual
se puede estar en reposo y dos zonas en la que esto no es posible. Para hacer que la métrica
sea regular en el horizonte interior hemos tenido que usar unas coordenadas que nos describı́an la
zona intermedia y la zona interna al primer horizonte, no pudiendo decir nada sobre lo que pasaba
en la zona derecha, dado que los conos de luz habı́an cambiado su orientación. En cambio, las otras
coordenadas, nos cubrı́an la zona intermedia de nuevo y la zona tras el horizonte exterior por el
mismo motivo de antes. Ahı́ tenemos un espacio de De Sitter con su expansión exponencial, donde
tampoco se puede estar en reposo, pero debido a que podemos despreciar el campo gravitatorio
en comparación con la expansión del universo en esa zona, toda la estructura de De Sitter es válida
y cada observador puede creerse en reposo con su respectivo horizonte cosmológico. La “suma de
soluciones” ha preservado la estructura básica de ambos espacios ha pesar de que las ecuaciones
de Einstein son ecuaciones no lineales y la suma de soluciones no es una nueva solución en general,
hecho por el cual hemos entrecomillado esta expresión. Además,en la zona intermedia se puede
estar en reposo. Para una completa descripción de este espacio, es conveniente trabajar con la
métrica 6.3 para 0 < r < r+ y con la métrica 6.4 para r− < r para reproducir los resultados
de la Figura 19, puesto que sabemos que el cambio t̃ ↔ t̄ mapea una métrica en la otra. De los
intervalos que acabamos de definir, vemos que podemos utilizar la métrica que más convenga en
la zona intermedia r− < r < r+ .
6.3.
√
Caso extremal R0 = 3 3M
6.3.1.
Estructura causal del caso extremal
Estudiamos ahora el caso extremal, que a priori puede parecer más sencillo, pues presenta un
único horizonte situado en r = rmax = 3M donde hemos usado que la masa y el parámetro
R0 están relacionados según la igualdad en la expresión 6.2 para poder escribir la ubicación del
6
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER
40
horizonte de la forma anterior. Volviendo a usar esta relación, podemos escribir la métrica en
función de uno de ellos, en este caso de la masa que parece más intuitivo:
ds2 =
1−
r2
2M
−
r
27M2
dt2 − 1 −
r2
2M
−
r
27M2
−1
dr2 − r2 dΩ22
En este caso, las coordenadas{t , r, θ, ϕ}, por analogı́a con el caso anterior, son las que usa un
observador situado justo en el horizonte, ya que ahora no tenemos una zona extensa, razón por la
cual no son muy fiables ya que ahı́ la métrica en singular, ası́ que rápidamente construiremos las
coordenadas de E-F. Calculamos las geodésicas radiales nulas para estudiar la estructura causal
de esta solución, que en principio esperamos que sea Schwarzschild para r < 3M y De Sitter para
r > 3M. La forma de las geodésicas viene dada por
9M2
r − 3M
|−
+ C0 .
t = ∓ 2M ln |
r + 6M
r − 3M
Donde el signo - denota geodésicas salientes y el signo + geodésicas entrantes. Con estas expresiones, podemos dibujar los conos de luz de esta solución:
Figura 22: Conos de luz de la solución de Schwarzschild- De Sitter extremal
Por la orientación de los conos, vemos que es imposible estar en reposo en ninguna de las dos zonas. La estructura causal de esta solución es De-Sitter para r > 3M y Schwarzschild para r < 3M,
como esperábamos. Dado que la componente temporal de la métrica es negativa, la coordenada
r es temporal en toda la variedad salvo en el horizonte que es nula y la coordenada t es espacial,
salvo en el horizonte, que también es nula. La singularidad en el origen es de tipo espacial, ya
que se encuentra en el futuro de todo observador que se encuentre en la zona interior del horizonte, como podemos deducir de la orientación de los conos. Construyamos las coordenadas de E-F
avanzadas para que nuestra métrica no esté degenerada en r = 3M.
t̃ = t − 2M ln |
r − 3M
9M2
|+
− r.
r + 6M
r − 3M
Con lo cual, las geodésicas entrantes y salientes quedan de de la forma:


t̃ = −r + C0



entrantes



t̃ = −r − 4M ln | r−3M | + 18M2 + C
0
r +6M
r −3M
salientes
.
La métrica se puede escribir:
2
ds =
r2
2M
1−
−
r
27M2
2
dt̃ − 2
r2
2M
+
r
27M2
r2
2M
dt̃dr − 1 +
+
r
27M2
dr2 − r2 dΩ22 .
(6.5)
que es lo que esperarı́amos si sustituyésemos la igualdad en la condición 6.2 en la métrica 6.3. Vemos que estas coordenadas hacen que la métrica sea completamente regular en el horizonte y que
41
6
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER
aparezca un término cruzado que rompe la invariancia temporal. Dibujemos en estas coordenadas
los conos de luz.
Figura 23: Conos de luz de la solución de Schwarzschild- De Sitter en coordenadas de E-F avanzadas.
En estas coordenadas, tenemos una singularidad en el futuro protegida por un horizonte de sucesos. Estas coordenadas no nos cubren la parte de la derecha del horizonte debido a que la orientación de los conos de luz ha cambiado radicalmente respecto a lo encontrado en las coordenadas
de Schwarzschild. Finalmente la partı́cula caerá inevitablemente en la singularidad., ya que ésta
se encuentra en su futuro. Tenemos de nuevo una singularidad de tipo espacial protegida por un
horizonte de sucesos.
Si ahora nos construimos las coordenadas de E-F retardadas:
t̄ = t + 2M ln |
9M2
r − 3M
|−
+ r.
r + 6M
r − 3M
Las geodésicas se escriben de la forma

3M
18M2

t̄ = r + 4M ln | rr−


+6M | − r −3M + C0

entrantes



t̄ = r + C
0
salientes
.
Y la métrica se puede escribir de la siguiente forma:
ds2 =
1−
r2
2M
−
r
27M2
dt̄2 + 2
r2
2M
+
r
27M2
dt̄dr − 1 +
r2
2M
+
r
27M2
dr2 − r2 dΩ22 ,
(6.6)
que corresponde a sustituir la igualdad en la expresión 6.2 en la métrica 6.4. Los conos de luz en
estas coordenadas son:
Figura 24: Conos de luz en la coordenadas de E-F retardadas
Estas coordenadas nos cubren la parte de la derecha del horizonte y no la izquierda ya que en
esa zona los conos de luz han cambiado su orientación respecto de la que tenı́an en coordenadas
de Schwarzschild. Tenemos entonces un espacio de De Sitter a la derecha en expansión en el cual
cada observador puede creerse en reposo ya que el efecto de la singularidad una vez cruzado el
horizonte se vuelve cada vez más despreciable (recordemos que la fuerza gravitatoria decae con el
6
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER
42
cuadrado de la distancia) y por lo tanto ver la estructura del espacio de De Sitter con su horizonte
cosmológico y su expansión exponencial.
Vemos de nuevo, como parece que hemos roto la invariancia t ↔ −t, pero es que cada una de
estas dos métricas cubre solamente un parche de la variedad, no la variedad completa. El cambio
t̄ ↔ t̃ mapea una métrica en la otra y hace que se preserve la invariancia temporal de la solución
estudiada.
6.3.2.
Conclusiones
Este espacio no deparaba ninguna sorpresa respecto de lo que esperábamos, que era un espacio
de Schwarzschild para la parte interior del horizonte y un espacio de De Sitter para la parte exterior. En este caso “la suma de soluciones” donde recordamos que entrecomillamos esta expresión
debido al hecho de que las ecuaciones de Einstein no son lineales y por lo tanto la suma de soluciones no tiene porqué ser solución, ha preservado las partes más importantes de cada uno de los
espacios. En unas coordenadas, tenemos un horizonte de sucesos y no un horizonte cosmológico
ya que dichas coordenadas solamente nos cubren la parte de la variedad que queda a la izquierda del horizonte, tras el cual se encuentra una singularidad de tipo fı́sico y espacial, dado que
como hemos visto las coordenadas temporal y radial cambian su papel en todas las zonas de la
variedad, en concreto en la zona izquierda del horizonte, haciendo que todo lo que se adentre más
allá caiga irremediablemente a la singularidad. En las otras coordenadas, que nos cubren la parte
derecha de la variedad, tenemos un espacio de De Sitter en expansión exponencial con su horizonte cosmológico, ya que suficientemente lejos de la fuente de campo gravitatorio, la expansión
exponencial del espacio es lo que predomina, por lo que cada observador puede creerse a sı́ mismo en reposo y ver la estructura tı́pica de De Sitter en la cual, cada observador tiene su propio
horizonte cosmológico. Al igual que en el caso subextremal, para la completa descripción de lo
que muestra la Figura 22, debemos trabajar con la métrica 6.5, en el intervalo 0 < r < 3M y con la
métrica 6.6 en el intervalo 3M < r, puesto que como sabemos, el cambio t̃ ↔ t̄ mapea una en la
otra.
43
7.
7
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER
Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de anti-De Sitter
En esta sección se estudiará la influencia de un agujero negro de Schwarzschild en el espacio de
anti-de Sitter, que tenı́a una constante cosmológica negativa. Veamos si sus propiedades asombrosas se preservan al igual que el caso anterior preservaba las propiedades más importantes del
espacio de De Sitter y de Schwarzschild.
7.1.
Estudio de los horizontes de la solución de Schwarzschild Anti De Sitter
Si a la métrica 5.1, le añadimos, al igual que en el caso de De Sitter, el término de masas
2
ds =
r2
2M
1+ 2 −
r
R0
!
2
dt −
r2
2M
1+ 2 −
r
R0
! −1
dr2 − r2 dΩ22 ,
esperamos que la estructura causal cambie radicalmente con respecto al caso anterior, como ya sucedı́a entre los espacios de De Sitter de anti- De Sitter. Para comprobarlo, tenemos que estudiar las
geodésicas radiales nulas y para ello debemos saber cuántos horizontes puede presentar nuestra
solución. Al igual que en el caso anterior, estudiamos el comportamiento de la componente gtt de
la métrica:
1+
2M
r2
−
=0
r
R20
Estudiamos los lı́mites de la componente temporal de la métrica con r tendiendo a cero y a infinito.
lı́m gtt = −∞
r → 0+
lı́m gtt = +∞
r →∞
Por continuidad, y usando el teorema de Bolzano, la gráfica de la componente temporal de la
métrica al menos ha cruzado el eje radial una vez. Veamos si presenta máximos y mı́nimos para
ver si lo cruza en más ocasiones:
d
2r
2M
gtt = 2 + 2 = 0 ⇒ r3 = −2MR20
dr
r
R0
Ese extremo se encuentra en la parte negativa del eje radial y por lo tanto no nos interesa. Podemos
afirmar entonces, que existe un único horizonte situado en r = r H . Veamos las condiciones que
debe cumplir este parámetro para ser horizonte. Para ello factorizamos la componente gtt de la
forma:
r3 + R20 r − 2MR20
R20 r
r2 + br + a2 (r − r H )
=
R20 r
7
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER
44
Figura 25: Comportamiento de la componente temporal de la métrica
Donde los parámetros a y b deben cumplir:
b2 − 4a2 < 0.
(7.1)
para que el polinomio cuadrático no tenga raı́ces reales y permita la existencia de más horizontes.
Deshaciendo los paréntesis:
r3 + R20 r − 2MR20 = r3 + (b − r H ) r2 + a2 − br H r − a2 r H .
Comparando término a término, obtenemos las siguientes condiciones:



b = r H





a2 − r2H = R20
a2 r H
a2 −r2H
= 2M
Veamos si se verifica 7.1:
b2 − 4a2 = r2H − 4 R20 + r2H = −4R20 − 3r2H < 0
Con lo cual, esa es nuestra factorización correcta. La métrica en función de los nuevos parámetros
introducidos queda de la siguiente forma
ds2 =
1+
r2
a2
rH
− 2
2
2
a − rH
a − r2H r
!
dt2 −
1+
r2
a2
rH
− 2
2
2
a − rH
a − r2H r
! −1
dr2 − r2 dΩ22
Donde las coordenadas {t, r, θ, ϕ} son las empleadas por un observador que se encuentre en la
parte que corresponde al espacio de anti De Sitter.
Además de los horizontes, volvemos a tener una singularidad fı́sica en r = 0, que para determinar
que efectivamente es fı́sica, nos basamos en el argumento que presentamos con el agujero negro de
Schwarzschild De Sitter, y es que cerca de la singularidad, el término cuadrático de la componente
temporal de la métrica, es despreciable frente al término que va como r −1 y por lo tanto la métrica
es prácticamente Schwarzschild que presentaba una singularidad fı́sica en r = 0.
7.2.
Estructura causal de la solución de Schwarzschild Anti De Sitter
Para obtener la estructura causal de esta solución, volvemos a calcular las geodésicas radiales
nulas, cuya expresión es


2a2 + r2H
2r
+
r
H
r H ln | p
 + C0 .
t=± 2
|+ q
arctan  q
2r H + a2
r 2 + r H r + a2
4a2 − r2H
4a2 − r2H
a2 − r2H

r − rH
45
7
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER
Vemos que el primer sumando rompe la periodicidad de las geodésicas en este caso, pero como
veremos, a grandes distancias del horizonte es despreciable y volvemos a tener geodésicas que
son periódicas.
Dibujamos los conos de luz:
Figura 26: Conos de luz de la solución de Schwarzschild anti- De Sitter
Volvemos a tener dos zonas perfectamente diferenciadas: en la parte interior del horizonte tenemos un agujero negro de Schwarzschild, es decir, una zona en la que no se puede estar en reposo,
dado que la singularidad fı́sica vuelve a ser espacial y por ende se encuentra en el futuro de cualquier observador que se encuentre en esta zona. Como siempre, esto vuelve a ser debido a que las
coordenadas temporal y radial intercambian sus papeles e ir hacia el futuro consiste en ir hacia
valores decrecientes de la coordenada radial. En la zona exterior, tenemos un espacio de anti De
Sitter, cuyos conos de luz se asemejan mucho a los que vimos en la Sección 5 y que finalmente
resultaron ser geodésicas radiales periódicas. Para ver que esta separación entre las dos zonas es
un artificio del uso de las coordenadas empleadas, construimos las coordenadas de E-F avanzadas


2a2 + r2H
2r
+
r
H
r H ln | p
 − r,
t̃ = t + 2
|+ q
arctan  q
2r H + a2
r 2 + r H r + a2
4a2 − r2H
4a2 − r2H
a2 − r2H

r − rH
que hacen que as geodésicas entrantes y salientes sean



t̃ = −r + C0


entrantes


2

2( a2 −r 2 )
r2H
2r +r H

√
t̃ = −r + 2 H2 r H ln | √ 2 r−r H 2 | + √2a +
arctan
+ C0
2r H + a
r +r H r + a
4a2 −r2H
4a2 −r2H
salientes
,
y que la métrica quede de la forma:
2
ds =
r2
2M
1+ 2 −
r
R0
!
2
dt̃ + 2
r2
2M
−
r
R20
!
dt̃dr −
r2
2M
1− 2 +
r
R0
!
dr2 − r2 dΩ22
Que es perfectamente regular en el horizonte. Los conos de luz son ahora de la siguiente forma:
7
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER
46
Figura 27: Conos de luz de la solución de Schwarzschild anti De Sitter en las coordenadas de E-F
avanzadas
En este caso, tenemos un horizonte que protege una singularidad en el futuro, ya que cualquier
observador que se adentre en el horizonte, estará destinado a caer en la singularidad, ya que ésta
es de tipo espacial. A la derecha del horizonte, tenemos un espacio de anti- De Sitter en el que
las geodésicas radiales nulas pueden llegar desde cualquier punto al infinito en un tiempo finito,
para luego retornar y caer en la singularidad, ya que los conos de luz son totalmente análogos a
los de anti- De Sitter y las geodésicas entrantes son capaces de cruzar el horizonte hasta llegar a
la singularidad. Estas coordenadas nos cubren toda la parte de la variedad que veı́amos con las
coordenadas de Schwarzschild, a diferencia que en el caso del agujero negro de SchwarzschildDe Sitter, en el que estas coordenadas sólo describı́an una parte debido a que en la otra los conos
de luz cambiaban su orientación drásticamente.
Construimos ahora las coordenadas de E-F retardadas


2a2 + r2H
2r
+
r
H 
r H ln | p
|+ q
arctan  q
+ r,
t̄ = t − 2
2r H + a2
r 2 + r H r + a2
4a2 − r2H
4a2 − r2H
a2 − r2H

r − rH
lo que hace que las geodésicas entrantes y salientes sean

2
2( a2 −r2H )
r2H

2r +r H

√ r −r H
√2a +
√
t̄
=
r
−
|
+
+ C0
r
ln
|
arctan

2
H
2
2
2

2r H + a
r +r H r + a
4a2 −r2H
4a2 −r2H

entrantes




t̄ = r + C
0
salientes
,
quedando la métrica de la siguiente forma:
2
ds =
r2
2M
1+ 2 −
r
R0
!
2
dt̄ − 2
r2
2M
−
r
R20
!
dt̄dr −
r2
2M
1− 2 +
r
R0
!
dr2 − r2 dΩ22 .
que también es regular en el horizonte. Los conos de luz quedan como:
Figura 28: Conos de luz de la solución de Schwarzschild anti De Sitter en las coordenadas de E-F
retardadas
47
7
AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER
Aquı́ tenemos una singularidad en el pasado protegida por un horizonte de sucesos. Las influencias causales pueden salir a través del horizonte, pero nada puede pasar a través de él. Una vez
fuera, tenemos un espacio de anti De Sitter en el que las geodésicas radiales nulas salientes pueden
llegar al infinito en un tiempo propio finito, para retornar de nuevo como geodésicas entrantes y
cruzarse con un horizonte que no las dejará cruzar hacia el interior. Estas coordenadas describen la
misma zona derecha que las otras, pero no la zona izquierda, ya que la orientación de los conos de
luz es totalmente diferente a lo que veı́amos en coordenadas de Schwarzschild y en coordenadas
de E-F avanzadas. Estas coordenadas cubren una zona diferente de la variedad.
7.3.
Conclusiones
Este caso ha sido prácticamente lo que esperábamos, un espacio de Schwarzschild en el interior
del horizonte y un espacio de anti- De Sitter en el exterior. La salvedad aquı́ es que las geodésicas radiales nulas no pueden influenciar a todas las regiones del espacio debido a la presencia
del horizonte de sucesos que tenemos por la presencia del agujero negro. En un caso, si usamos
coordenadas de E-F avanzadas y mandamos señales desde fuera del horizonte al infinito, éstas
llegarán en un tiempo finito y volverán como geodésicas entrantes, que son capaces de cruzar el
horizonte y llegar a caer a la singularidad. En otro caso, usado coordenadas de E-F retardadas,
la situación es análoga, salvo que una vez lleguen al infinito y retornen, no serán capaces de cruzar el horizonte. Estos dos comportamientos de las geodésicas, es debido a que cada una de las
coordenadas usadas cubren solamente un parche de la variedad. Con las coordenadas avanzadas, confirmamos lo que veı́amos en las coordenadas de Schwarzschild, es decir, una singularidad
fı́sica y espacial protegida por un horizonte de sucesos en el futuro y a la derecha un espacio de
anti-De Sitter. En cambio, con las coordenadas retardadas, lo que vemos es un espacio de anti- De
Sitter en la zona derecha del horizonte y una singularidad espacial protegida por un horizonte de
sucesos en el futuro. Ambas coordenadas cubren igualmente la zona correspondiente al espacio
de anti-De Sitter.
8
8.
CONCLUSIONES FINALES
48
Conclusiones finales
En este proyecto hemos visto diferentes tipos de agujeros negros, cada uno con sus peculiaridades.
Al comienzo vimos la estructura del agujero negro de Schwarzschild, que presentaba una singularidad fı́sica protegida con un horizonte de sucesos, el cual actuaba como membrana unidireccional
para las influencias causales. En las coordenadas avanzadas vimos que la singularidad se situaba
en el futuro de todo observador que se adentrase hacia el horizonte, de forma que las influencias
causales no podı́an salir de la singularidad hacia el resto del universo. Sin embargo, en las retrasadas vimos que esa singularidad se situaba en el pasado de todo observador, de forma que las
influencias causales podı́an salir de la singularidad pero no entrar. Este comportamiento tan diferente era debido a que con cada una de las coordenadas estábamos viendo una parte diferente de
la variedad diferencial.
Posteriormente, hicimos la extensión natural del agujero negro anterior, que era añadirle una carga
eléctrica no trivial. Esto cambió por completo la solución existiendo, dependiendo de la relación
entre la masa y la carga, uno o dos horizontes que protegı́an una singularidad muy diferente.
En este caso era evitable y no estaba necesariamente en el futuro de todo observador sino en
un lugar del espacio, aunque se podı́a llegar a ella siguiendo trayectorias no geodésicas. Si el
observador se dejaba llevar por la gravedad, descubrimos que llega un punto en el ésta se vuelve
repulsiva pudiendo volver de nuevo a cruzar los horizontes y volver a salir a una nueva zona
asintóticamente plana.
A continuación estudiamos dos espacios soluciones del vacı́o de la acción de Einstein-Hilbert con
constante cosmológica, que podı́a interpretarse como la densidad de energı́a del vacı́o. Uno de
ellos, el espacio de De Sitter, poseı́a una constante cosmológica positiva y representaba un universo
en expansión o contracción exponencial. Era un espacio isótropo, en el que cada observador se
podı́a creer en reposo y ver su propio horizonte cosmológico, una zona de corrimiento infinito al
rojo que cualquier cosa que la atravesase, perderı́a contacto causal para siempre con el observador
de referencia en el caso de la expansión y una zona de la cual surgı́an los objetos que no tenı́an
contacto causal con este observador para estarlo en el caso de la contracción. El espacio de anti-De
Sitter, poseı́a un valor negativo de la constante cosmológica y no presentaba horizontes de ningún
tipo, ni cosmológico ni de sucesos. La caracterı́stica que definı́a a este espacio era la existencia de
geodésicas periódicas, tanto nulas como temporales. Mientras que las nulas llegaban en un tiempo
finito al infinito, las temporales no eran capaz de hacerlo, debido a que su amplitud dependı́a de
su energı́a y se necesitaba una energı́a infinita para que pudiesen llegar.
La extensión natural de estos espacios, y más sencilla, es añadir un agujero negro. En el caso de De
Sitter, daba lugar a dos tipos de soluciones, una con dos horizontes en la cual tenı́amos una parte
que correspondı́a a puro Schwarzschild y otra a puro De Sitter separadas por una región central
delimitada por un horizonte de sucesos en la parte más cercana a Schwarzschild y un horizonte
cosmológico en la zona más próxima a De Sitter. Este horizonte cosmológico no era absoluto, al
igual que en De Sitter, sino que dependı́a del observador, ya que lejos del agujero negro, el espacio
es isótropo viendo todas las caracterı́sticas de De Sitter. La otra solución, poseı́a un único horizonte
degenerado, ya que nuestras coordenadas eran las de un observador que se situaba justo en el
horizonte y eso hacı́a que no fuesen muy fiables. Dicho observador en unas coordenadas, ve que
todo cae a la singularidad que es de tipo espacial, por situarse en el futuro de todo observador
cayente. En las otras coordenadas, todo se veı́a empujado hacia la zona de De Sitter y, como la
gravedad decae como el cuadrado de la distancia, en esa zona es despreciable y cada observador
49
8
CONCLUSIONES FINALES
se puede creer en reposo viendo un horizonte cosmológico.
Finalmente, al añadir el agujero negro en el espacio de De Sitter, tenı́amos un horizonte de sucesos,
que protegı́a una singularidad espacial, y una zona que asintóticamente era el espacio de antiDe Sitter, en el que las geodésicas eran asintóticamente periódicas, ya que la parte que no lo era
decrece muy rápidamente una vez fuera del horizonte.
En todo este proyecto hemos repetido el mismo proceso para encontrar la solución, es decir, partir de un Ansatz para la métrica que reflejase todas las caracterı́sticas que buscábamos (simetrı́a
esférica y estaticidad) e insertarlo en las ecuaciones de Einstein. Pero existen muchas soluciones
que no son de este tipo, es el caso del agujero negro de Kerr, que no es esféricamente simétrico ni
estático, lo cual hace que el procedimiento para encontrar la métrica que lo describe sea diferente
al presentado aquı́. Esperamos en años sucesivos desarrollar los métodos que permiten llegar a
este tipo de soluciones a la par que emplear herramientas matemáticas más sofisticadas para estudiar la estructura causal de estos espacios de forma más sencilla, como lo son los diagramas de
Penrose.
REFERENCIAS
9.
50
Bibliografı́a
Referencias
[1] Carroll, S.M. 2004. Spacetime and Geometry. An introduction to General Relativity. University
of Chicago.
[2] d’ Inverno, R. 1998. Introducing Einstein’s Relativity. University of Southampton.
[3] Janssen. B. 2013. Teorı́a de la Relatividad General. Universidad de Granada.
[4] Feynmann. R.P. 1995. Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley Publishing Company.
[5] Poisson, E. 2004. A relativist’s toolkit. The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge
University Press.