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ROBUSTEZ DEL ÍNDICE DE CONSISTENCIA GEOMÉTRICO
Juan Aguarón Joven - [email protected]
Maite Escobar Urmeneta - [email protected]
Jorge Jiménez Ruiz-Alejos - [email protected]
José María Moreno Jiménez - [email protected]
Universidad de Zaragoza
Reservados todos los derechos.
Este documento ha sido extraído del CD Rom “Anales de Economía Aplicada. XIV Reunión ASEPELT-España. Oviedo,
22 y 23 de Junio de 2000”.
ISBN: 84-699-2357-9
ROBUSTEZ DEL ÍNDICE DE CONSISTENCIA GEOMÉTRICO1
AGUARÓN JOVEN, Juan
ESCOBAR URMENETA, Maite
JIMÉNEZ RUIZ-ALEJOS, Jorge
MORENO JIMÉNEZ, José María
Facultad de Económicas
Universidad de Zaragoza
Resumen:
Aguarón y Moreno-Jiménez (2000b) proponen un método para medir la consistencia de
los decisores a la hora de incorporar los juicios en el Proceso Analítico Jerárquico
cuando se usa el Método de la Media Geométrica por Filas como procedimiento de
priorización. En lo que sigue, mediante la obtención de los intervalos de estabilidad
asociados, se analiza la robustez de esta medida ante pequeñas modificaciones en los
juicios de la matriz recíproca de comparaciones pareadas.
Palabras clave: Proceso Analítico Jerárquico (AHP), Robustez, Índice de Consistencia
Geométrico, Intervalos de Estabilidad.
1. INTRODUCCIÓN
Uno de los aspectos o propiedades más destacados a la hora de comparar las diferentes
Técnicas de Decisión Multicriterio, es la posibilidad de evaluar el grado de consistencia
que tiene el decisor, en general los actores participantes en el proceso de toma de
decisiones, a la hora de incorporar sus preferencias en el modelo utilizado para la
resolución del problema.
En este sentido, el Proceso Analítico Jerárquico (AHP) propuesto por Thomas Saaty
(Saaty, 1977, 1980) es una técnica de decisión multicriterio que, además de integrar en
una escala de razón válida para la toma de decisiones (prioridades) los múltiples
escenarios, actores y criterios (tangibles e intangibles) del problema, permite evaluar la
consistencia del decisor al emitir los juicios correspondientes a los elementos de las
matrices recíprocas de comparaciones pareadas a través de las cuales incorpora al
modelo su estructura de preferencias.
1
Este trabajo ha sido parcialmente subvencionado por el proyecto de investigación “SISDECAP: Un
Sistema Decisional para la Administración Pública” (ref.: P072/99-E, DGA).
Entendiendo por consistencia la transitividad cardinal de los juicios de la matriz
recíproca de comparaciones pareadas Anxn = (aij), esto es, aij ajk = aik ∀ i,j,k=1,…,n,
Saaty sugirió que, cuando se usa el Método del Autovector Principal por la Derecha
(EVM) como procedimiento de priorización como ocurre en el AHP- Convencional, la
inconsistencia podía ser capturada por una sencilla expresión (λmax(A) – n) que reflejaba
las desviaciones (medidas en términos absolutos) de todos los aij respecto de los valores
correspondientes a las razones de las prioridades estimadas wi/wj, donde λmax(A) es el
autovalor principal de A.
La medida de la inconsistencia propuesta por Saaty, denominada Razón de Consistencia
(RC), se obtiene tomando el cociente entre el valor (λmax(A) – n) y su promedio (RI(n))
para un gran número de matrices recíprocas positivas de orden n cuyas entradas se han
obtenido de forma aleatoria en el conjunto de juicios {1/9,…,1/2, 1, 2,…, 9}.
RC = IC/RI(n) = [(λmax(A) – n)/(n-1)] / RI(n)
En este caso, la estimación de la prioridad de cada alternativa wi i=1,…,n es aceptada
(Saaty, 1994) si el valor de la RC es inferior al 10% (5% y 8% para matrices de orden 3
y 4 respectivamente). En caso contrario, es preciso mejorar la consistencia de los juicios
y recalcular el valor de las prioridades. Normalmente se corrige el juicio más
inconsistente, esto es, el de mayor diferencia entre aij y wi/wj.
Aunque el EVM es el procedimiento de priorización empleado habitualmente en AHP,
en los últimos años, debido a sus propiedades analíticas y sicológicas (Barzilai y
Lootsma, 1997; Bruga, 2000; Escobar y Moreno-Jiménez, 2000), está empezando a
extenderse la utilización del Método de la Media Geométrica por Filas (RGMM) que
proporciona (salvo factor de normalización) las prioridades de las alternativas como
wi = w(Ai) = (Π j aij)1/n i=1,…,n
Para este procedimiento de priorización, al igual que para cada uno de los restantes
existentes en la literatura, es preciso desarrollar medidas específicas que permitan
evaluar de forma práctica la consistencia del decisor. Intentos previos en esta dirección
son los de Crawford y Williams (1985), Harker (1987), Takeda (1993), Monsuur (1996)
y Escobar y Moreno (1998), aunque en ninguno de ellos se han establecido las reglas
que permitieran operativizar los indicadores propuestos.
En lo que sigue, se va a estudiar el comportamiento de la medida de inconsistencia
(ICG) propuesta por Aguarón y Moreno-Jiménez (2000b) para el procedimiento de
priorización de la RGMM, en concreto se analizará la robustez del ICG antes pequeñas
modificaciones en los juicios considerados. Para ello, el trabajo se ha estructurado como
sigue: en la sección 2 se presenta el ICG; en la sección 3 se obtienen los intervalos de
estabilidad
(Aguarón
y
Moreno-Jiménez,
2000a)
para
diferentes
problemas
y
situaciones; la sección 4 incluye un ejemplo numérico y la sección 5 recoge las
conclusiones más destacadas.
2. ÍNDICE DE CONSISTENCIA GEOMÉTRICO (ICG)
Crawford y Williams (1985) justifican la utilización del Método de la Media
Geométrica por Filas como procedimiento de priorización en AHP basándose en dos
ideas diferentes. Por un lado, obtienen este valor resolviendo un modelo de
optimización en el que se minimiza la distancia log-cuadrática de los errores, esto es,
Min S = ∑ (log a ij − log w i / w j ) 2 =∑ log 2 e ij
w
i≠ j
i≠ j
Por otro lado, este método se deduce resolviendo un modelo estocástico, esto es, el
RGMM se obtiene como el estimador máximo verosímil del modelo
a ij =
wi
ε , con log ε ij ≈ N( o, σ 2 ) y ε ij independie ntes
w j ij
Además, sugieren utilizar como medida de la consistencia un estimador insesgado de la
varianza de las perturbaciones. Este valor viene dado como s2 = S/g.l., donde el
numerador (S) es la distancia log-cuadrática ente los juicios y las razones, y el
denominador (g.l.) son los grados de libertad calculados como la diferencia entre los
juicios incluidos n(n-1)/2 y los parámetros estimados (n-1). Su expresión es:
s
2
∑
=
i< j
(log a ij − log w i / w j ) 2
( n − 1)( n − 2) / 2
Cuanto menor es s2 , menor es la distancia entre los juicios aij y las razones wi/wj,
(enfoque determinístico) y menor es la varianza de los errores ε ij (enfoque estocástico),
lo que supone un mejor ajuste entre los juicios y el vector de prioridades estimado.
Como señala Barzilai (1996), el valor de s2 puede considerarse como una medida de la
bondad del ajuste, pero se necesita establecer el rango de valores que permita darle el
carácter operativo que requiere una medida de estas características.
Una forma de hacer operativa esta medida (s2 ) seria normalizarla por su promedio,
E(s2 ), de forma análoga a lo hecho por Saaty para la Razón de Consistencia
RC=IC/E(IC) siendo IC=(λmax – n)/(n-1)). Ahora bien, como E(s2 ) es una constante
Aguarón y Moreno-Jiménez (2000) sugieren un procedimiento indirecto para darle el
carácter operativo buscado. Esta vía consiste en establecer su relación con la RC de
Saaty y determinar para la nueva medida (ICG), los valores para cada n que darían por
buenas las estimaciones efectuadas conforme a la consistencia de las mismas.
Definición 1. Dada una matriz de comparaciones pareadas, se define el Indice de
Consistencia Geométrico (ICG) como:
ICG =
∑ log
i< j
2
eij
( n − 1)( n − 2) / 2
donde eij = aijwj/wi es el error cometido cuando wi/wj es estimado por aij.
Teorema 1. Dada una matriz de comparaciones pareadas, A=(aij) con i, j = 1,…,n, y el
vector de prioridades obtenido por el MMGF, w, se cumple:
ICG =
{
}
2n
IC + o(ε 3 )
n−2
donde ε = max log eij .
i, j
Corolario 1. En las condiciones del Teorema 1 se verifica:
ICG = k ( n) RC + o(ε 3 )
donde k ( n) =
2n
IA(n ) .
n−2
El resultado anterior pone de manifiesto que si las matrices están cercanas a la
consistencia (errores suficientemente pequeños), las dos medidas RC e ICG son
proporcionales. La validez de esta afirmación en la banda de valores aceptables de la
Razón de Consistencia (RC<0,1) ha sido probada en Aguarón y Moreno-Jiménez
(2000b) mediante simulación.
De esta forma, para cada n con n=1,…,16, se han podido determinar de forma empírica
(ICGe) los umbrales correspondientes al ICG (n) que garantizan, cuando se usa la MGF
como procedimiento de priorización, una tolerancia para la consistencia del decisor
análoga a tener una RC < 10% cuando se usa el EVM como método de priorización.
Como era de esperar estos valores son muy próximos a los del ICG teórico (ICGt )
obtenido a partir del corolario anterior (véase la tabla 1).
Tabla 1. Valores del ICG correspondientes a una RC=0,1.
N
ICGt
ICGe
3
0.3147
0.3120
4
0.3526
0.3399
5
0.3717
0.3524
6
0.3755
0.3529
7
0.3755
0.3527
8
0.3744
0.3519
9
0.3733
0.3517
3. INTERVALOS DE ESTABILIDAD EN EL ICG
En este apartado se obtiene el intervalo de variación en el que puede oscilar la variación
relativa de un juicio cualquiera de la matriz de comparaciones pareadas, sin que la
inconsistencia evaluada mediante el ICG supere un determinado valor fijado con
antelación. Todo ello, utilizando la MGF para determinar las prioridades locales.
Sea A=(aij) i,j=1,…,n una matriz recíproca de comparaciones pareadas y w el vector de
prioridades ( w i = ∏ j a 1ij/ n ) obtenido por el método de la MGF que, sin pérdida de
generalidad, supondremos sin normalizar por facilidad de cálculo (los residuos eij =
aijwj/wi son independientes de la normalización).
Lema 1. Dada una matriz de comparaciones pareadas, A=(aij), i, j=1,…,n, con vector de
prioridades w obtenido al aplicar el métodos de la MGF. Sea A’=(a’ij) una perturbación
de la misma. Se verifica:
n
(i)
w′r = wr ∏ ρrj donde ρrj =
j =1
(ii)
n
ρ jh
h =1
ρih
eij′ = eij ρijn ∏
n
a ′rj
arj
∀ i, j=1,…,n
(iii) Si sólo se produce una modificación en el juicio ars:
e ′rj = e rj
1
ρrs
e ′sj = e sj ρrs
∀ j ≠s
∀ j ≠r
e ′rs = e rs ρrsn − 2
Demostración. Véase Aguarón 1998.
e ′jr = e jr ρrs
∀ j≠s
1
∀ j≠r
ρrs
1
e ′sr = esr n − 2
eij′ = eij
ρrs
e ′js = e js
∀ i, j ≠ r , s
Teorema 2. Sea A=(aij), i, j=1,…,n, una matriz de comparaciones pareadas, en la que el
juicio ars se modifica tomando un valor a’rs. . La variación del índice de consistencia
geométrico viene dada por:
∆ICG = IC G′ − ICG =
 a′
donde ρrs =  rs
 a rs
(
2n
log ρrs log e 2rs ρrsn −2
( n − 1)( n − 2)
)
1/ n



Definición 2. Dada una matriz recíproca positiva de comparaciones pareadas, A=(aij)
con i, j=1,…,n, se denominan
2.a) Intervalo de Estabilidad en el ICG para el juicio ars, dado un nivel ∆ ( ∆ ≥ 0 ), a un
intervalo [δ rs ( ∆) , δ rs ( ∆) ] en el que pueden oscilar las variaciones relativas del juicio ars
sin que el aumento del ICG sea mayor que ∆.
2.b) Indice de Estabilidad en el ICG para el juicio ars dado un nivel ∆ ( ∆ ≥ 0 ) al
extremo superior, δ rs (∆) , del mayor intervalo recíproco de estabilidad en el ICG para
ese nivel.
Teorema 3. Sea una matriz de comparaciones pareadas, A=(aij) con i, j=1,…,n. El
intervalo de estabilidad en el ICG para el juicio ars dado un nivel ∆ viene determinado
por el intervalo [δ rs ( ∆) , δ rs ( ∆) ] donde
δ rs ( ∆) = e n log ρmin
δ rs ( ∆) = en log ρmax
siendo [log ρmin , log ρmax ] el intervalo para log ρrs que satisface la desigualdad:
[
]
2n
( n − 2) log 2 ρrs + 2 log e rs log ρrs ≤ ∆
(n − 1)( n − 2)
Demostración. Basta con plantear la condición ∆ICG ≤ ∆ y aplicar el Teorema 2. Esto
nos conduce directamente a la desigualdad
[
]
2n
( n − 2) log 2 ρrs + 2 log e rs log ρrs ≤ ∆
(n − 1)( n − 2)
Esta desigualdad es de la forma a log 2 ρrs + b log ρrs + c ≤ 0 , con c ≤ 0 , por lo que
existirán dos soluciones en log ρrs , una positiva y otra negativa (log ρmin y log ρmax ) ,
que conducen a las variaciones relativas mínima y máxima (menor y mayor que la
unidad respectivamente) del juicio (r,s) que mantienen un aumento del ICG por debajo
de ∆ .
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Corolario 2. En las condiciones del teorema anterior, si se toma n=3, el Índice de
Estabilidad para un nivel ∆, δ rs (∆) , coincide para los tres juicios (ars= a12 , a23 , a13 ).
Demostración. Para n=3, los elementos de la matriz de residuos E=(eij) verifican e12 =
e23 = e13 -1 , con lo que la solución de la ecuación de segundo grado en log ρrs para los
elementos (1,2) y (2,3) coincide y también lo hará el índice de estabilidad
( δ12 ( ∆) = δ 23 (∆ ) ).
Para el elemento (1,3), como log e13 = - log e12 , las soluciones de la ecuación anterior
son las mismas que las de (1,2) cambiadas de signo, por lo que los intervalos de
estabilidad serán recíprocos uno del otro. Como el índice de estabilidad viene dado por
δ rs (∆) = min{1 / δ rs ( ∆) , δ rs ( ∆) }, se tiene que
δ12 ( ∆) = min{1 / δ 12 ( ∆) , δ 12 (∆ )} = min{δ 13 ( ∆), 1 / δ 13 ( ∆)} = δ13 (∆ )
#
4. EJEMPLO NUMÉRICO
Sea la matriz recíproca positiva de orden n=3,
2 5
 1


A = 1 / 2 1 3 
1 / 5 1 / 3 1 


El vector de prioridades obtenido al aplicar el método MGF (salvo factor de
normalización) es:
w=
( 10
3
3
3/2
3
1 / 15
)
Y la matriz de residuos:
 1

E = 3 5/ 6
 3
 6/5
3
3
6 /5
1
5/6
3
3
5/6

6/5

1 
El ICG viene determinado por
ICG =
2
2
1
6
log 2 eij =
3 log 2 3 6 / 5 = log 2 = 0.01108
∑
( n − 1)( n − 2) i < j
2 ⋅1
3
5
Para n=3, es admisible un ICG de 0.31, por lo que se podría tolerar aumento de
aproximadamente ∆=0.30.
Aplicando el Teorema 3,
[
]
6
log 2 ρ12 + 2 log e12 log ρ12 ≤ 0.3
2 ⋅1
y resolviendo esta desigualdad, se obtiene el intervalo:
[log ρmin , log ρmax ] = [− 0.383, 0.261]
Finalmente [δ 12 ( ∆) , δ 12 ( ∆) ] viene dado por [0.317, 2.190], siendo el intervalo de
variación del juicio a12 en el que se asegura una consistencia aceptable para la matriz, es
′ ∈ [0.634, 4.380]
el siguiente: a12
Por último, el índice de estabilidad para el juicio a12 viene dado por
δ12 ( ∆) = min(1 / 0.317, 2.190 ) = 2.190
De forma análoga se pueden obtener los correspondientes resultados para los juicios a13
y a23 .
Juicio
[δ
rs
( ∆) , δ rs ( ∆) ]
δ rs (∆)
[a
rs
, a rs ]
a12
[0.317, 2.190]
2.190
[0.634, 4.380]
a13
[0.457, 3.153]
2.190
[2.285, 15.765]
a23
[0.317, 2.190]
2.190
[0.951, 6.570]
5. CONCLUSIONES
Conforme a la filosofía propuesta (Moreno-Jiménez, Aguarón y Escobar, 2000) en los
nuevos paradigmas de racionalidad (ciencia postnormal, ciencia de sistemas suaves,
etc.), en especial la racionalidad procedimental multicriterio (Moreno-Jiménez et al.
1999) donde se sugiere relajar (por poco realista) la hipótesis de certidumbre en los
datos, este trabajo ha estudiado la robustez de la medida propuesta en Aguarón (1998) y
Aguarón y Moreno-Jiménez (2000a) para evaluar la inconsistencia del decisor al emitir
los juicios utilizados en AHP y emplear la Media Geométrica por Filas como
procedimiento de priorización.
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