Electromagnetismo

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Torrelavega
12. ELECTROSTÁTICA
FORMULARIO
Fuerza entre dos c arg as eléctricas :
F=k
q. q'
r2
k=
1
= 9 × 10 9 N m 2 C − 2
4π ε 0
ε0 =
1
= 8,85 × 10 −12 C 2 N −1m − 2
4π k
Intensidad del campo eléctrico producido por una c arg a :
q
r
W ( julios) = q (culombios) × V (voltios)
Potencial eléctrico :
Trbajo :
12. Electrostática
V=k
1
E=k
q
r2
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12.1) Sobre los vértices B y C contenidos en la hipotenusa de un triángulo
rectángulo están situadas cargas puntuales Qb= 12x10-9 culombios y Qc= -4x10-7 culombios.
Calcular el campo eléctrico y el potencial en el vértice A, sabiendo que el cateto b = 3 cm y el c =
6 cm.
Sol. 5x104 N/C; 600 V.
12.2) En el modelo de Bohr correspondiente al átomo de hidrógeno, un electrón
describe una órbita circular alrededor de un núcleo que contiene un solo protón. Si el radio de la
órbita es 5,28x10-9 cm, calcúlese el número de revoluciones que da el electrón por segundo. La
fuerza de atracción electrostática entre protón y electrón proporciona la fuerza centrípeta.
Sol. 6,5x1015 r.p.s.
Carga del electrón: 1,6x10-19 C
Masa del electrón: 9,11x10-31 kg
Masa del protón: 1,67x10-27 kg
12.3) Una carga puntual de un microculombio, dista un metro de otra, también
puntual negativa de dos microculombios. Una tercera carga positiva de 0,1 microculombios dista
80 cm de la primera y 60 cm de la segunda; estas tres cargas forman un triángulo rectángulo.
Calcular la fuerza en kp que las dos primeras cargas ejercen sobre la tercera y el ángulo que
forma esta fuerza con las rectas definidas por ellas.
Sol. 5,19x10-3 N; 74º 17'.
12. Electrostática
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12.4) Un electrón es proyectado con una velocidad inicial v0= 107 m/s dentro del
campo uniforme creado por las láminas planas y paralelas de la figura. El campo está dirigido
verticalmente hacia abajo y es nulo excepto en el espacio comprendido entre las láminas; el
electrón entra en el campo por un punto situado a igual distancia de las mismas. a) Si cuando
sale del campo, el electrón pasa justamente por el borde de la lámina superior, calcúlese la
intensidad de dicho campo. b) Determínese la dirección de la velocidad del electrón cuando sale
del campo.
Sol. 142x102 N/C; 26º 34'
2 cm
-
E
v0
1 cm
12.5) Dos esferas iguales de radio 1 cm y masa 9,81 g están suspendidas
del mismo punto por medio de sendos hilos de seda de longitud 19 cm. Ambas esferas están
cargadas negativamente con la misma carga eléctrica en magnitud. ¿Cuánto vale esta carga si
en el equilibrio el ángulo que forman los dos hilos es de 90º? ¿A cuantos electrones equivale la
carga contenida, en cada esfera? ¿Cuál es la fuerza de gravitación que existe entre las esferas
en el equilibrio?
Sol. 575x1010 electrones; 803x10-16 N.
Carga del electrón: 1,6x10-19 C
Constante de gravitación universal: 6,67x10-11 N.m2.kg-2
12.6) Un péndulo situado en el campo gravitatorio, de un metro de longitud tiene
una lenteja de 0,4 g cargada con 60 u.e.e. de carga. Sabiendo que estando situado en un campo
eléctrico vertical hacia arriba da 100 oscilaciones en 111 segundos, y estando el campo dirigido
hacia abajo emplea 91 segundos, en dar las 100 oscilaciones. Calcular la aceleración de la
gravedad y el valor del campo eléctrico.
Sol. 1,302 Dinas/u.e.e.; 996,44 cm/s2.
12. Electrostática
3
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12.7) En un sistema de coordenadas rectangulares, dos cargas positivas
puntuales de 10-8 C, se encuentran fijas en los puntos x = +0,1 m, y = 0 y x = -0,1 m, y = 0.
Calcúlese el valor y dirección del campo eléctrico en los siguientes puntos: a) el origen; b) x = 0,2
m, y = 0; c) x = 0,1 m, y = 0,15 m; d) x = 0, y = 0,1 m.
Sol. a) 0; b) 10x103 N/C; c) 5x103 N/C, 76º primer cuadrante; d) 6,3x103 N/C, vertical hacia arriba.
12.8) Un filamento incandescente emite electrones que se aceleran mediante
una diferencia de potencial de 500 V entre filamento y ánodo. Hallar la energía cinética y la
velocidad que adquiere un electrón hasta alcanzar el ánodo.
Sol. 2x10-17 J.
Masa del electrón: 9,11x10-31 kg
Carga del electrón: 1,6x10-19 C
12.9) Una pequeña esfera cuya masa es 0,1 g es portadora de una carga de
-9
3x10 C y está atada en el extremo de un hilo de seda de 5 cm de longitud. El otro extremo del
hilo está sujeto a una gran lámina vertical conductora que tiene una densidad de carga de 25x10-7
C/m2. Hállese el ángulo que formará el hilo con la vertical.
Sol. 41º.
12.10) Entre las láminas verticales situadas a la distancia de 1 cm una de otra,
cuelga de un hilo una esfera de saúco de 0,1 g de masa. Después de aplicar a las láminas una
diferencia de potencial de 1.000 V, el hilo con la esfera se inclina un ángulo de 10º. Hallar la
carga de la esfera.
Sol. 1,73x10-9 C.
12.11) Determinar la fuerza de atracción entre el núcleo del átomo de hidrógeno
y el electrón. El radio del átomo de hidrógeno es de 0,5x10-8 cm, la carga del núcleo es de
magnitud igual a la del electrón pero de signo contrario.
Sol. 9,23x10-8 N.
Carga del electrón: 1,6x10-19 C
Constante dieléctrica: 8,85x10-12 C2.N-1.m2
12. Electrostática
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12.12) Un proyectil de masa m = 10 kg y carga eléctrica q = -6 C se lanza con
una velocidad inicial de 100 m/s formando un ángulo de 45º con la vertical. Además del campo
gravitatorio existe un campo eléctrico vertical de valor 5 N/C y de sentido contrario al gravitatorio.
Calcular el tiempo que tarda el cuerpo en alcanzar su altura máxima. Hallar a qué distancia del
punto de lanzamiento cae. Si el cuerpo fuese neutro, ¿avanzaría más o menos que en el caso
anterior? ¿Y si la carga fuera positiva?
Sol. t = 5,5 s; x = 778 m.
12.13) Dos cargas fijas de 6 µC y -4 µC se hallan en los puntos (1,2) y (0,-3).
Hallar el trabajo para llevar una carga de 5 µC desde el punto (0,1) al punto (1,3).
Sol. W = -94x10-3 J.
12.14) En una región del espacio existen dos cargas puntuales fijas: q1= 6 Cen
(1,2,0), q2= 3 C en (0,3,0). ¿Cuánto valdrá el campo eléctrico en el punto (0,1,0)? Dibujar el
sistema de cargas y el vector campo eléctrico. Calcular y dibujar la fuerza que sufriría una carga
q3 = -2 C situada en (0,1,0)
12. Electrostática
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13. CONDENSADORES
FORMULARIO
A
q
C = kε 0
d
V
Condensadores en paralelo : q = q1 + q2 + q3
V = V1 = V2 = V3
Capacida de un condensador : C =
C = C1 + C 2 + C 3
Condensadores en serie :
q = q1 = q2 = q3
V = V1 + V2 + V3
1
1
1
1
=
+
+
C C1 C 2 C 3
Energía de un condensador : W =
13. Condensadores
1
1
1 q2
qV = C V 2 =
2
2
2C
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13.1) Para formar una batería de 1,6 µF, que pueda resistir una diferencia de
potencial de 5.000 V, disponemos de condensadores de 2x10-6 F que pueden soportar 1.000 V.
Calcular:
1) El número de condensadores y la forma de agruparlos.
2) La energía de la batería.
Sol.1) La batería estará formada por 4 series de 5 condensadores cada una. 2) 20 J.
13.2)
Un electrón penetra en un condensador plano paralelamente a sus
láminas y a una distancia de 4 cm de la lámina cargada positivamente y cuya longitud es de 15
cm. ¿Cuánto tiempo tarda el electrón en caer en dicha lámina, si la intensidad del campo en el
condensador es igual a 500 V/m? ¿Cuál es la velocidad mínima que debe tener el electrón para
que éste no llegue a caer sobre la lámina?
Sol. 3x10-8 s; 5x106 m/s.
Masa del electrón: 9,11x10-31 kg
-
Carga del electrón: 1,6x10-19 C
v0
E
4 cm
+
15 cm
13.3) Calcúlese en la red de la figura: a) la carga sobre cada condensador; b)
la diferencia de potencial entre sus armaduras; c) la energía total almacenada en los tres
condensadores.
Sol. a) 48x10-5 C, 72x10-5 C; b) V20= 24 V, V5= 96 V, V6= 120 V; c) 72x10-3 J.
20 µF
5 µF
Q1
Q2
6 µF
Q3
120 V
13. Condensadores
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13.4) Un electrón se mueve de una lámina del condensador plano a otra. La
diferencia de potencial entre las láminas es de 3 kV y la distancia entre las láminas, de 5 mm.
Hallar: 1) La fuerza que actúa sobre el electrón; 2) La aceleración del electrón; 3) La velocidad
con que el electrón llega a la segunda lámina; 4) La densidad superficial de carga de las láminas
del condensador.
Sol. 1) 9,6x10-14 N; 2) 1,05x1017 m.s-2; 3) 32,4x106 m/s; 4) 5,3x10-6 C.m-2.
Constante dieléctrica: 8,85x10-12 F.m-1
Carga del electrón: 1,6x10-19 C
Masa del electrón: 9,11x10-31 kg
13.5) Con un electrómetro se han comparado las capacidades de dos
condensadores. Para ello se cargaron a diferentes potenciales: V1= 300 V y V2= 100 V, y se
unieron en paralelo ambos condensadores. La diferencia de potencial entre las armaduras del
condensador medida por el electrómetro resultó ser V = 250 V. Hallar la relación de las
capacidades C1/C2.
Sol. 3.
13.6) Tenemos tres condensadores iguales de 2 µF cada uno. Dos de ellos A y
B, los montamos en paralelo y el tercero, C, en serie con los anteriores. Al conjunto se le aplica
una diferencia de potencial de 1.000 V. Se pide: 1) La capacidad equivalente del sistema; 2) La
carga de cada condensador; 3) La tensión entre las armaduras de cada condensador; 4) La
energía eléctrica almacenada en el conjunto.
Sol. 1) 4/3 µF; 2) 4/3x10-3 C; 3) 2/3x103 V, 1/3x103 V; 4) 2/3 J.
13.7) Un electrón con cierta velocidad inicial v0 se introduce en un condensador
plano paralelamente a las láminas y a la misma distancia de ellas. A las láminas del condensador
se ha aplicado una diferencia de potencial de 300 V. La distancia entre las láminas es d = 2 cm, la
longitud del condensador l = 10 cm. ¿Cuál ha de ser la velocidad inicial límite v0 del electrón para
que éste pueda salir del condensador? ¿Cuál será la velocidad en ese instante?
Sol. v0= 3,63x107 m/s; v = 3,7x107 m/s.
Masa del electrón: 9,11x10-31 kg
Carga del electrón: 1,6x10-19 C
13. Condensadores
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13.8)
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Un electrón se introduce en un condensador plano horizontal
paralelamente a sus láminas a la velocidad vx= 107 m/s. La intensidad del campo del
condensador E = 100 V/cm, la longitud del condensador l = 5 cm. Hallar la magnitud y dirección
de la velocidad del electrón al salir del condensador.
Sol. 1,33x107 m/s; 41º 20'.
Masa del electrón: 9,11x10-31 kg
Carga del electrón: 1,6x10-19 C
E = 100 V/cm
Vx = 107 m/s
l = 5 cm
13.9)
Hay que hacer un condensador de 2,5x10-4 µF. Para ello, a ambos lados
de un papel parafinado de 0,05 mm de espesor se pegan panes circulares de estaño. ¿Cuál
debe ser el diámetro de estos panes?
Sol. 3 cm.
13.10) El área de las láminas de un condensador plano con dieléctrico de aire
2
es de 100 cm y la distancia entre ellas de 5 mm. A las láminas se aplica una diferencia de
potencial de 300 V. Después de desconectar el condensador de la fuente de tensión, se llena el
espacio entre las láminas de ebonita. 1) ¿Cuál será la diferencia de potencial entre las láminas
después de cargar el condensador? 2) ¿Cuales son las capacidades del condensador antes y
después de llenarlo de ebonita? 3) ¿Cuales son las densidades superficiales de carga de las
láminas antes y después de llenar el condensador de ebonita?
Constante dieléctrica de la ebonita: 2,6
Sol. 1) 1,8x10-11 F; 2) 4,6x10-11 F; 3) 117 V; 5,4x10-7 C.m-2
13.11) El área de las láminas de un condensador con dieléctrico de aire es de
2
100 cm y la distancia entre ellas, de 5 mm. Hallar la diferencia de potencial que se ha aplicado a
las láminas del condensador si se sabe que al descargar el condensador se han desprendido
4,19x10-3 Julios.
Sol. 21,7x103 V.
Constante dieléctrica 8,85x10-12 F/m.
13. Condensadores
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13.12) Un condensador plano con dieléctrico de aire láminas de 100 cm2 de
área y de 1 mm de distancia entre ellas, se carga hasta un potencial de 100 V. Después se
separan las láminas hasta la distancia de 25 mm. Hallar la energía del condensador antes y
después de la separación de las láminas, si la fuente de tensión antes de la separación no se
desconecta.
Sol. 4,4x10-7 J; 1,8x10-8 J.
Constante dieléctrica: 8,85x10-12 F/m
13.13)
Un electrón penetra en un condensador plano paralelamente a sus
láminas y con una velocidad de 3x106 m/s. Encontrar la intensidad del campo en el condensador,
si el electrón sale del condensador formando un ángulo de 30º con las láminas. La longitud de las
láminas es de 20 cm.
Sol. 148 N/C.
Masa del electrón: 9,11x10-31 kg
Carga del electrón: 1,6x10-19 C
E
V0=3x106 m/s
vx
l = 20 cm
30º
vy
13.14) En el siguiente circuito la carga de cada uno de los condensadores es de
24 µC. Calcule la capacidad C1 y la energía total almacenada en el sistema.
Sol. 12 µF; 192 µ J.
C1
3 µF 4 µF
13. Condensadores
10
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13.15) Un electrón entra en el campo eléctrico existente entre dos placas de un
condensador con velocidad inicial paralela a las placas, como indica la figura. A) Calcular la
fuerza sobre el electrón. B) ¿Con cuál de las placas choca el electrón? C) ¿Cuánto tarda en
producirse este choque? D) ¿En qué punto de la placa se produce el choque?
qe- = -1,6x10-19 C, me- = 9,1x10-31 kg
Sol. A) F = -3,2x10-15 N; B) Chocará con la placa de la izquierda; C) t = 2,38x10-9 s; D) x = 2,38
mm
1 cm
1 cm
y
x
v0 =106 m/s
E=2x104 V/m
13.16) En el siguiente circuito, cada condensador C3 tiene un valor de 3 µF y
cada condensador C2, 2 µF. a) Calcúlese la capacidad equivalente de la red entre los puntos A y
B. b) Calcúlese la carga de cada uno de los condensadores más próximos a A y B, cuando VAB=
900 V. c) Calcúlese VCD, cuando hay 900 V entre A y B.
Sol. a) 1 µF; b) 900 µC; c) 100 V.
C3
C3
C3
A
C2
C2
C2
B
C3
13. Condensadores
C3
11
C3
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13.17) Los condensadores de la figura inicialmente estaban descargados.
Determinar el voltaje de cada uno de los tres condensadores después de cerrar el interruptor S.
Sol. VAB= V16= 16,7 V, V8= V12= 13,3 V.
12 µF
16 µF
A
8 µF
30 V
16 µF
B
20 µF
30 V
S
C
S
13.18) Tres condensadores están conectados como indica la figura
Sus capacidades son: C1 = 3 µF C2 = 2 µF C3 = 4 µF
Entre los puntos a y b se aplica una tensión Va-Vb = 300 V
Calcular:
a) Capacidad C4 de un condensador equivalente a C2, C3
b) Capacidad de un único condensador C5 equivalente a todo el circuito
c) Carga de los condensadores C4 y C5
d) Carga de los condensadores C1, C2 y C3
e) Tensión entre los puntos extremos y el punto C, es decir,, Va-Vc y Vc-Vb
f) Energía de los condensadores C4 y C5
g) Energía de los condensadores C1, C2, y C3,comprobando la aditividad de esta magnitud en la
reducción del circuito.
Sol. a) 6 µF; b) 600 µC; d) q1= 600 µC, q2= 200 µC, q3= 400 µC; e) 200 V; f) W4=3x10-2 J,
W5=9x10-2 J; g) W 1=6x10-2 J, W 2= 10-2 J, W 3= 2x10-2 J, W 5=9x10-2 J.
C2
C1
a
b
c
C3
13.19) Dos condensadores de capacidades C1 = 4 µF y C2 = 2 µF son cargados
como una combinación en serie a través de una batería de 100 V. Los dos condensadores se
desconectan de la batería, así como uno del otro. Ahora se conectan las placas positivas y las
placas negativas. Calcule la carga resultante en cada condensador.
Sol. 177,3 µF; 88,7 µF
13. Condensadores
12
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14. ELECTRODINÁMICA
FORMULARIO
Ley de Ohm
I (amperios) =
V (voltios) =
Re sistencia :
q (culombios)
t ( segundos)
W ( julios)
q (culombios)
R=
V
I
R =ρ
Rt = R0 (1 + α t )
Re sistencias en serie :
R = R1 + R 2 + R3
Re sitencias en paralelo :
1
1
1
1
=
+
+
R R1 R2 R3
14. Electrodinámica
13
l
A
l y A medidos en metros
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14.1) Para la calefacción de una habitación se utiliza un calentador eléctrico
conectado a una red de 120 V de tensión. La habitación pierde 20.800 kcal de calor al día. Se
necesita mantener invariable la temperatura de la habitación. Hallar: 1) la resistencia del
calentador; 2) cuantos metros de hilo de nicromio se necesitan para el arrollamiento de este
calentador, si el diámetro del hilo es de 1 mm y 3) la potencia del calentador.
Sol. 14,4 Ω; 11,2 m.
ρNicrom= 1x10-6 Ω.m
14.2) Calcular la indicación del voltímetro.
Sol. 4 V.
ε=6V
r=2/3 Ω
2Ω
2Ω
2Ω
2Ω
V
2Ω
2Ω
14.3) Una central eléctrica recibe un caudal de 0,1 m3/s de agua, que caen
desde una altura de 40 m. La turbina sobre la que caen tiene un rendimiento del 80% y ésta
acciona un generador cuyo rendimiento es también de un 80%. La tensión a la salida del
generador es de 240 V.
Esta corriente se transporta para su aprovechamiento a una distancia de 2,5 km
mediante hilos de cobre de 6 mm2 de sección (ρCu= 1,72x10-8 Ω.m).
Calcular:
1) La intensidad de la corriente que circula por la línea.
2) La pérdida en la línea por el efecto Joule.
3) Lo que vale esa pérdida en euros diarios si el kw.h a la salida de la
central resulta a 0,036 euros.
Sol. 1) 105 A; 154 kw; 3) 133,34 euros.
14. Electrodinámica
14
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14.4) Una pila un amperímetro y cierta resistencia están conectados en serie. La
resistencia es de hilo de cobre de 100 m de longitud y 2 mm2 de sección transversal; la
resistencia del amperímetro es de 0,05 Ω, y el amperímetro señala una intensidad de 1,43 A. Si
se toma una resistencia de alambre de aluminio de 57,3 m de longitud y 1 mm2 de sección
transversal, el amperímetro señalaría una intensidad de 1 A. Hallar la f.e.m. de la pila y su
resistencia interna. Sol. 1,96 V; 0,46 Ω.
Resistividad del cobre: 1,72x10-8 Ω.m
Resistividad del aluminio: 2,53x10-8 Ω.m
14.5) Calcular la intensidad por cada uno de los conductores y la diferencia de
potencial entre A y B. Sol. 0,06 A, 0,40 A, 0,34 A, 1,79 V.
2 V 0,5 Ω
4Ω
3 V 0,5 Ω
2 V 0,5 Ω
3Ω
2Ω
B
A
4 V 0,5 Ω
4Ω
2Ω
14.6) En el siguiente circuito la caída de tensión en la resistencia R1 es de 40 V.
Hallar la resistencia R2. Se desprecian las resistencias de la batería.
Sol. 0,5 A, 60 Ω.
Ε =120 V
D
i =2 A
R4 =25 Ω
R2
i2
C
14. Electrodinámica
i3
R3 =20 Ω
R1
A
B
15
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14.7) Calcúlese en la figura: a) la intensidad de la corriente en la batería; b) la
intensidad de la corriente en cada resistencia; c) la diferencia de potencial entre los puntos A y B.
Sol. a) 2 A; b) 1 A, 1 A; 1/3 A, 2/3 A; 6 V.
12 V 1 Ω
6Ω
4Ω
A
12 Ω
1Ω
B
8Ω
14.8) Calcúlese las f.e.m. ε 1 y ε 2 y la diferencia de potencial entre los puntos A y
B.
Sol. ε 1= 18 V, ε 2= 7 V, VAB= 13 V.
20 V 1 Ω
Ε1 1 Ω
4Ω
i1=1 A
6Ω
A
B
Ε2 1 Ω
i2= 2 A
2Ω
14.9) En el circuito representado, hallar: a) las intensidades I1, I2 e I3 y sus
sentidos de circulación; b) la tensión en los bornes de cada batería.
Sol. a) I1= 2 A, I2= 1 A, I3= 3 A; b) V4= 3,75 V, V10= 8,5 V, V16= 14 V.
i1
16 V 1 Ω
7,8 Ω
i3
4 V 0,25 Ω
i2
10 V 0,5 Ω
1,5 Ω
14. Electrodinámica
16
9Ω
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14.10) Se precisa transportar un caudal de 50 m3/h de agua, desde un depósito
a otro situado a una altura manométrica de 90 metros. Calcular: 1) la potencia del motor de la
bomba expresada en C.V., si su rendimiento es del 60%; 2) la sección del conductor de cobre, si
la distancia desde el punto donde se toma la energía hasta el de instalación de la bomba son 400
m y la tensión a la que trabaja el motor 380 V.
Resistividad del cobre: 1,72x10-8 Ω.m.
Sol. 1) 28 C.V.; 2) 1,94 mm2.
14.11) En el circuito eléctrico de la figura. Determinar la indicación del
amperímetro.
Sol. 1 A.
Ε =4 V r =1 Ω
2Ω
2Ω
A
2Ω
2Ω
2Ω
14.12) Para elevar agua es necesario transportar a un motor una potencia de
2.500 W desde un generador alejado 1.000 m de él. La línea de transporte se compone de dos
conductores de cobre de igual diámetro que no deben disipar más del 6% de la potencia
suministrada al motor. Calcúlese: 1) El diámetro mínimo de los hilos de cobre si el voltaje entre
los bornes del motor ha de ser de 110 V; 2) Hállese el diámetro mínimo de los hilos si el motor
requiere 240 V entre sus bornes; 3) Qué voltaje ha de engendrarse en este caso.
Sol. 1) 1,15 cm2; 2) 0,229 cm2; 255,4 V.
Resistividad del cobre: 1,72x10-8 Ω.m
14. Electrodinámica
17
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14.13)
Torrelavega
En el circuito eléctrico, se conocen ε = 5 V, r = 1 Ω, R2= 4 Ω, R1= 3 Ω,
C = 3 µF. Encontrar la carga en las láminas de cada condensador.
Sol. Q = 6x10-6 C.
C=3 µF
R1= 3 Ω
C=3 µF R3
C=3 µF
C=3 µF
Ε=5 V
r=1Ω
14.14)
V1 y V2 son dos voltímetros cuyas resistencias son R1= 3.000 Ω y R2=
2.000 Ω respectivamente; R3= 3.000 Ω, R4= 2.000 Ω, ε = 200 V. Hallar las indicaciones de los
voltímetros V1 y V2 en los siguientes casos: 1) llave K desconectada y 2) la llave K conectada. Se
desprecia la resistencia de la pila.
Sol. 1) V1= 120 V, V2= 80 V; 2) V1= 100 V, V2= 100 V.
Ε=220 V
R1=3000 Ω
R2=2000 Ω
G
V
R4=2000 Ω
V
R3=3000 Ω
K
14.15)
Un salto de agua de un caudal de 500 l/s y de una altura de 10 m,
mueve una turbina acoplada a una dínamo. Esta suministra la energía eléctrica a una fábrica, en
la que existen 98 bombillas de 100 vatios. Calcular los C.V. de que se dispone para el movimiento
de los motores de la fábrica. El rendimiento industrial se supone de un 60%.
Sol. 26,67 C.V.
14. Electrodinámica
18
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Torrelavega
14.16) a) En la figura ¿Qué potencia aparece como energía térmica en R1? ¿En
R2? b) ¿Qué potencia proporciona ε1? ¿ε 2?
Suponga ε 1= 3 V, ε2= 1 V, R1= 5 Ω, R2= 2 Ω y R3= 4 Ω.
Sol. a) 0,35 W, 0,05 W, 0,71 W; b) 1,3 W, -0,16 W.
R3
R2
Ε1
Ε2
R1
14.17) Calcular i 1, i2, i3 y la carga del condensador.
Sol. i1 = 0,25 A, i2 = - 0,80 A, i3 = -0,55 A; Q = 4x10-6 C.
Ε1=3 V
r=0,5Ω
R1=2 Ω
i2
R2=3 Ω
Ε2=4 V
r=0,3Ω
R3=2 Ω
Ε3=2 V
r=0,2Ω
i3
C=4 µF
i1
R4=4 Ω
14.18) Calcular la carga en las armaduras de cada condensador.
Sol. Q1= 3 µC, Q2= 12 µC, Q3= 6 µC, Q4= 9 µC.
2 µF
A
C1
8 µF
4 µF
B
2Ω
C2
6 µF
3Ω
4V 1Ω
14. Electrodinámica
D
C
19
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14.19) El rendimiento de la fuente es igual al 50%. Calcular la resistencia R y la
potencia útil.
Sol. 60 Ω, 70 W.
R
R R1
R2
R
R
E=100 V
r=36 Ω
14.20) De una batería de 500 V de f.e.m. se necesita transmitir energía a la
distancia de 2,5 km. La potencia que se consume es igual a 10 kw. Hallar la pérdida de potencia
en la red, si el diámetro de los conductores de cobre es de 1,5x10-8 m.
Sol. 194 W
Resistividad del cobre: 1,72x10-8 Ω.m
14.21) En el siguiente circuito tenemos que ε = 100 V, R1= 100 Ω, R2= 200 Ω y
R3= 300 Ω ¿Qué tensión señala el voltímetro, si su resistencia es igual a 2.000 Ω? Se desprecia
la resistencia de la batería.
Sol. 80 V.
R1=100 Ω
V
Rv=2000 Ω
R3=300 Ω
14. Electrodinámica
20
R2=200 Ω
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Torrelavega
14.22) Calcular la diferencia de potencial entre el punto A y B.
Sol. 4 V.
Ε=6 V
r=2/3 Ω
2Ω
2Ω
R1
A
2Ω
2Ω
R2
2Ω
B
2Ω
14.23) Para elevar un caudal de 50 m3/h de agua a una altura manométrica de
80 metros es preciso una bomba accionada con un motor eléctrico. Sabiendo que el rendimiento
de la bomba es del 65% y el del motor el 85%. Calcular: 1) La potencia del motor, expresada en
C.V. 2) La sección del hilo de cobre de la conducción para transportar la energía desde un punto
situado a 500 m de distancia y a una tensión de 380 V.
Sol. 1) 27 C.V.; 2) 2,35 mm2.
Resistividad del cobre: 1,72x10-8 Ω. m
14.24) a) Hállese la diferencia de potencial entre los puntos A y B b) Si A y B
están conectados, hállese la corriente en la pila de 12 V.
Sol. a) VAB= 2/9 V; b) 13/28 A.
12 V 1Ω
2Ω
A
1Ω
B
10 V 3Ω
2Ω
2Ω
8 V 1Ω
14. Electrodinámica
8Ω
21
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14.25) Hallar la potencia consumida en la resistencia R1.
Sol. 16 W.
Ε= 120 V
Ρ 2 =100 Ω
Ρ 3 =100 Ω
A
B
Ρ 1 =25 Ω
14.26) En el siguiente circuito. Calcular: a) La intensidad que circula por cada
rama; b) La diferencia de potencial entre A y B.
Sol. a) 0,8 a, 0,2 A, 0,6 A; b) 3,2 V.
E=10 V
r=2 Ω
A
E=5 V
r=1 Ω
B
R=3 Ω
R=4 Ω
R=10 Ω
14.27) En el esquema, hállese la corriente en cada resistencia y la resistencia
equivalente.
Sol. 11 A, 6 A, 5 A, 7 A, 4 A, 1 A; 1,18 Ω
1Ω
1Ω
1Ω
13 V
1Ω
2Ω
14. Electrodinámica
22
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14.28) Calcular la corriente que pasa por cada una de las resistencias.
Sol. 0,6 A, 2,4 A, 1,2 A, 1,8 A, 0,6 A.
1Ω
1Ω
3V
6V
2Ω
2Ω
2Ω
14.29)
En el diagrama de la figura, determinar i1, i2 e i3 y la carga del
condensador.
a) Cuando el interruptor K está abierto
b) Cuando está cerrado.
Sol. a) 1/3 A, 1/3 A, 0 A, 4,7x10-6 C; b)1/3 A, 1/3 A, 1/2 A, 4,7x10-6 C.
4V
2Ω
i1
10 µF
4Ω
5V
4Ω
i2
K
i3
10 Ω
6V
14.30) En el circuito de la figura;
a) ¿Cuál es la resistencia equivalente, si cada una de las resistencias R = 2,1 kΩ?
b) ¿Qué corriente circula por cada resistencia?
c) ¿Qué diferencia de potencial existe entre los puntos A y B?
Sol. a) 3,42 kΩ; b) 1,85 V; c) 0,44m A, 1,32 mA, 0,88 mA.
R
R
R
R
R
R
14. Electrodinámica
R
12 V
23
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Torrelavega
14.31) En el siguiente circuito, determinar:
1) Las corrientes en cada conductor
2) La diferencia de potencial entre los puntos c y f
3) La carga en el condensador.
Sol. 1) 1,38 A, 0,364 A, 1,02 A; 2) 1,09 V; 3) 66 µC
4V
d
e
5Ω
3Ω
f
c
5Ω
b
g
8V
a
h
3 V 6 µF
14.32) Calcular la resistencia equivalente en los circuitos A y B
Sol. A) 15,99 Ω, B) 15,8 Ω
10 Ω
3Ω
2Ω
6Ω
2Ω
3Ω
6Ω 6Ω
4Ω
5Ω
8Ω
A
R = 20 Ω
R
R
R
R
R
R
R
B
14. Electrodinámica
24
4Ω
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14.33) En el siguiente circuito ¿Cuáles son las lecturas en el amperímetro y
en el voltímetro?
Sol. 0,395 A, 1,5 V
R=6 Ω
A
R=10 Ω
R=5 Ω
E=6 V
V
E=4,5 V
R=6 Ω
14.34) Se utiliza una espiral de alambre de nicrom como elemento calefactor en
un evaporador de agua que genera 8,0 g de vapor de agua por segundo. El alambre posee un
diámetro de 1,80 mm y está conectado a una fuente de alimentación de 120 V. Calcular la
longitud del alambre.
Resistividad del nicrom 1x10-6 Ω.m
Sol. 2,04 m
14.35) En estado estacionario, la carga sobre el condensador de 5 µF del
circuito de la figura es de 1.000 µC.
a) Determinar la corriente de la batería.
b) Determinar las resistencias R1, R2, y R3.
Sol. a) 25 A; b) R1= 0,4 Ω, R2= 10 Ω, R3= 6,67 Ω
B
5 µF
R3
5A
A
5A
50 Ω
5Ω
C
14. Electrodinámica
D
R2
25
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14.36) Una pila de 12 V alimenta cuatro bombillas iguales conectadas como
indica la figura. Cada bombilla consume 12 W. Calcular: a) la resistencia de cada bombilla; b) la
resistencia total del conjunto de las cuatro bombillas; c) la intensidad que circula por los puntos
A, B, C, D; d) la energía que se disipa cuando un electrón atraviesa una bombilla.
Sol. a) R=12 Ω; b) R = 3 Ω; c) i A= 4 A, iB= 1 A, i C= 2 A; d) W = 19,2x10-19 J.
B
Α
D
C
14.37) Una pila de 3 V y resistencia interna despreciable alimenta cuatro
bombillas iguales conectadas como indica la figura. El consumo total de energía es de 24 W.
Calcular: a) la resistencia total del conjunto de las cuatro bombillas; b) la resistencia de cada
bombilla; c) la intensidad que circula por los puntos A, B, C, D; d) la energía que se disipa
cuando una carga de 1 C atraviesa una bombilla.
Sol. a) Rtotal= 9/24 Ω; b) R = 1,5 Ω; c) iA = 8 A; iC=iD=2 A; iB=4 A; d) W=3 J.
D
Β
C
Α
14. Electrodinámica
26
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14.38) Una resistencia de 600 Ω y otra de 400 Ω están conectadas en serie a
una línea de 90 V. Un voltímetro conectado a la resistencia de 600 Ω marca 45 V
a) Hállese la resistencia del voltímetro
b) Hállese la lectura del voltímetro conectado a la resistencia de 400 Ω.
Sol. a) RV = 3.000 Ω; V400= 31,7 V.
V
i1
600 Ω
400 Ω
i2
90 V
14.39) Se dispone de una fuente de corriente continua de 12 V con resistencia
interna despreciable. A) Se desea montar dos resistencias de 1 Ω y 30 Ω en serie con la fuente.
Dibujar el esquema y hallar el calor disipado en cada resistencia. B) Si las resistencias se
conectan en paralelo, hallar de nuevo el calor disipado en cada resistencia y dibujar el nuevo
esquema. C) ¿Qué es un cortocircuito? D) Además de las resistencias se dispone de un
condensador cuya rigidez dieléctrica es de 6 V; ¿cómo conectarías los tres elementos para que
el condensador acumulara carga?, ¿qué ocurriría si lo conectaras en paralelo con las
resistencias?
Sol. A) i = 0,387 A, PR30= 4,5 W, PR1= 0,15 W; B) PR30= 4,8 W, PR1= 144 W.
14.40) Una dínamo, cuya tensión es de 220 V, acciona un motor situado a 1 km
y cuya tensión en los bornes es 190 V. 1) ¿Cuál debe ser la resistencia de la línea para que la
dínamo suministre 20 kw? 2) ¿Cuál debe ser la sección del hilo de la línea, sabiendo que es de
cobre, de resistividad 1,6x10-6 Ω.m? 3) ¿Cuál es la relación entre la potencia que recibe el motor
y la que suministra la dínamo?
Sol. 1) 0,33 Ω; 2)1 cm2; 3) 86%
1
2
E, r
3
14. Electrodinámica
E’, r’
4
27
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Torrelavega
14.41) Un motor de 2 C.V. de potencia funciona con una corriente de intensidad
2,94 amperios. Calcular su fuerza contraelectromotriz. El motor está funcionando durante 5 horas.
Calcular el costo de la energía eléctrica que hace funcionar el motor, suponiendo que el precio
del kilowatio.hora es de 6 pesetas.
Sol. 500 V; 44,10 ptas.
14. Electrodinámica
28
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Torrelavega
15. ELECTROMAGNETISMO
FORMULARIO
max well
weber
weber
1
= 10 − 4
= 10 4 gauss
2
2
2
cm
m
m
2
4
1 oersted = 79 , 6 A.v / m 1 Wb = 1 T .m = 10 Gs . 10 4 cm 2 = 10 8 Mx
Flujo magnético :
∅ = B .S cos α Webers
∅
Densidad de flujo : B =
weber .m − 2
S
mv
Radio de la órbita circular : R =
Bq
Fuerza sobre un conductor : F = I l B sen α
Momento sobre :
a ) cuadro :
M = N I S B sen α
b ) espira circular : M = I S B sen α
c ) solenoide :
M = N I S B sen α
1 gauss = 1
µ 0 = 4 π × 10 − 7 = 12 , 57 × 10 − 7 Wb / A. m
µ 2i
µ i
Campo magnético creado por un conductor rectlíneo : B = 0
= 0
4π a
2π a
µ 2I I'
µ I I'
Fuerza entre conductore s paralelos : F = 0
.l = 0
.l
a
4π
2π a
µ I R sen α
Campo magnético de una espira circular : B = 0
en el eje
r2
2
µ I
B= 0
en el centro
2 R
Permeabili dad en el vacío :
15. Electromagnetismo
29
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Campo de un solenoide :
B = µ0
Torrelavega
NI
l
d∅
dt
F .e.m. inducidasobre un cuadro en rotación : ε = N B A ω senα
ω = cte. α = ω t = 2 π f t ε = N B A sen ωt = N B A ωsen 2 π f t
B
Inducción magnética : H =
A.m −1
µ' µ 0
µ m m'
Fuerzas entre polos magnéti cos : F = 0 2
m y m' masas magnéticas.
4π r
N∅
di
Autoinducción : L =
ε = −L
I
dt
R
− t
ε
Intensidad en un circuito con resistencia y autoinducción : I = (1 − e L )
R
Fuerza electromotriz inducida :
ε = Blv
ε=−
C arg a en un circuito con capacidad y autoinducción :
Autoinducción en un solenoide
15. Electromagnetismo
L=µ
2
N S
l
30
q = Q(1 − e
−
t
RC
)
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Torrelavega
15.1) En la figura se representan las secciones de dos conductores rectilíneos
infinitamente largos por los cuales fluye corriente eléctrica. La distancia AB entre conductores es
igual a 10 cm, I1= 20 A, I 2= 30 A. Hallar la excitación magnética originada por las corrientes I1 e I2
en los puntos M1, M2 y M3. Las distancias M1A = 2 cm, AM2= 4 cm y BM3= 3 cm.
Sol. 120 A/m, 159 A/m, 135 A/m.
M1
I1
I2
M2
M3
X
A
B
15.2) En la figura se representan las secciones de tres conductores rectilíneos
infinitamente largos recorridos por corrientes. Las distancias son AB = BC = 5 cm, y las
intensidades, I1= I2= I e I3= 2I. Hallar el punto de la recta AC, en el cual la excitación magnética
originada por las corrientes I1, I2 e I3 sea igual a cero.
Sol. 3,3 cm a la derecha del punto A.
i1
i2
X
X
5 cm
A
B
i3
5 cm
C
15.3) Dos conductores rectilíneos infinitamente largos son perpendiculares entre
sí y se hallan en el mismo plano. Hallar la excitación magnética en los puntos M1 y M2, si I1= 2 A,
e I2= 3 A. Las distancias AM1= AM2= 1 cm y BM1 = CM2= 2 cm.
Sol. 8 A/m, 55,8 A/m.
M2
A
I1
M1
C
B
15.4) Una corriente de 20 A fluye por un conductor infinitamente largo doblado
en ángulo recto. Hallar la excitación magnética en el punto situado en la bisectriz de este ángulo
a la distancia de 10 cm del vértice del mismo.
Sol. 91 A/m.
15. Electromagnetismo
31
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15.5) Una corriente de intensidad I = 20 A, al fluir por un anillo conductor de
alambre de cobre de sección S = 1,0 mm2, crea en el centro del anillo una excitación magnética H
= 178 Av/m. ¿Cuál es la diferencia de potencial aplicado a los extremos del alambre que forma el
anillo?.
Sol. 0,12 V.
Resistividad del cobre: 1,72x10-8 Ω.m.
15.6) En un campo magnético uniforme de excitación igual a 79.600 Av/m se
sitúa un contorno cuadrado. El plano de éste forma un ángulo de 45º con la dirección del campo
magnético. El lado del cuadro es de 4 cm. Determinar el flujo magnético que atraviesa el cuadro.
Sol. 1,12x10-4 Wb.
15.7) Un conductor rectilíneo de 50 cm de longitud por el que circula una
corriente de 3 A está a 30 cm de distancia de otro conductor paralelo e indefinido por el que
circulan 10 A. Calcular la fuerza que soporta el primer conductor.
Sol. 10-5 N.
15.8) Un carrete de 3 cm de diámetro está constituido por mil espiras de un hilo
de resistividad 2x10-8 Ω.m y de diámetro 0,5 mm. El carrete se coloca en serie con una
resistencia de 500 Ω y un generador de 4 voltios de f.e.m. Calcular: 1) La intensidad de la
corriente que circula en el carrete. 2) El momento magnético de la bobina.
Sol. 1) 7,85x10-3 A; 2) 5,55x10-3 A.m2.
15.9) A un solenoide de 1 dm de diámetro, constituido por 3.000 espiras de hilo
de cobre de resistividad 1,6x10-8 Ω.m y 0,1 mm de radio se le aplica entre las dos extremidades
del solenoide una diferencia de potencial de 20 voltios. ¿Cuál es el momento magnético del
solenoide cuando pasa la corriente?
Sol. 0,942 A.m2.
15. Electromagnetismo
32
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15.10) En la figura se representan las secciones de dos conductores rectilíneos
infinitamente largos por los que fluye corriente eléctrica en el mismo sentido. La distancia AB
entre conductores es igual a 10 cm, I1= 20 A, I2= 30 A. Hallar la excitación magnética originada
por las corrientes I1 e I2 en los puntos M1, M2 y M3. Las distancias M1A= 2 cm, AM2= 4 cm y BM3 =
3 cm.
Sol. 199 A/m, 0 A/m, 184 A/m.
I1=20 A
M1
I2=30 A
M2
X
M3
X
A
B
2 cm
2 cm
10 cm
3 cm
15.11) En la figura se representan las secciones de tres conductores rectilíneos
infinitamente largos recorridos por corrientes. Las distancias son AB = BC = 5 cm y las
intensidades I1= I2= I e I3= 2I. Hallar el punto de la recta AC, en el cual la excitación magnética
originada por las corrientes I1, I2 e I3 sea igual a cero. Sol. 6,95 cm y 1,80 cm a la derecha del
punto A.
Sol. 1,80 cm del punto A.
i1
i2
i3
X
X
X
B
C
A
15.12)
Dos conductores rectilíneos infinitamente largos son mutuamente
perpendiculares y se hallan en planos recíprocamente perpendiculares. Hallar la excitación
magnética en los puntos M1 y M2, si I1= 2 A e I 2= 3 A. Las distancias son AM1= AM2= 1 cm y AB =
2 cm.
Sol. 57,4 A/m.
i1
M1
15. Electromagnetismo
M2
A
i2
X
33
B
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Torrelavega
15.13) Dos conductores rectilíneos y largos son paralelos y se hallan a una
distancia entre sí de 10 cm. Por los conductores circulan las corrientes I1= I2= 5 A en sentido
contrario. Hallar la magnitud y sentido de la excitación magnética en el punto situado a 10 cm de
distancia de cada conductor.
Sol. 4 A/m perpendicular al plano de los conductores.
15.14) La excitación magnética en el centro de una espira circular de radio igual
a 11 cm, es de 64 Av/m. Hallar la excitación magnética en el eje de la espira a la distancia de 10
cm de su plano.
Sol. 26 A/m.
15.15) Dos espiras circulares de 4 cm de radio cada una se hallan en planos
paralelos a la distancia de 0,1 m una de otra. Por las espiras fluyen las corrientes I1= I2= 2 A.
Hallar la excitación magnética en el eje de las espiras para el punto situado a la misma distancia
de ellas. Resolver el problema para los siguientes casos: 1) las corrientes de las espiras fluyen en
un mismo sentido y 2) las corrientes fluyen en sentidos opuestos.
Sol. 1) 12,18 Av/m; 2) 0.
I=2 A
i=2 A
0,1 m
15.16) Tres alambres muy largos y paralelos se disponen según se muestra en
la figura. Conducen corrientes iguales a 25 A. Calcular: a) El campo magnético en P, punto medio
entre A y C. b) La fuerza sobre una carga positiva q = e que está en el punto P y se mueve con
una velocidad de 1,5x106 m/s, dirigiéndose hacia fuera de la página. Carga del electrón e =
1,6x10-19 C.
Sol. a) 15,99x10-5 T; b) 3,8x10-17 N.
A
10 cm
P
X C
B
10 cm
15. Electromagnetismo
34
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Torrelavega
15.17) Dos cables largos, rectilíneos y paralelos están separados 1 m, como se
indica en la figura. El cable superior transporta una corriente I1 de 6 A hacia el plano del papel.
a) ¿Cuál ha de ser la magnitud y dirección de la corriente I2 para que el campo resultante en P
sea cero? b) ¿Cuál es entonces el campo resultante en Q? c) ¿Y en S?
Sol. a) 2 a; b) 1,75 A/m; c) 1,64 A/m.
Q
0,5 m
X
I1=6 A
0,6 m
1m
I2
S
0,8 m
0,5 m
P
15.18) Cuatro conductores largos y paralelos, representados en la figura, llevan
la misma corriente de 5 A. Calcular la magnitud y la dirección del campo en el punto P, localizado
en el centro del cuadro de lado 0,2 m.
Sol. 2,02x10-5 T
A
X
C
0,2 m
X
B
0,2 m
15. Electromagnetismo
35
D
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15.19) El largo cable rectilíneo AB de la figura transporta una corriente de 20 A.
El cuadro rectangular, cuyos lados largos son paralelos al hilo, transporta una corriente de 10
A. Hállese la magnitud y dirección de la fuerza resultante ejercida sobre el cuadro por el campo
magnético del hilo.
Sol. F = 7,27x10-4 N
B
10 cm
I
20 cm
1 cm
A
15. Electromagnetismo
36
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15.20) Sean tres conductores rectilíneos infinitamente largos, paralelos y
contenidos en un mismo plano, como se representa en la figura. Las distancias entre los
centros de los conductores son dAB = dBC = 10 cm. Las intensidades que circulan por ellos (en
el sentido que indican las flechas) son iA = iB = iC = 25 A. Hallar la fuerza por unidad de longitud
sobre el conductor C. Hallar el punto de la recta que corta a los tres conductores (línea
discontínua) en el cual la excitación magnética originada por las corrientes sea máxima (basta
plantear la ecuación)
Sol. FC = 0,001875 N
C
B
A
dBC
dAB
iA
iB
X
X
10 cm
A
15. Electromagnetismo
37
B
iC
X
10 cm
C
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15.21) Sean tres conductores rectilíneos infinitamente largos, paralelos y
contenidos en un mismo plano, como se representa en la figura. Las distancias entre los
centros de los conductores son dAB = dBC = 5 cm. Las intensidades que circulan por ellos (en el
sentido que indican las flechas) son iA = iB = 10 A e iC = 20 A. Hallar la fuerza por unidad de
longitud sobre el conductor A. Hallar el punto de la recta perpendicular a los tres conductores
(línea discontínua) en el cual la excitación magnética originada por las corrientes sea igual a
cero.
Sol. F = 0 N; x = 3,3 cm
C
B
A
dBC
dAB
i1
i2
X
X
5 cm
5 cm
B
A
15. Electromagnetismo
I3
38
C
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16. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
16.1) Una barra vertical de 1 cm de longitud se transporta en dirección E-W a
una velocidad de 100 km/h. ¿Qué diferencia de potencial se engendra en sus terminales? La
componente horizontal de la inducción magnética terrestre vale 2,4x10-5 tesla.
Sol. 0,67x10-5 V.
16.2) Un anillo hecho de hierro, tiene una circunferencia media de 30 cm de
longitud, y cuya sección es 1 cm2, está rodeado uniformemente de 300 espiras de hilo conductor.
Cuando la intensidad de la corriente en el arrollamiento es 0,032 A, el flujo en el anillo es de 2x106
Wb. Calcular: a) la densidad de flujo en el anillo; b) la excitación magnética; c) la permeabilidad;
d) la permeabilidad relativa.
Sol. a) 2x10-2 Wb/m2; b) 32 A/m; c) 6.250x10-7 Wb/A.m; c) 498.
16.3) Con un conductor de 1 mm de diámetro hay que hacer el arrollamiento de
un solenoide en cuyo interior haya una excitación magnética igual a 300 Oe. La intensidad límite
de corriente que puede fluir por el conductor es de 6 A. ¿De cuantas capas ha de constar el
arrollamiento del solenoide, si las espiras se arrollan tocándose unas a otras?
Sol. 4 capas.
1 Oe = 79,6 Av/m.
16.4) Hay que obtener una excitación magnética de 1.003 Av/m en un solenoide
de 20 cm de longitud y 5 cm de diámetro. Hallar: 1) el número de amperio-vueltas necesario para
este solenoide y 2) la diferencia de potencial que hay que aplicar a los extremos del arrollamiento,
si éste es un conductor de cobre de 0,5 mm de diámetro.
Sol. 1) 200 A.v; 2) 2,75 V.
Resistividad del cobre: 1,72x10-8 Ω.m.
16.5) En un campo magnético cuya inducción es igual a 0,05 T gira una barra de
1 m de longitud. El eje de giro, que pasa por uno de los extremos de la barra, es paralelo a las
líneas de fuerza del campo magnético. Hallar el flujo de inducción magnética que atraviesa la
barra a cada vuelta.
Sol. 0,157 Wb.
16.Inducción electromagnética
39
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16.6) El arrollamiento de un solenoide consta de N espiras de un conductor de
cobre cuya sección es s = 1 mm2. La longitud del solenoide es l = 25 cm y su resistencia R = 0,2
Ω. Hallar la inductancia del solenoide.
Sol. 5,4x10-5 H.
Resistividad del cobre: 1,72x10-8 Ω.m.
16.7) Una bobina de 20 cm de longitud y 3 cm de diámetro tiene 400 espiras. Por
la bobina circula una corriente de 2 A de intensidad. Hallar: 1) la inductancia en la bobina; 2) el
flujo magnético que atraviesa la superficie de su sección transversal.
Sol. 1) 7,1x10-4 H; 2) 3,55x10-6 Wb.
16.8) Una bobina con un núcleo de hierro tiene 20 cm2 de área de la sección
transversal y 500 espiras. La inductancia de la bobina con núcleo es igual a 0,28 H siendo 5 A la
intensidad de la corriente que circula por el arrollamiento. Hallar la permeabilidad magnética del
núcleo de hierro en estas condiciones.
Sol. 1.400.
16.9) ¿Cuantas espiras tiene una bobina de inductancia L = 0,001 H, si a la
intensidad de corriente I = 1 A, el flujo magnético a través de la bobina es φ = 200 Mx?
Sol. 500 espiras.
200 Mx = 2x10-6 Wb.
16.10) Dos bobinas están arrolladas sobre un núcleo común. La inductancia de
la primera bobina es de 0,2 H, la de la segunda 0,8 H; la resistencia de la segunda bobina es de
600 Ω. ¿Qué corriente fluirá por la segunda bobina, si se desconecta durante 0,001 s la corriente
que fluye por la primera bobina, que es de 0,3 A?
Sol. 0,2 A.
16.11) Dos conductores largos rectilíneos y paralelos se hallan a la distancia de
10 cm uno de otro. Por los conductores fluye la corriente en el mismo sentido y las intensidades
respectivas son: I1= 20 A e I 2= 30 A. ¿Qué trabajo hay que realizar (por unidad de longitud de los
conductores) para separarlos hasta la distancia de 20 cm?
Sol. 8,3x10-5 J/m.
16.Inducción electromagnética
40
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16.12) Dos conductores largos, rectilíneos y paralelos, se hallan a cierta
distancia entre sí. Por los conductores fluyen corrientes de igual magnitud y sentido. Hallar la
intensidad de la corriente que fluye por cada conductor, si se sabe que para separarlos a una
distancia dos veces mayor, habría que realizar un trabajo (por unidad de longitud de los
conductores) igual a 5,5 erg/cm.
Sol. 20 A.
16.13) Una bobina de 30 cm de longitud consta de 1.000 espiras. Hallar la
excitación magnética en el interior de la bobina, si la intensidad de la corriente que fluye por la
bobina es de 2 A. El diámetro de la bobina se considera pequeño en comparación con su
longitud.
Sol. 6.666 A/m.
16.14) En un campo magnético uniforme de inducción igual a 0,5 Wb/m2 se
desplaza uniformemente un conductor de 10 cm de longitud. Por el conductor fluye una corriente
de 2 A de intensidad. La velocidad del conductor es de 20 cm/s y va dirigida perpendicularmente
a la dirección del campo magnético. Hallar: 1) el trabajo de desplazamiento del conductor en 10 s
y 2) la potencia consumida en el desplazamiento.
Sol. 1) 0,2 J; 2) 0,02 W.
16.15) Calcular el coeficiente de autoinducción de un solenoide de 30 cm de
longitud que contiene 4.000 espiras de 6 cm de diámetro.
Sol. 189,5x10-3 H.
16.16) Una determinada bobina consta de 500 vueltas circulares de 4 cm de
radio. Se encuentra entre los polos de un gran electroimán, donde el campo magnético es
uniforme, perpendicular al plano de la bobina y aumenta a razón de 0,2 T/s. ¿Cuál es la magnitud
de la f.e.m. inducida resultante?
Sol. 0,503 V
16.17) Un electrón (e = 1,6x10-19 C; m = 9,1x10-31 kg) se acelera desde el reposo
mediante una diferencia de potencial de 4x106 voltios, entrando a continuación en una región
donde únicamente existe un campo magnético uniforme de B = 0,5 teslas, perpendicular a la
dirección en la que se mueve el electrón. Determinar: a) La velocidad que adquiere el electrón. b)
El radio de la trayectoria circular que sigue el electrón en dicha región. c) Tiempo en que
completa una órbita.
Sol. a) 1,18x109 m/s; b) R = 1,342 cm; c) 2,1x10-8 s.
16.Inducción electromagnética
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16.18) Un cable de cobre tiene 125,6 m de longitud y 0,8 mm2 de sección. Con el
fin de construir un solenoide, se arrolla este cable en torno a un cilindro macizo de µr = 2, longitud
40 cm y radio 5 cm. Los extremos del cable se conectan a una batería cuya f.e.m. es de 2 V.
Calcular: a) la resistencia del solenoide (la resistividad del cobre es 1,72x10-8 Ωm-1), b) la
autoinducción, c) la excitación magnética en el interior del cilindro.
Sol. a) 2,7 Ω; b) 0,008 H; c) 740 Av/m.
16.19) De un conductor de 20 cm de longitud se ha hecho un contorno: 1)
cuadrado, 2) circular. Hallar el momento de rotación de las fuerzas que actúa en cada contorno
situado en un campo magnético uniforme de inducción igual a 1.000 Gs. Por los contornos fluye
una corriente de 2 A de intensidad. El plano de cada contorno forma un ángulo de 45º con la
dirección del campo magnético.
Sol. 1) 3,53x10-4 N.m; 2) 4,5x10-4 N.m.
16.Inducción electromagnética
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17. CORRIENTES ALTERNAS
FORMULARIO
Ei = E 0 cos ω t
I eficaz
I=
I i = I 0 cos ω t
I0
2
2π
Periodo : T =
ω
Diferencia de fase :
= 0,707 I 0
E=
E eficaz
ω pulsación
E0
2
Frecuencia =
= 0,707 E 0
ν=
ω
2π
Ei = E 0 cos ω t
I i = I 0 cos(ω t − ϕ)
Potencia :
P = E I cos ϕ
Im pedancia :
Z=
R 2 + (L ω −
Re ac tan cia :
Lω−
1
Cω
Induc tan cia :
Lω
Capaci tan cia :
Ley de Ohm :
17. Corrientes alternas
1
Cω
I = I 0 cos(ω t − ϕ)
1 2
)
Cω
1
Cω
Lω−
tgϕ =
I=
43
R
I0
2
I=
E
=
Z
E
R 2 + (L ω −
1 2
)
Cω
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17.1) El devanado de una bobina tiene 500 espiras de alambre de cobre cuya
sección transversal tiene 1 mm2 de área. La longitud de la bobina es de 50 cm y su diámetro 5
cm. ¿Qué frecuencia deberá tener la corriente alterna para que la impedancia de la bobina sea el
doble que la resistencia eficaz?
Sol. 300 Hz.
Resistividad del cobre: 1,7x10-8 Ω.m
Permeabilidad en el vacío: 12,57x10-7 Wb/A.m
17.2) Dos condensadores cuyas capacidades respectivas son C1= 0,2 µF y C2=
0,1 µF están intercalados en serie en un circuito de corriente alterna de 220 V de tensión y 50 Hz
de frecuencia. Hallar: 1) la intensidad de la corriente en el circuito; 2) la caída de potencial en el
primer condensador y en el segundo.
Sol. 1) 4,6x10-3 A; 73,3 V; 146,4 V.
17.3) Una bobina de longitud l = 50 cm y área de la sección transversal S = 10
cm2 está intercalada en un circuito de corriente alterna cuya frecuencia ν = 50 Hz. El número de
espiras de la bobina N = 3.000. Calcular la resistencia eficaz de la bobina sabiendo que el
desfase entre la tensión y la corriente es igual a 60º.
Sol. 4,11 Ω
Permeabilidad en el vacío: 12,57x10-7 Wb/A.m
17.4) Una bobina de 25 cm de longitud y 2 cm de radio tiene un devanado de
1.000 espiras de alambre de cobre cuya sección transversal tiene 1 mm2 de área. Esta bobina
está intercalada en un circuito de corriente alterna de 50 Hz de frecuencia. ¿Qué parte de la
impedancia de la bobina se debe: 1) a la resistencia eficaz y 2) a la reactancia inductiva?
Sol. 73,29%, 68,15%.
17.5) Un condensador de 20 µF de capacidad y un reóstato cuya resistencia
eficaz es igual a 150 Ω están intercalados en serie en un circuito de corriente alterna de 50 Hz de
frecuencia. ¿Qué parte de la tensión aplicada a este circuito constituye la caída de tensión: 1) en
el condensador y 2 en el reóstato?
Sol. 1) 72,8%, 2) 68,6%
17.6) Una bobina cuya resistencia eficaz es de 10 Ω y cuya inductancia es L,
está intercalada en un circuito de corriente alterna de 127 V de tensión y 50 Hz de frecuencia.
Hallar la inductancia L sabiendo que la bobina absorbe una potencia de 400 W y que el desfase
entre la tensión y la corriente es igual a 60º.
Sol. 0,06 H.
17. Corrientes alternas
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17.7) En un circuito de corriente alterna de 220 V de tensión están intercalados
en serie una capacidad C, una resistencia eficaz R y una inductancia L. Hallar la caída de tensión
VR en la resistencia óhmica sabiendo que la caída de tensión en el condensador VC= 2VR y que la
caída de tensión en la inductancia VL= 3VR.
Sol. 156 V.
17.8) En un circuito de 25 Ω de resistencia hay instaladas capacidades por valor
de 2x10 µF; en serie con él se instala una bobina de 10 Ω de resistencia y 0,02 H de
4
autoinducción. Aplicamos a los extremos del circuito una tensión alterna cuyo valor eficaz es de
100 V y de frecuencia 100 ciclos/s. Calcular:
1) La impedancia del circuito y de la bobina.
2) La intensidad eficaz máxima.
3) La tensión eficaz en los bornes de la bobina.
4) El factor de potencia.
5) La potencia.
Sol. 1) 16 Ω bobina, 37 Ω circuito; 2) I0= 2,7 A; 3) 43,2 V; 4) 0,945; 5) 255 W.
17.9) Un solenoide de 1 m de longitud de 50 Ω de resistencia, 10 espiras/cm y
2
10 cm de sección, tiene en su interior un núcleo de hierro (µ' = 2.000) y es recorrido por una
corriente alterna de 50 ciclos/s. Calcular:
1) La autoinducción.
2) Su reactancia.
3) Su impedancia.
4) El desfase entre la tensión y la intensidad.
5) La intensidad de la corriente para una tensión de 2.000 V.
6) El factor de potencia.
7) La potencia de la corriente (considerar el solenoide como indefinido).
Sol. 1) 2,51 H; 2) 789,57 Ω; 3) 791 Ω; 4) 15,8; 5) 2,5 A; 6) 0,06; 7) 300 W.
17. Corrientes alternas
45
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17.10) Los voltímetros de la figura nos indican VR= 80 V y VX= 60 V. Calcular el
potencial eficaz.
Si el amperímetro marca 5 amperios eficaces, calcular la impedancia del circuito.
Si el voltímetro marca 0,4 kw; calcular el factor de potencia y la potencia reactiva.
Sol. 100 V; 20 Ω; 0,8; 300 Wreac.
VX
s
A
B
A
VR
17.11) Dado el circuito de la figura, donde Ei=20√2.cos(50t + 60) determinar:
1) Intensidades que circulan por cada rama en paralelo.
2) Factores de potencia de cada rama.
Sol. 1) 5√2.cos(50t + 30), 4√2.cos50t; 2) 0,85, 0,50.
2
2,5 Ω
3 Ω
s
Ei
0,04 H
3 20 H
17.12) En el circuito RLC, L = 0,5 H; Vi= 300.cos500t y la intensidad Ii=
1,4.cos(500t - 30). Calcular R y C y la frecuencia de resonancia.
Sol. 8,2 µF; 10 Ω 492 rad/s.
L=0,5 H
s
R
V
17. Corrientes alternas
46
C
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17.13) Un condensador y una lámpara eléctrica están unidos en serie e
intercalados en un circuito de corriente alterna de 440 V de tensión y 50 Hz de frecuencia. ¿Qué
capacidad debe tener el condensador para que por la lámpara pase una corriente de 0,5 A y la
caída de potencial en ella sea igual a 110 V?
Sol. 3,74x10-6 F.
17.14) Un carrete tiene una resistencia óhmica de 15 Ω y un coeficiente de
autoinducción de L = 0,05 henrios. Se une a una tensión alterna de 50 períodos y circula una
corriente de 5 amperios. Calcular la impedancia, la tensión en los bornes y el factor de potencia.
Sol. 21,71 Ω; 110 V; 0,69.
17.15) Una bobina cuya resistencia es 40 Ω y tiene 1,5 H de inductancia se
monta en serie con un condensador de 30 µF. Conectamos el conjunto a un generador de 220 V
de una frecuencia de 50 Hz. Hallar la diferencia de potencial en los bornes de la inductancia y de
la capacidad.
Sol. VC= 63,63 V; VL= 283,62 V.
17.16) Una resistencia de 400 Ω está conectada en serie con una bobina de L =
0,1 H y un condensador de capacidad 0,5 µF. Este circuito transporta una corriente eficaz de 0,25
A a 100 Hz de frecuencia.
Calcular:
a) Qué potencia se consume en el circuito.
b) En la resistencia.
c) En el condensador.
d) En la bobina.
e) ¿Cuál es el factor de potencia del circuito?
Sol. a) 25 W; b) 25 W; c) 0; d) 0; e) 0,13.
17.17) En un circuito de corriente alterna de 220 V de tensión y 50 Hz de
frecuencia están conectados en serie una capacidad de 35,4 µF, una resistencia de 100 Ω y una
inductancia de 0,7 H. Hallar la intensidad de la corriente en el circuito y la caída de tensión en la
capacidad, en la resistencia óhmica y en la inductancia.
Sol. I = 1,34 A; E= 120,8 V; ER= 134 V; EL= 295 V.
17. Corrientes alternas
47
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17.18) Una bobina de resistencia 10 Ω y cuya autoinducción es 15 mili henrios
se halla en serie con una resistencia de 12 Ω y un condensador de 200 µF de capacidad, y el
conjunto es conectado a una línea de corriente alterna de 100 V y 60 ciclos. Calcúlese el voltaje
entre los terminales de la bobina.
Sol. 49,40 V.
17.19) En un circuito de corriente alterna de 50 períodos por segundo y 22,5 Ω
de resistencia señalan los aparatos registradores, 150 voltios y 5 amperios, como tensión e
intensidad eficaz. Calcular:
1) Factor de potencia.
2) La potencia activa.
3) La potencia reactiva.
4) La potencia teórica.
5) La intensidad instantánea activa.
6) La intensidad instantánea reactiva.
7) La impedancia.
8) La reactancia.
Sol. 1) 0,75; 2) 562,5 W; 3)495 W R; 4) 750 V.A; 5) 4,49 A; 6) 0,66 A; 7) 30 Ω; 8) 19,8 Ω.
17.20) Un circuito absorbe 330 W de una línea de corriente alterna de 110 V y 60
Hz. El factor de potencia es 0,6 y la corriente está retrasada respecto al voltaje.
a) Hállese la capacidad del condensador en serie que producirá un factor de potencia unidad.
b) ¿Qué potencia será absorbida entonces de la línea de suministro?
Sol. a) 151 µF; 917 W.
17.21) En el circuito de la figura las impedancias derivadas son iguales (Z) así
como sus resistencias (R). El voltímetro nos indica el potencial eficaz VAB(V). Determinar los
valores de las intensidades en las derivaciones y en el circuito general en función de Z, R y V.
Demostrar que el valor de la impedancia equivalente a las dos en derivación es Zeq= Z2/2R.
R
A
Z
Z
s
R
V
17. Corrientes alternas
48
B
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17.22) Una resistencia de 100 Ω un condensador de 0,1 µF y una bobina de
0,1 H están conectados en serie a un generador de 100 V.
a) Cual es la frecuencia de resonancia.
b) Cual es la corriente máxima en la resistencia en resonancia.
c) Cual es el voltaje máximo en el condensador en resonancia.
d) Cual es la máxima energía almacenada en el condensador.
Sol. a) 1.592 Hz; b) 1 A; c) 1.000 V; d) 0,05 J.
17.23) En el circuito representado, calcular las lecturas de los voltímetros V1, V2,
V3, V4, V5 y la potencia total del circuito.
Sol. 24 V, 36 V, 80 V, 44 V, 50,12 V; 1,92 W.
s
Ε=50 V ω=500 rad/s
A
R=300 Ω
C
V1
0,5 H
D C=2µF B
V2
V3
V4
V5
17.24) Un circuito en serie, consta de una resistencia de 100 Ω, un condensador
de 4x10-3 µF y una bobina de 0,036 H. Este circuito, se conecta a los terminales de un generador
de corriente alterna y 50 V de f.e.m.
Calcular:
a) La frecuencia de resonancia.
b) La intensidad de la corriente por el circuito.
c) El voltaje en cada uno de los tres componentes.
Sol. a) 13.270 Hz; b) 0,5 A; c) VR= 50 V, VL= 1.500 V, VC= 1.500 V.
17.25) Una bobina con una resistencia de 35 Ω y una inductancia de 20,5 H está
en serie con un condensador y un alternador de 220 V y 100 Hz de frecuencia. La corriente en el
circuito es de 4 A.
Calcular: a) La capacidad del circuito; b) La diferencia de potencial en los extremos de la bobina.
Sol. 1,2x10-7 F; 51.522 V
17. Corrientes alternas
49
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17.26) Un circuito RLC en serie está formado por una resistencia de 3 Ω, una
inductancia de 80 mH, un condensador de 5 µF y un generador de corriente alterna de 10 V, que
funciona a una frecuencia de resonancia. Calcular: a) La corriente en el circuito; b) Los
potenciales a través de cada uno de los elementos del circuito.
Sol. a) 3,33 A; b) 422 V.
17.27) En un circuito en serie RLC, la fuente tiene un voltaje constante de 50 V y
una frecuencia de 1.000 Hz, R = 300 Ω, L 0,9 H y C = 2µF.
a) ¿Cuál es la impedancia del circuito?
b) ¿Cuál es la caída de tensión en cada elemento del circuito?
c) Calcular el ángulo de desfase
d) ¿Cuál es la potencia del circuito?
Sol. a) 309 Ω; b) 0,16 A, 48,5 V, 904 V,12,7 V; c) 14º; d) 7,8 W
17.28) Un circuito en serie tiene una impedancia de 50 Ω y un factor de potencia
de 0,6 a 60 Hz; el voltaje está retrasado respecto a la corriente.
a) ¿Hay que poner una bobina o un condensador en serie con el circuito?
b) ¿Qué valor ha de tener el elemento necesario para aumentar el factor de potencia a la unidad?
Sol. a) Condensador; b) 6,6x10-5 F.
17.29) Un circuito contiene dos elementos, pero no se sabe si se trata de L, R o
C. La corriente en el circuito cuando se conecta a una fuente de 120 V a 60 Hz es de 8,1 A y
adelanta al voltaje 13º. ¿Cuáles son los dos elementos y cuáles sus valores?
Sol. Condensador; 820 µF; 14,4 Ω.
17.30) En un circuito en serie RLC, R = 250 Ω, L= 0,5 H y C = 0,02 µF.
a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito?
b) El condensador puede soportar un voltaje con un pico de valor 350 V, ¿Qué voltaje máximo
efectivo entre sus terminales puede tener el generador a la frecuencia de resonancia?
Sol. a) 1.592 Hz; b) 12,4 V;
17.31) Un circuito LRC en serie consta de una resistencia de 8 Ω, un
condensador de 5 µF y una bobina de 50 mH. Una fuente de frecuencia variable de 400 V se
conecta a través de la combinación. Determinar la potencia entregada al circuito cuando la
frecuencia es igual a la mitad de la frecuencia de resonancia.
Sol. 56,9 W.
17. Corrientes alternas
50
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17.32) Dado el siguiente circuito, en donde la fuente tiene un voltaje constante
de 110 V y una frecuencia de 60 Hz, calcular:
a) La impedancia del circuito. b) La intensidad total y la intensidad de cada rama del circuito. c) El
diagrama vectorial de tensiones e intensidades y su desfase.
A
2Ω
3Ω
B
3Ω
s
9Ω
4Ω
8Ω
17.33) Por una bobina circulan 15 A cuando se conecta a una línea de 220 Ω
de corriente alterna y 60 Hz. Cuando se pone en serie con una resistencia de 4 Ω y se conecta
la combinación a una batería de 100 V, se observa que la corriente que proporciona la batería
al cabo de un tiempo largo es de 10 A.
a) ¿Cuál es la resistencia de la bobina?
b) ¿Cuál es la inductancia de la misma
Sol. a) R = 6 Ω; b) L= 35,5 mH
17.34) Cuando se conecta un circuito L C R a una línea de 60 Hz y 120 V
eficaces, la corriente es
I = 11,0 A y la corriente adelanta a la tensión en 45º.
a) Hallar la potencia suministrada al circuito.
b) ¿Cuál es la resistencia?
c) Si la inductancia es L = 0,05 H, hallar la capacidad C.
d) ¿Qué capacidad o inductancia habría que añadir para conseguir que el factor de
potencia fuera 1?
Sol. a) P = 933 W; b) R =7,7 Ω; c) 99,9x10-6 F; d) L = 20,43 mH
17. Corrientes alternas
51
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17.35) Un circuito serie consta de un condensador de 4,0 nF, un inductor de 36
mH y una resistencia de 40 Ω. El circuito está conectado a una fuente de corriente alterna de
20 V cuya frecuencia puede modificarse en un amplio intervalo.
a) Determinar la frecuencia de resonancia ν0 del circuito.
b) En la resonancia, ¿cuál es la corriente eficaz del circuito y cuáles son los voltajes
eficaces a través del inductor y el condensador?
Sol. a) 13,26x103 Hz; b) 0,5 A.
17.36) Calcular en los siguientes circuitos:
a) La capacidad equivalente (C1 = 2 µF, C2 = 9 µF, C3 = 4 µF, C4 = 6 µF)
Sol. C =
67
µF
5
C3
C1
C2
C4
b) La intensidad que mide el amperímetro
Sol. 9 mA
A
E=12 V
ν=50 Hz S
R=10 Ω
L=5 H
C=20 µF
R=30 Ω
C=40 µF
c) La intensidad que mide el amperímetro
Sol. 0,89 A
R=10 Ω R=6 Ω
A
R=5 Ω
R=2 Ω
Ε=12 V
R=0 Ω
R=4 Ω
17. Corrientes alternas
52
R=7 Ω
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17.37) Dado el circuito de la figura determinar: a) el calor disipado en cada
elemento (bobina, resistencia y condensador); b) la diferencia de potencial en cada elemento;
c) el factor de potencia del circuito. ¿Qué frecuencia debería tener la fuente para que la
intensidad que circula por el circuito fuera máxima?
Sol. a) i = 5,6 A; b) Vbobina= 185,5 V, Vresistencia= 112,6 V; Vcondensador = 35,8 V; c) cosΦ= 0,77
C=500µF
L=0,1 H
R=10 Ω
R=20 Ω
S
E = 220 V
50 Hz
17.38) Dado el circuito de c.c. de la figura, hallar: A) la intensidad que señala
cada uno de los amperímetros. B) La potencia disipada en la resistencia de 10 Ω. C)En el
circuito de c.a. hallar la diferencia de potencial entre los extremos de la bobina, VAB
Sol. A) i1=0,525 A, i 2=0,375 A, i3=0,15 A; B) P=2,76 W; C) VAB=132,5 V.
R=10 Ω
A1
ε= 6V
r = 0Ω
R=2 Ω
R=5 Ω
A2
A3
C)
R=20 Ω
E=220 V
ν=50 Hz
17. Corrientes alternas
L=0,1 H
A
s
R=5 Ω
53
B
C=40 µF