A.16 DMA Modelos Paramétricos
Anuncio
A.16. 1
16) MODELOS PARAMÉTRICOS LINEALES
En los modelos no paramétricos obtenidos en ensayos al escalón u
oscilatorios, la dinámica del sistema se representa con funciones temporales o
frecuenciales del módulo, de la viscosidad, o de la compliancia.
Desarrollemos ahora modelos matemáticos basados en ecuaciones
diferenciales lineales y de coeficientes constantes.
Introducción a Sistemas Diferenciales Lineales
Ej. 1 Oscilador Armónico Amortiguado
F + Fs + Fb +Fin. = 0
Fs = – k x
Fb = – B x&
Fin. = – m &x&
B
k
F
&x& + x& + x =
m
m
m
B
• Relación de amortiguamiento:
ζ =
≥ 0 [Adimensional]
2 mk
k
• Frecuencia natural no amortiguada: ω0 =
≥0
[rad./s]
m
F
&x& + 2 ζω0 x& + ω0 2 x =
Resulta:
m
1
&x& + 2 ζ ω 0 x& + ω 0 2 x = F0 sin(ωt )
Con Entrada Sinusoidal:
m
Ej. de Solución General: &x& + 1.5 x& + x = cos(ωt ) ;
con x(0) = 0; x´(0) = 1.
2
2 ζ ω0 = 1,5 ; ω0 = 1
F0
=1
m
En los ensayos de DMA
oscilatorios, los sistemas
son sobreamortiguados (ζ >
1).
ζ = 0,75 ;
Además, la contribución
inercial por la masa es
despreciable con respecto a
los otros términos .
A.16. 2
Ej. 2. Circuito RLC en serie:
Ej. 3. Respuesta en Frecuencia de elementos RLC individuales:
Ej. 4. Sistemas de Primer Orden
a.1) Circuito RL en serie ante entradas escalón en tensión (V) y Salida en I:
a.2) Circuito RL en serie con entrada V0(t) y salida VL(t).
Filtro “Pasa-altos”
& L (t ) + VL (t ) = V
& 0 (t )
V
Función de respuesta en frecuencia:
VL (iω)
iω
=
V0 (iω) iω + 1
A.16. 3
a.3) Ejemplo de Filtro “Pasa-bajos”:
L& (t ) + L(t ) = q(t )
L(iω)
1
=
q(iω ) iω + 1
Fluencia/ Recuperación en Modelos de 1 y 2 elementos
básicos
Tensión
σ0
“Creep” Recuperación
Tiempo t
σs (t) = E0 εs (t)
dε d (t )
dt
εd(t) = (σ0/η0)×t
σ d (t) = η0
Nótese que en ningún caso se logra
reproducir la respuesta de un típico
material viscoelástico.
Para ello, necesitamos al menos 3
elementos…
A.16. 4
Relajación a la Tensión y Fluencia/ Recuperación en
Modelos 2 y 3 elementos básicos
Nótese que:
•Modelo de Maxwell: representa bastante bien la relajación a la tensión en
sólidos y la fluencia/ relajación en fluídos elásticos (pero no en sólidos).
•Modelo de Voigt: representa bastante bien a la fluencia/ recuperación
pero es incapaz de representar a la relajación a la tensión (es imposible
estirar instantáneamente a un líquido o a un amortiguador sin romperlo).
•Modelo de Kelvin: representa
viscoelásticos ideales.
adecuadamente
a
los
sistemas
Derivemos a continuación las expresiones de los modelos de Maxwell y
Voigt, ya que los casos más complicados los resolveremos combinando 2 o
más de dichos modelos en serie o en paralelo
A.16. 5
Modelo de Voigt
En este caso, la deformación es igual en ambos elementos, y la tensión total
es la suma de las tensiones:
ε(t) = εs(t) = εd(t)
σ = σspring + σdashpot
σ = E0 ε + η0 ε&
Dividiendo por E0 y definiendo τ ≡
η0
, se obtiene la solución general:
E0
ε(t) = σ(t ) [1 – exp (-t/τ)]
E0
Fluencia/ Recuperación
En Fluencia/ Recuperación: σ(t+) = σ0 y entonces:
ε(t) = σ 0 [1 – exp (-t/τ)]
E0
con: ε(0) = 0; y ε(∞) = σ0/E0.
Por último, el módulo de “creep” teórico resulta:
Ec(t) ≡ ε(t)
σ0
Ec(t) = 1 [1 – exp (-t/τ)]
E0
η
con
τ≡ 0
[s = Pa s ]
E0
s
Nótese que si bien el modelo tiene 2 parámetros, la respuesta temporal sólo
depende de la constante de tiempo (es decir, del cociente entre η0 y E0, pero
no de los valores individuales).
A.16. 6
Relajación a la Tensión
No puede implementarse.
Respuesta en Frecuencia
Supongamos una deformación sinusoidal:
ε = ε0 sen ωt
La tensión es:
σ = σs + σd
• σs = G ε = G ε0 sen ωt
• σd = η ε& = η ω cos ωt
σ = G ε0 sen ωt + η ω ε0 cos ωt
σ/ε0 = G sen ωt + η ω cos ωt
Luego:
(el módulo de almacenaje es constante!)
G ′′ η ω
y
tan δ =
=
≡Tω
G” = ηω
G′
G
(tanto el Módulo de Pérdida como tan δ aumentan linealmente con ω!)
G’ = G
* * *
En resumen: el modelo de Voigt reproduce bastante bien a los ensayos de
“creep”/ recuperación en sólidos, pero es incapaz de representar la relajación
a la tensión, o la respuesta en frecuencia.
A.16. 7
Modelo de Maxwell
σs = E es
σd = η
de d
dt
En este caso es:
σs(t) = σd(t) = σ(t) = E es = η
de d
dt
e(t) =es(t) + ed(t)
ded
de des
dt = dt + dt
de 1 dσ σ
=
+
dt E dt η
dε
dσ
=τ
+ σ;
dt
dt
η
E
(τ ≡
Tiempo de Relajación)
Integrando la anterior:
e(t) =
σ(t) ∫ σ(t)dt
+
E
η
Fluencia/ Recuperación: σ = σ0
e(t) =
Compliancia de “creep”:
σ0 σ0
+
t;
E
η
e(t) = e1(t) + e2(t)
Jc(t) = e(t)/σ0 = J0 + t/η
A.16. 8
Relajación a la Tensión: a t = +0: e = e0 y e& (t) = 0
de d
d (e − e s )
de
=η
= –η s
dt
dt
dt
de
– η s = E es
dt
σ = σs = E es = σd = η
de s
E
= − dt
es
η
ln es = −
es = e
E
t +C
η
E
− t
η
×C’
σ(t) = E es = E × exp[-t/T] × C’ (solución general)
⎡ Ns m 2 ⎤
η
[s] = ⎢
T≡ ;
2 ⎥
E
⎣N m ⎦
En relaj. a la tensión: a t = 0, σ0 = E e0. Por lo tanto: C’ = e0. Reemplazando:
σ(t) = E e0 exp[-t/T];
Módulo de Relajación a la Tensión: Er(t) = σ0 exp[-t/T]
T=
• A t = T: σ(t) =
σ0
= 0,37 σ 0 ,
e
η
E
(σ0 = E e0).
A.16. 9
Respuesta en Frecuencia
de 1 dσ σ
=
+
Multiplicamos a
dt E dt η
tenemos:
por E
y reemplazamos
T =
η
,
E
σ (t )
= E e& (t)
T
Supongamos una entrada sinusoidal en la deformación e(t) = e0 sen (ωt).
Pasemos la ec. dif. al dominio transformado de Laplace:
σ& (t) +
σ(s)
= E s e(s)
T
1
σ(s) (s + ) = E s e(s)
T
s σ(s) +
~
G (s): F. de transferencia reducida (o Laplaciano del módulo elástico):
~
s
Ts
G (s ) σ(s)
=
=
=
E
e(s) s + 1/T Ts + 1
Respuesta en frecuencia (con E = G0):
Tjω ⎛ Tjω − 1 ⎞ ⎛ T 2ω 2 ⎞ ⎛ Tω ⎞
G * ( jω ) σ(jω)
=
=
=
+⎜
⎟j
e(jω) Tjω + 1 ⎜⎝ Tjω − 1 ⎟⎠ ⎜⎝ T 2ω 2 + 1 ⎟⎠ ⎝ T 2ω 2 + 1 ⎠
G0
Eje Imag.
G´´(ω)
G*(ω)
δ
G´(ω)
G * ( jω )
= G´(ω) + G´´(ω) j;
G0
⎛ T 2ω 2 ⎞
;
con:
G´(ω) = G0 ⎜ 2 2
⎟
⎝ T ω +1⎠
Alternativamente, en magnitud y ángulo:
⏐G*(jω)⏐ = G0
Eje real
⎛ Tω ⎞
G´´(ω) = G0 ⎜ 2 2
⎟
⎝ T ω +1⎠
Tω
T 2ω 2 + 1
G' '
1
δ = arctan
= arctan
ωT
G'
• Cuando ω → ∞: ⏐G*(jω)⏐ → G0 y δ → 0
(→ elem. elástico puro)
• Cuando ω → 0: ⏐G*(jω)⏐ → 0 y δ → +90º (→ elem. viscoso puro)
A.16. 10
Nótese que la respuesta en frecuencia también depende de un único
parámetro: T.
Respuesta en frecuencia (para G0 = 1) en escala doble-logarítmica:
a) eje de abscisas adimensional log(ωT); y
b) escala logarítmica para el módulo complejo, expresada en decibelios:
[Rel. Ampl. en dB ≡ 10 × log10 (σ0/e0)]
Se denomina Diagrama de Bode al conjunto de asíntotas del diagrama
anterior.
Nótese que la constante de tiempo (T = 1) se ubica en la intersección de las
asíntotas del diagrama doble logarítmico de la relación de amplitudes.
Alternativamente, representando G1, G2 y tan δ (en ejes lineales) vs. log ωT,
se obtiene:
A.16. 11
También, con ejes doble-logarítmicos, resulta:
La respuesta en frecuencia por
DMTA da resultados muy similares
a los del Modelo de Maxwell en
cuanto a la variación de los módulos
(a bajas frecuencias, el material luce
como más blando, y G´´ es máximo
en la región viscoelástica).
Sin embargo, en los materiales reales
el máximo de tanδ se encuentra
próximo al máximo de G´´, y no en
f→0.
En resumen:
1) Los módulos del Modelo de Maxwell representan bastante bien al sólido
amorfo (G’ presenta dos mesetas y G’’ pasa por un máximo en ω =
1/T).
2) Sin embargo, el máximo de tan δ no aparece cercano al de G’’. (Según
tan δ, el material se comporta como un sólido elástico ideal a altas
frecuencias, y como un líquido viscoso ideal a bajas frecuencias.)
A.16. 12
Tiempo Medio de Relajación y Número de Débora
Verso bíblico de la Profetisa Débora: “Las montañas fluyeron delante del
Señor…”.
El N° Débora es un adimensional que identifica el carácter (rígido o plástico)
de un material a una temperatura dada.
De =
Tiempo de relajación del Modelo de Maxwell ante deformación constante
Tiempo del experimento
• De bajo: el material tiende a comportarse como un fluido viscoso
newtoniano;
• De alto: el material tiende a un sólido elástico.
El tiempo de relajación depende por supuesto también de la temperatura:
Módulo de relajación a la tensión
t1: tiempo medio de rel. a T (>T0)
t1×a(T→T0): tiempo medio de rel. a T0 < T0
Limitaciones de los Modelos Simples
• El modelo de Maxwell no describe respuestas elásticas retardadas (p.ej.: en
“creep”).
• El modelo de Voigt no describe relajaciones de la tensión.
• Ambos modelos involucran a un único tiempo de relajación y en muchos
casos la descripción del proceso requiere de varios tiempos de relajación e
incluso hasta de un espectro de tiempos de relajación.
Principio de Superposición de Boltzmann
Ante los diversos tipos de entradas temporales (ya sea en σ o en ε), los
modelos viscoelásticos lineales permiten resolver las ecuaciones del
movimiento por aplicación del siguiente Principio de Superposición:
“Como la deformación es una función lineal de la tensión, entonces la
deformación total ante una suma de tensiones es igual a la suma de los efectos
de aplicar cada una de ellas en forma independiente”.
A.16. 13
Ej. 1: Deformación de un material viscoelástico lineal ante una entrada en
tensión de 2 escalones:
La deformación final depende no sólo de la magnitud del cambio que la
genera, sino también del tiempo transcurrido desde la aplicación del esfuerzo
hasta la observación de dicho efecto.
Ej. 2: Sea un Elemento de Maxwell de E = 109 Pa y η = 1011 Pa s. Hallar la
tensión generada a t = 100 s, luego de la aplicación de las siguientes
deformaciones: a t = 0 s, ε pasa de 0% a 1%, y a t = 30 s, pasa de 1% a 2%:
Relaj. a est. constante a t = t1 en El. Maxwell:
σ(t) = E ε0 exp[-(t – t1)/τ];
con
τ=
η
E
Por el Ppio de Superposición:
σ(t) = σ1 exp[-(t – t1)/τ] + σ2 exp[-(t – t2)/τ]
1011 Pa s
τ=
= 100 s
10 9 Pa
σ1 = σ2 = E ε01 = E ε02= 109 Pa 0,01 = 107 Pa
t1 = 0 s; t2 = 30 s
σ(100) = 107 Pa exp[-(100/100] + 107 Pa exp[-(100 – 30)/100] = 107 (e-1 + e-0,7)
σ(100) = 8,6×106 Pa.
A.16. 14
Sólido Estándar de 4 Parámetros (elástico + viscoso +
elástico retardado)
La conexión en serie de los modelos de Maxwell y Voigt permiten simular
adecuadamente el ensayo de “creep”/ recuperación de un sólido viscoelástico
lineal. Requiere del ajuste de 4 parámetros constantes.
Consideremos 3 elementos en serie (un resorte E0, un amortiguador η0, y un
elemento de Voigt) sometidos a una misma tensión constante σ0 entre t = 0 y t
= t0.
Aplicamos el principio de superposición a cada uno de los 3 elementos en
serie:
Resorte:
Amortiguador:
Elemento de Voigt-Kelvin:
ε0 = σ0/E0
εv = (σ0 t)/η0
εrel = σ0/Erel [1 – exp(- Erel t/ηrel)]
Deformación de “creep”:
1
1
t
ε(t) = σ0(t) {
+
[1 – exp(- t/τ)]+
}
E0
E rel
η0
con τ =
η rel
E rel
A.16. 15
Modelos de Sólidos con Varios Mecanismos de Relajación
El modelo anterior resulta insuficiente para describir a sistemas que
responden simultáneamente a varios tiempos de relajación distintos. En tales
casos, se proponen modelos lineales que involucren a varias constantes de
tiempo τi, cada una de las cuales queda determinada por el par (Ei, ηi).
Existen 2 posibilidades básicas.
Dos ó más el. de Maxwell en paralelo (Maxwell-Weichert):
Dos ó más elementos de Voigt-Kelvin en serie:
A.16. 16
Expresiones teóricas para mediciones de respuesta en frecuencia mediante
elementos de Maxwell en paralelo
Los módulos totales se calculan por simple adición de los efectos de cada
elemento de Maxwell. Así por ejemplo, si se emplean 2 Modelos de Maxwell
en paralelo, resulta:
τ12 ω 2
τ 22 ω 2
G´(ω) = G1 2 2
+ G2 2 2
;
τ1 ω + 1
τ 2ω + 1
G´´(ω) = G1
τ1 ω
τ2ω
+
G
2
τ12 ω 2 + 1
τ 22 ω 2 + 1
Ej.: DMA oscilatorio de un shampoo para cabello.
Al aumentar la frecuencia, el material pasa de viscoso a elástico.
1) Ajuste con 1 sólo Elemento de Maxwell, resultando η = 97,7 Pa s y τ =
0,162 s; por lo cual resulta G = 603 Pa y 1/τ = 6,17 rad/s.
Con 2 parámetros se reproduce bien la constante de tiempo, pero el ajuste
general es sólo aproximado.
A.16. 17
2) Ajuste con 4 Elementos de Maxwell en paralelo
Con 8 parámetros, se ajustan perfectamente las mediciones experimentales.
Tentativamente, se propone un elemento de Maxwell por década de
frecuencias.
A.16. 18
Relajación a la tensión de un termoplástico amorfo no
entrecruzado y de alto M mediante un modelo de MaxwellWeichert de 2 elementos
El elemento de Maxwell permite modelar a un único modo de relajación a la
tensión. Representemos en escala doble logarítmica al módulo de relajación
relativo vs. log(t/τ). Se observa la meseta vítrea pero no la gomosa:
Para incluir a la meseta gomosa, se requieren al menos 2 elementos de
Maxwell en paralelo de distintas constantes de tiempo τi = ηi/Ei:
Ejemplo. Simule la relajación a la tensión en un termoplástico a T > Tg, con
las siguientes características:
a tiempos cortos o altas frecuencias: mat. elástico de E1 = 3×109 Pa;
a tiempos o frecuencias intermedias: aparecen relajaciones
moleculares de τ1 = 1 min. (típicas de una Tg), que representan a
desplazamientos de pedazos de cadenas de entre 40 y 50 Carbonos;
meseta gomosa con E2 = 5×105; y
a tiempos largos o frecuencias bajas: relajaciones moleculares de τ2 =
1000 min. características de un fluido, que representan a
deslizamientos de cadenas completas de unas contra otras.
A.16. 19
En el ensayo de relajación a la tensión, imponemos un desplazamiento
constante, y entonces:
ε& = ε&1 = ε& 2 = 0
σ(t) = σ1(t) + σ2(t)
σ(t) = σ01 exp(-t/τ1) + σ02 exp(-t/τ2)
Er(t) = σ(t)/ε0 = (σ01/ε0) exp(-t/τ1) + (σ02/ε0) exp(-t/τ2)
con E1 = σ01/ε0 y E2 = σ02/ε0
Er(t) = σ(t)/ε0 = 3×109 exp(-t) + 5×105 exp(-t/1000)
Se obtiene:
El resultado anterior puede generalizarse a n componentes en paralelo:
Er(t) = ∑ En exp(-t/τ1n) , con En = σ0n/εn
n
Más aún, asumiendo una distribución continua de los tiempos de relajación
Er(τn), la sumatoria anterior se reemplazae por la integral:
∞
Er(t) = ∫
E(τ1) exp(-t/τ1) dτ1.
0
Gregorio Meira, 2014
