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Teorı́a CMV. Aplicaciones
Jornadas sobre Polinomios Ortogonales
Sexagésimo cumpleaños de Manuel Alfaro
Jaca, Mayo 2007
Polinomios
Ortogonales
%
.
Teorı́a de
Operadores
Matrices
banda
←→
&
Sistemas
Integrables
Polinomios Ortogonales y Teorı́a de Operadores
Polinomios Ortogonales y Teorı́a de Operadores
• µ medida positiva sobre C
• (fn ) base de L2
µ satisfaciendo una Relación de Recurrencia:
zfn (z) =
X
ak,n fk (z)
k
,→ RR: forma práctica de generar (fn )
Polinomios Ortogonales y Teorı́a de Operadores
• µ medida positiva sobre C
• (fn ) base de L2
µ satisfaciendo una Relación de Recurrencia:
zfn (z) =
X
ak,n fk (z)
k
,→ RR: forma práctica de generar (fn )
,→ ¿Cómo recuperar µ?
Polinomios Ortogonales y Teorı́a de Operadores
• µ medida positiva sobre C
• (fn ) base de L2
µ satisfaciendo una Relación de Recurrencia:
zfn (z) =
X
ak,n fk (z)
k
,→ RR: forma práctica de generar (fn )
,→ ¿Cómo recuperar µ?
2
• Operador lineal 7−→ T : L2
µ → Lµ
,→ T es normal si T T ∗ = T ∗ T
,→ Descomposición espectral T =
R
λ dE(λ)
Polinomios Ortogonales y Teorı́a de Operadores
Polinomios Ortogonales y Teorı́a de Operadores
• Operador de multiplicación
2
Tµ : L2
µ −→ Lµ
f (z) 7→ zf (z)
Tµ∗ : Lµ2 −→ L2
µ
f (z) 7→ zf (z)
Polinomios Ortogonales y Teorı́a de Operadores
• Operador de multiplicación
Tµ∗ : Lµ2 −→ L2
µ
f (z) 7→ zf (z)
2
Tµ : L2
µ −→ Lµ
f (z) 7→ zf (z)

T normal ⇒ T ∼
M
µ
Tµ ∼  .
.


.
valores propios de Tµ = puntos de masa de µ
spec(Tµ ) = suppµ
Tµ =
R
λ dE(λ)
µ(·) = kE(·)1k2
Polinomios Ortogonales y Teorı́a de Operadores
• Operador de multiplicación
Tµ∗ : Lµ2 −→ L2
µ
f (z) 7→ zf (z)
2
Tµ : L2
µ −→ Lµ
f (z) 7→ zf (z)

T normal ⇒ T ∼
M
µ
Tµ ∼  .
.


.
valores propios de Tµ = puntos de masa de µ
spec(Tµ ) = suppµ
Tµ =
R
λ dE(λ)
µ(·) = kE(·)1k2
Teor. Oper.
• M = (an,k ) matriz de Tµ respecto (fn): RR → M −−−−−−−−→ µ
Polinomios Ortogonales y Teorı́a de Operadores
• Operador de multiplicación
Tµ∗ : Lµ2 −→ L2
µ
f (z) 7→ zf (z)
2
Tµ : L2
µ −→ Lµ
f (z) 7→ zf (z)

T normal ⇒ T ∼
M
µ
Tµ ∼  .
.


.
valores propios de Tµ = puntos de masa de µ
spec(Tµ ) = suppµ
Tµ =
R
λ dE(λ)
µ(·) = kE(·)1k2
Teor. Oper.
• M = (an,k ) matriz de Tµ respecto (fn): RR → M −−−−−−−−→ µ
# La eficacia del método depende de la sencillez de M
PO en R y Teorı́a de Operadores
PO en R y Teorı́a de Operadores
• Medida
suppµ ⊂ R
Gram-Schmidt
{1, z, z 2 . . . } −−−−−−−−−−→ (pn ) PO respecto de µ
• Base
• RR
zpn = an pn+1 + bn pn + an−1 pn−1

• Matriz de Tµ

an > 0
b0 a0


 Matriz de
a0 b1 a1

J =


a
b
a
Jacobi
1
2
2


... ... ...
bn ∈ R
PO en R y Teorı́a de Operadores
• Medida
suppµ ⊂ R
Gram-Schmidt
{1, z, z 2 . . . } −−−−−−−−−−→ (pn ) PO respecto de µ
• Base
• RR
zpn = an pn+1 + bn pn + an−1 pn−1

• Matriz de Tµ
an > 0
bn ∈ R

b0 a0


 Matriz de
a0 b1 a1

J =


a
b
a
Jacobi
1
2
2


... ... ...
• suppµ = spec(J ) −→ sólo si (pn) es base de L2(µ)
• pn(z) ∝ det(z − Jn)
( Jn = submatriz principal de J de orden n)
• Ceros de pn = spec(Jn) −→ Simples, entrelazan
PO en R y Teorı́a de Operadores
• Medida
suppµ ⊂ R
Gram-Schmidt
{1, z, z 2 . . . } −−−−−−−−−−→ (pn ) PO respecto de µ
• Base
• RR
zpn = an pn+1 + bn pn + an−1 pn−1

• Matriz de Tµ
an > 0
bn ∈ R

b0 a0


 Matriz de
a0 b1 a1

J =


a
b
a
Jacobi
1
2
2


... ... ...
• suppµ = spec(J ) −→ sólo si (pn) es base de L2(µ)
• pn(z) ∝ det(z − Jn)
( Jn = submatriz principal de J de orden n)
• Ceros de pn = spec(Jn) −→ Simples, entrelazan
Los PO en R proporcionan las representaciones canónicas
de los operadores autoadjuntos, que son 3-diagonales
PO en T y Teorı́a de Operadores
PO en T y Teorı́a de Operadores
• Medida
• Base
• RR
suppµ ⊂ T := {z ∈ C : |z| = 1}
Gram-Schmidt
{1, z, z 2 . . . } −−−−−−−−−−→ (ϕn ) PO respecto de µ
zϕn−1 =
bn ϕn − an ϕ∗n−1
|an | < 1
bn =
q
1 − |an |2
ϕ∗n (z) = z n ϕn (z −1 )
PO en T y Teorı́a de Operadores
• Medida
suppµ ⊂ T := {z ∈ C : |z| = 1}
Gram-Schmidt
{1, z, z 2 . . . } −−−−−−−−−−→ (ϕn ) PO respecto de µ
• Base
• RR
zϕn−1 =
bn ϕn − an ϕ∗n−1
|an | < 1
bn =
q
1 − |an |2
ϕ∗n (z) = z n ϕn (z −1 )

• Matriz de Tµ
−a1 −b1 a2 −b1 b2 a3

 b1 −a1 a2 −a1 b2 a3

b2
−a2 a3
H=


b3


···

···
 Matriz de
···
 Hessenberg
···

···
PO en T y Teorı́a de Operadores
• Medida
suppµ ⊂ T := {z ∈ C : |z| = 1}
Gram-Schmidt
{1, z, z 2 . . . } −−−−−−−−−−→ (ϕn ) PO respecto de µ
• Base
• RR
zϕn−1 =
bn ϕn − an ϕ∗n−1
|an | < 1
bn =
q
1 − |an |2
ϕ∗n (z) = z n ϕn (z −1 )

• Matriz de Tµ
−a1 −b1 a2 −b1 b2 a3

 b1 −a1 a2 −a1 b2 a3

b2
−a2 a3
H=


b3


···

···
 Matriz de
···
 Hessenberg
···

···
Inconvenientes
I No es banda
I Complicada dependencia de an
I No siempre es válida (sólo si (ϕn) es base de L2(µ))
PO en T y Teorı́a de Operadores
• Medida
• Base
• RR
suppµ ⊂ T := {z ∈ C : |z| = 1}
Gram-Schmidt
{1, z, z 2 . . . } −−−−−−−−−−→ (ϕn ) PO respecto de µ
zϕn−1 =
bn ϕn − an ϕ∗n−1
|an | < 1
bn =
q
1 − |an |2
ϕ∗n (z) = z n ϕn (z −1 )
PO en T y Teorı́a de Operadores
• Medida
• Base
• RR
suppµ ⊂ T := {z ∈ C : |z| = 1}
Gram-Schmidt
{1, z, z 2 . . . } −−−−−−−−−−→ (ϕn ) PO respecto de µ
zϕn−1 =
bn ϕn − an ϕ∗n−1
|an | < 1
bn =
q
1 − |an |2
ϕ∗n (z) = z n ϕn (z −1 )
I NUEVO (Bohnhorst,
Bunse-Gerstner, Elsner, Watkins (1993), CMV (2003))
PO en T y Teorı́a de Operadores
• Medida
• Base
• RR
suppµ ⊂ T := {z ∈ C : |z| = 1}
Gram-Schmidt
{1, z, z 2 . . . } −−−−−−−−−−→ (ϕn ) PO respecto de µ
zϕn−1 =
bn ϕn − an ϕ∗n−1
|an | < 1
bn =
q
1 − |an |2
ϕ∗n (z) = z n ϕn (z −1 )
I NUEVO (Bohnhorst,
Bunse-Gerstner, Elsner, Watkins (1993), CMV (2003))
G-S
• Base {1, z, z −1, z 2, z −2, . . . } −−−→ (χn) PO Laurent resp. de µ
PO en T y Teorı́a de Operadores
• Medida
• Base
• RR
suppµ ⊂ T := {z ∈ C : |z| = 1}
Gram-Schmidt
{1, z, z 2 . . . } −−−−−−−−−−→ (ϕn ) PO respecto de µ
zϕn−1 =
bn ϕn − an ϕ∗n−1
|an | < 1
bn =
q
1 − |an |2
ϕ∗n (z) = z n ϕn (z −1 )
I NUEVO (Bohnhorst,
Bunse-Gerstner, Elsner, Watkins (1993), CMV (2003))
G-S
• Base {1, z, z −1, z 2, z −2, . . . } −−−→ (χn) PO Laurent resp. de µ

 χ2n = z −n ϕ∗
2n
(ϕn ) ↔ (χn )
χ
−n ϕ
2n+1 = z
2n+1
PO en T y Teorı́a de Operadores
• Medida
suppµ ⊂ T := {z ∈ C : |z| = 1}
Gram-Schmidt
{1, z, z 2 . . . } −−−−−−−−−−→ (ϕn ) PO respecto de µ
• Base
• RR
zϕn−1 =
bn ϕn − an ϕ∗n−1
|an | < 1
bn =
q
1 − |an |2
ϕ∗n (z) = z n ϕn (z −1 )
I NUEVO (Bohnhorst,
Bunse-Gerstner, Elsner, Watkins (1993), CMV (2003))
G-S
• Base {1, z, z −1, z 2, z −2, . . . } −−−→ (χn) PO Laurent resp. de µ
• Matriz de Tµ

 χ2n = z −n ϕ∗
2n
(ϕn ) ↔ (χn )
χ
−n ϕ
2n+1 = z
2n+1

−a1 −b1 a2 b1 b2
 b −a a
0
 1
1 2 a1 b2

C =  0 −b2 a3 −a2 a3 −b3 a4 b3 b4


b2 b3 a2 b3 −a3 a4 a3 b4
0
...
...
...
...

...


 Matriz

 CMV

PO en T y Teorı́a de Operadores
Ventajas
I Es banda (pentadiagonal)
I Simple dependencia de an
I Siempre es válida ((χn) siempre es base de L2(µ))
PO en T y Teorı́a de Operadores
Ventajas
I Es banda (pentadiagonal)
I Simple dependencia de an
I Siempre es válida ((χn) siempre es base de L2(µ))
(an ) −→ C(an ) −→ µ
PO en T y Teorı́a de Operadores
Ventajas
I Es banda (pentadiagonal)
I Simple dependencia de an
I Siempre es válida ((χn) siempre es base de L2(µ))
(an ) −→ C(an ) −→ µ
• suppµ = spec(C) −→ siempre
• ϕn(z) ∝ det(z − Cn)
( Cn = submatriz principal de C de orden n )
• Ceros de ϕn = spec(Cn)
PO en T y Teorı́a de Operadores
Ventajas
I Es banda (pentadiagonal)
I Simple dependencia de an
I Siempre es válida ((χn) siempre es base de L2(µ))
(an ) −→ C(an ) −→ µ
• suppµ = spec(C) −→ siempre
• ϕn(z) ∝ det(z − Cn)
( Cn = submatriz principal de C de orden n )
• Ceros de ϕn = spec(Cn)
Los PO Laurent en T proporcionan las rep. canónicas
de los operadores unitarios, que son 5-diagonales
Polinomios Ortogonales y Sistemas Integrables
Polinomios Ortogonales y Sistemas Integrables
Polinomios
Ortogonales
PO en R
←→
Par
Sistema
de Lax
Integrable
Jacobi
←→
Redes de Toda
Polinomios Ortogonales y Sistemas Integrables
Polinomios Ortogonales y Sistemas Integrables
Redes de Toda ←→ Jacobi ←→ PO en R
• Ecuación de Toda −→
d2 yn
0
0
=
V
(y
−
y
)
−
V
(yn − yn−1 )
n
n+1
dt2
- yn ≡ Desplazamiento de la n−ésima partı́cula.
- V ≡ Interacción entre partı́culas ”vecinas”.
• Redes de Toda. (Toda, 1972) −→
V (r) = e−r + r − 1
• Sistema completamente integrable. (Flaschka, 1974)
- Cambio de variable −→

yk+1 −yk


−
1

2
 ak = e
2



 b = − 1 ẏ
k
2 k
• Sistema equivalente
←→
Par de Lax


 ȧk = ak (bk+1 − bk )



b 0 a0

a0 b1 a1
∗ J =

a1 b2 a2

... ... ...
2
∗ H = 2Tr(J ) = 2
N
X
j=1
b2
j
J˙ = [J, P ]
←→
2
ḃk = 2(a2
k − ak−1 )




,


+4
0

−a0

P = J+ − J− = 
NX
−1

a2
j
j=1

◦ ȧk = {H, ak } = ak (bk+1 − bk ) 

2
◦ ḃk = {H, bk } = 2(a2
k − ak−1 )
Toda flow.

 Flaschka form
a0
0 a1
−a1 0 a2
... ...






Polinomios Ortogonales y Sistemas Integrables
Polinomios
Ortogonales
PO en R
←→
Par
Sistema
de Lax
Integrable
Jacobi
←→
Redes de Toda
Polinomios Ortogonales y Sistemas Integrables
Polinomios
Ortogonales
PO en R
←→
l
PO en T
Par
Sistema
de Lax
Integrable
Jacobi
←→
l
←→
CMV
Redes de Toda
l
←→
Flujos de Schur
Polinomios Ortogonales y Sistemas Integrables
Flujos de Schur ←→ Matriz CMV ←→ PO en T
• Flujos de Schur
←→
ȧn = (1 − |an |2 )(an+1 − an−1 )
←→

Ra0


∗ A = −


b0 ∆0
−Ra1 a0
2
∗ b2
n := 1 − |an | ,
b0 b1
b1 ∆1
b1 b2
−Ra2 a1 b2 ∆2 b2 b3
...
...
...
Par de Lax
Ċ = [C, A]



,


∆n := an+1 − an−1
(L. Golinskii,”Schur flows and Orthogonal Polynomials on the unit circle”, 2006)
Polinomios Ortogonales y Sistemas Integrables
•
Redes de Toda
←→
Par de Lax
←→
J˙ = [J, P ]


 ȧk = ak (bk+1 − bk )


2
ḃk = 2 (a2
k − ak−1 )
Polinomios Ortogonales y Sistemas Integrables
•
←→
Par de Lax
←→
J˙ = [J, P ]
Flujos de Schur
←→
Par de Lax
ȧk = b2
k (ak+1 − ak−1 )
←→
Ċ = [C, A]
Redes de Toda


 ȧk = ak (bk+1 − bk )


•
2
ḃk = 2 (a2
k − ak−1 )
( L. Golinskii, 2006)
Polinomios Ortogonales y Sistemas Integrables
•
←→
Par de Lax
←→
J˙ = [J, P ]
Flujos de Schur
←→
Par de Lax
ȧk = b2
k (ak+1 − ak−1 )
←→
Ċ = [C, A]
Redes de Toda


 ȧk = ak (bk+1 − bk )


•
2
ḃk = 2 (a2
k − ak−1 )
( L. Golinskii, 2006)
•
Ecuación de Ablowitz-Ladik
−iȧk = b2
k (ak+1 + ak−1 ) − 2ak
←→
Par de Lax
←→
Ċ = [C, R]
(Tesis Irina Nenciu - Caltech - Mayo 2005)
Polinomios Ortogonales y Sistemas integrables
Sistemas Integrables
ak (t), bk (t) −−−−−−−−−−−−−−→ µ(z, t)
I
Ec. dif. 1er orden
ak (t), bk (t)
I
Solución
−→
Ec. dif.1er orden
⇐⇒
J(t), C(t)
Ec. dif.1er orden lineal
⇐⇒
µ(z, t)
µ(z, t) = µ(z, 0)F (z, t)
• Redes de Toda
−→ F (z, t) = K(t)e−zt (Yu.M. Berezanskii (1985))
• Flujos de Schur −→ F (z, t) = K(t)et(z+z
−1 )
(L. Golinskii (2006))
PO en R
%Jacobi.
&
Op. autoadjuntos ←→ Redes de Toda
PO en R
%Jacobi.
&
Op. autoadjuntos ←→ Redes de Toda
PO en T
%CMV.
&
Op. unitarios ←→ Flujos de Schur
+
Ablowitz-Ladik