Cobertura de una cartera de bonos con forwards en tiempo continuo

Cobertura de una cartera de bonos con
forwards en tiempo continuo
Bàrbara Llacay
Gilbert Peffer
Documento de Trabajo IAFI No. 7/04
Marzo 2003
Índice general
Introducción
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estructura del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
1. Valoración de bonos y forwards en tiempo continuo
1.1. Estructuras temporales de tipos de interés en tiempo continuo . . . . . .
1.2. Valor de un bono con cupón y tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Valor de un forward sobre un bono en tiempo continuo . . . . . . . . . .
4
4
6
6
2. Cobertura para un desplazamiento paralelo de la curva forward
8
2.1. Variación del precio del bono debido
a un desplazamiento paralelo de la curva forward . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Variación del precio del forward debido a un desplazamiento paralelo de
la curva forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. Cálculo del ratio de cobertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Cobertura para variaciones parciales de la curva forward
11
3.1. Variación del precio del bono debido a un desplazamiento en un tramo
de la curva forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2. Variación del precio del forward debido a un desplazamiento en un tramo
de la curva forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4. Aplicación a la cobertura de carteras de bonos de cupón discreto
21
4.1. Aplicación al valor de un bono de cupón discreto . . . . . . . . . . . . . 21
4.2. Aplicación al valor de un forward sobre un bono de cupón discreto . . . 25
4.3. Cálculo de los ratios de cobertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Apéndices
30
1
Introducción
Objetivos
El objetivo de este documento es calcular la cobertura necesaria para una cartera
de bonos, mediante una cartera de cobertura compuesta por forwards sobre bonos.
El enfoque del documento es teórico, considerando el tiempo y las tasas de interés
como variables continuas, y tomando bonos de cupón continuo para poder llegar a una
formulación analı́tica de los ratios de cobertura, obtenidas estudiando la variación del
precio del bono y del forward cuando la curva forward sufre variaciones infinitesimales.
Sin embargo, como se verá a lo largo de los distintos capı́tulos en que se divide el documento, esta formulación teórica es aplicable al caso real de bonos de cupón discreto.
En concreto, veremos cómo extender el análisis hecho para obtener fórmulas sencillas
para calcular a la práctica el número de forwards necesarios para cubrir una cartera
de bonos.
f (t) 6
δT
6
δ1 6
t0
t1 t2 t3 t4 t5 t6 T
t
Figura 1: Ilustración de una partición de la curva forward
Para ello consideraremos particiones de la curva de tipos forward, y estudiaremos
la variación del precio del bono y el del forward ante variaciones paralelas de distintos tramos. Aunque el alcance de este procedimiento pueda parecer limitado, de
hecho cualquier variación sufrida por la curva forward podrı́a aproximarse tanto como se quisiera por variaciones paralelas de distintos tramos de la curva, siempre y
cuando se considerara un número suficiente de tramos (ver Figura 1). Este análisis
de cobertura nos permitirá calcular la cobertura para la cartera de bonos. Aunque en
este documento tomamos los forwards como instrumentos de cobertura, no es ésta la
única posibilidad. Se podrı́a seguir el desarrollo que expondremos con cualquier otro
instrumento de cobertura (por ejemplo, otra cartera de bonos o futuros sobre bonos)
obteniendo resultados análogos.
2
Introducción
3
Estructura del documento
El documento se estructura en cuatro capı́tulos:
Capı́tulo 1 - Estructuras temporales de tipos de interés en tiempo continuo: se
hace una breve descripción de las estructuras temporales de tipos de interés en
tiempo continuo, con las que se trabajará a lo largo del documento. A continuación se introduce la fórmula del valor actual de un bono con cupón continuo,
y se deriva la fórmula del precio de un forward sobre ese bono.
Capı́tulo 2 - Cobertura para un desplazamiento paralelo de la curva forward:
estudiamos cómo varı́a el precio de un bono y de un forward cuando toda la
curva forward sufre un desplazamiento paralelo infinitesimal. De las fórmulas
obtenidas se deriva un ratio analı́tico, para la cobertura de un bono con forwards
sobre el mismo bono.
Capı́tulo 3 - Cobertura para desplazamientos paralelos en tramos independientes
de la curva forward : en este capı́tulo se toma una partición de la curva forward, de
manera que distintos tramos puedan variar independientemente. De este modo,
se puede ajustar mucho mejor la variación que a la práctica puede sufrir la curva
forward, obteniendo en consecuencia una mejor cobertura. Se estudia la variación
del bono y del forward debida al desplazamiento infinitesimal de un tramo de
la curva, y cómo se relaciona esta variación con la variación sufrida a causa del
movimiento de toda la curva forward.
Capı́tulo 4 - Aplicación a la cobertura de bonos de cupón discreto: finalmente,
comprobamos que la formulación obtenida en los apartados anteriores es aplicable
también al caso de bonos de cupón discreto, lo que permite obtener fórmulas
simples para el número de forwards necesarios para cubrir una cartera de bonos
frente a cambios desfavorables de los tipos de interés.
Apéndices: las demostraciones de algunas de las proposiciones enunciadas a lo
largo del documento se incluyen al final en forma de apéndices debido a su considerable extensión.
Capı́tulo
1
Valoración de bonos y forwards en
tiempo continuo
1.1.
Estructuras temporales de tipos de interés en tiempo
continuo
A lo largo de este documento consideraremos el tiempo como una variable continua, porque esto nos permitirá obtener fórmulas analı́ticas y simplificar los cálculos (sin
embargo, en el capı́tulo 4 trataremos el caso de bonos que pagan cupones discretos).
Por ello primero introduciremos las distintas estructuras de tipos de interés y sus respectivas relaciones en ambiente continuo.
Denotaremos cualquier estructura temporal de tipos de interés spot por
s(t0 , Ti ), i ∈ N,
donde t0 indica el momento presente y Ti , el plazo que consideramos.
Sea f (t) el tipo forward implı́cito. Es decir, f (t) denota el tipo de interés continuo establecido a tiempo t0 = 0 para un depósito hecho a tiempo t con vencimiento
infinitesimal.
Lema 1.1. Si el mercado es libre de arbitraje, entonces debe cumplirse la siguiente
relación entre los tipos spot s(0, T ) y las tasas forward implı́citas f (t):
e
RT
0
f (t) dt
= es(0, T )· T .
Es decir, 1=
C invertido hoy al tipo spot s(0, T ) debe proporcionar el mismo rendimiento que 1=
C continuamente invertido a todos los tipos forward f (t), con 0 ≤ t ≤ T . La
demostración de este lema puede encontrarse en el apéndice A.
De esta relación, gracias a la inyectividad de la función exponencial, se sigue inmediatamente el siguiente corolario:
Corolario 1.1. El tipo spot s(0, t) y el tipo forward implı́cito f (t) cumplen la siguiente
relación:
Z
t
f (z) dz = s(0, t) · t.
0
4
Capı́tulo 1. Valoración de bonos y forwards en tiempo continuo
5
Supongamos que la curva de tipos spot sufre un desplazamiento paralelo tal como
muestra la figura 1.1:
s(0, t)6
δ
6
t
Figura 1.1: Desplazamiento paralelo de la curva spot
La proposición 1.1 nos dice cuál es el desplazamiento sufrido a su vez por la curva
forward.
Proposición 1.1. Si la estructura de tipos spot sufre un desplazamiento paralelo δ,
idéntico en todos los plazos, entonces la estructura de tipos forwards sufre equivalentemente el mismo desplazamiento δ.
Demostración. Por el Corolario 1.1 sabemos que
Z t
s(0, t) · t =
f (z) dz.
0
La igualdad no cambia si sumamos δ · t a ambos miembros:
Z t
s(0, t) · t + δ · t =
f (z) dz + δ · t ⇒
0
Z
⇒
Z
t
(s(0, t) + δ) · t =
f (z) dz +
0
⇒
Z
(s(0, t) + δ) · t =
t
δ dz
⇒
0
t
(f (z) + δ) dz.
0
Vemos, por tanto, que incrementar cada tipo s(0, t) en δ es equivalente a desplazar
paralelamente la estructura de tipos forward implı́citos.
¤
Para finalizar esta sección introductoria sobre las estructuras de tipos de interés, definimos los tipos de descuento:
Definición 1.1. Dado 1=
C a tiempo t, su valor a tiempo 0 recibe el nombre de factor
de descuento, y viene dado por
D(t) = e−
Rt
0
f (z) dz
o, equivalentemente (ver Corolario 1.1),
D(t) = e−s(0, t)· t .
Capı́tulo 1. Valoración de bonos y forwards en tiempo continuo
1.2.
6
Valor de un bono con cupón y tiempo continuo
Consideremos un bono B con vencimiento T que paga un cupón continuo c(t).
Es decir, en cada intervalo infinitesimal de tiempo dt, el propietario del bono recibe
c(t) · dt. El pago correspondiente al primer año, por ejemplo, es
Z
Z
1
1
c(t) dt =
c dt = c.
0
0
El pago correspondiente al último año de vida del bono vale
Z T
Z T
c(t) dt =
(c + BT ) dt = c + BT .
T −1
T −1
Para calcular el valor actual del bono B – que denotaremos por B0 –, basta actualizar
todos los pagos mediante el factor de descuento:
Z
B0 =
1.3.
Z
T
T
c(t) · D(t) dt =
0
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
dt.
(1.1)
0
Valor de un forward sobre un bono en tiempo continuo
El precio de un bono comprado a plazo guarda relación con el precio del bono
comprado al contado. La expresión de esta relación tiene que ver con la ganancia o
coste que supone tener el bono durante el periodo comprendido entre las fechas spot
y forward. Si un inversor compra un bono a plazo, y el bono paga cupones, el inversor
debe pedir una compensación por los pagos que no recibe, pero debe pagar a su vez
una prima porque se ahorra el coste de financiar el bono hasta la fecha forward. La
siguiente proposición proporciona el precio forward de un bono.
Proposición 1.2. Sea F (tF ) el precio del bono adquirido a plazo, en la fecha forward
tF . Entonces, F (tF ) viene dado por
·Z
F (tF ) =
T
c(t) · e
−
Rt
0
f (z) dz
¸ R
tF
dt · e 0
Z
f (z) dz
−
0
tF
c(t) dt.
0
Demostración. Dado un bono con cupón continuo, el cupón corrido CC que deja
de percibir un inversor que compra el bono a plazo en el momento tF es
Z tF
CC(0, tF ) =
c(t) dt.
0
Por otro lado, el coste CF de financiar el bono hasta el momento tF viene dado por
CF (0, tF ) = B0 · e
R tF
0
f (z) dz
− B0 .
Capı́tulo 1. Valoración de bonos y forwards en tiempo continuo
7
Por tanto, el precio de un bono comprado a plazo en t es
F (tF ) = B0 + CF (0, tF ) − CC(0, tF ) =
Z tF
R tF
f
(z)
dz
= B0 + B0 · e 0
− B0 −
c(τ ) dτ =
0
Z tF
R tF
f (z) dz
0
= B0 · e
−
c(t) dt.
0
Utilizando la ecuación 2.1 para B0 , obtenemos:
·Z T
¸ R
R
tF
− 0t f (z) dz
F (tF ) =
c(t) · e
dt · e 0
0
Z
f (z) dz
−
tF
c(t) dt.
0
¤
Capı́tulo
2
Cobertura para un desplazamiento
paralelo de la curva forward
2.1.
Variación del precio del bono debido
a un desplazamiento paralelo de la curva forward
Como en el caso discreto, la variación que sufre el precio del bono debido a un
cambio del tipo de interés está estrechamente relacionado con la duración.
Definición 2.1. La duración de Macaulay de un bono B con cupón continuo c(t)
se define como
Z T
Rt
1
c(t) · t · e− 0 f (z) dz dt.
D=
B0 0
Proposición 2.1. La relación entre la variación del precio del bono y una variación
paralela infinitesimal de toda la curva forward viene dada por
∂B0
∂f
= −B0 · D.
Demostración.1 Sabemos que el valor actual del bono viene dado por
Z T
Rt
B0 =
c(t) · e− 0 f (z) dz dt.
0
La variación del precio del bono a causa de una variación paralela infinitesimal de la
curva forward f (t) se corresponde con
∂B0
B0 (f + h) − B0 (f )
= lı́m
h→0
∂f
h
Sustituyendo por la expresión de B0 , y arreglando la expresión resultante, obtenemos:
R
¡
¢
RT
− 0t f (z) dz
c(t)
·
e
· e−h·t − 1 dt
∂B0
0
= lı́m
=
h→0
∂f
h
Z T
³
´
Rt
= lı́m
h−1 · c(t) · e− 0 f (z) dz · e−h·t − 1 dt
h→0 0
1
Esta demostración sólo muestra los pasos principales del razonamiento. La demostración completa
se adjunta en el apéndice B
8
Capı́tulo 2. Cobertura para un desplazamiento paralelo de la curva forward
9
Usando el desarrollo en serie de la función exponencial,
x
e =
∞
X
xn
n=0
n!
=1+x+
x2 x3
+
+ ···,
2
6
en la expresión del lı́mite:
Z T
Rt
h−1 · c(t) · e− 0 f (z) dz dt · (e−h·t − 1) =
lı́m
h→0 0
Z T
Rt
¡
¢
= lı́m
h−1 · c(t) · e− 0 f (z) dz · 1 + (−h · t) + O(h2 ) − 1 dt =
h→0 0
Z T
Rt
=
c(t) · e− 0 f (z) dz · (−t) dt =
0
= −B0 · D.
¤
2.2.
Variación del precio del forward debido a un desplazamiento paralelo de la curva forward
En el apartado anterior hemos calculado la expresión de la variación sufrida por
un bono ante un desplazamiento infinitesimal de la curva forward. Dado que nuestro
objetivo es calcular la cobertura de una cartera de bonos mediante una cartera de
forwards, debemos calcular también la variación sufrida por el precio F (tF ) de un
forward sobre un bono cuando la curva forward sufre un desplazamiento infinitesimal.
Esto nos permitirá, a través de sucesivos pasos, llegar a la composición de una cartera
de cobertura tal que replique las variaciones sufridas por la cartera de bonos ante
cambios de la curva de tipos de interés.
Proposición 2.2. La relación entre la variación del precio de un forward sobre un
bono y una variación paralela infinitesimal de toda la curva forward viene dada por
∂F (tF )
∂f
Demostración.
2
= B0 · e
R tF
0
f (z) dz
· (tF − D).
Sabemos que la expresión del precio del forward viene dada por
Z tF
R tF
f (z) dz
0
F (tF ) = B0 · e
−
c(t) dt.
0
La variación del precio del forward provocada por una variación infinitesimal en toda
la curva fordward se puede calcular mediante el lı́mite
∂F (tF )
F (tF , f + h) − F (tF , f )
= lı́m
.
h→0
∂f
h
Desarrollando el numerador y utilizando la serie de potencias de la función exponencial,
obtenemos
2
Esta demostración sólo muestra los pasos principales del razonamiento. La demostración completa
se adjunta en el apéndice C
Capı́tulo 2. Cobertura para un desplazamiento paralelo de la curva forward
∂F (tF )
∂f
·
=
−
−
=
10
·µ
Z T
Rt
c(t) · e− 0 f (z) dz dt −
lı́m e
· tF ·
h→0
0
¶
µZ T
Z T
Rt
Rt
h
− 0 f (z) dz
c(t) · e
· t dt + ·
c(t) · e− 0 f (z) dz · t2 dt −
2
0
0
¶
¸¸
Z T
Z T
Rt
R
− 0 f (z) dz
2
− 0t f (z) dz
2
2tF ·
c(t) · e
· t dt + tF ·
c(t) · e
dt + O(h ) =
0
0
µ
¶
Z T
Z T
R
R
R tF
f (z) dz
− 0t f (z) dz
− 0t f (z) dz
0
· tF ·
c(t) · e
dt −
c(t) · e
· t dt =
e
R tF
0
= B0 · e
Rt
0
f (z) dz
0
f (z) dz
0
· (tF − D).
¤
2.3.
Cálculo del ratio de cobertura
Para poder calcular una estrategia de cobertura, nos interesa conocer cómo varı́a
el precio del forward con respecto al del bono, su subyacente. A partir de las fórmulas
halladas en las proposiciones 2.1 y 2.2 para la variación del forward y del bono frente
a un cambio infinitesimal de la curva de interés, podemos obtener la siguiente relación
para el cambio del forward por un cambio inifinitesimal del bono:
∂F (tF )
∂B0
∂F (tF )
·
∂f
=
= B0 · e
R tF
R tF
= −e
0
0
µ
∂B0
∂f
f (z)·dz
f (z)dz
·
¶−1
=
· (tF − D) ·
−1
=
B0 · D
tF − D
.
D
Esta expresión nos permite obtener el número NF de forwards necesarios para cubrir
un bono frente a variaciones pequeñas de su valor:
µ
NF
=
∂F (tF )
∂B0
= −e−
= e−
R tF
0
R tF
0
¶−1
³ R tF
= −e 0
f (z) dz·
tF −D
D
´−1
=
D
tF − D
D
f (z) dz
·
D − tF
f (z) dz
·
R tF
D
forwards F (tF ) sobre
Por tanto, el poseedor de un bono debe vender e− 0 f (z) dz · D−t
F
el mismo bono si desea cubrirse ante un cambio adverso de los tipos de interés.
Capı́tulo
3
Cobertura para desplazamientos
paralelos en tramos independientes
de la curva forward
3.1.
Variación del precio del bono debido a un desplazamiento en un tramo de la curva forward
Para poder obtener una cobertura ajustada ante una variación cualquiera de la
curva de tipos de interés, consideraremos una partición de ésta en distintos tramos. De
este modo, podremos estudiar cómo cambia el precio del bono y del forward cuando no
es la curva entera lo que varı́a sino sólo un fragmento de ella, o bien cuando distintos
trozos de la curva sufren distintos desplazamientos.
Consideramos una partición de la curva forward en K tramos, no necesariamente
de la misma longitud, y comprendidos entre el momento actual t0 y T > TB , donde
TB es el vencimiento del bono. Sea δk el desplazamiento vertical sufrido por el tramo
de la curva forward comprendido entre los momentos tk−1 y tk :
δk (t) 6
δk
-
t0
t1
t2
t3
tk−1 tk
tK = T
t
Podemos definir δk como una función en todo el intervalo [0, T ] de la forma siguiente:

 0 si 0 ≤ t ≤ tk−1
δ si tk−1 < t ≤ tk
δk (t) =
 k
0 si tk < t ≤ T
De esta forma, la variación total sufrida por la curva forward – que llamaremos
11
Capı́tulo 3. Cobertura para variaciones parciales de la curva forward
12
δ(t) – puede expresarse como la suma de las distintas variaciones parciales:
δ(t) 6
δ1
0
δ3 δ
4 · · · δ · · · δK−1
k
δK
δ2
t1
t2
-
t3 · · · tk−1 tk · · · tK−1 T

δ1



K
 δ2
X
δ(t) =
δk (t) =
..

.

k=1


δK
t
si 0 ≤ t ≤ t1
si t1 < t ≤ t2
si tK−1 < t ≤ tK
La siguiente proposición nos da la variación del precio del bono debida a una
variación en un tramo de la curva forward.
Proposición 3.1. Si la curva forward sufre un desplazamiento δk (t) en el tramo
[tk−1 , tk ], entonces la variación de orden lineal en δk sufrida por el precio del bono
viene dada por
i
h
k
,
∆B0δk = δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dttk−1
donde
Z
k
Dttk−1
tk
=
c(t) · t · e−
Rt
0
f (z) dz
dt
tk−1
Z
Btk =
T
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
dt.
tk
Demostración.1 Supongamos que la curva forward sufre un desplazamiento paralelo
δk ∈ R en el tramo [tk−1 , tk ]:

 0 si 0 ≤ t ≤ tk−1
δ si tk−1 < t ≤ tk
δk (t) =
 k
0 si tk < t ≤ T
Sea B0δk el valor del bono después de la variación δk de los tipos de interés. Para calcular
B0δk basta actualizar el cupón continuo con los nuevos tipos de interés:
Z T
Rt
B0δk =
c(t) · e− 0 f (z)+δk (z) dz dt
0
Utilizando la expresión de δk (t) y la aproximación lineal de la función exponencial,
llegamos a la siguiente expresión:
Z T
Z tk
Rt
R
δk
− 0t f (z) dz
c(t) · e− 0 f (z) dz · t dt −
B0 =
c(t) · e
dt − δk
0
− δk · tk
1
Z
tk−1
T
−
c(t) · e
tk
Rt
0
f (z) dz
dt + δk · tk−1
Z
T
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
dt
tk−1
Esta demostración sólo muestra los pasos principales del razonamiento. La demostración completa
se adjunta en el apéndice D
Capı́tulo 3. Cobertura para variaciones parciales de la curva forward
13
Teniendo en cuenta la expresión del precio inicial de un bono
Z T
Rt
B0 =
c(t) · e− 0 f (z) dz dt
0
y definiendo
Z
k
Dttk−1
tk
=
Rt
0
f (z) dz
dt
tk−1
Z
Btk =
obtenemos:
c(t) · t · e−
T
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
dt,
tk
h
i
k
B0δk = B0 + δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dttk−1
Por tanto, si notamos por ∆B0δk la variación del bono debida al cambio δk (t) en la
curva forward, llegamos al resultado deseado:
h
i
k
∆B0δk = B0δk − B0 = δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dttk−1
.
¤
Por otro lado, podemos calcular la variación del precio del bono causada por la
suma de todas las variaciones parciales δk , es decir, la variación causada por la curva

δ1 si 0 ≤ t ≤ t1



K

X
δ2 si t1 < t ≤ t2
(3.1)
δk (t) =
δ(t) =
..

.

k=1


δK si tK−1 < t ≤ tK
Proposición 3.2. Si la curva forward sufre un desplazamiento δ(t) de la forma dada
en la ecuación 3.1, entonces la variación de orden lineal en δk sufrida por el precio del
bono viene dada por
∆B0δ = B0δ − B0 =
K−1
X
tk · Btk · (δk+1 − δk ) −
k=1
K
X
k
,
δk · Dttk−1
k=1
donde B0δ es el valor actual del bono cuando la curva forward ha sufrido una variación
δ(t).
Demostración.2 Sea B0δ el valor actual del bono cuando la curva forward ha sufrido
una variación δ(t):
Z T
Rt
δ
B0 =
c(t) · e− 0 f (z)+δ(z) dz dt,
donde δ(t) =
2
PK
k=1 δk (t)
0
tal como en la ecuación 3.1.
Esta demostración sólo muestra los pasos principales del razonamiento. La demostración completa
se adjunta en el apéndice E
Capı́tulo 3. Cobertura para variaciones parciales de la curva forward
14
Descomponiendo la expresión de δ(t) en un sumatorio para los distintos tramos
de la curva forward, y utilizando la aproximación lineal de la función exponencial,
llegamos a
(
Ã
" k
#!)
K−1
Rt
X Z tk+1
X
B0δ =
c(t) · e− 0 f (z) dz · 1 −
(δi · (ti − ti−1 )) + δk+1 · (t − tk )
k=0
tk
i=1
Agrupando términos y empleando las notaciones anteriormente introducidas,
Z tk
Rt
tk
Dtk−1 =
c(t) · t · e− 0 f (z) dz dt
tk−1
Z
Btk =
T
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
dt,
tk
llegamos a
B0δ = B0 +
K−1
X
tk · Btk · (δk+1 − δk ) −
k=1
K
X
k
δk · Dttk−1
k=1
Por tanto, la variación del valor actual del bono debida al cambio δ(t) en la curva
forward viene dado por:
∆B0δ = B0δ − B0 =
K−1
X
tk · Btk · (δk+1 − δk ) −
K
X
k
.
δk · Dttk−1
k=1
k=1
¤
A partir de los resultados anteriores, podemos enunciar la siguiente proposición:
Proposición 3.3. La variación de orden lineal en el precio de un bono causada por
una variación de toda la curva forward puede calcularse como la suma de la variación
lineal del precio del bono causada por el desplazamiento de cada tramo de la curva
forward. Es decir,
K
X
∆B0δk = ∆B0δ ,
k=1
donde ∆B0δk y ∆B0δ indican la variación lineal del precio del bono causada por un
desplazamiento paralelo del tramo [tk−1 , tk ] de la curva forward, o de toda la curva
forward, respectivamente.
Demostración. Por la proposición 3.1, sabemos que la variación de orden lineal en
el precio del bono causada por una variación δk constante en un tramo [tk−1 , tk ] viene
dada por
h
i
k
∆B0δk = δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dttk−1
,
donde
Z
k
Dttk−1
tk
=
Rt
0
f (z) dz
tk−1
Z
Btk =
c(t) · t · e−
T
tk
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
dt.
dt
Capı́tulo 3. Cobertura para variaciones parciales de la curva forward
15
Por tanto, la suma de las variaciones causadas por el desplazamiento de cada tramo
es
K
X
∆B0δk
=
k=1
K
X
³
´
k
δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dttk−1
=
k=1
=
K
X
δk · tk−1 · Btk−1 −
k=1
K
X
δk · tk · Btk −
k=1
K
X
k
δk · Dttk−1
k=1
Como t0 = 0, y BtK = 0 (tK es el tiempo de vencimiento),
K
X
∆B0δk
=
k=1
=
=
K
X
δk · tk−1 · Btk−1 −
k=2
K−1
X
k=1
K−1
X
δk+1 · tk · Btk −
K−1
X
δk · tk · Btk −
k=1
K−1
X
δk · tk · Btk −
k=1
tk · Btk · (δk+1 − δk ) −
k=1
K
X
k
=
δk · Dttk−1
k=1
K
X
k
δk · Dttk−1
=
k=1
K
X
k
δk · Dttk−1
k=1
Utilizando la proposición 3.2, llegamos al resultado deseado:
K
X
∆B0δk = ∆B0δ .
k=1
¤
3.2.
Variación del precio del forward debido a un desplazamiento en un tramo de la curva forward
Como en el caso del bono, veremos que también la variación total sufrida por el
precio del forward debida a una variación de toda la curva forward se puede descomponer como la suma del cambio debido a la variación de cada tramo de la curva, si
dichas variaciones son pequeñas.
Calculamos primero la variación del precio del forward debida a un cambio δk en
el k-ésimo tramo de la curva forward.
Proposición 3.4. La variación de orden lineal del precio del forward F (tF ) a causa
de un desplazamiento δk en el tramo [tk−1 , tk ] de la curva forward, ∆F δk (tF ), viene
dada por
∆F δk (tF ) = F δk (tF ) − F (tF ) =
³
´ R tF

tk

0 f (z) dz ,
δ
·
t
·
(B
−
B
)
−
t
·
(B
−
B
)
−
D

0
t
0
t
k
k
k−1
tk−1 · e
k
k−1






³
´ si R ttFk−1 < tk ≤ tF


tk
δk · tF · B0 − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dtk−1 − tk · Btk · e 0 f (z) dz ,
=

si tk−1 ≤ tF ≤ tk


³
´ R tF


t
f
(z)
dz
k

δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dtk−1
·e 0
,




si tF ≤ tk−1 < tk
Capı́tulo 3. Cobertura para variaciones parciales de la curva forward
16
Demostración.3 Supongamos que la curva forward sufre una variación δk en el tramo
[tk−1 , tk ]. Sea F δk (tF ) el precio del forward calculado con la nueva curva forward. Para
conocer su valor, es necesario distinguir tres casos, según si el intervalo [tk−1 , tk ] es
anterior, incluye o es posterior a la fecha forward tF .
Si el intervalo [tk−1 , tk ] es anterior a tF (es decir, tk ≤ tF ),
δk (t) 6
δk
-
tk−1
0
tk
tF
t
T
entonces
F δk (tF ) = B0δk · e
ÃZ
R tF
0
tk−1
=
f (z)+δk (z) dz
c(t) · e−
− CC(0, tF ) =
Z
f
(z)+δ
(z)
dz
k
0
dt +
Rt
0
Z
T
c(t) · e
+
−
Rt
0
c(t) · e−
Rt
0
f (z)+δk (z) dz
dt+
tk−1
¶
f (z)+δk (z) dz
tk
dt · e
R tF
0
f (z)+δk (z) dz
tk
− CC(0, tF )
Empleando la definición de δk (t), y la aproximación lineal de la función exponencial, obtenemos
µZ T
Z tk
R
Rt
δk
− 0t f (z) dz
dt + δk · tk ·
F (tF ) =
c(t) · e
c(t) · e− 0 f (z) dz dt−
0
0
Z tk−1
Rt
− δk · tk−1 ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt −
0
!
Z
− δk ·
· e
R tF
0
tk
c(t) · t · e−
Rt
0
f (z) dz
dt
·
tk−1
f (z) dz
− CC(0, tF )
Recordando la definición de B0 y retomando las notaciones
Z T
Rt
Btk =
c(t) · e− 0 f (z) dz dt
tk
Z
k
Dttk−1
=
tk
c(t) · t · e−
Rt
0
f (z) dz
dt
tk−1
obtenemos
³
´ R tF
k
F δk (tF ) = F (tF )+δk · tk · (B0 − Btk ) − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dttk−1
·e 0
3
f (z) dz
Esta demostración sólo muestra los pasos principales del razonamiento. La demostración completa
se adjunta en el apéndice F
Capı́tulo 3. Cobertura para variaciones parciales de la curva forward
17
Si el intervalo [tk−1 , tk ] incluye tF (es decir, tk−1 ≤ tF ≤ tk ),
δk (t) 6
δk
-
tk−1 tF tk
0
T
t
Como en el caso anterior, si utilizamos la definición de δk , y agrupando términos,
obtenemos
µZ T
Z T
Rt
Rt
δk
F (tF ) =
c(t) · e− 0 f (z) dz dt + δk · tF ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt−
0
0
Z tk−1
Rt
− δk · tk−1 ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt −
0
Z tk
Rt
− δk ·
c(t) · t · e− 0 f (z) dz dt−
tk−1
Z
− δ k · tk ·
T
c(t) · e
−
Rt
0
f (z) dz
¶
dt ·
e
R tF
0
f (z) dz
tk
− CC(0, tF )
k
, llegamos a la expresión
Retomando las notaciones Btk y Dttk−1
¡
F δk (tF ) = F (tF ) + δk · tF · B0 − tk−1 · (B0 − Btk−1 )−
´ R tF
k
− Dttk−1
− tk · Btk · e 0 f (z) dz
Si el intervalo [tk−1 , tk ] es posterior a tF (es decir, tF ≤ tk−1 ),
δk (t) 6
δk
-
0
tF
tk−1
tk
T
t
entonces de forma análoga a los casos anteriores se demuestra que el valor del
forward viene dado por
h
i R tF
k
F δk (tF ) = F (tF ) + δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dttk−1
· e 0 f (z) dz
Por tanto, hemos visto que el valor del forward cuando varı́a el tramo k-ésimo de la
curva forward viene dado por
Capı́tulo 3. Cobertura para variaciones parciales de la curva forward
18
³
´ R tF

tk

0 f (z) dz ,
F
(t
)
+
δ
·
t
·
(B
−
B
)
−
t
·
(B
−
B
)
−
D

0
t
0
t
F
k
k
k−1
tk−1 · e
k
k−1




si tk−1


³
´ < RtktF ≤ tF


tk
F (tF ) + δk · tF · B0 − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dtk−1 − tk · Btk · e 0 f (z) dz ,
F δk (tF ) =

si tk−1 ≤ tF ≤ tk


h
i R tF


t
f
(z)
dz ,
k
 F (tF ) + δk · tk−1 · Bt
− tk · Btk − Dtk−1 · e 0

k−1



si tF ≤ tk−1 < tk
y por consiguiente, la variación de su valor es











=
∆F δk (tF ) = F δk (tF ) − F (tF ) =
³
´ R tF
k
δk · tk · (B0 − Btk ) − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dttk−1
·e 0
³
δk · tF · B0 − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) −
k
Dttk−1



³
´ R tF


tk

δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dtk−1 · e 0




f (z) dz ,
´ si R ttFk−1 < tk ≤ tF
− tk · Btk · e 0 f (z) dz ,
si tk−1 ≤ tF ≤ tk
f (z) dz ,
si tF ≤ tk−1 < tk
¤
Por otro lado, igual como hemos hecho para el bono, podemos calcular la variación
del precio del forward causada por la suma de todas
PKlas variaciones parciales δk , es
decir, la variación causada por toda la curva δ(t) = k=1 δk (t) (ver la ecuación 3.1).
Proposición 3.5. La variación de orden lineal del precio del forward F (tF ) a causa
de un desplazamiento δ en la curva forward, ∆F δ (tF ), viene dada por
"K−1
K
K−1
X
X
X
δ
k
+
δk · Dttk−1
δk · tk · Btk −
δk+1 · tk · Btk −
∆F (tF ) =
k=1
k=1
+
B0 ·
s−1
X
k=1
#
δk · (tk − tk−1 ) + B0 · δs · (tF − ts−1 ) · e
R tF
0
f (z) dz
.
k=1
Demostración.4 Supongamos que la fecha forward está contenida en el tramo [ts−1 , ts ]:
δ(t) 6
δ1
0
t1
δ2
t2
δ3 δ
4 · · · δ · · · δK−1
s
δK
t3 · · · ts−1 tF ts · · · tK−1 T
-
t
Sea F δ (tF ) el valor actual del bono cuando la curva forward ha sufrido una variación
δ(t):
4
Esta demostración sólo muestra los pasos principales del razonamiento. La demostración completa
se adjunta en el apéndice G
Capı́tulo 3. Cobertura para variaciones parciales de la curva forward
R tF
F δ (tF ) = B0δ · e
0
f (z)+δ(z) dz
19
− CC(0, tF )
Empleando el desarrollo que hemos encontrado para B0δ en la proposición 3.2, y la
aproximación lineal de la exponencial, obtenemos
"K−1
K−1
K
X
X
X
k
F δ (tF ) = F (tF ) +
δk+1 · tk · Btk −
δk · tk · Btk −
δk · Dttk−1
+
+ B0 ·
k=1
s−1
X
k=1
k=1
#
δk · (tk − tk−1 ) + B0 · δs · (tF − ts−1 ) · e
R tF
0
f (z) dz
k=1
Entonces la variación del valor del forward sobre un bono debida al cambio δ(t) en la
curva forward viene dado por:
∆F δ (tF ) = F δ (tF ) − F (tF ) =
"K−1
K−1
K
X
X
X
k
=
δk+1 · tk · Btk −
δk · tk · Btk −
δk · Dttk−1
+
k=1
+ B0 ·
k=1
s−1
X
k=1
#
δk · (tk − tk−1 ) + B0 · δs · (tF − ts−1 ) · e
R tF
0
f (z) dz
.
k=1
¤
A partir de los resultados anteriores, podemos enunciar la siguiente proposición:
Proposición 3.6. La variación de orden lineal en el precio de un forward causada por
una variación de toda la curva forward puede calcularse como la suma de la variación
lineal del precio del forward causada por el desplazamiento de cada tramo de la curva
forward. Es decir,
K
X
∆F δk (tF ) = ∆F δ (tF ),
k=1
∆F δk (t
∆F δ (t
donde
F) y
F ) indican la variación lineal del precio del forward causada
por un desplazamiento paralelo del tramo [tk−1 , tk ] de la curva forward, o de toda la
curva forward, respectivamente.
Demostración. Por la proposición 3.4, sabemos que la variación de orden lineal en
el precio del forward causada por una variación δk constante en un tramo [tk−1 , tk ]
viene dada por
∆F δk (tF ) = F δk (tF ) − F (tF ) =
³
´ R tF

tk

0 f (z) dz ,
δ
·
t
·
(B
−
B
)
−
t
·
(B
−
B
)
−
D

0
t
0
t
k
k
k−1
tk−1 · e
k
k−1




tk−1 < tk ≤ tF


³
´ R si

tF

tk
f
(z)
dz ,
δk · tF · B0 − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dtk−1 − tk · Btk · e 0
=

si tk−1 ≤ tF ≤ tk


³
´ R tF


t
k

δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dtk−1
· e 0 f (z) dz ,




si tF ≤ tk−1 < tk
Capı́tulo 3. Cobertura para variaciones parciales de la curva forward
20
Puesto que tF ∈ [ts−1 , ts ], para calcular las variaciones causadas por el desplazamiento de cada tramo, debemos distinguir los casos k ≤ s − 1 ó k > s:
K
X
δk
∆F (tF ) =
k=1
i R tF
h
k
δk · tk · (B0 − Btk ) − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dttk−1
·e 0
f (z) dz
+
h
i R tF
s
+ δs · tF · B0 − ts−1 · (B0 − Bts−1 ) − Dtts−1
− ts · Bts · e 0
f (z) dz
+
s−1
X
k=1
h
i R tF
k
δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dttk−1
·e 0
K
X
+
f (z) dz
s+1
Agrupando términos, obtenemos:
" s−1
K
K
K
X
X
X
X
δk
∆F (tF ) =
δk · B0 · (tk − tk−1 ) −
δk · tk · Btk +
δk · tk−1 · Btk−1 −
k=1
k=1
−
B0 ·
−
#
k
δk · Dttk−1
+ δs · B0 · (tF − ts−1 ) · e
k=1
s−1
X
"
=
k=1
K
X
δk · (tk − tk−1 ) −
K
X
δk · tk · Btk +
k=1
k=1
K
X
δk ·
k
Dttk−1
#
+ δs · B0 · (tF − ts−1 ) · e
k=1
R tF
0
f (z) dz
K−1
X
=
δk+1 · tk · Btk −
k=1
R tF
0
f (z) dz
k=1
Como BtK = 0 porque tK es el tiempo de vencimiento, entonces podemos escribir
K
X
"
δk
∆F (tF ) =
B0 ·
k=1
−
s−1
X
k=1
K
X
δk · (tk − tk−1 ) −
K−1
X
δk · tk · Btk +
k=1
δk ·
k
Dttk−1
#
+ δs · B0 · (tF − ts−1 ) · e
K−1
X
δk+1 · tk · Btk −
k=1
R tF
0
f (z) dz
k=1
Utilizando la proposición 3.5, llegamos al resultado deseado:
K
X
∆F δk (tF ) = ∆F δ (tF ).
k=1
¤
Hemos visto, por tanto, que para calcular la variación del precio del forward a causa
de un desplazamiento de toda la curva forward, como en el caso del bono basta calcular
la variación causada por el desplazamiento de cada tramo de la partición considerada.
Capı́tulo
4
Aplicación a la cobertura de carteras de
bonos de cupón discreto
4.1.
Aplicación al valor de un bono de cupón discreto
Hemos visto que la variación sufrida por el precio de un bono cuando la curva forward cambia en varios tramos es igual – si las variaciones son pequeñas – a la suma de
la variación provocada por el cambio de cada tramo de la curva forward. Por lo tanto,
a partir de ahora podremos limitarnos a estudiar el efecto producido por la variación
de un solo tramo cualesquiera.
Hasta el momento, hemos considerado bonos teóricos con cupón continuo, para facilitar los cálculos. Veremos a continuación que los resultados obtenidos son aplicables
también a los bonos reales, que pagan cupones discretos. Para ello usaremos la función
delta de Dirac.
Definición 4.1. La función δD (t − t0 ) : R −→ R ∪ {∞} que cumple
½
0 si t 6= t0
δD (t − t0 ) =
∞ si t = t0
Z
δD (t − t0 ) = 1
recibe el nombre de función delta de Dirac.
Observación. La función delta de Dirac cumple la siguiente propiedad:
Z ∞
δD (t − t0 ) · f (t) dt = f (t0 ),
(4.1)
0
para cualquier función f (t).
La función delta de Dirac se usa para describir acciones puntuales sobre sistemas.
Dado que un cupón discreto puede considerarse como un cupón continuo pagado de
golpe en un momento puntual, la delta de Dirac nos será extremadamente útil en nuestro desarrollo, tal como muestra el siguiente lema.
21
Capı́tulo 4. Aplicación a la cobertura de carteras de bonos de cupón discreto
22
Lema 4.1. Sea B un bono que paga un solo cupón discreto c en t = T . La expresión
del cupón continuo en términos de la función delta de Dirac es
c(t) = c · δD (t − T ).
Demostración. Veamos que c(t) cumple la definición que hemos dado para los
RT
cupones continuos (es decir, c(t) debe cumplir 0 c(t) dt = c):
Z T
Z T
Z T
c(t) dt =
c · δD (t − T ) dt = c ·
δD (t − T ) dt
0
0
0
Por definición de la función delta de Dirac, tenemos
Z T
Z ∞
c·
δD (t − T ) dt = c ·
δD (t − T ) dt = c · 1 = c.
0
0
¤
Si un bono B paga n cupones, veremos entonces que el cupón c(t) se puede definir
como una suma de n deltas de Dirac, que reflejan los n pagos puntuales que tienen
lugar a lo largo del tiempo.
Lema 4.2. Sea B un bono que paga un cupón cr en el momento Tr , con 1 ≤ r ≤ n.
El valor de los cupones es constante e igual a c, excepto para el último cupón:
½
c
si r ≤ n − 1
cr =
c + BT si r = n
Entonces el cupón continuo puede expresarse como
c(t) = c1 · δD (t − T1 ) + c2 · δD (t − T2 ) + · · · +
+ cn−1 · δD (t − Tn−1 ) + (c + BT ) · δD (t − T ).
Demostración. Este lema se sigue inmediatamente del lema 4.1. Sin embargo,
veamos a modo de ejemplo que el valor actual del bono utilizando esta definición
de cupón continuo coincide con la definición de valor actual de un bono con cupón
discreto:
!
Z T ÃX
Z T
n
Rt
R
− 0t f (z) dz
cr · δD (t − Tr ) · e− 0 f (z) dz dt =
B0 =
c(t) · e
dt =
0
=
n
X
r=1
0
Z
cr ·
T
0
δD (t − Tr ) · e−
Rt
0
r=1
f (z) dz
dt
Por la propiedad 4.1 de la función delta de Dirac, sabemos que
Z T
Rt
R Tr
δD (t − Tr ) · e− 0 f (z) dz dt = e− 0 f (z) dz
0
Por tanto,
B0 =
n
X
cr · e−
R Tr
0
f (z) dz
r=1
=
n
X
r=1
cr · D(Tr ),
=
Capı́tulo 4. Aplicación a la cobertura de carteras de bonos de cupón discreto
23
donde recordamos que D(Tr ) denota el factor de descuento a tiempo Tr . Por tanto,
vemos que B0 es la suma de los cupones descontados al momento 0, tal como cabı́a
esperar.
¤
Del mismo modo, al definir c(t) mediante la función delta de Dirac podemos extender todos los resultados obtenidos previamente al caso de cupones discretos.
Como hemos visto que el valor actual de un bono es la suma de los valores actualizados de sus cupones discretos, basta estudiar la variación de cada flujo de caja por
separado para obtener la variación total de B0 frente a un cambio de la curva forward.
Sabemos también por los resultados de los capı́tulos anteriores que el cambio debido
a una variación en toda la curva es la suma del cambio provocado por la variación de
cada tramo de la curva (ver las proposiciones 3.3 y 3.6). Ası́ pues, para estudiar cómo
varı́a el valor del bono cuando se desplaza la curva forward, basta estudiar la variación
de un flujo de caja debida al desplazamiento de un solo tramo de la curva.
Proposición 4.1. Sea B un bono que paga cupones cr en Tr . Sea δ una variación en
toda la curva forward y δk , una variación en el tramo [tk−1 , tk ]
i. La variación de orden lineal de un cupón cr debida a un cambio δk (t) de f (t) en
el tramo [tk−1 , tk ] viene dada por:

 cr,0 · δk · (tk − tk−1 ) si tk−1 < tk ≤ Tr
k
k
cr,0 · δk · (Tr − tk−1 ) si tk−1 ≤ Tr ≤ tk
∆cδr,0
= cδr,0
− cr,0 =

0
si Tr ≤ tk−1 < tk
ii. La variación de orden lineal de un cupón cr debida a un cambio en todos los
tramos de la curva es la suma de las variaciones de orden lineal de cr por el
cambio en cada tramo:
K
X
k
.
∆cδr,0
∆cδr,0 =
k=1
iii. La variación total de orden lineal de un bono B debida a una variación en la
curva forward viene dada por la suma de las variaciones totales de orden lineal
de cada cupón:
n
X
∆B0δ =
∆cδr,0 .
r=1
Demostración.
1
k
i. Sea cδr,0
el valor actualizado del cupón r-ésimo después de un desplazamiento
k
δk (t) en la curva forward. Para calcular el valor de cδr,0
, debemos distinguir tres
casos, según el tramo donde varı́a la curva forward [tk−1 , tk ] sea anterior, incluya
o sea posterior al momento Tr de pago del cupón cr .
1
Esta demostración sólo muestra los pasos principales del razonamiento. La demostración completa
se adjunta en el apéndice H
Capı́tulo 4. Aplicación a la cobertura de carteras de bonos de cupón discreto
24
Si el intervalo [tk−1 , tk ] es anterior a Tr (es decir, tk ≤ Tr ),
δk (t) 6
δk
-
tk−1
0
tk
Tr
T
t
entonces, utilizando la propiedad 4.1 de la delta de Dirac, y la aproximación
lineal de la función exponencial, tenemos
k
cδr,0
= cr,0 · (1 − δk · (tk − tk−1 ))
Si el intervalo [tk−1 , tk ] incluye Tr (es decir, tk−1 ≤ Tr ≤ tk ),
δk (t) 6
δk
-
tk−1 Tr tk
0
entonces
T
t
k
cδr,0
= cr,0 · (1 − δk · (Tr − tk−1 ))
Si el intervalo [tk−1 , tk ] es posterior a Tr (es decir, tk−1 ≥ Tr ),
δk (t) 6
δk
-
0
entonces
Tr
tk−1
k
cδr,0
= c · e−
tk
R Tr
0
f (z) dz
T
t
= cr,0
Por tanto, la expresión de la variación de un cupón
de f (t) viene dada por:

 cr,0 · δk · (tk − tk−1 )
k
k
cr,0 · δk · (Tr − tk−1 )
∆cδr,0
= cδr,0
− cr,0 =

0
cr debida a un cambio δk (t)
si tk−1 < tk ≤ Tr
si tk−1 ≤ Tr ≤ tk
si Tr ≤ tk−1 < tk
ii. Por las proposiciones 3.3 y 3.6 sabemos que la variación de orden lineal en toda
la curva es la suma del cambio producido por la variación de cada tramo de la
Capı́tulo 4. Aplicación a la cobertura de carteras de bonos de cupón discreto
curva:
∆cδr,0 =
K
X
25
k
∆cδr,0
.
k=1
iii. Puesto que estamos considerando las variaciones de orden lineal, aplicando los
lemas 4.1 y 4.2 se deduce trivialmente que la variación total del bono es la suma
de las variaciones sufridas por cada cupón:
∆B0δ =
n
X
∆cδr,0 .
r=1
¤
4.2.
Aplicación al valor de un forward sobre un bono de
cupón discreto
Veremos ahora que para calcular la variación total del precio del forward sobre un
bono que paga cupones discretos, basta sumar la variación sufrida por cada cupón,
igual que en el caso del bono estudiado en el apartado anterior.
Sabemos que la expresión del valor de un forward sobre un bono B con fecha
forward t es:
R tF
F (tF ) = B0 · e 0 f (z) dz − CC(0, tF ),
donde CC(0, tF ) es el cupón acumulado desde 0 hasta tF . Ya hemos visto que el valor
del bono viene dado por
n
X
B0 =
cr,0
r=1
Sustituyendo en la expresión del forward,
F (tF ) =
n
X
cr,0 · e
R tF
0
f (z) dz
− CC(0, tF ).
r=1
Por tanto, F (tF ) es suma es los cupones actualizados y financiados a tiempo tF , previa
resta del cupón acumulado CC(0, tF ). Con esto llegamos a la siguiente proposición.
Proposición 4.2. La variación sufrida por el precio de un forward F (tF ) debida a un
desplazamiento δk en el tramo [tk−1 , tk ] de la curva forward viene dada por
∆F (tF ) =
n ³
R tF
X
k
cδr,0
·e 0
f (z)+δk (z) dz
R tF
− cr,0 · e
0
f (z) dz
´
r=1
Demostración. La variación del precio del forward viene dada por
∆F (tF ) = F δk (tF ) − F (tF ) =
n
n
R tF
R tF
X
X
k
cδr,0
· e 0 f (z)+δk (z) dz − CC(0, tF ) −
cr,0 · e 0
=
r=1
r=1
f (z) dz
+ CC(0, tF ) =
Capı́tulo 4. Aplicación a la cobertura de carteras de bonos de cupón discreto
=
n
X
k
cδr,0
·e
R tF
0
f (z)+δk (z) dz
−
r=1
n ³
R tF
X
k
=
cδr,0
·e 0
n
X
cr,0 · e
R tF
0
f (z) dz
26
=
r=1
f (z)+δk (z) dz
− cr,0 · e
R tF
0
f (z) dz
´
r=1
¤
4.3.
Cálculo de los ratios de cobertura
Consideremos una partición de la curva forward en 2 tramos. Sea δ1 la variación
asociada al primer tramo, y δ2 , la del segundo.
Consideremos una cartera formada por dos bonos, B1 y B2 . Supongamos que queremos cubrir esta cartera con otra cartera formada por dos tipos de forward: forwards
F1 (tF1 ) sobre el bono B1 y forwards F2 (tF2 ) sobre el bono B2 , donde tF1 y tF2 indican
los momentos futuros en que se adquieren los bonos B1 y B2 mediante los forwards F1
y F2 , respectivamente. La siguiente proposición indica cómo calcular el número NF1
de forwards F1 y el número NF2 de forwards F2 necesarios para cubrir la cartera de
bonos contra cambios de los tipos de interés.
Proposición 4.3. Sean NF1 y NF2 el número de forwards F (tF1 ) y F (tF2 ) necesarios
para cubrir una cartera formada por dos bonos B1 y B2 . Entonces NF1 y NF2 pueden
calcularse resolviendo el sistema de ecuaciones
½
∆B1δ1 + ∆B2δ1 = NF1 · ∆F1δ1 (tF1 ) + NF2 · ∆F2δ1 (tF2 )
∆B1δ2 + ∆B2δ2 = NF1 · ∆F1δ2 (tF1 ) + NF2 · ∆F2δ2 (tF2 )
Demostración. Para calcular el número de forwards necesarios para cubrir una
cartera de bonos debemos calcular el número de forwards que hacen que la cartera a
futuro sufra la misma variación que la cartera al contado frente a cambios de los tipos.
Para ello calcularemos la variación de ambas carteras debida a un cambio de la curva
forward.
Hemos visto en la proposición 4.1 que la variación de orden lineal del precio del
bono debido a un desplazamiento δ de la curva f viene dado por:
δ
∆B =
n
X
∆cδr,0 .
r=1
Si la curva forward sufre una variación δ1 en el primer tramo, la variación sufrida por
los bonos B1 y B2 es por tanto
∆B1δ1
=
n1
X
∆cδr11 ,0
r=1
∆B2δ1 =
n2
X
∆cδr12 ,0 ,
r=1
donde cri es el cupón pagado por el bono Bi en el momento tri , 1 ≤ ri ≤ ni , i = 1, 2.
Capı́tulo 4. Aplicación a la cobertura de carteras de bonos de cupón discreto
27
La variación lineal del precio de la cartera de bonos es
∆B1δ1 + ∆B2δ1 .
Y la cartera formada por NF1 forwards F1 y NF2 forwards F2 sufre la siguiente
variación:
NF1 · ∆F1δ1 (tF1 ) + NF2 · ∆F2δ1 (tF2 )
Del mismo modo, podemos calcular las variaciones de las carteras frente a un cambio
δ2 en el segundo tramo de la curva forward:
∆B1δ2 + ∆B2δ2
NF1 · ∆F1δ2 (tF1 ) + NF2 · ∆F2δ2 (tF2 )
Puesto que la variación de la cartera a plazo debe compensar la variación de la cartera
al contado, para determinar NF1 y NF2 basta resolver el sistema
½
∆B1δ1 + ∆B2δ1 = NF1 · ∆F1δ1 (tF1 ) + NF2 · ∆F2δ1 (tF2 )
∆B1δ2 + ∆B2δ2 = NF1 · ∆F1δ2 (tF1 ) + NF2 · ∆F2δ2 (tF2 )
¤
Corolario 4.1. Para calcular la estrategia de cobertura de una cartera formada por M
bonos B1 , B2 , . . . , BM mediante una cartera formada por M forwards F1 (tF1 ), F2 (tF2 ),
. . . , FM (tFM ), basta resolver el sistema
 PM
δ1
i=1 ∆Bi
P
M
δ2


i=1 ∆Bi

..

.
PM
δM
i=1 Bi


∆F1δ1 (tF1 )
∆F1δ2 (tF1 )
..
.
 
 
=
 
∆F2δ1 (tF2 )
∆F2δ2 (tF2 )
..
.
···
···
..
.
δ1
∆FM
(tFM )
δ2
∆FM (tFM )
..
.
 
 
 
·
 
δM
(tFM )
∆F1δM (tF1 ) ∆F2δM (tF2 ) · · · ∆FM
NF1
NF2
..
.



,

NFM
donde
δ
∆Bi j =
ni
X
r=1
δ
δ
j
∆cr,0
 Pni
 P r=1 cr,0 · δj · (tj − tj−1 ) si tj−1 < tj ≤ Tr
ni
=
r=1 cr,0 · δj · (Tr − tj−1 ) si tj−1 ≤ Tr ≤ tj

0
si tj−1 < tj ≤ Tr
∆Fi j (tFi ) =
ni ³
R tF
X
δj
cr,0
·e 0
f (z)+δj (z) dz
R tF
− cr,0 · e
0
f (z) dz
´
r=1
Demostración. Basta generalizar la proposición 4.3 al caso de una cartera compuesta por M bonos distintos B1 , B2 , . . . , BM , cubierta con una cartera formada por NF1
forwards de tipo F1 , NF2 forwards de tipo F2 y ası́ sucesivamente, hasta NFM forwards
de tipo FM .
Supongamos que la curva forward está dividida en M tramos distintos, cada uno de
los cuales sufre una variación δk independiente. Para conseguir una cobertura ajustada,
es preciso que la variación de la cartera a plazo sea igual a la variación sufrida por la
Capı́tulo 4. Aplicación a la cobertura de carteras de bonos de cupón discreto
28
cartera al contado, para cada variación δk independiente. Por tanto, debemos resolver
el sistema dado por

δ1
δ1
∆B1δ1 + · · · + ∆BM
= NF1 · ∆F1δ1 (tF1 ) + · · · + NFM · ∆FM
(tFM )



 ∆B δ2 + · · · + ∆B δ2 = NF · ∆F δ2 (tF ) + · · · + NF · ∆F δ2 (tF )
1
1
M
M
1
1
M
M
⇒
..

.



δM
δM
∆B1δM + · · · + ∆BM
= NF1 · ∆F1δM (tF1 ) + · · · + NFM · ∆FM
(tFM )
⇒
 PM
δ1
δ1
δ1

i=1 ∆Bi = NF1 · ∆F1 (tF1 ) + · · · + NFM · ∆FM (tFM )

P

M
δ
δ
δ2
2
2

i=1 ∆Bi = NF1 · ∆F1 (tF1 ) + · · · + NFM · ∆FM (tFM )
..

.


 PM
δM
δM
δM
= NF1 · ∆F1 (tF1 ) + · · · + NFM · ∆FM
(tFM )
i=1 ∆Bi
Ası́ pues, vemos finalmente que el cálculo de la estrategia de cobertura se reduce a
resolver el sistema
 PM

 

δ1 
δ1
∆F1δ1 (tF1 ) ∆F2δ1 (tF2 ) · · · ∆FM
(tFM )
NF1
i=1 ∆Bi
P
M
δ2 

 ∆F δ2 (tF ) ∆F δ2 (tF ) · · · ∆F δ2 (tF )   NF 
2 
1
2
M
1
2


 
i=1 ∆Bi 
M
=

 ·  ..  ,
..
..
..
..
.
.
 

  . 
.
.
.
.
.
PM
δM
δM
δM
δM
N FM
∆F1 (tF1 ) ∆F2 (tF2 ) · · · ∆FM (tFM )
i=1 Bi
donde por la proposición 4.1 sabemos que
 Pni
ni
 P r=1 cr,0 · δj · (tj − tj−1 ) si tj−1 < tj ≤ Tr
X
δ
δj
ni
∆Bi j =
∆cr,0
=
r=1 cr,0 · δj · (Tr − tj−1 ) si tj−1 ≤ Tr ≤ tj

r=1
0
si tj−1 < tj ≤ Tr
δ
∆Fi j (tFi ) =
ni ³
R tF
X
δj
cr,0
·e 0
f (z)+δj (z) dz
R tF
− cr,0 · e
0
f (z) dz
´
r=1
¤
Como remarca final, cabe decir que sólo hemos mostrado cómo calcular la cobertura
en el caso de que se considere una partición de la curva forward en tantos tramos como
instrumentos configuran la cartera de cobertura. Pero también se podrı́a calcular la
cobertura tomando una partición de la curva forward formada por un número de tramos
mayor que el número de instrumentos de cobertura. En ese caso, la composición de la
cartera de cobertura se determinarı́a minimizando la diferencia entre la variación de
la cartera de bonos y la cartera de forwards ante la variación de los distintos tramos
de la curva forward (por ejemplo, mediante el procedimiento de mı́nimos cuadrados).
Apéndices
29
Apéndice
A
Lema 1.1
Si el mercado es libre de arbitraje, entonces debe cumplirse la siguiente relación
entre los tipos spot s(0, T ) y las tasas forward implı́citas f (t):
e
RT
0
f (t) dt
= es(0, T )· T .
Demostración. Sea 1=
C a tiempo t0 = 0. Sabemos, por definición del tipo spot, que
su valor a tiempo T es es(0,T )·T .
Por otro lado, podemos considerar una subdivisión del intervalo [0, T ] en k trozos
iguales de longitud ∆T . En cada subintervalo tenemos un tipo forward al principio del
subintervalo para un depósito hecho al fin del subintervalo:
f(0,∆T )- f(∆T,2∆T) f(2∆T,3∆T
-)
0
∆T
2∆T
f((k−1)∆T,k∆T
-)
···
3∆T
(k − 1)∆T k∆T = T
Por ausencia de arbitraje, debe cumplirse la siguiente relación entre el tipo spot y
los tipos forward:
es(0,T )·T
es(0,T )·T
e
s(0,T )·T
= e[f(0,∆T ) ·∆T ] · e[f(∆T,2∆T ) ·∆T ] · · · · · e[f((k−1)∆T,T ) ·∆T ]
k−1
Y
=
e[f(i∆T,(i+1)∆T ) ·∆T ]
i=0
Pk−1
= e[
i=0
f(i∆T,(i+1)∆T ) ·∆T ]
Tomando lı́mites cuando k → ∞ (equivalentemente, ∆T → 0), obtenemos:
es(0,T )·T = e
donde f (t) es el tipo forward implı́cito.
RT
0
f (t) dt
,
¤
30
Apéndice
B
Proposición 2.1
La relación entre la variación del precio del bono y una variación paralela infinitesimal de toda la curva forward viene dada por
∂B0
∂f
= −B0 · D.
Demostración. La variación en el precio del bono a causa de una variación infinitesimal paralela de la curva forward f (t) viene dada por:
∂B0
∂f
=
=
=
=
=
=
B0 (f + h) − B0 (f )
=
h→0
h
R
Rt
RT
RT
− 0t (f (z)+h) dz
dt − 0 c(t) · e− 0 f (z) dz dt
0 c(t) · e
lı́m
=
h→0
h
¸
·Z T
Z T
R
R
−1
− 0t f (z) dz
−1
− 0t (f (z)+h) dz
dt =
dt −
h · c(t) · e
h · c(t) · e
lı́m
h→0
0
0
¸
·Z T
Z T
R
R
− 0t f (z) dz−h·t)
−1
− 0t f (z) dz
−1
(
dt −
h · c(t) · e
dt =
h · c(t) · e
lı́m
h→0
0
0
¸
·Z T
Z T
Rt
Rt
h−1 · c(t) · e− 0 f (z) dz · e−h·t dt −
h−1 · c(t) · e− 0 f (z) dz dt =
lı́m
h→0
0
0
·Z T
¸
Rt
−1
− 0 f (z) dz
−h·t
lı́m
h · c(t) · e
· (e
− 1) dt
lı́m
h→0
0
Teniendo en cuenta que la función exponencial puede desarrollarse en serie mediante
la expresión
∞
X
xn
x2 x3
ex =
=1+x+
+
+ ···,
n!
2
6
n=0
e−h·t
podemos sustituir
en la expresión del lı́mite por su serie de potencias:
·Z T
¸
R
−1
− 0t f (z) dz
−h·t
lı́m
h · c(t) · e
· (e
− 1) dt =
h→0
0
¶ ¸
·Z T
µ
Rt
(−h · t)2
+ · · · − 1 dt =
= lı́m
h−1 · c(t) · e− 0 f (z) dz · 1 + (−h · t) +
h→0
2
0
31
Apéndice B. Proposición 2.1
·Z
=
=
T
lı́m
h→0
0
·Z
lı́m
h→0
Z
T
0
T
32
µ
¶ ¸
(h · t)2
h · c(t) · e 0
· −h · t +
+ · · · dt =
2
µ
¶ ¸
R
h · t2
− 0t f (z) dz
c(t) · e
· −t +
+ · · · dt =
2
−1
−
Rt
f (z) dz
Rt
c(t) · e− 0 f (z) dz · (−t) dt =
0
¶
µ
Z T
R
1
− 0t f (z) dz
dt =
= −B0 ·
·
c(t) · t · e
B0 0
= −B0 · D.
=
Por tanto,
∂B0
∂f
= −B0 · D.
¤
Apéndice
C
Proposición 2.2
La relación entre la variación del precio de un forward sobre un bono y una variación
paralela infinitesimal de toda la curva forward viene dada por
∂F (tF )
∂f
= B0 · e
R tF
0
f (z) dz
· (tF − D).
Demostración. La expresión del precio del forward viene dada por
Z tF
R tF
f (z) dz
0
−
c(t) dt.
F (tF ) = B0 · e
0
La variación del precio del forward provocada por una variación infinitesimal en toda
la curva forward se puede calcular mediante el lı́mite
∂F (tF )
F (tF , f + h) − F (tF , f )
= lı́m
.
h→0
∂f
h
Antes de determinar el valor del lı́mite, desarrollamos el numerador:
Z tF
R tF
f
(z)+h
dz
F (tF , f + h) − F (tF , f ) = B0 (f + h) · e 0
−
c(t) dt −
0
Z tF
R tF
f (z) dz
0
+
c(t) dt =
− B0 (f ) · e
0
µZ T
¶ ³R t
´
R
F
(− 0t f (z) dz−ht)
0 f (z) dz+h·tF
−
=
c(t) · e
dt · e
0
µZ T
¶ R
Rt
tF
−
c(t) · e− 0 f (z) dz dt · e 0 f (z) dz =
0
µZ T
¶ R
R
t
− 0t f (z) dz
−h·t
=
c(t) · e
·e
dt · e 0 f (z) dz · eh·tF −
0
µZ T
¶ R
R
tF
− 0t f (z) dz
−
c(t) · e
dt · e 0 f (z) dz
0
Utilizando el desarrollo de la función exponencial en serie de potencias
ex =
∞
X
xn
n=0
n!
=1+x+
33
x2 x3
+
+ ···,
2
6
Apéndice C. Proposición 2.2
34
obtenemos:
·Z T
µ
¶ ¸
Rt
h 2 · t2
F (tF , f + h) − F (tF , f ) =
c(t) · e− 0 f (z) dz · 1 − h · t +
+ O(h3 ) dt ·
2
0
µ
¶
2
2
R tF
h · tF
· e 0 f (z) dz · 1 + h · tF +
+ O(h3 ) −
2
µZ T
¶ R
R
tF
− 0t f (z) dz
−
dt · e 0 f (z) dz =
c(t) · e
0
·µZ T
Z T
R tF
R
Rt
f (z) dz
− 0t f (z) dz
0
= e
·
c(t) · e
dt − h ·
c(t) · e− 0 f (z) dz · t dt +
0
0
¶ µ
¶
Z T
2
R
h2
h
− 0t f (z) dz
2
2
·
c(t) · e
· t dt · 1 + h · tF +
· tF −
+
2
2
0
¸
Z T
R
− 0t f (z) dz
3
−
c(t) · e
dt + O(h ) =
0
·Z T
Z T
R tF
Rt
Rt
= e 0 f (z) dz ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt − h ·
c(t) · e− 0 f (z) dz · t dt +
+
−
−
R tF
= e
+
+
0
0
0
Z T
Rt
c(t) · e− 0 f (z) dz dt −
c(t) · e− 0 f (z) dz · t2 dt + h · tF ·
0
0
Z T
Z T
2
Rt
Rt
h
2
− 0 f (z) dz
2
· t dt +
h · tF ·
c(t) · e
· tF ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt −
2
0
0
¸
Z T
Rt
c(t) · e− 0 f (z) dz dt + O(h3 ) =
0
¶
· µ
Z T
Z T
R
R
− 0t f (z) dz
f (z) dz
− 0t f (z) dz
· t dt +
dt −
c(t) · e
· h · tF ·
c(t) · e
0
0
µZ T
Z T
Rt
R
h2
2
− 0t f (z) dz
· t dt − 2tF ·
c(t) · e− 0 f (z) dz · t dt +
·
c(t) · e
2
0
0
¶
¸
Z T
Rt
t2F ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt + O(h3 )
h2
·
2
Z
T
Rt
0
Sustituimos ahora en la expresión del lı́mite:
∂F (tF )
∂f
F (tF , f + h) − F (tF , h)
=
h→0
h
½
1 R0tF f (z) dz
= lı́m
·e
·
h→0 h
· µ
¶
Z T
Z T
Rt
Rt
·
h · tF ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt −
c(t) · e− 0 f (z) dz · t dt +
0
0
µZ T
Z T
Rt
Rt
h2
·
c(t) · e− 0 f (z) dz · t2 dt − 2tF ·
c(t) · e− 0 f (z) dz · t dt +
+
2
0
0
¶
¸¾
Z T
Rt
+ t2F ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt + O(h3 )
=
0
n R tF
= lı́m e 0 f (z) dz ·
h→0
·µ
¶
Z T
Z T
Rt
Rt
·
tF ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt −
c(t) · e− 0 f (z) dz · t dt +
=
lı́m
0
0
Apéndice C. Proposición 2.2
+
= e
= e
Z T
Rt
c(t) · e− 0 f (z) dz · t dt +
· t2 dt − 2tF ·
0
0
¶
¸¾
Z T
Rt
=
t2F ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt + O(h2 )
0
µ
¶
Z T
Z T
R
R
f (z) dz
− 0t f (z) dz
− 0t f (z) dz
· tF ·
c(t) · e
dt −
c(t) · e
· t dt =
h
·
2
+
R tF
0
R tF
0
µZ
35
T
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
0
f (z) dz
= B0 · e
Rt
0
0
· (tF · B0 − B0 · D) =
f (z) dz
· (tF − D).
¤
Apéndice
D
Proposición 3.1
Si la curva forward sufre un desplazamiento δk (t) en el tramo [tk−1 , tk ], entonces
la variación de orden lineal en δk sufrida por el precio del bono viene dada por
i
h
k
,
∆B0δk = δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dttk−1
donde
Z
k
Dttk−1
tk
=
c(t) · t · e−
Rt
0
f (z) dz
dt
tk−1
Z
Btk =
T
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
dt.
tk
Demostración. Notamos el valor del bono después de la variación δk de los tipos de
interés por B0δk . Para calcular B0δk basta actualizar el cupón continuo con los nuevos
tipos de interés:
Z T
Rt
c(t) · e− 0 f (z)+δk (z) dz dt =
B0δk =
0
Z tk−1
Z tk
R
Rt
− 0t f (z)+δk (z) dz
=
c(t) · e
dt +
c(t) · e− 0 f (z)+δk (z) dz dt +
0
Z
tk−1
T
+
c(t) · e−
Rt
0
f (z)+δk (z) dz
dt
tk
Como δk (t) es constante en el tramo [tk−1 , tk ], y vale 0 fuera de este tramo, obtenemos:
Z
B0δk
=
tk−1
c(t) · e
−
Rt
0
Z
f (z) dz
dt +
T
+
=
c(t) · e(−
tk
Z tk−1
c(t) · e
Rt
0
−
f (z) dz−δk ·(tk −tk−1 ))
Rt
0
Z
f (z) dz
0
Z
c(t) · e(−
Rt
0
f (z) dz−δk ·(t−tk−1 ))
dt +
tk−1
0
Z
tk
dt +
tk
dt =
c(t) · e−
tk−1
T
+
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
· e−δk ·(tk −tk−1 ) dt
tk
36
Rt
0
f (z)
dz · e−δk ·(t−tk−1 ) dt +
Apéndice D. Proposición 3.1
37
Usando la aproximación lineal de la función exponencial
½ −δ ·(t−t )
k−1 = 1 + (−δ · (t − t
e k
k
k−1 ))
x
e =1+x ⇒
−δ
·(t
−t
k
k
k−1 ) = 1 + (−δ · (t − t
e
k
k
k−1 ))
obtenemos
Z
δk
B0 =
tk−1
c(t) · e
Rt
−
0
Z
f (z) dz
dt +
0
Z
T
c(t) · e−
tk
Z tk−1
Rt
0
c(t) · e
f (z) dz
Z
tk
Rt
−
c(t) · e−
c(t) · e−
−
0
Z
f (z) dz
Rt
0
Rt
0
f (z) dz
f (z) dz
dt +
0
+
tk
tk
tk−1
c(t) · e−
tk−1
Z tk
c(t) · e
tk−1
Z T
=
c(t) · e−
Rt
−
c(t) · e
0
−
Z
− δ k · tk
T
Rt
0
Rt
Rt
0
0
f (z) dz
f (z) dz
· δk · t dt −
c(t) · e−
Rt
0
Z
T
dt −
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
c(t) · e
Z
dt − δk
f (z) dz
tk
0
T
dt +
c(t) · e−
T
tk
c(t) · e−
Z
T
Rt
0
f (z) dz
Z
k
Dttk−1
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
tk
Rt
c(t) · e−
tk−1
tk
=
T
f (z) dz
0
Z
f (z) dz
T
· δk · tk−1 dt =
· t dt −
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
dt
tk−1
c(t) · t · e−
Rt
0
f (z) dz
dt
tk−1
Z
Btk =
0
· δk · tk dt +
0
y definiendo
Rt
tk
dt + δk · tk−1
tk
Z
f (z) dz
Teniendo en cuenta la expresión del precio de un bono
Z T
Rt
B0 =
c(t) · e− 0 f (z) dz dt
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
dt,
tk
obtenemos:
B0δk
dt −
tk
Rt
−
· δk · tk−1 dt +
Z
f (z) dz
f (z) dz
0
· δk · (t − tk−1 ) dt +
Agrupando términos,
Z tk−1
Z
R
δk
− 0t f (z) dz
B0 =
dt +
c(t) · e
tk
dz · [1 − δk · (t − tk−1 )] dt +
· δk · (tk − tk−1 ) dt
tk
Z
f (z)
0
tk−1
tk−1
Z T
−
Rt
· [1 − δk · (tk − tk−1 )] dt =
0
−
c(t) · e−
tk−1
+
=
tk
k
= B0 − δk · Dttk−1
+ δk · tk−1 · Btk−1 − δk · tk · Btk =
h
i
k
= B0 + δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dttk−1
dt −
Apéndice D. Proposición 3.1
38
Si notamos la variación del valor actual del bono debida a un cambio δk (t) en la curva
forward como ∆B0δk , tenemos:
h
i
k
∆B0δk = B0δk − B0 = δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dttk−1
.
¤
E
Apéndice
Proposición 3.2
Si la curva forward sufre un desplazamiento δ(t) de la forma dada en la ecuación
3.1, entonces la variación de orden lineal en δk sufrida por el precio del bono viene
dada por
∆B0δ
=
B0δ
− B0 =
K−1
X
tk · Btk · (δk+1 − δk ) −
K
X
k
,
δk · Dttk−1
k=1
k=1
donde B0δ es el valor actual del bono cuando la curva forward ha sufrido una variación
δ(t).
Demostración. Sea B0δ el valor actual del bono cuando la curva forward ha sufrido
una variación δ(t):
Z
B0δ =
T
c(t) · e−
Rt
0
f (z)+δ(z) dz
dt =
0
Z
t1
=
c(t) · e
0
Z
+
Z
tK
c(t) · e−
t1
Z
+
tK
−
Rt
Rt
0
f (z)+δ(z) dz
Rt
0
f (z)+δ(z) dz
dt + · · · +
dt =
0
Z
f (z) dz−δ1 ·t
c(t) · e−
t1
Z
c(t) · e−
t2
c(t) · e−
dt +
Rt
0
f (z) dz−(δ1 ·t1 +δ2 ·(t−t1 )
dt + · · · +
t1
c(t) · e
+
t2
dt +
Rt
0
f (z) dz−(δ1 ·t1 +δ2 ·(t2 −t1 )+···+δK−1 ·(tK−1 −tK−2 )+δK ·(t−tK−1 ))
tK−1
=
0
0
Z
f (z)+δ(z) dz
t1
c(t) · e
Z
Rt
tK−1
=
0
−
−
Rt
0
Z
f (z) dz
·e
−δ1 ·t
t2
dt +
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
dt =
· e−[δ1 ·t1 +δ2 ·(t−t1 )] dt + · · · +
t1
tK
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
· e−[δ1 ·t1 +δ2 ·(t2 −t1 )+···+δK−1 ·(tK−1 −tK−2 )+δK ·(t−tK−1 )] dt
tK−1
Utilizando como antes la aproximación lineal de la exponencial, obtenemos:
Z t1
Rt
B0δ =
c(t) · e− 0 f (z) dz · e−δ1 ·t dt +
0
39
Apéndice E. Proposición 3.2
Z
t2
+
Z
+
Z
t1
Z
c(t) · e−
t2
Rt
0
Rt
0
f (z) dz
f (z) dz
f (z) dz
0
Rt
c(t) · e−
+
+
c(t) · e−
Rt
· e−[δ1 ·t1 +δ2 ·(t−t1 )] dt + · · · +
· e−[δ1 ·t1 +δ2 ·(t2 −t1 )+···+δK−1 ·(tK−1 −tK−2 )+δK ·(t−tK−1 )] dt =
tK−1
=
0
t1
tK
c(t) · e−
40
t1
Z tK
0
c(t) · e−
· (1 − δ1 · t) dt +
f (z) dz
Rt
0
· [1 − (δ1 · t1 + δ2 · (t − t1 ))] dt + · · · +
f (z) dz
tK−1
· [1 − (δ1 · t1 + δ2 · (t2 − t1 ) + · · · +
+ δK−1 · (tK−1 − tK−2 ) + δK · (t − tK−1 ))] dt
De forma más compacta,
(
Ã
" k
#!)
K−1
R
X Z tk+1
X
δ
− 0t f (z) dz
B0 =
c(t) · e
· 1−
(δi · (ti − ti−1 )) + δk+1 · (t − tk )
tk
k=0
i=1
Agrupando términos, obtenemos
Z
Z T
R
δ
− 0t f (z) dz
dt − δ1 · t1 ·
B0 =
c(t) · e
0
Z
+ δ 2 · t1 ·
T
t1
Z
+ δK · tK−1 ·
− δ 3 · t3 ·
Z
− δ1 ·
Rt
0
f (z) dz
c(t) · e
−
Rt
tK−1
T
−
Rt
0
f (z) dz
t3
c(t) · t · e−
Rt
0
tK
c(t) · t · e−
Z
dt + δ3 · t2 ·
f (z) dz
0
Rt
0
Rt
T
0
f (z) dz
dt +
c(t) · e−
t2
Z
dt − δ2 · t2 ·
T
Rt
dt − δ2 ·
f (z) dz
t2
0
f (z) dz
c(t) · e−
t2
Z
dt − · · · − δK−1 · tK−1 ·
Z
f (z) dz
0
Z
− δK ·
−
T
c(t) · e
t1
c(t) · e−
t1
c(t) · e
Z
T
c(t) · t · e−
T
Rt
0
dt + · · · +
f (z) dz
c(t) · e−
dt −
Rt
0
f (z) dz
tK−1
Rt
0
f (z) dz
dt − · · · −
t1
dt
tK−1
Empleando las notaciones anteriormente introducidas,
Z tk
Rt
tk
c(t) · t · e− 0 f (z) dz dt
Dtk−1 =
tk−1
Z
Btk =
T
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
dt,
tk
llegamos a
B0δ = B0 − δ1 · t1 · Bt1 + δ2 · t1 · Bt1 + δ3 · t2 · Bt2 + · · · + δK · tK−1 · BtK−1 −
− δ2 · t2 · Bt2 − δ3 · t3 · Bt3 − · · · − δK−1 · tK−1 · BtK−1 −
K
− δ1 · D0t1 − δ2 · Dtt12 − · · · − δK · DttK−1
=
dt −
Apéndice E. Proposición 3.2
= B0 +
= B0 +
K−1
X
k=1
K−1
X
41
δk+1 · tk · Btk −
K−1
X
δk · tk · Btk −
k=1
tk · Btk · (δk+1 − δk ) −
k=1
K
X
k
δk · Dttk−1
=
k=1
K
X
k
δk · Dttk−1
.
k=1
Entonces la variación del valor actual del bono debida al cambio δ(t) en la curva
forward viene dado por:
∆B0δ = B0δ − B0 =
K−1
X
k=1
tk · Btk · (δk+1 − δk ) −
K
X
k
δk · Dttk−1
.
k=1
¤
Apéndice
F
Proposición 3.4
La variación de orden lineal del precio del forward F (tF ) a causa de un desplazamiento δk en el tramo [tk−1 , tk ] de la curva forward, ∆F δk (tF ), viene dada por











=
∆F δk (tF ) = F δk (tF ) − F (tF ) =
´ R tF
³
k
·e 0
δk · tk · (B0 − Btk ) − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dttk−1
³
δk · tF · B0 − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) −
k
Dttk−1



´ R tF
³


tk

0
−
D
−
t
·
B
δ
·
t
·
B

tk
tk−1
k
k
k−1
tk−1 · e



f (z) dz ,
´ si R ttFk−1 < tk ≤ tF
− tk · Btk · e 0 f (z) dz ,
si tk−1 ≤ tF ≤ tk
f (z) dz ,
si tF ≤ tk−1 < tk
Demostración. Supongamos que la curva forward sufre una variación δk en el tramo
[tk−1 , tk ]. Sea F δk (tF ) el precio del forward calculado con la nueva curva forward. Para
conocer su valor, es necesario distinguir tres casos, según si el intervalo [tk−1 , tk ] es
anterior, incluye o es posterior a la fecha forward tF .
Si el intervalo [tk−1 , tk ] es anterior a tF (es decir, tk ≤ tF ),
δk (t) 6
δk
-
tk−1
0
tk
tF
t
T
entonces
R tF
F δk (tF ) = B0δk · e 0 f (z)+δk (z) dz − CC(0, tF ) =
Z T
Rt
R tF
=
c(t) · e− 0 f (z)+δk (z) dz dt · e 0 f (z)+δk (z) dz − CC(0, tF ) =
Ã0Z
Z
tk−1
=
c(t) · e−
Rt
0
f (z)+δk (z) dz
dt +
tk
tk−1
0
42
c(t) · e−
Rt
0
f (z)+δk (z) dz
dt+
Apéndice F. Proposición 3.4
Z
43
T
c(t) · e
+
Rt
−
0
¶
f (z)+δk (z) dz
dt · e
R tF
0
f (z)+δk (z) dz
tk
Empleando la definición de δk (t),
ÃZ
tk−1
δk
F (tF ) =
−
c(t) · e
Rt
0
Z
f (z) dz
dt +
0
Z
tk
tk−1
T
+
−
c(t) · e
Rt
0
f (z) dz−δk ·(tk −tk−1 )
c(t) · e−
¶
dt · e
Rt
f (z) dz−δk ·(t−tk−1 )
dt+
f (z) dz+δk ·(tk −tk−1 )
−
0
R tF
0
− CC(0, tF )
tk
− CC(0, tF ) =
ÃZ
Z
tk−1
R
− 0t f (z) dz
=
c(t) · e
dt +
0
Z
tk
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
· e−δk ·(t−tk−1 ) dt +
tk−1
T
+
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
¶ R
tF
· e−δk ·(tk −tk−1 ) dt · e 0
f (z) dz
· eδk ·(tk −tk−1 ) −
tk
− CC(0, tF )
Utilizando la aproximación lineal de la exponencial,
µZ tk−1
Rt
δk
F (tF ) =
c(t) · e− 0 f (z) dz dt +
0
Z tk
Rt
+
c(t) · e− 0 f (z) dz · [1 − δk · (t − tk−1 )] dt +
tk−1
T
Z
−
c(t) · e
+
Rt
0
f (z) dz
tk
¶ R
tF
· [1 − δk · (tk − tk−1 )] dt · e 0
f (z) dz
·
· [1 + δk · (tk − tk−1 )] − CC(0, tF ) =
µZ tk−1
Rt
=
c(t) · e− 0 f (z) dz · [1 + δk · (tk − tk−1 )] dt +
0
Z tk
Rt
+
c(t) · e− 0 f (z) dz · [1 − δk · (t − tk−1 )] · [1 + δk · (tk − tk−1 )] dt
tk−1
Z T
+
−
c(t) · e
tk
R tF
Rt
0
f (z) dz
¶
· [1 − δk · (tk − tk−1 )] · [1 + δk · (tk − tk−1 )] dt ·
· e 0 f (z) dz − CC(0, tF ) =
µZ tk−1
Rt
c(t) · e− 0 f (z) dz · [1 + δk · (tk − tk−1 )] dt +
=
0
Z tk
Rt
c(t) · e− 0 f (z) dz · [1 + δk · (tk − tk−1 ) − δk · (t − tk−1 )−
+
−
tk−1
δk2 ·
Z T
¤
(t − tk−1 ) · (tk − tk−1 ) dt +
¶
R
£
¤
− 0t f (z) dz
2
2
c(t) · e
· 1 − δk · (tk − tk−1 ) dt ·
+
tk
R tF
· e
0
f (z) dz
+
− CC(0, tF )
Puesto que tomamos variaciones δk infinitesimales y consideramos sólo la apro-
Apéndice F. Proposición 3.4
44
ximación lineal, podemos despreciar los términos que contienen δk2 :
µZ tk−1
Rt
δk
F (tF ) =
c(t) · e− 0 f (z) dz · [1 + δk · (tk − tk−1 )] dt +
0
Z tk
Rt
+
c(t) · e− 0 f (z) dz · [1 + δk · (tk − tk−1 ) − δk · (t − tk−1 )] dt +
tk−1
T
Z
+
c(t) · e
µZ
=
−
tk
tk−1
Rt
0
c(t) · e−
¶
f (z) dz
Rt
0
0
dt · e
f (z) dz
Z
R tF
0
f (z) dz
− CC(0, tF ) =
dt +
tk−1
Rt
+ δk · (tk − tk−1 )
c(t) · e− 0 f (z) dz dt +
0
Z tk
Z tk
Rt
Rt
− 0 f (z) dz
+
c(t) · e
dt + δk · tk ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt−
tk−1
Z
− δk ·
· e
R tF
0
tk
c(t) · t · e
−
Rt
0
Z
f (z) dz
tk−1
T
dt +
tk−1
c(t) · e
−
Rt
0
!
f (z) dz
dt
·
tk
f (z) dz
− CC(0, tF )
Agrupando términos,
µZ T
Z tk
Rt
Rt
δk
F (tF ) =
c(t) · e− 0 f (z) dz dt + δk · tk ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt−
0
0
Z tk−1
Rt
− δk · tk−1 ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt−
0
!
Z
− δk ·
· e
R tF
0
tk
c(t) · t · e−
Rt
0
f (z) dz
dt
·
tk−1
f (z) dz
− CC(0, tF )
Recordando la definición de B0 y retomando las notaciones
Z T
Rt
Btk =
c(t) · e− 0 f (z) dz dt
Z
k
=
Dttk−1
obtenemos
F δk (tF ) =
tk
tk
c(t) · t · e−
Rt
0
f (z) dz
dt
tk−1
³
´
k
B0 + δk · tk · (B0 − Btk ) − δk · tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − δk · Dttk−1
·
R tF
· e 0 f (z) dz − CC(0, tF ) =
h
³
´i
k
= B0 + δk · tk · (B0 − Btk ) − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dttk−1
·
· e
R tF
0
f (z) dz
R tF
− CC(0, tF ) =
0 f (z) dz − CC(0, t ) +
F
³
´ R tF
k
+ δk · tk · (B0 − Btk ) − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dttk−1
· e 0 f (z) dz =
³
´ R tF
k
= F (tF ) + δk · tk · (B0 − Btk ) − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dttk−1
· e 0 f (z) dz
= B0 · e
Apéndice F. Proposición 3.4
45
Si el intervalo [tk−1 , tk ] incluye tF (es decir, tk−1 ≤ tF ≤ tk ),
δk (t) 6
δk
-
tk−1 tF tk
0
t
T
entonces
R tF
F δk (tF ) = B0δk · e 0 f (z)+δk (z) dz − CC(0, tF ) =
Z T
Rt
R tF
=
c(t) · e− 0 f (z)+δk (z) dz dt · e 0 f (z)+δk (z) dz − CC(0, tF ) =
Ã0Z
Z
tk−1
=
Rt
c(t) · e−
0
f (z)+δk (z) dz
0
Z
T
c(t) · e
+
Rt
−
0
tk
dt +
Rt
dt · e
R tF
0
f (z)+δk (z) dz
tk
Empleando la definición de δk (t),
ÃZ
tk−1
δk
F (tF ) =
−
c(t) · e
Rt
0
Z
f (z) dz
dt +
tk−1
0
Z
tk
T
−
c(t) · e
+
Rt
0
f (z) dz−δk ·(tk −tk−1 )
0
f (z)+δk (z) dz
dt+
tk−1
¶
f (z)+δk (z) dz
c(t) · e−
c(t) · e−
¶
dt · e
Rt
0
R tF
0
− CC(0, tF )
f (z) dz−δk ·(t−tk−1 )
dt+
f (z) dz+δk ·(tF −tk−1 )
−
tk
− CC(0, tF ) =
ÃZ
Z
tk−1
R
− 0t f (z) dz
=
c(t) · e
dt +
0
Z
tk
c(t) · e−
tk−1
T
+
−
c(t) · e
Rt
0
f (z) dz
·e
−δk ·(tk −tk−1 )
Rt
0
f (z) dz
¶ R
tF
dt · e 0
· e−δk ·(t−tk−1 ) dt +
f (z) dz
· eδk ·(tF −tk−1 ) −
tk
− CC(0, tF )
Utilizando la aproximación lineal de la exponencial,
µZ tk−1
Rt
δk
c(t) · e− 0 f (z) dz dt +
F (tF ) =
0
Z tk
Rt
c(t) · e− 0 f (z) dz · [1 − δk · (t − tk−1 )] dt +
+
tk−1
T
Z
+
−
c(t) · e
tk
·
Rt
0
f (z) dz
¶ R
tF
· [1 − δk · (tk − tk−1 )] dt · e 0
[1 + δk · (tF − tk−1 )] − CC(0, tF ) =
µZ tk−1
Rt
c(t) · e− 0 f (z) dz · [1 + δk · (tF − tk−1 )] dt +
=
0
f (z) dz
·
Apéndice F. Proposición 3.4
Z
+
tk
46
c(t) · e−
tk−1
Z T
c(t) · e−
+
·
tk
R tF
e0
µZ
tk−1
=
Z
+
−
f (z) dz
0
tk
0
f (z) dz
f (z) dz
· [1 − δk · (t − tk−1 )] · [1 + δk · (tF − tk−1 )] dt +
¶
· [1 − δk · (tk − tk−1 )] · [1 + δk · (tF − tk−1 )] dt ·
− CC(0, tF ) =
c(t) · e−
Rt
0
Rt
0
f (z) dz
f (z) dz
· [1 + δk · (tF − tk−1 )] dt +
· [1 + δk · (tF − tk−1 ) − δk · (t − tk−1 ) −
¤
(t − tk−1 ) · (tF − tk−1 ) dt +
c(t) · e−
+
0
Rt
c(t) · e−
tk−1
δk2 ·
Z T
Rt
Rt
0
f (z) dz
tk
· [1 + δk · (tF − tk−1 ) − δk · (tk − tk−1 ) −
¤ ¢ R tF
δk2 · (tk − tk−1 ) · (tF − tk−1 ) dt · e 0
−
f (z) dz
− CC(0, tF )
Puesto que tomamos variaciones δk infinitesimales y consideramos sólo la aproximación lineal, podemos despreciar los términos que contienen δk2 :
µZ
tk−1
δk
F (tF ) =
Z
+
0
tk
c(t) · e−
c(t) · e−
tk−1
Z T
−
c(t) · e
+
tk
Rt
Rt
0
0
Rt
0
f (z) dz
f (z) dz
· [1 + δk · (tF − tk−1 )] dt +
· [1 + δk · (tF − tk−1 ) − δk · (t − tk−1 )] dt +
¶
f (z) dz
· [1 + δk · (tF − tk−1 ) − δk · (tk − tk−1 )] dt ·
R tF
e 0 f (z) dz − CC(0, tF ) =
µZ tk−1
Rt
=
c(t) · e− 0 f (z) dz dt +
0
Z tk−1
Rt
+ δk · (tF − tk−1 )
c(t) · e− 0 f (z) dz dt +
0
Z tk
Z tk
Rt
Rt
− 0 f (z) dz
c(t) · e
dt + δk · tF ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt−
+
·
tk−1
Z
−
δk ·
+
·
tk
c(t) · t · e−
tk−1
δ k · tF ·
e
R tF
0
f (z) dz
Z
Rt
0
Z
f (z) dz
tk−1
T
c(t) · e−
dt +
tk
T
c(t) · e
−
Rt
tk
0
f (z) dz
dt − δk · tk ·
Z
Rt
0
f (z) dz
dt+
T
c(t) · e
−
Rt
0
¶
f (z) dz
tk
− CC(0, tF )
Agrupando términos,
µZ T
Z T
R
Rt
δk
− 0t f (z) dz
F (tF ) =
c(t) · e
dt + δk · tF ·
c(t) · e− 0 f (z) dz dt−
0
0
Z tk−1
Rt
c(t) · e− 0 f (z) dz dt −
− δk · tk−1 ·
0
dt ·
Apéndice F. Proposición 3.4
47
Z
−
δk ·
tk
c(t) · t · e−
0
f (z) dz
tk−1
Z
−
Rt
δk · tk ·
T
c(t) · e−
Rt
0
f (z) dz
dt −
¶
dt ·
e
R tF
0
f (z) dz
tk
− CC(0, tF )
Recordando la definición de B0 y retomando las notaciones
Z T
Rt
Btk =
c(t) · e− 0 f (z) dz dt
tk
Z
k
Dttk−1
=
tk
c(t) · t · e−
Rt
0
f (z) dz
dt
tk−1
obtenemos
³
k
B0 + δk · tF · B0 − δk · tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − δk · Dttk−1
−
F δk (tF ) =
R tF
− δk · tk · Btk ) · e 0 f (z) dz − CC(0, tF ) =
h
³
´i
k
= B0 + δk · tF · B0 − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dttk−1
− tk · Btk ·
· e
R tF
0
f (z) dz
R tF
− CC(0, tF ) =
f (z) dz
− CC(0, tF ) +
³
k
−
+ δk · tF · B0 − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dttk−1
= B0 · e
0
R tF
− tk · Btk ) · e 0 f (z) dz =
³
k
−
= F (tF ) + δk · tF · B0 − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dttk−1
− tk · Btk ) · e
R tF
0
f (z) dz
Si el intervalo [tk−1 , tk ] es posterior a tF (es decir, tF ≤ tk−1 ),
δk (t) 6
δk
-
0
tF
tk−1
tk
T
t
entonces de forma análoga a los casos anteriores se demuestra que el valor del
forward viene dado por
h
i R tF
k
F δk (tF ) = F (tF ) + δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dttk−1
· e 0 f (z) dz
Por tanto, hemos visto que el valor del forward cuando varı́a el tramo k-ésimo de
la curva forward viene dado por
Apéndice F. Proposición 3.4
48
³
´ R tF

tk

0 f (z) dz ,
F
(t
)
+
δ
·
t
·
(B
−
B
)
−
t
·
(B
−
B
)
−
D

0
t
0
t
F
k
k
k−1
tk−1 · e
k
k−1




si tk−1


³
´ < RtktF ≤ tF


tk
F (tF ) + δk · tF · B0 − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dtk−1 − tk · Btk · e 0 f (z) dz ,
F δk (tF ) =

si tk−1 ≤ tF ≤ tk


³
´ R tF


t
f
(z)
dz ,
k
 F (tF ) + δk · tk−1 · Bt
− tk · Btk − Dtk−1 · e 0

k−1



si tF ≤ tk−1 < tk
y por consiguiente, la variación de su valor es











=
∆F δk (tF ) = F δk (tF ) − F (tF ) =
³
´ R tF
k
δk · tk · (B0 − Btk ) − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) − Dttk−1
·e 0
³
δk · tF · B0 − tk−1 · (B0 − Btk−1 ) −
k
Dttk−1



³
´ R tF


tk

δk · tk−1 · Btk−1 − tk · Btk − Dtk−1 · e 0




f (z) dz ,
´ si R ttFk−1 < tk ≤ tF
− tk · Btk · e 0 f (z) dz ,
si tk−1 ≤ tF ≤ tk
f (z) dz ,
si tF ≤ tk−1 < tk
¤
Apéndice
G
Proposición 3.5
La variación de orden lineal del precio del forward F (tF ) a causa de un desplazamiento δ en la curva forward, ∆F δ (tF ), viene dada por
"K−1
K
K−1
X
X
X
δ
k
+
δk · Dttk−1
δk · tk · Btk −
δk+1 · tk · Btk −
∆F (tF ) =
+
k=1
k=1
k=1
B0 ·
s−1
X
#
δk · (tk − tk−1 ) + B0 · δs · (tF − ts−1 ) · e
R tF
0
f (z) dz
.
k=1
Demostración. Supongamos que la fecha forward está contenida en el tramo [ts−1 , ts ]:
δ(t) 6
δ1
t1
0
δ3 δ
4 · · · δ · · · δK−1
s
δK
δ2
t2
t3
· · · ts−1 tF ts · · · tK−1 T
-
t
Sea F δ (tF ) el valor actual del bono cuando la curva forward ha sufrido una variación
δ(t):
R tF
F δ (tF ) = B0δ · e
0
f (z)+δ(z) dz
− CC(0, tF )
Empleando el desarrollo que hemos encontrado para B0δ en la proposición 3.2, tenemos:
"
F δ (tF ) =
B0 +
· e
"
=
R tF
0
B0 +
· e
K−1
X
δk+1 · tk · Btk −
k=1
δk · tk · Btk −
k=1
f (z)+δ(z) dz
K−1
X
K−1
X
K
X
#
k
·
δk · Dttk−1
k=1
− CC(0, tF ) =
δk+1 · tk · Btk −
K−1
X
δk · tk · Btk −
K
X
k=1
k=1
k=1
³R
´
tF
f
(z)
dz+δ
·t
+δ
·(t
−t
)+···+δ
·(t
−t
)
s
1 1
2
2
1
s−1
F
0
#
δk ·
k
Dttk−1
− CC(0, tF ) =
49
·
Apéndice G. Proposición 3.5
"
=
B0 +
· e
R tF
0
50
K−1
X
δk+1 · tk · Btk −
k=1
K−1
X
δk · tk · Btk −
k=1
f (z) dz
K
X
#
k
δk · Dttk−1
·
k=1
· e(δ1 ·t1 +δ2 ·(t2 −t1 )+···+δs ·(tF −ts−1 )) − CC(0, tF )
Empleando la aproximación lineal de la exponencial, tenemos:
"
#
K−1
K−1
K
X
X
X
tk
δ
F (tF ) = B0 +
δk+1 · tk · Btk −
δk · tk · Btk −
δk · Dtk−1 ·
· e
R tF
0
k=1
k=1
f (z) dz
k=1
· (1 + δ1 · t1 + δ2 · (t2 − t1 ) + · · · + δs · (tF − ts−1 )) −
− CC(0, tF )
Puesto que sólo consideramos la aproximación de orden lineal, podemos despreciar los
términos de orden mayor en δk :
"
K−1
K−1
K
X
X
X
δ
k
F (tF ) = B0 +
δk+1 · tk · Btk −
δk · tk · Btk −
δk · Dttk−1
+
k=1
s−1
X
+ B0 ·
· e
R tF
0
k=1
k=1
#
δk · (tk − tk−1 ) + B0 · δs · (tF − ts−1 ) ·
k=1
f (z) dz
R tF
− CC(0, tF ) =
= B0 · e 0 f (z) dz − CC(0, tF ) +
"K−1
K
K−1
X
X
X
k
+
δk · Dttk−1
δk · tk · Btk −
δk+1 · tk · Btk −
+
+ B0 ·
= F (tF ) +
+ B0 ·
k=1
k=1
k=1
s−1
X
#
δk · (tk − tk−1 ) + B0 · δs · (tF − ts−1 ) · e
k=1
"K−1
X
δk+1 · tk · Btk −
k=1
s−1
X
K−1
X
δk · tk · Btk −
K
X
R tF
0
f (z) dz
=
k
δk · Dttk−1
+
k=1
k=1
#
δk · (tk − tk−1 ) + B0 · δs · (tF − ts−1 ) · e
R tF
0
f (z) dz
k=1
Entonces la variación del valor del forward sobre un bono debida al cambio δ(t) en
la curva forward viene dado por:
∆F δ (tF ) = F δ (tF ) − F (tF ) =
"K−1
K−1
K
X
X
X
k
=
δk+1 · tk · Btk −
δk · tk · Btk −
δk · Dttk−1
+
k=1
+ B0 ·
k=1
s−1
X
k=1
#
δk · (tk − tk−1 ) + B0 · δs · (tF − ts−1 ) · e
R tF
0
f (z) dz
.
k=1
¤
Apéndice
H
Proposición 4.1
Sea B un bono que paga cupones cr en Tr . Sea δ una variación en toda la curva
forward y δk , una variación en el tramo [tk−1 , tk ]
i. La variación de orden lineal de un cupón cr debida a un cambio δk (t) de f (t) en
el tramo [tk−1 , tk ] viene dada por:

 cr,0 · δk · (tk − tk−1 ) si tk−1 < tk ≤ Tr
k
k
cr,0 · δk · (Tr − tk−1 ) si tk−1 ≤ Tr ≤ tk
∆cδr,0
= cδr,0
− cr,0 =

0
si Tr ≤ tk−1 < tk
ii. La variación de orden lineal de un cupón cr debida a un cambio en todos los
tramos de la curva es la suma de las variaciones de orden lineal de cr por el
cambio en cada tramo:
K
X
k
∆cδr,0
.
∆cδr,0 =
k=1
iii. La variación total de orden lineal de un bono B debida a una variación en la
curva forward viene dada por la suma de las variaciones totales de orden lineal
de cada cupón:
n
X
∆B0δ =
∆cδr,0 .
r=1
Demostración.
k
i. Sea cδr,0
el valor actualizado del cupón r-ésimo después de un desplazamiento
k
δk (t) en la curva forward. Para calcular el valor de cδr,0
, debemos distinguir tres
casos, según el tramo donde varı́a la curva forward [tk−1 , tk ] sea anterior, incluya
o sea posterior al momento Tr de pago del cupón cr .
Si el intervalo [tk−1 , tk ] es anterior a Tr (es decir, tk ≤ Tr ),
51
Apéndice H. Proposición 4.1
52
δk (t) 6
δk
-
tk−1
0
tk
Tr
t
T
entonces
Z
k
cδr,0
T
=
c(t) · e−
Rt
0
f (z)+δk (z) dz
dt =
0
Z
=
0
T
c · δD (t − Tr ) · e−
Rt
0
f (z)+δk (z) dz
dt
Por la propiedad 4.1 de la delta de Dirac, tenemos:
k
cδr,0
= c · e−
= c · e−
= c·e
−
R Tr
0
R Tr
f (z)+δk (z) dz
=
0
f (z) dz+δk ·(tk −tk−1 )
0
f (z) dz
R Tr
·e
=
δk ·(tk −tk−1 )
Utilizando la aproximación lineal de la exponencial, obtenemos:
k
cδr,0
= c · e−
R Tr
0
f (z) dz
· (1 − δk · (tk − tk−1 ))
Teniendo en cuenta que el valor actual cr,0 del cupón r-ésimo viene dado
por
R Tr
cr,0 = c · e− 0 f (z) dz ,
la fórmula queda como
k
cδr,0
= cr,0 · (1 − δk · (tk − tk−1 ))
Si el intervalo [tk−1 , tk ] incluye Tr (es decir, tk−1 ≤ Tr ≤ tk ),
δk (t) 6
δk
-
tk−1 Tr tk
0
T
entonces
Z
k
cδr,0
=
0
T
c(t) · e−
Rt
0
f (z)+δk (z) dz
dt =
t
Apéndice H. Proposición 4.1
53
Z
T
c · δD (t − Tr ) · e−
=
0
= c · e−
R Tr
f (z)+δk (z) dz
f (z)+δk (z) dz
0
f (z) dz+δk ·(Tr −tk−1 )
0
f (z) dz
−
−
R Tr
= c·e
0
0
R Tr
= c·e
Rt
·e
dt =
=
=
δk ·(Tr −tk−1 )
=
= cr,0 · (1 − δk · (Tr − tk−1 ))
Si el intervalo [tk−1 , tk ] es posterior a Tr (es decir, tk−1 ≥ Tr ),
δk (t) 6
δk
-
0
tk−1
Tr
entonces
Z
k
cδr,0
T
c(t) · e−
=
tk
Rt
0
T
f (z)+δk (z) dz
t
dt =
0
Z
T
c · δD (t − Tr ) · e−
=
0
R Tr
0
f (z)+δk (z) dz
−
R Tr
0
f (z) dz
R Tr
=
−
0
f (z) dz
=
= c · e−
= c·e
= c·e
Rt
0
f (z)+δk (z) dz
dt =
=
= cr,0
Por tanto, la expresión de la variación de un cupón
de f (t) viene dada por:

 cr,0 · δk · (tk − tk−1 )
k
k
cr,0 · δk · (Tr − tk−1 )
∆cδr,0
= cδr,0
− cr,0 =

0
cr debida a un cambio δk (t)
si tk−1 < tk ≤ Tr
si tk−1 ≤ Tr ≤ tk
si Tr ≤ tk−1 < tk
ii. Por las proposiciones 3.3 y 3.6 sabemos que la variación de orden lineal en toda
la curva es la suma del cambio producido por la variación de cada tramo de la
curva:
K
X
k
∆cδr,0 =
∆cδr,0
.
k=1
iii. Puesto que estamos considerando las variaciones de orden lineal, aplicando los
lemas 4.1 y 4.2 se deduce trivialmente que la variación total del bono es la suma
de las variaciones sufridas por cada cupón:
∆B0δ =
n
X
∆cδr,0 .
r=1
¤
Bibliografı́a
Grandville, O. Bond Pricing and Portfolio Analysis. Protecting Investors in the
Long Run. The MIT Press. Cambridge, 2001.
Plona, C. The European Bond Basis. An In-Depth Analysis for Hedgers, Speculators
and Arbitrageurs. Ed. Irwing. Chicago, 1997.
54