Hoja 9. - Departamento de Matemática Aplicada ETS de Arquitectura

Dpto. Matemática Aplicada. E.T.S. Arquitectura. U.P.M.
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CÁLCULO
Hoja 9. Integrales dobles.
1. Evaluar cada una de las siguientes integrales siendo R = [0, 1] × [0, 1]:
ZZ
ZZ
a)
(x3 + y 2 )dxdy
d)
(x2 + y)dxdy (:= 65 )
ZZ R
ZZ R
xy
b)
ye dxdy
f)
xy dxdy (:= log 2)
ZZ R
ZZ R
c)
(xy)2 cos x3 dxdy
g)
y(x3 − 12x)dxdy, con R = [−2, 1] × [0, 1]
R
(:=
R
2. En las siguientes integrales, cambiar el orden
spondientes y obtener el valor de la integral:
Z 1Z 1
1
a)
xydydx (:= )
8
Z0 π/2xZ cos θ
1
b)
cos θdrdθ (:= π)
4
0
Z 01 Z 2−y
17
(x + y)2 dxdy (:= )
c)
12
1
0
57
8 )
de integración, esbozar las regiones correZ
1
Z
1
2
(:= )
3
1
1
(:= e − )
3
3
(x + y)2 dxdy
d)
Z −1
1Z
f)
|y|
1
√
Z0 2 Z
x
log y
g)
1
3
ey dydx
e−x dxdy
(:= 1 − log 2)
0
3. Hallar el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 y y − x + z = 1.
(Solución: 16 ).
ZZ
4. Calcular
(x2 − y)dxdy siendo D la región comprendida entre las gráficas de las curvas
D
y = x2 , y = −x2 y las rectas x = −1 y x = 1. (Solución:
ZZ
5. Hallar
xydxdy siendo D
4
5 ).
D
a) el cuadrado de vértices (−1, 0), (0, −1), (1, 0) y (0, 1);
b) el trapecio de vértices (−1, 0), (0, 0), (1, 1) y (−1, 1);
c) (x, y) ∈ R2 : 0≤x≤3, y≥0, 4x2 + 9y 2 ≤36 ∪ (x, y) ∈ R2 : −2≤x≤0, y≥0, x + 2 − y≥0 .
Solución: 23
6 .
6. Se considera la función f (x, y) = xy definida sobre el conjunto
D = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ y ≤ ex ,
x ≤ 1,
x ≥ 1 − y2}
Se pide:
(a) Representar gráficamente el conjunto D.
(b) Expresar mediante una integral iterada la integral doble
el orden de integración.
RR
(c) Calcular
D f (x, y)dxdy.
(Sol.:
1 2
8e
+
ZZ
7. Hallar
RR
D
f (x, y)dxdy y cambiar
1
24 )
xydxdy siendo D la región del primer cuadrante encerrada entre las parábolas
D
y = x2 e y = x4 . (Solución:
1
15 ).
1
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Z
Z
4
8. Hallar
2
dy
√
x
1
(x + √
y2) 2
gración. (Sol.: −4 + 4 2).
0
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!
dx. (Indicación: se recomienda cambiar el orden de inte-
9. Dada la función f : R2 → R definida por f (x, y) = e(x −y )−(x+y) (x + y) y el recinto
D = {(x, y) ∈ R2 |x ≥ 0, y ≥ 0, 1 ≤ x2 − y 2 ≤ 4, 2 ≤ x + y ≤ 3}.
2
2
(a) Plantear en coordenadas cartesianas,
R R con sus lı́mites de integración correspondientes
y en el orden indicado la integral
D f (x, y)dydx.
R R (x2 −y2 )−(x+y)
(b) Hallar
(x + y)dxdy tomando para ello el cambio de variable:
De
2
2
u = x − y , v = x + y.
(Sol.: 12 −e − e−1 + e2 + e−2 )
ZZ
10. Calcúlese
e(y−x)/(y+x) dxdy donde D = (x, y) ∈ R2 : 0≤x, 0≤y, x + y≤2 . Tómese
D
para ello el cambio de variable y − x = u, y + x = v. Solución: e −
ZZ
11. Hallar la integral
(y 2 − x2 )xy (x2 + y 2 )dxdy donde
1
e
D
D = (x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0, a≤xy≤b, y 2 − x2 ≤1, x≤y
con 0 < a < b. Se recomienda utilizar el cambio de variable u = y 2 − x2 , v = xy. Solución:
1
1+b
2 log 1+a .
ZZ
12. Hallar
xydxdy siendo D la región del primer cuadrante delimitada por las curvas
D
x2 + y 2 = 4, x2 + y 2 = 9, x2 − y 2 = 4 y x2 − y 2 = 1. Utilizar el cambio de variable
u = x2 + y 2 , v = x2 − y 2 . Solución: 15
8 .
RR
13. Dada la integral I =
D (x + y)dxdy, siendo D el recinto limitado en el primer cuadrante
4
10
por las curvas y = x − 3, y = x + 3, y = e y = ,
x
x
(a) escribir D como unión de regiones del tipo {(x, y) ≤ x ≤ , (x) ≤ y ≤ (x)} , y expresar I en coordenadas cartesianas;
(b) escribir el nuevo dominio, D∗ , que resulta al hacer el cambio de variables u = y −
x, v = xy;
(c) calcular la integral con estas nuevas variables. (Sol.: 36).
14. Se considera la región plana D delimitada por las curvas y 2 − 2 = x, x = y 2 + 1 y las rectas
y = 1, y = −1. Se pide:
(a) Hallar el área de la región D. (Sol.: 6)
(b) Utilizar el cambio de variable
u = x − y2
.
v = 3y
para calcular la integral doble
Z Z
2
ex−y dxdy.
D
Sol.: 2 e −
1
e2
2
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y
x + y dxdy, siendo D el recinto limitado por x = 0, y = 0, x + y = 1.
15. Hallar
De
RR
x+y =u
Sugerencia: utilizar el cambio de variable
. Sea la integral I = D y 2 dxdy
y=v
donde D es la región del primer cuadrante delimitada por las curvas xy = 1, xy = 4. y = x
y y = 4x,
RR
(a) Representar gráficamente el recinto D.
(b) Representar gráficamente el nuevo dominio que resulta al aplicar el cambio de variable
u = xy, v = xy .
(c) Calcular la integral con estas nuevas variables. (Sol.: 45
4 )
ZZ
16. Calcular
ex/y dxdy siendo D = (x, y) ∈ R2 : y 3 ≤x≤y 2 . Solución:
D
3−e
2 .
17. Calcular el volumen comprendido entre el cilindro de ecuación x2 + y 2 = 1 y el cono de
4π
ecuación x2 + y 2 − z 2 = 0. (Sol.:
).
3
18. Calcular la integral de f (x, y) = x2 y sobre el recinto situado en el primer cuadrante y
limitado por las circunferencias de radios 1 y 2 respectivamente y centro el origen. (Sol.:
31/15).
19. Calcular el volumen comprendido entre el cilindro elı́ptico x2 + 4y 2 = 1 y el paraboloide
x2 + y 2 = z, y limitado por z = 0.(Sol.: 5π
32 ).
20. Calcular el volumen del sólido interior al semiespacio z ≥ 0 y limitado por el elipsoide
x2 + y 2 + 2z 2 ≤ 8 y el cono x2 + y 2 ≤ 2z 2 .(Sol.: 20π
3 ).
21. Calcular el volumen del sólido cubierto por la superficie
z =1+
x(y + 1)
5
sobre el rectángulo R = [0, 3] × [−1, 4].
22. Sea σ la curva cerrada positivamente orientada formada por el arco de la circunferencia
x2 + y 2 = 1, el arco de la elipse x2 + 4y 2 = 16 y los segmentos representados en la figura
Hallar el volumen del sólido que tiene por base el recinto delimitado por la curva σ y como
251π
cubierta el paraboloide z = x2 + 4y 2 . (Sol.:
)
16
23. Calcular el volumen comprendido entre el cono de revolución x2 + y 2 = z 2 (z ≥ 0), el
paraboloide de revolución x2 + y 2 + 3z = 4 y el plano z = 0,
(a) para el caso x2 + y 2 ≥ z 2 y x2 + y 2 + 3z ≤ 4 (Sol.:
(b) para el caso x2 + y 2 ≤ z 2 y x2 + y 2 + 3z ≤ 4
3
13π
6 )
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24. Sea el sólido limitado por x2 +
√
volumen. (Sol.: 2π( 4−23
2
y2
z2
≤
,
4
4
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x2 +
y2
z2
+
≤ 1 con z ≥ 0.Se pide su
4
4
)).
25. Calcular el volumen del sólido
s = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 ≤ 4,
x2 + y 2 ≥ 3z,
z ≥ 0}.
ZZ
3
26. Evaluar
y 3 (x2 + y 2 )− 2 dxdy, donde D es la región determinada por las condiciones
D
√
1
2
2
3/4 ).
2 ≤y≤1 y x + y ≤1. (Solución:
27. Hallar el área limitada por las circunferencias x2 + y 2 = 2x y x2 + y 2 = 4x y las rectas
3
y = x e y = 0. Solución: 3π
4 + 2.
28. Hallar el volumen de los siguientes conjuntos de R3 :
(a) A = (x, y, z) :
(b) B = (x, y, z) :
x2 + y 2 + z 2 ≤ 42 ,
x2 + y 2 + z 2 ≤ 1,
x2 + y 2 ≤ z 2
x2 + y 2 ≤ x,
(Sol.:
0≤z
√
4−2 2
π43 )
3
(Sol.: π3
− 94 )
RR
29. Expresar mediante las integrales iteradas, la siguiente integral D f (x, y)dxdyZ siendo
D el
Z
p
√
conjunto definido por las inecuaciones 0≤y≤1, y≤x≤1 + 1 − y 2 . Calcular
ydxdy.
Solución:
13
30 .
30. Calcular el volumen cubierto por la superficie z =
8
OXY, por la curva x2 + y 2 − x = 0. (Sol.:. 15
).
D
√
x sobre el recinto limitado, en el plano
RR
31. Calcular D (x2 +y 2 )−3/2 dxdy siendo D = (x, y) ∈ R2 : x ≤ y, x + y ≥ 1, x2 + y 2 ≤ 1 .
(Sol.: 1 − π4 ).
RR
32. Calcular D ydxdy siendo D = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1, x2 + y 2 ≥ 2x .
(Sol.: 1/8).
ZZ
33. Calcular
(x2 +y 2 )dxdy siendo D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1,
x2 + y 2 ≤ 2y,
x≥0 .
D
(Resolverlo con Maple).
34. Hallar el volumen limitado por la cubierta intersección de dos cilindros parabólicos de
ecuaciones C1 ≡ z = 36 − y 2 y C2 ≡ z = 36 − x2 y la planta z = 0. (Resolverlo con Maple).
4
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35. Dada la función f (x, y) = (x2 + y 2 )−3/2 en la región D caracterizada por x − y ≥ 0,
x + y ≥ 2 y x2 + y 2 ≤ 4. Se pide:
(a) Escribir D como unión de regiones y plantear la integral en coordenadas cartesianas.
(b) Efectuar un cambio de variable a coordenadas polares y calcular la integral en las
nuevas coordenadas.
(Sol.: −π/8 + 1/2)
36. Calcular el volumen de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 interior al cilindro (x − 12 )2 + y 2 = 14 en
el semiespacio {(x, y, z) ∈ R3 , z ≥ 0}. (Sol.: 13 π − 49 )
RR
37. Calcular la siguiente integral D (x2 +y12 )3/2 dxdy, siendo el recinto de integración D =
{(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ x + 1}. (Sol.: 2 − π2 )
38. Dado el conjunto
D = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, x2 + y 2 ≥ 2y, x2 + y 2 ≤ 6y ,
se pide calcular
RR
D
x2
x
dxdy. (Sol.: 2)
+ y2
39. Calcular el volumen del sólido limitado por el hiperboloide x2 + 4y 2 − z 2 + 4 = 0 y el
cilindro
x2 + 4y 2 − 9 = 0.
40. Hallar el volumen del sólido acotado superiormente por el paraboloide z = 5 − x2 − y 2 , e
inferiormente por el paraboloide z = 4x2 + 4y 2 .
41. Se considera el sólido
S = {(x, y, z) ∈ R3 :
(x − 1)2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y, 0 ≤ z ≤ 2}.
Hallar su volumen.
42. El recinto A = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 − 2y ≤ 5 está cubierto por la superficie z = x(y − 2) + 6.
Calcular el volumen que queda bajo la cubierta en A.
5