Modelo no-extensivo de fragmentación aplicado a los enjambres de

Ciencias de la Tierra y el Espacio, 2007, Vol.8, pp. 24--33, ISSN 1729-3790
Modelo no-extensivo de fragmentación aplicado a los enjambres de partículas
meteóricas
Rafael Gámez Díaz (1), Oscar Sotolongo Costa (2).
(1)
Instituto de Geofísica y Astronomía. Calle 212 No.2906, La Lisa, C. Habana, CP 11600, Cuba.
Cátedra “Henri Poincaré” de Sistemas Complejos, Facultad de Física, Universidad de La
Habana, Colina Universitaria, Vedado, CP 10400, La Habana, Cuba.
(2)
Recibido: enero-octubre, 2007
Aceptado: noviembre, 2007
Resumen
Las lluvias de meteoros tienen lugar cuando la Tierra, en su movimiento orbital, intercepta un enjambre de
partículas que se mueve en el espacio en órbita solar. Es aceptado actualmente que muchos de los enjambres han
sido formados por las partículas que eyectan los cometas a su paso por el perihelio. En este trabajo nosotros
investigamos una posible descripción teórica de la distribución de la masa de los meteoroides en términos de una
formulación no extensiva, la cual procedimos a validar con el procesamiento de las observaciones de las lluvias
de meteoros Leónidas, Perseidas y Líridas durante el período 2002 a 2006. Los resultados nos permitieron hacer
suposiciones acerca del posible origen violento de dichas partículas.
Palabras clave: Astronomía.
Abstract
Non extensive model of fragmentation applied to the meteor streams.
A meteor shower is a luminous phenomenon that takes place by the entry into the Earth’s atmosphere of a cascade
of particles coming from a stream intersected by our planet in its orbit. Here we investigate the possibility of a
description of the mass distribution of meteoroids in meteor showers in terms of a non extensive formulation,
which could shed light and give some insight into the origin of such particles. The data of the visual observations
of the Leonids, Perseids and Lyrids meteor showers measured in the period 2002-2006 were used. The results
point to a violent origin of the particles maybe due to fragmentation processes that took place before the “birth” of
the parent comets.
Key words: Astronomy.
Modelo no-extensivo de fragmentación aplicado a los enjambres de partículas meteóricas
Introducción
Los meteoros se producen por la entrada de pequeñas partículas en la atmósfera terrestre a velocidades
comprendidas en el orden de las decenas de kilómetros por segundo. Dichas partículas, llamadas meteoroides,
sufren un proceso de ablación por la fuerte colisión con las moléculas e iones de la atmósfera terrestre (Brosch,
N., et al, 2007). El fenómeno luminoso que tiene lugar durante ese proceso es el que recibe el nombre de meteoro.
El origen de los meteoroides no es del todo comprendido, una parte de ellos se encuentran asociados a
enjambres de partículas que interceptan la órbita terrestre de forma periódica y otra parte parecen no estar
conectados con ningún enjambre y parecen ser esporádicos (Bagrov, A. V., 2006).
Si un enjambre es interceptado por la Tierra se produce el fenómeno de las lluvias de meteoros. Durante una
lluvia de meteoros las partículas, al entrar en la atmósfera terrestre, parecen alejarse de un lugar del cielo llamado
“punto radiante”. El punto radiante en realidad representa el lugar de intersección entre la atmósfera y el enjambre
de partículas.
Por otra parte, gran número de los meteoros parecen ser partículas independientes que se encuentran vagando
en el medio interplanetario. Estos últimos que no están conectados a ningún enjambre son llamados “meteoros
esporádicos”. Sin embargo, existe la opinión de que incluso los meteoros esporádicos formaron parte de enjambres
de partículas que ya se encuentran extintos en nuestra época (Bagrov, A. V., 2004).
En la actualidad se considera que muchos de los enjambres de partículas que dan lugar a lluvias de meteoros
parecen haber sido formados por cometas en su paso por las cercanías del Sol. De esta forma, un número importante
de lluvias de meteoros se consideran emparentadas con algún cometa y en unos pocos casos con un asteroide.
A su paso por las cercanías del Sol, los cometas son afectados por la acción del viento solar. Como ellos se
encuentran formados por una mescla de gas y polvo congelados, la sublimación de los gases produce dos colas en
el cometa, una de gas y una de polvo. Esta última cola es la creadora de un tubo de partículas que va quedando en
órbita cercana a la del cometa progenitor. Los enjambres que sean interceptados por la Tierra serán los que podrán
producir una lluvia de meteoros. Las partículas meteóricas que entran en la atmósfera terrestre emiten diferentes
luminosidades, en dependencia de su masa y de la velocidad que posee el enjambre con relación a la Tierra (Trigo,
J. M., 1992).
Las partículas meteóricas se distribuyen de una manera no uniforme dentro del tubo y esto, conjuntamente con
el hecho de que la Tierra en cada año intercepta al enjambre en diferentes partes debido a la diferencia de periodos
orbitales del enjambre y la Tierra, hace que nunca veamos la misma sección del tubo meteórico. Además, los
enjambres varían su estructura y composición ya sea por nuevas eyecciones de su cometa progenitor, por
perturbaciones gravitatorias de Júpiter sobre el enjambre (Asher, D. J. y R. H. McNaught, 1999) o por la interacción
del enjambre con el viento solar (Trigo, J. M., 1992). Todo esto contribuye a que estemos frente a un complejo
campo de estudio y especulación llevándonos ante interrogantes como: ¿Puede el estudio de las lluvias de meteoros
brindarnos información acerca de sus objetos progenitores?, o incluso sobre la base de que los cometas son
formados con el material primigenio que originó el Sistema Solar SS; ¿Puede el estudio de las lluvias de meteoros
brindarnos información sobre el propio origen del Sistema Solar? (Bagrov, A. V., 2006).
En trabajos de otros autores se ha mostrado que la masa de las partículas meteóricas y su intensidad luminosa
se distribuyen según leyes de potencia (Beech, M. y Murria, I. S., 2003; Baggaley, W. J., 1999). Hasta donde
sabemos, no se han hecho esfuerzos para deducir una dependencia funcional relativa a la distribución de la masa
de las partículas meteóricas, partiendo de principios fundamentales.
Como la distribución de la luminosidad de los meteoros puede obtenerse de las observaciones y sobre la base
de que la distribución de la masa de las partículas puede ser inferida, es posible obtener más información de las
observaciones, si la función de distribución dela masa (FDM), se pudiese enlazar con una descripción teórica
apropiada. Sobre la base de lo planteado, en este trabajo expondremos con un basamento físico una descripción
de FDM causada por un fenómeno de fragmentación. Si la FDM observada puede ser ajustada con una expresión
teórica obtenida a partir de una hipótesis específica, quizás podamos plantear algo sobre su posible origen. Por otra
parte, si existen fuertes sospechas de que las partículas meteóricas son el resultado de procesos de fragmentación
violentos, entonces podremos validar nuestro resultado teórico.
No-extensividad en la fragmentación
Como resultado del desarrollo en ciencia de los materiales, tecnología de la combustión, geología y muchos
otros campos de investigación se ha incrementado el interés en las cuestiones de la fragmentación de objetos.
Varios autores han mostrado que tiene lugar una transición desde una distribución “clásica” de los fragmentos
(log-normal o tipo Rossin-Ramler) hacia una distribución en ley de potencia (Sotolongo-Costa, O., et al, 1998; Li,
X., 1987; Sotolongo-Costa, O., et al, 2000; Englman, R., et al, 1987). Dicha transición no ha sido explicada de
forma adecuada en términos de ningún principio a excepción de (Sotolongo-Costa, O., et al, 1996) donde se trato
el proceso de fragmentación en términos de la percolación en una red de Bethe y se encontró una transición a una
ley de potencia.
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Modelo no-extensivo de fragmentación aplicado a los enjambres de partículas meteóricas
En varios trabajos presentes en la literatura se ha buscado obtener la función de distribución de los tamaños de
los fragmentos a partir del principio de máxima entropía (Sotolongo-Costa, et al, 1998, y Li, X., R. S., 1987),
considerando algunas restricciones, las cuales resultan de consideraciones físicas del fenómeno de fragmentación
que se esté abordando. La función de distribución de los fragmentos describe una distribución de tamaños de
fragmentos en un régimen en el cual esta presente una invariancia de escala.
Otros trabajos en los que se ha abordado también la transición a una ley de potencia para el proceso de
fragmentación, es el proceso de atomización de las gotas de combustibles (Sotolongo-Costa, O., et al, 1994) y la
fragmentación de varillas de vidrio que caen desde cierta altura (Sotolongo-Costa, O., et al, 2000a).
Recientemente los procesos de fragmentación han sido tratados mediante la estadística no-extensiva
(Sotolongo-Costa, O., et al, 2000b). La fragmentación es un proceso violento durante el cual tienen lugar
correlaciones de largo alcance entre todas las partes del objeto que se fragmenta. El tratamiento de estos sistemas
no puede llevarse a cabo mediante la estadística de Boltzmann-Gibbs (BG) valida para procesos cuya naturaleza
presenta interacciones microscópicas de corto alcance. Sobre esta base, los procesos de fractura deben ser descritos
partiendo desde la estadística no extensiva. El paso de la distribución de tamaños de los fragmentos hacia una
descripción invariante de escala solo ocurre cuando la energía del proceso de fragmentación es alta, esto sugiere
que solo para bajas energías puede realizarse un análisis de este fenómeno a partir de la estadística usual.
La entropía de Boltzmann-Gibbs en la forma de Shannon viene dada por la expresión:
(1)
Donde Pi es la probabilidad de encontrar al sistema en el microestado i, k es la constante de Boltzmann y W es
el número total de microestados. La estadística de Boltzmann-Gibbs es utilizada en la física teórica pues parece
“funcionar” extremadamente bien en una enorme cantidad de casos, principalmente cuando la interacción
microscópica efectiva y la memoria microscópica son de corto alcance (Sotolongo-Costa, O., et al, 1996). Los
proceso con fraccionamiento violento como los de micro-explosiones de gotas de combustible en una cámara de
combustión, fragmentación por impacto con alta energía y muchas otras, conllevan a correlaciones de largo alcance
entre todas las partes del objeto que se fragmenta. Estos últimos sistemas, para los cuales la estadística de BG
parece “no funcionar”, son considerados sistemas anómalos.
El fraccionamiento es un paradigma de la no extensividad, ya que el objeto que se fracciona puede ser
considerado como una colección de partes, las cuales, después de la división, tienen una entropía mayor que cuando
se encontraban unidas. Si denotamos por Ai las partes o fragmentos en los cuales se ha dividido el objeto, su
entropía S cumple
, lo cual define una “superextensividad” en este sistema. Esto sugiere que será
necesario utilizar una estadística no extensiva, en lugar de la de BG. Esta teoría fue propuesta por C. Tsallis
(Sotolongo-Costa, O., et al, 1996, Sotolongo-Costa, O., 2007) quien postuló una forma generalizada para la
entropía dad por:
(2)
La integral comprende tolos los valores admisibles de x y
es la probabilidad de que el sistema esté en
un estado entre x y x+dx. Esta entropía puede incluso expresarse en la forma:
(3)
donde lqp es el logaritmo generalizado que se define por:
(4)
donde q es un número real. Si
tenemos
y si los estados son equiprobables
por
lo que la entropía de Tsallis es una generalización de SBG.
En este trabajo se intenta deducir la función de distribución de los tamaños de los meteoroides a partir del
principio fundamental de máxima entropía con un formalismo de entropía de Tsallis. Para esto hemos considerados
que los meteoroides, pertenecientes a los enjambre de partículas que producen las lluvias de meteoros y que han
sido eyectados de los cometas en su paso por las cercanías del Sol, han sido el resultado de procesos de
fragmentación que tuvieron lugar en una época anterior a la de la propia formación del cometa progenitor. El
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Modelo no-extensivo de fragmentación aplicado a los enjambres de partículas meteóricas
proceso de fragmentación se caracteriza por una fuerte correlación entre todas las partes del objeto por lo que debe
ser descrita a partir de la estadística no extensiva (Sotolongo-Costa, O., 2007).
Partamos de la entropía de Tsallis para la distribución de la masa de los fragmentos en la forma:
(5)
donde M es la masa en forma no-dimensional. Considerando la condición de normalización:
(6)
Y con una condición “ - conservación” de la masa en la forma:
(7)
Partiendo del principio de máxima entropía es posible determinar la distribución del tamaño de los fragmentos.
Por tanto el problema a resolver consiste en la búsqueda de un extremo condicionado por la normalización de
distribución de probabilidad y de la “ - conservación” de la masa anteriormente mencionada. Usando el método
de los multiplicadores de Lagrange construimos la siguiente función auxiliar:
(8)
La extremización de
lleva a:
(9)
Donde y son contantes dependientes de que pueden ser usadas como parámetros de ajuste. En este
trabajo a semejanza de (Sotolongo-Costa, O., 2007) partiremos de (9) para encontrar la expresión de la función de
distribución de los fragmentos. Contrastaremos además la validez de la misma a partir de los datos de tres
enjambres de meteoros para un período de años de observación.
En importante mencionar que en (9) se obtiene para el límite asintótico el resultado
con
, resultando la invariancia de escala como un comportamiento esencial para el proceso de fragmentación.
Materiales y métodos
La observación astronómica de una lluvia de meteoros tiene una desventaja con respecto a la observación de
cualquier otro cuerpo celeste; las partículas meteóricas pueden aparecer en un área muy amplia del firmamento y
el observador no puede saber con precisión donde y cuando aparecerá un meteoro en el cielo. Esto hace que no sea
posible realizar un estudio de la lluvia mediante telescopios u otros medios de observación sin perder una parte
importante de meteoros que entran en la atmósfera. Es por esta razón que gran parte del estudio de este fenómeno
se realiza a partir de observaciones visuales, las cuales pueden ser de menor precisión en cuanto a los valores de
intensidad luminosa de las partículas, pero sin embargo pueden brindar mucha información acerca de la
composición y estructura de los enjambre de meteoros.
Con el fin de que los datos registrados mediante observaciones visuales sean de mayor fiabilidad, los
investigadores de enjambre de meteoros han creado una metodología de observación la cual se encuentra descrita
en el sitio web de la International Meteor Organization (IMO) y en la “Guía para el estudio de enjambres
meteóricos” (Trigo, J. M., 1992).
En este trabajo se utilizaron las observaciones visuales de los meteoros tomadas de la Base de Datos Mundial
de Meteoros (VMDB, IMO, 2007) de los años 2002 al 2006. En la misma se encuentran registrados un conjunto
de parámetros como son: el intervalo de observación, la localidad, la Magnitud Límite Estelar (MALE), las
coordenadas celestes del punto radiante y la Distribución por Magnitudes.
Para tener una mayor fiabilidad de las observaciones a procesar, realizamos a un filtrado de la data para eliminar
inconsistencias y datos de poco valor. De esta manera consideramos no válidas las observaciones que se realizaron
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con un tiempo de observación menor a los 30 minutos, se eliminaron además los registros que reportaron una
MALE inferior a 5. Por otra parte, conociendo las coordenadas del punto radiante, se realizó el cálculo de la hora
sideral para cada medición en la mitad del intervalo de observación. Se determinó entonces la altura del punto
radiante en el momento de la observación y seguidamente se procedió a eliminar todas las observaciones que se
realizaron con a una altura del radiante menor de 15 grados.
En la tabla I se muestra el total de mediciones procesadas de cada lluvia, una vez que se realizaron las
correcciones anteriormente mencionadas. Aparecen además, los nombres de sus cometas progenitores y el período
de tiempo que se procesó.
Tabla I. – Lluvias de meteoros procesadas y cometas progenitores
Lluvias de Meteoros Cometa Progenitor Años
# observaciones
Leónidas (LEO)
Tempel-Tuttle
2002 - 2006 1475
Perseidas (PER)
Swift Tuttle
2002 - 2006 10140
Líridas (LYR)
Thatcher 1861 I
2002 - 2006 339
La atmósfera terrestre limita la visualización de meteoros de poca luminosidad. Por lo tanto, para determinar
el número real de partículas que entran en la atmósfera los datos se corrigieron tomando en cuenta la probabilidad
de percepción por cada magnitud (Trigo, J. M., 1992).
A partir de las magnitudes visuales de los meteoros es posible determinar la intensidad luminosa y estimar la
masa de las partículas que entran en la atmósfera terrestre. De estudios fotográficos se ha determinado la siguiente
relación empírica que liga la magnitud (
) de los meteoros con su masa (
) y su velocidad (
):
(10)
donde la masa se expresa en gramos y la velocidad en
. Esta expresión nos dice que los meteoroides de
más masa y/o velocidad de entrada en la atmósfera producen meteoros de mayor brillo.
A partir de (10) podemos obtener la masa en función de la magnitud y la velocidad (Rainer Arlt, comunicación
personal):
(11)
hemos escrito la velocidad de los meteoroides
como la velocidad geocéntrica del enjambre de partículas.
Una forma de proceder podría ser la de obtener los valores de la masa de las partículas meteóricas a partir de
la ecuación (11) y seguidamente realizar el ajuste de la distribución de la masa de las partículas meteóricas
mediante la ecuación (9). Sin embargo en la data procesada se registran los valores de las magnitudes visuales de
las partículas. Que conozcamos, no existe en la bibliografía una expresión fiable que relacione las magnitudes
visuales de los meteoros con la masa de los meteoroides. La expresión (11) fue obtenida a partir de un estudio
fotográfico por lo que el empleo de la misma para determinar la masa de los meteoroides a partir de magnitudes
visuales podría no ser preciso.
En este trabajo suponemos que la forma funcional que relaciona a la masa de los meteoroides con la magnitud
visual y la velocidad de la partícula no sea muy diferente de (11). De esta manera partimos de considerar la
dependencia funcional:
(12).
Aquí hemos considerado que en el valor de la constante
queda inmerso el término relativo a la
, la cual
es conocida para cada lluvia y de su valor se tiene la velocidad de todas las partículas del enjambre correspondiente.
O sea para un enjambre dado (fijando
misma según (12).
), la masa de las partículas solo dependerá de la magnitud visual de la
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Modelo no-extensivo de fragmentación aplicado a los enjambres de partículas meteóricas
A partir de (12) obtenemos:
(13)
donde
y
son constantes.
Tomando en cuenta que
finalmente obtenemos:
(14)
donde
,
,
son constantes y
es el parámetro de Tsallis.
Esta última expresión la utilizaremos para ajustar las distribuciones por magnitudes de la data mencionada. No
será de nuestro interés realizar una interpretación detallada de los valores de los parámetros de ajuste, ya que lo
que realmente es de importancia en este caso son las consideraciones físicas del método utilizado. Los meteoroides
son partículas que han sido eyectadas por los cometas en su paso por el perihelio. Esto hace que estas partículas
hayan formado parte de la constitución de estos objetos lo cual nos dice que parte del material que dio lugar a los
cometas sea el resultado de un violento proceso de fragmentación. Como resultado la distribución de la masa de
los meteoroides obedece (9) y la distribución de magnitudes visuales sigue el comportamiento (14).
Resultados y discusión
En este trabajo partimos de la idea de que la distribución de la masa de los meteoroides de una lluvia de meteoros
puede exhibir características similares a la función de distribución de los fragmentos emergente de un proceso de
fragmentación altas energías. Como mencionamos arriba, el proceso de fragmentación ha sido formulado
recientemente sobre bases de una estadística no extensiva. La fragmentación puede ocurrir como un proceso
violento donde las interacciones de largo alcance están presentes en el cuerpo que se fragmenta, por lo que la
estadística extensiva de BG no puede aplicarse.
Aplicación del modelo a las lluvias de meteoros
En las Figs. 1, 2 y 3 los puntos muestran los datos observacionales de los enjambres de las Leónidas, las
Perseidas y las Líridas para los años 2002 a 2006. Usualmente las lluvias de meteoros son procesadas de forma
independiente para cada año. En este caso sin embargo consideramos que nos era posible tomar todo un conjunto
de años para determinar la distribución de magnitudes de los meteoros. Si consideramos un enjambre de partículas
que produce una lluvia dada, tendremos que en dicho enjambre las partículas no se distribuyen de forma uniforme.
Además, el período orbital del enjambre es diferente al de la Tierra, es por eso que en cada año la Tierra intercepta
al enjambre en diferentes posiciones de tubo meteórico.
Al analizar el período 2002 – 2006 es como si estuviésemos analizando diferentes zonas del enjambre. En
determinados casos podemos tener observaciones que correspondan a diferentes eyecciones del cometa progenitor.
Esto determinará diferencias en los niveles de actividad y en la estructura de los enjambres en los diferentes años.
Para nuestro análisis no resulta de importancia precisar dicha información detallada, sino más bien analizar de
forma global al enjambre y determinar así la distribución de las magnitudes visuales correspondientes a la
distribución de la masa de las partículas.
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Modelo no-extensivo de fragmentación aplicado a los enjambres de partículas meteóricas
Fig. 1 – Distribución de los meteoros por magnitud para las Leónidas, período 2002 – 2006.
Fig. 2 – Distribución de los meteoros por magnitud para las Perseidas, período 2002 – 2006.
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Fig. 3 – Distribución de los meteoros por magnitud para las Líridas, período 2002 – 2006.
El resultado mostrado en las figuras evidencia un buen ajuste de los resultados observacionales con el resultado
teórico (14). Como mencionamos anteriormente, no es nuestro interés realizar una interpretación detallada de los
valores de los parámetros de ajuste, ya que lo que realmente es de importancia en este caso son las consideraciones
físicas del método utilizado.
El resultado del ajuste evidencia el carácter general de no-extensividad para el fenómeno de las lluvias de
meteoros. Aquí asumimos que las partículas meteóricas presentan las mismas características que cuando se
encontraban en el interior de su cometa progenitor, por tanto, consideramos que la distribución de la masa es la
misma que la del material sólido de los cometas. De acuerdo con esta hipótesis la génesis de tales partículas ocurrió
antes del “nacimiento” del cometa. Con la aproximación del cometa al Sol, dichas partículas son liberadas
formando un complejo enjambre de partículas en órbita cercana a la del cometa.
Las partículas que forman los cometas son el residuo del proceso originario del Sistema Solar (Bagrov, A. V.,
2006). En una fase temprana del Sistema Solar se formaron cuerpos sólidos de diferentes tamaños. Es aceptado
que durante tal proceso las interacciones entre esos cuerpos podían llevar frecuentemente a colisiones violentas.
Nosotros asumimos que tales procesos de fragmentación dieron origen a la distribución de tamaños de partículas
observadas hoy en las lluvias de meteoros. El ajuste mediante la ecuación (14) nos lleva a pensar que tal proceso
estuvo caracterizado por correlaciones de largo alcance como un fenómeno de rompimiento violento.
Conclusiones
En este trabajo se ha mostrado una vez más que la estadística no-extensiva usando la estadística de Tsallis
puede ser aplicada de forma satisfactoria al fenómeno de fragmentación en régimen violento. Si utilizamos la
entropía de Shannon-Boltzmann:
Sujeto a las condiciones
y
y por el método variacional de Lagrange obtenemos:
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Modelo no-extensivo de fragmentación aplicado a los enjambres de partículas meteóricas
y finalmente obtenemos para la magnitud:
Esta relación, en general no ajusta con el total de la data procesada, mostrando que la estadística de Boltzmann
falla en este caso. Podemos por tanto concluir que se confirma el carácter universal del proceso de fragmentación
en las lluvias de meteoros, así como la generalidad del formalismo de entropía no extensiva.
Sin embargo, los enjambres de partículas son afectados por el efecto Poynting, que consiste en el arrastre de
las partículas más pequeñas fuera del tubo meteórico debido a la acción del viento solar y la gravedad, provocando
una caída en espiral hacia el Sol. Sobre esta base a esto, es posible que el procesamiento de los enjambres más
antiguos, que son los más afectados, muestre desviaciones en la distribución con respecto a una ley de potencia.
Consecuentemente, futuros trabajos podrían estar dirigidos a buscar las desviaciones que puedan presentar las
distribuciones de la masa con respecto al modelo propuesto aquí para enjambres antiguos.
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Modelo no-extensivo de fragmentación aplicado a los enjambres de partículas meteóricas
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