en pdf - Web del Profesor

Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Sistemas de Control
Opción Control y Automatización
Control 2
Especificaciones para el diseño
de sistemas de control
Prof. Mariela CERRADA LOZADA
El problema de diseño
Entradas
Salidas
SISTEMA
(Planta)
Estados
Señal de Control
ALGORITMO DE
CONTROL
Señal de Referencia
CONFIGURACION
ESQUEMA
05/11/2007
2
Modelo del Sistema
Modelo no lineal
u(t)
d x(t )
= f ( x(t ), u (t ), t ); x(t0 ) = x 0
dt
y (t ) = h( x(t ), u (t ), t )
(1)
Sistemas invariantes en
el tiempo
y(t)
SISTEMA
(Planta)
Linealización
x(t)
d x(t )
= Ax(t ) + Bu(t ); x(t0 ) = x0
dt
y(t ) = C x(t ) + Du(t )
(2)
m
Modelo lineal
05/11/2007
Y (s)
=
G(s) =
U(s)
K∏(s + zi )
i =1
q
s p ∏(s + pi )
j =1
; p + q = n < m (3)
3
El problema de diseño
r(t)
u(t)
y(t)
G(s)
x(t)
Go(s)
Y ( s ) β m s m + β m −1s m −1 + β 0
Go ( s ) =
=
R ( s ) α n s n + α n −1s n −1 + α 0
(4)
El comportamiento de un sistema de control depende únicamente de su
función de transferencia global Go(s), y no depende explícitamente de la
planta G(s). Luego el problema de diseño es, en esencia, la búsqueda de
Go(s) estable, para alcanzar especificaciones de diseño
05/11/2007
4
El problema de diseño
Dos enfoques básicos de diseño usando configuraciones realimentadas:
- Menos sensibles a ruidos y perturbaciones de planta.
(a) Se escoge una configuración realimentada y un compensador con
parámetros a diseñar. El sistema resultante tiene las especificaciones
deseadas
(b) Se determina la función de transferencia Go(s) y luego se escoge la
configuración realimentada y se calculan los compensadores,
Se usan controladores (compensadores) descritos por funciones de
transferencia propias o estrictamente propias (físicamente realizables)
Se garantiza que el sistema de control tenga un “planteamiento
correcto” (para evitar la amplificación de ruidos a alta frecuencia)
El sistema debe ser “totalmente estable”
Pueden imponerse restricciones a la magnitud de las señales actuantes
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Criterios de desempeño
Estabilidad: es el requerimiento fundamental.
– Estabilidad en SLIT:
y (t ) = ynatural (t ) + y forzada (t )
(5)
a. Criterios de Estabilidad de Routh-Hurwitz (estabilidad absoluta)
b. Estabilidad en el sentido de Lyapunov: Segundo Método de Lyapunov.
c. Métodos frecuenciales para el estudio de estabilidad relativa (MF y MG)
- Estabilidad en sistemas no lineales, invariantes en el tiempo:
a. Estabilidad Local (aproximaciones lineales de los sistemas no
lineales)
b. Estabilidad Global (uso de funciones de Lyapunov)
Desempeño en estado estacionario
Precisión: se debe minimizar el error del sistema debido a entradas de
referencia y perturbaciones. La precisión es definida en términos de constantes
de error (posición, velocidad, aceleración).
Atención!! r(t) y y(t) tienen
e(t ) = r (t ) − y (t )
(6) las mismas unidades!!!
ess = Lim e(t ) ⇔ ess = Lim sE ( s )
t →∞
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s →0
6
Criterios de desempeño
Precisión (continuación): En términos de Go(s):
– Si r(t) es un escalón R(s)=a/s. Entonces:
ess = a − y ss ⇒ y ss = Lim sY ( s ) = Lim aGo ( s ) = a
s →0
ess = a − a
β0
β
= a (1 − 0 )
α0
α0
s →0
β0
α0
(7)
Luego el error de precisión será “cero” cuando Go(0)=1, (es decir αo=βo).
Supongamos que deseamos diseñar Go(s) tal que el error de posición sea finito,
acotado, entonces:
β
α −β
a(1− 0 ) < γ ⇒ a( 0 0 ) < γ
α0
α0
− γα0 < a(α0 − β0 ) < γα0 ⇒ −aα0 − γα0 < −aβ0 < γα0 − aα0 (8)
α0 (a + γ ) > aβ0 > α0 (a − γ )
Si consideramos el error relativo:
β
(a − a 0 )
α0
(9)
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ess =
a
= 1− G0 (0)
α 0 (1 + γ ) > β0 > α 0 (1 − γ ) (10)
Atención α0 está definido porque Go(s) es
7
garantizado estable !!!
Criterios de desempeño
Precisión (continuación): En términos de Go(s):
– Si r(t) es una rampa R(s)=a/s2. Entonces:
ess = 0 si yss = Lim y(t) = at = r (t ) (11)
t →∞
Consideremos:
Y (s) =
a
k1 k 2
=
+ 2 + términos asociados a G 0 ( s ) (12)
G
s
(
)
0
s2
s
s
Calculando los coeficientes de la expansión:
k2 = [
k1 =
a
G0 ( s ) s 2 ]
2
s
s=0
d a
d
[ 2 G0 ( s) s 2 ]
=
[ aG 0 ( s )]
ds s
ds
s =0
s =0
(13)
Y dado que Go(s) es estable, entonces:
yss (t ) =
Se puede encontrar que:
α β −α β
β
G'0 (0) = 0 1 2 1 0 y G0 (0) = 0 (15)
α0
α0
k1 k2
+ ⇒ yss (t ) = k1 + k2t = aG0 ' (0) + aG0 (0)t (14)
s s2
Entonces, retomando (11):
yss = at si
G0 (0) = 1 ⇒ α 0 = β 0
(16)
y
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G '0 (0) = 0 ⇒ α1 = β1
8
Criterios de desempeño
• Precisión (continuación):
Por otro lado, notemos que se tendrá un error de velocidad finito si:
G0 (0) = 1 ⇒ α 0 = β 0
yss(t) y r(t) tienen la misma
pendiente
y
G '0 (0) ≠ 0 ⇒ α1 ≠ β1
(17)
y se tendrá un error de velocidad infinito si:
G0 (0) ≠ 1 ⇒ α 0 ≠ β 0
(18)
yss(t) y r(t) NO tienen la misma
pendiente
Considerando en este caso el error relativo y asumiendo Go(0)=1, tenemos un
inecuación para determinar un error finito:
ess =
(at − atG0 (0) − aG '0 (0))
= (1 − G0 (0))t − G '0 (0) ⇒ G '0 (0) < λ
a
Problema de seguimiento (tracking): Cualquier entrada de referencia.
Problema de regulación (regulating): Entrada de referencia “cero”.
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Criterios de desempeño
Precisión (continuación): CASO ESPECIAL DE REALIMENTACION
– Definición de las constantes de error para un SLIT realimentado
R(s)
+
Y(s)
C(s) G(s)
-
G0 (s) =
C(s)G(s)
donde:
1 + C(s)G(s)
Gl ( s ) = C ( s )G ( s ) =
N l ( s)
s q Dl ( s )
y G(0) es estable. Entonces:
Si C(s)G(s) es tipo 1, entonces el error de posición es “cero”
Si C(s)G(s) es tipo 2, entonces el error de velocidad es “cero”
Si C(s)G(s) es tipo 3, entonces el error de aceleración es “cero”
Consideremos, que C(s)G(s) es tipo 1, luego:
G0 ( s ) =
N l ( s)
N ( 0)
⇒ G0 (0) = l
= 1 !!!
sDl ( s ) + N l ( s )
N l ( 0)
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Observemos que aún si existen
variaciones en Nl(s) y/0 Dl(s) , el sistema
aún puede “seguir” a la referencia!! ES
UN DISEÑO ROBUSTO!!!
10
Criterios de desempeño
Precisión (continuación):
Supongamos C(s)G(s) de tipo 0 y la incorporación de una ganancia K:
R1(s)
K
R(s)
+
Y(s)
C(s) G(s)
-
G0 ( s) =
Si se elige
K=
N l (s)
⇒ G0 (0) ≠ 1 !!!
Dl ( s ) + N l ( s )
Dl (0) + N l (0)
⇒ G10 (0) = 1 ⇒ y ss (t ) = r (t )
N l ( 0)
Observemos que si existen variaciones en
Nl(s) y/0 Dl(s) , el sistema NO puede
“seguir” a la referencia!! NO ES UN
DISEÑO ROBUSTO!!!
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Criterios de desempeño
Precisión (continuación): CASO ESPECIAL DE REALIMENTACION
– Definición de las constantes de error para un SLIT realimentado
R(s)
+
-
Y(s)
C(s) G(s)
Si r(t) = A (entrada escalón)
ess =
A
; K p = Lim G ( s )
s →o
1+ K p
Si r(t) = A t (entrada rampa)
ess =
A
; K v = Lim sG ( s )
s →o
Kv
Si r(t) = (A/2) t2 (entrada parábola)
ess =
A
; K a = Lim s 2G ( s )
s →o
Ka
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(7)
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Criterios de desempeño
Respuesta transitoria
–
–
–
–
Sobredisparo
Tiempo de asentamiento o de respuesta
Tiempo pico
Tiempo de subida
Estas especificaciones
han sido derivadas del
comportamiento
transitorio de un SLIT
de segundo orden.
En caso de sistema de
orden superior, éstos
podrán describirse con
las especificaciones
anteriores si existe un
par de polos
dominantes
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Diseño de Sistemas de Control
Se refiere al proceso de modificación del sistema de control
realimentado, con el fin de alcanzar las especificaciones de estabilidad,
precisión y respuesta transitoria deseadas
¿Modificación? consiste en incorporar elementos al sistema
¿Para qué? permiten generar una señal de entrada al sistema, llamada “señal de
control”
Señal de Control que “estabiliza” al sistema (cumple requerimientos de
estabilidad) y lo “compensa” (incremento de la precisión y
velocidad de respuesta).
Compensar el sistema: añadir polos y/o ceros adicionales.
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Configuraciones de Compensación para
SLIT
1. Compensación en cascada
R(s)
+
-
Compensadores tipo:
adelanto de fase,
atraso de fase,
adelanto-atraso de fase,
PI
PD
PID
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Y(s)
Gc(s)
Gp(s)
Objetivo:
Compensar el sistema, añadiendo polos y/o ceros
adicionales en lazo abierto.
Efecto:
-Permite mejorar la respuesta transitoria y la
estacionaria de manera independiente.
-Pueden ser implementados con redes activas
(amplificadores operacionales) o pasivas (redes
RLC).
Los compensadores pueden ser ideales (Tipo PID)
o no ideales (Tipo Adelanto-Atraso).
15
Configuraciones de Compensación para
SLIT
2. Compensación realimentada (minor feedback loop)
R(s)
+
-
Y(s)
G1(s)
Gp(s)
+
B(s)
Objetivo:
Compensar el sistema, modificando los polos del
sistema en lazo cerrado sin aumentar el orden del
sistema.
Efecto:
-Permite mejorar la respuesta transitoria, sin
embargo usado sin compensación en la cadena
directa aumenta el error en estado estacionario.
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Realimentación de velocidad
B ( s ) = bs
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Restricciones
Ruido y perturbaciones:
P1
+
r(t)
P3
P2
e
G1(s)
+
v +
u
G2(s)
+
+
y(t)
+
-
Planta nominal: Considera el peor caso en el cual puede estar la planta
Planta perturbada: Considera el estado actual de la planta
La función de transferencia nominal es usada en el diseño y la diferencia entre
la planta nominal y la perturbada es considerada como una perturbación interna
Un buen sistema de control debe ser capaz de seguir la entrada de
referencia y rechazar el efecto de ruidos y perturbaciones!!
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Restricciones
Compensadores propios y planteamiento correcto:
– Los compensadores usados en el diseño deben tener funciones de transferencia
propias:
No se requieren operaciones puras de diferenciación
Son realizables físicamente (tienen asociada una ecuación diferencial de estado)
– Un sistema de control puede no tener una función de transferencia Go(s) propia
aún cuando todos sus componentes tengan funciones de transferencia propias
(ver ejemplo 6.5.1)
Supongamos
G1 ( s ) =
− ( s + 1)
s
; G2 ( s ) =
s+2
s +1
G0 ( s ) = −0.5s Es impropia!!
¿Implicaciones prácticas?
Supongamos la existencia de un ruido P1(t)=0.01sin(10000t) y r(t)=sin t. Entonces:
d
(sin t + 0.01sin 10000t )
dt
= −0.5 cos t − 50 cos10000t
y (t ) = −0.5
Amplificación del ruido!!!
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Restricciones
Compensadores propios y planteamiento correcto (Continuación...)
Definición: Un sistema se dice bien-planteado o propio en lazo cerrado si
las funciones de transferencia de cada posible par entrada-salida del
sistema es propio.
En el caso de un sistema realimentado, el sistema está bien-planteado si y solo si:
(8)
Δ (∞ ) ≠ 0
Δ Función característica
Para el caso del diagramas de bloques anterior
Si G1 ( s) = − ( s + 1) ; G2 ( s) = s
s+2
Si
G1 ( s ) =
s +1
− ( s + 1)
2s
; G2 ( s ) =
s+2
s +1
Determinante en
la fórmula
de Mason !!
Δ(∞) = 1 + G1 ( s )G2 ( s ) s →∞
Δ (∞ ) = 1 − 1 = 0
Δ(∞) = 1 − 2 = −1
Bien-planteado!!!
Si G2(s) es estrictamente propia y G1(s) es propia la condición (8) se cumple!!!
Nota: si alguna F.T es impropia, (8) no puede ser usada.
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Restricciones
Compensadores propios y planteamiento correcto (Continuación...)
P1
P3
P2
+
r(t)
G1(s)
+
+
G2(s)
+
+
y(t)
+
G3(s)
PD
G1 ( s ) =
( s + 2)
4s + 3
s +1
; G2 ( s ) =
; G3 ( s ) =
2
s +1
s+2
G0 ( s ) =
( s + 2)
(4 s + 5)
Bien-planteado!!
Compensadores propios
necesidad de evitar el uso de diferenciación!!
Sistemas bien planteados
necesidad de evitar la amplificación de ruidos
a altas frecuencias!!
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Restricciones
Estabilidad Total:
Definición: Un sistema se dice totalmente estable si y solo si la función de
transferencia en lazo cerrado de cada posible par entrada-salida es estable.
¿Implicaciones?
1. Cancelación de polos y ceros inestables
G1 ( s ) =
( s − 1)
1
; G2 ( s ) =
;P = 0
( s + 1)
s −1
G0 ( s ) =
1
( s + 2)
Estable!!
P
r(t)
+
-
GPy ( s ) =
G1(s)
+
+
( s + 1)
Inestable!!
( s − 1)( s + 2)
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y(t)
G2(s)
Una cancelación de polo-cero
inestable NO elimina el polo
inestable, sólo lo esconde!!
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Restricciones
Estabilidad Total (continuación):
Un sistema es totalmente estable si y solo si los polos de Go(s) y sus polos
escondidos son todos estables.
Un sistema no es totalmente estable si existe una cancelación polo-cero inestable!!
Cancelación imperfecta: Una cancelación exacta es imposible en la práctica!!
¿Implicaciones?
1. Cancelación imperfecta de polos y ceros inestable
( s − 0.9)
1
G1 ( s ) =
; G2 ( s ) =
;P = 0
( s + 1.1)
s −1
G0 ( s ) =
s − 0.9
( s + 2.0674)( s − 0.9674)
Inestable!!
P
r(t)
+
-
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G1(s)
+
+
y(t)
G2(s)
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Restricciones
Estabilidad Total (continuación):
¿Implicaciones?
2. Cancelación de polos y ceros estables
( s 2 + 0.1s + 100)
3
G1 ( s ) =
; G2 ( s ) = 2
;P = 0
s ( s + 2)
( s + 0.1s + 100)
( s 2 + 0.09 s + 99)
G1 ( s ) =
;P = 0
s ( s + 2)
G0 ( s ) =
3
( s 2 + 2 s + 3)
3s 2 + 0.27 s + 297
G0 ( s ) = 4
( s + 2.1s 3 + 103.2 s 2 + 200.27 s + 297)
Step Response
From: U(1)
1.4
polos
ceros
polos
-1 + 1.414i
-1 - 1.414i
-0.045 + 9.95i
-0.045 - 9.95i
-0.05 +10.001i
-0.05 -10.001i
-0.9996 + 1.404i
-0.9996- 1.404i
1.2
0.8
To: Y(1)
Amplitude
1
0.6
0.4
0.2
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0
0
1
2
3
Time (sec.)
4
5
6
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Cancelación de polos y ceros estables
Salida debida a la perturbación
Efecto de la perturbación
Si ocurre una cancelación de polos-ceros estables muy cercanos al eje imaginario
O con partes imaginarias grandes los ruidos o perturbaciones pueden excitar una
salida de la planta oscilatoria y de respuesta lenta
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Restricciones
u
Saturación:
r(t)
+
-
G1(s)
P
1
u+
u
+
G2(s)
y(t)
-0.5
0.5
e
-1
G1 ( s ) = 2; G2 ( s ) =
( s + 2)
;P = 0
s ( s − 1)
¿Implicaciones?
G0 ( s ) =
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2( s + 2)
( s 2 + s + 4)
25
Sensibilidad
Consideremos:
R(s)
+
-
Y(s)
G(s)
T ( s) =
G(s)
1 + G( s) H (s)
H(s)
1
R( s)
(
)
(
)
T
s
≈
⇒
Y
s
≈
G
(
s
)
H
(
s
)
>>
1
Si
para las frecuencias de interés, entonces
H ( s)
H ( s)
Si H(s)=1, entonces Y ( s ) ≈ R( s ) , aún para variaciones en la planta!!!
Consideremos una perturbación ΔG (s) en la planta, entonces sin realimentación:
G ( s) ≈ G ( s) + ΔG ( s) ⇒ Y ( s) = (G ( s) + ΔG ( s)) R( s) = G ( s ) R ( s ) + ΔG ( s ) R( s )
⇒ ΔY ( s ) = ΔG ( s ) R ( s )
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Cambio en la salida es proporcional al
cambio en la planta, sin considerar la
realimentación !!
26
Sensibilidad
¿Qué ocurre en lazo cerrado?
T (s) =
(G ( s ) + ΔG ( s ))
(G ( s ) + ΔG ( s ))
⇒ Y (s) =
R( s)
1 + (G ( s ) + ΔG ( s )) H ( s )
1 + (G ( s ) + ΔG ( s )) H ( s )
Considerando que Y ( s ) = Y ( s ) + ΔY ( s ) entonces:
ΔY ( s) =
ΔY ( s ) =
G ( s)
(G ( s) + ΔG ( s))
R( s) −
R( s)
1 + (G ( s) + ΔG ( s)) H ( s )
1 + G ( s) H ( s)
(G ( s ) + ΔG ( s ))(1 + G ( s ) H ( s )) − G ( s )(1 + G ( s ) H ( s ) + ΔG ( s )) H ( s ))
R( s)
(1 + G ( s ) H ( s ) + ΔG ( s ) H ( s ))(1 + G ( s ) H ( s ))
ΔY ( s ) =
ΔG ( s )
R( s)
(1 + G ( s) H ( s) + ΔG ( s ) H ( s ))(1 + G ( s ) H ( s ))
Considerando de nuevo la condición
ΔY ( s ) =
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ΔG ( s )
R( s)
(1 + G ( s ) H ( s )) 2
G ( s ) H ( s ) >> 1 >> ΔG ( s ) H ( s ) , entonces:
En lazo cerrado, el cambio en la salida
2
se reduce por un factor (1 + G ( s) H ( s )) !!!27
Sensibilidad
La SENSIBILIDAD se define como el cambio porcentual en la FT del sistema
de control en LC respecto al cambio porcentual en algún parámetro ó FT del
sistema en LA.
Consideremos:
Y(s)
R(s)
+
-
G(s)
T ( s) =
G ( s)
1 + G ( s) H (s)
H(s)
SGT =
ΔT
T = ΔT G
ΔG
ΔG T
G
En el límite:
SGT =
∂T G
∂G T
Función de sensibilidad del
sistema !!
T
Sin considerar la realimentación, entonces T ( s ) = G ( s ) ⇒ S G = 1
G
=1
G
El sistema el muy sensible !!!
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Sensibilidad
∂T G
Calculando S =
se tiene que:
∂G T
T
G
SGT =
1
(1 + GH ) 2
G
1
⇒ SGT =
G
1 + GH
1 + GH
∂T (1 + GH ) − GH
1
=
=
∂G
(1 + GH ) 2
(1 + GH ) 2
Observe el rol de la condición G ( s ) H ( s ) >> 1 !!
Atención: Recuerde las condiciones de estabilidad para un aumento considerable
de la magnitud de GH !!!!
Por otro lado, haciendo cálculos similares se obtiene que:
∂T H
− GH
T
⇒ SH =
S =
∂H T
1 + GH
T
H
Observe de nuevo el rol de la condición G(s)H(s) >>1
¿¿Qué se concluye??
El signo negativo indica que un cambio porcentual negativo deteriora el
comportamiento del sistema
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Sensibilidad
R(s)
+
-
G(s)
T ( s) =
Y(s)
G (s) =
1
(s + α )
SαT ( s ) = ??
1
s + α +1
∂T
1
=−
∂α
( s + α + 1) 2
SαT ( s ) =
−α
s + α +1
α = −0.99
Valor nominal crítico
(sistema inestable!!)
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Sensibilidad
Y(s)
R(s)
+
-
G(s)
T (s) =
G (s) =
K
s ( s + 1)
S KT ( s ) = ??
K
s +s+K
2
∂T
(s 2 + s + K ) − K
=−
∂α
(s 2 + s + K )2
S KT ( s ) =
s( s + 1)
s +s+K
2
K = 0.25
Valor nominal crítico
(salida criticamente amortiguada)
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31
Sensibilidad
05/11/2007
32
Sensibilidad
Y(s)
Consideremos: R(s)
+
-
Observemos que:
G(s)
SGT + T ( s ) =
G(s)
1
+
=1
1 + G( s) 1 + G( s)
T (s) =
G (s)
1 + G (s)
SGT =
1
1 + G( s)
S y T no pueden ser pequeñas
en magnitud al mismo tiempo !!
T(s), FT en lazo cerrado, es la función de sensibilidad complementaria
Si “S” es pequeña, entonces: T ( s ) ≈ 1 ⇒ Y ( s ) ≈ R ( s )
En general, G ( s ) es pequeña a altas frecuencias, en sistemas fisicamente
realizables (sistemas que se comportan como filtros pasa-bajo). Entonces:
S ≈1
T
G
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SGT +T = 1
T ( s) ≈ 0
33
Sensibilidad
P
Consideremos:
r(t)
+
-
Gc G p
Y ( s)
=
R ( s ) 1 + Gc G p
Gc(s)
+
+
Gp(s)
y(t)
Gp
Y ( s)
=
P ( s ) 1 + Gc G p
Entonces:
a. Se requiere Gc ( s )G p ( s ) >> 1 en bajas frecuencias para disminución de la
sensibilidad del sistema en cuanto a cambios en Gp(s)
b. Aumentar la ganancia de lazo a través de Gc(s) para rechazo de ruidos
(perturbaciones externas). Si Gc ( s)G p ( s ) >> 1 entonces Y ( s ) 1
≈
P ( s ) Gc
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34
Sensibilidad
Consideremos:
D1(t)
r(t)
+
-
Gc(s)
+
+
Gp(s)
D2(t)
++
y(t)
+
H(s)
+
D3(t)
Consideremos la ausencia del sensor (H(s)=0, Lazo abierto). Entonces:
Y ( s ) = D2 ( s ) + G p ( s ) D1 ( s ) + Gc ( s )G p ( s ) R ( s )
a.
b.
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La señal D2(s) no es rechazada
L señal D1(s) pasa a través de la planta
35
Sensibilidad
Consideremos ahora el lazo cerrado:
D1(t)
r(t)
+
-
+
+
Gcs)
Gp(s)
D2(t)
++
y(t)
+
H(s)
Gc (s)Gp (s)
+
D3(t)
Gp (s)
Gc (s)Gp (s)H(s)
1
Y(s) =
R(s) +
D1(s) +
D2 (s) +
D3(s)
1+Gc (s)Gp (s)H(s)
1+Gc (s)Gp (s)H(s)
1+Gc (s)Gp (s)H(s)
1+Gc (s)Gp (s)H(s)
Teniendo en cuenta que
SGT =
1
1+Gc (s)Gp (s)H(s)
y
T(s) =
Gc (s)Gp
1+Gc (s)Gp (s)H(s) , entonces:
Y ( s ) = T ( s ) R ( s ) + S ( s )G p ( s ) D1 ( s ) + S ( s ) D2 ( s ) + T ( s ) H ( s ) D3 ( s )
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Sensibilidad
Teniendo en cuenta que Y ( s ) = T ( s ) R ( s ) + S ( s )G p ( s ) D1 ( s ) + S ( s ) D2 ( s ) + T ( s ) H ( s ) D3 ( s )
y dado que si Gc ( s)G p ( s ) H ( s ) >> 1 ⇒ S ( s ) << 1 ,
luego:
a.
El ruido D2 es rechazado
1
T (s) ≈
b.
H ( s ) , entonces el ruido D3 no es rechazado
c.
La perturbación D1(s) pasa a través de Gp(s)
Ejemplo. Consideremos H(s)=1 y la existencia de la entrada (ruido) D1(s). Entonces,
analizando error E(s):
ED1 ( s) (s) =
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− Gp (s)
1+ Gc (s)Gp (s)
D1 (s)
37
Sensibilidad
Si D1(s) es del tipo escalón, entonces:
ED1 ( s) (s) =
− Gp (s)
1
1+ Gc (s)Gp (s) s
Estudiando el error en estado estable:
Lim sED1 ( s) (s) = Lim s
s→0
s→0
− Gp (s)
− Gp (s)
1
= Lim
1+ Gc (s)Gp (s) s s→0 1+ Gc (s)Gp (s)
Supongamos Gc(s)Gp(s) de tipo 1, por ejemplo: Gc (s) =
Entonces:
Gp (s) =
K2 (s + α )
s(s + β )
− b2
e∞ = Lim sED1 ( s) (s) =
Es finito y sólo depende de los parámetros
s→0
K1b − K1a de Gc(s)!!!
Observemos que
e∞ = Lim
s→0
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K1 (s + a)
(s + b)
Gp
1+ GcGp
38
Sensibilidad
Observemos que
Entonces, si
e∞ = Lim
s→0
Gp
1+ GcGp
Gc ( s)G p ( s ) >> 1 ⇒ S ( s ) << 1
para s → 0 , se tiene que e∞ ≈
1
Gc
Luego la entrada (ruido) D1 será rechazado si Gc >>1
Ejercicio: que ocurre si el integrador esta en Gp???
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39
Sensibilidad
Ejemplo: Sistema de control de la dirección un barco
P
Controlador del ángulo
del timón del barco
u ++
r(t)
Gc(s)
+
r (t ) = 10 grados
-
Planta nominal
Gp(s)
y(t)
4.6847 *10 −4
G p (s) =
s ( s + 6.8624 *10 −3 )
1.7498( s + 1.0071*10 −2 )
Gc ( s ) =
( s + 4.9648 *10 − 2 )
5.6217 *10 −4
G p 2 (s) =
s ( s + 6.8624 *10 −3 )
Cambio del 20% en la ganancia
4.6847 *10 −4
G p3 (s) =
s ( s + 8.2349 *10 −3 )
Cambio del 20% en el polo LA
4.6847 *10 −4
G p3 (s) =
s ( s + 5.4899 *10 −3 )
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Dinámica del
barco
Angulo de
cabecera
Cambio del 20% en el polo LA
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Sensibilidad
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41
Sensibilidad
Sensibilidad
para el
cambio en la
ganancia de la
planta
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42
Sensibilidad
Sensibilidad
para el
cambio en la
ganancia de la
planta,
considerando
un aumento
de la ganancia
de Gc (5
veces)
Observemos el
cambio en la
magnitud de la
sensibilidad !!
¿Qué significa?
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Sensibilidad
Sensibilidad
para el
cambio en la
ganancia de la
planta,
considerando
un aumento
de la ganancia
de Gc
¿Qué significa
este resultado
en relación con
el cambio en la
función de
sensibilidad?
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Sensibilidad
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Sensibilidad
Rechazo al
ruido D1
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Sensibilidad
Rechazo al
ruido D1 y a
la
perturbación
en la planta
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