15. PARAMETRIZACIÓN DE CONTROLADORES
Hemos visto diferentes métodos para diseñar controladores. Es
posible, especificar todos los controladores que, al menos,
estabilicen un sistema dado.
15.1 Inversión en lazo cerrado
Hemos visto en los casos anteriores que el control depende de la
inversión del modelo de la planta.
Por ejemplo, en el control del lazo abierto tenemos:
To (s) G o (s)Q(s)
La importancia fundamental de la inversión es:
“To(jw) será 1 sólo en aquellas frecuencias donde Q(jw) invierte el
modelo”. La clave es que To(s) se ajuste con Q(s).
Por otro lado, con un control realimentado convencional, C(s), la
función de transferencia de lazo cerrado tiene la forma:
To (s)
G o (s)C(s)
1 G o (s)C(s)
Es una expresión no lineal en C(s). Esto hace difícil sintonizar C(s).
Comparando las dos ecuaciones anteriores vemos que se puede
obtener una relación de ajuste, considerando la ecuación:
Q(s)
C(s)
1 G o (s)C(s)
La idea es usar el método de inversión para diseñar Q(s) y luego
determinar los correspondientes valores de C(s).
15.3 Caso estable
Nuestro punto de partida será la relación entre Q(s) y C(s). Podemos
invertir la relación para expresar C(s) en función de Q(s) y de Go(s):
C(s)
Q(s)
1 G o (s)Q(s)
Esta ecuación es conocida como la parametrización de Youla de
todos los controladores estabilizante de las plantas estables.
Lema 15.1 Considerar una planta que tiene un modelo nominal
Go(s) controlada con una arquitectura realimentada de un grado de
libertad con un controlador propio. Entonces el lazo nominal es
internamente estable si y sólo si Q(s) es una función de transferencia
propia y estable, cuando la función de transferencia, C(s), del
controlador es parametrizada como en la ecuación:
C(s)
Q(s)
1 G o (s)Q(s)
Este lema se puede comprobar observando las funciones de
sensibilidad:
To (s ) Q(s )G o (s )
S o (s ) 1 Q(s )G o (s )
S io (s ) (1 Q(s )G o (s ))G o (s ) S o (s )G o (s )
S uo (s ) Q(s ) S o (s )C(s )
Esta parametrización se puede hacer explicita si el lazo de
realimentación se dibuja de la siguiente manera:
R(s)
+
U(s) +
Q(s)
Di(s)
+
Do(s)
+
Planta
Y(s)
+
Dm(s)
+
+
Ym(s) +
G0(s)
EQ(s)
Consideraciones de diseño.
De acuerdo a las funciones de sensibilidad, donde se usa Q(s),
podemos modelar una de las cuatro funciones. Las tres restantes
quedan especificadas por la elegida.
Una elección razonable para Q(s) podría ser:
Q(s ) FQ (s )G o (s)
1
Donde G o (s ) es la inversa exacta de Go(s). Luego FQ(s) juega un
rol clave en el diseño del controlador.
1
Para el diseño se analizarán algunos casos especiales como:
a)
b)
c)
d)
Ceros con fase no mínima (NMP)
Grado relativo del modelo
Rechazo a perturbaciones
Esfuerzo del control
Ceros con fase no mínima (NMP)
Si Go(s) es estable entonces Q(s) debe ser estable para asegurar
estabilidad en el lazo cerrado. Si Go(s) contiene ceros NMP,
entonces no pueden ser incluidos en [Go(s)]-1. Se puede usar:
Q(s) FQ (s)G oi (s)
Donde G oi (s ) es una aproximación estable de [Go(s)]-1. Por
ejemplo, factorizando Go(s) como:
G o (s )
B os (s)B ou (s)
A o (s )
Donde Bos(s) y Bou(s) son los factores estables e inestables en el
numerador, respectivamente, con Bou(0)=1, entonces una elección
aceptable para G oi (s ) podría ser:
G oi (s )
A o (s )
B os (s )
Grado relativo del modelo
Para tener un controlador propio es necesario que Q(s) sea propio.
Luego es necesario que el filtro modelador, FQ(s), tenga grado
relativo al menos igual al negativo de [Go(s)]-1. Conceptualmente,
esto se puede lograr incluyendo factores de la forma ( s 1)nd
con ( ) en el denominador. De esta forma, nd se escoge para
hacer Q(s), al menos, propio y se podría escoger para mantener
el diseño.
Rechazo de perturbaciones (estado estacionario)
Los errores de estado estacionario debido a perturbaciones de
entrada y salida se pueden reducir a cero si Q(jw) es la inversa
exacta de Go(jw) en todas las bandas de frecuencia donde las
perturbaciones de entrada y salida tienen energía significativa.
También se incluyen los casos en que las energías están
concentradas en ciertas frecuencias conocidas.
To (s ) Q(s )G o (s )
S o (s ) 1 Q(s )G o (s )
S io (s ) (1 Q(s )G o (s ))G o (s ) S o (s )G o (s )
S uo (s ) Q(s ) S o (s )C(s )
Esfuerzo de control
Vemos de So(s) y C(s) que si escogemos So(s)=0 para una
frecuencia dada, es decir Q(s)Go(s)=1, entonces tenemos ganancia
infinita en el controlador C(s) en la misma frecuencia.
So (s) 1 Q(s)G o (s)
C(s)
Q(s)
1 Q(s)G o (s)
0
