Eratóstenes. El radio de la Tierra

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0 Introducción
1 Análisis del método
2 Precisión del método
•
2.1 Coordenadas de Alejandría y Siena
•
2.2 Distancia de Alejandría y Siena
3 Simulación desde Alicante
•
3.1 Con el Ecuador
•
3.2 Con un punto en el mismo meridiano
•
3.3 Con cualquier otro punto
4 Otras mediciones de la Tierra
ƒ
4.1 Didearco
ƒ
4.2 Posidonio
Cronología
Lexicología
Apéndice
Bibliografía
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0: Introducción
En este apartado analizaremos y descubriremos los errores de la medición de
Eratóstenes del radio de la Tierra y simularemos el proceso desde diferentes puntos de
nuestro planeta, como el Ecuador.
Eratóstenes (c. 284-c. 192 a.C.), matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y
poeta griego. Midió la circunferencia de la Tierra con una precisión extraordinaria al
determinar, a través de la astronomía, la diferencia de latitud entre las ciudades de Siena
(actual Asuán) y Alejandría, en Egipto. Nació en Cirene (en la actualidad Shahhat, Libia).
Entre sus maestros se encontraba el poeta griego Calímaco de Cirene. Hacia el 240 a.C.,
Eratóstenes llegó a ser el director de la Biblioteca de Alejandría. Sus cálculos sobre la
circunferencia terrestre se basaron en el conocimiento de que en Siena al mediodía, en el
solsticio de verano, los rayos del sol incidían perpendicularmente sobre la tierra y, por
tanto, no proyectaban ninguna sombra (Siena estaba situada muy cerca del trópico de
Cáncer). En Alejandría se percató de que en la misma fecha y hora las sombras tenían un
ángulo de aproximadamente 7° con respecto a la vertical. Al conocer la distancia entre
Siena y Alejandría, pudo hallar a través de cálculos trigonométricos la circunferencia de la
Tierra. Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje
terrestre con respecto al plano de la órbita sobre el Sol) con un error de sólo 7' de arco, y
creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Tras quedarse ciego, murió
en Alejandría por inanición voluntaria.
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1: Análisis del método
El método de Eratóstenes fue muy simple, el solsticio de verano en Siena
(próxima al trópico de Cáncer) los rayos solares caían con una inclinación 0º (pozo en el
que se puede ver el fondo), pero en Alejandría los rayos caían con una inclinación de
7º20’ (sombra proyectada por el obelisco); por lo tanto la Tierra tenía que ser esférica. El
cálculo fue muy sencillo, con los datos obtenidos y la distancia Alejandría-Siena, cuya
medida ya era conocida y fue obtenida de la siguiente forma:
Unos esclavos llamados cuentapasos, que habían adquirido la costumbre de dar
los pasos de longitud constante, iban al comienzo de la caravana y mediante un sistema
de bolas de arcilla y cuerdas daban las diferentes medidas a los escribanos, que estaban
situados en un carro detrás de estos y apuntaban los datos en sus tablillas de cera.
Detrás de los escribas un esclavo tiraba de un carro más pequeño cuyas ruedas no
superaban los dos pies de diámetro. En una de estas ruedas había un pequeño clavo de
metal hacia dentro que cada vuelta golpeaba una barra de metal y hacía un clinc. Además
del escribano encargado de registrar a los cuentapasos había otro encargado de registrar
los clincs en su tabla y un grupo de encargados de registrar los accidentes geográficos y
los pueblos observados. Al anochecer apuntaban todos los datos en papiros.
La distancia obtenida fue aproximadamente 790 Km en nuestro sistema actual
(ver apéndice). Eratóstenes pensó que si una diferencia de 790 kilómetros (suponiendo
que la Tierra era esférica) equivalía a 7º 20’, toda la circunferencia terrestre (360º)
equivaldría a:
7 º 20 ' = 790 km
360 º = x
360 * 790
= x = 39 . 500 km
7 '20
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2: Precisión del método
En este apartado analizaremos los errores que tuvo Eratóstenes al realizar su
medida de la circunferencia terrestre.
2.1: Coordenadas de Alejandría y Siena
Las siguientes coordenadas y distancias han sido obtenidas mediante el atlas de
la Encarta
¾
Alejandría: 31º 10’ N; 29º 54’ E
¾
Asuán / Siena: 24º 06’ N; 32º 56,25’
El error en este apartado de Eratóstenes fue que
tomó
a
Siena
como
que
estaba
en
el
trópico
exactamente y el trópico está a 23º 26’ N (cuando Siena
está a 24º 06’ N), aunque este error no nos importa ya
que el dato por el que nos guiamos habla de un lugar
concreto, sin precisar si era necesario que estuviese en
el Trópico.
2.2: Distancia entre Alejandría y Siena
790 Km. Realmente la medida original se realizó
en estadios tuvo un margen de error debido a los
arcaicos métodos de la época. Pero la medición presenta
un pequeño problema, las dos ciudades no tienes la misma longitud y su trayecto no es
paralelo a ningún meridiano por lo que dará menos de lo debido.
Para este caso lo ideal sería calcular la distancia entre paralelos, que nos da
782’222km. También Eratóstenes tuvo un error con el ángulo, ya que aproximadamente la
diferencia de latitudes es 7’04º y también la medida Alejandría-Siena es aprox. 845 km.
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3: Simulación desde Alicante
Ahora intentaremos imitar el método de Eratóstenes desde diferentes puntos del
globo. Las siguientes medidas han sido obtenidas mediante el atlas dinámico de la
enciclopedia Encarta y del libro de biología “¿en qué mundo vives? 4º ESO”
3.1: Con el Ecuador o los Trópicos
o
Distancia Ecuador-Alicante: 4.260km
o
Latitud Alicante: 38º 20’ N
El método empleado es el siguiente:
Ponemos un gnomon en Alicante y al mediodía solar medimos la sombra que
proyecta. Mediante la tangente obtenemos el ángulo.
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El ángulo nos dará cerca de la latitud de Alicante, que sabemos que es 38º20’N y
en decimal 38’3333333º.
Con el ángulo conocido y tomando el Ecuador como ángulo 0, solo tenemos que
emplear la proporcionalidad directa y ya tenemos la circunferencia de la Tierra
38'2º = 4.260km
360º = x
360º*4.260km
= 40.006,95653
38,2º
3.2: Otro punto en el mismo meridiano
Ampthill (Inglaterra): 0º 29’ O; 52º 01’ N
Alicante: 38º 20’ N, 0º29’ O
Distancia Ampthill-Alicante: 1520 Km (Encarta)
Para este cálculo hemos empleado el mismo proceso que en la medida anterior
con la diferencia es que el proceso se repite con un gnomon en cada ciudad en el que se
mide la sombra a la misma hora.
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Amphtill
¾
Gnomon: 20 cm
¾
Sombra: 15’620 cm
¾
Tangente: 1’2804
¾
Ángulo: 52º 01’
Alicante
¾
Gnomon: 20 cm
¾
Sombra: 25’4154 cm
¾
Tangente: 0’7869
¾
Ángulo: 38º 20’
Con la distancia entre ambos puntos (1520 km) y la diferencia de ángulos (52º 01’
– 38º 20’= 13º 41’) podemos obtener mediante el método anterior la circunferencia de la
Tierra
360º*1.520km
= 40.000km
52º −38,20º
Lo correcto para estos cálculos es tomar siempre la distancia entre latitudes, pero
al ser un punto en el mismo
meridiano no es necesario.
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3.3: Cualquier otro punto
Se coloca un gnomon en Alicante y otro en Nueva York y se mide la sombra
proyectada por ambos gnomons en el mediodía solar de cada sitio.
Alicante-Nueva York: 5.840 km
Alicante
¾ Gnomon: 20 cm
¾ Sombra: 25’4154 cm
¾ Tangente: 0’7869
¾ Ángulo: 38º 20’
Nueva York:
o Gnomon: 20 cm
o Sombra: 23,48 cm
o Tangente: 0,8516
o Ángulo: 40º 42’
360 * 5.840 km
)
= 888.338'028km
2'36
como podemos ver si utilizamos la distancia en linea recta nos ocurre lo mismo
que a Eratóstenes con Alejandría y Siena, que nos da un resultado erróneo. Lo correcto
sería tomar la distancia entre paralelos.
Distancia entre paralelos 246,66666 km
)
360 * 246.6km
)
= 37.521km
2'36
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4: Otras mediciones de la Tierra
De entre todos los sabios peripatéticos sobresale Didearco de Mesana (350, 290
a.C.) considerado como uno de los más importantes geógrafos griegos. En su obra
describe el ecúmene y lo dimensiona: 60000 estadios de Este a Oeste y 40000 estadios
de Norte a Sur. Con independencia de la dificultad presente al transformar dichas
medidas en unidades actuales, se puede y debe afirmarse que son menos aproximadas
que las obtenidas en el siglo siguiente por Eratóstenes de Cirene. A Didearco se la
atribuye la medida del arco de meridiano comprendido entre Siena y Lisimaquia, así como
la extrapolación para asignar a la circunferencia terrestre un total de 300000 estadios.
Para ello observó que en el cenit de Lisimaquia estaba la cabeza de la constelación del
Dragón mientras que el cenit de Siena correspondía con la de Cáncer. Como el arco
determinado por las dos constelaciones lo cifró en 1/15 de la circunferencia celeste, las
verticales de ambas ciudades abarcarían sobre la superficie terrestre un arco de idéntica
amplitud. Dado que la distancia entre ambas ciudades se estimaba en 20000 estadios,
resultaba para la totalidad de la circunferencia una longitud de 300.000 estadios
(47.400km).
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Posidonio (130, 50 a.C.) fue otro de los grandes geógrafos de la época, que se
preocupó de calcular la longitud de la circunferencia terrestre, mediante su medición,
aunque muy problemática, le asignó un valor de 180000 estadios. Se cree que para ello
se basó en el arco de meridiano Rodas Alejandría (trayecto marítimo) que estimó en 1/48
del meridiano (dato que obtuvo al observar que cuando la estrella Carinae estaba en el
horizonte de Rodas en Alejandría tenía una altura de 7º30’, equivalente a 1/48 de la
circunferencia meridiana), suponiendo que la distancia entre las dos ciudades era de 5000
estadios, resultarían para la circunferencia 240000 estadios, que se transformaría en
180000 si los 5000 estadios se redujeran a 3750, una cifra que fue luego aceptada tanto
por Marino de Tiro como por Tolomeo.
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Comparativa
gráfica de las
diferentes
mediciones
aparecidas
en el trabajo.
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Cronología de personajes
Lexicología
Arco de meridiano: sección de un meridiano.
Cenit: (Del m. or. que acimut, por error de transcripción de los copistas) intersección
de la vertical de un lugar con la esfera celeste, por encima de la cabeza del
observador.
Coordenadas: (Del lat. Ordināre (co-)) se dice de las líneas que sirven para
determinar la posición de un punto, y de los ejes o planos a que se refieren aquellas
líneas.
Ecuador: (Del lat. aequātor, -ōris).paralelo que se toma como 0º de latitud
Ecúmene: comunidad humana que habita una porción extensa de la Tierra.
Estadio: (Del lat. stadĭum, y este del gr. στάδιoν). medida antigua (1km = 6,33
estadios)
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Gnomon: (Del lat. gnomon, y este del gr. γνώμων) palo vertical de altura
determinada
Latitud: (Del lat. latitūdo). distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador. Puede
ser de hasta 90º N/S.
Longitud: (Del lat. longitūdo) distancia en grados entre un meridiano con el
meridiano de Greenwich. Su máximo es 180º E/W.
Meridiano: (Del lat. meridiānus) cada una de las líneas imaginarias que atraviesan la
Tierra de polo a polo
Paralelo: (Del lat. parallēlos, y este del gr. παράλληλoς). cada una de las líneas
imaginarias que rodean la Tierra de este a oeste.
Peripatético: (Del lat. peripatetĭcus, y este del gr. περιπατητικός) persona que
enseña mientras camina
Radio: (Del lat. radĭus). línea recta comprendida entre un punto cualquiera de la
circunferencia del círculo hasta el centro del mismo
Solsticio: (Del lat. solstitĭum) Época en que el Sol se halla en uno de los dos
trópicos, lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el de Cáncer, y del 21 al 22 de
diciembre para el de Capricornio.
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Tangente: (Del ant. part. act. de tangir ; lat. tangens, -entis).cociente entre los
catetos de un triángulo cateto opuesto / cateto contiguo. En la época de Eratóstenes
existían tablas ángulo-tangente
Trópicos: (Del lat. tropĭcus, y este del gr. τρoπικός). líneas imaginarias situadas a
aproximadamente 23º de latitud
Apéndice
Un problema muy complejo ya desde la
época de los griegos era el de la
unificación de las unidades para medir distancias. Aristóteles, que conocía las diferentes
formas de medición, había propuesto las siguientes unidades: la base debía de ser el
estadio ático, que consistía en 100 orguias; una orguia consistía en 6 pies; y un pie en 16
dáctilos o dedos. A su vez, 30 estadios equivalían a un parasanga, medida copiada de los
persas para calcular un hora de camino de un buen marchador.
La equivalencia actual entre estadios y metros era aproximadamente 1000m =
6’33 estadios.
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Bibliografía
Enciclopedia Encarta 2003 (y componentes)
Libro de Biología 4º de ESO “¿En qué mundo vives?”
Imágenes: mapas extraídos del atlas dinámico de la Encarta 2003
Portada y análisis del método recibidas por correo
Resto: propias.
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