Capítulo 2 ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE En este capítulo ([1], [3] y [5]) discutimos los métodos de estimación espectral univariable más populares basados en el análisis de Fourier, los cuales no hacen hipótesis sobre cómo se generaron los datos y, por lo tanto se denominan, no paramétricos. Estos estimadores tan sólo presuponen las propiedades de estacionariedad y ergodicidad al proceso estocástico x(n ) del cual proviene la realización x[n] utilizada para estimar el espectro de x(n ) . Estos métodos son también referidos como técnicas clásicas, para distinguirlos de los métodos de estimación espectral modernos o paramétricos descritos en el Capítulo 3. Como características fundamentales de los estimadores no paramétricos o clásicos, mencionar que son sesgados, aunque asintóticamente insesgados, e inconsistentes, aunque se pueden hacer consistentes promediando diversas estimaciones espectrales independientes de la misma señal (método de Welch). La propiedad del sesgo proviene del enventanado inherente al algoritmo de estimación. Esto hace que los espectros estimados mediante métodos no paramétricos tengan un aspecto de combinación lineal de sincs. El énfasis de los métodos clásicos se centra en obtener una estima consistente del espectro de potencia a través de algunas operaciones de promediado o suavizado realizadas directamente sobre el periodograma o autocorrelación. Las conclusiones principales que resultan del estudio de los métodos clásicos son que el sesgo del estimador se puede reducir si estamos dispuestos a permitir un aumento de la varianza, y viceversa, pero ambos tipos de errores no pueden ser reducidos simultáneamente. Si el sesgo es demasiado severo o alternativamente, la resolución no es adecuada para una determinada aplicación, debemos recurrir a otros métodos. Si, sin embargo, la resolución es adecuada y la varianza está en un nivel aceptable, los métodos de Fourier son satisfactorios en la práctica. Como las estimas están basadas enteramente en un registro de datos de longitud finita, la resolución en frecuencia de estos métodos es, como mucho, igual al ancho espectral de la ventana rectangular de longitud N, que es aproximadamente 1 N en los puntos de -3dB. Más adelante especificaremos con mayor precisión la resolución en frecuencia de cada método. Todas las técnicas descritas en esta sección, excepto el periodograma, reducen la resolución en frecuencia para reducir la varianza de la estima espectral. Se pueden definir dos momentos útiles para describir procesos estocásticos estacionarios y ergódicos: la media y la autocorrelación, así como también se pueden estimar ambos momentos o promedios. Este capítulo se dedica a la estimación del promedio denominado espectro Pxx ( f ) , que se define como la transformada de Fourier de la autocorrelación: Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 23 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE Pxx ( f ) = ∞ ∑r k = −∞ xx (k )e − j 2 πfk . (2.1) Además, los métodos no paramétricos de estimación espectral de potencia son relativamente simples y fáciles de calcular utilizando el algoritmo de la DFT. Sin embargo, estos métodos necesitan de la disponibilidad de largos registros de datos para obtener la resolución en frecuencia requerida en muchas aplicaciones. No obstante, estos métodos sufren efectos de derrame espectral (ver Anexo V), debido al enventanado, que son inherentes a los registros de datos de longitud finita. A menudo, el derrame espectral enmascara señales débiles que están presentes en los datos. Existen dos métodos de estimación espectral no paramétrica (ver Figura 2.1): los métodos directos, entre los que están el periodograma, el periodograma modificado, el estimador espectral de Bartlett y el estimador espectral de Welch, y los métodos indirectos, como es el estimador espectral de Blackman-Tukey. Los métodos indirectos estiman en primer lugar la autocorrelación rxx (k ) a partir de una realización finita x[n] del proceso estocástico x(n ) , para obtener la estima del espectro Pxxindirecto ( f ) mediante la transformada de Fourier de dicha autocorrelación. En cambio, los métodos directos estiman el espectro Pxxdirecto ( f ) del proceso estocástico estacionario y ergódico x(n ) como la magnitud (módulo al cuadrado de su transformada de Fourier) de una realización finita x[n] . Esta estimación es una aplicación de la relación de Wiener-Khintchine Pxx ( f ) = ∞ ∑r k = −∞ xx ( k )e − j 2 πfk = ∞ ∑ x[n]e 2 − j 2 πfn . (2.2) n = −∞ Realización x[n] del proceso estocástico x(n) Método indirecto Estima de rxx (k ) Método directo Estima de Pxx ( f ) Figura 2.1 Métodos de estimación no paramétricos. Mencionar que el estimador del espectro genera en cada frecuencia una variable aleatoria que estima su potencia en dicha frecuencia. Así el resultado de la estimación espectral es una realización de un proceso estocástico. Existen muchas variantes a estos estimadores espectrales que no veremos, así que este capítulo nos servirá para resumir las principales ventajas y desventajas de los métodos clásicos y motivar el interés por la estimación espectral moderna. 2.1. MÉTODOS DIRECTOS 2.1.1. Periodograma El espectro de potencia de un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio (WSS) es la transformada de Fourier de la secuencia de autocorrelación: 24 Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE Pxx ( f ) = ∞ ∑r k = −∞ xx (k )e − j 2 πfk . (2.1.1) De esta forma, la estimación espectral puede considerarse como un problema de estimación de la autocorrelación. Para un proceso ergódico en autocorrelación y una cantidad ilimitada de datos, la secuencia de autocorrelación puede ser obtenida mediante el promedio temporal, N 1 rxx (k ) = lim x ( n) x * ( n − k ) . (2.1.2) ∑ N →∞ 2 N + 1 n=− N Pero si la señal x(n ) es conocida únicamente en un intervalo finito (para n = 0,1,..., N − 1 ), entonces la secuencia de autocorrelación se ha de estimar mediante una suma finita, 1 N −1 rˆxx (k ) = ∑ x(n) x * (n − k ) . (2.1.3) N n =0 Con el fin de asegurar que los valores de x(n ) fuera del intervalo [0, N − 1] estén excluidos del sumatorio, escribimos la ecuación anterior de la forma siguiente: rˆxx (k ) = 1 N N −1 ∑ x ( n) x * (n − k ) , k = 0,1,..., N − 1 . (2.1.4) n=k Para valores negativos de k, se aplica la propiedad de simetría conjugada, rˆxx (− k ) = rˆxx* (k ) , (2.1.5) y para valores fuera del intervalo [− N + 1, N − 1] , se iguala a cero, rˆxx (k ) = 0 , k ≥ N . (2.1.6) Aplicando la transformada de Fourier a la secuencia de autocorrelación calculada, obtenemos el estimador espectral de potencia denominado periodograma como PˆxxP ( f ) = N −1 ∑ rˆ xx k = − N +1 (k )e − j 2 πfk . (2.1.7) En ocasiones, puede resultar más conveniente expresar el periodograma en función del proceso x(n ) . Supongamos que x N (n) es una secuencia de longitud N, igual a x(n ) en el intervalo [0, N − 1] , y cero fuera de este intervalo, x(n ) 0 ≤ n ≤ N − 1 . x N ( n) = e.o.c. 0 Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales (2.1.8) 25 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE De esta manera, podemos considerar x N (n) como el producto de x(n ) con una ventana rectangular w R (n) , x N ( n) = w R ( n) x ( n) . (2.1.9) Y en términos de x N (n) , podemos expresar la secuencia de autocorrelación estimada como 1 ∞ 1 rˆxx (k ) = x N (n) x *N (n − k ) = x N (k ) ∗ x *N (−k ) . (2.1.10) ∑ N n = −∞ N Tomando la transformada de Fourier y aplicando el teorema de la convolución, el periodograma adquiere la forma 1 1 2 PˆxxP ( f ) = X N ( f ) X N* ( f ) = XN(f) , N N (2.1.11) donde X N ( f ) es la transformada discreta de Fourier de la secuencia x N (n) , XN(f ) = ∞ ∑ n = −∞ N −1 x N (n)e − j 2 πfn = ∑ x(n)e − j 2 πfn . (2.1.12) n =0 Así, el periodograma es proporcional al cuadrado de la transformada discreta de x N (n) , y puede calcularse fácilmente de la siguiente manera: DFT x N ( n) → X N ( k ) → 1 2 X N ( f ) = PˆxxP ( f ) . N (2.1.13) Idealmente, al crecer la longitud de los datos, el periodograma debería converger al espectro de potencia del proceso, Pxx ( f ) . Pero hemos de ser cautos al tratar la convergencia del periodograma, y puesto que éste es una función de variables aleatorias x(0 ),..., x( N − 1) , es necesario considerar la convergencia en un sentido estadístico. Por ello, vamos a estudiar la convergencia cuadrático-media del periodograma, es decir, evaluaremos si se cumple o no la ecuación 2 lim Ε PˆxxP ( f ) − Pxx ( f ) = 0 . N →∞ (2.1.14) Para que el periodograma sea un estimador convergente en sentido cuadrático-medio, ha de ser asintóticamente insesgado { } lim Ε PˆxxP ( f ) = Pxx ( f ) , N →∞ (2.1.15) y tener una varianza que tienda a cero cuando la longitud de los datos N tiende a infinito, lim Var PˆxxP ( f ) = 0 . (2.1.16) N →∞ 26 { } Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE Por tanto, para que el periodograma sea un estimador consistente del espectro de potencia, ha de converger, en algún sentido, al verdadero valor del espectro estimado. Para concluir nuestro estudio del periodograma, resumimos algunas de sus propiedades, como son el sesgo o bias, la resolución y la varianza, las cuales nos ayudan a evaluar las prestaciones del periodograma: 1. Sesgo o bias. Si calculamos el valor esperado de rˆxx (k ) , para k = 0,1,..., N − 1 resulta Ε{rˆxx (k )} = 1 N ∑ Ε{x[n]x [n − k ]} = N ∑ r N −1 1 * n=k N −1 n=k xx (k ) = N −k rxx (k ) , N (2.1.17) donde para k ≥ N , el valor esperado es cero. Utilizando la simetría conjugada de rˆxx (k ) , tenemos Ε{rˆxx (k )} = wB (k )rxx (k ) , (2.1.18) donde wB (k ) es la ventana de Bartlett (triangular) N − k wB ( k ) = N 0 k ≤N (2.1.19) e.o.c. Hemos obtenido, por tanto, que rˆxx (k ) es una estimación sesgada de la autocorrelación. A partir de esta expresión, calculamos el valor medio del periodograma { } ∞ N −1 N −1 Ε PˆxxP ( f ) = Ε ∑ rˆxx (k )e − j 2 πfk = ∑ Ε{rˆxx (k )}e − j 2 πfk = ∑ rxx (k ) wB (k )e − j 2 πfk k = −∞ k = − N +1 k = − N +1 (2.1.20) que es la transformada de Fourier del producto rxx (k ) wB (k ) . Si aplicamos el teorema de convolución en frecuencia, obtenemos { } Ε PˆxxP ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WB ( f ) , (2.1.21) donde WB ( f ) es la transformada de Fourier de la ventana de Bartlett, wB (k ) , 1 sen(πfN ) . WB ( f ) = N sen(πf ) 2 (2.1.22) Por tanto, el valor esperado del periodograma es la convolución del espectro de potencia Pxx ( f ) con la transformada de Fourier de la ventana de Bartlett (ventana triangular de longitud 2 N − 1 centrada en el origen), y por consiguiente, el periodograma resulta ser un estimador sesgado. No obstante, como WB ( f ) converge a un impulso cuando N tiende a infinito, el periodograma es asintóticamente insesgado, Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 27 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE { } N →∞ Pxx ( f ) ∗ W B ( f ) → Pxx ( f ) ⇒ lim Ε PˆxxP ( f ) = Pxx ( f ) . N →∞ (2.1.23) El efecto del sesgo es inevitable, pues es inherente a la longitud finita de los datos. Sí se puede reducir el sesgo modificando la ventana de tal manera que la nueva W ( f ) se aproxime más a una delta. 2. Resolución. El sesgo se manifiesta tanto en la anchura del lóbulo principal como en la presencia de lóbulos laterales. La anchura del lóbulo principal genera pérdida de resolución, siendo la máxima resolución f ∆f = β s , (2.1.24) N donde ∆f es la resolución espectral, β es una constante que depende del tipo de ventana, f s es la frecuencia de muestreo (en discreto igual a 1), y N es el número de muestras de la señal. Así, el suavizado introducido por la ventana de Bartlett también limita la habilidad del periodograma para discriminar componentes de banda estrecha próximas entre sí. Supongamos, por ejemplo, un proceso aleatorio formado por dos sinusoides en ruido blanco: x(n ) = A1 sen(2πf 1 n + φ1 ) + A2 sen(2πf 2 n + φ 2 ) + v(n) , (2.1.25) donde φ1 y φ 2 son variables aleatorias incorreladas uniformemente distribuidas y v(n ) es ruido blanco con varianza σ v2 . El espectro de potencia de x(n ) es Pxx ( f ) = σ v2 + (1 4 )A12 [δ( f − f 1 ) + δ( f + f 1 )] + (1 4)A22 [δ( f − f 2 ) + δ( f + f 2 )] . (2.1.26) Y el valor esperado del periodograma es Pxx ( f ) ∗WB ( f ) = (2.1.27) = σ + (1 4 )A [W B ( f − f 1 ) + W B ( f + f 1 )] + (1 4)A [W B ( f − f 2 ) + W B ( f + f 2 )] . 2 v 2 1 2 2 Puesto que la anchura del lóbulo principal de WB ( f ) crece cuando la longitud de los datos decrece, para un valor dado de N, existe un límite en la proximidad de dos sinusoides o procesos de banda estrecha para que dichas componentes puedan ser resueltas o discriminadas. Una forma de definir esta resolución es imponer a ∆f la anchura del lóbulo principal del espectro de la ventana WB ( f ) a su “potencia mitad” o a 6dB. Para la ventana de Bartlett, ∆f = 0.89 N , y ésta es, por tanto, la resolución del periodograma. Debemos destacar que esta definición de ∆f es una regla práctica y debe utilizarse como referencia o guía para determinar la cantidad de datos que es necesaria para una resolución dada. Lo más importante es el hecho de que la resolución depende sólo de la longitud temporal, no de la frecuencia de muestreo o el sobremuestreo de la transformada de Fourier, y es inversamente proporcional a la longitud de datos N. No obstante, aunque esta definición de ∆f es algo arbitraria, generalmente se encuentran 28 Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE dificultades para discriminar detalles en el espectro que se encuentran más próximos que esta cantidad. Por otra parte, los lóbulos laterales se manifiestan en que la potencia de una frecuencia afecta a todo el espectro. 3. Varianza. Sabemos que el periodograma es un estimador asintóticamente insesgado del espectro de potencia, luego, para que sea un estimador consistente, la varianza ha de tender a cero cuando N tiende a infinito. Desafortunadamente, la varianza es un parámetro difícil de calcular, ya que depende de momentos de cuarto orden del proceso. De cualquier modo, vamos a evaluarla para el caso especial de ruido blanco gausiano. Supongamos que x(n ) es un proceso blanco gausiano con varianza σ x2 . El periodograma puede ser expresado de la siguiente manera: 1 PˆxxP ( f ) = N N −1 ∑ x ( n )e 2 − j 2 πfn = n =0 = 1 N N −1 N −1 N −1 1 N −1 * − j 2 πfn j 2 πfl x ( n ) e ∑ ∑ x (l )e = N n =0 l = 0 ∑∑ x(n) x (l )e * − j 2 πf ( n − l ) . (2.1.28) n=0 l =0 Por tanto, el momento de segundo orden del periodograma es { } 1 Ε PˆxxP ( f 1 ) PˆxxP ( f 2 ) = 2 N ∑ ∑ ∑ ∑ Ε{x(k ) x N −1 N −1 N −1 N −1 * } (l ) x(m) x * (n) e − j 2 πf1 ( k −l ) e − j 2 πf 2 ( m − n ) . k =0 l =0 m=0 n =0 (2.1.29) Vemos que depende de momentos de cuarto orden de x(n ) . Como x(n ) es gausiano, podemos utilizar el teorema de factorización de momentos y simplificar la expresión anterior. Para variables aleatorias gausianas complejas, tenemos Ε{x(k ) x * (l ) x(m) x * (n)} = Ε{x(k ) x * (l )}Ε{x(m) x * (n)}+ Ε{x(k ) x * (n)}Ε{x(m) x * (l )}. (2.1.30) Sustituyendo esta ecuación en la anterior, el momento de segundo orden del periodograma se convierte en una suma de dos términos. El primero contiene productos de Ε{x(k ) x* (l )} por Ε{x(m) x * (n)}. Para ruido blanco, estos productos se igualan a σ x4 cuando k = l y m = n , y a cero para otros valores. Por tanto, el primer término se simplifica como 1 N −1 N −1 4 σ = σ 4x . (2.1.31) 2 ∑∑ x N k =0 m =0 El segundo término, contiene productos de Ε{x(k ) x * (n)} por Ε{x(m) x * (l )}. De nuevo, con ruido blanco, estos términos toman valor distinto de cero para k = n y l = m , siendo σ x4 dicho valor. Así, el segundo término queda Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 29 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE 1 N2 N −1 N −1 σ 4x k =0 l =0 N2 ∑ ∑ σ 4x e − j 2πf1 ( k −l ) e − j 2πf 2 ( k −l ) = σ4 = x2 N N −1 N −1 k =0 l =0 ∑ e − j 2πk ( f1 − f 2 ) ∑ e − j 2πl ( f1 − f 2 ) = 1 − e − j 2 πN ( f1 − f 2 ) 1 − e j 2 πN ( f1 − f 2 ) sen( Nπ( f1 − f 2 ) ) = σ 4x . j 2 π ( f1 − f 2 ) − j 2 π ( f1 − f 2 ) Nsen(π( f1 − f 2 ) ) 1− e 1− e 2 (2.1.32) Si aplicamos los resultados obtenidos a la ecuación del momento de segundo orden del periodograma, tenemos sen( Nπ( f − f ) ) 2 P P 4 1 2 ˆ ˆ Ε Pxx ( f1 ) Pxx ( f 2 ) = σ x 1 + . ( ( Nsen π f − f 1 2 )) { } (2.1.33) La expresión de la covarianza es { } { } { }{ } Cov PˆxxP ( f1 ) PˆxxP ( f 2 ) = Ε PˆxxP ( f 1 ) PˆxxP ( f 2 ) − Ε PˆxxP ( f 1 ) Ε PˆxxP ( f 2 ) . { (2.1.34) } Para ruido blanco, Ε PˆxxP ( f ) = σ 2x , por tanto, sen( Nπ( f 1 − f 2 ) ) Cov PˆxxP ( f 1 ) PˆxxP ( f 2 ) = σ 4x . Nsen(π( f 1 − f 2 ) ) { 2 } { (2.1.35) } Finalmente, con f1 = f 2 , obtenemos para la varianza, Var PˆxxP ( f ) = σ 4x . Observamos que la varianza no tiende a cero cuando N tiende a infinito, por ello, el periodograma no es un estimador consistente del espectro de potencia. De hecho, como Pxx ( f ) = σ 2x , la varianza del periodograma de ruido blanco gausiano es proporcional al cuadrado del espectro de potencia, Var PˆxxP ( f ) = Pxx2 ( f ) . (2.1.36) { } Aunque el análisis estadístico para procesos gausianos no blancos es más difícil, podemos obtener una expresión aproximada para la varianza. Recordamos que un proceso aleatorio x(n ) con espectro de potencia Pxx ( f ) puede ser generado filtrando un ruido blanco de varianza unidad u (n ) con un filtro lineal invariante en el tiempo h(n ) 2 de respuesta frecuencial H ( f ) (ver Figura 2.2), de manera que H ( f ) = Pxx ( f ) . ∞ Ruido blanco u(n) σ =1 Filtro LTI H(f) x (n ) = ∑ h(k )u (n − k ) k =0 2 u Figura 2.2. Filtro generador del proceso aleatorio x(n ) a partir de ruido blanco u (n ) . Si x N (n) y u N (n) son secuencias de longitud N formadas por el enventanamiento de x(n ) y u (n ) , respectivamente, los periodogramas de estos procesos son 30 Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE 1 2 PˆxxP ( f ) = XN(f ) N (2.1.37) 1 2 PˆuuP ( f ) = U N ( f ) . N (2.1.38) Aunque x N (n) no es exactamente igual a la convolución de u N (n) con h(n ) , si N es grande comparado con la longitud de h(n ) , los efectos del régimen transitorio se reducen, por tanto, (2.1.39) x N ( n) ≈ h( n) ∗ u N ( n) . Puesto que 2 2 2 2 X N ( f ) ≈ H ( f ) U N ( f ) = Pxx ( f ) U N ( f ) , (2.1.40) la expresión del periodograma de x(n ) se puede aproximar como PˆxxP ( f ) ≈ Pxx ( f ) PˆuuP ( f ) . (2.1.41) Por consiguiente, expresamos la varianza del periodograma { } { } Var PˆxxP ( f ) ≈ Pxx2 ( f )Var PˆuuP ( f ) , (2.1.42) y dado que la varianza del periodograma de u (n ) es la unidad, tenemos { } Var PˆxxP ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) . (2.1.43) Así, para valores altos de N, la varianza del periodograma de un proceso aleatorio gausiano es proporcional al cuadrado de su espectro de potencia. El momento de segundo orden y la covarianza pueden generalizarse de forma similar para ruido gausiano no blanco. Para el momento de segundo orden obtenemos la expresión sen( Nπ( f − f ) ) 2 P P 1 2 ˆ ˆ Ε Pxx ( f1 ) Pxx ( f 2 ) ≈ Pxx ( f1 ) Pxx ( f 2 )1 + , (2.1.44) ( Nsen ( f f π − 1 2 )) y para la covarianza, { } sen( Nπ( f1 − f 2 ) ) Cov Pˆ ( f1 ) Pˆ ( f 2 ) ≈ Pxx ( f1 ) Pxx ( f 2 ) . Nsen(π( f 1 − f 2 ) ) { P xx P xx } 2 (2.1.45) Para valores altos de N, el término entre corchetes se aproxima a cero si f1 − f 2 >> 1 N , lo que significa que existe poca correlación entre una frecuencia y otra. Por último, resumimos las propiedades del periodograma: 1 1 2 PˆxxP ( f ) = X N ( f ) X N* ( f ) = XN(f) . N N Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales (2.1.46) 31 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE 1. Sesgo o bias: { } Ε PˆxxP ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WB ( f ) . (2.1.47) 2. Resolución: ∆f = 0.89 3. Varianza: { N . (2.1.48) } Var PˆxxP ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) . (2.1.49) 2.1.2. Periodograma modificado El periodograma modificado tiene por objetivo solucionar el problema de enmascaramiento espectral producido por el periodograma, ocasionado por la gran amplitud de los lóbulos secundarios de la ventana rectangular. Para ello, propone enventanar el proceso con una ventana general w(n ) . El periodograma modificado se expresa según la ecuación: 1 PˆxxM ( f ) = NU ∞ ∑ x(n)w(n)e 2 − j 2 πfn , (2.1.50) n = −∞ donde N es la longitud de la ventana, y U= 1 N N −1 ∑ w(n) 2 . (2.1.51) n =0 U es una constante definida de forma que el periodograma modificado resulte asintóticamente no sesgado. Veamos la influencia de la ventana en la estimación. Sabemos que el periodograma es proporcional al cuadrado de la transformada de Fourier de la señal enventanada, x N (n) = x(n) w R (n) , 1 1 2 PˆxxP ( f ) = XN(f) = N N ∞ 2 ∑ x(n)wR (n)e − j 2πfn . (2.1.52) n = −∞ A partir de esta expresión, podemos evaluar el valor esperado del periodograma como: { * ∞ ∞ − j 2 πfn − j 2 πfm Ε ∑ x ( n) w R ( n)e ∑ x ( m) w R ( m)e = n = −∞ m = −∞ 1 ∞ ∞ = Ε ∑ ∑ x(n) x * (m) w R (m) w R (n)e − j 2 πf ( n − m ) = N m = −∞ n = −∞ ∞ ∞ 1 = (2.1.53) ∑ ∑ rxx (n − m)wR (m)wR (n)e − j 2πf ( n−m) . N m = −∞ n = −∞ } 1 Ε Pˆ ( f ) = N P xx Realizamos el cambio de variables k = n − m : 32 Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE { } 1 Ε PˆxxP ( f ) = N = 1 N ∞ ∑r k = −∞ xx ∞ ∞ ∑ ∑r k = −∞n = −∞ xx (k )w R (n) w R (n − k )e − j 2 πfk = 1 (k ) ∑ wR (n) wR (n − k )e − j 2 πfk = N n = −∞ ∞ ∞ ∑r k = −∞ xx (k ) wB (k )e − j 2 πfk , (2.1.54) donde wB (k ) es la ventana de Bartlett: w B (k ) = w R (k ) ∗ w R (− k ) = ∞ ∑w n = −∞ R ( n) w R ( n − k ) . (2.1.55) Utilizando el teorema de la convolución en frecuencia, el valor esperado del periodograma es 1 2 Ε PˆxxP ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WR ( f ) , (2.1.56) N con sen( Nπf ) − jπf ( N −1) WR (e jw ) = e (2.1.57) sen(πf ) { } la transformada de Fourier de la ventana rectangular, w R (n) . Observando la ecuación del valor esperado del periodograma deducimos que el suavizado producido en el periodograma viene determinado por la ventana que se aplica a los datos. Aunque la ventana rectangular tiene un lóbulo principal estrecho comparado con otras ventanas, y, por ello, proporciona una cantidad mínima de alisado espectral, tiene lóbulos laterales relativamente grandes, que tienden a enmascarar componentes de banda estrecha de baja potencia. La reducción de amplitud de los lóbulos laterales puede llevarse a cabo a expensas de un incremento en la anchura del lóbulo principal, lo que da lugar a una menor resolución. Esta es la razón por la que el periodograma modificado utiliza distintos tipos de ventanas. Vamos a evaluar las prestaciones de este método de estimación espectral. El valor esperado del periodograma modificado es { } 1 2 Ε PˆxxM ( f ) = Pxx ( f ) ∗ W ( f ) , NU (2.1.58) donde W ( f ) es la transformada de Fourier de la ventana. Con U= 1 N N −1 ∑ w(n) 2 = n =0 1 N 1 ∫ −1 2 W ( f ) df , (2.1.59) entonces 1 NU y con la ventana apropiada, W ( f ) 2 1 ∫ −1 2 W ( f ) df = 1 , (2.1.60) NU converge a un impulso de área unidad con N tendiendo a infinito. De esta manera, recordar que la ventana no elimina el sesgo, sólo lo reduce. Así, el periodograma modificado sigue siendo sesgado, aunque asintóticamente insesgado. (Lógicamente, si w(n ) es una ventana rectangular, U = 1 y Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 33 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE el periodograma modificado se reduce al periodograma). Así pues, el periodograma modificado es simplemente el periodograma de una secuencia de datos enventanados, por tanto, la varianza del periodograma modificado es aproximadamente igual a la del periodograma, es decir: Var PˆxxM ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) . (2.1.61) { } Y como la varianza del periodograma modificado no tiende a cero al crecer N, no es un estimador consistente del espectro de potencia. Por tanto, el enventanado no ofrece beneficio en cuanto a una reducción en la varianza. La ventana proporciona un compromiso entre la resolución (anchura del lóbulo principal) y el enmascaramiento espectral (amplitud de lóbulos laterales). Supongamos que definimos la resolución del periodograma modificado como el ancho de banda a 3dB de la ventana de datos: { } Re s PˆxxM ( f ) = (∆f )3dB . (2.1.62) Veamos las características de las ventanas utilizadas en la siguiente tabla: Ventana Nivel lóbulo secundario -13 -27 -32 -43 -58 Rectangular Bartlett Hanning Hamming Blackman Resolución 3dB (∆f ) 0.89 N 1.28 N 1.44 N 1.30 N 0.89 N Tabla 2.1. Tipos de ventanas. Podemos observar una reducción en la amplitud del lóbulo secundario, producida al aplicar una ventana diferente a la rectangular, pero el valor de la resolución crece, es decir, aumenta la separación mínima entre componentes espectrales que vamos a ser capaces de discriminar. Por último, resumimos las propiedades del periodograma modificado: 1 PˆxxM ( f ) = NU U= 1. Sesgo o bias: { 1 N ∞ ∑ x(n)w(n)e 2 − j 2 πfn , (2.1.63) n = −∞ N −1 ∑ w(n) 2 . (2.1.64) n =0 } 1 2 Ε PˆxxM ( f ) = Pxx ( f ) ∗ W ( f ) . NU (2.1.65) 2. Resolución: dependiente de la ventana utilizada (ver Tabla 2.1). 3. Varianza: { } Var PˆxxM ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) . 34 (2.1.66) Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE 2.1.3. Método de Bartlett El método de Bartlett (1948) es un estimador consistente del espectro de potencia que realiza un promediado del periodograma. La mejora respecto al periodograma reside en la reducción de varianza. Supongamos K realizaciones incorreladas de un proceso aleatorio x(n) . Cada realización tiene una longitud L. El periodograma de cada realización x i (n) es: 1 PˆxxP (i ) ( f ) = L L −1 ∑ x ( n)e n =0 2 − j 2 πfn i , i = 1,2,..., K . (2.1.67) El promedio de estos periodogramas define el estimador de Bartlett: 1 PˆxxB ( f ) = K K ∑ Pˆ i =1 P (i ) xx (f). (2.1.68) El valor medio de PˆxxB ( f ) es { } { } Ε PˆxxB ( f ) = Ε PˆxxP (i ) ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WB ( f ) , (2.1.69) donde WB ( f ) es la transformada de Fourier de la ventana de Bartlett, w B (k ) , que se extiende desde -L hasta L. Este estimador es asintóticamente insesgado. Con esta suposición de realizaciones incorreladas, obtenemos una varianza de PˆxxB ( f ) { } 1 Var PˆxxB ( f ) = 2 K ∑ [Var{Pˆ K P (i ) xx i =1 }] (f) = { } 1 1 Var PˆxxP (i ) ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) , K K (2.1.70) que es K veces inferior a la del periodograma y tiende a cero cuando K tiende a infinito. En consecuencia, PˆxxB ( f ) resulta ser un estimador consistente del espectro de potencia si K y L pueden tender a infinito (es decir, si son lo suficientemente altos). En este método hemos supuesto realizaciones incorreladas de un proceso, pero esta situación, en la práctica, es difícil de conseguir. Generalmente se dispone de una sola realización de un proceso x(n ) de longitud N, y Bartlett propone dividir este proceso en K secuencias no solapadas de longitud L, donde N = KL : x i (n) = x(n + iL) , n = 0,1,..., L − 1 , i = 0,1,..., K − 1 . (2.1.71) El estimador de Bartlett con este supuesto es: 1 PˆxxB ( f ) = N K −1 L −1 2 ∑ ∑ x(n + iL)e − j 2πfn . (2.1.72) i =0 n =0 El estimador de Bartlett es asintóticamente insesgado: { } Ε PˆxxB ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WB ( f ) . Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales (2.1.73) 35 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE Los periodogramas utilizados para el promediado tienen longitud L, por ello, la resolución de este método es { } K 0.89 Re s PˆxxB ( f ) = = 0.89 , L N (2.1.74) que es K veces mayor (peor) que en el periodograma. Como las secuencias x i (n) generalmente están correladas, (a no ser que x(n ) sea ruido blanco), la reducción en la varianza no es tan grande como hemos visto anteriormente. De todas formas, la varianza va a ser inversamente proporcional a K, y asumiendo que las secuencias de datos están aproximadamente incorreladas, para valores elevados de N, la varianza resulta ser, aproximadamente: 1 1 (2.1.75) Var PˆxxB ( f ) ≈ Var PˆxxP (i ) ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) . K K { } { } Si permitimos que K y L tiendan a infinito cuando N tiende a infinito, el estimador de Bartlett será un estimador consistente del espectro de potencia. Para un valor fijo de N, el método de Bartlett ofrece un compromiso entre resolución y varianza a través de los valores de K y L. Es decir, podremos reducir la varianza a costa de una pérdida de resolución espectral, y viceversa, pues al ganar en resolución veremos incrementada la varianza. Por último, resumimos las propiedades del método de Bartlett: 1 PˆxxB ( f ) = N 1. Sesgo o bias: { K −1 L −1 ∑ ∑ x(n + iL)e 2 − j 2 πfn . } Ε PˆxxB ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WB ( f ) . 2. Resolución: { } 0.89 K Re s PˆxxB ( f ) = = 0.89 . L N 3. Varianza: { } (2.1.76) i =0 n =0 { } 1 1 Var PˆxxB ( f ) ≈ Var PˆxxP (i ) ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) . K K (2.1.77) (2.1.78) (2.1.79) 2.1.4. Método de Welch Welch, en 1967, propuso dos modificaciones al método de Bartlett. En primer lugar, permitió el solapamiento de segmentos de datos. Este efecto se conoce como overlap. Suponiendo que entre dos secuencias sucesivas existe un desplazamiento de D puntos y que cada secuencia consta de L puntos de longitud, la secuencia iésima viene determinada por la expresión: x i (n) = x(n + iD) , n = 0,1,..., L − 1 . (2.1.80) El solapamiento entre dos secuencias consecutivas x i (n) y x i +1 (n) es de L − D puntos, y si las K secuencias cubren una longitud de N puntos, entonces: 36 Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE N = L + D(K − 1) . (2.1.81) Supongamos que no existe solape entre las secuencias ( D = L ); tendremos K = N L secciones de longitud L, como en el método de Bartlett. Si permitimos que las secuencias posean un solape del 50% ( D = L 2 ), el número de secciones K de longitud L es: 2N (2.1.82) K= −1. L De esta manera, se mantiene la resolución (la longitud de la secuencia no varía) del método de Bartlett, pero al doblar el número de periodogramas modificados que van a promediarse, se reduce la varianza. Con un 50% de solape entre las secuencias, también podemos formar K secuencias de longitud 2 L , donde K es: K= N −1 . L (2.1.83) Así, mejoramos la resolución manteniendo la misma varianza que en el método de Bartlett. Con el overlap o solapamiento es posible incrementar el número y/o la longitud de las secuencias que van a ser promediadas, logrando de esta forma una reducción en la varianza, siempre con un compromiso en la resolución del método de estimación espectral. La segunda propuesta consiste en enventanar cada secuencia x i (n) con una ventana general w(n ) (no sólo con la ventana rectangular), antes de calcular el periodograma. De esta manera se obtiene un periodograma modificado por cada secuencia enventanada: 1 PˆxxM ( i ) ( f ) = LU L −1 ∑ x (n)w(n)e n =0 2 − j 2 πfn i . (2.1.84) El estimador de Welch es el promedio de los periodogramas modificados, 1 PˆxxW ( f ) = K K −1 ∑ Pˆ i =0 M (i ) xx ( f ), (2.1.85) y su expresión general es PˆxxW ( f ) = 1 KLU K −1 L −1 ∑ ∑ x(n + iD) w(n)e 2 − j 2 πfn , (2.1.86) i =0 n =0 donde U vale U= 1 L −1 2 w(n) . ∑ L n=0 (2.1.87) Vamos a examinar las prestaciones del método de Welch o método del promediado de periodogramas modificados. En primer lugar obtenemos la expresión del valor medio, 1 2 Ε PˆxxW ( f ) = Ε PˆxxM ( f ) = Pxx ( f ) ∗ W ( f ) , (2.1.88) LU { } { } Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 37 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE donde W ( f ) es la transformada de Fourier de la ventana w(n ) de L puntos, utilizada para formar los periodogramas modificados. El problema del estimador de Welch es que al reducir la estimación del espectro de N a L muestras, el sesgo aumenta. Para reducir el sesgo hay que aumentar el valor de L todo lo que sea posible. Una forma de aumentar L, ya que N es un número fijo, es solapar las tramas. El problema de solapar excesivamente las tramas es que los periodogramas de cada trama dejan de ser independientes entre sí, condición de reducción de la varianza. Así se llega a un compromiso entre el aumento del sesgo y la disminución de la varianza. Como solución de compromiso, se permite un solape de hasta L 2 muestras. Así, el estimador de Welch reduce la varianza a costa de aumentar el sesgo. De todas maneras, el estimador de Welch es asintóticamente insesgado y consistente, pues al tender N a infinito, puedo hacer infinitas tramas de infinitas muestras, también K tiende a infinito, y la varianza del estimador de Welch tiende a cero, definición de estimador consistente. Observamos además, que en el método de Welch la resolución depende de la ventana utilizada, y se define para el ancho de banda a 3dB de dicha ventana. La varianza es difícil de calcular, pues el overlap no permite realizar la suposición de operar con secuencias incorreladas. De todas formas, para una ventana de Bartlett, con un solapamiento del 50%, se demuestra que la varianza es, aproximadamente { } 9 2 Var PˆxxW ( f ) ≈ Pxx ( f ) . 8K (2.1.89) Comparando con el método de Bartlett, { } { } 1 1 Var PˆxxB ( f ) ≈ Var PˆxxP (i ) ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) , K K (2.1.90) observamos que, para un número dado de secciones K, la varianza con el método de Welch es mayor que con el método de Bartlett en un factor 9/8. No obstante, para unos valores fijos de datos, N, y resolución (longitud de la secuencia L), con un 50% de solapamiento, se obtiene el doble de secciones para promediar en el método de Welch. Si expresamos la varianza en términos de L y N, con ese 50% de overlap, tenemos { } 9 L 2 Var PˆxxW ( f ) ≈ Pxx ( f ) , 16 N (2.1.91) y como N L es el número de secciones utilizadas en el método de Bartlett, obtenemos la siguiente relación: 9 (2.1.92) Var PˆxxW ( f ) ≈ Var PˆxxB ( f ) . 16 { } { } Resumiendo, es posible incrementar el número de secuencias a promediar para una cantidad fija de datos, incrementando el overlap, pero esto supone una mayor carga computacional, así como un aumento en la correlación de las secuencias x i (n) , por lo que las prestaciones disminuyen al incrementar K para un valor dado de N. Solapes típicos son 50% y 75%. Por último, resumimos las propiedades del método de Welch: 38 Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE PˆxxW ( f ) = K −1 L −1 1 KLU ∑ ∑ x(n + iD)w(n)e { , (2.1.93) i =0 n =0 U= 1. Sesgo o bias: 2 − j 2 πfn 1 L −1 2 w(n) . ∑ L n=0 } { } 1 2 Ε PˆxxW ( f ) = Ε PˆxxM ( f ) = Pxx ( f ) ∗ W ( f ) . LU (2.1.94) (2.1.95) 2. Resolución: depende de la ventana utilizada (ver Tabla 2.1). 3. Varianza (con 50% de solape y ventana de Bartlett): { } 9 2 Var PˆxxW ( f ) ≈ Pxx ( f ) . 8K (2.1.96) 2.2. MÉTODOS INDIRECTOS 2.2.1. Método de Blackman-Tukey Como se indicó al principio del capítulo, los estimadores indirectos estiman el espectro a partir de una estimación de la autocorrelación. Así, Blackman y Tukey, en 1958, propusieron y analizaron un método en que primero se enventana la secuencia de autocorrelación y después se calcula su transformada de Fourier para producir una estimación del espectro. La razón para enventanar la secuencia de autocorrelación rxx (k ) es que, para retardos grandes, las estimaciones son menos fiables porque se usan menos puntos en la estimación (N − k ) (ver Anexo VI). Para valores de k cercanos a N, la varianza de estas estimaciones es muy grande, por lo que deberían tener un menor peso. Por ejemplo, para el retardo k = N − 1 , la estimación de rxx (k ) , rˆxx ( N − 1) = 1 x( N − 1) x(0) , N (2.2.1) consta de una sola muestra, lo que da una medida de la varianza poco fiable. Puesto que el estimador insesgado de la autocorrelación puede generar secuencias de autocorrelación no válidas, lo cual se traduciría es estimaciones espectrales no positivas (recuerde la propiedad Pxx ( f ) ≥ 0 ), se utilizará el estimador sesgado de la autocorrelación. Así, el estimador de Blackman-Tukey es PˆxxBT ( f ) = M ∑ rˆ k =− M xx (k ) w(k )e − j 2 πfk , (2.2.2) donde w(k ) es la ventana aplicada para reducir la contribución al periodograma de las estimaciones menos fiables. Se extiende desde -M hasta M, con M < N − 1 , siendo típicamente M ≈ N 10 . De esta manera, las estimaciones de rxx (k ) con mayor varianza son puestas a cero y, por tanto, la estimación espectral de potencia tendrá una varianza Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 39 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE menor. Con esta definición para w(k ) , los límites del sumatorio anterior se pueden extender desde menos infinito a más infinito. Consecuentemente, la expresión equivalente en el dominio frecuencial para el estimador de Blackman-Tukey es: 12 PˆxxBT ( f ) = PˆxxP ( f ) ∗ W ( f ) = ∫ PˆxxP (u )W ( f − u )du . −1 2 (2.2.3) El efecto del enventanado de la secuencia de autocorrelación se refleja en un suavizado de la estimación del periodograma, decreciendo, así, la varianza de la estimación espectral a expensas de la reducción en resolución. Aunque existe una considerable flexibilidad en la elección de la ventana, w(k ) debe, además de tener una transformada de Fourier no negativa ( W ( f ) ≥ 0 ) para que la estimación realizada sea no negativa, poseer simetría conjugada para que W ( f ) sea real y asegurar así, que la estimación es real. Analicemos las prestaciones de este método. Comenzamos con el sesgo, calculando el valor esperado de la estimación: { } { } Ε PˆxxBT ( f ) = Ε PˆxxP ( f ) ∗ W ( f ) . (2.2.4) Sustituimos el valor esperado del periodograma y tenemos { o, equivalentemente, } Ε PˆxxBT ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WB ( f ) ∗ W ( f ) , (2.2.5) { (2.2.6) } ∑r Ε PˆxxBT ( f ) = M k =− M xx (k ) wB (k ) w(k )e − j 2 πfk . Si permitimos que w BT (k ) = w B (k ) w(k ) sea la ventana combinada aplicada a la secuencia de autocorrelación rxx (k ) , utilizando el teorema de convolución en frecuencia, obtenemos Ε PˆxxBT ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WBT ( f ) . (2.2.7) { } Si asumimos que M << N , entonces podemos aproximar w B (k ) w(k ) por w(k ) , con lo que finalmente llegamos a la expresión { } Ε PˆxxBT ( f ) ≈ Pxx ( f ) ∗ W ( f ) , (2.2.8) donde W ( f ) es la transformada de Fourier de la ventana w(k ) . El cálculo de la varianza requiere un proceso de cálculo más complicado. La expresión general de la varianza del estimador espectral Blackman-Tukey es: { } {[ ]} [ { }] . 2 Var PˆxxBT ( f ) = Ε PˆxxBT ( f ) − Ε PˆxxBT ( f ) 2 (2.2.9) Comenzamos calculando el valor cuadrático medio. A partir de la igualdad 40 Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE 12 PˆxxBT ( f ) = PˆxxP ( f ) ∗ W ( f ) = ∫ PˆxxP (u )W ( f − u )du , (2.2.10) −1 2 desarrollamos el valor cuadrático [Pˆ BT xx ] 12 2 (f) = ∫ 12 ∫ −1 2 −1 2 PˆxxP (u ) PˆxxP (v)W ( f − u )W ( f − v)dudv , (2.2.11) y hallamos el valor medio {[ ]} 12 2 Ε PˆxxBT ( f ) = ∫ { } Ε PˆxxP (u )PˆxxP (v ) W ( f − u )W ( f − v)dudv . (2.2.12) sen( Nπ( f − f ) ) 2 1 2 ≈ Pxx ( f1 ) Pxx ( f 2 )1 + , Nsen(π( f1 − f 2 ) ) (2.2.13) 12 ∫ −1 2 −1 2 Utilizando la aproximación { Ε Pˆ P xx ( f1 )Pˆ ( f 2 )} P xx llegamos a una expresión del valor cuadrático medio que consta de dos términos. El primero de ellos es 2 12 ∫−1 2 ∫−1 2 Pxx (u ) Pxx (v)W ( f − u )W ( f − v)dudv = ∫−1 2 Pxx (u )W ( f − u )du = 2 = Ε PˆxxBT ( f ) . (2.2.14) 12 12 [{ }] Este término, al ser introducido en la ecuación inicial, va a ser cancelado por el segundo término de la derecha. Por ello, la varianza es { } sen( Nπ(u − v) ) Pxx (u ) Pxx (v) W ( f − u )W ( f − v)dudv. −1 2 ∫−1 2 Nsen(π(u − v) ) (2.2.15) 12 Var PˆxxBT ( f ) = ∫ 2 12 Puesto que 1 sen( Nπf ) WB ( f ) = N sen(πf ) 2 (2.2.16) es la transformada de Fourier en tiempo discreto de una ventana de Bartlett, w B (k ) , se aproxima a un valor constante al tender N hacia infinito, y W ( f ) converge a un impulso. Por consiguiente, para valores altos de N, podemos realizar la siguiente aproximación: 1 N sen(Nπ(u − v) ) 1 Nsen(π(u − v) ) ≈ N δ(u − v ) . 2 (2.2.17) Es decir, el primer término tiende a un impulso de área 1 N . Por tanto, con N elevado, la varianza del estimador de Blackman-Tukey es, aproximadamente Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 41 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE { } 1 Var PˆxxBT ( f ) ≈ N 12 ∫ −1 2 Pxx2 (u )W 2 ( f − u )du. (2.2.18) Si M es lo suficientemente grande para considerar que Pxx ( f ) es constante en el lóbulo principal de W ( f − u ) , podemos sacar Pxx2 (u ) fuera de la integral: { } 12 1 Var PˆxxBT ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) ∫ W 2 ( f − u )du. − 12 N (2.2.19) Finalmente, aplicando el teorema de Parseval, obtenemos { } 1 Var PˆxxBT ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) N M ∑w 2 (k ) , (2.2.20) k =− M con el supuesto N >> M >> 1 . Observamos un compromiso entre bias y varianza. Si queremos obtener un sesgo pequeño, deberíamos elegir un valor de M grande, para minimizar la anchura del lóbulo principal de W ( f ) (y obtener una resolución aceptable), pero la varianza sería elevada, según nos demuestra la fórmula anterior, ya que M determina el número de términos utilizados en el sumatorio. Generalmente, se recomienda un valor máximo de M = N 5 . Por último, resumimos las propiedades del método de Blackman-Tukey: PˆxxBT ( f ) = 1. Sesgo o bias: M ∑ rˆ k =− M { xx (k ) w(k )e − j 2 πfk . (2.2.21) } Ε PˆxxBT ( f ) ≈ Pxx ( f ) ∗ W ( f ) . (2.2.22) 2. Resolución: depende de la ventana utilizada (ver Tabla 2.1). 3. Varianza: { } 1 Var PˆxxBT ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) N 2.3. COMPARACIÓN PARAMÉTRICOS DE M ∑ w (k ) . 2 (2.2.23) k =−M PRESTACIONES DE MÉTODOS NO En los métodos no paramétricos, existe un compromiso entre resolución y varianza. Ahora caracterizaremos las prestaciones de cada método atendiendo a dos nuevos criterios: 1. Variabilidad del estimador, que es una varianza normalizada. νA = { } Var PˆxxA ( f ) , 2 A ˆ Ε P (f) [{ xx }] (2.3.1) donde A = P, M, B, W o BT para las cinco estimas de la potencia espectral. 42 Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE 2. Figura de mérito, definido como el producto de la variabilidad por la resolución. M A = ν A ∆f . (2.3.2) Esta figura de mérito debería ser lo menor posible, y, como vamos a descubrir, va a ser aproximadamente igual para todos los métodos no paramétricos. Analicemos pues, cada uno de los métodos no paramétricos vistos en los apartados anteriores: 2.3.1. Periodograma. El periodograma es asintóticamente insesgado, y para valores altos de N, la varianza es aproximadamente igual a Pxx2 ( f ) . Por tanto, asintóticamente, la variabilidad del periodograma es igual a uno, Pxx2 ( f ) P ν = 2 = 1, (2.3.3) Pxx ( f ) lo cual indica la escasa calidad al ser fijo e independiente de la longitud de los datos, N. Como la resolución del periodograma es ∆f = 0.89 N , la figura de mérito resulta MP = 0.89 , N (2.3.4) que es inversamente proporcional a la longitud de los datos. 2.3.2. Periodograma modificado. El periodograma modificado es, al igual que el periodograma, asintóticamente insesgado, y para valores altos de N, su varianza es aproximadamente la misma. Por ello, la variabilidad del periodograma modificado es νM = Pxx2 ( f ) = 1. Pxx2 ( f ) (2.3.5) Sin embargo, la resolución del periodograma modificado depende de la ventana utilizada. Así, para el caso de una ventana de Bartlett con ancho de banda a 3dB de ∆f = 1.28 N , resulta una figura de mérito MM = 1.28 . N (2.3.6) 2.3.3. Método de Bartlett. En este método, se consigue una reducción en varianza a través del promediado de periodogramas. Con N = KL , si N es suficientemente alto, la varianza se puede aproximar por 1 Var {PxxB ( f )} ≈ Pxx2 ( f ) , (2.3.7) K y la variabilidad Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 43 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE 1 Pxx2 ( f ) 1 = . K Pxx2 ( f ) K νB = (2.3.8) Puesto que la resolución es ∆f = 0.89 K N , la figura de mérito MB = 0.89 , N (2.3.9) es la misma que para el periodograma. 2.3.4. Método de Welch. Las propiedades estadísticas del método de Welch dependen del overlap utilizado. Consideraremos un overlap del 50% y una ventana de Bartlett. Para un N elevado, la variabilidad es, aproximadamente, νW = 9 1 9 L . = 8 K 16 N (2.3.10) El ancho de banda a 3dB en una ventana de Bartlett de longitud L es 1.28 L , por lo que la resolución es ∆f = 1.28 K , (2.3.11) N y la figura de mérito resulta ser 0.72 . (2.3.12) MW = N 2.3.5. Método de Blackman-Tukey. En este método la varianza depende de la ventana utilizada, y para nuestro estudio, vamos a considerar una ventana de Bartlett de longitud 2 M , con N >> M >> 1 . Con estos supuestos, la varianza del estimador Blackman-Tukey es { Var Pˆ BT xx } 1 (f) ≈ P (f) N 2 xx 2 k 1 − ≈ Pxx2 ( f ) 2 M . ∑ M 3N k =− M M (2.3.13) Por tanto, la variabilidad ν BT = 2M . 3 N (2.3.14) Puesto que el ancho de banda a 3 dB de la ventana de Bartlett de longitud 2 M es igual a 1.28 (2 M ) , la resolución es ∆f = 0.64 . (2.3.15) M Y la figura de mérito queda 0.43 M BT = , (2.3.16) N 44 Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE que es ligeramente inferior a la figura de mérito del método anterior. Para concluir, resumimos las prestaciones de los métodos no paramétricos en la siguiente tabla: Método no paramétrico Periodograma Periodograma modificado Bartlett Welch Blackman-Tukey Variabilidad (ν ) 1 1 1 (K ) 9 (8 K ) 2 M (3 N ) Resolución Figura de mérito (∆f ) (M ) 0.89 N 0.89 N 1.28 N 1.28 N 0.89(K N ) 0.89 N 1.28 L 0.72 N 0.64 M 0.43 N Tabla 2.2. Prestaciones de los métodos no paramétricos. Para el método del periodograma modificado se ha supuesto una ventana de Bartlett de longitud N, para el método de Welch una ventana de Bartlett de longitud L y un overlap del 50%, y en el método de Blackman-Tukey la ventana utilizada es de Bartlett con longitud 2 M . Observamos que las figuras de mérito son similares en todos los métodos, y estos parámetros son inversamente proporcionales a la longitud de la secuencia de datos, N. Así, aunque cada método difiera en resolución y varianza, las diferencias en prestaciones son relativamente pequeñas y están limitadas por la cantidad de datos. De los resultados obtenidos parece claro que las estimas de Welch y Blackman-Tukey son, de alguna manera, mejores que las demás. Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales 45