Práctica 7: Introducción al análisis espectral Objetivo:

Series Temporales. Colección manuales UEx (EEES).
Práctica 7: Introducción al análisis espectral
Objetivo:
Conocer, comprender y saber interpretar el periodograma de una serie temporal.
Problema 1 Considera el proceso {Xt }t∈T definido como
Xt =
M
X
(αj cos(ωj t) + δj sen(ωj t)), t ∈ T,
(1)
j=1
M
donde M es un número entero positivo, {ωj }M
j=1 son frecuencias distintas en [0, π], {αj }j=1 y
M
{δj }j=1 son variables aleatorias incorreladas de media cero y mutuamente incorreladas.
a) Simula, utilizando el software estadı́stico y lenguaje de programación R, una trayectoria de
longitud n = 128 del proceso (1), considerando M = 3, α1 = 2, α2 = 4, α3 = 6, δ1 = 3,
δ2 = 5, δ3 = 7, ω1 = 12π/100, ω2 = 20π/100 y ω3 = 80π/100.
b) Calcula y representa el periodograma de la serie simulada en a) e interprétalo.
c) Repite a) y b) con n = 100, sumádole a Xt un proceso de ruido blanco, i.e. el proceso
Yt = Xt + Zt , t ∈ T,
donde {Xt }t∈T viene definido como en a) y {Zt }t∈T es una sucesión de variables aleatorias
independientes e idénticamente distribuidas según una distribución N (0, 25).
(Problema resuelto en el archivo R-practica7.txt)
Problema 2 El archivo sunspots contiene la serie suavizada (media móvil centrada de orden
12) del número bianual de manchas solares desde junio de 1749 a diciembre de 1978. Representa
el periodograma de los datos e identifica las frecuencias dominantes, obteniendo intervalos de
confianza para los periodos identificados. Interpreta los resultados.
(Problema resuelto en el archivo R-practica7.txt)
Problema 3 Simula 100 observaciones de un proceso de ruido blanco gaussiano. Utiliza los test
de Fisher y de Kolmogorov para contrastar la hipótesis nula de que tales datos proceden de
un proceso de ruido blanco gaussiano, frente a la hipótesis alternativa de que proceden de un
proceso de ruido blanco gaussiano más una componente periódica determinista de frecuencia no
especificada.
Problema 4 a) Calcula y representa la función de densidad espectral del proceso estacionario
{Xt }t∈T definido como
Xt − 0.99Xt−3 = Zt , t ∈ T,
donde {Zt }t∈T es un proceso de ruido blanco de media cero y varianza unitaria. ¿Sugiere la densidad espectral que las trayectorias del proceso {Xt }t∈T exhibirán un comportamiento oscilatorio?
Si la respuesta es afirmativa, ¿con qué periodo?
b) Simula una muestra de tamaño 60 del proceso descrito en a) y represéntala. ¿Concuerda lo
que muestra el gráfico de la muestra con las conclusiones obtenidas en el apartado a)?
Miguel González e Inés Ma del Puerto