Programación Matemática para Economistas
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10.- Una empresa desea maximizar los ingresos que obtiene con la exportación de sus dos
productos a un país vecino. El precio al que vende el producto 1 a dicho país depende de la
cantidad de toneladas exportadas al mismo y adopta la siguiente expresión p1 = 100 - x1,
mientras que el precio por tonelada del segundo producto es constante e igual a 50.
Determinar la cantidad de toneladas que debe exportar de cada producto teniendo en cuenta
que el país vecino ha puesto un límite a la cantidad de importaciones de esa empresa igual a
una constante b.
Solución:
El planteamiento del problema sería:
Max p1 x1 + p2 x 2 = Max (100 − x1 ) x1 + 50 x 2 = Max − x12 + 100 x1 + 50 x2
s. a x 1 + x 2 ≤ b
x1 , x 2 ≥ 0
Si consideramos las condiciones de punto estacionario para el caso de condiciones
de no negatividad obtenemos la función de Lagrange:
L ( x1 , x 2 , λ ) = − x12 + 100 x1 + 50 x 2 − λ ( x1 + x 2 − b)
con las condiciones:
∂L
= −2 x1 + 100 − λ ≤ 0
∂x1
∂L
(2)
= 50 − λ ≤ 0
∂x 2
∂L
(3)
= − x1 − x 2 + b ≥ 0
∂λ
x1 = 0
∂L
(4) x1
= x1 (-2 x1 + 100 − λ ) = 0
∂x1
− 2 x1 + 100 − λ = 0
(1)
(5) x 2
(6) λ
x = 0
∂L
= x 2 (50 − λ ) = 0 2
∂x 2
λ = 50
λ = 0 contradice(2)
∂L
= λ (- x1 − x 2 + b) = 0
x1 + x 2 = b
∂λ
(7 ) λ ≥ 0
(8) x1 , x 2 ≥ 0
Los posibles sistemas son:
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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a) x1 = x2 = 0 y x1 + x2 = b, el cual no tiene sentido.
b) x1 = 0, λ = 50 y x1 + x2 = b, que genera el punto (0, b, 50)
c) 2x1 -100 +λ = 0, x2 = 0 y x1 + x2 = b, del que se obtiene el punto (b, 0, 100-2b)
d) 2x1 -100 +λ = 0, λ = 50 y x1 + x2 = b, que produce el punto (25, b-25, 50).
Los puntos son (0, b, 50), (b, 0, 100-2b) y (25, b-25, 50).
El primero incumple (1), luego no es punto estacionario. El segundo para ser punto
estacionario, por (2) b debe ser menor o igual que 25 y el tercero debe cumplir que b sea
mayor o igual a 25.
Por tanto, los puntos estacionarios son:
(b, 0, 100-2b)
b ≤ 25
y
(25, b-25, 50)
b ≥ 25
y si b =25 ambos coinciden.
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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Una vez obtenidos los puntos estacionarios, dependiendo del valor del parámetro b,
como la función objetivo es convexa y el conjunto de oportunidades también podemos
asegurar que los puntos estacionarios obtenidos son máximos.
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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