3.- Programación por metas.

Programación Matemática para Economistas
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3.- Programación por metas.
Una vez mencionados algunos de los inconvenientes de las técnicas generadoras, la
incorporación de información se va a traducir en una acción del decisor o centro decisor,
emitiendo “deseos” al analista y éste, en base a estos deseos va a actuar.
De esta manera, renunciamos a la optimización pero obtenemos una solución que
satisface los deseos manifestados.
La técnica que se emplea al incorporar información a priori en el proceso se
denomina, Goal Programming, o Programación por Metas. Veamos en qué consiste.
Dado un problema general de programación multiobjetivo:
Opt ( f 1 (x), f 2 (x),L , f p (x))
s. a x ∈ X
donde algunos de los objetivos serán de máximo y otros de mínimo, el decisor actúa de la
siguiente forma:
Primero asignará a cada uno de los objetivos un valor ui que va a representar su nivel
de aspiración, es decir, lo que desea alcanzar como mínimo o bien no desea superar, e
incluso, en algunos casos, desea alcanzar exactamente la igualdad, para el correspondiente
objetivo.
Después, al conjugar el objetivo y el nivel de aspiración se obtiene lo que
denominamos meta, que expresamos de la siguiente forma:
Si estamos maximizando fi(x) al imponer un nivel ui, se deseará que: fi(x) ≥ ui.
Si minimizamos, se deseará que fi(x) ≤ ui.
El caso de igualdad, fi(x) = ui, se puede contemplar tanto si maximizamos como si
minimizamos.
Posteriormente al establecimiento de las metas, se asignan niveles de prioridad entre
los objetivos, es decir, se les ordena atendiendo a las prioridades que manifieste el decisor.
Esta asignación puede ser uno a uno, es decir, en cada nivel un solo objetivo, o pueden
aparecer varios compartiendo un mismo nivel; este caso implica una ponderación entre los
objetivos que comparten el nivel. El número de niveles de prioridades será por tanto, s ≤ p.
Así pues, la resolución se llevará a cabo atendiendo a las metas impuestas y a los
niveles de prioridad establecidos, de forma que se preferirá una solución que mejore al
primero, una vez conseguida, se pasa al segundo y así sucesivamente. En este sentido, la
ordenación que se utiliza, bajo el enfoque de programación por metas, es la lexicográfica
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llevándose a cabo una resolución por niveles. Esto nos conduce a definir un nuevo orden
denominado lexicográfico, el cual pasamos a definir.
Orden Lexicográfico: Diremos que un punto x es preferido a x’ si se verifica que:
fi(x) = fi(x’) ∀ i = 1, ..., j - 1 y
fj(x) > fj(x’).
El orden lexicográfico es un orden total y es el usado en la ordenación del
diccionario. Con él se establece que para mejorar una combinación basta con ir mejorando
sucesivamente las coordenadas sin tener en cuenta lo que ocurra con las restantes.
A las soluciones obtenidas por la técnica de programación por metas se las denomina
satisfactorias, en el sentido de que verifican evidentemente las restricciones originales del
problema y las metas impuestas por el centro decisor. Así pues tenemos.
Definición 4.
Un punto x* es una solución satisfactoria si es admisible, y verifica las p-metas
impuestas, es decir:
x* ∈ X

max f i (x* ) ≥ ui


min f i (x* ) ≤ ui
max min f (x* ) = u
i
i
En estas condiciones, es decir, una vez que el decisor ha manifestado sus niveles de
aspiración, construidas las metas y priorizados los objetivos, para la resolución y aplicación
de la técnica de programación por metas se introducen en las metas del problema unas
variables (positivas) denominadas de desviación, y denotadas por n, y p. Dichas variables
nos van a representar las diferencias que existen entre los niveles de aspiración impuestos
por el decisor y el resultado que se alcanza en cada objetivo.
La introducción se realiza de la siguiente forma:
Si estamos maximizando fi(x) al construir las metas tenemos:
fi(x) ≥ ui entonces fi(x) + ni - pi = ui y Min ni.
¿Por qué? Porque, si ni = 0 entonces fi(x) - pi = ui y se verifica la meta fi(x) ≥ ui.
Si estamos minimizamos fi(x) al construir la meta tenemos:
fi(x) ≤ ui entonces fi(x) + ni - pi = ui y Min pi
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razonando de igual forma, si pi = 0 entonces fi(x) + ni = ui y por tanto se cumple la meta
fi(x) ≤ ui.
En el caso de igualdad, fi(x) = ui, se toma fi(x) + ni - pi = ui y se calcula Min ni + pi,
para que se mantenga la meta se tendrá que verificar que ni = pi = 0.
A la función que recoge la minimización de la variable no deseada, en el sentido de
que queremos que sea nula, se le denomina función de realización o función logro, y las
denotaremos por hi(n, p).
Así pues, dadas las metas, los niveles de prioridad y determinadas las funciones de
realización, se procede a calcular:
lexmin (h1 (n, p), L , hs (n, p))
s. a x ∈ X
f i (x) + ni − pi = ui i = 1,..., p
ni , pi ≥ 0
En general, al primer conjunto de restricciones, que son las originales del problema
se les denomina restricciones duras o técnicas, debido a que serán restricciones que se tienen
que verificar necesariamente. Al segundo conjunto de restricciones, que son las que se
generan de la construcción de las metas, se les denomina restricciones blandas, debido a que
no son de obligado cumplimiento.
En cualquier problema, una vez planteado, y antes de proceder a la resolución
lexicográfica, se lleva a cabo la comprobación, de la existencia de puntos factibles, es decir,
que nuestro conjunto de restricciones duras no es vacío, dado que si lo fuera el problema no
tendría ningún sentido.
Esta comprobación se realiza en el que denominaremos Nivel 0, en el cual
minimizamos cualquier función constante sujeta a las restricciones duras del problema.
Nivel 0:
M in h ( x ) = cte
s. a
x∈ X
Una vez comprobado que existen soluciones factibles, se pasa a la resolución del
problema. Para mostrar todo lo comentado vamos a desarrollar un ejemplo teórico.
Supongamos que nuestro problema esta definido de la siguiente forma:
( Max f 1 ,
s. a
Min f 2 ,
x∈ X
Max f 3 ,
Min f 4 )
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por tanto, tenemos un problema de cuatro objetivos, donde dos de ellos corresponden a
máximos y dos a mínimos.
El siguiente paso es dar los niveles de aspiración, construir las metas y determinar la
variable no deseada, para la determinación de la correspondiente función de realización o
logro.
Sea pues:
f1(x) ≥ u1 entonces f1(x) + n1 - p1 = u1 y Min n1
f2(x) ≤ u2 entonces f2(x) + n2 - p2 = u2 y Min p2
f3(x) ≥ u3 entonces f3(x) + n3 - p3 = u3 y Min n3
f4(x) = u4 entonces f4(x) + n4 - p4 = u4 y Min n4 + p4.
Vamos a considerar que los niveles de aspiración se establecen como:
Nivel 1: Objetivo 1, entonces la función de realización es: h(n1, p1) = n1
Nivel 2: Objetivo 2, entonces la función de realización es: h(n2, p2) = p2
Nivel 3: Objetivos 3 y 4, entonces la función de realización es, en general de la forma:
h(n3, n4, p3, p4) = αn3 + β(n4 + p4)
donde los parámetros α y β ponderarían a las correspondientes metas.
El problema sería:
lexmin (n1 , p2 , αn3 + β (n4 + p4 ))
x∈ X
s. a
f i (x) + ni − pi = ui i = 1, L , p
ni , pi ≥ 0 i = 1, L , p
Tras realizar el nivel cero, como hemos impuesto tres niveles de prioridad tendremos
que resolver a lo sumo tres problemas, correspondientes a:
Nivel 1:
Min n1
x∈ X
s. a
f 1 (x) + n1 − p1 = u1
n1 , p1 ≥ 0
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Denominamos (x1* ,n1* ,p1* ) a la solución, si n1* = 0 significa que hemos logrado
verificar la meta primera y pasamos al segundo nivel.
Nivel 2:
Min p2
s. a
x∈ X
f 1 (x) + n1 − p1 = u1
n1 = 0
f 2 (x) + n2 − p2 = u2
n1 , p1 , n2 , p2 ≥ 0
La idea es, que se mantenga la meta anterior y se verifique la del nivel
correspondiente, así, si volvemos a denominar (x *2 , n2* , p2* ) a la solución, si p2* = 0 significa
que hemos logrado verificar la meta primera y la segunda y pasamos al tercer nivel.
Nivel 3:
Min α n3 + β (n4 + p4 )
s. a
x∈ X
f 1 (x) + n1 − p1 = u1
n1 = 0
f 2 (x) + n2 − p2 = u2
p2 = 0
f 3 (x) + n3 − p3 = u3
f 4 (x) + n4 − p4 = u4
ni , pi ≥ 0 i = 1, L,4
En este nivel como tenemos dos funciones hemos considerado como función de
realización la suma ponderada de las dos y hemos impuesto que se mantengan las dos
anteriores y las dos correspondientes al nivel, de forma que, si la solución obtenida,
(x *3 , n3* , p3* , n4* , p4* ) , verifica que n3* = p3* = n4* = p4* = 0, x *3 será una solución
satisfactoria, puesto que verifica las restricciones duras del problema, y las metas
correspondientes.
Con este ejemplo teórico se ha pretendido ilustrar cómo aplicar la técnica de
programación por metas, no obstante, quedarían algunas consideraciones, por ejemplo,
¿cómo actuamos si en alguno de los niveles la variable no deseada no es cero?, si esto
ocurre la solución correspondiente no es satisfactoria, puesto que si la variable de
desviación no deseada toma un valor nos indica el incumplimiento de la correspondiente
meta. En en estos casos no continuamos con el problema sino que la solución sería la que
nos diera con el valor correspondiente de ni o pi, y la solución aún no siendo satisfactoria
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sería la más adecuada al cumplimiento de nuestra meta, dado que minimizamos las
desviaciones.
A partir del incumplimiento de una meta, es decir, la no verificación del nivel, se
puede actuar de varias formas. Una de ellas sería el redefinir la meta correspondiente y otra
el intentar hacer una nueva distribución de funciones y niveles. De hecho, el problema no
queda cerrado, sino que sería el decisor, a la vista de los resultados, el encargado de decidir
qué hacer con el problema.
Volviendo a nuestro ejemplo: Supongamos que la empresa establece que primero
quiere maximizar los beneficios, de forma que estos alcancen un nivel de al menos 10
unidades, y que posteriormente, la contaminación se fija en un máximo de 6 unidades.
Con esta información se nos genera un problema de programación por metas, en el
cual los niveles corresponden a:
Nivel 1: Los beneficios tienen que alcanzar un nivel de al menos 10 unidades, luego la meta
es:
4x + 3y ≥ 10.
Al incorporar las variables de desviación tenemos:
4x + 3y +n1 - p1 = 10.
La variable no deseada es n1 y la función de realización del primer nivel es: h1(n1, p1) = n1.
Nivel 2: El nivel de contaminación es como máximo de 6 unidades, luego la meta es:
3x + 2y ≤ 6.
se incorporan las variables de desviación y:
3x + 2y +n2 - p2 = 6.
La variable no deseada en este nivel es p2 y la función de realización del segundo
nivel corresponde a: h2(n2, p2) = p2.
Con esta información, el problema de programación por metas a resolver es:
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lexmin (n1 , p2 )
s. a
x+ y≤5
2x + y ≤ 8
x ≥1
4 x + 3y + n1 − p1 = 10
3x + 2 y + n2 − p2 = 6
x , y , ni , pi ≥ 0 i = 1, 2.
Como tenemos asegurada la existencia de soluciones factibles, pasamos a la
resolución por niveles.
Nivel 1:
Min n1
x+y≤5
s.a
2x + y ≤ 8
x≥1
4x + 3y + n1 - p1 = 10
x, y, n1, p1 ≥ 0
Aplicando el programa LINDO para programación lineal obtenemos:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
.00000000
VARIABLE
N1
X
Y
P1
VALUE
.000000
2.500000
.000000
.000000
NO. ITERATIONS=
REDUCED COST
1.000000
.000000
.000000
.000000
1
Como el valor de n1 = 0 obtenemos que se ha verificado la primera de las metas y
pasamos al nivel 2.
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Nivel 2:
Min p2
s.t
x+y≤5
2x + y ≤ 8
x≥1
4x + 3y + n1 - p1 = 10
n1 = 0
3x + 2y + n2 - p2 = 6
x, y, n1, p1, n2, p2 ≥ 0
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
3
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
1.0000000
VARIABLE
P2
X
Y
P1
N2
VALUE
1.000000
1.000000
2.000000
.000000
.000000
NO. ITERATIONS=
REDUCED COST
.000000
.000000
.000000
.666667
1.000000
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La solución obtenida es (1, 2) pero p2 = 1, lo cual nos indica que no se verifica la
segunda meta, en concreto, según el resultado, el nivel se contaminación se superaría en una
unidad (p2 = 1).
En esta primera gráfica vamos a ver el efecto de la incorporación de la primera meta,
y en la segunda gráfica, tras introducir la segunda meta observamos cómo el conjunto de
soluciones satisfactorias es vacío, por tanto nuestro problema no tendría solución
satisfactoria, sin embargo, la solución obtenenida, aún no siendo satisfactoria verifica la
primera meta y es la más cercana al cumplimiento de la segunda, puesto que estamos
minimizando la variable no deseada.
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Gráfica nivel 1:
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Gráfica nivel 2:
A la vista del resultado ahora podría actuar de nuevo el decisor, puesto que él ya
conoce que la imposición de 6 unidades para la contaminación no es factible. De esta forma,
si mantiene la primera meta con 10 unidades y relaja la contaminación a 8, el segundo nivel
se modifica y obtenemos:
Nivel 2: Reformado
Min p2
s.a
x+y≤5
2x + y ≤ 8
x≥1
4x + 3y + n1 - p1 = 10
n1 = 0
3x + 2y + n2 - p2 = 8
x, y, n1, p1, n2, p2 ≥ 0
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LP OPTIMUM FOUND AT STEP
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OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
.0000000
VARIABLE
P2
X
Y
P1
N2
VALUE
0.000000
2.500000
0.000000
0.000000
0.500000
NO. ITERATIONS=
REDUCED COST
1.000000
.000000
.000000
.000000
.000000
1
Al relajar la meta sí obtenemos una solución satisfactoria (2.5, 0), en la cual los
beneficios son exactamente 10 unidades y la contaminación de 7.5 dado que n2 = 0.5.
El conjunto de soluciones satisfactorias asociadas al cumplimiento de las dos metas
nos lo muestra la gráfica siguiente:
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