Programación Matemática para Economistas 79 13.- Considérese el problema de: Max 3x + y s. a x2 + y2 ≤ 1 − x2 + y ≤ 0 y≥0 a) ¿Podemos asegurar que dicho problema posee máximo(s) global(es)?.¿Y que todos sus máximos locales serán globales?. Justifique la respuesta. b) Obtenga sus máximos locales y globales. Utilice como condición suficiente la de Gill y Murray. Solución: Gráficamente: a) De la gráfica se desprende que el conjunto de oportunidades es no vacío, cerrado y acotado, por consiguiente, como la función objetivo es continua, se puede aplicar el teorema de Weierstrass y el problema posee un máximo global, en el interior o en la frontera. No obstante, este conjunto no es convexo, y, en consecuencia, no tenemos asegurado que todo máximo local sea global (Teorema local-global). b) Para resolver el problema por punto estacionario construimos la función de Lagrange: R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz Programación Matemática para Economistas 80 L ( x, y, λ1 , λ 2 , λ3 ) = 3x + y − λ1 ( x 2 + y 2 − 1) − λ 2 (− x 2 + y ) − λ3 (− y ) obteniéndose las condiciones: ∂L = 3 − 2λ1 x + 2 xλ 2 = 0 ∂x ∂L (2) = 1 − 2 yλ1 − λ 2 + λ3 = 0 ∂y ∂L (3) = −x2 − y 2 + 1 ≥ 0 ∂λ1 ∂L (4) = x2 − y ≥ 0 ∂λ2 ∂L (5) = y≥0 ∂λ3 ∂L (6) λ1 = −λ1 ( x 2 + y 2 − 1) = 0 ∂λ1 ∂L (7 ) λ 2 = −λ 2 ( − x 2 + y ) = 0 ∂λ2 ∂L (8) λ3 = λ3 ( y ) = 0 ∂λ3 (9) λ1 , λ 2 , λ3 ≥ 0 (1) Observando el desplazamiento de las curvas de nivel, podemos situar el óptimo del problema sobre la circunferencia y, por tanto, sólo la primera restricción será activa en dicho punto. En consecuencia, las condiciones de holgura quedarían: x 2 + y 2 − 1 = 0, λ 2= 0, λ 3= 0 las cuales junto con las expresiones (1) y (2) nos llevan al punto: 3 2 2 5 , , , 0, 0 2 5 2 5 2 En orden a comprobar la condición suficiente local y, ya que, como hemos comentado previamente, en ese punto estacionario la única restricción activa es la que corresponde a la circunferencia, siendo el multiplicador asociado estrictamente positivo, tenemos que clasificar, en dicho punto, la forma cuadrática: R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz Programación Matemática para Economistas 81 − 2λ 1 Φ (h1 , h2 ) =(h1 , h2 ) 0 h s.a (2 x, 2 y ) 1 = 0. h2 h1 − 2λ 1 h2 0 que corresponde a: Φ (h1 , h2 ) =− s.a 3 2 5 h1 + 2 5 2 2 5 h12 − 2 5 2 h22 h2 = 0. la cual es definida negativa. 3 2 2 5 , , , 0, 0 es máximo local del problema, y, por Luego, el punto 2 5 2 5 2 consideraciones análogas a las del problema anterior, máximo global. R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz