Movimientos Oscilatorios. El Movimiento Armónico

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Tema 7.- Movimientos Armónicos. El Oscilador Armónico
Movimiento oscilatorio armónico simple (MAS)
Un cuerpo describe un movimiento periódico cuando las variables de posición, velocidad y aceleración toman
los mismos valores después de un intervalo de tiempo constante denominado periodo. Un movimiento
oscilatorio o vibratorio es aquel en el que el cuerpo se desplaza sucesivamente a uno y otro lado de su posición
de equilibrio repitiendo para cada intervalo de tiempo sus variables cinemáticas. Cualquier cuerpo que sea
apartado de su posición de equilibrio estable tenderá a recuperar el equilibrio efectuando movimientos
oscilatorios alrededor de esa posición.
Una partícula tiene un MAS cuando oscila bajo la acción de fuerzas restauradoras (obedecen la ley de Hooke)
que son proporcionales a la distancia respecto de la posición de equilibrio y cuyo sentido es hacia la posición de
equilibrio. Un oscilador armónico es cualquier partícula o sistema con MAS.
Características

Vibración u oscilación: distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo de vaivén.

Centro de oscilación (O): punto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas.

Elongación (y): distancia que en cada instante separa la partícula móvil del centro de oscilación O, tomado
como origen de las elongaciones. Coordenada de la posición de la partícula en un momento dado. Se
consideran (+) los valores de esta coordenada a la derecha del punto O y (-) a la izquierda.

Amplitud (A): valor máximo de la elongación.

Periodo (T): tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa.

Frecuencia (f): nº de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo: f =

Pulsación o frecuencia angular o velocidad angular (): nº de periodos comprendidos entre 2 unidades de
tiempo: ω =
2π
T
rad
1
T
( Hz)
s .
A
O
t
y
T
Ecuación fundamental
Si hacemos oscilar un muelle o péndulo desde su
máxima elongación
π
- :→
x = A cos ωt ↔
x = A sen ωt ±
+ :←
2
Si la oscilación comienza en la posición de
equilibrio
π
- :→
x = A sen ωt ↔
x = A cos ωt ±
+ :←
2
x
x = A sen (t)
A
t
-A
x = A cos (t)
Si el movimiento se inicia en una posición intermedia, se puede elegir seno o coseno y calcular la constante de
fase o fase inicial () como:
cos δ =
x0
A
á
á
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Física _ 2º Bachillerato
Posición en el MAS
T
Posición
A
T
4
t
3T
4
-A
T
2
Velocidad en el MAS
Varía de forma armónica (sinusoidal)
x
dx
v=
= - ω· A sen ωt + δ
dt
En función de la posición
A
Velocidad
En función del tiempo
3T
4
t
T
2
-A
2
v = -ω A - x2
T
T
4
vMáxima → x = 0 (posición de equilibrio)  vMáxima = ± ω·A
v = 0 → x = A (extremos)
Aceleración en el MAS
Es una función armónica que depende sinusoidalmente del tiempo
a=
dv
= -ω2 · A cos ωt + δ
dt
Aceleración
En función del tiempo
T
2
a = -ω2 ·x
En función de la posición
a = 0→ x = 0 (posición de equilibrio)
A
3T
4
t
T
4
-A
T
aMáxima → x = A (extremos)  aMáxima = -ω2·A
Sentido opuesto a x
El oscilador armónico simple
Dinámica
Oscilador que consiste en un cuerpo unido a un muelle horizontal. Cuando el cuerpo es apartado de la posición
de equilibrio, la fuerza restauradora F = - k·x tiende a devolverlo a dicha posición. Esta fuerza producirá una
aceleración.
F = - k x → m a= - k x → a = -
F = -kx
ω2 =
x=0
k
m
k
x
m
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Tema 7.- Movimientos Armónicos. El Oscilador Armónico
La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y proporcional a la
distancia a este.
El periodo de un oscilador armónico depende de la masa del oscilador y de la constante restauradora del sistema,
siendo independiente de la amplitud:
m
k
T = 2π
↔ f=
1
2π
k
m
Consideraciones Energéticas
Energía Cinética
EC =
Energía Potencial
1
1
1
2
2
m v2 =
k A sen2 ωt + δ =
k A - y2
2
2
2
EP =
Varía periódicamente entre un valor mínimo en los
extremos (Ec = 0) y un valor máximo en la posición
1
2
de equilibrio EC = k A .
1
1
1
2
k x2 = k A cos2 ωt + δ =
k y2
2
2
2
Varía periódicamente entre un valor mínimo en la
posición de equilibrio (EP =0) y un valor máximo en
1
2
los extremos EP = k A .
2
2
Energía Mecánica
EM =
1
2
kA
2
Permanece cte si no actúan fuerzas disipativas, y su valor es directamente proporcional al cuadrado de la
amplitud.
½ k A2
½ k A2
EP
Ec
-A
Em = ½ k A2
0
A
-A
0
A
-A
0
A
El péndulo simple
Es una masa puntual que pende de un hilo inextensible de masa despreciable. Si el péndulo se suelta despues de
haberlo separado de la posición de equilibrio comienza a oscilar alrededor de dicha posición.

Componente Normal: P = m·g·cos 
T
Componente Tangencial: P = m·g·sen 
P
La componente tangencial es la que actúa como fuerza restauradora (F = - m·g·sen ). El signo negativo indica
que el sentido es el opuesto a la separación de la posición de equilibrio
á
á
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Física _ 2º Bachillerato
Cuando
 no es superior a 15º:

F = -m g sen θ ≈ -m g θ
↔
sen θ =
x
𝑙
x
Desde un punto de vista dinámico:
F=-m g sen θ ≅ -m g θ = -m g
x
𝑙
F=m·a
→ a =-
g
·x
𝑙
a = -ω2 ·x → ω2 =
g
𝑙
T = 2π·
𝑙
g

Un péndulo simple es un oscilador armónico solo si el ángulo es pequeño.

Cuando un péndulo simple se comporta como un oscilador armónico, su periodo es independiente de la
masa y sólo depende de su longitud, para un valor determinado de g.
Estudio energético del péndulo
Si tomamos como origen de EP el punto de equilibrio, en el punto más alto () es el de desviación máxima donde
v= 0 → EP = m ·g·h
En el punto bajo () solo hay EC =
m · v2
2
En cualquier otro punto será la suma de EP +EC . Si igualamos por principio de conservación
de la energía m·g·h=
m · v2
2
. Es la misma expresión que la de caída libre de un cuerpo desde
una altura h:
v= 2·g·h
Si la amplitud es menor, el péndulo alcanza menos h y también será menos su velocidad máxima. Aunque haya
menor distancia recorrida el tiempo empleado es el mismo. El periodo del péndulo no depende de la
amplitud.
Oscilaciones forzadas y fenómenos de resonancia
En los sistemas reales, la amplitud de las oscilaciones decrece, no dura indefinidamente, son las oscilaciones
amortiguadas. Un movimiento oscilatorio es amortiguado si la Emde su movimiento disminuye gradualmente.
Las oscilaciones disminuyen su amplitud en el tiempo.
Las fuerzas de amortiguamiento son proporcionales a la velocidad del cuerpo y de sentido contrario:
F =- b·v
→ b: cte de amortiguamiento → b = 0 : ∄ amortiguamiento
A medida que b aumenta disminuye la amplitud. Si b es muy grande, el cuerpo vuelve a su posición de equilibrio y
no oscila. La fuerza recuperadora se iguala con la restauradora y el sistema se amortigua.
Podemos mantener la amplitud de las oscilaciones si un agente externo proporciona la energía que se pierde por
rozamiento (oscilaciones forzadas).
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Tema 7.- Movimientos Armónicos. El Oscilador Armónico

Son oscilaciones forzadas las producidas en un sistema oscilante debido a la energía suministrada desde el
exterior.

Estas fuerzas pueden ser de la forma:
Fext = Fmax cos ω’ t
El papel de esta fuerza es aportar mediante su trabajo la energía que disipa el sistema. En general la
frecuencia angular ω’ de esta fuerza es distinta de la frecuencia del sistema:
ω’=
k
m

Cuando estas frecuencias coinciden el sistema comienza a oscilar y la amplitud aumenta drásticamente.
Esto se conoce como resonancia: ω = ω' .

El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia angular de la fuerza externa coincide con la
frecuencia natural de oscilación del sistema, con un aumento de la amplitud.
Amplitud
’
’ = 
La resonancia no se produce porque la fuerza externa sea muy grande sino porque coinciden las frecuencias.