MODULO MATEMÁTICA CICLO V GRADO DECIMO

1
I.E.
CÁRDENAS CENTRO
MÓDULO DE MATEMÁTICA
CICLO V
GRADO DÉCIMO
2
TABLA DE CONTENIDO
pág.
UNIDAD 1
1.
1.1.
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
ÁNGULOS Y MEDIDAS DE ÁNGULOS
DE ACUERDO CON SU AMPLITUD
EN FUNCIÓN DE SU POSICIÓN
Ángulos consecutivos. Los que tienen un lado y el vértice común.
Ángulos opuestos por el vértice
Ángulos formados por dos paralelas y una transversal
6
6
7
7
8
9
2.
2.1.
2.2.
2.3.
SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS
EL RADIÁN
EL GRADO SEXAGESIMAL
EL GRADO CENTESIMAL
13
13
13
14
3.
3.1.
3.2.
APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE THALES Y DE PITÁGORAS
TEOREMAS DE PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS (TEOREMA DE THALES)
TEOREMA DE PITÁGORAS
18
18
18
PRUEBA TIPO ICFES
21
UNIDAD 2
1.
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.1.5.
1.1.6.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
EXISTEN SEIS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
El seno
El coseno
La tangente
La cotangente
La secante
La cosecante
25
25
26
26
27
27
27
27
2.
2.1.
2.2.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS ESPECIALES
ÁNGULO DE 45º
ÁNGULOS DE 30º Y 60º
28
28
28
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN LOS CUADRANTES
PRIMER CUADRANTE
SEGUNDO CUADRANTE
TERCER CUADRANTE
CUARTO CUADRANTE
30
30
30
31
31
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
APLICACIÓN GEOMÉTRICA
APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN INGENIERÍA
APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TOPOGRAFÍA
APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN NAVEGACIÓN
31
33
34
35
36
3
4.5.
APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN METEOROLOGÍA
37
5.
5.1.
5.2.
5.3.
5.3.1.
5.3.2.
5.3.3.
5.3.4.
5.3.5.
5.3.6.
5.3.7.
5.3.8.
DOMINIO Y RANGO DE CADA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
RANGO DE UNA FUNCIÓN
ELABORACIÓN DE LA GRÁFICA DE CADA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
La función seno
La función cosecante
La función coseno
La función secante
La función tangente
La función cotangente
Propiedades de las funciones trigonométricas
Funciones circulares recíprocas
39
39
39
40
40
40
40
40
40
41
41
41
PRUEBA TIPO ICFES
42
UNIDAD 3
1.
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO
Teorema del seno
Teorema del coseno
45
45
45
48
2.
2.1.
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
2.1.4.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
COMPROBACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Por similitud con alguna fórmula
Pasando a senos y cosenos
Despejando las formulas
Binomios conjugados
51
52
53
54
54
55
3.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
57
4.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS, ÁNGULOS
DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS
ÁNGULOS DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS
Ángulos dobles
Ángulos medios
59
59
60
60
60
4.1.
4.2.
4.2.1.
4.2.2.
PRUEBA TIPO ICFES
62
UNIDAD 4
1.
1.1.
1.2.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO Y COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO
DE UN SEGMENTO
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
66
66
67
2.
2.1.
LA LINEA RECTA, PENDIENTE Y ECUACIONES DE LA RECTA
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
69
69
4
2.1.1.
2.1.2.
2.2.
2.3.
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Ecuación de la recta dados punto–pendiente
ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA
PENDIENTE DE UNA RECTA
70
71
71
73
3.
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
75
4.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
75
5.
ESTUDIO DE LAS SECCIONES CÓNICAS: PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA
5.1.
PARÁBOLA
5.1.1. Ecuaciones de la parábola
5.1.2. Ecuación involucrando la distancia focal
5.1.3. Ecuación general de una parábola
5.1.4. Aplicaciones
5.2.
ELIPSE
5.2.1. Elementos de una elipse
5.2.1.1. Puntos de una elipse
5.2.1.2. Ejes de una elipse
5.2.1.3. Excentricidad de una elipse
5.2.1.4. Excentricidad angular de una elipse
5.2.1.5. Constante de la elipse
5.2.1.6. Directrices de la elipse
5.2.2. Ecuaciones de la elipse
5.2.2.1. En coordenadas cartesianas
5.2.2.2. En coordenadas polares
5.2.3. Aplicaciones
5.3.
HIPÉRBOLA
5.3.1. Ecuaciones de la hipérbola
5.3.1.1. Ecuaciones en coordenadas cartesianas
5.3.1.2. Ecuaciones en coordenadas polares
5.3.1.3. Ecuaciones paramétricas
5.3.2. Aplicaciones en el mundo real
78
78
78
79
81
81
82
82
82
82
83
83
83
84
84
84
85
86
87
87
87
88
89
89
PRUEBA TIPO ICFES
90
BIBLIOGRAFÍA
96
5
UNIDAD 1
1. ÁNGULOS Y MEDIDAS DE ÁNGULOS
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen
o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
1.1. DE ACUERDO CON SU AMPLITUD
Tipo
Descripción
Ángulo nulo
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es
nula, o sea de 0°
0°..
Ángulo agudo
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rady menor
de
rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90° ( grados sexagesimales
agesimales), o menor de
100g (grados centesimales).
Ángulo recto
Un ángulo recto es d
de amplitud igual a
rad
g
Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100 centesimales).
centesimales
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a
rad y menor a
g
Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100 y menos de
g
200 centesimales).
Ángulo llano, extendido o
colineal
El ángulo llano tiene una amplitud de
rad
g
Equivalente a 180° sexagesimales (o 200 centesimales).
centesimales
Ángulo oblicuo
Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.
Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Ángulo completo
o perigonal
Un ángulo completo o perigonal, tiene u
una
na amplitud de
g
Equivalente a 360° sexagesimales (o 400 centesimales).
centesimales
6
rad
rad
Ángulo convexo
o saliente
Ángulo cóncavo,
reflejo o entrante
Es el que mide menos de
rad.
g
Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales (o más de 0 y menos de
g
200 centesimales).
Es el que mide más de
rad y menos de
rad.
g
Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200 y menos de
g
400 centesimales).
1.2. EN FUNCIÓN DE SU POSICIÓ
POSICIÓN
1.2.1. Ángulos consecutivos. Los
os que tienen
tienen un lado y el vértice común. Se dividen en:
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°
α + β son complementarios
α + β= 90°
Dos ángulos son suplementarios si la suma de
sus medidas es 180°
α + β son suplementarios
α + β = 180°
7
Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en
común y los otros dos están en la misma recta.
a es adyacente
dyacente con b Û A, B, C son colineales
(están en la misma recta), BD lado común para a y
b
Los ángulos adyacentes son suplementarios.
Ángulos
conjugados se
denomina
a
dos ángulos cuyas medidas suman 360º (grados
(
sexagesimales).
Dos ángulos conjugados con vértices coincidentes,
tendrán sus lados comunes.
Así, para obtener el ángulo conjugado de α que
tiene una amplitud de 250°, se restará α de 360°:
β = 360° – 250º = 110º
El ángulo β (beta) es el conjugado de α (alfa).
360 grados sexagesimales equivalen a
2π radianes, o 400 grados centesimales.
centesimales
1.2.2. Ángulos
ngulos opuestos por el vértice.
vértice Aquellos
quellos cuyos lados son semirrectas opuestas. Como ya vimos, por
definición, un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas rectas que parten de un
mismo punto. Fijando nuestra atención en las rectas,, sabemos que estas pueden ser secantes (que se
cortan) o paralelas (que no se cortan nunca).
nunca)
Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ángulos. Cada ángulo tiene dos lados
lad y un vértice.
Esta construcción en el plano nos permite relacionar entre sí los ángulos así formados.
Son los ángulos formados por dos rectas que se cortan en un punto
llamado vértice (V).
α es opuesto por el vértice con β
γ es opuesto por el vértice con δ
Como podemos verificar en la figura: Los ángulos opuestos por el
vértice son iguales
8
1.2.3. Ángulos formados por dos paralelas y una transversal. Ángulos determinados por dos rectas paralelas y
una secante.
Dos rectas paralelas cortadas por una tercera determinan ocho ángulos:
Esta distribución numérica nos permite carecterizar parejas de ángulos
según su posición, haciendo notar que los ángulos 3, 4, 5 y 6
son interiores (o internos) y que los ángulos 1, 2, 7 y 8 son exteriores
(o externos) respecto a las rectas:
Ángulos internos (3, 4, 5 y 6). Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas
son suplementarios (suman 180º)
Ángulos 3 y 5 son suplementarios (suman 180º)
Ángulos 4 y 6 son suplementarios (suman 180º)
Ángulos externos (1, 2, 7 y 8). Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas
son suplementarios.
Ángulos 1 y 7 son suplementarios (suman 190º)
Ángulos 2 y 8 son suplementarios (suman º80º)
9
Ángulos correspondientes. Son aquellos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la
transversal.
1 y 5 son ángulos
correspondientes
(iguales), ∠ 1 = ∠ 5
2 y 6 son ángulos
correspondientes
(iguales) ∠ 2 = ∠ 6
3 y 7 son ángulos
correspondientes
(iguales) ∠ 3 = ∠ 7
4 y 8 son ángulos
correspondientes
(iguales) ∠ 4 = ∠ 8
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una
transversal, entonces cada par de ángulos correspondientes es congruente entre sí.
Ángulos alternos internos. Son aquellos ángulos interiores que están a distinto lado de la transversal y a distinto
lado de las paralelas.
3 y 6 son ángulos alternos internos
∠3=∠6
4 y 5 son ángulos alternos internos
∠4=∠5
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una
transversal, entonces cada par de ángulos alternos internos es congruente entre sí.
Ángulos alternos externos. Son aquellos ángulos exteriores que están a distinto lado de la transversal y a
distinto lado de las paralelas.
10
1 y 8 son ángulos alternos externos
∠1=∠8
2 y 7 son ángulos alternos externos
∠2=∠7
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una
transversal, entonces cada par de ángulos alternos externos es congruente entre sí.
EJERCICIOS……
Ejercicio 1
Si
calcular:
11
Ejercicio 2
Si
bisectriz
del
, calcular
Ejercicio 3)
Si
encuentre la medida de
Ejercicio 4)
En la figura,
, entonces cuál(es) de las siguientes relaciones son
siempre verdaderas:
Alternativas
a)
b)
c)
d)
e)
solo I
solo II
solo III
I, II y III
I y II
12
2. SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS
Los sistemas de medidas de ángulos son: el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
centesimal
2.1. EL RADIÁN
El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades.
Unidades
Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es
igual a la del rradio. Su símbolo es rad.
Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de
Unidades, junto con el estereorradián.. A partir de ese año, y hasta
ha
el momento
presente, ambas unidades figuran en a la categoría de unidades derivadas.
derivadas
Esta
unidad
se
utiliza
trigonometría, goniometría, etc.
primordialmente
en Física, cálculo
infinitesimal,
infinitesimal
El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a
la longitud del arco que delimitan los radios; es decir, θ = s /r, donde θ es ángulo, s es
la longitud del arco, y r es el radio. Por tanto, el ángulo completo,
, que
sustiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:
El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más
comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π.
2.2. EL GRADO SEXAGESIMAL
Un grado sexagesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya
longitud es igual a 1/360 de la circunferencia.
circunferencia Es la nonagésima (1/90)
parte de un ángulo recto.
El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos
sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90
grados sexagesimales), y sus divisores: el minuto sexagesimal y
el segundo sexagesimal,, están definidos del siguiente modo:
1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).
1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).
1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).
13
Notación decimal. Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de la
fraccionaria con la coma decimal, se divide
divide en 60 en la forma normal de expresar cantidades decimales, lo que se
busca es transformar en minuto y el segundo números decimales, por ejemplo.
23,2345°
12,32°
-50,265°
123,696°
Notación sexagesimal. Podemos expresar una cantidad en grados minutos y segundos, las partes de grado
inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo, ejemplo:
12°34 ′34″
13°3 ′23,8″
124°45 ′34,70″
-2°34 ′10″
Teniendo cuidado como norma de notación, no dejar espacio entre las cifras, es decir:
escribir 12°34 ′34″ y no 12° 34 ′ 34″
Podemos también representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sexagesimal
sex
teniendo
en cuenta que:
1’ = (1/60)° = 0,01666667° (redondeando a ocho dígi tos)
1” = (1/60)′ = (1/3600)° = 0,00027778°
Así 12°15 ′23″ = 12° + 15(1/60)° + 23(1/3600)° ≈ 12,25639°
2.3. EL GRADO CENTESIMAL
Un grado centesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/400 de la
circunferencia.
El grado
centesimal, grado
centígrado o gradián (plural:
gradianes), resulta de dividir un ángulo recto en cien unidades. La
circunferencia se divide, así, en 400 grados centesimales. Un grado
centesimal equivale a nueve décimos de grado sexagesimal. En las
calculadoras suele usarse la abreviatura grad. Se representa como
una "g" minúscula en superíndice colocada tras la cifra. Por ejemplo:
g
12,4574
Sus divisores son:
m
c
1 grado centesimal = 100 minutos centesimales
centesi
(100 o 100 )
s
cc
1 minuto centesimal = 100 segundos centesimales (100 o 100 )
El grado centesimal surge de la división del plano cartesiano en
cuatrocientos ángulos iguales, con vértice común. Cada cuadrante
posee una amplitud 100 grados centesimales, y la suma de los
cuatro cuadrantes mide 400 grados centesimales.
14
Equivalencia entre grados sexagesimales y centesimales
0° = 0
g
90° = 100
g
180° = 200
g
270° = 300
g
360° = 400
g
Ejemplo
Los siguientes valores angulares son equivalentes:
23° 47' 35" grados sexagesimales
23,7931 grados sexagesimales con fracción decimal
g
c
cc
26 43 67 gonios con minutos y segundos centesimales
26,4367 gonios o grados centesimales
Los minutos y segundos de gonio se corresponden con la fracción decimal de gonio,
gonio cosa que no ocurre con
los grados sexagesimales.. No deben confundirse los grados centesimales
centesimales con el uso de fracciones decimales para
expresar ángulos en grados sexagesimales.
Conversión de ángulos comunes
Unidades
Valores
Revolución
0
Degradianes
0°
Radiánes
0
Grados
0
g
30°
45°
50
60°
g
90°
g
100
180°
g
200
270°
300
g
360°
400
g
La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°
La equivalencia
lencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200
g
La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.
Grados
0°
Radianes 0
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
π/6 π/4 π/3 π/2
/2 2π/3 3π/4 5π/6
π
15
7π/6 5π/4 4π/3 3π/2
3π
5π/3 7π/4 11π/6
2π
TABLA DE CONVERSIÓN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES
Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x
va arriba, en la posición de los radianes.
EJEMPLOS:
Ejemplo A
Despejamos x, también simplificamos.
Convertir 38° a radianes.
16
EJERCICIOS DE APLICACIÓN……
Por último obtenemos el equivalente decimal:
1. Expresa los siguientes ángulos en grados,
minutos y segundos:
x = 0,6632 radianes.
a) 25,36º
b) 46, 78º
c) 123,41º
d) 75,08º
Ejemplo B:
Convierte 17º47´13´´ a notación decimal.
 1 

 60 
2. Expresa en sistema
istema decimal los siguientes
ángulos:
º
Como 1º = 60´, entonces 1´= 
´
 1   1 
También: 1´´= 
 =

 60   3600 
a) 45º36´28´´
b) 125º45´78´´
c) 95º55´78´´
d) 179º59´36´´
º
3. Halla el suplemento de 100º36´48´´
4. Convierta 2,4 radianes a grados.
Entonces tenemos que:
17º47´13´´
5. Expresa en grados los siguientes ángulos
medidos en radianes:
= 17º + 47´+ 13´´
º
 1 
 1 
= 17 + 47 
+ 13 


 60 
 3600 
º
a)
º
π
2
b) −
8π
3
c)
3π
2π
d) −
2
3
6. Expresa en radianes los siguientes ángulos:
= 17º + 0,7833º + 0,0036º
a) – 180º
= 17,7869º
17
b) 45º
c) – 360º d) – 60º
3. APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE THALES Y DE PITÁGORAS
3.1. TEOREMAS DE PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS (TEOREMA DE THALES)
Si tenemos dos rectas r y s de un plano, y en una de ellas r , tomamos dos segmentos cualesquiera AB ,BC , al
trazar por los extremos de estos segmentos rectas paralelas entre sí , que corten a la segunda recta s ,
determinarán en esta otros dos segmentos , proporcionales a los primeros, o sea que se verifica: Si dos rectas de
un plano son cortadas por varias paralelas , los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a sus
homólogos de la otra , es decir , la razón entre un segmento y su homólogo es constante.
3.2. TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
2
2
2
cuadrados de los catetos. a = b + c
En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el duplo de uno de ellos por la
proyección del otro sobre él.
En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados más el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
2
2
Para calcular un cateto en un triángulo rectángulo se sigue la siguiente fórmula b + c = a
18
2
19
EJERCICIOS……….
Teorema de Thales
Calcula la longitud de A’B’ en la figura adjunta
Calcula AB en la figura adjunta
Un árbol proyecta una sombra de 6 m y, a la misma hora y en el mismo
sitio, un palo de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. Calcula la altura del
árbol.
Teorema de Pitágoras
Calcula la hipotenusa en el triángulo de la figura
Calcula el cateto de C en el triángulo de la figura
Calcula la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6,6 cm y 8,8 cm
Calcula la longitud de un cateto en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m, y el otro cateto 16 m
20
PRUEBA TIPO ICFES
RESPUESTA (TIPO I)
a)
Responda las preguntas 1 y 2 de acuerdo a lo
siguiente:
b)
c)
d)
Con motivo de su aniversario un hipermercado ofrece
rebajas de los productos que vende así: 1/3 en carnes, 2/7
en electrodomésticos, 3/5 en frutas y 1/8 en productos de
aseo. Además, por cada $35.000 en compras regala una
boleta para participar en la rifa de una motocicleta.
Va aumentando a medida que se pasa a un nivel
superior.
Va disminuyendo a medida que se avanza en el
juego.
Es el mismo para todos los niveles.
Varía dependiendo del número de aciertos o
errores que se obtienen al finalizar un nivel.
4. Si una persona dice a su amigo que en el juego
obtuvo un puntaje de 1595 puntos antes de pasar al
tercer nivel, entonces, eso quiere decir que:
a) Obtuvo el máximo puntaje en los dos primeros
niveles y no obtuvo puntos en el tercer nivel.
b) Tuvo 7 aciertos en el primer nivel y 15 aciertos en
el segundo nivel.
c) Tuvo 13 aciertos en el primer nivel y 5 aciertos en
el segundo nivel.
d) Tuvo 15 aciertos en el primer nivel y 7 aciertos en
el segundo nivel.
1. De acuerdo con la información se puede decir que:
a) La mayor rebaja está en frutas puesto que 3/5 es
el racional con mayor numerador.
b) La mayor rebaja está en frutas puesto que 3/5 es
el mayor de los racionales.
c) La mayor rebaja está en productos de aseo
puesto que el racional 1/8 es el que tiene mayor
denominador.
d) La mayor rebaja está en carnes puesto que 1/3 es
mayor que 2/7.
Responda las preguntas 5 a 8 de acuerdo a lo
siguiente:
2. Si al pagar el mercado, un cliente recibe 17 boletas
se puede establecer que:
a) Sus compras fueron mayores a $600.000.
b) Sus compras estuvieron entre $450.000 y
$590.000.
c) Sus compras fueron superiores a $600.000.
d) Sus compras estuvieron entre $550.000 y
$600.000.
El dueño de una fábrica de tanques de agua desea lanzar
un nuevo modelo de tanques para el mercado. Pide a
varios diseñadores que le presenten propuestas con el fin
de poder ofrecer un tanque que cumpla con las
necesidades de la industria “ capacidad máxima y volumen
mínimo". Los modelos que presentan los diseñadores son:
Responda las preguntas 3 y 4 de acuerdo a lo
siguiente:
En un juego de computador que tiene seis niveles de
dificultad, se obtienen 2000 puntos adicionales cuando al
pasar de un nivel a otro no se han cometido fallas. Sólo se
puede pasar a un nivel superior cuando se ha obtenido un
puntaje a favor. En cada nivel se presentan cierto número
de pruebas y se ganan o pierden puntos dependiendo de
las fallas o aciertos así:
Puntaje
Máximo
Nivel
Puntaje
perdido por
puntaje por
obtenido por
cada error
nivel
cada acierto
1
50
10
1000
2
100
25
2000
3
150
75
3000
4
200
150
4000
5
250
250
5000
6
300
375
6000
5. Al comparar los volúmenes de los tanques 2 y 4 se
puede decir que:
a) Ambos volúmenes son iguales ya que las
medidas de los radios de las bases y las alturas
son iguales.
b) Es mayor el volumen del tanque 2 porque el
volumen del cilindro es 4 veces el volumen del
cono cuando ambos tienen bases de igual radio.
c) El volumen del tanque 2 es mayor, ya que
corresponde a tres veces el volumen del cono.
d) El volumen del tanque 4 es mayor puesto que el
volumen del cilindro es la tercera parte del
volumen del cono.
3. Teniendo en cuenta la información anterior se puede
decir que el número de pruebas por nivel:
21
6. La relación que se puede establecer entre el
volumen de los tanques 2 y 3 es:
a)
b)
V2 = (4/3) V3.
V2 = V3.
12. Si se considera el volumen del cilindro constante y
dado por la siguiente expresión: V = Abase xh, a medida
que aumenta el radio de la base del cilindro, su altura
h:
c) V3 = (3/4)V2.
d) V3 = (4/3) V2.
a)
7. De los tanques 3 y 4 se puede decir que:
a) V3 = 4 V4.
b) V3 = V4.
c) V4 = V3.
D) V4 = (1/3) V3.
b)
8. Teniendo en cuenta que el número = 3,1416 es una
constante, se puede afirmar que el volumen del tanque
con forma de cono es:
a) Equivalente al volumen del tanque con forma de
cubo.
b) Equivalente a /3 del volumen del tanque con
forma de cubo.
c) Equivalente a 4 /3 del volumen del tanque con
forma de cubo.
d) Equivalente a veces el volumen del tanque con
forma de cubo.
c)
d)
Responda las preguntas 13 a 16 de acuerdo a lo
siguiente:
Responda las preguntas 9 a 12 de acuerdo a lo
siguiente:
Se puede decir en términos generales en dos figuras son
semejantes cuando tienen la misma forma y diferente
tamaño y dos figuras son congruentes si tienen la misma
forma y tamaño.
Para almacenar aceite se utiliza un tanque de forma
cilíndrica que tiene las siguientes dimensiones:
9. Si el volumen de un cilindro
se obtiene multiplicando el área
de la base por la medida de la
altura, entonces se puede
afirmar que la expresión que
representa el volumen del
tanque de aceite es:
a)
b)
2
y +3
3
y + 3y
Para los triángulos se tienen unos criterios con el fin de
poder identificar cuando dos de ellos con semejantes o
cuando son congruentes. Se dice que dos triángulos son
congruentes cuando se cumple alguna de las siguientes
condiciones:
Tienen sus lados correspondientes congruentes.
Uno de los ángulos y los lados que forman dicho
ángulo son congruentes.
Dos ángulos son congruentes y el lado común a
dichos ángulos en los triángulos también son
congruentes.
c) y(y + 3)
2
d)
y (y
+ 3)
10. Si el radio de la base es igual a 4 m entonces, el
volumen del cilindro es:
a)
28 m
3
m
3
3
b) 19 m
3
c) 76 m
d)
112
Se dice que dos triángulos son semejantes si se cumple
alguna de las siguientes condiciones:
Tienen dos ángulos congruentes.
Los lados correspondientes de los triángulos son
proporcionales.
Tienen dos lados proporcionales y los ángulos
formados por los lados proporcionales son
congruentes.
11. Si el volumen permanece constante y el radio de la
base se triplica, entonces se puede afirmar que la
altura del cilindro es igual a:
a)
c)
b)
d)
Aumenta puesto que en la expresión que
representa la altura, el radio está en el
denominador y es directamente proporcional a la
altura.
Disminuye puesto que en la expresión que
representa la altura, el radio está en el
denominador y es inversamente proporcional a la
altura.
Aumenta puesto que la expresión que representa
la altura, el radio está en el numerador y es
directamente proporcional a la altura.
Disminuye puesto que en la expresión que
representa la altura, el radio está en el numerador
y es inversamente proporcional a la altura.
22
El concepto de semejanza de triángulos se puede extender
a polígonos de más de tres lados. Podemos decir que dos
polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos
iguales y sus lados correspondientes proporcionales.
Los 1000 estudiantes de básica secundaria en un colegio
se distribuyen de la siguiente manera:
130 en grado sexto
275 en grado séptimo
328 en grado octavo y
267 en grado noveno.
13. De acuerdo con la información presentada en el
texto no se puede deducir que:
a)
b)
c)
d)
17. La gráfica que representa correctamente la
distribución de estudiantes de básica secundaria en el
colegio es:
Dos pentágonos cualesquiera son semejantes.
Dos cuadrados cualesquiera son semejantes
entre sí.
Se pueden encontrar triángulos equiláteros que
no son semejantes.
Dos polígonos regulares cualesquiera son
semejantes.
a)
b)
c)
d)
14. De la afirmación "Dos pentágonos regulares son
semejantes entre sí" se puede decir que:
a)
b)
c)
d)
Es cierta puesto que los cocientes entre los lados
correspondientes de los dos pentágonos no son
iguales.
Es falsa puesto que los ángulos de los polígonos
no son iguales.
Es falsa puesto que al ser regulares los lados y
ángulos de los dos pentágonos son iguales.
Es cierta puesto que los ángulos son iguales y al
calcular los cocientes de las medidas de lados
correspondientes se obtiene el mismo resultado.
15. Si se tienen dos triángulos equilátero entonces se
puede decir que:
a)
b)
c)
d)
son semejantes puesto que cumplen con
cualquiera de las tres condiciones que se deben
cumplir para que dos triángulos sean semejantes.
Son congruentes puesto que en un triángulo
equilátero todos los lados tienen igual medida.
No son semejantes puesto que sólo se debe
cumplir una de las condiciones para que se pueda
decir que lo sean.
No son congruentes puesto que los tres ángulos
son congruentes.
18. El grupo más representativo de los estudiantes de
secundaria en el colegio es:
16. Si dos triángulos rectángulos tienen uno de sus
ángulos agudos iguales entonces se puede decir que
son:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
Congruentes.
Semejantes.
Son congruentes y semejantes a la vez.
No son congruentes ni semejantes.
d)
Octavo grado por ser el grupo más numeroso.
Sexto grado por ser el grupo menos numeroso.
Séptimo grado por ser el segundo grupo más
numeroso.
Noveno grado por ser el segundo grupo menos
numeroso.
19. Si el departamento de matemáticas el colegio está
conformado por 6 hombres y 4 mujeres y las edades
promedio son respectivamente 40 y 20 entonces se
puede afirmar que la edad promedio de los integrantes
del departamento de matemáticas del colegio es:
Responda las preguntas 17 a 19 de acuerdo a lo
siguiente:
23
a) 26 años
b) 30 años
c) 24 años
d) 32 años
En una empresa existen tres departamentos: dirección,
administración y ventas. En dirección hay cinco mujeres y
15 hombres, en administración 20 mujeres y 30 hombres y
en ventas hay 15 hombres y 15 mujeres.
20. El siguiente gráfico muestra el número de multas
de tránsito tuvieron que pasar
asar vehículos particulares
por infringir la medida del “ pico y placa" en Bogotá,
durante una semana del mes de agosto de 2006.
21. Si se desea escoger un representante de todos los
empleados para leer las palabras de bienvenida al
nuevo presidente de la empresa, la probabilidad de
que la persona seleccionada sea hombre es:
a)
4/10
6/10
b) 2/10
c) 5/10
d)
22.. La cantidad de hombres y de mujere
mujeres que trabajan
en la empresa es respectivamente:
a)
200
b) 260
c) 250
d)
b) 60 y 40
d) 45 y 65
c) 50 y 50
23.. Para determinar la probabilidad que al seleccionar
un empleado sea escogida una mujer que trabaje en el
departamento de ventas se debe:
a) Dividir 15 entre 30 puesto que en el departamento
de ventas de los 30 empleados 5 son mujeres.
b) Dividir 30 entre 100 puesto que de los 100
empleados de la empresa 30 están en el
departamento de ventas.
c) Dividir 15 entre 100 puesto que en ventas hay 15
mujeres del total de 100 empleados de la
empresa.
d) Dividir 15 entre 70 puesto que hay 15 mujeres en
el departamento de ventas y 70 empleados que
no pertenecen al mismo.
El número de multas impuestas en la semana fue:
a)
40 y 60
245
Responda las preguntas 21 a 23 de acuerdo a lo
siguiente:
24
UNIDAD 2
1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
En matemáticas, Las funciones trigonométricas son las funciones que se definen a fin de extender la definición de
las razones trigonométricas a todos los números reales.
Dado cualquier triángulo rectángulo
triángulo:
ABC, se pueden considerar las siguientes razones entre los lados del
Por lo que podemos afirmar:
Las razones dadas en el primer triángulo,
triáng , no dependen de la longitud de los lados, sino de la medida del ángulo y
se las llama razones trigonométricas.
trigonométricas
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo
rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones
del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio
unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones
diferenciales, permitiendo
do su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
1.1. EXISTEN SEIS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir
geométricamente o por medio
edio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en
las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
Función
Abreviatura Equivalencias (en radianes)
Seno
sin (sen)
25
Coseno
cos
Tangente
tan
Cotangente ctg (cot)
Secante
sec
Cosecante csc (cosec)
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se
parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El
nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los
sucesivo será:
La hipotenusa (h)) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor
longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a)) es el lado opue
opuesto al ángulo .
El cateto adyacente (b)) es el lado adyacente al ángulo .
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano,
por lo que la suma de sus ángulos internos es igual
i
a π radianes (o 180°).
En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se
encuentran entre 0 y π/2
/2 radianes. Las definiciones que se dan a
continuación definen estrictamente
ictamente las funciones trigonométricas para
ángulos dentro de ese rango:
1.1.1. El seno: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rect
rectángulo
ángulo que elijamos, siempre que tenga el
mismo ángulo
, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
1.1.2. El coseno: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
26
1.1.3. La tangente: de un ángulo
gulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
1.1.4. La cotangente: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
1.1.5. La secante: de un ángulo es la relación entre la longitud d
de
e la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
1.1.6. La cosecante: de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto
opuesto:
27
EJERCICIOS……
1. Calcular las razones trigonométricas del triángulo rectángulo de lados 7 cm; 7,4 cm y 2,4 cm. para el ángulo de
19º.
2. Si los rayos del sol forman un ángulo de 65º con el suelo y, la sombra de un mástil es de 86 cm. ¿Cuál es la
altura del mástil medido en metros?
3. Sea el triángulo ACB, rectángulo en C, y sean a, b y c los lados opuestos a los ángulos A, B y C; con b= 12 y
c= 13, calcula las razones trigonométricas de los ángulos A y B.
2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS ESPECIALES
A veces, necesitamos y podemos calcular algunas razones trigonométricas para unos determinados ángulos:
2.1. ÁNGULO DE 45º
Tenemos un triángulo rectángulo e isósceles (es una de los dos escuadras clásicas). Se calcula la hipotenusa
suponiendo los lados iguales b = c y se pueden suponer, sin pérdida de generalidad, de valor 1.
2.2. ÁNGULOS DE 30º Y 60º
Esta es la otra escuadra clásica. Usando esta escuadra, se le adosa otra escuadra, como lo muestra la figura
siguiente, y obtenemos un triángulo equilátero, ya que todos sus ángulos miden 60º.
Como el tamaño no afecta a los cálculos, podemos suponer que cada
lado mide 2 unidades.
La altura h del triángulo es:
28
Observación: Los valores obtenidos pueden sintetizarse en la siguiente tabla:
EJERCICIOS……
1. Si nos alejamos en la línea recta 30 m, sólo hay que levantar la vista 30º para ver la punta de la antena.
¿Cuál es la altura de la antena?.
2. Aplicando los valores para ángulos de 30º, 45º y 60º, calcula:
a. sen 30º + tan 45º.
b. sen 60º + cos 60º - cot 45º
c. sen 30º - cos 45º + tan 45º.
3. Comprueba si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:
2
2
2
2
a. sen 45º + cos 45º = sen 60º + cos 60º
2
2
2
b. 1 – 2 sen 30º = cos 60º (sugerencia: sen A= (sen A) )
29
3. SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN LOS CUADRANTES
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos "x"; al
cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia,
la designaremos "r".
3.1. PRIMER CUADRANTE
Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son
positivas.
3.2. SEGUNDO CUADRANTE
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto
sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo
tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
30
3.3. TERCER CUADRANTE
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen
sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : - =
+).
3.4. CUARTO CUADRANTE
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto
opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el
coseno y la secante.
4. CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Son muchas las situaciones donde se presentan problemas cuya solución se realiza mediante la resolución de
triángulos rectángulos.
Sugerencias para resolver triángulos rectángulos
-
Todo triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos interiores. Resolver un triángulo es conocer
estos seis elementos fundamentales.
31
-
-
Por geometría, sabemos que en todo triángulo se pueden trazar líneas
notables: tres alturas, tres bisectrices, tres medianas y tres
mediatrices.
En todo triángulo rectángulo siempre es conocido uno de sus ángulos
interiores, es decir, el ángulo recto. Luego, un triángulo rectángulo
puede resolverse si, además del ángulo recto, se conocen dos de sus
lados o un lado, y uno de sus ángulos agudos.
- Cuando en un triángulo rectángulo se
conoce uno de sus ángulos agudos, basta restar
este valor de 90º (ángulo recto), para obtener el
otro ángulo agudo del triángulo en mención.
- Para hallar un elemento desconocido del triángulo rectángulo, ya sea la
longitud de uno de sus lados o el valor de uno de sus ángulos agudos, escogemos una
de las razones trigonométricas que contenga dicho elemento y otros dos elementos
fundamentales conocidos para despejar el elemento en cuestión.
- Si el triángulo por resolver no es
rectángulo, pero es isósceles o equilátero,
entonces se traza la altura correspondiente a la
base (perpendicular bajada desde el vértice opuesto a la base) y este
quedará dividido en dos triángulos rectángulos congruentes. La
resolución de uno de estos dos triángulos rectángulos nos permitirá
resolver el triángulo.
También es importante conocer, entender y aplicar los conceptos de ángulo
de elevación y ángulo de depresión. Estos conceptos se refieren al ángulo
entre el horizontal y la línea visual del observador y la posición del objeto.
Ángulo de elevación. Si la línea visual del observador al objeto está por encima de la línea horizontal imaginaria.
Ángulo de depresión. Si la línea visual del observador al objeto está por debajo de la línea horizontal imaginaria.
Observa y analiza estos conceptos en la siguiente gráfica:
El ∢ CAB es un ángulo de elevación; el punto B está elevado con respecto al
observador en A y la línea horizontal AC que pasa por A.
El ∢ DBA es un ángulo de depresión; el punto A queda en la parte de abajo del
observador que está en B y de la línea horizontal DB que pasa por B.
Una de las mayores dificultades que se encuentra en el estudio y la
comprensión de conceptos matemáticos es la aplicación de estos en la
solución de problemas.
En trigonometría, por ejemplo, son muy comunes los problemas
en los que se necesita aplicar las razones trigonométricas en la
32
solución de triángulos.
Veamos el siguiente caso:
Desde lo alto de una colina, una persona observa un venado en la sima, bajo un ángulo de depresión de 30º. Si la
distancia entre el observador y el venado es de 100 m, ¿qué altura tiene la colina?.
Para resolverlo, sugerimos los siguientes pasos:
1. Determina el significado de los siguientes términos que aparecen en el problema: sima, ángulo de
depresión, etc.
2. Realiza un esquema gráfico de figuras geométricas y donde representes solamente las magnitudes
relevantes. (No es necesario dibujar los objetos como tales).
3.
4.
5.
6.
Identifica en ese esquema las magnitudes que puedes
puedes relacionar para encontrar el valor de la incógnita.
Escribe las relaciones y las fórmulas necesarias para desarrollar el problema.
Reemplaza los valores de las magnitudes conocidas con los datos del problema.
Realiza los procedimientos aritméticos y algebraicos
algebraicos necesarios para despejar el valor de la incógnita.
4.1. APLICACIÓN GEOMÉTRICA
Dado el triángulo rectángulo ABC que se muestra en la figura, calcula:
a) Su área
b) Su perímetro
Solución
a) Como el área de un triángulo se defi8ne como A= bh/2, debemos conocer el valor
de la base y el valor de la altura.
En el gráfico se observa que la hipotenusa (AC) vale 6cm y el ángulo agudo C= 40º.
33
Debemos entonces hallar el valor de la altura (AB) y el valor de la base (BC).
Como AB es el cateto opuesto al ángulo C, tenemos que:
AB
AC
Definición de sen C:
sen 40º =
Hallamos el valor de AB:
AB = AC sen 40º
Solucionamos:
AB = (6 cm) (0,643)
AB= 3,858 cm
BC
AC
Usando la definición de cos C, tenemos:
cos 40º =
Hallamos el valor de BC:
BC= AC cos 40º
Solucionamos:
BC= (6 cm) (0,766)
BC= 4,596 cm
Por tanto:
A=
bh
2
A=
(4,596cm )(3,858cm )
2
2
A= 8,866 cm
b) Como el perímetro se define como la suma de los lados de la figura, entonces:
Perímetro = AB + BC + AC
P= 3,858 cm + 4,596 cm + 6 cm
P= 14, 454 cm
4.2. APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN INGENIERÍA
David es un estudiante de ingeniería civil que desea medir la altura de una torre. Para ello, ubica el teodolito
(instrumento que mide los ángulos de un terreno) en el punto P a una distancia x de la torre, mide el ángulo de
elevación y obtiene un valor de 75º. Luego se aleja 100 m en línea recta del punto P hasta el punto Q, mide
nuevamente el ángulo de elevación y obtiene 37º. ¿Cuánto mide la torre si el teodolito tiene una altura de 1,5 m?
34
Solución
Grafiquemos la situación descrita
La gráfica muestra dos triángulos rectángulos que tienen un lado común,
denotado por h1.
Como no conocemos el valor de ninguna de las hipotenusas, debemos usar
la razón tangente del ángulo. Entonces:
Para el triángulo rectángulo ABP:
tan 75º =
h1
x
Para el triángulo rectángulo ABQ:
tan 37º =
h1
x + 100
Hallamos el valor de h1 en las dos ecuaciones:
h1 = x tan 75º
h1 = (x + 100) tan 37º
Obtenemos:
x tan 75º = (x + 100) tan 37º
Efectuamos operaciones:
x tan 75º = x tan 37º + 100 tan 37º
3,73 x = 0,75 x + 75,36
2,98 x = 75,36
x=
75,36
2,98
X = 25,29 m
4.3. APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TOPOGRAFÍA
Un topógrafo necesita medir el largo de un túnel que debe atravesar una montaña para unir dos ciudades; para
ello se ubica en la ciudad A y utiliza un teodolito, instrumento con el cual encuentra las medidas que indica la
figura. Cuál es el ángulo de elevación en el otro extremo del túnel?.
35
Solución
a) El topógrafo apunta en su libreta los datos
obtenidos de la siguiente forma y procede a realizar
los cálculos:
El largo del túnel está representado por la hipotenusa del
triángulo rectángulo ABC, o sea, es el valor de b.
cos 60º =
2km
c
c
, entonces b=
. Por tanto, b =
, b = 4km .
b
cos 60º
0,5
El largo del túnel es 4 km.
b) Para hallar el valor del ángulo de elevación
, tenemos que:
∢ A + ∢ B + ∢ C = 180º
60º + 90º +
= 180º
= 180º - 150º
= 30º
4.4. APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN NAVEGACIÓN
Una embarcación parte desde un faro que tiene una altura de 50m. Cuando se encuentra a 2 km del faro sufre
fallas en sus equipos de comunicación y envía una señal mediante un reflector.
a. ¿Cuál debe ser el ángulo de elevación que forma el reflector con la torre donde está el observador para
visualizar la señal?.
b. ¿Cuál es el valor del ángulo de depresión que se forma en el faro?.
Solución
Se bosqueja la situación descrita en el problema
36
a) El ángulo de elevación está representado
por el ángulo .
Como se conoce la altura del faro (cateto opuesto a
) y la distancia del faro al yate (cateto adyacente a
) podemos emplear la razón tan . Entonces:
tan α =
cateto opuesto
cateto adyacente
tan α =
50km
50m
=
2km
2000m
tan α =
Por tanto, usando la calculadora tenemos:
b) El ángulo de depresión
=1,432º
1
; tan α = 0,025
40
α = tan−1 0,025 = 1,432º = 1º 25´55´´
es el mismo ángulo de elevación
por ser alternos
ternos internos paralelas. Por tanto,
4.5. APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN METEOROLOGÍA
Un meteorólogo quiere saber la altura a la que se encuentra una nube. Para ello ubica un punto fijo P sobre el
suelo y se ubica en el punto Q separado 2m del punto P. Ubica un teodolito de 1,5 m de altura en el punto Q y
mide un ángulo de elevación de 80,5º.
a) ¿A qué altura se encuentra
ra la nube?.
b) ¿Qué distancia separa la nube del punto
B?.
Solución
Se grafica la situación descrita en el problema.
problema
a) En la gráfica se observa que se forma el triángulo
rectángulo ADB, donde el cateto BD es la horizontal
que se forma con la visual del observador.
rvador.
También vemos que la nube está a una altura h del
piso, donde h= AD + DP. Por tanto, hallando el
valor de AD podemos conocer la altura.
37
Como conocemos el ángulo 80,5 y su lado adyacente, y además tenemos que calcular el cateto opuesto,
entonces:
tan 80,5º =
AD
. Pero BD = QP
BD
Por tanto:
tan 80,5º =
AD AD
=
QP 2m
Entonces:
AD = (2m) tan 80,5º
AD = (2m) (5,976)
AD = 11,95 m
Como h = AD + DP, y DP = 1,5m, entonces h= 13,45m
13,45m.
EJERCICIOS……
1. Un topógrafo
grafo que se encuentra en el fondo de una
zanja determina que el ángulo de elevación a uno de
los bordes de dicha zanja es de 25º30´. Si la zanja
tiene 4 m de ancho, ¿cuál es la profundidad de la
zanja?
3. El piloto de un avión que vuela a 2000 m de altura
divisa la ciudad de destino con un ángulo de
depresión de 15º. A qué distancia está esa ciudad?.
ciudad
2. Desde un faro puesto a 40 m sobre el nivel del
mar se observa un barco con un ángulo de depresión
de 55º. ¿A qué distancia se halla el faro del barco?.
38
5. DOMINIO Y RANGO DE CADA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Una función entre dos conjuntos numéricos es una
correspondencia tal que a cada número del conjunto
de partida le corresponde una sola imagen del
conjunto de llegada.
Así, en la figura siguiente
podemos observar
gráficamente el comportamiento de la función raíz
cuadrada de un número.
Del lado izquierdo observamos el conjunto de partida
(representado por los valores que le asignemos a la
variable independiente “X”), del lado derecho
observamos el conjunto de llegada (representado por
los valores que toma la variable dependiente “Y” una
vez que se extrae la raíz cuadrada del valor que se le
asignó a “X”) y sobre la flecha está indicada la
relación matemática (función) que transforma los valores del conjunto de partida en los valores del conjunto de
llegada (imagen).
5.1. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen.
Los valores que le damos a “X” (variable independiente)
forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el
eje horizontal
(abscisas), leyendo como escribimos de
izquierda a derecha.
El dominio de una función está formado por aquellos valores
de “X” (números reales) para los que se puede calcular la
imagen f(x).
En la gráfica anterior notamos que si le asignamos los valores
“-2” y “-1” a la “X” estos no tienen imagen, por lo tanto no
pertenecen al dominio de la función estudiada. Esto es lógico
ya que los números negativos no tienen raíces reales sino
raíces imaginarias.
5.2. RANGO DE UNA FUNCIÓN
Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que
toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se
denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a
"X".
Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas),
leyendo de abajo a arriba. El Rango de una función es el conjunto formado por las imágenes f(x) de los valores de
“X” que pertenecen al Dominio de dicha función.
39
La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de
abajo hacia arriba.
5.3. ELABORACIÓN DE LA GRÁFICA DE CADA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante;
y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares
inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.
5.3.1. La función seno. Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón
trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada
y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.
5.3.2. La función cosecante. Puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.
5.3.3. La función coseno. Se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón
trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada
y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.
5.3.4. La función secante. Se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en
radianes.
5.3.5. La función tangente. Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la
razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente
como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.
40
5.3.6. La función cotangente. Es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes.
5.3.7. Propiedades de las funciones trigonométricas. Como características importantes y distintivas de las
funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:
•
Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las
funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.
•
Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son
funciones continuas (no así la función tangente).
Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La
función tangente no está acotada.
Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En
cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.
•
•
5.3.8. Funciones circulares recíprocas. Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de
las funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca, según
la relación siguiente:
•
•
•
La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = = arc sen x.
La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arc cos x.
La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arc tg x.
41
PRUEBA TIPO ICFES
Responda las preguntas 1 a 4 teniendo como
referencia la siguiente figura:
1.
Teniendo en cuenta que el área de un
cuadrado se obtiene elevando la medida del lado
al cuadrado, entonces el área de la figura es:
2
2
a) (x + y)
c) x
2
2
b) (x – y)
d) y
5. Del gráfico se puede deducir que:
a) Durante los 2 primeros años las dos
empresas tuvieron el mismo crecimiento
puesto que ambas obtuvieron las mismas
ganancias.
b) Durante los 2 primeros años la empresa 1
fue la que tuvo un mayor crecimiento puesto
que la recta que representa sus ganancias
crece más rápido que la que representa las
ganancias de la empresa 2.
c) Durante los 2 primeros años la empresa 2
tuvo un mayor crecimiento puesto que la
recta que representa sus ganancias crece
más rápido que la que representa las
ganancias de la empresa 1.
d) Durante los dos primeros años las empresas
tuvieron el mismo crecimiento puesto que las
rectas que representan las ganancias son
ambas crecientes.
2. Si el área de un rectángulo corresponde al
producto de las medidas de la base y la altura,
entonces se puede afirmar que el área del
rectángulo 2 es:
a) (y – x)y
c) (x – y)y
b) (x + y)y
d) (y – x)x
3. Si x = 12 cm y y = 4 cm entonces, las áreas de
las figuras 1, 2, 3 y 4 son respectivamente:
a) 24cm2, 16cm2, 16cm2 y 8cm2.
2
2
2
2
b) 48cm , 32cm , 32cm y 16cm .
2
2
2
2
c) 144cm , 16cm , 16cm y 4cm .
2
2
2
d) 64cm , 32cm , 32cm y 16 cm.
4. Si x = 10 y y=3 entonces, el perímetro del
rectángulo 3 es:
a) 13 cm
b) 26 cm
d) 23 cm
c) 16 cm
6. Las ganancias de la empresa 1 fueron
constantes durante los años.
a) 4 y 8
b) 4 y 10
c) 6 y 12
d) 6 y 10
Responda las preguntas 5 a 9 teniendo en cuenta la
siguiente información.
7. La empresa 2 obtuvo mayores ganancias que
la empresa 1 en el año.
a) 4
b) 6
c) 12
d) 2
El siguiente gráfico muestra la manera como
crecieron las ganancias de dos empresas diferentes
durante 12 años. En el eje x se representa el tiempo
en años y en el eje y se representan las ganancias
en millones.
8. En la recta que representa las ganancias de la
empresa 1 durante los dos primeros años se
pueden identificar los puntos (0,0) y (2,20). Si
42
para encontrar la pendiente de una recta se
utiliza la expresión:
a) Determinar la ecuación de la recta directriz y
reemplazar x por 4.
b) Encontrar el valor de la coordenada del foco
en el eje x.
c) Establecer cuál es el valor de la coordenada
del foco en el eje y.
d) Determinar el valor de la coordenada en y
del vértice.
entonces, se puede afirmar que
la pendiente de dicha recta es:
a) 10
d) 0.
b) – 10 c) No se puede determinar
9. Teniendo en cuenta que la forma general de
ecuación de la recta es y = mx + b donde m es
pendiente y b es el intercepto o valor donde
recta corta al eje y se puede afirmar que
ecuación que representa el crecimiento de
empresa 2 durante los años 2 y 4 es:
a) y = 4x – 10
c) y = 10x – 10
b) y = 2x + 16
d) y = 8x – 8
Para responder las preguntas 10 a 13
cuenta la siguiente información:
11. De la gráfica se puede deducir que:
a) Durante las 4 primeras horas el nivel de
rendimiento va disminuyendo puesto que la
parábola en ese intervalo es creciente.
b) Durante las 4 últimas horas el nivel de
rendimiento va disminuyendo puesto que en
ese intervalo la parábola es decreciente.
c) Durante las 4 primeras horas el nivel de
rendimiento va aumentando puesto que la
parábola en ese intervalo es decreciente.
d) Durante las 4 últimas horas el nivel de
rendimiento va aumentando puesto que la
parábola en ese intervalo es creciente.
la
la
la
la
la
tenga en
El gerente de una fábrica hizo un estudio con el fin
de determinar el nivel de rendimiento de los
empleados teniendo en cuenta el número de horas
trabajadas en el día. La expresión que resultó fue:
12. Teniendo en cuenta que el vértice de la
parábola tiene como coordenadas (4,8) y que los
puntos en los cuales la parábola corta al eje x
son (0,0) y (8,0), se puede decir que el tiempo en
el cual un empleado alcanza su máximo nivel de
rendimiento es:
a) 0 horas
c) 4 horas
b) 8 horas
d) 12 horas
x representa el número de horas
trabajadas.
y representa el nivel de rendimiento.
13. El rendimiento de un empleado cuando ha
trabajado 3 horas es:
a) 7
b) 15
c) 8
d) 7,5
Para las preguntas 14 a 17 tenga en cuenta lo
siguiente
Una empresa determina el salario de sus vendedores
dependiendo del número de unidades vendidas a
partir de un sueldo fijo de $420.000 mensuales más
$3.000 por unidad vendida.
14. El salario mensual de un vendedor que ha
vendido x unidades en un mes se puede expresar
con la ecuación y(x) dada por:
a) y = 420.000x + 3.000 c) y = 3.000x –
420.000
b) y = 3.000x + 420.000 d) y = x + 420.000 /
3.000
10. Para determinar el máximo nivel rendimiento
de un empleado se debe:
43
15. El salario que gana un vendedor que al final
del mes tiene un total de 80 unidades vendidas
es:
a) $ 660.000
c) $ 500.000
b) $ 380.000
d) $ 1.300.000
Responda las preguntas 18 a 20 teniendo en cuenta
la siguiente información:
Para almacenar aceite se utiliza un tanque de forma
cilíndrica que tiene las siguientes dimensiones:
16. La gráfica que representa el salario de un
vendedor teniendo en cuenta el número de
unidades vendidas es:
a) Una función creciente puesto que entre
menos unidades venda el salario será
mayor.
b) Una recta constante puesto que el sueldo fijo
del que se parte es siempre el mismo.
c) Una función creciente puesto que a mayor
unidades vendidas, el vendedor tendrá
mayor salario.
d) Una recta decreciente puesto que entre
menos unidades venda obtendrá un mayor
salario.
18. Si el volumen de un cilindro se obtiene
multiplicando el área de la base por la medida de
la altura, entonces se puede afirmar que la
expresión que representa el volumen del tanque
de aceite es:
17. La gráfica que representa en forma más
aproximada
la relación entre el número de
unidades vendidas por mes y el salario recibido
es:
a)
2
3
b) y + 3y
a) y + 3
2
y (y+3)
c) y (y + 3)
d)
b)
19. Si el radio de la base es igual a 4 m entonces,
el volumen del cilindro es:
3
a) 28 m
d) 112
3
b) 19 m
3
c) 76m
3
m
20. Si el volumen permanece constante y el radio
de la base se triplica, entonces se puede afirmar
que la altura del cilindro es igual a:
c)
a)
c)
b)
d)
d)
44
UNIDAD 3
1. SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Los triángulos que no sean rectángulos se llaman oblicuángulos.
Como ves en la figura anterior, los dos triángulos son
oblicuángulos, no tienen ningún ángulo interior de
90º.
Trazamos la altura desde C hasta c:
Lógicamente, si sus ángulos son diferentes también
lo serán sus lados, pero la suma de los grados de
sus ángulos siempre ha de ser de 180º.
Cómo calcular los distintos valores de un
triángulo oblicuángulo. Tienes que estudiar dos
sencillos teoremas para resolver los problemas
referidos a estos triángulos.
Tomando como referencia el ángulo B podemos
escribir
1.1. TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO
1.1.1. Teorema del seno. El siguiente triángulo es
oblicuángulo:
y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen B
Tomamos ahora el ángulo A:
45
y haciendo operaciones tendremos: h = b x sen A
y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen C
Observamos:
Si calculamos el sen A en el triángulo color naranja
escribiremos:
h = a x sen B
h = b x sen A
podemos decir que : a x sen B = b x sen A
( h y b son los catetos y c la hipotenusa), luego
haciendo operaciones: h = c x sen A.
Esta última igualdad podemos escribirla:
Luego, a x sen C y c x sen A son iguales. a x sen C
=c x sen A
Recuerda que en toda proporción, el producto de
extremos es igual al producto de medios.
Esta última igualdad podemos escribirla:
Si trazamos la altura desde el vértice B tenemos:
El recuadro último representa el teorema del seno.
Lo definimos: En todo triángulo la relación de un
lado entre el valor del seno del ángulo opuesto se
mantiene constante.
El cateto opuesto al ángulo C es la altura (h) que
partiendo del vértice B es perpendicular al lado b
(90º en amarillo), la hipotenusa es el lado a. El
triángulo en azul claro BDC es rectángulo en D.
Ejemplo:
Los tres datos conocidos de un triángulo los tienes
en la figura siguiente. Halla los tres datos que faltan
por conocer:
El sen C será igual al cateto opuesto (h) partido por
la hipotenusa (a).
46
Respuesta: C = 30º; a = 5,8 m; b = 10,28 m.
Solución
El ángulo C = 180º – (121º+29º) = 30º
Haces uso del teorema del seno.
Calculamos el valor de b:
3. Los ángulos interiores de un triángulo miden 30º y
55º. Si el lado opuesto al menor de esos ángulos
mide 11,5 cm, determina la longitud del lado mayor
del triángulo.
Calculamos el valor de a:
4. Dos personas A y B se encuentran a una distancia
de 400m una de la otra. Cuando un avión pasa or el
plano vertical de las mencionadas personas, estas lo
ven simultáneamente con ángulos de elevación de
35º y 48º, respectivamente. Calcula la altura del
avión en ese instante.
EJERCICIOS……
5. Se desea cercar un terreno que tiene forma de
paralelogramo con tres hiladas de alambre. Si la
diagonal mayor de la mencionada figura tiene una
longitud de 230 m y forma con los lados adyacentes
ángulos de 38º y 40º, ¿qué cantidad de alambre se
necesita para llevar a cabo dicha labor?.
1. En el dibujo siguiente tenemos un triángulo con
tres datos conocidos, halla los otros tres:
2. En el siguiente triángulo aparecen 3 datos, calcula
los otros 3:
47
1.1.2. Teorema del coseno. Se trata de otro sencillo teorema también para la resolución de triángulos.
Partimos del triángulo siguiente:
Trazamos la altura desde el vértice C sobre el lado c y fijamos las proyecciones m y n de los lados a y b sobre el
lado c:
Puedes comprobar que los dos triángulos (amarillo y verde) en los que la altura ha formado son rectángulos (H =
90º).
Timando el triángulo amarillo podemos escribir, según el teorema de Pitágoras:
48
Según lo que has estudiado podemos decir que:
Ejemplo:
Respuesta: 23º
Conocemos los tres lados de un triángulo:
Solución
¿Cuánto vale el ángulo A?
49
EJERCICIOS……
1. ¿Cuánto valen los ángulos A y B de la siguiente figura?
2. El ángulo entre los lados de un paralelogramo es de 60º. Si las longitudes de los lados son 8 cm y 12 cm,
calcula la longitud de la diagonal mayor.
3. Dado el triángulo ABC, aplica el teorema del coseno para resolver cada uno de los casos siguientes:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
∢ A= 60º; b= 14 cm; c= 10 cm.
a= 12 cm; b= 8cm; ∢ C= 36º.
a= 20 cm; b= 30cm; ∢ C = 45º.
a= 7 cm; b= 6 cm; ∢ C = 30º.
b= 8 cm; c= 5 cm; ∢ A = 60º.
a= 4 cm; c= 5 cm; ∢ B = 120º.
a= 8 cm; b= 10 cm; c = 12 cm.
a= 3 cm; b= 6 cm; c= 12 cm.
a= 9 cm; b= 3 cm; c= 7 cm.
50
2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
Ejemplo 2. Calcular funciones trigonométricas de
un ángulo agudo
En matemáticas, las identidades trigonométricas son
igualdades que involucran funciones trigonométricas,
verificables para cualquier valor permisible de la
variable o variables que se consideren (es decir, para
cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre
los que se aplican las funciones).
Dado:
tanθ =
4
π
, con 0 ≤ θ ≤ ,aplica
3
2
las
identidades fundamentales para determinar:
a) sec θ
b) cos θ
Solución
a) Identidad fundamental:
sec 2 θ = 1 + tan2 θ
Despejamos sec θ:
sec θ = ± 1 + tan2 θ
Reemplazamos tan θ:
4
sec θ = ± 1 +  
3
Efectuamos las operaciones:
sec θ = ± 1 +
sec θ = ±
Expresa sen θ en términos de cos θ.
5
3
Por ser θ un ángulo del primer cuadrante, entonces
Solución
el sen θ es positivo. Por tanto, sec θ =
Identidad fundamental:
sen 2θ + cos2 θ = 1
Despejamos sen θ:
sen θ = 1 − cos θ
2
16
9
25
9
sec θ = ±
Ejemplo 1. Expresar una función trigonométrica
en términos de otra.
2
5
.
3
b) Identidad fundamental:
sec θ = 1/cos θ
De donde:
cosθ =
2
Por tanto:
sen θ = ± 1 − cos2 θ
51
1
sec θ
Reemplazamos sec θ y obtenemos: cos θ =
Efectuamos las operaciones:
cos θ =
1
5
3
EJERCICIOS……
Escribe cada expresión en términos de la que se
indique.
3
5
1.
2.
3.
4.
5.
tan θ en términos de sen θ
sen θ en términos de sec2 θ
tan θ en términos de cos θ
cos θ en términos de cot θ
cot θ en términos de csc θ
2.1. COMPROBACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Dada una proposición trigonométrica, demostrarla
consiste en transformarla hasta convertirla en una
igualdad que sea cierta sin lugar a dudas.
Las demostraciones trigonométricas se hacen de tal
manera que no utilicen nada dudoso ni nada falso
para que la conclusión no sea dudosa o falsa. Todo
debe ser cierto sin lugar a dudas para que la
demostración sea válida. ¿Y qué es cierto sin lugar a
dudas?: Por una parte, las fórmulas anteriores lo
son, pues por eso se dedujeron paso a paso para
verificar su validez y veracidad; por otra parte, toda
identidad es cierta sin lugar a dudas por ser
axiomática. Una identidad es cualquier cosa igual a
sí misma. Axiomático es aquello tan evidente que no
requiere demostración.
Esas transformaciones deben apegarse a ciertas
reglas obvias de la Lógica, como el hecho de que "de
algo dudoso se obtiene algo dudoso" o que "de algo
falso se obtiene algo falso". Por ejemplo, si se
establece el siguiente razonamiento:
- Donde hay vida, hay muerte.
- En la Galaxia Andrómeda hay vida.
- Por lo tanto, la muerte existe en la Galaxia
Andrómeda.
De tal manera que las anteriores fórmulas son la
base de las demostraciones que a continuación se
estudiarán. Para demostrar una proposición
trigonométrica debe transformarse, ya sea por
sustituciones de cualquiera de las fórmulas o por
pasos algebraicos válidos, de manera que se llegue
a una igualdad que sin duda alguna sea cierta, es
decir, que lo escrito del lado izquierdo sea realmente
igual a lo escrito del lado derecho.
Alguien que haya razonado de la manera anterior
puede afirmar que ha demostrado que en la Galaxia
Andrómeda se da la muerte; sin embargo, su
procedimiento se basó en una premisa dudosa: En la
Galaxia Andrómeda hay vida , por lo que su
conclusión es dudosa. Es decir, en este momento no
se sabe con certeza si realmente existe vida o no por
esos lugares, como pueda ser que sí, pueda ser que
no, por lo tanto es dudosa su conclusión de que la
muerte existe en la Galaxia Andrómeda.
52
2.1.1. Por similitud con alguna fórmula.
En resumen las identidades pitagóricas son:
Se compara la igualdad que debe demostrarse con la
fórmula a la que se “parece”. Entonces el término
que es diferente de la fórmula es el que se
transforma hasta convertirlo en el correspondiente de
la fórmula.
2
2
Ejemplo. Demostrar que sen x + cos x = tan x cot x
Demostración: La igualdad propuesta se "parece" a
la fórmula (1) de los cuadrados (identidades
pitagóricas). De manera que, por comparación, se
debe transformar el lado derecho para convertirlo en
1. El siguiente esquema muestra la forma de hacer la
comparación:
Las identidades de cociente son:
Como tan x =
1
, según la fórmula 3 de los
cot x
recíprocos, sustituyendo en la igualdad propuesta se
Las identidades recíprocas son:
llega a: sen x + cos x =
2
2
1
( cot x )
cot x
Simplificando el lado derecho:
sen 2 x + cos2 x = 1
Con lo que queda demostrado, ya que esta igualdad
es cierta sin lugar a dudas por tratarse de la fórmula
1 de los cuadrados.
EJERCICIOS……
Demostrar las siguientes igualdades trigonométricas
por similitud con alguna de las once fórmulas:
sen 2 x + cos2 x = senx csc x
1
2.
+ cos2 x = 1
csc 2 x
2
2
3. tan x + senx csc x = sec x
1.
Para facilitar la comprensión y aprendizaje de los
procesos
de
demostración
de
igualdades
trigonométricas, conviene clasificarlas o agruparlas,
según la forma que tengan:
53
2.1.2. Pasando a senos y cosenos. Un recurso muy
útil
en
la
demostración
de
igualdades
trigonométricas, es pasar todas las funciones a
senos y/o cosenos, en virtud de que las seis pueden
expresarse en términos de éstas, ya que la tangente
es igual a seno entre coseno ; la cotangente es
igual a coseno entre seno ; la secante es igual a
uno entre coseno y la cosecante es igual a uno
entre seno.
EJERCICIOS……
Demostrar las siguientes igualdades trigonométricas
pasando a senos y/o cosenos:
Una vez pasadas todas las funciones a senos y/o
cosenos, se hacen las simplificaciones algebraicas
posibles y, en caso necesario, se emplean
nuevamente cualesquiera de las once fórmulas para
transformar la igualdad propuesta en una igualdad
que sea cierta sin lugar a dudas.
Ejemplo. Demostrar que
sec x
1
=
csc x cot x
funciones,
csc x =
sabiendo
que:
sec x =
sen 2 x +
2.
1
+ cos2 x = 1
cs c 2 x
3.
tan2 x + senx csc x = sec 2 x
4.
cos2 x
+ tan x cot x = csc 2 x
sen 2 x
2.1.3. Despejando las formulas. De cada una de
las once fórmulas es posible realizar dos despejes,
con los cuales pueden hacerse sustituciones de la
misma manera que con las fórmulas originales, ya
que, aunque despejadas, son en realidad las mismas
fórmulas.
Demostración: Pasando a senos y /o cosenos todas
las
1
= senx csc x
sec 2 x
1.
1
,
cos x
1
cos x
y cot x =
senx
senx
Sustituyendo en la igualdad original se obtiene que:
1
cos x = 1
1
cos x
senx
senx
aplicando la ley de la herradura:
senx senx
=
cos x cos x
Igualdad que es cierta sin lugar a dudas, ya que
cualquier cosa es igual a sí mismo. Por lo tanto, ha
quedado demostrada.
54
Los dos despejes posibles en las seis fórmulas de
los inversos o recíprocos son las que se muestran
el anterior cuadro al lado derecho. Obsérvese que en
todos los casos, por la misma definición de inverso
dada (Un número es el inverso de otro, respecto de
cierta operación, si al operar ambos entre sí dan
como resultado el elemento neutro de esa
operación), el producto de las funciones que son
inversas entre sí debe dar el elemento neutro de la
multiplicación, o sea 1, es lo que se obtiene al hacer
uno de los despejes posibles; y al hacer el segundo
despeje posible se obtienen las inversas entre sí.
Los dos despejes respectivos de las fórmulas de
los cocientes son:
2.1.4. Binomios conjugados. De los 2 despejes
que es posible hacer en cada una de las tres
fórmulas de los cuadrados (pitagóricas) , se obtiene
en cada caso una diferencia de cuadrados, que por
las reglas del Álgebra se pueden factorizar en dos
binomios conjugados, como se muestran a
continuación:
Los dos despejes respectivos de las fórmulas de
los cuadrados (pitagóricas) son:
Cuando aparece una fracción cuyo denominador es
uno de esos binomios conjugados, suele resultar
muy práctico, aplicando la propiedad de las
fracciones si se multiplica el numerador y el
denominador por la misma cantidad, la fracción no se
altera, multiplicar numerador y denominador por el
binomio conjugado del que apareció originalmente
para obtener la diferencia de cuadrados que a su vez
55
Método 2. El denominador (1 + sen x) es uno de
los dos binomios conjugados que aparecen en el
cuadro anterior, en la fórmula (2.2), por lo que es
conveniente, aplicando la propiedad de las
fracciones
si se multiplica el numerador y el
denominador por la misma cantidad, la fracción no se
altera , multiplicar numerador y denominador por
1- sen x , o sea su binomio conjugado respectivo
para obtener la diferencia de cuadrados que, a su
2
vez, es igual a cos x , según la fórmula (2.2), leída
de derecha a izquierda en el cuadro anterior.
es igual a una función al cuadrado (ó a 1), conforme
al cuadro anterior leído de derecha a izquierda.
La ventaja que a veces se obtiene es que dicho
denominador puede transformarse en otro de un solo
término, el cual así puede dividirse en varias
fracciones o simplemente pasarse a senos y/o
cosenos y/o aplicar alguna de las técnicas antes
descritas.
O bien, la presencia de uno de esos binomios
conjugados puede sugerir que debe buscarse el otro
binomio en alguna parte de la igualdad para juntarlos
y multiplicarlos con el objeto de obtener finalmente
su equivalente cuadrado de un término, conforme al
cuadro anterior.
Ejemplo. Demostrar que
Haciéndolo se obtiene:
cos2 x
1
= 1−
1 + senx
csc x
Efectuando solamente las multiplicaciones del
denominador, puesto que son los dos binomios
conjugados que interesan:
Demostración:
Método 1. El
dos binomios
anterior, en
conveniente
conjugado.
denominador (1 + sen x) es uno de los
conjugadps que aparecen en el cuadro
la fórmula (1.2.), por lo que es
intentar localizar el otro binomio
Por la fórmula (2.2), sustituyendo en el denominador
2
2
el valor de 1 - sen x por su equivalente cos x:
Como
1
= senx
csc x
Simplificando:
Entonces:
Como
cos2 x
= 1 − senx
1 + senx
Y efectivamente, ¡ya apreció el otro binomio!.
Entonces, juntándolos, o sea, multiplicándolos, para
obtener (ver el cuadro anterior):
Entonces:
Igualdad que es cierta sin lugar a dudas, ya que
cualquier cosa es igual a sí misma, por lo que ha
quedado demostrada.
cos x = (1 − senx )(1 + senx )
2
Como la multiplicación de dos binomios conjugados
da una diferencia de cuadrados, en el lado derecho
se obtiene:
cos2 x = 1 − sen 2 x
sen 2 x + cos2 x = 1
Con lo que queda demostrada.
56
EJERCICIOS GENERALES……
Demostrar las siguientes igualdades trigonométricas empleando cualquiera de todas las técnicas estudiadas.
3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
valga 90º+360º=540º, tras otra vuelta volverá a valer
uno y así sucesivamente. Luego hay muchas
soluciones, todos los ángulos x de la forma
x=90º+k.360º, donde k es cualquier número entero.
Si queremos expresar la solución en radianes
x=p/2+2.k.p radianes.
Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la
que aparece una o más razones trigonométricas.
Para resolver una ecuación trigonométrica es
conveniente expresar todos los términos de la
ecuación con el mismo arco (ángulo) y después
reducirlo a una razón trigonométrica, o bien,
factorizar la ecuación si es posible.
sen(2x)=2sen(x)
Las ecuaciones trigonométricas suelen tener
múltiples soluciones que pueden expresarse en
grados o en radianes.
Necesita que apliquemos el primer paso. Como
sen(2x)= 2sen(x).cos(x), podemos escribir la
ecuación en la forma 2sen(x).cos(x)= 2sen(x). Ahora
si dividimos por 2 nos queda sen(x).cos(x)= sen(x).Y
si además dividimos por sen(x) queda cos(x)=1.
Cuidado porque esta división supone que sen(x) es
distinto de 0.
Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:
sen(x)=1
Es muy sencilla, no hay que dar los pasos indicados,
sólo recordar la circunferencia goniométrica y
observar que 90º es el primer ángulo cuyo seno es 1.
El seno no vuelve a valer uno hasta que el ángulo no
Las soluciones de cos(x)=1 son x=0º+k.360º o bien
x=2.k.p radianes. Obtenidas razonando sobre la
circunferencia goniométrica, como anteriormente.
57
Cuando sen(x)=0 no podemos dividir, esto ocurre
para x=0º, 180º, 360º,...
Luego las soluciones son: x=270º+k.360º o bien
x=3p/2+2.k.p radianes.
es decir x=k.180º. Pero estos valores son soluciones
de la ecuación puesto que cuando sen(x)=0 también
sen(x).cos(x)= sen(x), ya que queda 0=0.
EJERCICIOS……
Ahora bien las soluciones de sen(x)=0 incluyen a las
de cos(x)=1, por tanto las soluciones de la ecuación
pedida son x=k.180º o bien x=k.p radianes.
1. Encuentra las soluciones para θ, comprendidas
entre 0 y 4π, de las siguientes ecuaciones
trigonométricas. Expresa el resultado en radianes.
2 sen θ = −1
b. 2 sen θ = 2
3
c. cos θ =
2
d.
3 csc θ = 2
cos2(x)-3sen(x)=3
a.
Se convertirá en una ecuación con una sóla razón
trigonométrica si tenemos en cuenta la fórmula
fundamental de la trigonometría.
Pasaremos de cos2(x)-3sen(x)=3 a la ecuación 1sen2(x)-3sen(x)=3, ordenando y agrupando queda
sen2(x)+3sen(x)+2=0. Ya está en función de una
sóla razón y de un sólo ángulo.
2. Encuentra las soluciones para θ comprendidas
entre 0º y 360º, de las siguientes ecuaciones
trigonométricas. Expresa los resultados en grados.
Cambiamos ahora sen(x) por z y nos quedará
z2+3z+2=0. esta ecuación tiene las soluciones z=-1 y
z=-2, que nos proporcionan sen(x)=-1 y sen(x)=-2.
cot θ − 1 = 0
b. 2 cos θ − 1 = 0
2
c. cos θ +
=0
2
a.
sen(x)=-1 tiene como soluciones x=270º+k.360º o
bien x=3p/2+2.k.p radianes.
sen(x)=-2 no tiene solución alguna. Recurrimos
continuamente a la circunferencia goniométrica.
d.
58
sen 2θ − 2cosθ +
1
=0
4
4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS, ÁNGULOS DOBLES Y
ÁNGULOS MEDIOS
4.1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS
Observemos la siguiente figura donde la zona gris corresponde al ángulo central "a" y la roja al ángulo central "b":
Se tiene que:
sen a = DC
cos a = OD
sen b = BA
cos b = OB
sen (a+b) =EA
cos (a+b) = OE
Entonces:
sen (a+b)=EA=GF=GB+BF=OB sen a +AB cos a = sen a cos b +cos a sen b
Por otro lado:
cos (a+b)=OE=OG-EG=OB cos a - AB sen a = cos a cos b – sen a sen b.
Además, recordando las ecuaciones fundamentales:
En resumen, las fórmulas de la adición de ángulos son:
59
Sustituyendo en esas expresiones "b" por "-b" y, recordando que sen (-b) =-sen b ; cos (-b) = cos b y tg (-b) = -tg b,
queda para las fórmulas de la diferencia de ángulos:
4.2. ÁNGULOS DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS
4.2.1. Ángulos dobles. Si suponemos conocidas las razones trigonométricas de un ángulo "a" y queremos
conocer las del ángulo "2a", podemos recurrir a las fórmulas del ángulo suma vistas en el apartado anterior
haciendo b=a para obtener:
4.2.2. Ángulos medios. Supongamos ahora que
conocemos las razones trigonométricas del ángulo
"a" y queremos, basándonos en ellas, conocer las
del ángulo "a/2". Si en las fórmulas del ángulo doble
haciendo 2a=A y por tanto a=A/2 tenemos:
Y sumando y restando miembro a miembro esta
última con la ecuación fundamental de la
trigonometría:
Nos queda:
60
Y de la segunda:
De la primera despejando obtenemos:
Finalmente dividiendo estas dos últimas:
Ejemplo: Calcula seno y coseno de 22º30'
Se cumple que:
EJERCICIOS……
1. Utilizando la fórmula a propiada del seno o del
coseno de la suma o de la diferencia de ángulos,
comprueba que:
a)
b)
c)
d)
3. Utiliza las fórmulas de ángulos dobles::
tan θ sen 2θ = 2 sen 2θ
3
b) sen 3 θ = 3 sen θ − 4 sen θ
2
c)
= sen 2 θ
cot θ + tanθ
a)
sen(θ + π) = - sen θ
sen(π - θ) = - sen θ
cos (π - θ) = - cos θ
cos (π + θ) = - cos θ
4. Utiliza las fórmulas de ángulo medio para calcular:
(sin calculadora)
3
2 13
2. Si senθ =
y senϕ =
, calcula:
5
13
a) sen (θ + φ)
b) sen (θ - φ)
61
a)
b)
c)
d)
sen de 120º.
tan de 15º.
cos de 105º.
tan de 150º
e)
sen
5π
6
PRUEBA TIPO ICFES
1. A partir de las siguientes gráficas responde:
¿cuál de las afirmaciones es correcta:
b) El conjunto Z es un conjunto infinito, donde
cada número entero tiene un antecesor y un
sucesor.
c) El conjunto de los números reales es el
conjunto de todos los números que pueden
expresarse con decimales infinitos periódicos
o no periódicos.
d) El conjunto de los números racionales es un
conjunto denso; es decir, que entre dos
números racionales hay infinitos números
racionales, además cada número tiene un
sucesor y un antecesor.
a) En la figura 2 puede asegurarse que A es un
subconjunto de B.
b) En la figura 2 puede asegurarse que (∀ x) (x
4. Para cada número entero x definimos el valor
absoluto de x, que indicamos |x|, como sigue: si
el número x es positivo o cero, su valor absoluto
es el mismo número y es su opuesto, -x, si el
número es negativo. Determina:
∊ A ➱ x ∊ B).
c) En la figura 1 puede asegurarse que (A
⊂ B)
: (∃x) (x ∊ A ۸ x ∉ B).
d) De la figura 2 podemos asegurar que: (A
⊄
a)
B) : (∃x) (x ∊ A ۸ x ∉ B).
2. Sean A = {x / x
b)
∊ ℝ ۸ (x – 5) (x – 2) > 0 }; B = {1,
A} se puede afirmar que:
a) X es una solución si y solo si los factores son
ambos positivos.
b) Las soluciones para el conjunto A son todos
los números reales que se encuentran en el
intervalo ( - ∞, 5).
c) Para el conjunto A ambos factores son
positivos si x está en el intervalo (5, ∞) y
ambos son negativos si x está en (- ∞, 2).
d) Las soluciones para el conjunto B son todos
los números reales en la unión (- ∞, 2) U (5,
∞).
c)
d)
5. Una embarcación ha navegado río abajo 8 km y
ha vuelto, invirtiendo en todo el recorrido 5 h. La
velocidad de la corriente del río es de 3 km/h.
¿Cuál es la velocidad propia de la embarcación?
Si la velocidad propia de la embarcación se
denota con la letra x, entonces se puede plantear
la siguiente ecuación:
3. Determina cuál de estas afirmaciones es falsa:
a) Los números irracionales son aquellos que
se escriben mediante una expresión decimal
con infinitas cifras y no periódicas.
a) 2,5 (x + 3) + 2,5 ( x – 3) = 8
b)
62
a) Como el producto es menor que cero,
entonces x + 2 < 0 x – 1 < 0.
b) Como el producto es menor que cero, x + 2 <
0 x – 1 < 0 y la solución es ( - ∞, 1).
c) Como el producto es menor que cero,
entonces x + 2 < 0 x – 1 > 0 y la solución
es (1,2).
d) Como el producto es menor que cero,
entonces x + 2 < 0 x – 1 >0, además, x + 2
>0 x – 1 < 0 y la solución es (- 2, 1).
c)
d)
6. Todos los valores de x, para los cuales la
función cuadrática, dada por la gráfica es
negativa, forman el siguiente conjunto:
9. Para un conjunto C= x ∊ ℝ/ - 2 < x ≤ 3 podemos
asegurar que:
a) Una cota inferior es -1,9, porque se
encuentra dentro del rango definido por el
conjunto.
b) Una cota superior es 3,1 porque es un
número mayor a los elementos del conjunto.
c) Una cota superior es 2,9 porque se
encuentra dentro del rango definido por el
conjunto.
d) Todo número menor a – 2 es una cota
inferior y todo número mayor o igual a – 3 es
una cota superior.
a) (- ∞, 0) porque para todo valor de y, x es
negativo.
b) (2, ∞) porque es la única forma en que los
valores de la función se hacen negativos.
c) (-∞, -1) U (2, ∞) porque en este intervalo los
valores de x son negativos.
d) ( -1, 2) porque únicamente la función es
negativa entre estos valores.
7. De la expresión
que:
10. Lee el siguiente texto y analiza la gráfica que
lo acompaña:
Willebrord Snell y René Descartes lograron describir
el cambio de dirección de la luz en el momento en
que pasa de un medio a otro. Si i es el ángulo que
forma el rayo incidente con la perpendicular a la
superficie
que
separa a los dos
medios, y r es el
ángulo formado por
el rayo refractado
con
la
perpendicular a la
superficie
y
además, v1 es la
velocidad de la luz
en el medio 1 y v2
la velocidad de la
luz en el segundo
medio, tenemos la
conocida Ley de
Snell:
se puede afirmar
a) x ≠ 0 porque la expresión se convertiría en
una indeterminación.
b) x debe ser
para que se cumpla la
desigualdad.
c) En esta expresión x> - 2/3, siempre y cuando x
≠ 0.
d) La desigualdad siempre se cumple cuando x> 3/2.
8. Se presentan dos casos para poder encontrar
la solución de (x + 2) (x – 1) < 0:
63
c) Si elegimos una función trigonométrica
adecuada para relacionar la altura de la caja
con la longitud de la varilla obtenemos
46º95´.
d) Para hallar el ángulo que la varilla forma con
el piso utilizamos el triángulo rectángulo
determinado por la varilla y la diagonal de la
base de la caja y la altura de la misma. El
ángulo mide 46º41´10,12”.
Si tenemos que i = 30º y los medios son el aire y el
agua donde la razón de v1 a v2 es 4:3
De acuerdo con lo anterior, podemos afirmar que el
ángulo refractado es:
a) 28º 30’ 45``
c)
b) 22º 1` 28``
d)
13. Lee el siguiente texto y analiza la gráfica que
lo acompaña:
La velocidad lineal (v) de un punto P es la distancia
que recorre P por unidad de tiempo
donde t es el tiempo transcurrido.
11. Lee el siguiente texto y analiza la gráfica que
lo acompaña:
Una caja tiene una base cuadrada de 80 cm de lado
y 1,2 m de altura. Guardo una varilla de tal forma
que se ubica siguiendo la diagonal principal de la
caja, podemos afirmar que:
a) d es la longitud de la
varilla y tiene un
valor de 113,137
cm.
b) d es la longitud de la
varilla y tiene un
valor de 144,22 cm.
c) d es la longitud de la
diagonal de la base
y mide 113,137 cm.
y p es la longitud de
la varilla, la cual
mide 113,143 cm.
d) d es la longitud de la
diagonal de la base
y mide 113,14 cm y p es la longitud de la
varilla, la cual mide 164,92 cm.
En una rueda que gira con velocidad constante, la
velocidad angular (w) se define como el ángulo
barrido en una unidad de
tiempo, para un ángulo
en posición normal cuyo
lado final se encuentra
con un punto P sobre la
circunferencia de radio r,
se define la velocidad
angular como
donde θ es el ángulo de
rotación
(medido
en
revoluciones) y donde t
es el tiempo (medido en minutos). (Una revolución
equivale 2πrad).
Si la rueda de un carro tiene un radio de 24 cm y gira
con una velocidad angular de 2.300 rpm
(revoluciones por minuto), podemos afirmar que:
a) Como el ángulo de rotación se define
como Ѳ = wt entonces el ángulo equivale a
2.300 rpm.
b) Como una revolución equivale 2πrad, si
dividimos las rpm por 2πrad obtenemos el
ángulo de rotación Ѳ que equivale a 2300 π
rpm.
c) Como una revolución equivale a 2πrad, si
multiplicamos las rpm por 2πrad obtenemos
el ángulo de rotación Ѳ que equivale a 4.600
πrad.
12. Del punto anterior podemos afirmar que:
a) Para hallar el ángulo que la varilla forma con
el piso utilizamos el triángulo rectángulo
determinado por la varilla y la diagonal de la
base de la caja.
b) Para hallar el ángulo que la varilla forma con
el piso utilizamos el triángulo rectángulo
determinado por la varilla y la diagonal de la
base de la caja y la altura de la misma. El
ángulo mide 90º.
64
d) El ángulo de rotación no puede ser hallado
porque no hay datos suficientes (falta el
tiempo de rotación).
campo donde esta se encuentra. Si el voltaje de un
circuito de corriente alterna está dado por la
expresión V (t)= 170 sen (120 π t), donde t es el
tiempo medido en segundos y V (t) es el voltaje
medido en voltios.
14. De la información del punto anterior se puede
afirmar que:
a) La distancia que recorre la rueda es de 24
cm por unidad de tiempo.
b) La longitud de arco es de 110.400 π cm
debido a que el arco es igual a s = r Ѳ.
c) Como la velocidad lineal es
puede
15. De acuerdo con lo anterior, puede afirmarse
que:
a) La amplitud de la función es 1 porque esa es
la amplitud de la función seno.
b) El período de la función es 120π.
c) La amplitud de la función es 170/2π.
d) El período es 1/60 segundos.
no
16. El voltaje promedio de un circuito de corriente
alterna está dado por |a|/ √ 2.
hallarse debido a que no tengo el tiempo que
tarda girando.
El voltaje promedio aproximadamente es:
a) 240 voltios.
c) 0,7 voltios.
b) 120 voltios.
d) 85 voltios.
d) La velocidad lineal está definida como
por lo tanto la velocidad es
17. El número de ciclos por segundo es la
frecuencia de la corriente; es decir, es el inverso
del periodo de la función. La frecuencia es:
-1
a) 1/60 segundos.
c) 60 s .
-1
b) 60 segundos.
d) 60 π s .
Con la siguiente información responde las preguntas
de la 15 a 18.
El voltaje en un campo eléctrico, es el trabajo o
energía necesaria para mover una carga eléctrica de
un punto a otro en contra o a favor de las fuerzas del
65
UNIDAD 4
1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO Y COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN
SEGMENTO
1.1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO
Fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano coordenado:
Ejemplo:
66
1.2. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Si un segmernto de línea tiene puntos
, entonces las coordenadas del punto medio son:
Ejemplo:
67
EJERCICIOS……
1. Encontrar la distancia entre (-3,-5) y (2, -6)
2.
3. Punto medio de línea. Si un segmento de línea
Coordenadas del punto medio son?. Grafíquelas.
4. Usando
tiene
puntos
, entonces las
. Encontrar el punto medio del segmento de línea con puntos (1,6) y
(9,8). Mostrarlo gráficamente.
68
2. LA LINEA RECTA, PENDIENTE Y ECUACIONES DE LA RECTA
La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos
alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede
ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la
derecha).
La línea podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la
misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para
B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa
misma recta.
El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de
la Recta.
Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una
expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado.
Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta que se
quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la
recta.
2.1. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.
De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario
conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).
Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la
recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.
Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación
Ax + By + C = 0
Que también puede escribirse como
ax + by + c = 0
y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:
Teorema
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los
números reales (
); y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una
línea recta.
69
La ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0), en ella la pendiente (m) y el coeficiente de posición (n) quedan
determinados por:
Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0?
2.1.1. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. Sobre
la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación. Para ello tomemos un
tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta.
Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea
y
Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
que también se puede expresar como
Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)
70
2.1.2. Ecuación de la recta dados punto–pendiente (se conoce un punto y se conoce la pendiente). Por lo ya
visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos está
determinada por
pero
Luego, si reemplazamos en la ecuación anterior obtenemos
despejando, llegamos a:
y – y1 = m(x – x1)
Ejemplo:
Determina la ecuación general de la recta de pendiente –4 y que pasa por el punto (5, –3)
y – y1 = m(x – x1)
y – (–3) = –4(x – 5)
y + 4 = –4x + 20
Luego la ecuación pedida es 4x + y – 16 = 0.
2.2. ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA
Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta. Pero antes de entrar en la ecuación principal de
la recta conviene recordar lo siguiente:
Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el
valor de la abscisa y (y) el valor de la ordenada.
(x, y) = (Abscisa , Ordenada)
Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.
Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.
Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5, ya que al
reemplazar queda
2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.
71
Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya
pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula:
y = mx + n
que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada
(n), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos
luego).
Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la
n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o
representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las
ordenadas (y).
Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente
de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la
horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que
señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y).
2.2.1. Forma simplificada de la ecuación de la recta. Si se conoce la
pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b)
(corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir,
partiendo de la ecuación de la recta de la forma
Esta es una segunda forma de la ecuación principal
de la recta (se la llama también forma explícita de
la ecuación) y se utiliza cuando se conocen la
pendiente y la ordenada al origen (o intercepto),
que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a
la n en la primera forma de la ecuación principal).
También se puede utilizar esta ecuación para
conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir
de una ecuación dada.
Esto significa que si te dan esa información se puede
conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que
cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la
ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la
forma principal y = mx + n; por lo tanto, la b
corresponde al valor de n (el intercepto en la
ordenada y).
Ejemplo.
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m
= 3 e intercepto b = 10.
Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y
coeficiente de posición 7, lo cual indica que
interceptará al eje y en el punto (0, 7).
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es,
y = mx + b.
Usamos la información que tenemos:
m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación
y = 3x + 10.
Conocida la fórmula de la ecuación principal
(simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la
recta es posible obtener la ecuación de cualquier
recta siempre que se nos den al menos dos variables
de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o
puede ser el intercepto.
La ecuación que se pide es y = 3x + 10.
72
Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1,
( 3) y
(2, 5),
), sólo tenemos que sustituir estos valores en la
ecuación principal y obtendremos
o
dos ecuaciones
con dos incógnitas:
3 = m · 1 + n,
5 = m · 2 + n.
Nótese que esta forma principal (simplificada o
explícita) también podemos expresarla como una
ecuación general: y – 3x – 10 = 0,
la cual amplificamos por –1,
1, quedando como
– y + 3x + 10 = 0,, que luego ordenamos, para
quedar
Ahora, observemos el gráfico:
gráfico Cuando se tienen dos
puntos de una recta P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), la
pendiente, que es siempre constante,
constante queda
determinada por el cociente entre la diferencia de las
ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las
abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula
3x – y + 10 = 0
2.3. PENDIENTE DE UNA RECTA
Con respecto a la pendiente es necesario conocer
los siguientes enunciados:
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a
otra, entonces esa otra también
ambién tiene pendiente m =
– 3.
Las rectas perpendiculares tienen pendientes
recíprocas y opuestas.
Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es
perpendicular a otra, entonces esa otra tiene
pendiente 5.
Además: Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al
eje x). Si y = 0,, la recta es perpendicular. Si n = 0 la
recta pasa por el origen.
Determinar la pendiente. Aprendido lo anterior es
muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por
un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la
ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente
se puede también obtener la ecuación de la recta,
con la fórmula:
y – y1 = m(x – x1)
Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una
pendiente de 2 y que pasa por el punto ((1, 3), sólo
tenemos que sustituir estos valores en la ecuación
principal y nos quedaría:
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se
suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las
coordenadas de uno solo de sus puntos.
Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el
punto P1 = (x1, y1) y tiene la pendiente dada m, se
establece de la siguiente manera:
y – y1 = m(x – x1)
3 = 2 · 1 + n,
y despejando n, queda n = 1.
Por lo tanto, la ecuación de esa recta será:
y = 2x + 1.
73
EJERCICIOS……
3. En la figura anterior las rectas L1 y L2 son
perpendiculares, entonces ¿cuál de las siguientes
opciones representa a la ecuación de la recta L1?
1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el
punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5.
2. En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
Ejercicios para obtener la ecuación general de la
recta dados un punto y la pendiente
I) La pendiente de
real.
y de
no es un número
II) La pendiente de
es cero.
Recuerde que la fórmula inicial es y – y1 = m(x – x1)
III) La pendiente de
es positiva.
4. m = –1; punto (–2, 3)
Alternativas
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
y – 3 = –1(x + 2)
y – 3 = –x – 2
x+y–1=0
5. m = 2; punto (–3/2, –1)
y + 1 = 2(x + 3/2)
y + 1 = 2x + 3
– 2x + y – 2 = 0
2x – y + 2 = 0
6. m = 0; punto (–3, 0)
y – 0 = 0(x + 3)
y=0
74
3. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Las rectas paralelas no se cruzan ni se juntan aunque se alarguen
Dos rectas que al juntarse en un punto forman ángulo recto, se llaman perpendiculares.
4. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
(recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos).
Determinación de una circunferencia. Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
El centro y el radio.
El centro y un punto en ella.
75
El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos
que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia
(la ecuación de la circunferencia).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano
Cartesiano) diremos que ─para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo
centro es el punto C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es
2
2
2
(x ─ a) + (y ─ b) = r
¿Qué significa esto?
En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido
(coordenadas) en el plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos
“transformar” o expresar como una ecuación matemática.
Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la
circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a
las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b).
Nota importante:
Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido.
Es decir, si nos dan la ecuación de una circunferencia, a partir de ella podemos encontrar las coordenadas de
su centro y el valor de su radio para graficarla o dibujarla.
Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos para encontrarlo, podemos llegar
a la ecuación de la misma circunferencia.
76
2
2
2
2
la
ecuación
Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 (que en forma matemática
representa una circunferencia).
a + b ─ F > 0 (a + b ─ F debe ser mayor que
cero)
De la ecuación ordinaria a la ecuación general. Si
en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro
(lado izquierdo) está formado por la suma de dos
cuadrados de binomio─, eliminamos los paréntesis
desarrollando dichos binomios, pasamos todos los
términos al primer miembro y la igualamos a cero,
tendremos:
Para simplificar
circunferencia:
2
2
2
2
Nota:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x + y + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que
2
x + y + Dx + Ey + F = 0
A modo de recapitulación
Si conocemos las coordenadas del centro y el radio
de una circunferencia, podemos construir su
ecuación ordinaria, y si operamos los binomios
cuadrados que la conforman, obtenemos la forma
general de la ecuación de la circunferencia.
─ 2b = E,
2
a +b ─r =F
la ecuación quedaría expresada de la forma:
2
x + y + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación
General de la Circunferencia, la cual debe cumplir
las siguientes condiciones para serlo:
Ecuación reducida de la circunferencia. Volviendo
2
2
2
a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a) + (y ─ b) = r ,
debemos consignar que si el centro de la
circunferencia
coincide
con
el
origen
de
coordenadas (0, 0) la ecuación queda reducida a:
No existe término en xy
2
2
a + b ─ r = C para tener finalmente
─ 2a = D,
2
2
─ 2b = B,
2
Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos
las siguientes asignaciones:
2
2
la
─ 2a = A,
x + y ─ 2ax ─ 2by + a + b ─ r = 0
2
2
de
(x + y ─ 2ax ─ 2by + a + b ─ r = 0) algunos
textos o docentes utilizan otra convención y hacen:
x ─ 2ax + a + y ─ 2by + b ─ r = 0 ecuación
que ordenada sería
2
2
general
2
Los coeficientes de x e y son iguales.
2
2
(x ─ a) + (y ─ b) = r
2
(x ─ 0)2 + (y ─ 0)2 = r2
Si D = ─ 2a
entonces
Si E = ─ 2b
entonces
2
2
2
2
x +y =r
2
Halla el centro y el radio de las siguientes
circunferencias:
2
a)
b)
c)
d)
Si F = a + b ─ r entonces
Además, otra condición necesaria para que una
ecuación dada represente una circunferencia es que:
77
x 2 + y2 + 4y -13 = 0
2
2
x + y - 6x + 4y + 11 = 0
2
2
9x + 9y +18x -108y + 329 = 0
2
2
2x + 2y - 3x + 2y + 75 = 0
5. ESTUDIO DE LAS SECCIONES CÓNICAS: PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA
Las curvas cónicas, fueron estudiadas por matemáticos de la escuela Grie
Griega
ga hace mucho tiempo. Se dice que
Menaechmus fue el que descubrió las secciones cónicas y que fue el primero en enseñar que las parábolas,
hipérbolas y elipses eran obtenidas al cortar un cono en un plano no paralelo a su base.
Menaechmus realizó sus descubrimientos
brimientos de las secciones cónicas cuando él trataba de resolver un problema de
duplicar un cubo.
Apollonius de Perga fue otro matemático que estudio las cónicas. Poco se sabe de su vida pero su trabajo tuvo
una gran influencia en el estudio de las matemáticas.
matemáticas. Apollonius escribió libros que introdujeron términos que
hasta hoy son conocidos como parábola, hipérbola y elipse.
5.1. PARÁBOLA
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta
rect fija llamada
directriz.
5.1.1. Ecuaciones de la parábola. Una parábola cuyo vértice está en
el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una
2
ecuación de la forma y=ax donde
onde el parámetro a especifica la escala
de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola,
ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma.
Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y
cuando
do es negativo se abre «hacia abajo».
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un
cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y
sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión
analítica y PV al valor y).
). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono,
obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
punto
.
Al
ser PM paralela
semejantes y así:
a AC,,
los
triángulos HVP, HKA y BCA son
.
Usando nuevamente los paralelismos:
.
78
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.
Pero el valor de
es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo
arroja la expresión moderna y=ax².
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la
ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su
vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su
2
vértice es (u,v)) tiene la forma ((y-v)=a(x-u) ,
agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma
equivalente:
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es
de la forma
.
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero
intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:
La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es
de la forma
.
5.1.2. Ecuación involucrando la distancia focal
focal. Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice
(variando el parámetro a)) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola
que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que
une el foco con el vértice y a esa misma
mi
distancia del último.
79
Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es
(0,p).
). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p).
(0,
A
la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo
que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración
se tiene:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco
en (0,p) es
.
De forma alterna:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco
en (0,p) es
.
Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.
Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola
que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En est
este
e caso, el foco sería (0,-p)
(0,
y de esta forma:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,
(0,-p) es
.
Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles
de x, y:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en ((p,0) es
,
obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda.
Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso
común de la parábola vertical hacia arriba se tiene
La
ecuación
de
una
es
parábola
con
vértice
en
((h, k))
y
foco
en
(h,
( k+p)
en
((h, k))
y
foco
en
(h+p,
(
k)
,
mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y:.
La
es
ecuación
de
una
parábola
con
vértice
.
80
5.1.3. Ecuación general de una parábola
parábola. Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno
de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede tener
su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.
La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:
si y sólo si
y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos
Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se
exprese mediante una fórmula algebraica de la forma
, donde a es distinto de cero.
5.1.4. Aplicaciones
- Las trayectorias que siguen los proyectiles son parábolas. Newton lo demostró
considerando a la Tierra como un plano y sin tomar en cuenta la fricción del aire.
- Concentrador parabólico, el método que se emplea e
en
n las grandes centrales captadoras de
energía solar.
- Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco.
El mismo principio se aplica en una antena de radar.
EJERCICIOS……
1. Un faro de un automovil
utomovil tiene un reflector parabólico de 6 pulgadas de diámetro y 3 de profundidad. ¿A qué
distancia del vértice debe ponerse el bulbo luminos
luminoso,
o, si se supone que este debe ir en el foco? (sugerencia:
representa esta parábola en un plano cartesiano y coloca el vértice en el origen).
8
2. Un cometa procedente del espacio profundo se acerca al sol siguiendo una órbita parabólica. Cuando está a 10
millas
llas del sol, la línea que une al sol con el cometa forma un ángulo de 60º con el eje de la parábola. ¿A qué
distancia del sol se acercará el cometa? (sugerncia: el punto de la parabóla más cercano al foco es su vértice).
2
3. Demuestra que la longitud de la cuerda focal (lado recto) de la parábola y = 4cx está dado por |4c|.
2
4. Demuestra que la longitud del lado recto de la parábola x = 4cy está dado por |4c
4c|.
81
5.2. ELIPSE
La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano,, tales que la suma de las
distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje
de simetría –con
con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira
alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse
pse que gira alrededor de su eje
principal genera un esferoide alargado.
5.2.1. Elementos de una elipse. La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes
perpendiculares entre sí:
El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
el semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.
5.2.1.1. Puntos de una elipse. Los focos de la
elipse son dos puntos equidistantes del
centro, F1y F2 en el eje mayor. La suma de las
distancias desde cualquier punto P de la elipse
a los dos focos es constante, e igual a la
longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es
una constante mayor que la distancia F1F2, un
punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la
relación:
donde
elipse.
es la medida del semieje mayor de la
5.2.1.2. Ejes de una elipse. El eje mayor 2
2a,, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El
resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor
2b,, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre
si.
82
5.2.1.3. Excentricidad de una elipse
elipse. La
excentricidad ε (épsilon)) de una elipse es la razón
entre su semidistancia
tancia focal (segmento que va del
centro de la elipse a uno de sus focos), denominada
por la letra c,, y su semieje mayor. Su valor se
encuentra entre cero y uno.
, con
Dado que
relación:
, también vale la
o el sistema:
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su
excentricidad al valor cero. La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.
(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o
neperianos.
5.2.1.4. Excentricidad angular de una elipse.
elipse La excentricidad angular
función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:
5.2.1.5. Constante de la elipse.. En la figura de la derecha se
muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de
una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las
longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno
son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo)
rojo).
Como establece la definición inicial de la elipse como lugar
geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las
longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual
a la longitud 2a del eje mayor:
PF1 + PF2 = 2a
83
es el ángulo para el cual el valor de la
5.2.1.6. Directrices de la elipse. Cada foco F de la elipse está
asociado con una recta paralela al semieje menor
llamada directriz (ver ilustración de la derecha)
derecha). La distancia de
cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción
constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la
directriz que resulta en la igualdad:
La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de
la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la
herramienta esferas de Dandelin)) puede ser tomada como otra
definición alternativa de la elipse.
Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre
sus distancias a un punto fijo –que
que se denomina foco–
foco y a una recta dada –llamada
llamada directriz
directriz– permanece constante
y es igual a la excentricidad de la misma.
Además de la bien conocida relación
.
, también es cierto que
, también es útil la fórmula
Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya
distancia del centro O es -d,, la cual además es paralela a la directriz anterior.
5.2.2. Ecuaciones de la elipse
5.2.2.1. En coordenadas cartesianas
Forma cartesiana centrada en origen.
origen La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas,
cartesianas con centro en el
origen, es:
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de
d las abscisas y b al eje de
las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad
mi
del segmento
[FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea,
siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
mayor
84
Forma cartesiana centrada fuera del origen
origen. Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación
es:
5.2.2.2. En coordenadas polares
Forma polar centrada en origen. En coordenadas polares,, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:
(epc 1)
Una
a ecuación más elegante que la anterior (pero
(
que obliga a pre-calcular
calcular la excentricidad
), es:
(epc 2)
Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la
(epc 2) ε es la excentricidad.
Si no se quiere pre-calcular
calcular la excentricidad
utilizar la ecuación (epc 2).
convendrá utilizar la ecuación (epc
(
1), en caso contrario
Formas polares centradas en un foco
foco. En coordenadas polares,, con el origen en uno de sus focos, la ecuación
de la elipse es:
(501)
Para el otro foco:
(502)
En el caso un poco más general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular φ,
la forma polar es:
85
(503)
}
El ángulo de las ecuaciones
ciones (501),(502)
(
y (503) es la
llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las
mismas
es el llamado semi-latus rectum de la elipse,
normalmente denotado . El semi-latus
latus rectum es la distancia entre
un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.
5.2.3. Aplicaciones
• Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. También le corresponde
esta figura a los cometas y satélites.
ites. Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de
los átomos.
• Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se
vuelven elípticas.
• En arquitectura se utilizan con may
mayor frecuencia arcos con forma elíptica.
EJERCICIOS……
1. Comprobación. Demuestra que la ecuación de la elipse cuyos focos están sobre el eje Y y el centro en el
origen, tiene la forma
x2 y 2
+
= 1 donde b>a.
b2 a2
2. Argumentación. ¿Puede afirmarse que una circunferencia es una elipse?. ¿Por qué?.
3. Comunicación. ¿Cuál es la excentricidad de una circunferencia?.
4. La tierra se mueve en órbita elíptica alrededor del sol, y este está en uno de los focos de la elipse. Las
distancias mínima y máxima de
e la tierra al sol son 91446000 millas y 94560000 millas, respectivamente. ¿Cuál es
la excentricidad de la elipse?
? ¿Qué longitud tiene el eje mayor y el menor?.
5. La distancia desde el centro de la luna al centro de la tierra varía desde 221463 millas hasta
ha
252710 millas.
Calcula la excentricidad de la órbita lunar y la longitud del eje mayor y el menor.
86
5.3. HIPÉRBOLA
Una hipérbola es una sección cónica,
cónica una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un
plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor
meno que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto
de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos,
focos es igual a la distancia
entre los vértices, la cual es una constante positiva.
Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas
líne
discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola
(curvas rojas), C.. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2,
la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea
perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje
conjugado.
jugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje
conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las
dos directrices, D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al
cociente entre las distancias (en verde) desde un puntoP
punto de la
hipérbola
bola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los
dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia
±a con respecto al centro.
5.3.1. Ecuaciones de la hipérbola.
5.3.1.1. Ecuaciones en coordenadas cartesianas
cartesianas. Ecuación de
una hipérbola con centro en el origen de coordenadas
ecuación de la hipérbola en su forma canónica.
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto
87
y
Ejemplos:
a)
b)
Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje
conjugado b, en el eje y,, entonces la hipérbola es horizontal; si es
e al
revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor
que uno.
Ecuación de la hipérbola en su forma compleja.
compleja Una hipérbola en
el plano complejo es el lugarr geométrico formado por un conjunto de
puntos , en el plano
; tales que, cualesquiera de ellos
satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias
, a dos puntos
fijos llamados focos
y
, es una constante posi
positiva igual al doble
de la distancia (o sea
) que existe entre su centro y cualesquiera de
sus vértices del eje focal.
La ecuación queda:
Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de
los números complejos.
5.3.1.2. Ecuaciones en coordenadas polares
Hipérbola abierta de derecha a izquierda:
Hipérbola abierta de arriba a abajo:
Hipérbola abierta de noreste a suroeste:
Hipérbola abierta de noroeste a sureste:
88
5.3.1.3. Ecuaciones paramétricas
Hipérbola abierta de derecha a izquierda:
Hipérbola abierta de arriba a abajo:
En todas las formulas (h,k)) son las coordenadas del centro de la
hipérbola, a es la longitud del semieje mayor,
mayor b es la longitud del semieje
menor.
5.3.2. Aplicaciones
plicaciones en el mundo real
real. Para diseño de Puentes, ya que
ue se puede distribuir el peso de todo el
puente.
Para explicar la teoría que dice que la Luna gira alrededor de la Tierra.
Estadios deportivos, cuya finalidad es acomodar personas para poder presenciar algún deporte.
89
PRUEBA TIPO ICFES
1. Los triángulos ∆QNP y ∆NQM son rectángulos
en P y en M respectivamente. Si además se sabe
que son isósceles y congruentes, ¿cuál (es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas
(s)?
I)
MT + PQ = QM + QT
II)
PM
III)
3. Si la parábola corresponde a la función
2
cuadrática y = x + 4x – 5, ¿cuál (es) de las
proposiciones siguientes es (son) verdadera (s)
I)
La parábola intercepta al eje y en el
punto (0, – 5).
II) El vértice de la parábola es el punto (2, –
1).
III) El eje de simetría es y = – 2.
QN
QPM =
PMN
a)
b)
c)
d)
e)
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d) Sólo II y III
e) I, II y III
Ninguna.
Sólo I.
Sólo I y II.
Sólo I y III.
I, II y III.
4. O es el centro de la simicircunferencia.
2. El triángulo tiene por vértices los puntos A
(3,5), B (–3, 5) y C (– 3, – 3). ¿Cuál (es) de las
afirmaciones siguientes es (son)?
Si OC = CB y CD
OB, ¿cuál (es) de las
siguientes proposiciones es (son) verdadera (s)
si AO = r?
I)
I)
III)
II) BA < BC
BD = r
CBD = 2
III) ∆ CBA es
rectángulo en B.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
Sólo I.
Sólo II.
Sólo III.
Sólo II y
III
e) Ninguna
de ellas.
90
Sólo I.
Sólo III.
Sólo I y II.
Sólo I y III.
I, II y III.
II)
CDB
5. La gráfica que corresponde a la función y
= – x2 – 3x – 3 es:
a)
b)
III)
a) Sólo I.
d) Sólo I y II.
c)
b) Sólo II.
e) Ninguno.
c) Sólo III.
d)
7. La siguiente expresión representa un número
real
a≠1
I)
II) a ≤ 1
a) Sólo I.
b) Sólo II.
d) Ninguna de las anteriores.
e) Falta información.
c) Sólo III.
8. Tres triángulos escalenos son semejantes y
2
2
2
sus áreas están en la razón a : b : c . Las
alturas que parten desde el mismo ángulo en
cada triángulo están en la razón:
e)
2
2
2
a) a : b : c .
b) a : b: c:.
c.
d) Falta información.
e) Ninguna de las anteriores.
c) √a : √b : √
9. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a
: y2 = – x2 + 16 y y2 = – x2 + 4?
a)
b)
6. ¿Cuál(es) gráfico(s) representa(n) una función
constante?
I)
III) a < 1
II)
91
c)
d)
III) ∡ SPR = ∡QPR
es correcta
y
está
en
buen
estado.
a) Sólo I.
b) II y III.
c) I y III.
d) I, II y III.
e)
Falta información.
e)
13. En la figura, se tiene un sistema de ejes
coordenados con los puntos P, Q, R y S.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
corresta(s)?.
I)
Si se unen P, Q y S se forma un triángulo
rectángulo en S.
II) P, Q, R y S son vértices de un trapecio.
III) PR > PQ.
10. Si p representa un número par y q representa
un número impar, ¿cuál (es) es de las siguientes
expresiones es(son)?
I) q + q = p + p.
pq.
a) Sólo I.
d) I, II y III.
II) pq = 3q + 2.
a)
b)
c)
d)
e)
III) 3p – q =
Sólo I.
I y II.
I y III.
II y III.
I, II y III.
b) Sólo III.
c) I y III.
e) Ninguna de las anteriores.
11. Si a = 3,333… es correcto:
I)
14. Dos rectángulos Q y R tienen igual área,
entonces:
II) a es racional.
III)
par
I)
Q y R tienen siempre igual ancho e igual
largo.
II) La diagonal de Q es igual a la diagonal de
R.
III) Q y R tienen igual perímetro.
IV) 3a es número
a) Sólo II.
d) II y IV.
b) I y III.
c) III y IV.
e) I, II, III y IV.
Es (son) verdades(s):
12. Al trazar la diagonal PR en el rombo PQRS, se
cumple que:
a) Sólo I.
d) I, II y III.
I) EG = EF
II) ES = EQ
92
b) Sólo III.
c) I y III.
e) Ninguna de ellas.
15. La resultante de dos vectores de módulos 3 y
4 unidades:
a) Nunca puede ser igual a 7 unidades.
b) Es, con seguridad, menor que 7 unidades.
c) Nunca es menor que 1 unidad.
d) Es siempre dada por √32 + 42
e) Puede ser nula.
18. En la figura se tiene que tanθ = 1/3, entonces
x=
a) 8
b) 8√2
c) 12
d) 4 √10
e) Otro valor
16. En la figura se tiene que ACDF es un
rectángulo. Si, ∆ AGF y ∆ DGC son isósceles en G
y ∆ DEG ≅ ∆ BGC, el valor de α es:
3
19. Se tiene una esfera de volumen V cm y área
A cm2. Determina el radio de dicha esfera en
función del área A y el volumen V.
a)
d)
a) 35º
b) 50º
140º
e) No se puede determinar.
c) 70º
b)
e)
20. En el rectángulo ABCD, se han unido los
puntos medios de sus lados y luego se unen los
puntos
medios
del
nuevo
cuadrilátero.
Determina el perímetro de la zona sombreada de
la figura.
d)
2
a) 4 √a + b
17. O es el centro de una circunferencia de
radio
8cm, AD = 4 cm y CD
I)
c)
2
b)
AB. Se puede decir que:
c)
2
CD = AD (BO + DO)
d)
II) AC = 8 cm.
e) Ninguna de las anteriores
III) CB = 8 √3 cm.
21. ∆ ABE rectángulo,
x + α es:
a)
b)
c)
d)
e)
Sólo I.
Sólo II.
Sólo III.
I y II.
Todas.
a) 90º + α
d) 180º - 2β
93
entonces la suma
b) 180º - β
c) 360º - β
e) Ninguna de las anteriores
22. A y B
son
circunferencias,
β = 300º, radio a y
centros
de
dos
a) Son paralelos.
b) Forman un ángulo de 30º.
c) Forman un ángulo de 60º d) Son perpendiculares.
e) Ninguna de las anteriores.
el área sombreada es:
26. Se tiene el siguiente triángulo rectángulo:
para calcular la longitud del cateto x se puede
utilizar:
a)
b)
a) La función sen30º.
b) La función cos30º.
c) La función tan30º.
d) El teorema de Pitágoras
c)
d) 3π – √3
27. El teorema de Pitágoras permite hallar
longitudes de catetos en triángulos:
a) Oblicuángulos.
b) Rectángulos y oblicuángulos.
c) Rectángulos.
d) Donde sólo conozcamos los ángulos
internos.
e) Ninguna de las anteriores
23. Si los vectores
aristas
de
un
representa
definen las tres
paralelepípedo,
¿qué
?.
a) La proyección de
determinado por
28. El teorema del seno está descrito por la
siguiente expresión:
sobre el plano
.
a)
b) La superficie total del paralelepípedo.
c) El volumen del paralelepípedo.
d) La mitad de la superficie total
paralelepípedo.
e) Ninguna de las anteriores.
b)
del
c)
24. Dados los vectores
d)
Se
cumple que:
a) La proyección de
b) El vector
29. El teorema de coseno está descrito por la
siguiente expresión:
a) a2 + b2 = c2.
b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
c)
sobre el eje x es – 7.
es paralelo al vector
.
c) El producto vectorial
2
2
d) cos a = 1 – sin a.
d) Los vectores a y c son paralelos.
30. La suma de los ángulos internos de un
triángulo es 180º. La anterior afirmación se
cumple en:
a) Triángulos rectángulos.
b) Triángulos rectángulos y oblicuángulos.
c) Triángulos oblicuángulos.
d) Ningún triángulo.
e) Ninguna de las anteriores.
25. Cuando la suma y diferencia de dos vectores
tienen el mismo modulo, entonces se cumple
que:
94
2
31. La identidad trigonométrica para el seno de
ángulos dobles está descrita por la siguiente
expresión:
2
2
a) Sin a= 1 – cos a.
b) sin 2a = 2sin a cos a.
2
c) sin 2a = 2 cos a – 1.
d) cos 2a = 2 sin a cos a.
32. Para trazar la gráfica de una función lineal
basta conocer la información de sólo dos puntos
(parejas ordenadas). La pendiente de esa recta
se halla de la siguiente forma:
a)
b)
c)
d)
2
b) 6x + 7
a) 6x + 7x
c) 3x (x + 2)2 + 3x2
d) 3 (x + 2)2 + 3x2
37. Para empacar dos artículos en la misma caja
se requiere dividirla en dos compartimentos
iguales con una
lámina de cartón,
como se indica
en la figura:
El área de la
lámina divisoria,
en
unidades
cuadradas está
representada por la expresión:
33. En la gráfica de una función lineal la
pendiente mayor que cero indica que la función
es:
a) Creciente.
b) Decreciente.
c) Constante.
d) No es función.
2
a) x
b) 2x
2
c) √2x
2
2
d) 2√2x .
38. Para empacar y proteger un artículo, la
empresa coloca una lámina delgada de forma
triangular dentro de la caja como se ilustra a
continuación:
34. En la gráfica de una función lineal la
pendiente menor que cero indica que la función
es:
a) Creciente.
b) Decreciente.
c) Constante.
d) No es función.
El siguiente dibujo representa el diseño de una
piscina para niños que se quiere construir en un
centro vacacional:
35. Una función lineal se caracteriza por tener:
a) Dos puntos de corte con el eje x.
b) Ningún punto de corte con el eje x.
c) Un punto de corte con el eje x.
d) Tres puntos de corte con el eje x.
36. Para empacar artículos, una empresa
construye cajas de forma cúbica, de cartón con
tapa y de arista x, usando el siguiente diseño:
39. Para recubrir el interior de la piscina con tela
2
asfáltica, el constructor pide 30m . Esta cantidad
de material:
a) No
es
suficiente
porque
faltaría
aproximadamente 7 m2.
b) Es suficiente porque son aproximadamente
2
25 m .
c) No
es
suficiente
porque
faltarían
2
aproximadamente 14 m .
d) Es suficiente y sobrarían aproximadamente
2
25 m .
La expresión que permite determinar la mínima
cantidad de material requerido para la
construcción de cada caja es:
95
BIBLIOGRAFÍA
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/angulos_y_rectas.html
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica
http://webfmn.unsl.edu.ar/ingresantes/cuadernillo/cap5+prac.pdf
http://trigo07.lacoctelera.net/post/2007/09/08/signos-las-funciones-trigonometricas-segun-cuadrante
http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/dominio-y-rango-funcion/dominio-y-rango-funcion.pdf
http://www.hiru.com/matematicas/funciones-trigonometricas
http://www.aulafacil.com/matematicas-trigonometria-plana/curso/Lecc-27.htm
http://www.fic.umich.mx/~lcastro/identidades%20trigonometricas.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas#Teoremas_de_la_suma_y_diferencia_de_.C3.A1n
gulos
http://www.rinconsolidario.org/mates/teortrigon.htm#8
http://tutormatematicas.com/ALG/Formulas_punto_medio_y_distancia.html
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Recta_Ecuacion_de.html#
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia.html
http://html.rincondelvago.com/elipse-e-hiperbola_1.html
http://html.rincondelvago.com/geometria-analitica_conicas.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)
Ricardo Díaz D, Nelson Jiménez R., …<et al>. Nuevo pensamiento matemático 10. Ed. Libros & Libros S.A.
Bogotá. 2005. 320 p.
96