PROBLEMA B.2. Sea r la recta de vector director ( 2, – 1 , 1 ) que

Matemáticas II
Junio 2010
PROBLEMA B.2. Sea r la recta de vector director ( 2, – 1 , 1 ) que pasa por el punto
P = ( 0, 3, – 1 ). Se pide:
a) Hallar razonadamente la distancia del punto A = ( 0, 1, 0 ) a la recta r. (4 puntos)
b) Calcular razonadamente el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos P y A con
la recta r en el punto P. (4 puntos)
c) Si Q es el punto donde la recta r corta al plano de ecuación z = 0, comprobar que el
triángulo de vértices APQ tiene ángulos iguales en los vértices P y Q. (2 puntos)
Solución:
De la recta r conocemos un punto y su vector director, es decir:
 Pr (0, 3, − 1)
r:
vr (2, − 1, 1)
a) d ( A , r ) siendo A ( 0 , 1 , 0 )
d ( A, r ) =
Pr A × vr
vr
Pr A = (0,1,0) − (0,3,−1) = (0, − 2, 1)
i
j
k
Pr A × vr = 0
−2
1 = i
2
−1
1
−2 1
−1 1
− j
0 1
2 1
+ k
0 −2
2
−1
= − i + 2 j + 4 k = (−1, 2, 4)
Pr A × vr = (−1) 2 + 2 2 + 4 2 = 21
vr = 2 2 + (−1) 2 + 12 = 6
d ( A, r ) =
21
=
6
21
=
6
7
=
2
7
14
=
u. l .
2
2
b)
r → vr ( 2, − 1, 1)

Ángulo entre   P(0, 3, − 1)
→ vs = (0, 3, − 1) − (0, 1, 0) = (0, 2, − 1)
s 
  A(0, 1, 0)
vr . v s
( 2, − 1, 1) . (0, 2, − 1)
− 2 −1
3
 ∧ 
siendo α =  r , s  → cos α =
=
=
=
2
2
 
6 5
30
vr
vs
6 2 + ( −1)
pero como α es el ángulo entre dos rectas ( α ≤ 90º ) entonces α = 56´7891º
c) Q = r ∩ { z = 0 }
Obtengamos el punto Q,
 x = 2λ
 Pr (0, 3, − 1)

r :
→ r : y = 3 − λ
vr (2, − 1, 1)
 z = −1 + λ

λ ∈ℜ
→
α1 = 56´7891º
α 2 = 303´2109º
La intersección de esta recta con el plano z = 0 la obtenemos resolviendo la ecuación:
–1+λ=0 → λ=1
x = 2 . 1 = 2

Por lo tanto el punto de corte será:  y = 3 − 1 = 2 → Q(2, 2, 0)
 z = −1 + 1 = 0

El triángulo APQ será,
Los ángulos que tenemos que comprobar que son iguales
son:
∧
∧
β = ( PA, PQ )
y γ = ( QA, QP )
Cálculo de β,
PA = (0,1,0) − (0,3,−1) = (0,−2,1)
PQ = (2,2,0) − (0,3,−1) = (2,−1,1)
cos β =
(0,−2,1) (2,−1,1)
0 2 + (−2) 2 + 12
2 2 + (−1) 2 + 12
=
2 +1
3
=
5 6
30
Cálculo de γ,
QA = (0,1,0) − (2,2,0) = (−2,−1,0)
QP = (0,3,−1) − (2,2,0) = (−2,1,−1)
cos β =
(−2,−1,0) (−2,1,−1)
2
2
(−2) + (−1) + 0
2
2
2
(−2) + 1 + (−1)
2
=
4 −1
3
=
5 6
30
Como cos β = cos γ y β y γ son ángulos de un triángulo (β y γ < 180º) entonces β = γ, que es lo que
queríamos comprobar.