MATEMÁTICAS II

MATEMÁTICAS II
(Mayo de 2013)
Opción A
‫ݔ‬+ ‫ݕ‬+ ‫݉ =ݖ‬
1.- Dado el sistema dependiente del parámetro real m :൝(1 + ݉ )‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬2݉ , se pide
‫ ݔ‬+ (1 + ݉ )‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬1
a) Determinar, razonadamente, los valores de m para los que el sistema es compatible
determinado, compatible indeterminado e incompatible. (5 p)
b) Resolver el sistema cuando es compatible determinado. (3 p)
c) Obtener, razonadamente, la solución del sistema cuando m = 1. (2 p)
Solución:
1
1 m
 1


1
1 2m 
a) La matriz ampliada del sistema es (‫ = )ܤ|ܣ‬ m  1
 1
m  1 1 1 

1
Calculamos |‫ = |ܣ‬อ݉ + 1
1
1
1
1
1
1อ= อ݉
݉ +1 1
0
1
0
݉
1
0อ= ݉ ଶ.
0
Si݉ ≠ 0 ⇒ |‫ ≠ |ܣ‬0 ⇒ ‫ = )ܣ(݃ݎ‬3 = ‫݊ = )ܤ|ܣ(݃ݎ‬º݅݊ܿó݃݊݅‫ܵ ⇒ݏܽݐ‬. ‫ܥ‬. ‫ܦ‬.
1 1 1
Si m=0 ‫ ≤ )ܣ(݃ݎ‬2, ‫ = ܣ‬൭1 1 1൱ , ‫݋݃݊ܽݎ݁݊݁݅ݐ݁ݐ݊݁ ݉݁ݐ݊݁݀݅ݒ݁݁ݑݍ‬1,
1 1 1
1 1
Y (‫ = )ܤ|ܣ‬൭1 1
1 1
1
1
1
1
2൱ , ‫݋݃݊ܽݎ݁݊݁݅ݐ‬2, ‫݈ܾ݁݅ݐܽ݌ ݉݋ܿ݊݅ݏ݁ܽ ݉݁ݐݏ݅ݏ݈݁݁ݑݍ݋݈ݎ݋݌‬.
1
b) Para resolverlo cuando m no es 0 , resulta cómodo el método de Gauss, que también
podríamos haber aplicado en el apartado a):
1
1 m  1 1 1
m 
 1

 

(‫ = )ܤ|ܣ‬ m  1
1
1 2m  ~  m 0 0
m , y el sistema es equivalente a:
 1
m  1 1 1   0 m 0 1  m 

‫ =ݔ‬1
‫ݔ‬+ ‫ݕ‬+ ‫݉ =ݖ‬
ଵି௠
‫=ݕ‬
݉
‫ݔ‬
=
݉
௠ .
, ‫ ≠ ݉݅ݏ‬0 ⇒ ൞
൝
௠ మିଵ
݉‫ =ݕ‬1−݉
‫=ݖ‬
௠
‫ =ݔ‬1
c) Para el caso ݉ = 1 , ‫݃݁ݏ‬ú݈݊݁ܽ‫ )ܾ݋݀ܽݐݎܽ݌‬൝‫ = ݕ‬0
‫ =ݖ‬0
2.- Dadas las rectas ‫ݎ‬:
௫ାଶ
௬ିଵ
௭ିଶ
=
=
;
ଶ
ଶ
ଵ
a) Estudiar su posición relativa.(3p)
‫ = ݔ‬−1 + 2‫ݐ‬
‫ݏ‬: ൝‫ = ݕ‬1
, se pide :
‫ =ݖ‬3 − ‫ݐ‬
b) Ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.(2p)
c) Hallar la mínima distancia entre r y s.(3p)
d) Determinar las ecuaciones de la recta perpendicular común a ellas. (2p)
Solución:
La recta r pasa por el punto R(-2,1,2) con la dirección del vector ሬ
‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗ = (2,2,1)
௥
La recta s pasa por el punto S(-1,1,3) con la dirección del vector ሬ
‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ௦⃗ = (2,0, −1).
Resulta claro que los vectores no son proporcionales, por lo que las rectas no son paralelas, así
se cortarán o cruzarán.
2
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ⃗ = (1,0,1) el determinante หሬ
ሬሬ
ሬሬሬሬ⃗ห= อ2
Como el vector ܴܵ
‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗ሬ
‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ௦⃗
ܴܵ
௥
1
indica que las rectas se cruzan.
2 1
0 −1อ= −6 ≠ 0, lo que
0 1
b) El plano pasa por un punto de r con la dirección de los los vectores directores de r y s.Por lo
࢞ + ૛ ࢟ − ૚ ࢠ− ૛
૛
−૚ อ= ૙ ⇒ −૛(࢞ + ૛) + ૝(࢟ − ૚) − ૝(ࢠ− ૛) = ૙ ⇒ ࢞ − ૛࢟ + ૛ࢠ = ૙
૛
૙
−૚
tanto:࣊ ≡ อ ૛
c) Al ser la recta s paralela al plano ࣊ࢊ(࢙, ࢘) = ࢊ(ࡿ, ࣊) =
|ି૚ି૛ା૟|
ඥ૚૛ା(ି૛)૛ା૛૛
=1
d) Para determinar la perpendicular común , buscamos los puntos de r y s donde se apoya
ܴ(−2 + 2ߙ, 1 + 2ߙ, 2 + ߙ)ܵ(−1 + 2ߚ, 1,3 − ߚ) , el vector
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ⃗ = (2ߚ − 2ߙ + 1, −2ߙ, −ߚ − ߙ + 1), será perpendicular a ሬ
ܴܵ
‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗‫ܽݕ‬ሬ
‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ௦⃗.
௥
Para traducir esto podemos utilizar el producto escalar, es decir:
ሬ
ሬሬሬሬሬ⃗ ሬ
ܴܵ.
‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗ = 0 ⇒ 2(2ߚ − 2ߙ + 1) + 2(−2ߙ) + 1(−ߚ − ߙ + 1) = 0
௥
, sistema que tiene solución
ቊ
ሬ
ሬሬሬሬሬ⃗ ሬ
ܴܵ.
‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ௦⃗ = 0 ⇒ 2(2ߚ − 2ߙ + 1) + 0(−2ߙ) − 1(−ߚ − ߙ + 1) = 0
ଵ
ିସ ହ ଻
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ⃗ = (ଵ , ଶ , ିଶ)‖(1, −2,2),así la
ߙ = ߚ = 0, ‫ݏܴ݁݁ݑݍ݋݈ݎ݋݌‬ቀ , , ቁ, ܵ݁‫(ݏ‬−1,1,3), ‫ܴܵݕ‬
ଷ
ଷ
ଷ ଷ
ଷ ଷ
ଷ
recta buscada pasa por el punto S(-1,1,3) con la dirección del vector (1-2,2), sus ecuaciones
‫ = ݔ‬−1 + ߙ
paramétricas:൝‫ = ݕ‬1 − 2ߙ .
‫ = ݖ‬3 + 2ߙ
También podríamos haber utilizado el producto vectorial :
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ⃗݁‫ܽ݋݈݈݁ܽݎܽ݌ݏ‬ሬ
ܴܵ
‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗ × ሬ
‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ௦⃗ = (−2,4, −2), la proporcionalidad entre ambos nos hubiera dado
௥
las mismas soluciones.
3.- Dada la función ݂(‫= )ݔ‬
௫మିଶ௫ାଵ
,
௫మିଶ௫ି଼
se pide :
a) Determinar su dominio y asíntotas.(2p)
b) Estudiar su crecimiento y extremos relativos.(4p)
c) Calcular ∫ ݂(‫ݔ݀)ݔ‬.(4p)
Solución:
a) La función existe siempre que el denominador no sea nulo, es decir
‫ = ܦ‬ℝ − {−2,4}.
‫ݏܽ݊݁ݐݏ݅ݔܧ‬í݊‫ = ݔ݊݁ݏ݈݁ܽܿ݅ݐݎ݁ݒݏܽݐ݋ݐ‬−2 , ‫= ݔ‬4
‫ = ݔ݊ܧ‬−2 lim௫→ିଶష ݂(‫ = )ݔ‬+∞ limశ ݂(‫ = )ݔ‬−∞,
‫ = ݔ݊ܧ‬4 lim௫→ସష ݂(‫ = )ݔ‬−∞
௫→ିଶ
lim
݂(‫ = )ݔ‬+∞,
శ
௫→ସ
‫ = ݕܽݐܿ݁ݎܽܮ‬1݁‫ݏܽܽ݊ݑݏ‬í݊‫ܽݐ݋ݐ‬ℎ‫݈ܽݐ݊݋ݖ݅ݎ݋‬, ‫ݏ݁ݑ݌‬lim
௫→ஶ
b)Para estudiar su crecimiento estudiamos el signo de su derivada.
݂´(‫= )ݔ‬
‫ݔ‬ଶ − 2‫ ݔ‬+ 1
=1
‫ݔ‬ଶ − 2‫ ݔ‬− 8
−18‫ ݔ‬+ 18
, ‫ = )ݔ(´݂ݏ݋ ݉݁ݒ݈݋ݏ݁ݎ‬0 ⟹ −18‫ ݔ‬+ 18 = 0 ⟹ ‫ = ݔ‬1
(‫ݔ‬ଶ − 2‫ ݔ‬− 8)ଶ
Éste, junto a los x=-2, x=4, son los valores donde ݂´(‫ )ݔ‬puede cambiar de signo
݂´(‫)ݔ‬
݂(‫)ݔ‬
Así la función es
−∞
+
−2
↗
+
1
0
↗
-
4
↘
 creciente en (−∞, −2) ∪ (−2,1),
 decreciente en (1,4) ∪ (4, +∞),
 presenta en x=1 un Máximo relativo.
c) Teniendo en cuenta que ݂(‫ = )ݔ‬1 + మ
ଽ
௫ ିଶ௫ି଼
+ ∞
-
↘
ଽ
 f ( x)dx = ∫ 1 ݀‫ ݔ‬+ ∫ ௫ ିଶ௫ି଼ ݀‫ ݔ‬,
Para la segunda integral descomponemos en fracciones simples:
9
9
‫ܣ‬
‫ܤ‬
=
=
+
,
ଶ
‫ ݔ‬− 2‫ ݔ‬− 8 (‫ ݔ‬+ 2)(‫ ݔ‬− 4) ‫ ݔ‬+ 2 ‫ ݔ‬− 4
మ
−3
‫ = ݔܽݎܽ݌‬−2
− 6‫ = ܣ‬9, ݈‫= ܣ݋݃݁ݑ‬
2
‫݁ݑݍ݋݈ݎ݋݌‬9 = ‫ ݔ(ܣ‬− 4) + ‫ ݔ(ܤ‬+ 2) ⇒ ൞
3
‫ = ݔܽݎܽ݌‬4 6‫ = ܤ‬9, ݈‫= ܤ݋݃݁ݑ‬
2
ଷ
ଵ
ଷ
ଵ
ଷ
ଷ
Así:∫ ݂(‫ ∫ = ݔ݀)ݔ‬1݀‫ ݔ‬− ∫
݀‫ ݔ‬+ ∫
= ‫ ݔ‬− ݈݊|‫ ݔ‬+ 2| + ݈݊|‫ ݔ‬− 4| + ‫= ܥ‬
‫ݔ‬+
௫ିସ ଷ
݈݊ට ቀ ቁ + ܿ
௫ାଶ
ଶ
௫ାଶ
ଶ
௫ିସ
ଶ
ଶ
Opción B
0  1
 1
0 1 0




m 0  y B   1 0 0  , se pide:
1. Dadas las matrices A   0
0 0 1
 m2 1 1 2 




a) Obtener razonadamente el rango de la matriz A en función de los valores de m.
(5 p).
b) Explicar por qué es invertible la matriz A cuando m 1 . (2 p).
c) Si m=1, obtener la matriz real X que satisface la igualdad ‫ ܤ‬− ‫( ܤܣ = ܺܣ‬3 p).
Solución:
1
0 −1
Calculando |‫ = |ܣ‬อ 0
݉
0 อ= ݉ (݉ ଶ + 1), observamos que solo se anula cuando
ଶ
݉ −1 1
2
m=0, por lo tanto si ݉ ≠ 0, ݈݁‫ݏ݁ܣ݁݀݋݃݊ܽݎ‬3
1 0
Cuando m=0 ‫ = ܣ‬൭ 0 0
−1 1
−1
1 0
ቚ≠ 0
0 ൱ tiene rango 2 pues el menor ቚ
−1 1
2
b) Del apartado anterior si m=1 |‫ = |ܣ‬2, rg A=3, por lo que existe ‫ିܣ‬ଵ
c) En la ecuación ‫ ܤ‬− ‫ܤܣ = ܺܣ‬,‫ ܤ = ܺܣ‬− ‫ܤܣ‬, ܺ = ‫ିܣ‬ଵ‫ ܤ‬− ‫ିܣ‬ଵ‫ܤܣ‬,
2 −1 1
ଵ
ଵ
Calculamos ‫ିܣ‬ଵ = |஺| (‫)ܣ݆݀ܣ‬௧ = ൭0 2 0൱,
ଶ
0 −1 1
−1 1
−1
1
0
1 0 0 ⎞ 0 1 0
⎛⎛
2 2⎞
2
⎛
ܺ=⎜
−
൭
൱
൭
൱
=
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
⎟
⎟
⎜
⎜⎜
⎟
−1 1
−1
0 0 1
0 0 1
0
0
2 2⎠
2
⎝
⎝⎝
⎠
ିଵ
ଶ
X=൮ 0
ିଵ
ଶ
0
0
0
ଵ
ଶ
0൲
ିଵ
ଶ
ܺ = (‫ିܣ‬ଵ − ‫ܤ)ܫ‬
1
2⎞ 0 1
0 ⎟ ൭1 0
−1
0 0
2⎠
0
0൱
1
2.- Sea r la recta de vector director (2, –1, 1) que pasa por el punto P = (0, 3, –1). Se pide:
a)
Obtener razonadamente la distancia del punto A = (0,1,0) a la recta r.( 4 p)
b)
Calcular razonadamente el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos P y A con
la recta r en el punto P.(3p)
c)
Si Q es el punto donde la recta r corta al plano de ecuación z = 0, comprobar que el
triángulo de vértices APQ tiene ángulos iguales en los vértices P y Q.(3p)
 x  2
Solución: a) Escribimos la ecuación de la recta r en paramétricas: r  y  3  
z  1  

La distancia entre el punto A = (0, 1, 0) y la recta r ,d (A, r) =
Dados Pr (0, 3, –1) y A(0, 1, 0), Pr A = (0, –2, 1)
d (A, r) =
1  4  16
4  1 1

21

6

v r  Pr A

vr
 

i
j k

 v r  Pr A  2  1 1  1,  2,  4 
0 2 1
21
u
6

b) La recta s que pasa por los puntos P y A tendrá por vector director v s  PA  0,  2, 1 .
x  0
En paramétricas, utilizando el punto A(0, 1, 0): s  y  1  2
z  

El ángulo entre las dos rectas será:
Luego
 
vr vs
2,  1, 1  0,  2, 1
cos   

 
vr  vs
4  1 1 4  1
3
 0,5477
30
  56 º 47' 21' '
c) Hallamos Q:
x  2
x  2


 y  2 
y  3  
z  1    0   1


Luego el punto es Q(2, 2, 0)
El triángulo de vértices APQ será:
Tenemos que calcular el ángulo entre los vectores AP y PQ , y AQ con PQ .
AP  0,  2, 1 , AQ  2, 1, 0
cos  
AP  PQ
AP  PQ

y PQ  2,  1, 1
0,  2, 12,  1, 1
4  1 4  1 1

3
30
, cos  
AQ  PQ
AQ  PQ

2, 1, 02,  1, 1
4  1 4  1 1

3
30
ሬሬሬሬሬሬ⃗ห, con lo que el triángulo es isósceles.
ሬ
ሬሬ
ሬሬ
ሬ⃗ห= ห࡭ࡽ
Más breve hubiera sido observar que ห࡭ࡼ
3. Se desea construir un campo rectangular con vértices A, B, C y D de manera que:
Los vértices A y B sean puntos del arco de la parábola y 4 x2 , 2 x 2, y el
segmento de extremos A y B es horizontal.
Los vértices C y D sean puntos del arco de la parábola y x2 –16,, 4 x 4, y el
segmento de extremos C y D es
e también horizontal.
Los puntos A y C deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo x.
Los puntos B y D deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real negativo –x.
Se pide obtener razonadamente:
a) La expresión S(x)) del área del campo rectangular en función del número real positivo x.(4 p).
b) El número real positivo x para el que el área S(x) es máxima. (4 p).
c) El valor del área máxima. (2
( p).
Solución: El rectángulo tiene base 2x y altura Ͷ െ ‫ݔ‬ଶ − (‫ݔ‬ଶ − 16) .L a función
nción área es
ଶ
( ) ൌ ʹ‫(ݔ‬െʹ‫ ݔ‬+ 20)
ܵ(‫)ݔ‬