y relación de ejercicios del tema 3

Matemáticas Avanzadas
Relación de ejercicios del tema 2 (Segunda parte)
y relación de ejercicios del tema 3
1. Para cada una de las siguientes funciones: halle todas sus derivadas parciales segundas y
su matriz hessiana. Compruebe en cada paso que se verifica el teorema de Schwarz:
(a) f (x, y) = 5x4 y 3 + 2xy
x+1
(b) f (x, y) =
y−1
2
(c) f (x, y) = ex y
(d) f (u, v) = ln(u2 + v 2 )
p
(e) f (s, t) = s2 + t2
(f) f (x, y) = x2 yex
2. ¿Cuáles de las siguientes funciones representan la gráfica de una función y = f (x)? Cuando
la respuesta sea afirmativa da la expresión de la función y derı́vala. Cuando la respuesta
sea negativa, considera que la y es una función implı́cita de x y derı́vala tal y como se ha
estudiado en clase:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) 2xy + ex = 0
x+y =1
x2 + y 2 = 1
x3 + y 3 = 1
5x6 + 2x3 y − y 7 x = 10
(f) x ln(y) + y 3 = ex
√
y
cos(xy)
(g)
=
2
x
x
e
3. Halle los puntos crı́ticos de las siguientes funciones y clasifı́quelos:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
f (x, y) = x3 − y 3 + 6xy
f (x, y) = xy
f (x, y) = x3 + y 2 − 6xy + 9x + 5y + 2
f (x, y) = x3 + y 3 − 9xy + 27
f (x, y) = xey − ex
(f) f (x, y) = x3 + y 3 + 2x2 + 4y 2 + 6
(g) f (x, y) = 2x3 + y 3 + 3x2 − 3y − 12x − 4
(h) f (x, y) =
1 1
1
+ −
x y x+y
4. Una empresa traza una cuadrı́cula en un mapa y determina que los clientes más importantes se encuentran en los puntos A(1, 5), B(0, 0) y C(8, 0), donde las unidades están en
kilómetros. ¿En qué punto P (x, y) se deberı́a ubicar una sede central para minimizar la
suma de las distancias de P a A, B y C? (Ayuda: equivalentemente, podemos minimizar
la suma de los cuadrados de las distancias a dichos puntos).
5. Un almacén de camisetas deportivas vende dos marcas A y B que compiten entre sı́. El
propietario del almacén puede obtener ambos tipos de camisetas a un coste de 2 euros
por camiseta y estima que si las camisetas de la marca A se venden a x euros la unidad
y las de la marca B a y euros la unidad, los consumidores comprarán aproximadamente
40 − 50x + 40y camisetas de la marca A y 20 + 60x − 70y camisetas de la marca B cada
dı́a.
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(a) ¿Qué precio deberı́a fijar el propietario del almacén a las camisetas para generar el
máximo beneficio posible? (Ayuda: El único máximo relativo que vamos a obtener
es el máximo absoluto de la función).
(b) Fijado este precio, ¿cuántas camisetas venderá aproximadamente al dı́a de cada
marca?
6. Supongamos que deseamos construir una caja rectangular cuyo volumen sea 32 m3 . Vamos
a usar tres materiales distintos en la construcción. El material para los lados cuesta 1 euro
el metro cuadrado, el material para la parte inferior 3 euros el metro cuadrado y el material
para la parte superior cuesta 5 euros el metro cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones de la
caja menos costosa? (Ayuda: El único mı́nimo relativo que vamos a obtener es el mı́nimo
absoluto de la función).
7. Una lecherı́a produce x litros de leche entera e y litros de leche desnatada. Suponga que
el precio de la leche entera es p(x) = 100 − x y el de la leche desnatada es q(y) = 100 − y.
Si C(x, y) = x2 + xy + y 2 es la función de costes conjuntos, ¿cuáles deberı́an ser los valores
de x e y para maximizar el beneficio? (Ayuda: El único máximo relativo que vamos a
obtener es el máximo absoluto de la función).
8. Cuatro pequeñas poblaciones de un área rural desean reunir recursos para crear una
estación de televisión. Si las poblaciones se encuentran ubicadas en los puntos (−5, 0),
(1, 7), (9, 0) y (0, −8) en las cuadrı́culas de un mapa rectangular donde las unidades se
expresan en kilómetros, ¿en qué punto S(x, y) deberı́a ubicarse la estación para minimizar
la suma de las distancias a las torres de perforación?
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