Probabilidad y Estadística Objetivo de aprendizaje del tema

Probabilidad y Estadística
Probabilidad y
Estadística
Tema 10
Estadísticos muestrales y sus
aplicaciones
Objetivo de aprendizaje del tema
Al finalizar el tema serás capaz de:
•
•
Describir las propiedades de los estadísticos
muestrales.
Describir las aplicaciones de los estadísticos muestrales.
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Probabilidad y Estadística
Introducción al tema
En un sistema para la administración de almacenes de
productos perecederos, se desarrollo un módulo de
calidad cuyo objetivo era garantizar que el producto que
entraba a las tiendas cumpliera con los requisitos
mínimos de calidad.
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Introducción al tema
Un punto importante dentro de la definición de los
parámetros de calidad era la definición del tamaño de la
muestra. Es decir, ¿cuántos kilos de fruta de un camión
de 2 toneladas deberían tomarse para evaluar la
calidad?, ¿cuántas piezas de carne serían suficientes
para determinar si todo el embarque recibido cumplía
con los requisitos mínimos de calidad esperados?
En este tema, conoceremos los conceptos de muestreo
y conoceremos los estimadores muestrales y sus
aplicaciones, así como también revisaremos las
principales aplicaciones que tiene un estimador.
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Probabilidad y Estadística
Conceptos básicos
La imposibilidad
física de revisar
todos los
integrantes de
una población.
La naturaleza
de ciertas
pruebas
destructivas.
El costo de
estudiar a toda
la población a
menudo pudiera
ser prohibitivo.
¿Por qué
obtener una
muestra de la
población?
El tiempo que
se requiere
para completar
al estudio es
limitado.
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Conceptos básicos
Cada integrante
de la población
tiene
probabilidad ser
incluido en la
muestra.
Muestra
probabilística
Garantiza que
un estudio de
una población
basado en una
muestra es
válido.
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Métodos de muestreo probabilístico
Muestra
aleatoria simple
• Se formula de manera que cada integrante de la
población tenga la misma probabilidad de quedar
incluido.
Muestra
aleatoria
sistemática
• Se determina ordenando los integrantes de la
población por algún método, se selecciona al azar
un punto de inicio y después se elige cada k-ésimo
elemento de la población.
Muestra
aleatoria
estratificada
• Se separa la población en subgrupos denominados
estratos, y se selecciona una muestra de cada
estrato.
Muestra
conglomerada
• Se subdivide una región en áreas y se seleccionan
ciertas áreas al azar pare realizar una selección de
la muestra.
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Métodos de muestreo probabilístico
Es poco probable que la media muestral
sea idéntica a la media poblacional.
De igual forma, la desviación estándar calculada a partir
de la muestra, probablemente no será la exactamente
igual al valor correspondiente de la población.
A la diferencia entre una estadística de muestra y su
parámetro poblacional correspondiente se le denomina
error de muestreo, atribuible simplemente al azar.
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Estadísticos muestrales
Media muestral
Varianza
muestral
Desviación
estándar muestral
Un estadístico
muestral es una
medida cuantitativa
de una muestra
aleatoria, usado
para estimar una
medida cuantitativa
poblacional.
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Media muestral
•
•
La media aritmética es la medida de tendencia central
de uso más amplio.
La media de una muestra se obtiene con la siguiente
fórmula.
Donde:
= Media muestral
X = Valor específico de la muestra
n = Número total de observaciones
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Probabilidad y Estadística
Media muestral
•
•
•
Los pesos netos en gramos de cinco envases de un
perfume, seleccionados en forma aleatoria de la línea de
producción son: 84.4, 85.3, 84.9, 85.4 y 85.0. ¿Cuál es la
media de las observaciones muestrales de los pesos de
los envases?
Aplicando la fórmula de media muestral:
La media aritmética muestral de los pesos de los
envases es de 85.2 gramos.
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Varianza muestral
•
La conversión de la fórmula poblacional a la muestral, no
es tan directa; se debe hacer una ligera modificación en
el denominador.
Donde:
= Varianza muestral
= Media muestral
X = Valor específico de la muestra
n = Número total de observaciones
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Probabilidad y Estadística
Varianza muestral
•
Los sueldos por hora en una muestra de trabajadores de
medio tiempo son: $2, $10, $6, $8 y $9. ¿Cuál es la
varianza poblacional?
•
Calculando la media muestral:
•
El sueldo por hora promedio de la muestra es de $ 7
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Varianza muestral
•
Para obtener la varianza muestral, tenemos:
•
Utilizando la fórmula, tenemos:
•
La varianza muestral es de $ 10
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Probabilidad y Estadística
Desviación estándar muestral
•
La desviación estándar muestral se utiliza como un
estimador de la desviación estándar poblacional.
Donde:
s = Desviación estándar muestral
= Media muestral
X = Valor específico de la muestra
n = Número total de observaciones
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Desviación estándar muestral
La varianza
muestral del
ejemplo anterior
para los sueldos
por hora se
calculó como 10.
¿Cuál es la
desviación
estándar de la
muestra?
La desviación
estándar
muestral es de
$3.16, obtenida
de la raíz
cuadrada de 10.
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Probabilidad y Estadística
Propiedades de un estadístico muestral
• Se dice que un
estadístico muestral es
insesgado cuando el
valor esperado del
estadístico muestral,
es igual al estadístico
poblacional.
Estadístico
muestral
insesgado.
• Un estadístico
muestral es
eficiente cuando el
error estándar del
estadístico sea igual
a 0.
• Se dice que un
estadístico muestral es
consistente si su valor
tiende a estar más
cerca del parámetro
poblacional, a medida
que aumenta el tamaño
de la muestra.
Eficiencia de un
estadístico
muestral.
Consistencia de
un estadístico
muestral.
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Propiedades de un estadístico muestral
Suficiencia de
un estadístico
muestral.
Un concepto de reciente introducción
es el de la suficiencia de un
estadístico, fue introducido en 1922
por el científico inglés Ronald Fisher.
Se dice que un estadístico es
suficiente para la inferencia
estadística, si contiene toda la
información acerca de la función de
distribución poblacional.
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Aplicaciones de los estadísticos muestrales
Estimación puntual.
• Utiliza los estadísticos
muestrales para determinar el
valor de un parámetro
desconocido de una población.
Pruebas de hipótesis.
•
•
Procedimientos basados en la
evidencia muestral y en la teoría
de probabilidad empleada para
determinar.
Si la teoría es razonable no debe
rechazarse, de lo contario, debe
ser rechazada.
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Cierre
Con el fin de solventar los diferentes problemas a los
que se enfrentan las compañías y los investigadores a
la hora de estudiar un problema, se establecieron
métodos de muestreo estadístico que permitan inferir
información acerca de toda una población.
Los métodos de selección de
muestras con el mismo objetivo en
común: garantizar que cada elemento
de la población tiene probabilidad de
ser elegido como parte de la muestra.
Lo métodos puede aplicarse en
diferentes situaciones o combinados.
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Probabilidad y Estadística
Cierre
Para garantizar que un estadístico muestral se considere
como un buen estimador de una población, dicho
estadístico muestral debe ser insesgado, eficiente y
consistente, pues de ello depende de que el estudio
realizado en la muestra tenga alguna utilidad en el
análisis de toda la población.
En el siguiente tema profundizaremos en el estudio de
los estimadores puntuales, así como su aplicación en la
estadística descriptiva. Te invito a que juntos sigamos
aprendiendo los conceptos de inferencia estadística.
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Referencias bibliográficas
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Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage
Learning. Capítulos: 1 y 5.
Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística
matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage
Learning.
Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed).
México: McGraw Hill.
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Créditos
Diseño de contenido:
Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP
Coordinador académico:
Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED.
Edición de contenido:
Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón.
Edición de texto:
Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE
Diseño Gráfico:
Lic. Alejandro Calderas González, MATI
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