PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
Considera la función f(x)= x3 + px donde p es un número real.
Escribir (en función de p) la ecuación de la recta tangente a la grafica
f(x) en el punto de abscisa x = 1. Determinar después p, de manera que
la recta tangente anterior pase por el punto (2, 0).
Si y = x3 + px para calcular la tangente a la curva en x0 = 1 + p
mt = y‘(1) ;
y‘ = 3x2 + p ; mt = 3·12 + p = 3 + p
La ecuación de la recta tangente es y - y0 = mt ( x - x0 )
y – ( 1 + p) = (3 + p)·(x - 1)
y – 1 – p = (3 + p) · x -3 – p ;
y = (3+ p) · x - 2
Si la recta pasa por (2,0)
0 = (3 + p) ·2 – 2
0 = 6 + 2p – 2 ; 2p = - 4 ;
p=2
¿Cuántos puntos hay en la función f(x) = │x2 + 6x + 8 │que no
tengan derivada? Justificar la respuesta.
 6  36  32  6  2
; x1 = - 2; x2 = - 4

2
2
Los valores x = - 4 y x = - 2 hacen que f(x) = 0, y éstos son los puntos que discutir
pues, antes de - 4, entre - 4 y - 2 y después de - 2, la f(x) es continua y su derivada
también por ser funciones polinómicas.
Al resolver la ecuación x2 + 6x + 8 = 0; x 
Los puntos (-4, 0) y (-2, 0) no poseen derivada ya que sus derivadas laterales no
coinciden.
Además la f(2) no esta definida
Estudiar la continuidad
c) Representar la gráfica.
a) En (-, -1] y = 0 es f. constante => continua en R
En (-1, 2)
y = ax3 + bx es f. polinómica a, b => continua en R
En (2, )
y = 11x – 16 es una recta continua en R
Para a = 1 y b = - 1 la f(x) es continua en R
b)
Las tres funciones f ‘(x) en cada intervalo son continuas ya que dos son funciones
constantas y la otra un polinomio de 2º grado.
x
y
x y
y = 11x - 16
-1
0
1
2
0
0
0
6
2
3
6
17
Si no me piden la continuidad de f(x), podemos calcular si es derivable al calcular la
f´(x) y ver si es continua en R.
En (-∞, -2) f´(x) =
esta definida en (-∞, 0) (0, ∞) ya que en x = 0 no
,
 f´(x) esta definida en (-∞, -2) D  f´(x) es continua en (-∞, -2)
 f(x) es derivable en (-∞, -2).
En (-2, 1) f´(x) = - 1 definida en R por ser funcion constante  f´(x) es continua en
R  f´(x) es continua en (-2, 1) R  f(x) es derivable en (-2, 1)

En (1, ∞) f´(x) = 2x definida en R por ser funcion polinomica de grado 1  f´(x) es
continua en R  f´(x) es continua en (1, ∞) R  f(x) es derivable en
(1, ∞)
Como la f(x) es a,b
R, funciones polinómicas de grado 1 o 0 podemos decir que
f(x) es continua en (-∞,0) , (0,1) y (1,∞)
f ‗(x) continua en (-∞,0), (0,1) y (1,∞)
=> f´(x) es derivable

Las 3 funciones f ´(x) son continuas en sus intervalos por motivos similares
Dada la función polinómica de segundo grado f(x) = a·x2 + b·x + c ,
determina los coeficientes a,b y c , si se sabe que la grafica de esa
función pasa por los puntos (1, 2) y (2, 6) y que en este último punto, la
recta tangente a la curva tiene como ecuación 7x – y – 8 = 0.
Si pasa por (1, 2)  2 = a · 12 + b · 1 + c
2
f(x) = a·x + b·x + c
Si pasa por (2, 6)  6 = a · 22 + b · 2 + c
Ademas como la tangente tiene de ecuación 7x – y – 8 = 0.  y = 7x – 8 , la
pendiente de la recta es m = 7 y a partir de la definición de derivada y´(2) = m = 7
Si f´(x) = 2ax + b  7 = 2a · 2 + b
3·3 + b = 4 
3–5+c=2  c=4
b = -5
La función es f(x) = 3x2 – 5x + 4
Dada la función f(x)= x³ - 3x + 1 ¿se anula en algún punto de R? En
caso afirmativo, determina un intervalo cerrado de amplitud menor de
dos décimas que contenga el punto donde se anula.
f(
)=0;
x³ - 3x + 1 = 0
1
0
1
-3
1
1
-2
1
1
-2
-1
1
No existe x entero
f(x) es continua en R por ser función polinómica  f(x) continua en [a,b]
Elijo [0,1]
R
signo f(0) ≠ signo f(1)
f(0‘25) = (0‘25) ³ - 3 · 0‘25 + 1 = 1/64 – ¾ + 1 = (1 – 48 + 64) / 64 > 0
f (1/8) = (1/8) ³ - 3(1/8) + 1 = 1/512 – 3/8 + 1 = (1-192+512) / 512 > 0
f(0‘4) = (0,4) ³ - 3 · 0‘4 + 1 = 0‘064 – 1‘271 < 0
signo f(0‘25) ≠ signo f (0‘4) [0‘25 , 0‘4] 2ª hipótesis
Este intervalo define que existe xo / f(xo) = 0 y la amplitud del intervalo es 0‘4 - 0‘25
= 0‘15 < 0‘2
Dada la función y = e7x, calcular la ecuación de la recta tangente
y la ecuación de la recta normal a f(x) que sea paralelo a la recta
7x – y +2 = 0
Despejar la y en la recta y = 7x + 2  mr = 7
mt =7 por ser r paralela a t
y´ =7e7x ; y´ (xo) = mt  7 · e7xo = 7
e7xo = 1; e7xo= e0; 7·xo = 0
x0 = 0
yo = e0 = 1
ec tangente : y - 1 = 7(x - 0)  y- 1 = 7x; y = 7x + 1
ec normal : y – 1 =
(x - 0); 7y – 7 = - x ; y =
·x+1
Si la tangente es paralela al eje OX (y = 0)  mt = mr = 0
Ecuación tangente:
y – ln 4 = 0 · (x - 2)  y = ln 4
Ecuación normal ; y- ln 4 =
·(x - 2)  0 = x – 2  x = 2
a)
[5,∞); y =
; D: x
R
El virus se puede propagar como máximo a 100 personas
Demuestra que la ecuación x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x - 1= 0
tiene una raíz positiva
Si tomo una f(x) = x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x – 1 que es continua en R por ser un
polinomio de grado 7 y elijo un intervalo cerrado [a,b] en el que los signos sean
distintos, por ejemplo [-1,1]
f (-1) = (-1)7+ (-1)6 + (-1)5 + (-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1) - 1 = - 1 + 1 - 1+ 1- 1+ 1 - 1 - 1
=-2
0
f (1) = 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 1 - 1 = 6
0

Signo f (-1) ≠ signo f (1)
Por ser f (x) continua en [-1,1] y signo f (-1) ≠ signo f (1) se cumplirá el teorema de
Bolzano por lo que existe al menos un x0
(-1,1) / f (x0) = 0, es decir x0
(-1,1) /
x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x – 1 = 0 o lo que es lo mismo, que esta ecuación posee al
menos una solución o raíz que será positiva si f (0) diera negativa y lo da.
f (0) = - 1
0 y f (1) = 6
0  En [0,1] signo f (0) ≠ signo f (1)
a) 1ª Hipótesis: f(x) continua en [-3, 3].
Para a = 8 y b = 2
f(x) es continua en [-3, 3]
b) 2ª Hipótesis: sign f(-3) ≠ sign f(3)
f(-3) = sen (-3) + 2 > 0
sign f(-3) = sign f(3)
f(3) = 8/3 > 0
No verifica Bolzano
Para que una función sea continua, la función debe de estar definida en x = 4
Veamos si hay algun valor de a para que si exista el limite de f(x)
Para que exista limite L1 = L2  8 – 2a = 4  2a = 4  a = 2
Para que una función sea derivable, lo primero que tenemos que comprobar es que
esta función sea continua en (0,) que es donde esta definida.
La función x·Ln x es continua en el intervalo (0,1] en el que esta definida ya que x lo
es por ser un polinomio y Ln x también es continua siempre que no incluyamos el 0.
La función a· (1 – e - x) también es continua en el intervalo (1,) ya que la función
exponencial lo es para todo valor de R.
El único problema que puede existir es en el valor x = 1, por ello estudiaremos la
continuidad de f(x) en x = 1, obligando a que sea continua y buscando el valor de "a"
que lo consiga.
Veamos ahora si para a = 0 , la f(x) es derivable o no.
Para que una función sea derivable, es necesario que f´(x) sea continua en el intervalo
considerado.
Como hemos tomado el valor de a = 0 para que fuese continua,
Como los limites no son iguales podemos asegurar que la f´(x) no es continua, con lo
que f´(x) no es derivable en x = 1 para ningún valor, ni siquiera para a = 0.
Discutir si la ecuación cos x = 2 – x posee alguna solución real positiva
Creamos una f(x) = cos x – 2 + x para comprobar las hipótesis de Bolzano en (0, b)
f(x) es continua
 f(x) es continua en [
]
Enunciar el teorema de Bolzano y utilizarlo para probar que todo
número real positivo tiene raíz cuadrada.
El teorema de Bolzano dice que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado
[a,b] y en los extremos del intervalo toma valores de signos opuestos, es decir sig f(a) 
sig f(b), estas dos hipótesis nos asegura que la f(x) se anula por lo menos en un punto
interior a dicho intervalo o lo que es lo mismo, que f(x) corta al eje OX en algún punto
dentro del intervalo.
A partir de este teorema, se pide demostrar que cualquier numero real y positivo,
posee raíz cuadrada.
Para ello estableceremos una relación (función) entre cualquier numero real "a"
positivo y su raíz cuadrada.
Si x es raíz cuadrada de a ( a > 0) entonces x2 = a ==> x2 - a = 0 .
Mi función será entonces f(x) = x2 - a .
La f(x) es una función continua en toda la recta real por ser una función polinomica de
grado dos.
A continuación vemos como son los signos de mi función en el intervalo (-,+), ya
que nos piden que demostremos para todo R y esto implica la totalidad del eje de
abscisas.
f(-) = (-)2 - a = +
f(+) = (+)2 - a = +
Según Bolzano, como los signos en los extremos del intervalo son iguales, no me
podrá asegurar la existencia de ningún valor de x dentro del intervalo, en el cual la f(x)
se anule. Esto me indica que para cualquier numero real "a" positivo, existirá siempre su
raíz cuadrada.
Escribir la ecuación de la recta tangente a la hipérbola de ecuación
x.y = 6 en el punto de abscisa x = 3. Razonarlo.
tangente será P(3;2)
Sabiendo que la recta tangente es y - y(a) = y'(a) · (x - a) donde a = 3 e y(a) = 2 ,
necesitaremos saber cuanto vale la pendiente de la recta tangente a mi curva en a = 3.
3y - 6 = - 2x + 6 ==> 2x + 3y - 12 = 0
Al existir los limites laterales pero ser distintos , habrá una discontinuidad de 1ª especie
con salto finito único ya que f(0) coincide con uno de los limites laterales.
a) Para que sea continua , basta con que este definida.
El cociente esta definido en R excepto las x que anulan el denominador, que en este
caso es x = - 1
La función será continua en D =
x ∊(-∞,-1)
( -1, ∞)
En x = - 1 la f (x) es discontinua de segunda especie por ser sus limites laterales + ∞
b) Aquí el dominio es R excepto las x que hagan x² - 1= 0 , es decir, x = + 1
(-∞,-1) f. polinómica de grado 1 f(x) continua en R
(-1,1) f. constante  f(x) continua en R
(1, ∞)
f. polinómica de grado 2  f(x) continua en R
En los 3 intervalos la f ‗(x) es continua en R por ser 2 f. continuas y una f. polinómica de grado 1  f(x) es derivable.
f ‗(x) no es continua  f(x) no es derivable
En x = 1 f(x) no es derivable por no ser continua
Mientras no se diga la contrario habrá que buscar la continuidad y la derivabilidad en
toda la recta real.
a) Veamos primero la continuidad.
En (- ∞, - 1) y = x2 + 2x + 2 esta definida en R por ser una función polinómica de
grado 2  f(x) esta definida en (- ∞, - 1) R  continua en (- ∞, - 1).
Continua en x = - 1
En (-1, 1)
y = 1 esta definida en R por ser una función continua  f(x) esta definida en (- 1, 1) R  continua en (- 1, 1).
Continua en x = 1
En (1, + ∞) y = 2x2 – x esta definida en R por ser una función polinómica de grado 2
 f(x) esta definida en (1, + ∞) R  continua en (- ∞, - 1).
f(x) es continua
R.
b) Veamos si es derivable y para ello tenemos que hallar f´(x).
En (- ∞, - 1) y´ = 2x + 2 esta definida en R por ser una función polinómica de
grado 1  f´(x) esta definida en (- ∞, - 1) R  f¨(x) continua en (- ∞, - 1) 
f(x) derivable en (- ∞, - 1)
f´(x) continua en x = - 1  f(x) derivable en x = - 1
En (-1, 1)
y´ = 0 esta definida en R por ser la función continua nula  f´(x) esta
definida en (- 1, 1) R  f´(x) continua en (- 1, 1).  f(x) derivable en (- 1, 1).
f´(x) no es continua en x = 1  f(x) no es derivable en x = 1
En (1, + ∞) y´ = 4x – 1 esta definida en R por ser una función polinómica de grado 1
 f´(x) esta definida en (1, + ∞) R  f´(x) es continua en (- ∞, - 1)  f(x) es
derivable en (1, + ∞)
F(x) es derivable en toda la recta real excepto en el punto de abcisa x = 1
La función no tiene límite ya que uno de sus límites laterales no existe.
Para que una función sea derivable es necesario que primero sea continua.
La función para todo x distinto de 0 y de 3 es continua por ser cociente de dos
polinomios que solo se anulan en estos dos valores 0 y 3.
Estudiemos la continuidad en x = 3 calculando los limites laterales y f(3).
La función es continua en x = 3. Para ver si es derivable deberemos calcular su
derivada y ver si es continua en x = 3
esto nos dice que la f (x) si es derivable en x = 3
Estudiemos la continuidad de f (x) en x = 0 ,
f (0) = - 1
La f(x) no es continua en x = 0, por lo que tampoco será derivable para x = 0.
(- ∞, 1) y = x2 es continua en R por ser una función polinómica de grado 2 
continua en (- ∞, 1) C R.
(1, ∞) y = – x2 + ax + b  a, b  R, f(x) es continua en R por ser una función
polinómica de grado 2  continua en (1, ∞) R.
(- ∞, 1) f '(x) = 2x es continua en R por ser una función polinómica de grado 1
 continua en (- ∞, 1) R f (x) derivable en (- ∞, 1)
(1, ∞) f '(x) = - 2x + a  a  R, f '(x) es continua en R por ser una función
polinómica de grado 1  continua en (1, ∞) R  f'(x) derivable en (1, ∞)
Halla los valores de los números a y b para que la f(x) definida por
resulte derivable
Para que
sea derivable →
ha
Halla el punto P en el que se cortan las funciones
;
. Hallar la ecuación de las rectas tangentes en P a cada
una de las curvas y demostrar que son perpendiculares
(Selectividad Prueba 2005-06)
son perpendiculares ya que mt‘ = mt =
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica y = Ln x , en los
puntos a) x = 1; b) x = e ; c) x = e-1
(-∞,0); y = x; D: (-∞,0)
x
y
x
-1 -1
0 0
0
D; f(x) definida y continua en el intervalo (-∞,0)
y
0
0,34
1 0,47
Si obligo a que f(3) = 6 la f(x) será continua, luego para a = 6  mi f(x) será
continua x  R
En los intervalos [-1, 0) y (0, 1] la f(x) esta definida para todos los x excepto en
x = 0 en la que se anulan los denominadores es decir definida en (-∞, 0) U (0, ∞)  si
es continua en los dos intervalos.

Si queremos que ƒ(x) sea continua en R es necesario que :
En (-∞,3) y = x³ - ax² - 2 es continua
En ( 3,∞) y = x + 4 es continua
Solo para a= ±
a por ser función polinómica
a por ser función polinómica
podemos asegurar que ƒ(x) es continua en R , para los demás
valores de a , los limites laterales de ƒ(x) en x = 3 serán distintos y existiran
discontinuidades de primera especie


No lo contradice, pues la 1º hipótesis no se cumple.
No podemos asegurar que exista x0 en (-2, 3) / f(x0) = 0 , aunque los signos de f(-2)
y de f(3) sean distintos.
La función f(x) = 2senx + 5 ¿toma el valor 6 en el intervalo (0, π/2)?
En caso afirmativo, determina el valor x = c / f(c) = 6
f (0) = 2 sen 0 + 5 = 5
f (π/2) = 2 sen (π/2) + 5 = 7
La f (x) = senx es funcion creciente con lo que f (x) = 2 senx + 5 también es creciente.
Obtener los puntos de la gráfica f(x) = x4 - 7x3 + 13x2 + 3x + 4 en
los que la recta tangente sea paralela a la recta y - 3x - 2 = 0
Para buscar los puntos P(xo,y0) , como la recta tangente que pasa por ellos es paralela
a la recta y = 3x + 2, las pendientes de la recta tangente y de la recta dada, deben ser
iguales.
La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez despejada la y, luego mt = 3
La pendiente de la recta tangente será por tanto mt = 3
Por otro lado, siguiendo la interpretación geométrica de la derivada de una función,
sabemos que la derivada de la función particularizada para un xo debe ser igual que la
pendiente de la recta tangente trazada a la curva por el punto, es decir deberá de valer
mt .
f´(xo) = mt
Calculemos la f´(x) = 4x3 - 21x2 + 26x + 3 e igualemos a 3.
4x3 - 21x2 + 26x + 3 = 3 ===> 4x3 - 21x2 + 26x = 0
x·(4x2 - 21x + 26) = 0
Como vemos, existirán tres puntos de mi curva, de abscisas 0,
tangente geométrica es paralela a la recta dada.
y 2 en los que la
Solo nos falta calcular las ordenadas correspondientes a cada una de las abscisas.
y(2) = 24 – 7· 23 + 13· 22 + 3· 2 + 4 = 22
P3 (2 ,22)
Probar, aplicando el teorema de Bolzano, que la ecuación ex + x = 0
tiene alguna solución real.
Bolzano asegura que si f(x)es continua [a,b]y los signos f(a) y f(b) son distintos 
existe al menos un valor x (a,b) / f(x0) = 0
Si cojo la f(x) = ex + x y un intervalo de la recta real (-1,1) tal que
Como y = ex es continua en R  sera continua en [-1,1]
Como y = x es continua en R  sera continua en [-1,1]
Por lo tanto la y = ex + x sera continua en [ -1,1]
Según Bolzano existe al menos un x0
(-1, 1) /
esto quiere decir que la
ecuación posee al menos una solución real o un punto de corte de f(x) con el eje de
abscisas.
Probar que el f(x) = x + senx – 1 = 0 es continuo xR y que además
existe una raíz real de la ecuación: x + senx + - 1 = 0
Busco este intervalo ya que en el se verifica la 2ª
hipótesis de Bolzano
signo f(a) ≠ signo f(b).
Por Bolzano  xo (0, π/2) / f(xo)
ecuación: x + senx – 1 = 0
que existe al menos una raíz ó solución real de la
Probar que la ecuación: x³ + 2x² - x - 4 = 0 tiene al menos una raíz
real en el intervalo (1,2)
Si llamamos f(x) = x ³ + 2x² - x – 4 , lo que nos está pidiendo es que aseguremos que
existe al menos un xo (1,2) tal que f(xo) = 0 es decir que f(x) corte al eje OX en al
menos un punto del intervalo.
Esto es la tesis del Teorema de Bolzano y para que se verifique, se deben cumplir las
dos hipótesis del Teorema.
a) Que f(x) sea continua en [1,2].
Por ser f(x) una función continua en R ya que es una f.polinómica de grado 3, se puede
asegurar que es continua en [1,2] C R.
b) Que signo f(b) ≠ signo f(a)
signo f(1) ≠ signo f(2)
Al verificar las hipótesis, Bolzano asegura que f(xo) = 0 para al menos un x0 (1,2)
x³ + 2x² - x – 4 = 0 tiene al menos una raíz real en (1,2).
lim f(x) y que la función no sea
¿Puede ocurrir que exista el x
x
0
continua en x 0 ?
Si existe lim es porque sos límites laterales existen y son iguales.
x x0
Si además f(x 0 ) = lim f(x), la f(x) sería contínua.
x x0
La función no será continua en x = x 0 , bien porque f(x 0 ) no esté definida o bien porque
f(x 0 ) exista pero sea 
lim f(x)
x x0
¿Que se puede afirmar de una función continua en un intervalo
cerrado [a,b] que toma valores de signos contrarios en los extremos del
intervalo?.
Se puede afirmar que existe un numero c tal que a < c < b y donde f(c) = 0.
Por otro lado se puede afirmar que la función tiene en [a,b] un máximo, es decir, que
existe un c1  [a,b] tal que f(x) f(c1) para todo x  [a,b] y que verifica que f(c1) > 0
Asimismo, que existe un valor mínimo, es decir, que existe un c2  [a,b] tal que
f(c2)
f(x) y que verifica que f(c2) < 0.
Si llamamos f(c2) = a' y f(c1) = b' puesto que la función toma todos los valores
intermedios entre a' y b' , se puede afirmar que la función transforma el intervalo [a,b]
en el intervalo [a',b'] y de forma que el valor 0  [a',b']
Si damos a f(-1) el valor 3, la f(x) será continua en x = - 1
Sea f(x) = ex + 2. Se pide: a) Representar la gráfica ; b) Hallar los puntos
en los que la recta tangente es paralela a la recta y = x ; c) ¿Hay algún
punto en el que la recta tangente sea horizontal?.
a)
4,7
y=x
y=2
b) Si la tangente es paralela a y = x 
mt = m r = 1
El punto de tangencia seria (0,3) y – 3 = x => y = x + 3
c)
La única tangente horizontal podría ser y = 2 pero al ser la asíntota solo cortará a la
curva en x = - ∞ ; luego no hay ningún punto.
Para dibujar la función modulo, dibujamos y = x2 – x.
x
y
0
½
1
-1
0
-¼
0
2
El vértice será el máximo ó mínimo.
y‘ = 2x – 1; y‘ = 0; 2x – 1 = 0; x = 1/2;
y‘‘= 2
y‘‘
> 0 mín (1/2, 1/4, -1/2) = ( ½, - ¼)
x
x
x
En la figura hacemos positiva toda la parte de
la función que salga negativa.
La función en (-∞,0) es continua par ser función polinómica de 2º grado en (0,1) es
continua por ser función polinómica de 2ºgrado en (1,∞) es continua por ser función
polinómica de 2 grado.
Dibujamos la gráfica: D = R
La tag a la f(x) que pase por (0,0) es la recta y = 0 que corta a f(x) en (0,0)
(-1,0) y (1,0)
(- ∞, 0) y = cos x – 1 es continua por ser función sinusoidal-función constante.
(0, 2) y =
(2, ∞) y =
+a
es continua a por ser función polinómica.
es continua b excepto para x = 1  (2, ∞)
Para b = 6 podemos asegurar que la f(x) es continua en x = -1 y en x = 1
La función que representa los valores particulares dados será:
f(x) = x2 la cual es continua en el origen.
Para que sea continua en [-1, 1] , lo debe ser por la izquierda de -1, por la derecha de 1
y en el (-1, 1).
El problema es que para x = 0  (-1, 1) la f (0) =
1
no está definida, y aunque
0
f(x) exista o no ( en este caso es   ), podemos asegurar que f (x) en x = 0 no es
continua por no estar definido la f (x), ni en [-1,1] , ni en (-1,1)
Geométricamente la f(x) = 4 en [-3, 3) es la funcion copnstante de pendiente 0,
mientras que la f(x) = 7 – x en [3, 7] es una recta de pendiente – 1, por eso la f(x) no es
derivable, ya que sus pendientes por la derecha y por la izquierda de x = 3 no coinciden.
a)
En (-∞, 3)
y = 2x + a esta definida en R para todo valor de a, por ser una funcion
polinomica de grado 1  f(x) definida en (-∞, 3) R 
f(x) es continua en (-∞, 3) .
En (3, ∞) y = x2 – 2x esta definida en R para todo valor de a, por ser una funcion
polinomica de grado 2  f(x) definida en (3, ∞) R 
f(x) es continua en (3, ∞) .
Para que sea continua en x = 1.
Para que pase por el origen (0,0), cojamos f(x) = 2x² + ax + b ya que x = 0 ≤ 1
0=0+a·0+b→ b=0
y
a=-3.
Veamos si f ‗(x) es continua en x = 1.
Para que la tangente sea paralela al eje OX, este tiene


=0→

mt =
= 0.
Hipótesis
¿Se puede asegurar que la función x3 - 3 sen x + 4 toma el valor
cero en algún punto del intervalo [-2,2] ? Razonar la respuesta indicando el resultado teórico utilizado.
Para asegurar que algún x0 [-2,2] haga que la ecuación x3 – 3sen x + 4 = 0 se
verifique, me ayudo de una ƒ(x) = x3 – 3 sen x + 4 que según Bolzano:
Si ƒ(x) es continua en x0 [-2,2] y aquí lo es por ser x3 ƒ polinómica de grado 3 ,
sen x f sinusoidal y periódica y 4 una función constante en las que las tres son
continuas e R y la suma de funciones continuas es siempre continua.
Sig ƒ(-2) ≠ sig ƒ(2)
Con lo que se cumplen las dos hipótesis de Bolzano => Existe al menos un
x0 (-2 ,2) / ƒ(x0) = 0, es decir, existe algún valor de x que verifique la ecuación
x3 – 3 sen x + 4 = 0 dentro del intervalo (-2,2)
¿Se puede asignar un valor a f(0) para que la función definida por
Con solo hacer que f(0) = 1 , hace que la función sea continua.
Para que f(x) sea continua en basta [0,5] con observar la continuidad en x = 2
Además f(0) = f(5) ;
x y
0 0
1 -3/2
2 -1
-1 1 + 5/2
x y
2
3
4
5
-1
-2 +
-2 +
-2 + 2 = 0
Para que sea derivable antes debe ser continua en x = 2
y derivable en x = 2, para lo cual la derivada debe de ser continua
Además f(0) = f(5)

Un cierto día , la fuerza las olas , medida en Nw , en función del tiempo t ( en horas ) es F(t) = | 400- 50 t |. Si la fuerza es menor que 50 Nw,
no se puede practicar surfing porque el mar esta demasiado en calma.
Si es superior a los 200 Nw , las normas de seguridad impiden practicarlo. Con estos datos , si t varia desde las 0 a las 24 de ese día ¿ en que
horario puede practicarse surfing?
400---------------------------------200-------------------------50-----------0
x1
8
x2
16
24
-400 + 50t t>8
F(t)= | 400 - 50t | =
0
t=8
400 + 50t
t<8
400 - 50t < 50 ; 350 < 50t ; t > 7
-400 + 50t < 50 ; 50 t < 450 ; t < 9
Entre los tiempos 7 y 9 horas la F es < 50 y no se practica
400 - 50t > 200; -50t > -200 ; 50 t < 200 ; t < 4
-400 + 50t > 200 ; 50 t > 600 ; t > 12
Entre los tiempos 0 < t < 4 y 12 > t > 24
la F es > 200 y las normas de
seguridad impiden practicarlo.
Solo se practicara surfing entre las horas 4 y 7 y entre las horas 9 y 12 .
DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD
Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función
f(x) = x2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar xo
El teorema de Lagrange dice que:
f(3) - f(-1) = f ´(xo) [3- (-1)]
donde f´(x) = 2x + 4  f´(xo) = 2xo + 4
f (3) = 32 + 4·3 - 2 = 19
Como
f(-1) = 1 - 4 – 2 = - 5
Aplicando el teorema 19 – (-5) = 4·(2 xo + 4)  24 = 4 · (2 xo + 4) ; 6 = 2 xo + 4 ;
2 xo = 2 ;  xo = 1
[-1,3]
Aplicar el teorema del valor medio a la función f(x) en el intervalo
indicado, calculando el valor e que predice el teorema. Interpretarlo
geométricamente.
a) f(x) = senx en [0, /2] b) f(x) = x4 - 3x2 en [0, 2]
c) f(x) = cosx en [-/2, /2] d) f(x) =
en [0,4]
a) f(x) = sin x es continua en [0, /2] por ser función sinusoidal de un polinomio
f ‗(x) = cos x es continua en (0, /2)
f(x) es derivable en (0, /2)
La tag en xo es paralela a la cuerda.
b) f(x) = x4 - 3x2 es continua en [0, 2] por ser función polinómica
f ‗(x) = 4x3 - 6x es continua en (0,2)
2
-1
0 -3 -1
-2 2 1
2 -2
-1
x=-1
f(x) es derivable en (0,2)
(0,2)
2x2 - 2x - 1 = 0
0
La m c = = 2
En xo =
; f ‗(xo) = 2
En xo =
; f‗(xo) = 2
Las tangentes en cada xo son paralelas a la curva.
c) f(x) = cos x es continua en [-/2, /2] por ser función sinusoidal de un polinomio
f ‗(x) = - sin x es continua en (-/2, /2) =>
f(x) es derivable en (-/2, /2)
En xo = 0, la mt = 0
mc = 0 por ser la recta y = 0 la cuerda entre A y B
La tangente es paralela a la recta

La m c = tg 
En xo= 1 mt = 1/2 = f ‗(1)
La tg en x = 1 es paralela a la cuerda AB
Aplicar Rolle, hallando el x0 , a la f(x) = x ⅔ en [-1 , 1]
Calcula el valor de a, para la recta tangente a la gráfica de función
y = f(x) = - ax 2 +5x - 4 en el punto de abscisa 3 corte al eje X en el
punto x = 5.
y- yo = mt· (x - xo)
mt = y‘
xo = 3
(3) = - 6a + 5
Para y = 0 ; x = 5
y - (- 9a + 11) = (- 6a +5) (x - 3)
0 + 9a – 11 = (- 6a + 5)·(5 - 3)
9a – 11 = - 12 a + 10 ;
yo = 2,
mt
=-1
yo = - 9a + 15 – 4 = - 9a +11
21 a = 21; a = 1
Ecuación tangente: y – 2 = - 1· (x - 3)
Calcula y expresa lo más simplificadamente posible la derivada de:
Calcular la derivada en el punto x = 0 de la función f(x) = x · arc tg(x2)
Calcular simplificando todo lo posible el resultado, la derivada de las
funciones : a) f(x) = Ln
·(x+
; b) g(x) =
)
(x+
)
0
a)
, por ser una

b)
en el intervalo [-2, b]. Calcular
de grado 1, continuas  x
1 y 0, continuas  x
Ǝ xo
R
R => f(x) derivable en (-2, b)
(-2, 10) / f‘ (xo) = 0
a)
f(x) es continua en [0,2]
b)
c)
Dada la parábola de ecuación y = x2 - 2x + 5, se considera la recta
r que une los puntos de esa parábola, de abscisas x1 = 1 y x2 = 3.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela
a la recta r.
Calculemos las ordenadas de los puntos P y Q de la recta r
P(1, 1 - 2 + 5) = (1, 4)
Q(3, 9 - 6 + 5) = (3, 8)
Calculemos la ecuación de la recta r, donde su vector es PQ = (2, 4)
su pendiente es
=2
Por otro lado, la pendiente de la recta tangente a la curva, se calcula hallando la
derivada de la curva, particularizada para la abscisa del punto.
y' = 2x - 2 ==> m = y'(xo) = 2xo - 2
Igualando las dos pendientes 2xo - 2 = 2 ==> 2xo = 4
xo = 2 y la yo = 5 El punto de tangencia será T(2, 5)
La ecuación de la recta tangente será: y - 5 = 2 · (x - 2) ===> y = 2x + 1
Dadas las funciones f(x) = x² + π y g (x) = sen x + cos x , calcula
la derivada en x = 0 de las funciones f [g(x)] y g[f(x)] .
h (x) = f [g(x)] = ( sen x + cos x)² + π
h‘ (x) = 2 · (sen x + cos x ) · (cos x – sen x) = 2 (cos² x - sen² x)
h‘ (0) = 2 · (1 – 0) = 2
i (x) = g [f(x)] = sen ( x² + π) + cos (x² + π)
i‘ (x) = 2x · cos (x² + π) – 2x· sen (x² + π)
i‘(0) = 0· cos π – 0· sen π = 0
Demostrar que, cualquiera que sea el número real a, la ecuación
x + 10x + a = 0, no tiene nunca dos soluciones reales.
5
Supongamos que la ecuación si tiene dos soluciones reales distintas x1, x2 y que
x1 < x2
La función f(x) = x5 + 10x + a = 0 es continua y derivable en todo R, por ser una
función polinomica.
En consecuencia la f(x) es continua en el cerrado [x1,x2] y derivable en el abierto
(x1,x2).
Como además, la f(x1) = f(x2) = 0 por ser soluciones de la ecuación, si aplicamos el
teorema de Rolle a mi f(x), debería existir un punto xo  (x1,x2) que verifique:
f '(xo) = 0 y como la f '(x) = 5·x4 + 10 = 0 no tiene soluciones reales, no existirá ningún
valor real xo que verifique Rolle.
En consecuencia final, la f(x) no puede tener dos soluciones reales, ya que no existe ni
máximo ni mínimo  la función será siempre creciente o decreciente.
Demostrar que la ecuación x3 + 6x2 + 15x - 23 = 0 no puede tener
más de una raíz real.
Consideremos la función f(x) = x3 + 6x2 + 15x - 23 en la que el dominio de mi
función es toda la recta R.
Si calculamos f '(x) = 3x2 + 12x + 15 podemos calcular que dicha derivada es siempre
positiva, para ello podemos ver que la ecuación f '(x) = 0 no se verifica para ningún
valor de x ya que la ecuación 3x2 + 12x + 15 = 0 no tiene soluciones reales.
Esto nos indica que f '(x) mantiene siempre el signo constante y además será siempre
positiva ya que f '(0) = 15 > 0.
Al ser f '(x) > 0 nos dice que la f(x) es siempre creciente para todo valor de R y al
pasar de - a + la función se anulara en algún valor de x, pero solo en un punto, con
lo que la ecuación inicial tendrá solo una raíz real.
Demostrar que la ecuación x18 - 5x + 3 = 0 no puede tener mas de
dos raíces reales.
Si consideramos la función f(x) = x18 - 5x + 3 , las raíces de dicha ecuación serán los
números x para los que se cumple que f(x) = 0.
Si calculamos la derivada de f(x)
f '(x) = 18x17 - 5 ; Hagamos f '(x) = 0 ==>
Al ser una raíz de índice impar, la derivada se anulara para un solo valor de x, con lo
que según el Teorema de Rolle, existirá un solo máximo o un solo mínimo y por tanto la
función f(x) solo podrá cortar al eje de abscisas en dos puntos, con lo que la ecuación no
puede tener mas de dos raíces reales.
Derivar las siguientes funciones
Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal
(recta perpendicular a la tangente) en el punto de abscisa 0, a la
gráfica de la función dada por: f(x)=2·x·
= 2·(x - 0) => y
(x - 0) =>
Determinar el valor de a para que la recta tangente a la gráfica de la
función y = f(x) = x4 + ax en el punto x =0 sea perpendicular a la recta
y +x = 3.
mt = y‘(0)
La recta
y = - x – 3 tiene de pendiente mn = - 1
y‘ = 3x2 + a
mt = (y‘(0)) = a
Al ser perpendiculares mt ∙ mn = - 1
a·(-1) = - 1
a=1
Determinar un punto sobre la parábola y = x2 comprendido entre
los puntos A(1,1) , B(3,9) en el que la tangente a la parábola sea paralela a la recta AB.
Si aplicamos Lagrange a los extremos a = 1 y b = 3 en donde
la f(b) = 9 y la f(a) = 1
Como
9 - 1 = (3 - 1) · f '(xo)
Como la f '(x) = 2x
8 = 4 · xo ==> xo = 2
f(b) - f(a) = (b - a) · f '(xo)
y la yo = 4
El punto será (2, 4)
Discutir si la ecuación cos x = 2 – x posee alguna solución real
positiva. ¿Puedo asegura que hay una sola solución?
Creamos una f(x) = cos x – 2 + x para comprobar la hipótesis de Bolzano en [0, b].
 
 
 f(x) es continua xR
Signo f(0) = cos 0 - 2 + 0 = 1 - 2 = - 1 0
Signo f(/2) = cos /2 – 2 + /2  0
Signo f() = cos  – 2 +  = - 3 +   0
en  0,   o mejor en  /2,   => Signo f (/2)  Signo f()
Existe al menos un x0  (/2,  )  f(x0) = 0 
 Existe al menos una solución real positiva en (/2, )
Como falla la 3ª hipótesis de Rolle f(/2)  f()
No puedo asegurar la existencia de máximo o mínimo  f(x) es siempre creciente o
decreciente y eso implica que en (/2, ) hay un solo valor en el que f(x0) = 0
En la ecuación de la recta y = mx + b, explicar como se determinarían los números m y b para que sea tangente a la gráfica de la función
y - f(x) en el punto de esta de abscisa p.
Por ser m la pendiente de la recta ==> m = f '(p)
La ecuación de la recta que pasa por (p, f(p)) y tiene por pendiente f '(p) será:
y - f(p) = f '(p) · (x - p) y despejando la y queda:
y = f '(p) · x – f '(p) · p + f(p) Identificando con la ecuación de la recta podemos
sacar que b = - f '(p).p + f(p)
En el segmento de parábola comprendido entre los puntos A(1, 1) y
B(3, 0), hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda.
Aplicando la interpretación geométrica de Lagrange.
Si f(x) = ax² + bx + c
por pasar por A y B
Además f´(x0) = m ; Si la recta AB es de la forma
y - 0 = m ·(x - 3)
¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = │x – 1│ en el
intervalo [0,2]?
No es derivable por no ser f ´(x) continua en x = 1

Para que f(x) sea continua es necesario que los limites laterales coincidan y que f(x) este
definida en [-



al menos un punto del cerrado.
Estudiar si se cumplen las hipótesis de Rolle para la función
f (x)= x³ - 9x en [-3,3] y si es cierto, comprobar la existencia de al
menos una raíz real de f´(x) = 0 en el intervalo considerado.
a) f (x) es continua por ser un polinomio de grado 3
b) f´ (x) = 3x² - 9. Por ser f´(x) un polinomio de grado 2, f´(x) escontinua
derivable en (-3,3)
Verifica Rolle
xo f´(xo) = 0 ; 3xo² - 9 = 0 ;
f(x) es
Explicar en que consiste la regla de la cadena para derivar una
función compuesta. Como aplicación, derivar la función
f(x) = arc sen 2x · (1 - x2)1/2
La regla de la cadena se utiliza para hallar la derivada de funciones compuestas.
Si f(x) = g(h(x)) entonces f '(x) = g'( h(x) ) · h'(x)
En nuestro caso h(x) = 2x · (1 - x2)1/2 con lo que
Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la
gráfica de la función g(x) = |
en el punto de abscisa x = 2
=>
Halla las ecuaciones de la recta tangente y normal a las siguientes
curvas en los puntos que se indican.
en
(x - 4) =>
en
;
= 45º=
Hallar la derivadas de las funciones :
a) y = xsin x
y = xsin x ; Ln y = Ln xsin x = sin x · Ln x ; y´/ y = cos x · Ln x + sin x · 1/x ;
y´= (cos x · Lnx + sen x / x ) · xsenx
b) y = (senx)x
y =( senx)x ; Lny = Ln (senx)x = x · Lnsenx ; y´ / y = Ln(senx) + x · (cos x / sen x) ;
y´ = [ Ln(senx) + x · cotgx) ] (sen x ) x
c) y = 2senx
y = 2 senx ; y´ = cos x · 2 senx · log 2
d) y = sen3x
y = sen3x ; y´= 3 sen2x · (senx)´ = 3 sen2x · cos x
Hallar la función derivada de y = (1 - cos x ) . cotg x
Si llamo u(x) = 1 - cos x y v(x) = cotg x
y' = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)
Hallar la derivada primera, segunda, tercera, cuarta ...
Escribir la expresión simplificada de la derivada de orden 18 de esa
función.
La ecuación ex = 1 + x tiene evidentemente la raíz x = 0. Probar
que no tiene más raíces reales.
El que tenga la raíz x = 0 se comprueba ya que e0 = 1 + 0
Ahora bien, si estudiamos la función y = ex - x - 1 podemos calcular sus máximos
o mínimos.
y' = ex - 1 ==> y' = 0 ==> ex - 1 = 0 ==> ex = 1 ==>
Ln ex = Ln 1 ==> x = 0 es posible máximo o mínimo.
y'' = ex ==> y''(0) = e0 > 0 ==> Mínimo en (0,0)
Al no existir ningún otro máximo ni mínimo en mi función, esto quiere significar
que la función será siempre decreciente hasta llegar al x = 0, y que después del x = 0
será siempre creciente.
Por ello puedo asegurar que mi función no volverá a anularse para ningún otro valor
de x, o lo que es lo mismo, que la ecuación ex = 1 + x no se verificara para otro valor
que no sea el cero ya observado.
Al estar el radicando elevado al cuadrado, este sera siempre > 0 y
f(x) sera continua en toda la R.
f(x)
verifica Rolle : No podemos asegurar que exista x0 (0, 4) / f´(x0) = 0

f(x) es continua en x = 0
f(x) no es derivable en x = 0
b) No existe contradicción ya que al no ser derivable en x = 0 perteneciente (-1,1)
no se verifica Rolle a pesar de que f (-1) = f(1) = ½ pero Rolle no niega que exista un
x0
(-1,1) / f´(x0) = 0 sino que no lo puede asegurar, aunque en este caso si que
existe x0 = 0 tal que f´(0) = 0
Sea una función f (x) tal que f (x) y f´(x) son continuas en todo R.
Demostrar si f(y además la única raíz real de f´(x) es, esto
implica que la única raíz real de f(x) = 0 es 

Para demostrarlo supongamos que existe R / 

Si supongo que f( ) = 0 f´() = 0 esto nos indica que si existe un valor  que hace
su derivada 0.
Esto nos implica que exista una raíz real para f´(x), que sería  en contra del enunciado que nos dice que la única raíz real de f´es 

El teorema de Rolle dice que si f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b), además de
que f(a) = f(b) => x0 / f ‗(x) = 0.
Aquí me dicen que la f(x) tiene como derivada f ‗(x) = sen x²; si ésta f ‗(x) es continua en
R lo será en el
Como la función sin x² es continua siempre que lo sea x² y ésta es una función
polinómica continua en R luego f ‘(x) = sin x² es continua en
y por tanto es
derivable en
.
Si f(x) es derivable, antes ha tenido que ser continua en
. Rolle me dice que
además f(0) = f
y como f(0) = 0
f
= 0 para que se verifique el teorema.
Se considera la parábola y = 2x2. Determinar un punto de la misma
en el que la tangente a la parábola sea paralela a la recta que pasa por
los puntos de la parábola A(1,2) y B(2,8)
Se aplica la formula de Lagrange f(b) – f (a) = (b – a) · f ´(xo);  f ´(x) = 4x

a) Determinar m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del
valor medio en el intervalo [-4,2].
b) Hallar los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema.
PAU Junio 1999
a) Para que se verifique Lagrange, la f(x) debe ser continua y derivable en [-4,2]
Obliguemos a que sea continua en [-4,- 2), (- 2,2] y en x = - 2
En los intervalos será continua m,n por ser f. polinómicas.
.
Calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x=3 ,
y para ello, calcularemos la pendiente de la recta.
x + 9y - 6 = 0
Calculemos los puntos de corte de la tangente con los ejes
Si el termino independiente de un polinomio en x es igual a 3 y el
valor que toma ese polinomio para x = 2 es 3, probar que su derivada
se anula para algún valor de x; razonar que ese valor pertenece a un
cierto intervalo que se especificara.
Llamemos P(x) = an ·xn + an-1 · xn-1 + ... + a1 ·x + 3
P(0) = an · 0 + an-1 · 0 + ... + a1 · 0 + 3 = 3
Además nos dicen que P(2) = 3, por tanto P(0) = P(2) = 3.
Como P(x) es función continua y derivable en toda la recta real podremos aplicar el
Teorema de Rolle, con lo que existe un valor x = a en el intervalo (0,2) tal que P'(a) = 0
Si f(x) = 2 + x3·(x - 2)2 probar que la ecuación f´(x) = 0 posee al
menos una raíz en (0, 2) sin calcular su derivada.
Para que xo sea raiz es necesario que f´(x0) = 0
Se aplica Rolle, por ser f(x) continua en [0,2] y derivable en (0,2) y además
f(0) = 2 + 03· (0 – 2)2 = 2 ;
f(0) = f(2)
f(2) = 2 + 23·(2 – 2)2 = 2
al verificarlo
x0
R / f´(x0) = 0
Por Lagrange f(2) - f(0) = f´(x0) ·[2 – 0]
2 – 2 = f´(x0) · 2 ;
0 = f´(x0) · 2;
f´(x0) = 0
Si la derivada de una función f es positiva para todos los valores de la
variable. ¿Puede haber dos números distintos a, b, tales que
f(a) = f(b)?. Razonarlo.
Si fuera f(a) = f(b) para dos números distintos a y b, puesto que f es derivable,
también es continua y podría aplicarse el teorema de Rolle.
Habría entonces un numero c entre a y b, tal que f '(c) = 0, lo cual es imposible ya que
f '(x) > 0 para todo numero x, según dice el enunciado. Luego no puede haber dos
números distintos a, b, tales que f(a) = f(b).
Para buscar el punto de corte de la tangente con el eje OX resolveremos el sistema:
luego la tangente corta al eje en Q (2x, 0)
Para ver que los triángulos formados son isósceles solo será necesario demostrar
que:
d(OP) = d(PQ)
ESTUDIO LOCAL DE LA FUNCIÓN
Dominio : x
Calcular máximo, mínimo, Punto de Inflexión, intervalos crecimiento y decrecimiento e intervalos de curvatura de la y = (x – 1)3
y´ = 3· (x – 1)2; y´= 0  3· (x – 1)2 = 0 → x – 1 = 0 ; x = 1 posible max, min
y´´ = 6· (x – 1) ;
y´´´ = 6
y´´(1) = 6· (1 – 1) = 0 ? Hay que buscar la tercera
y´´´ (1) ≠ 0 Hay un PI en x = 1 => PI (1,0)
Como el dominio es toda la recta real f(x) es creciente en x = 1, no existe max, min
con lo que f(x) es creciente
R
y´´(x) > 0 ; 6·(x – 1) > 0 ; x – 1 > 0 ; x > 1
(1 ,
y´´(x) < 0 ; 6·(x – 1) < 0 ; x – 1 < 0 ; x < 1
(- ∞ , 1) ramas hacia abajo
ramas hacia arriba
Calcular puntos notables, e intervalos de monotonía y curvatura de
D=R–
1
1
=
e2
e2
(0,
e3/2
0
Calcular puntos notables, intervalos de monotonía y curvatura de la
función: y =
D=R- 0
=
=
=0 ;
=
=0 ;
=
=0 ; x=
=
= >0
=
<0
=0 ;
1 posibles máx. , min.
=
min. (1,2)
máx. (-1,-2)
=0 ; 2=0
P.I.
Monotonía de f(x)
, -1) x = -2 ;
Creciente
(-1, 0) x = -0,5 ;
Decreciente
(0, 1) x = 0,5 ;
(1,
Creciente
Decreciente
)x=2 ;
Creciente
, -1) (1,
)
;
Decreciente
(-1, 0)
(0, 1)
Curvatura de f(x)
>0 ;
>0
,0) x = -1 ;
)x=1 ;
=
= >0
<0
+
-
,0)
)
Existen los intervalos de monotonía (-∞,-3),(-3,-1),(-1,1),(1, ∞) que hay que estudiar:
El único valor que divide la recta real es donde no está definida es decir en x = - 1
Para todo x < -1
Para todo x > -1
y´´< 0 la f(x) tiene ramas hacia abajo
y´´> 0 la f(x) tiene ramas hacia arriba
Dada la función y = x
, se pide: Dominio y corte con los ejes.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
y=x
D: 5 No
0;
Si
No
│
│
x=0
=5; x=
y=0·
Los puntos de corte son: (0,0), (
=0
, 0), (-
,0)
;
D: (-
,
)
-
-
Dada y = x2 . e x .Calcular sus asíntotas.
Dominio: x
x
R ya que x2 y e x están siempre definidas,
R tal que y → +.
No existe A.V
A.V
Dada y = 3 sen x – sen 3x hallar intervalos de monotonia
Dominio:x  R por ser funciones sinusoidales
----[-----------------x---------------------]--/ 2


(
-∞
)(
)(
-√3
)(
-1
)(
)
1
√3
+∞
Dada y =
calcular asíntotas, intervalos de monotonía y
máximos y mínimos.
D = R – { x = 2, x = 3} =
x
∞
x
∞
x
(- ∞, - 2)
x
(- 2, 3)
∞
x
(3, ∞)
x
∞
∞
x
∞
Creciente : x
Decreciente:
(-12, 2)
x
(3, ∞)
(-2, 0)
(-∞, -12)
(0, 3)
Determinar los intervalos de monotonía y hallar máximos y mínimos
de y = 3· x5 + 5· x3 – 30· x
El dominio es toda la recta real por ser un polinomio de grado 5
Busquemos los valores de y´(x) = 0
Dividimos toda la recta real en tres intervalos
(
-∞
x
-1
x
+1



)
+∞
Dada y = 3.
intervalos de monotonía, máximos y mínimos
Dominio: como y =
también lo estará
está definida x R, la función exponencial
Monotonía:
y´ = 3 · (2x - 4) ·
;
y´ = 0
Sólo x = 2 es posible máximo o mínimo
(-∞, 2) x = 0
(2, ∞) x = 4
y´(0) = - 12 < 0 => Decreciente x (-∞, 2)
y´(4) = 3
> 0 => Creciente x (2, ∞)
Mínimo (2, 3
Determinar los intervalos de curvatura y hallar los puntos de inflexión
El dominio es todo x R ya que la funcion exponencial esta definida en los valores
en los quer lo están su exponente y aquí es un polinomio de grado 2.
Para estudiar los intervalos de curvatura, dividimos toda la recta real (Dominio) en sus
dos posibles valores de
)x(
-∞
)x(
+
+∞
Determinar los intervalos de curvatura y hallar los puntos de inflexión de y = x2 · Ln x
Para estudiar la curvatura y´´(x0) = 0
y´ = 2x · Ln x + x2 · 1 / x = x + 2x · Ln x
y´´ = 1 + 2 · Ln x + 2x · 1/x = 3 + 2 · Ln x
y´´ = 0  3 + 2 · Ln x = 0  2 · Ln x = - 3  Ln x = - 3/2
e Ln x = e - 3/2  x = e - 3/2
Para estudiar los intervalos de curvatura se toma el dominio y se incluye el posible P.I
(
0
)x(
e - 3/2
+∞
(0, e - 3/2 )
x = 0,01
(e - 3/2, ∞)
x = 1  y´´ (1) = 3 + 2 · Ln 1 > 0 ramas hacia arriba.
 y´´ (0,01) = 3 + 2 · Ln (0,01) < 0 ramas hacia abajo
Como en x = e - 3/2 aparece un cambio de curvatura 
Hay un P.I en (e - 3/2 , - 3/2 · e - 3)
Determinar los intervalos de curvatura y hallar los puntos de inflexión de y = x – sin x en el [-π, π]
El dominio es toda la recta real ya que y = x es un polinomio e y = sin x es una
función sinusoidal, por lo que estará definida en [-π, π]
Calculemos la y´´
En los extremos x = π y x = - π hay P.I aunque no los podemos asegurar.
Determinar los intervalos de monotonía y hallar máximos y mínimos
de y = Ln (x2 + 3x + 2)
La función está definida para los valores de x en los que x2 + 3x + 2 > 0
Resuelvo x2 + 3x + 2 = 0 
Busquemos los intervalos en los que esta definida
(
-∞
x
-2
x
-1
)
+∞
(-∞ , -2) x = - 3  y(- 3) = Ln (9 – 9 + 2) = Ln 2 Si hay curva.
(-2 , -1) x = - 1,5  y(- 1,5) = Ln ( 2,25 – 4,5 + 2) = Ln (- 0,25) No hay curva
(-1, +∞) x = 0  y(0) = Ln 2 Si hay curva
Dominio : x ε (-∞ , -2)
(-1, +∞)
Para buscar los intervalos de monotonía, calculemos la y´
Estudiamos los mismos intervalos que los de dominio pero con la y´


Determinar los intervalos de monotonía y hallar máximos y mínimos
El denominador no se anula nunca ya que x2 + 8 nunca puede ser nulo ni negativo.
El dominio es toda la recta real.
y´= 0  - 4x = 0  x = 0 es el posible max o min y el valor de x que separa el
intervalo de monotonia en dos


Determinar los intervalos de monotonía y hallar máximos y mínimos
de y = x - Ln (1 + x)
El Dominio de la función sera el que posea el logaritmo
1+x>0  x>-1
es decir Dominio: x
(
-1
(- 1, ∞)
x
0
)
+∞


Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones, estudiando
los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
a) y = x · ex
b) y = x · e - 2x
a) y = x · ex
D=R
Por serlo x y por serlo ex
y ´ = ex + x · ex = (1 + x) ex ; y ´ = 0 ; (1 + x) ex = 0 

y ´´ = ex + ( 1+ x ) ex = ex ( 1 + 1 + x) = ex ·( 2 + x)
y ´´ (-1) = e - 1 (2 - 1) > 0
Mínimo (-1, - 1/ e )


b) y = x · e - 2x
D=R
Por serlo x y por serlo e - 2x
y ´ = e - 2x + x (-2) e -2 x = e - 2x (1- 2x) ; y´ = 0 =>
y ´´ = -2 e - 2x ( 1- 2x ) + e - 2x ( -2) = e - 2x ( -2 + 4x - 2) = ( 4x - 4) e - 2x

y ´´( ½) = ( 4 · ½ - 4) e-1
(- , ½ )
x=0
(1/2,  )
x=1
<0
Max en ( 1/2 , 1/2 · e-1) = ( 1/2 , 1/2 e )
y ´( 0 ) = e 0 ( 1 – 0 ) > 0 Creciente
y ´ (1) = e - 2 (1 - 2) < 0
Decreciente
Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones, estudiando
los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
a) y = x ln x ; b) = x e-x
a) D : x > 0 pues sino el Ln x no estaría definido
b)
D = R pues e - x está definida para todo x R
y´= e - x + x (-1) e - x = e - x - x e - x = ( 1 - x) e - x
y´´ = - 1 e - x + ( 1- x ) (-1) e - x = - e - x - (1 – x) e - x = e - x ( -1 - 1 + x )
y´´ = ( x - 2 ) e - x ; y´´ ( 1 ) = ( 1 - 2 ) e - 1 < 0 Max ( 1, 1/e )
Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones, estudiando
los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
y = 1+ 2x – x 2
y = 2· x 1/3
y = 1 + 2x – x2
D=R
por ser función polinómica
y ´ = 2 – 2x ; y ´ = 0
y ´´ = -2
------)-(--------1

2 – 2x = 0
; y ´´ (1) < 0
;
x=1
Máximo ( 1,2 )
(- , 1 )
x=0
y ´ (0) = 2 - 0 >0
Creciente
( 1,  )
x=2
y ´ (2) = 2 - 4
Decreciente
< 0
Hallar los máximos y mínimos y los intervalos de crecimiento y
f ( x)  3e x
2
4 x
f ( x)  3  (2 x  4)  e x
si f‘(x) = 0  2x - 4 = 0  x = 2
2
4 x
Como la exponencial no se anula nunca
f ( x)  6 e x
Para x = 2 en el que f ‘(2) = 0  f ‘‘(2) = 6e-4 =
2
4 x
 (6 x  12)(2 x  4)e x
2
4 x
y positiva (>0).
Para x = 2 la primera derivada no nula es de orden par (k = 2) con lo que la función no
es creciente ni decreciente.
Como y‘‘(2) > 0   un mínimo en x = 2 , y  3e 4 es decir para
mínimo.
Para x < 2  y      e x
2
4 x
existe un
       y  < 0 luego decreciente para x < 2.
Para x > 2  y         y   0  0 luego es creciente para x > 2.
Hallar los máximos y mínimos y los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función f ( x) 
1
x3
f ( x) 
1
la f(x)no está definida para x = - 3.
x3
f ( x) 
1
x  32
si f‘(x) = 0 
x
max ni min
Pues no hay ningún valor que haga la derivada primera nula.
x  3 que es el único punto en donde puede existir variación la f‘(x) < 0 ; x  3
es estrictamente decreciente.
La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y
viene expresado por 40 + 15t -9t2 + t3, donde t es el tiempo en horas,
transcurrido desde que comenzó el estudio (t=0). Indicar los instantes
de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los itinerarios en que esta crece o decrece.
La ecuación de la virulencia es V = 40 + 15t - 9t2 + t3
El máximo o mínimo aparecerá para V´=0
V`= 15 - 18t + 3t2
V´= 0
3t2 - 18t + 15 = 0; t2 - 6t + 5 = 0
Para ver cuándo es máxima o mínima la virulencia
V´´= 6t - 18;
Obtener máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión de la
función f(x) = x · (Lnx)2
(Selectividad Junio 2007-08)
El dominio son los valores de x que hacen que
Solo los x > 0 poseen Ln(x) , x ≤ 0
Ln(x).
Ln(x).
D =  x > 0 , D =  x  (0, ∞)
f´(x) = (Ln x)2 + (x) · (2) · (Ln x) · (1/x) = (Ln x)2 + 2 Ln x
f´(x) = 0 , (Ln x)2 + 2 Ln x = 0 , Ln x· [x+2]=0
Para Ln x = 0 ----> e Ln x = e 0 , x = 1 Es posible Máximo o Mínimo
Para Ln x = - 2 -----> e Ln x = e - 2 , x = - 2 También es posible.
y´´ = 2· (Lnx)·
+ (2)·
y´´(1) = 2/1 · [Ln1 + 1] > 0
=
· [Lnx + 1]
MIN (1, 0)
Posibles P.I.
y´´ =0 ,
· [Ln x +1] = 0 -----> Ln x + 1 =0 , Ln x = -1
eLn x = e - 1 , x =
Posible P.I
intervalos de curvatura.
Obtener PI e Intervalos de curvatura de y = x2 · lnx
Curvatura:
¿Podría explicar el concepto de máximo relativo de una función y su
diferencia con el de máximo absoluto?.
Diremos que f(x) posee un máximo relativo en x = a, si existe un entorno de (a, E(a)),
tal que para todo valor de x perteneciente a dicho entorno, se verifica que f(x) f(a)
Diremos que f(x) posee un máximo absoluto en un intervalo perteneciente al dominio
de nuestra función, si para todo valor de x perteneciente al intervalo, se verifica que
f(x) f(a).
La diferencia está en que el máximo absoluto es el mayor de todos los máximos
relativos existentes en el intervalo definido.
Razonar porque la gráfica de la función y = 2x + cos x no puede
presentar extremos relativos.
Entendiendo por extremos relativos, a los máximos y mínimos de la función y
sabiendo que la condición necesaria para la existencia de máximos y mínimos de una
función, es que su y' valga 0, podemos buscar en nuestra función, si existe o no algún
valor de x que satisfaga la condición.
y = 2x + cos x ==> y' = 2 - sin x y como la y'(x) = 0
2 - sin x = 0 ==>
sin x = 2 . Esto es imposible para ningún ángulo, ya que el seno de un ángulo se
encuentra siempre acotado entre los valores +1 y -1 y nunca podrá valer 2
Si la función f es creciente y derivable para todo valor de la variable independiente, ¿puede ser f '(x) = 0 en algún punto x?. ¿puede ser
f '(x) < 0 en algún punto x ?.
Sabemos que si la función es creciente, se deberá cumplir que la f '(x) sea > 0.
Ahora bien, en el caso de que exista un punto de inflexión con tangente horizontal,
la f(x) puede ser creciente a la derecha y a la izquierda de dicho punto, siendo la
f '(x) = 0 en dicho punto.
En cambio, la f '(x) nunca podrá ser negativa para ningún valor de la variable x, ya
que entonces la función seria decreciente.
Si la función f tiene derivadas primera y segunda y además
f '(a) = 0 y f''(a) = 0, ¿puede presentar f un máximo relativo en el punto
a?. En caso afirmativo, mostrar un ejemplo.
La función puede presentar un máximo relativo siempre que la f'''(a) = 0 y la
f 4(a) < 0, es decir, siempre que la primera derivada particularizada distinta de cero sea
de orden par
Por ejemplo f(x) = -x4  la f '(x) = -4x3 = 0 ==> x = 0
f ''(x) = -12x2 ==> f ''(0) = 0
f '''(x) = -24x ==> f '''(0) = 0
f 4(x) = -24 ==> f 4(0) < 0
En nuestro caso, la primera derivada particularizada distinta de cero es de orden
cuarto, luego en x = 0, existe un máximo relativo.
Además, la f ´(x) pasa de ser positiva antes de llegar a cero (creciente), a ser negativa
después de cero (decreciente) ==> existe en x = 0 un máximo relativo.
REPRESENTACION GRAFICA.
Calcular puntos notables así como intervalos de monotonía y
curvatura de:
x² - 1= 0 ; x² = 1 ; x =  1 son los valores de x que anulan el denominador
D = R-  1
y´(x) = 0 ; - 4x = 0 ; x = 0
posible max , min
Monotonia:
x)(x)(x)(x
-2
-1 -0,5 0 0,5 1
2
 

 
 
 
Creciente
Decreciente
x (-, -1)  (-1, 0)
x(0, 1)  (1, )
Intervalos de curvatura:
y´´(x) = 0 ; 12 x² + 4 = 0 ;
;
no existe P.I
Separamos solo en los intervalos del dominio
x)(x)(x
-2
-1
0
1
2
 
 
 
corte eje ox ; y = 0 ; x² + 1= 0 ; x² = - 1
corte eje oy ; x = 0 ;
no existe
y = - 1 ; P(0, - 1)
A.V ; x = 1 ; x = - 1


Calcular puntos notables, intervalos de monotonía y curvatura de la
función: y =
. Calcular asíntotas. Dibujar curva
D = R- 0
=
=
=0 ;
=
=0 ;
=
=
= >0
=
=0 ;
<0
=0 ; x=
1 posibles máx. , min.
=
min. (1,2)
máx. (-1,-2)
=0 ; 2=0
P.I.
Monotonia de f(x)
, -1) x = -2 ;
Creciente
(-1, 0) x = -0,5 ;
Decreciente
(0, 1) x = 0,5 ;
(1,
Decreciente
)x=2 ;
Creciente
Creciente
, -1)
(1,
)
;
Decreciente
(-1, 0)
=
< 0 ramas hacia abajo
(0, 1)
Curvatura de f(x)
>0 ;
>0
,0) x = -1 ;
)x=1 ;
= >0
ramas hacia arriba
,0)
)
No existen cortes con loa ejes,
AV: x = 0
y=x
Calcular puntos notables e intervalos de monotonía y curvatura de
D=R
Monotonía:
y' < 0  x ya que y'= - ( 1 / e x ) < 0  x  R Decreciente
Curvatura:
y'' > 0  x ya que
y'' = + ( 1 / e x ) > 0  xR ramas hacia arriba
Corte eje OY :
Dada la función f(x) =
a) Hallar sus máximos y mínimos locales y/o globales. b) Determinar el valor del parámetro a > 0 para el cual
(Selectividad Prueba 2005-06)
a) D = R
Posibles máximos, mínimos
Monotonía.
(-∞,-1): x = - 2 ;
Creciente
Máx (-1,1)
(-1,1): x = 0;
Decreciente
Min (1,-1)
(1,∞) :
x=2;
Creciente
b)
0
Como

Intervalos de curvatura
PI(-3,-3/13)
PI(0,0)
PI(3,3/13)
Será convexa x  (-3,0)
(3,)
Será cóncava x  (-,-3)
Asíntota Vertical: No existe pues el dominio es todo R.
(0,3)
Dada la función real de la variable real definida por:
Determinar las asíntotas de la función. b) Calcular
sus máximos y mínimos y determinar sus intervalos de crecimiento.
Grafica
(PAU JUNIO 2007)
La recta y = x – 9
es una asindota oblicua.
b) Igualamos a cero la primera derivada y estudiamos su signo:
x=-9
2
x + 6x – 27 = 0
posibles máximos y minimos
x=3
___x__)|(________x_______)|(___x__
-10 -9
-3
3
4
(-,-9) f´ (-10) > 0 Creciente
(-9, -3) f´(-6) < 0 Decreciente
(-3, 3) f´(0) < 0
Creciente
(3, )
Decreciente
f´(5) < 0
La función f(x) es creciente en (-,-9)
(3,) y , decreciente en (-9, -3)
(-3,3).
Ademas, f(x) tiene um máximo relativo en (-9,-24) y un mínimo relativo en (3,0)
Si calculamos la y´´ y La igualamos a cero, no existen puntos de inflexión
2.x
Dada la función y = ---------- . Se pide determinar su dominio, sus
1 + 4.x2
máximos y mínimos, si los tiene y cuantos elementos contribuyan a
elaborar la gráfica de mi función. Dibujarla.
Dominio: 1 + 4.x2 = 0 ; 4.x2 = - 1 ;
x que anule el denominador
luego D = R
´
Como y' = 0
0 = - 8x2 + 2 ; 8x2 = 2 ==> x2 =
==>
Puntos de inflexión: Hacemos la y'' = 0
64x3 - 48x = 0 ==> 8x·(8x2 - 6) = 0 de donde
ó bien x = 0 ó bien 8.x2 - 6 = 0 ==> 8.x2 = 6 ==> x2 =
=>
son los tres posibles puntos de inflexión.
PI
PI
PI
Asintota oblicua: y = m.x + n
-
a) D = R ya que e - x y x2 + 1 están definidas
Estudio de asíntotas:
 No existen Asíntotas verticales porque D = R
 Asíntotas Horizontales:

Asíntotas oblicuas:
Asíntota oblicua cuando x→ 
Estúdio de Max, mín.:
x = 1  posible máx., mín.
)(
)(
x
R.
-
1
3
+
(- , 1) x= 0
y‘‘(0) > 0  ramas arriba
(1, 3) x= 2
y‘‘(2) < 0  ramas abajo
(3, ) x=4
y‘‘(4) > 0  ramas arriba
PI (1, 2/e)
PI (3, 10/e)
Monotonía: (- ,  ) x = 0 => y‘(0) = e0 (-1) < 0 Decreciente siempre
Corte eje ox  y = 0 ; x2 + 1 = 0 , no hay corte con el eje de las x
Corte eje oy  x = 0; y(0) = 1  (0,1)
(Selectividad 2004-05)
a)
La recta tangente será : y - f(a) = f´(a) ·(x - a)
b)
c)
d(A,B) =
Para que d sea mínimo, cálculo d´
Cogemos el valor a = 1 > 0
Si hallo d´´, la particularizo d´´(1) > 0
para que la distancia sea mínima.
(-1, ∞)
D = (-∞, -1)
ya que x + 1 = 0  x = - 1 anula el denominador
A.V; x = -1
A.O; y = mx + n ; y = x - 2
Corte en (0,0)
y´= 0
x3 + 3x2 = 0 ; x2∙ ( x + 3) = 0
y´´= 0 ; 6x = 0 ;
x = 0 posible P.I
—————)(—)(————
-∞
(-∞, -1)
x = 2  y´´(-2) = - 12 ‹ 0
-1
0
∞
-
(-1, 0)
(0, ∞)
x = 0,5  y´´(0,5) = — ‹ 0
+
+
x = 1  y´´(1) = — › 0
+
P.I(0,0)
Estudiar y representar gráficamente y = x3 - 3x + 2
Dominio = R
Corte con eje OX ==> y = 0 ==> x3 - 3x + 2 = 0
1 0 -3 2
1
1
1 -2
x2 + x - 2 = 0 x =
1 1 -2 0
Corte con eje OY ==> x = 0 ==> y = 2
(0,2)
y' = 3x2 - 3 ==> y' = 0 ==> 3x2 - 3 = 0 ==> 3x2 = 3
Máximos y mínimos:
x2 = 1 ==> x = ± 1
y'' = 6x
y''(1) = 6 > 0
Punto de inflexión:
Min (1,0) y''(-1) = - 6 < 0 Max (-1,6)
y'' = 0 ==> 6x = 0 ==> x = 0
y''' = 6 ==> y'''(0) ╪ 0
P.I (0,2)
No existe A.Vertical
No existe A.Horizontal pues y = 
No existe A.Oblicua pues m =  , habrá dos ramas parabólicas.
Estudia la curva y represéntala, para la función f(x) = x2 + 2/x
- Dominio: para todo x ε R menos para x = 0
D= (-∞ , 0) U ( 0, +∞)
- Crecimiento y decrecimiento. Máximos y Mínimos ;
y ' = 0 ; 2x3 = 2 ; x3 = 1 ; x = 1
Estudio monotonía : Intervalos (-∞ , 0) ( 0, 1 ) y ( 1, +∞)
-∞ < x < 0 ; x = - 1 ;
Decreciente
0 < x < 1 ; x = 0´5 ;
Decreciente
1 < x < +∞ ; x = 2 ;
Creciente
En x = 1 pasa de decreciente a creciente  Min( 1, 3)
-Concavidad , conversidad , P.I :
y'' = 0  2x3 = - 4 ; x3 = - 2 ;
= - 1,26
__
__
3
Estudio curvatura : Intervalos : ( -∞ , √-2) , ( √-2 , 0 ) y ( 0 , +∞ )
3
x=
P.I
x=0
No existe curva
Asintotas :
Cortes con los ejes :
x= 0 ; y = ∞
No existe punto de corte
y = 0 ; 0 = x3 + 2 ; x3 = - 2
;
Estudiar la curva representada por la función
Dominio: todos los valores de x pertenecientes a R salvo para x = 0 → D = R-{0}
Crecimiento, Decrecimiento, máximos y mínimos
Tomo los intervalos (-∞, -1‘077) , (-1‘077, 0) y (0, ∞)
x = - 1‘077 pasa de creciente a decreciente → Max en (-1‘077, -6‘962)
Concavidad, convexidad y PI
Posibles cambios de concavidad en (-∞, 0) ,
En x =
Asíntotas
 y=0
PI
Verticales en x = 0 → y = ∞ → x = 0
Asíntota V.
Cortes con los ejes
x=0 ;
y=∞
No corta
y=0 ;
( 1‘3572 , 0) es corte con eje OY
Hallar a) los máximos y mínimos relativos y los puntos de Inflexión
de la función
. Dibujar la curva. b) determinar una
función F(x) tal que su derivada sea f(x) y además F(0) = 4
a) Calculamos la primera derivada:
f (1) 
26
 7
 0  Máximo 1, 
3
2
 2
Como D = R
f (1) 
los intervalos de curvatura son:
26
 0  Mínimo  1,0
23
Si F (0)  4  4  3·0 
1
F(x) = 3x  ln x 2  1
2
1
ln 1  c  c  4
2
Hallar máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión de la
función f(x)= sen x + cos x , para 0 < x <  . Dibujar la curva en el
intervalo (0,  ).
y= sen x + cos x ; y´= cos x – sen x ; y´´= - sen x – cos x ; y´´= - cos x + sen x
y´= 0 → cos x = sen x →
tg x = 1 → x =  /4
y´´(  /4)= - sen  /4 – cos  /4 = en (  /4,
2
2
−
2
2
= - 2 < 0. Hay un máximo
2)
y´´= 0 → - sen x = cos x → tg x = -1 → x = 3  /4
y´´´(3  /4) = - cos 135 + sen 135 =
2
2
+
2
2
=
2 0
Hay un punto de inflexión en (3  /4 , 0)
Para dibujar la curva, calculemos los puntos extremos en x = 0 y en x = 
Para x = 0 → y = sen 0 + cos 0 = 1 (0,1)
Para x =  → y = sen  + cos  = -1 (  ,-1)
Para cada valor de c >0, a) calcular el área de la región acotada
comprendida entre la gráfica de la función:
; el
eje OX y las rectas x = 0 , x = 1. b) Hallar el valor de c para el cual el
área obtenida en el apartado a) es mínima.
a) Si c > 0,
Teniendo en cuenta que la función siempre es positiva
(está situada siempre por encima del eje OX), el área en un intervalo será:
1
0
b) El área mínima se obtiene derivando la expresión respecto de c e igualando a cero.
La comprobación de que se trata de un área mínima se hace con la segunda derivada.
Representar la grafica de la función
y = cos x - 1
D = R por ser la función cos x sinusoidal y periódica y la función -1 es constante.
corta en : …(- 4π, 0) , (- 2π, 0) , (0, 0) , (2π, 0) , (4π, 0)….
|
(
-2π -3π/2
)(
–π/2
)(
π/2
)(
|
3π/2 2π
(- 3π/2,- π/2) → x = - π ; y‖(-π) = - cos(-π) = 1 > 0
PI (-π/2, -1)
(-π/2, π/2) → x = 0 ; y‖(0)= - cos 0 = -1 < 0
PI (π/2, -1)
(π/2, 3π/2) → x = π ; y‖(π) = - cosπ = 1 > 0
2x + 1 = 0 ; 2x = - 1 ; x = - 1/2
Dom:
(se iguala el denominador a 0 para saber los valores que lo anulan)
3x + 2 = 0 ; 3x = -2 ; x = -
y= =2
Posibles mas, min : se halla y‘ y se iguala a 0
y‘ = 0 ;
-1 ≠0
no existe max, min.
Posibles P.I : Se halla y‘‘ y se iguala a 0
Asintota vertical:
(coincide con la x del dominio)
Representar la grafica de la función:
D = R – {x = 2}
D= x
(-∞, 2) U (2, ∞)
No existen max, min
No existe P.I.
El único intervalo en donde se puede estudiar monotonia y curvatura es en el Dominio
y´(0) =
En (- ∞, 2)  x = 0
y´´(0) =
y´(3) =
En (2, ∞)  x = 3
y‖(3) =
Representar esquemáticamente la grafica de
, determinando
para ello los cortes, asíntotas, extremos relativos, puntos de inflexión y
con todo ello su grafica.
∞
.
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
Representar
(PAU Junio Especifica 2009-2010)
Se buscan los valores que anulan el denominador y se quitan de la recta real.
D = (-∞, 1) U (1, ∞)
Posibles máximos, mínimos: Se halla la derivada, se iguala a cero y se buscan los
posibles x de los máximos y mínimos.
Se calcula la y‖ y se particulariza para los posibles máximos o mínimos.
Posibles PI. Se igual la y‖ = 0 para buscar los posibles valores de x que sean PI. Aquí no
hay.
Asintotas.
y=x+1
b)
3
=
2
Representar
Dominio: 1 - x2 = 0 ; x2 = 1 ; x = ± 1 ; D = R - ± 1
Puntos corte con eje OX: y = 0 ==> x3 = 0 ; x = 0 ==> (0,0)
Puntos corte con eje OY: x = 0 ==> y =
; (0;0)
y=-x
P.I en (0,0)
Monotonia:
 x )( x)(x)(x)(x
-2 -√3 -3/2 -1 0 1 3/2 √3 2
Creciente x
(- , -1)
Decreciente x
(- , -
(-1,1) (1,
) ( , )
)
Posibles Maximos y minimos
Posibles Puntos de inflexion
A.Verticales
x = 0 f(x) = 
A.V: x = 0
A.Horizontales
A.Oblicuas
Monotonia: Crecimiento y decrecimiento
Curvatura: Concavidad y convexidad
Representar
. Calcular previamente sus asíntotas si las
tiene, los cortes con los ejes, sus máximos, mínimos y puntos de inflexión si los tiene. Intervalos de monotonía y curvatura.
D:
AV;
/ x + 1 > 0 ; x > - 1 ; D:
ln(x+1) = ln 0 =
AH;
x+1)= ln
AO; m=
=
=> x =
=
es A.V.
A.H.
=
=
=0
A.O.
Máximos y mínimos
Monotonía
(-1, ); x = 0
y´(0) = > 0
Curvatura
Creciente. (-1, ); x = 0
y´´=
<0
-
Representar f(x) = x 2 
Dom f(x)=
x4  1
1
=
x2
x2
R   x  0

x4  1
y  2
4
4
Corte con eje OX 
x  x  1  0  x  1   corte con eje OX
y  0


x4  1
1
y  2
Corte con eje OY 
x  y    corte con eje OY
0
x  0

AV  x  0
x4  1
    AH
x 
x2
x4  1
2
x4  1
x
AO  m  lim
 3     AO   Rama parabolica
x 
x
x
AH  lim
Posibles maximos y minimos

 4 x32
·x 2    x 4  1·2 x  4 x 4   2 x 4  2  2 x 4  2


f ( x) 



x 43
x3
x3
f ( x0 )  0  2 x 4  2  0  x 4  1  x  1 posibles max./min.
8x ·x
3
f ( x) 
3
 3x 2 ·(2 x 4  2) 
x6
 f (1)  0  max(1, 2)
x 2 (8 x 4 )  (6 x 4  6) 2 x 4  6



x 64
x4
 f (1)  0  min(1, 2)
Posibles puntos de inflexion
f ( x)  0  2 x4  6  0  2 x4  6  
puntos de inflexión
x=0
Representar


Dominio:
Puntos de corte:
o Eje OX. y=0
x=-4
o Eje OY. x=0
 Asíntotas:
o Vertical.
P2 (0,2)
A.V.
o Horizontal.
o Oblicua

Derivada
P1 (-4,0)
x=2
A.H. y=-1
y= mx +n

Dominio:
 Puntos de corte:
o Eje OX. y=0
P1 (0,0)
o Eje OY. x=0
 Asíntotas:
o Vertical.
P1 (0,0)
A.V.
o Horizontal.
o Oblicua



A.H. y=0
y= mx +n
Derivadas
Máximos y mínimos.
-
f´´(1)
-
f´´(-1)
Puntos de inflexión
PI en (
PI en (0,0)
-
PI en (
Representar

Dominio:
(

Puntos de corte:
Eje OX. y=0
o Eje OY. x=0
 Asíntotas:
o Vertical.
P1 (0,0)
A.V.
o Horizontal.
o Oblicua
A.H.
y= mx +n
y = x - 7/2 ,
tomando la m como



0,7
, aparece otra asíntota oblicua de la forma y= - x + 7/2
Derivadas
Máximos y mínimos.
Puntos de inflexión
4
Lo primero es acotar el área, si es posible, representar el área pedida y a continuación
calcular los limites de integración.
La función f(x) está definida por expresiones elementales
, por lo que
su representación es sencilla.
El área pedida se calcula como la suma de dos áreas.
La primera comprendida entre la función y =
, y las rectas y = 1, x = 1. El
límite de integración inferior se calcula como intersección de y=
con y = 1.
:
=1;
x = 0; x = 2 (no válida por ser mayor que 1).
La segunda, comprendida entre y =
intersección de y =
con y = 1.
, y = 1, x = 1. El límite superior se calcula como
:
Conocidos los límites de integración se calcula el área.
Área =
Cálculo de las primitivas:
Calculadas las primitivas, se calcula el área.
Sea f(x) = Ln │ x │ . a) Representar la grafica. b) Hallar f ´(x)
indicando su dominio
El dominio son todos los valores de x / │ x │ > 0 es decir que salvo el x = 0
siempre existe f(x)
D : R – {x = 0}
f(x) =
f´(x) =
La f(x) corta en Ln (-x) = 0  e Ln (- x) = e 0
La f(x) corta en Ln (x) = 0  e Ln ( x) = e 0
- x = 1  x = - 1  (-1, 0)
x = 1  x = 1  (1, 0)
La f ´(x) = 1 / x siempre para todo x perteneciente al Dominio ya que x = 0 es el
valor que anula el denominador
a) f(x) en (-∞, 3/2) y en (3/2, ∞) es continua  x Є R por ser funciones polinómicas de
grado 2 => f(x) continua en cada intervalo.
f´(x) en (-∞, 3/2) y en (3/2, ∞) es continua  x
R por ser funciones polinómicas de
grado 1 => f´(x) continua en cada intervalo => f(x) es derivable en cada intervalo
b) Máximos y mínimos.
´
c) Gráfica.
En (-∞, 3/2)
x
y
3
7
/2
0
-2
En (3/2, ∞)
/16
1
0
(Del límite)
Máx
Corte eje OX
7
x
y
3
7
/2
2
3
/16
/12
0
7
(Del límite)
Máx
Corte eje OX
/12 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7
/16 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
-2
-1
1
3/2
2
3
(Selectividad Septiembre 2002-03)
a) El dominio es [ -2π, 2π]
Se considera la f(x) =
ex
:
(1  e x ) 2
a) Calcular los extremos locales de f(x).
b) Determinar el valor del parámetro a tal que

a
0
f ( x)dx 
1
4
a) D= R ya que 1+ e x = 0; e x = - 1  lne x = ln(-1)  x no existe que anule el
denominador.
f ' ( x)



1  e 

e x 1  e x  e x ·2 1  e x e x
x 4
e x  e 2 x  2e x
=
1  e 
x 3
=
e x  e2x
1  e 
x 3
Posibles máximos y mínimos f‘(x)= 0
e x  e 2 x  0 ; e x  e 2 x ; ln e x  ln e 2 x  x  2 x  x  0 POSIBLE.
No hace falta hallar f   x  , basta con estudiar la monotonía de f x 

+
1 1
 2
e
e 0



e e
 ,0; x  1; f ' (1) 
1  e 1


e1  e 2 
 0
0,  ; x  1; f ' (1) 
1  e3 

1

2

En  ,0) f ( x es creciente
 1
 En x=0 existe un MAXIMO en el punto  0, 
 4
En 0,  f ( x) es decreciente
b)
a
ex
 1  e 
0
Como
x 2
a
a
0
ex
 1  e 
0

dx   e x  1  e
x 2
dx 

x 2

 1 ex
dx  
  1

1
a
a



1 
1
  
  
x 
a
 0  1  e  o  1  e
1
1
1 1

 
a
4
2 4
1 e
3  e a ; ln 3  ln e a




 
1
   
0
  1 e

1
1 1 1
   ;4  1  e a
a
2 4 4
1 e

a  ln 3



1
1
  

0
2
1 e

Se considera la función
Se pide:
a) Calcular a y b para que f sea continua y derivable a todo R.
b) Para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior,
calcular el área de la región acotada limitada por la gráfica de
f, el eje horizontal y las rectas x = 1, x = 3.
Para que una función sea continua en un punto, el valor de la función en el punto
debe ser igual al valor del límite de la función en él, lo cual equivale a que sean iguales
los límites laterales en el punto.
Continua en x = -2:
Continua en x = 2:
En definitiva se llega a una sola relación.
La segunda relación se obtiene con la condición de derivabilidad. Una forma sencilla
de demostrar la derivabilidad de la función en un punto frontera (punto donde cambia la
expresión de función), es demostrar que en dicho punto las derivadas laterales coinciden.
La derivada de la función se obtiene derivando las distintas expresiones que la definen
y expresando los intervalos en forma abierta.
Derivable en x = -2
Derivable en x = 2
Con la condición de derivabilidad se obtiene el valor de a.
Con el valor de a y la condición de derivabilidad, se obtiene el valor de b.
Para que la función sea continua y derivable en todo R su expresión debe ser:
Nota:
Sea g(x) una función continua y derivable
siguiente información:
I)
g’(x) >0
II)
III)
IV)
, de lo que se conoce la
Se pide: a) Analizar la posible existencia o no de asíntotas verticales,
horizontales u oblicuas. b) Dibujar de manera esquemática la grafica
de la función g(x).
a) A.V.
b) Si
ya que la función es continua
-
Si
Pasa por (-1, 0), máx. (0, 2), min ( 2, 1)
: el dominio es toda la recta real.
OPTIMIZACION DE FUNCIONES
Calcular la altura del cono de superficie lateral mínima circunscrito a
una esfera de radio 4cm.
S = пRg
Si los triángulos DCO y DAB que son semejantes, pues OC  AB y poseen un ángulo
de 90º
AB DA
R
g
x4
; g = R·

 
CO DO
r xr
4
En DBA  g = R + x ; R = g – x
2
2
2
2
2
2
2
2
;
R2 =
; R =R ·
 x  42 
2
x2
R2·  16   1  x ; R2 =


 x  4 2  1
16
16 x
R2 =
x 8
x  42
16
 x2
;
16 x 2
16 x 2
2
;
R
=
x 2  8x
x  42  16
x4
x4
2
Como S = пRg = пR·R·
 пR · 4
4
S=п
x 2  4x
16 x x  4
; S = 4п ·
·
x 8
x 8 4
S´ = 4п ·
S´ = 4п ·
2 x  4x  8  x 2  4 x 
x  82
x 2  16 x  32
 x  8
2
= 4п ·
2 x 2  4 x  16 x  32  x 2  4 x
x  82
; Para que S´ = 0  x2 - 16x + 32 = 0  x = 8  4 2
El x = 8 - 4 2 < 4 no es válido pues sería menor que el radio de la esfera, luego la
altura del cono será 8 + 4 2
Calcular la longitud que deben tener los lados de un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio 5 m para que el área del rectángulo sea máxima.
Si designamos por x e y las anchura y altura del rectángulo =>
Función a optimizar área : x y  = f( x, y ) = x y
Función condición x2 + y2 = d2
x2 + y2 = 4r2 = 100
Si sustituímos este valor en f( x, y ) obtenemos la función en una sola variable :
S´= 0

50 x - 4x3 = 0  x · (50 – 4 x2) = 0
La solución x = 0 y la
longitud
La única válida es :
carecen de sentido porque se refiere a una
y la ordenada correspondiente es :
El valor del área máxima será, calculada mediante S( x ) = x · y =
= 12,5 cm2
Con un hilo de 60 cm, formar un rectángulo que, al girar alrededor
de uno de sus lados, engendre un cilindro de área lateral máxima.
Determinar el punto de la curva
en el que la tangente a la
curva forma con el eje OX el mayor ángulo posible.
El máximo de y ‗será calcular la y ―e igualar a cero
y‖= 0 =>
Para ver si es máximo el + o – se halla y ‗‘‘ ;
Determinar las dimensiones de una vasija en forma de cilindro
circular recto de 2m3 de volumen, de forma que sea mínima la
cantidad de material usado para su construcción.
x
Necesito que ST sea mínima
y
La ST es mínima para
Determinar las dimensiones que hacen mínima la superficie total de
un ortoedro si su volumen es 72 cm3 y la razón de dos de sus dimensiones es ½.
ST = 2 (xz + yz + xy)
y z
V = x·y·z = 72
x
ST =
ST=
Para que ST‘ = 0 =>
;y=6
Veamos que ST es mínima y no máxima.
S‖=
S‖(3)=
> 0 Luego ST es mínimo para x = 3 , y = 6, z = 4.
La parte escrita ocupa 400cm2 en la página de un libro, los márgenes
superior son de 2cm y los laterales de 3cm. ¿Cuáles deben ser las
dimensiones de la página para obtener la mayor economía del papel?
x · y = 400
y=
400
x


2400
S = x  6 y  4  x  6  400  4  400 
 4 x  24
4
x
S = 424 +
S´ = 
S´´ =
2400
 4x
x
2400
 4 Para que S´ = 0 ; 2400 = 4x2 ; x2 = 600 ; x = 10 6
x2
2400·2
;
x3


4800
S´´ 10 6  1000·6 6  0 Mínimo



8
Las dimensiones pedidas son, por tanto, 6  10 6 cm. y  4  10  cm.
3

Sea una cartulina cuadrada de 60cm de lado, se desea construir una
caja de base cuadrada, sin tapa, recortando cuadrados iguales en las
esquinas y doblando. Comprobar que para que la caja sea de máxima
capacidad, los cuadrados deben tener 10cm de lado.
Se forma una caja de base cuadrada y lado 60 - 2x y altura x cm.
V = S base · h = (60 - 2x)2· x = 3600 + 4 x3 -240 x2
V ‘ = 3600 – 480 x + 12 x2 ; V‘ = 0 (máximo o mínimo)
12x2 – 480 x + 3600 = 0 ; x2 - 40x + 300 = 0
Si x fuera 30cm, me quedaría sin cartulina por lo que x = 10cm
V‘‘ = 24x - 480 ; V‘‘ (10) = 24 · 10 - 480 < 0
V‘ = 0
máxima capacidad.
Se considera un triángulo isósceles de base 10cm y altura 6cm. Se
inscribe en él un rectángulo de base 2x sobre la base del triángulo.
Calcular la base del rectángulo inscrito para que su área sea máxima.
Quiero que sea máxima
S=2xy
Hay 2 triángulos ABC Y A‘B‘C semejantes: AB / A‘B‘ = AC / B‘C
La base del rectángulo es 2x, es decir, 5cm, y la altura es de 3cm para que el área
inscrita sea máxima.
Comprobación:
Se desea construir una caja sin tapa con base cuadrada, empleando
108 cm2 de cartón. Hallar las dimensiones de la caja de volumen
máximo
Sean las dimensiones : x , lado del cuadrado base , y altura z
Función a optimizar
Función de condición
V = x2 z
La superficie total es S = x2 + 4 x z = 108 cm2
V´ = ¼ (108 – 3x2)
3x2 = 108  x2 = 36
Como V´= 0
 108 - 3x2 = 0
x=6
El valor x = - 6 no es valido
Comprobación del carácter del extremo :
V´´( x ) = ¼ 3(- 6x) = - 3/2 x ;
V´´( 6 ) = -9 < 0
máximo para x = 6
La caja tiene de dimensiones 62 cm2 · 3 cm : base cuadrada de lado 6 cm, altura 3 cm
V = 108 cm3
Se desea construir un depósito de latón, con forma de cilindro, de
área total igual a 54 . Determinar el radio de la base y la altura del
cilindro para que el volumen sea máximo.
Llamamos x al radio del círculo (base) e y a la altura. El dato es el área total (condición)
y la incógnita que deseamos máximo es el volumen.
Se desea construir un embudo cónico de generatriz 20 cm. Determinar
la altura del embudo de forma que su volumen sea máximo.
y
Necesito poner V en función de x.
x
20
r=
V=
V‘ =
Para que V‘ = 0 =>
El – no vale pues
V‖ =
alturas negativas
< 0 => El volumen es máximo para
Se divide un alambre de 100m de longitude en dos segmentos de longitudes x y 100-x. Con el de lonfitud x se forma un triangulo equilátero
y con el otro segmento se forma un cuadrado. Siendo f(x) la suma de
las áreas del triangulo y del cuadrado: a) Determina el dominio de la
función f(x), es decir, los valores que puede tomar x. b) Con el estudio
de la derivada f(x). obtén cuando f(x) es creciente y decreciente. C) Indica razonadamente para que valor de x se obtiene la suma de las áreas
del triangulo y del cuadrado es mínima.
x
100-x
Una página ha de contener 96 cm2 de zona impresa. Los márgenes
superior e inferior han de tener 3 cm de anchura y los laterales 2 cm.
Halla las dimensiones de la página para que el papel requerido sea
mínimo
La gráfica será de la forma :
b+ 6
a+4
Si llamamos a a la anchura y b a la altura de la zona escrita , la función f , superficie
total del papel, a optimizar será :
a,b)=(a+4)*(b+6);
f(a, b ) = ( a + 4 ) · (b + 6 )
f( a, b ) = a b + 6 a + 4 b + 24
La condición es que la zona escrita ha de tener 96 cm2:
96;
a· b = 96  b = 96 / a
f( a, b ) = a · (96 / a) + 6 a + 4 · (96 / a) + 24 = 96 + 6a + 384 / a + 24
f( a, b ) = 120 + 6a + 384 / a
f´( a, b ) = 6 – 384 / a2  6 – 384 / a2 = 0  6 a2 = 384  a2 = 64
a=8
La solución a = - 8
y
b = 12
carece de sentido porque se refiere a una longitud
La zona escrita ha de tener 8 cm x 12 cm
El papel tendrá unas dimensiones de ( 8 + 4 ) cm x ( 12 + 6 ) cm = 12 x 18 = 216 cm2
Un barco B está anclado a 9 km del puerto más cercano P de una
costa que forma línea recta, y a 15 km del punto P hay un campamento
C. un mensajero debe ir desde el barco al campamento. Teniendo en
cuenta que puede remar a una velocidad de 4 km/h; halla el punto Q
de la costa, entre P y C, en el que debe desembarcar, para llegar al
campamento lo antes posible.
B
VBQ = 4 km/h
VQC = 5 km/h
9
P
x
La distancia PQ debe ser ser de 12 km para que el tiempo sea mínimo.
15 – x
C
Un bote de conserva de tomate ha de tener una capacidad de 1 litro.
Se pide la proporción entre su altura y el diámetro de su base para que
la superficie de latón sea mínima
Función a optimizar
S T = 2  r2 + 2  r h = 2  r ( r + h )
Función de condicion El volumen ha de ser de 1 litro = 1 dm3
V =  r2 h
=>  r2 h = 1
=> h = 1 /  r2
Sustituyendo este valor de h en la superficie a optimizar, obtenemos :
ST = 2  r2 + 2  r /  r2 = 2  r2 + 2 / r
Derivamos
ST´= 0 
es la función a optimizar, en función de r
ST´ = 4  r - 2 / r2 = (4  r3 – 2) / r2
(4  r3 – 2) = 0  r3 = 1 / 2
3 ________
 r =  1 / 2
Queda tan sólo por comprobar que la superficie es mínima , calculando la ST´´
ST´´ = 4 + 4 / r3
ST´´ (r) = 4 + 4 / (1/2) = 12  > 0 luego si es minimo
En el caso estudiado r = 0,542 dm y la h = 1,084 dm
La altura del un bote cilíndrico circular ha de ser igual que el diámetro de la base
para que la superficie total sea mínima para un volumen fijo cualquiera.
Un pastor desea cerrar un recinto rectangular usando 100 m de
cerca. ¿Cuál es la mayor área que puede encerrar?
y
x
El perímetro es de 100 m y el área será S = x · y que es lo que queremos que sea
máximo.
La condición es que p = x + y + x + y = 2x + 2y = 100 ; x + y = 50 ; y = 50 – x
y sustituyo en S
S = x · (50 – x) = 50x - x 2 ; derivo S.
S‘= 0 ; 50 – 2x = 0 ; 2x = 50 ; x = 25 ; y = 50 – 25
S‘ = 50 – 2x
y = 25
estas son las dimensiones del area máxima, ya que S‘‘ = -2 ; S‘‘(25) = -2 < 0 max.
El valor de Smax. = 25 · 25 = 625 m 2
Un pastor desea cerrar un recinto circular usando 100m de cerca
nueva. Aprovecha para uno de los lados una valla ya existente (muy
larga). ¿Cuál es la mayor área que puede encerrar?
y
x
Los 100 m se usan para cerrar los tres lados libres del rectángulo.
La condición será x + 2y = 100
El S = x · y es lo que queremos que sea máxima.
Despejo x = 100 – 2y de la condición y sustituyo en S
S = (100 – 2y)·y = 100 · y – 2 y 2
y = 25
S‘ = 100 – 4y ; S‘ = 0 ; 100 – 4y = 0 ; 4y = 100 ;
y como S‘‘ = - 4 ; S‖ (25) = - 4 < 0
x = 100 – 2 · 25 = 100 – 50
x = 50
El área máxima será S = 50 · 25 = 1250 m 2
máxima área para y = 25
PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS
Integración por partes.
Mediante la integración por partes, hallar una primitiva de la
función y = Ln (1 + x)
Calcular una primitiva de una función, es hallar su integral indefinida.
Por ello utilizaremos el método de integración por partes
 u·dv = u·v -  v·du haciendo el siguiente cambio
Aplica el método de integración por partes a la determinación de
una primitiva de la función f(x) = x · Ln x
Utilizar la integración por partes para hallar una primitiva de la
función x.sen x
Cambio de variable. (No entra en Selectividad)
Hallar las primitivas de la función cos2x (utilizar la relación
1 + cos A = 2. cos2 A/2)
INTEGRACION FRACCIONES SIMPLES.
x3
- 1  x2 + 2x
3
2
- x - 2x
x-2
________
- 2x2
-1
+ 2x2 + 4x
____________
4x – 1
PROBLEMAS DE INTEGRALES DEFINIDAS
(PRIMITIVAS)
Calcular la primitiva de la función f(x) = 1 + tg2 x – + tg x que pase
por el punto (,0)
0
-3
4
0
1
-1
3
0
´
Para obtener la G(x) integraremos de nuevo la G'(x)
Para calcular C y D tenemos en cuenta las dos condiciones G(0) = 1 y G(1) = 0
Las constantes C, D y E se determinan a partir de las condiciones.
´´
Para ver si el extremo (1,0) es máximo o mínimo, calculamos la f´´(x)
PROBLEMAS DE AREAS
Área limitada por el eje de abscisas y la curva y = x3 - 2x2. Dibújala
.
Calcular el área del recinto limitado por
abcisas. Dibuja la gráfica.
;
y el eje de
y´ = 2x - 4; y´ = 0 => 2x – 4 = 0; x = 2 posible máx. o mín.
y´´= 2 ; y´´(2) > 0
Mín. (2, -4)
4
4
0
0
Calcular el área encerrada entre las graficas de las funciones
y = x2 + 2x - 1 e y = 2x + 3, representando esquemáticamente dichas
graficas.
Para dibujar y = x2 + 2x - 1
x y
_____
-2 -1
-1 -2
0 -1
1 2
2 5
Para dibujar y = 2x + 3
x y
_____
0 3
1 5
2 7
x2 + 2x – 1 = 2x + 3  x2 – 4 = 0  x =  2
2
-2



Calcular el área limitada por la grafica f(x) = Ln x, el eje OX y la
recta tangente a dicha grafica en el punto de abscisa x = e
Para calcular la recta tangente, esta será de la forma y – yo = m ·(x – xo)
yo = Ln e = 1 pasa por (e,1)
m = y´(xo)

Para calcular los limites de integración a y b se hallan los puntos de corte entre las
dos funciones
Sabiendo que la tangente corta al eje OX en (0, 0) y en (e, 1) y que la y = Ln x lo
corta en
n x = 0  x = e0  x = 1  (1, 0)
Dibujamos la curva y su tangente
Sabiendo que  Ln x dx = x·Ln x – x por integración por partes y aplicando la regla de
e
e
0
1
;
Barrow nos queda que:
PAU Junio 1998
=
0
2π
-π
0
Considérese la región acotada que determinan las curvas y = ex
e y = e2x y la recta x = a; a) Hallar el área de dicha región para a = 1
b) Hallar un valor de a > 0 para que el área de la región sea 2.
a) Si a = 1 ==> la recta será x = 1 y este será el límite superior.
ex = e2x ==> 1 = ex ==> Ln 1 = Ln ex ==> 0 = x
1
0
a
0
Hallar el area comprendida entre las curvas
.
Corte gráfica:
e
;
;
1
-1
Hallar el área finita limitada por la curva de ecuación
y = x2 - 4x y el eje y = 0
La recta y = 0 corresponde al eje de abscisas OX
Si calculamos
:
Estos dos valores de x, son los límites de integración
4
4
0
0
Hallar el área limitada por la grafica de la función y = cos x y el eje
OX en el intervalo [0,2]
Primero se calculan los posibles puntos de corte con el eje OX
con lo que los intervalos [0, /2), (/2, 3/2), (3/2, 2) serán los limites de integración en la que se divide el área
π/2
0
Hallar el área limitada por la grafica de la función y = sen 2x y el eje
OX en el intervalo [0,2]
Primero se calculan los posibles puntos de corte con el eje OX
Los intervalos [0, /2), (/2, ), (, 3/2), (3/2, 2] serán los limites de integración
en los que se divide el área
/2
=
0
= 2 · [ ( - cos  - ( - cos 0) ] = 2 · ( 1 + 1) = 4 u2
Hallar el área limitada por la grafica de la función
eje OX en el intervalo [-1, 1]. Dibujar la grafica.
1
-1
Domínio
R . No existen asíntotas verticales.
No existen AH ni AO ya que el límite cuando x ->  de f(x) y de m son 0
Corta al eje OY Para x = 0 
Máximos y mínimos:
Posibles Puntos de inflexión:
(0, 1)
y el
Por ultimo y(-1) = ½
e
y(1) = ½
Hallar el valor de a para que el area limitada por las graficas
Hallamos los cortes entre las dos funciones.
a
0
La función y = x3 - ax2 + 4x + b corta al eje de abcisas en x = 3 y tiene
un P.I en x = 2/3. Hallar a y b. Calcular el área que forma la curva
entre x = 2/3 y x = 3 . Dibujar la grafica
Si corta al eje y = 0 en x = 3 es que pasa por (3,0)
Si tiene un P.I en x = 2/3 es que y´´(2/3) = 0
y´= 3x2 - 2ax + 4;
y´´= 6x - 2a
Si pasa por (3,0);
0 = 33 – a·32 + 4·3 + b
Si hay P.I en x = 2/3
0= 6· – 2a 
0 = 27 – 9a + 12 + b;
b = - 27 + 9·2 - 12
La curva tiene de ecuación
4 – 2a = 0;
2a = 4;
b = - 21
y = x3 - 2x2 + 4x - 21
3
2/3
a=2
Representar f(x) = |x2  1|. Calcular el área entre x =  1 y x = 1.


Sabiendo que el área comprendida entre la curva y =  x y la recta
y = bx, es 1, a) Hallar b. b) Para b = 1, calcular el área que forma la
curva con la recta.
a)
1/b
0
b)
2
Se considera el recinto limitado por las curvas y = x2, x = 1, x = 2,
y = 5x. Hallar el área de dicho recinto, dibujándolo previamente
Para dibujar la parábola y = x2
Para dibujar la recta y = 5x
x y
______
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
x y
_____
0 0
1 5
2 10
2
1
Sea la función y
: a) Representarlo. b) Área de la figura
encerrada entre la curva y el eje y = 0.
Posibles máximos o mínimos:
A