11 El teorema de Pitágoras

ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN
11
1.
El teorema de Pitágoras
Dados los números enteros 7, 24 y 25:
a) Comprueba que forman una terna pitagórica.
b) Dibuja el triángulo que tiene dichos números por medidas de sus lados.
c) Halla dos ternas pitagóricas a partir de la formada por los tres números.
2.
Las dimensiones de una piscina rectangular son 60 metros de largo y 44 metros de ancho. Se han formado
cuatro calles dividiendo el ancho de dicha piscina en cuatro partes iguales. ¿Qué distancia máxima podrá
recorrer un nadador sin que se pueda salir de su calle y sin variar la dirección?
3.
La figura representa una forma geométrica de tres dimensiones
llamada hexaedro o cubo. Todos sus lados miden 3 centı́metros.
A
¿Cuál es la distancia mı́nima que se ha de recorrer para ir del
punto A al punto B sin salirse de la superficie de la figura?
B
4.
Determina cuánto mide la altura de uno de los seis triángulos
en que se puede dividir un hexágono regular de 6 cm de lado.
5.
Halla la distancia exacta que separa a los puntos A y B de la
figura, tomando como unidad el lado del cuadrado mı́nimo de la
cuadrı́cula.
3 cm
6 cm
B
A
6.
A
Halla la longitud del lado desconocido, x, de la figura.
37 cm
x
B
7.
C
5 cm
30 cm
D
A
Estudia si el triángulo de la figura es equilátero, isósceles o
escaleno.
C
B
8.
A
La figura representa un cubo de 10 centı́metros de lado. Calcula
la medida de su diagonal AB.
B
9.
Calcula la longitud del segmento que une los puntos medios de
los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que estos miden
15 centı́metros y 8 centı́metros, respectivamente.
A
8 cm
B
10.
x
15 cm
C
Construye, con regla y compás, un triángulo dos de cuyos lados midan 6 y 3 centı́metros de longitud, y de
forma que la altura sobre el lado de 6 centı́metros mida 2 centı́metros de longitud.
Gauss 1.o ESO
Actividades de ampliación
SOLUCIONES
1.
a) 72 ⫹ 242 ⫽ 49 ⫹ 576 ⫽ 625 ⫽ 252
5.
b)
A
La distancia pedida es la longitud de la hipotenusa
de un triángulo rectángulo de catetos 12 y 5 unidades, respectivamente. Entonces:
d 2 ⫽ 122 ⫹ 52 ⫽ 169; d ⫽ 兹169 ⫽ 13
C
B
Se traza el segmento de extremos B y C y cuya
longitud es de 24 mm.
6.
AB2 ⫽ 372 ⫺ (30 ⫹ 5)2 ⫽ 144; AB ⫽ 兹144 ⫽ 12
Se calcula el lado x:
Con centros B y C, se trazan arcos de circunferencia de radios 7 mm y 25 mm; se cortan en el
punto A, que será el tercer vértice del triángulo
pedido.
c) Multiplicando por 2: 14, 48 y 50.
Se calcula la medida del lado AB:
x2 ⫽ 122 ⫹ 52 ⫽ 169; x ⫽ 兹169 ⫽ 13 cm
7.
AB2 ⫽ 12 ⫹ 42 ⫽ 17; AB ⫽ 兹17 cm
BC2 ⫽ 12 ⫹ 42 ⫽ 17; BC ⫽ 兹17 cm
Multiplicando por 3: 21, 72 y 75.
AC2 ⫽ 32 ⫹ 32 ⫽ 18; AB ⫽ 兹18 cm
2.
La distancia máxima es la medida de la hipotenusa
de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden
60 metros y 11 metros.
d 2 ⫽ 602 ⫹ 112 ⫽ 3 721; d ⫽ 兹3 721 ⫽ 61 m
3.
Por lo tanto, el triángulo es isósceles.
8.
Se calcula la distancia BC:
A
BC ⫽ 兹10 ⫹ 10 ⫽ 兹200
10
2
2
Se calcula la distancia AB:
A
AB ⫽ 兹200 ⫹ 102 ⫽ 兹300
A
10
B
10
La diagonal mide, aproximadamente, 17 cm.
6 cm
B
B
3 cm
9.
3 cm
x2 ⫽ 42 ⫹ 7,52 ⫽ 72,25; x ⫽ 兹72,25 ⫽ 8,5 cm
La distancia mı́nima será:
d 2 ⫽ 32 ⫹ 62 ⫽ 45; d ⫽ 兹45
10.
A
La raı́z de 45 es un número comprendido entre 6 y 7,
luego se tienen que recorrer entre 6 y 7 cm.
B
C
4.
h
6 cm
Se traza el segmento BC de 6 centı́metros de longitud.
3 cm
Los seis triángulos son triángulos equiláteros de
6 cm de lado.
Con centro el extremo B, se traza una circunferencia de 3 centı́metros de radio.
h2 ⫽ 62 ⫺ 32 ⫽ 27; h ⫽ 兹27
Se traza una recta paralela al segmento BC de
forma que diste 2 centı́metros de ella.
La raı́z entera de 27 es 5 y su resto 2. Por tanto,
la altura del triángulo mide aproximadamente 5 cm.
La intersección de la circunferencia y la recta paralela es el tercer vértice del triángulo buscado.
(Habrı́a dos soluciones.)
Actividades de ampliación
Gauss 1.o ESO