Métodos Numéricos en EDPs 1. Guıa Docente

Métodos Numéricos en EDPs
1.
Guı́a Docente
1.1.
1.1.1.
Descripción general
Datos básicos
Curso 2o . Cuatrimestre 1o .
Tipo: Optativa.
Créditos: 6 ECTS.
Requisitos previos: Además de un buen manejo del Cálculo y del Álgebra Lineal, se suponen
nociones básicas en:
• Ecuaciones en derivadas parciales.
• Análisis funcional.
• Métodos numéricos.
• M ATLAB.
Metodologı́a en el aula: En la clase magistral se explicarán los resultados clave de cada tema y se
espera que el alumno profundice en los detalles teóricos y computacionales mediante el estudio
personalizado basado en la referencias bibliográficas especı́ficas que se proporcionarán. En estas
clases el profesor utilizará simultáneamente la pizarra y el programa M ATLAB de forma que los
contenidos teóricos explicados en la pizarra se implementen inmediatamente en el ordenador y se
ilustre su comportamiento práctico.
No se plantean clases especı́ficas en el aula informática.
Evaluación:
• Realización de tres prácticas que ilustren los métodos abordados en el curso (60 % de la
nota).
• Entrega de seis ejercicios (15 % de la nota).
• Examen final (25 % de la nota).
Se espera de los alumnos que sean capaces no sólo de hacer un programa que funcione, sino también de sacar conclusiones de los resultados obtenidos al aplicar los métodos a diversos problemas.
1.1.2.
Objetivos básicos de aprendizaje
Al finalizar el curso el alumno deberá:
1. Conocer los principales métodos de aproximación numérica de EDPs.
2. Saber analizar las principales caracterı́sticas de un determinado método: orden, estabilidad, convergencia.
3. Saber implementar métodos de resolución de EDPs, con control del error.
4. Tener criterios para valorar y comparar distintos métodos en función de los problemas a resolver,
el coste operativo y la presencia de errores.
1
1.1.3.
Contenidos
1. Diferencias finitas para ecuaciones en derivadas parciales dependientes del tiempo.
2. Métodos de elementos finitos para problemas elı́pticos.
3. Métodos espectrales.
1.2.
Bibliografı́a y material docente
Dado el carácter avanzado de la asignatura, es difı́cil encontrar un texto que cubra los contenidos del
curso en su totalidad y que pueda servir de base para éste. No obstante, se destacan tres libros que se
adaptan razonablemente bien a cada uno de los bloques en los que se estructura la asignatura. Además, se
indica una referencia que se podrá usar en los dos primeros bloques para complementar la teorı́a y como
apoyo a la programación. Algunas de las referencias complementarias también se usarán en momentos
concretos del curso.
R EFERENCIAS PRINCIPALES :
K. W. Morton, D. F. Mayers. Numerical solution of partial differential equations. An introduction,
Second edition. Cambridge University Press, Cambridge, 2005.
S. C. Brenner, L. R. Scott. The mathematical theory of finite element methods, Third edition. Texts
in Applied Mathematics, 15. Springer, New York, 2008.
L. N. Trefethen. Spectral methods in MATLAB. Society for Industrial and Applied Mathematics
(SIAM), Philadelphia, PA, 2000.
J. Li, Y.-T. Chen Computational Partial Differential Equations Using MATLAB, Chapman &
Hall/CRC Applied Mathematics and Nonlinear Science Series, CRC Press, 2009.
R EFERENCIAS COMPLEMENTARIAS :
C. Canuto, M. Y. Hussaini, A. Quarteroni, T. A. Zang. Spectral methods. Fundamentals in single
domains. Scientific Computation, Springer-Verlag, Berlin, 2006.
A. Iserles. A first course in the numerical analysis of differential equations, Cambridge Texts in
Applied Mathematics. Cambridge University Press, 2a ed. 2009.
C. Johnson. Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
C. Moreno. Cálculo Numérico II, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid, 1999.
2.
Programa detallado de la asignatura
1. Métodos de diferencias finitas
Comenzaremos con el estudio de los métodos en diferencias finitas y su aplicación a problemas modelo
estándar. Esto nos permitirá presentar la teorı́a de una forma sencilla, pero tratando al mismo tiempo conceptos generales importantes como los de estabilidad y convergencia con el suficiente rigor matemático.
1.1 Ecuaciones parabólicas en una dimensión espacial
- El problema modelo: la ecuación del calor.
2
- Un método explı́cito.
- Análisis de Fourier del error.
- Un método implı́cito.
- θ-métodos.
O BJETIVOS .
Comprender cómo se pueden desarrollar métodos, aproximando las derivadas por diferencias
finitas, para aproximar problemas de contorno.
Saber utilizar el análisis de Fourier en el estudio y aplicación de los métodos de diferencias
finitas.
Comprender la diferencia entre métodos explı́citos e implı́citos y distinguir cuándo utilizar
cada uno de ellos.
C OMENTARIOS . Trabajar con un problema modelo tiene la ventaja de que se puede introducir la
teorı́a fácilmente. En particular, para la ecuación del calor definimos un método explı́cito y trabajamos sobre el análisis del error. Los problemas de estabilidad se observan fácilmente si no se
restringe el paso temporal y resulta natural por tanto introducir métodos implı́citos para evitar tal
restricción.
Aunque trabajaremos con métodos totalmente discretos para desarrollar la teorı́a, en las prácticas
se estudiarán también métodos de lı́neas usando los integradores de M ATLAB y se podrán comparar
métodos explı́citos e implı́citos de diferentes órdenes.
1.2 Ecuaciones hiperbólicas en una dimensión espacial
- Caracterı́sticas.
- La condición CFL.
- Los esquemas aguas arriba, Lax-Wendroff y leap frog.
- Otros esquemas.
O BJETIVOS .
Saber utilizar la condición CFL como una condición necesaria para la estabilidad.
Analizar en ejemplos concretos las propiedades de estabilidad y consistencia.
Saber analizar los fenómenos de difusión y dispersión.
C OMENTARIOS . La ecuación del transporte lineal proporciona un buen ejemplo para definir y analizar diferentes métodos en diferencias finitas. Aunque aquı́ nos centramos únicamente en tres discretizaciones diferentes, la lista puede ser muy amplia. Cabe destacar entonces que nos enfrentamos
a uno de los puntos clave de la computación: construir aproximaciones que sean estables, consistentes y rápidas. Los resultados obtenidos para esta ecuación se extienden a la ecuación de ondas
o incluso a ecuaciones no lineales como la ecuación de Burgers o KdV. Es importante conocer las
propiedades cualitativas de estas ecuaciones para poder comprender la naturaleza de las perturbaciones de la solución exacta cuando se utiliza un esquema en diferencias. Ası́, por ejemplo, si se
aproxima la ecuación del transporte con el esquema Lax-Friedrichs, aparecen términos de difusión,
caracterı́sticos de la ecuación del calor. El efecto es tan fuerte que la solución se extingue, fenómeno
que no ocurre en realidad.
1.3 Consistencia, estabilidad y convergencia
- Formulación general de una discretización.
- Mallas y normas.
3
- El Teorema de Equivalencia de Lax.
- Leyes de conservación y métodos de energı́a.
O BJETIVOS .
Entender las diferentes normas que se utilizan en el estudio de la convergencia de esquemas
en diferencias finitas.
Comprender los conceptos de estabilidad y consistencia.
C OMENTARIOS . El Teorema de equivalencia de Lax es el teorema fundamental en el análisis de
las diferencias finitas. Garantiza que Consistencia + Estabilidad = Convergencia. Sin embargo, para interpretar correctamente este teorema y poder hacer uso correcto de este resultado, la elección
que se hace de las normas es fundamental. Ası́, estos tres conceptos han de ser manipulados en un
mismo contexto, una vez establecidas con claridad las normas en las que trabajamos, lo cual, en
realidad, consiste en determinar el criterio o distancia en la que se va a comprobar la convergencia
del método. La importancia de este resultado proviene del hecho de que mientras que estudiar la
convergencia de un esquema suele ser complicado, comprobar la consistencia suele ser una tarea
relativamente sencilla. La estabilidad de las discretizaciones es, por norma general algo más complicada de estudiar. Sin embargo, suele ser cierto que las técnicas para probar el carácter bien puesto de
un problema de EDPs se aplican de igual manera para probar la estabilidad de sus discretizaciones.
1.4 Ecuaciones elı́pticas en dos dimensiones espaciales
- Un problema modelo: la ecuación de Poisson.
- Principio del máximo.
- Análisis del error.
- Dominios que no son rectangulares y condiciones de frontera.
O BJETIVOS .
Repasar el principio del máximo continuo.
Analizar el error de forma directa y utilizando el principio del máximo.
Comprender las dificultades intrı́nsecas de programación que introduce el trabajar en varias
variables.
C OMENTARIOS . Una de las dificultades para la puesta en práctica de los esquemas reside en que
las matrices de coeficientes que se generan tienen dimensiones muy elevadas. Los alumnos deberán
repasar cómo resolver sistemas de ecuaciones de forma eficiente, utilizando, si es necesario, la
estructura dispersa de la matriz.
2. Métodos de elementos finitos
Los métodos de elementos finitos representan una herramienta potente y muy general para aproximar
las soluciones de ecuaciones en derivadas parciales. Haremos una introducción a la teorı́a matemática de
estos métodos y discutiremos también algunos aspectos prácticos relativos al desarrollo de algoritmos.
Este tema es probablemente el más abstracto del curso en su parte teórica y es por tanto muy importante
complementar la teorı́a con la parte práctica.
2.1 Elementos finitos en una dimensión espacial
- Formulación débil de problemas de contorno.
- La aproximación de Ritz-Galerkin.
- Estimaciones del error.
4
- El método de elementos finitos.
- Relación con los métodos de diferencias finitas.
- Estimaciones locales.
O BJETIVOS .
Entender las nociones elementales de los elementos finitos en un ejemplo sencillo.
C OMENTARIOS . Utilizando el problema modelo −u00 + u = f en un intervalo a < x < b y con
condiciones Dirichlet homogéneas, introducimos algunos principios fundamentales de los métodos
de elementos finitos: buscar aproximaciones dentro de un espacio de dimensión finita, elegir la
aproximación de forma que el defecto sea ortogonal e integrar por partes para poder exigir menor
regularidad. Algunos cabos quedarán sueltos esperando a ser formalizados con la teorı́a general de
espacios de Sobolev.
2.2 Formulación débil de problemas elı́pticos
- Espacios de Sobolev.
- Formulación débil de problemas elı́pticos.
- Lema de Lax-Milgram.
O BJETIVOS .
Recordar los principales elementos de la teorı́a de distribuciones.
Repasar los espacios de Sobolev y sus propiedades.
Introducir la formulación variacional de un problema de contorno.
Estudiar la existencia y unicidad de solución débil.
C OMENTARIOS . Como ya hemos dicho, uno de los principios básicos de los elementos finitos
consiste en formular el problema de manera variacional para poder exigir la menor regularidad
posible a priori a la solución. Esto nos lleva a estudiar los espacios de Sobolev y la existencia y
unicidad de soluciones débiles a través del lema de Lax-Milgram. No dedicaremos mucho tiempo a
este tema, ya que se espera que la mayorı́a de los alumnos estén familiarizados con la teorı́a general
del Análisis Funcional.
2.3 Aproximación de problemas elı́pticos
- Minimización de funcionales. Formulación de Ritz.
- Aproximación numérica de problemas elı́pticos.
- Aproximación Galerkin y Lema de Céa.
O BJETIVOS .
Formular la aproximación en el marco abstracto de problemas elı́pticos.
Formular los problemas aproximados correspondientes.
C OMENTARIOS . Planteamos ahora los problemas variacionales del apartado anterior, pero sustituyendo los espacios de Hilbert por subespacios de dimensión finita, que es la esencia del método de
los elementos finitos. El Lema de Céa será una herramienta muy importante para probar estimaciones del error.
2.4 Espacios de elementos finitos
- El elemento finito.
5
- Elementos finitos triangulares en una y dos dimensiones espaciales.
- El interpolante.
O BJETIVOS .
Comprender el marco abstracto de los métodos en elementos finitos.
Conocer la definición de Elemento Finito.
Construir espacios de elementos finitos.
C OMENTARIOS . En los temas anteriores discutimos el método de los elementos finitos en ejemplos
sencillos concretos. El objetivo ahora es definir el marco general y formalizar los conceptos. Para
ello será necesario tener muy afianzadas las nociones elementales, ya que esta generalización resulta
muy abstracta.
2.5 Análisis de error a priori
- Teorema de Bramble-Hilbert.
- Teorı́a de interpolación en espacios de Sobolev.
- Convergencia del método de elementos finitos.
O BJETIVOS .
Analizar el error de interpolación en los espacios de Sobolev.
Analizar el error de la aproximación en problemas elı́pticos y estudiar la convergencia.
C OMENTARIOS . Estudiamos la teorı́a de aproximación apropiada para los elementos finitos desarrollados en el tema anterior. Daremos ideas de los resultados más importantes y referencias para
las demostraciones rigurosas.
2.6 Implementación
- Triangulaciones.
- Ensamblado de la matriz de rigidez.
- Cálculo de matrices elementales.
- Cálculo del vector de carga.
- Términos de frontera.
O BJETIVOS .
Saber convertir un problema de contorno en un sistema de ecuaciones algebraicas utilizando
el método de elementos finitos.
Saber implementar un método de elementos finitos para resolver la ecuación modelo −u00 +
u = f.
C OMENTARIOS . En esta sección concretaremos como se usan todos los conceptos anteriores a la
hora de hacer cálculos con el ordenador. Nos limitaremos al caso de una y dos dimensiones espaciales y funciones lineales sobre intervalos o triángulos. Ilustraremos las distintas ideas que vayamos
introduciendo por medio de un problema modelo. Entre otras cosas indicaremos instrucciones (o
conjuntos de instrucciones) de M ATLAB que realicen las diversas tareas que vayamos explicando.
No intentaremos hacer el mejor programa posible, sino uno que permita ver claramente cuáles son
las ideas del método de elementos finitos. Concluiremos la sección explicando sucintamente qué hay
que hacer para tratar otros problemas.
Aunque desarrollaremos la teorı́a sobre un problema de dimensión dos con elementos lineales, en
la práctica sólo programaremos un método para resolver un problema en dimensión uno.
6
3. Métodos espectrales
Los métodos espectrales fueron propuestos originalmente el el año 1944 como una herramienta para
el cálculo a gran escala de problemas de la dinámica de fluidos. Una de las razones más importantes
para su uso es el mayor grado de precisión de sus soluciones que las logradas con otros métodos. Sin
embargo los métodos espectrales no son sólo útiles cuando se necesita una gran precisión. Los métodos
espectrales minimizan el uso de memoria, debido a la economı́a del número de grados de libertad. Dada
una precisión numérica se requieren menos grados de libertad que en el caso de diferencias finitas.
3.1 Generalidades
- Método de Galerkin para la ecuación del transporte (Fourier).
- Método de colocación para la ecuación del calor (Chebyshev).
- Método Tau para la ecuación de Poisson (Legendre).
O BJETIVOS .
Entender las diferencias fundamentales entre los métodos Galerkin, de colocación y Tau.
Repasar las propiedades generales de las series de Fourier y de los polinomios de Chebyshev.
C OMENTARIOS . Los métodos espectrales se distinguen, no sólo por las caracterı́sticas del método,
sino también por la elección de las funciones test que se usan para la discretización. Ilustraremos los
principios básicos de cada método, Galerkin, Tau y colocación, junto con las propiedades de cada
conjunto de polinomios interpolantes, mediante el estudio detallado de tres ejemplos concretos.
3.2 Problemas periódicos. Método de Fourier
- Matrices de diferenciación espectral.
- La transformada de Fourier semidiscreta.
- Mallas periódicas: DFT y FFT.
- Regularidad y convergencia espectral.
O BJETIVOS .
Comprender la diferencia entre calcular derivadas en el espacio fı́sico o en el espacio de frecuencias y saber realizarlas.
Entender los fenómenos de Gibbs y aliasing.
C OMENTARIOS . En esta tema y en el siguiente describimos el método de colocación para problemas
periódicos y no periódicos, respectivamente. Estudiaremos en esta sección en profundidad cómo
desarrollar estos métodos en el caso concreto de problemas periódicos. Es importante hacer notar
a los alumnos la diferencia que hay entre trabajar en el espacio de Fourier de frecuencias o en el
espacio fı́sico, y que en este último espacio la interpolación y la diferenciación no conmutan.
7
3.3 Problemas no periódicos. Método Chebyshev
- Polinomios ortogonales en (−1, 1) y nodos de Chebyshev.
- Diferenciación espectral de Chebyshev.
- Problemas de frontera.
- Diferenciación espectral de Chebyshev y la FFT.
O BJETIVOS .
Entender la construcción de las matrices de Chebyshev.
Saber extender las matrices de diferenciación de una dimensión espacial a problemas bidimensionales.
C OMENTARIOS . Intentar imponer condiciones periódicas artificialmente para poder utilizar métodos de Fourier no es una técnica apropiada, ya que se pierde la regularidad de la solución, y por tanto
el orden de convergencia. Introducimos los nodos y polinomios de Chebyshev. Una vez definidas las
matrices de diferenciación las utilizaremos en problemas concretos. Nos centraremos únicamente
en problemas independientes del tiempo para no introducir la dificultad adicional de discretizar la
variable temporal, con los problemas añadidos de estabilidad que esto puede implicar.
8
9
3.
4
3
2
1
SEMANA
Cronograma
- Los esquemas Lax-Wendroff y leap frog
- Otros esquemas
1.2 Ecuaciones hiperbólicas en una dimensión espacial
- Caracterı́sticas
- La condición CFL
- El esquema aguas arriba
- Un método implı́cito
- θ-métodos
1.1 Ecuaciones parabólicas en una dimensión espacial
- El problema modelo: la ecuación del calor
- Un método explı́cito
- Análisis de Fourier del error
TEMA 1: MÉTODOS DE DIFERENCIAS FINITAS
CONTENIDO DE LA SESIÓN
7
Entrega de ejercicios seleccionados de [7]
- Dominios que no son rectangulares
- Condiciones de frontera
1.4 Ecuaciones elı́pticas en dos dimensiones espaciales
- Un problema modelo: la ecuación de Poisson
- Principio del máximo
- Análisis del error
8
- Leyes de conservación y métodos de energı́a
6
Entrega de ejercicios seleccionados de [7]
1.3 Consistencia, estabilidad y convergencia
- Formulación general de una discretización
5
- Mallas y normas
- El Teorema de Equivalencia de Lax
4
3
2
1
SESIÓN
- Estudio la sección 5.8 de [7]
- Ejercicios del capı́tulo 4 de [7]
- Estudio de las secciones 6.1–6.2 y 6.5–6.6
de [7]
- Programa 2d.m
- Ejercicios del capı́tulo 6 de [7]
- Estudio la sección 6.4 de [7]
- Programa frontera.m
- Ejercicios del capı́tulo 6 de [7]
- Estudio de las secciones 5.1–5.6 de [7]
- Ejercicios del capı́tulo 5 de [7]
- Estudio de las secciones 4.5–4.6 y 4.8–4.9
de [7]
- Programa laxwendroff.m
- Ejercicios del capı́tulo 4 de [7]
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
- Estudio de las secciones 2.8–2.11 de [7]
- Programa implicito.m
- Ejercicios del capı́tulo 2 de [7]
- Estudio de las secciones 4.1–4.4 de [7]
- Programa upwind.m
- Ejercicios del capı́tulo 4 de [7]
1.5
HP1
- Estudio de las secciones 2.1–2.7 de [7]
- Programa explicito.m
- Ejercicios del capı́tulo 2 de [7]
DESCRIPCIÓN
TRABAJO DEL ALUMNO DURANTE LA SEMANA
7
7
7
7
HT2
10
10
9
8
7
6
5
SEMANA
TEMA 2: ELEMENTOS FINITOS
CONTENIDO DE LA SESIÓN
- Aproximación Galerkin y Lema de Céa
- Cálculo de matrices elementales
- Cálculo del vector de carga
- Términos de frontera
18
19
2.4 Construcción de espacios de elementos finitos
- El elemento finito
15
- Elementos finitos triangulares
- El interpolante
2.5 Análisis de error a priori
- Teorema de Bramble-Hilbert
16
- Teorı́a de interpolación en espacios de Sobolev
- Convergencia del método de elementos finitos
Entrega de ejercicios seleccionados de [1]
2.6 Implementación
- Triangulaciones
17
- Ensamblado de la matriz de rigidez
14
9
2.1 Elementos finitos en una dimensión espacial
- Formulación débil de problemas de contorno
- La aproximación de Ritz-Galerkin
- Estimaciones del error
10
- El Método de Elementos Finitos
- Relación con los métodos de Diferencias Finitas
11
- Estimaciones locales
2.2 Formulación débil de problemas elı́pticos
- Espacios de Sobolev
12
- Formulación débil de problemas elı́pticos
- Lema de Lax-Milgram
Entrega de ejercicios seleccionados de [1]
2.3 Aproximación de problemas elı́pticos
- Minimización de funcionales
13
- Aproximación numérica de problemas elı́pticos
SESIÓN
1.5
1.5
1.5
- Estudio de las secciones 7.1–7.2 de [5]
- Ejercicios del capı́tulo 7 de [5]
- Estudio de la sección 7.3 de [5]
- Ejercicios del capı́tulo 7 de [5]
- Estudio de la sección 7.4 de [5]
- Ejercicios del capı́tulo 7 de [5]
1.5
1.5
- Estudio de las secciones 4.1–4.4 de [1]
- Ejercicios del capı́tulo 4 de [1]
- Estudio de las secciones 3.1–3.3 de [1]
- Ejercicios del capı́tulo 3 de [1]
1.5
1.5
- Estudio de las secciones 2.5–2.9 de [1]
- Ejercicios del capı́tulo 2 de [1]
- Estudio de las secciones 2.5–2.9 de [1]
- Ejercicios del capı́tulo 2 de [1]
1.5
1.5
1.5
1.5
HP1
- Repaso de los capı́tulos 1–2 de [1]
- Ejercicios de los capı́tulos 1–2 de [1]
- Estudio de las secciones 0.3–0.4 de [1]
- Ejercicios del capı́tulo 0 de [1]
- Estudio de las secciones 0.5–0.7 de [1]
- Ejercicios del capı́tulo 0 de [1]
- Estudio de las secciones 0.1–0.2 de [1]
- Ejercicios del capı́tulo 0 de [1]
DESCRIPCIÓN
TRABAJO DEL ALUMNO DURANTE LA SEMANA
7
7
7
7
7
7
HT2
11
4
3
- Mallas periódicas: DFT y FFT
3.1 Generalidades
- Método de Galerkin para la ecuación del transporte
- Método de colocación para la ecuación del calor
- Método Tau para la ecuación de Poisson
3.2 Métodos de Fourier. Problemas periódicos
- Matrices de diferenciación espectral
- La transformada de Fourier semidiscreta
TEMA 3: MÉTODOS ESPECTRALES
- Un ejemplo completo
CONTENIDO DE LA SESIÓN
- Diferenciación espectral de Chebyshev y la FFT
- Problemas de frontera
3.3 Problemas no periódicos. Método de Chebyshev
- Sistemas ortogonales de polinomios en (−1, 1)
- Diferenciación espectral de Chebyshev
- Regularidad y convergencia espectral
- Estudio del capı́tulo 4 de [8]
- Programas 7–8 de [8]
- Ejercicios del capı́tulo 4 de [8]
- Estudio de los capı́tulos 5–6 de [8]
- Programas 9–12 y cheb.m de [8]
- Ejercicios de los capı́tulos 5–6 de [8]
- Estudio de los capı́tulos 7–8 de [8]
- Programas 13–17 de [8]
- Ejercicios de los capı́tulos 7–8 de [8]
- Estudio de los capı́tulos 8 de [8]
- Programas 18–20 y chebfft.m de [8]
- Ejercicios de los capı́tulos 7–8 de [8]
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
- Estudio del capı́tulo 1.2 de [3]
- Estudio de los capı́tulos 1–2 de [8]
- Programas 1–3 de [8]
- Ejercicios de los capı́tulos 1–2 de [8]
- Estudio del capı́tulo 3 de [8]
- Programas 4–6 de [8]
- Ejercicios del capı́tulo 3 de [8]
1.5
1.5
HP1
- Estudio del capı́tulo 1.2 de [3]
DESCRIPCIÓN
- Estudio de la sección 7.4 de [5]
- Programas mef.m
- Ejercicios del capı́tulo 7 de [5]
TRABAJO DEL ALUMNO DURANTE LA SEMANA
Entrega de ejercicios seleccionados de [8]
Cuadro 1: Cronograma Métodos Numéricos en EDPs
28
27
26
25
Entrega de ejercicios seleccionados de [8]
24
23
22
21
20
SESIÓN
Horas presenciales.
Horas de trabajo del alumno durante la semana.
14
13
12
11
SEMANA
7
7
7
7
HT2
Referencias
[1] Brenner, S. C.; Scott, L. R. “The mathematical theory of finite element methods”, Third edition.
Texts in Applied Mathematics, 15. Springer, New York, 2008.
[2] Brezis, H. “Analyse fonctionnelle. Théorie et applications”, Collection Mathématiques Appliquées
pour la Maı̂trise. Masson, Paris, 1983.
[3] Canuto, C.; Hussaini, M. Y.; Quarteroni, A.; Zang, T. A. “Spectral methods. Fundamentals in
single domains. Scientific Computation”, Springer-Verlag, Berlin, 2006.
[4] Iserles, A. “A first course in the numerical analysis of differential equations”, Second edition.
Cambridge Texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
[5] Li, J.; Chen, Y.-T. “Computational Partial Differential Equations Using MATLAB”, Chapman &
Hall/CRC Applied Mathematics and Nonlinear Science Series, CRC Press, 2009.
[6] Moreno, C. “Cálculo Numérico II”, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid,
1999.
[7] Morton, K. W.; Mayers, D. F. “Numerical solution of partial differential equations. An introduction”, Second edition. Cambridge University Press, Cambridge, 2005.
[8] Trefethen, L. N. “Spectral methods in MATLAB”, Software, Environments, and Tools, 10. Society
for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2000.
12