examen 1ª evaluación – 3n

EXAMEN DE TRIGONOMETRIA – 4º ESO
NOMBRE……………………………………………………………………………………………………
OPCIÓN A
1. Utilizando la calculadora, encuentra:
a) el ángulo del segundo cuadrante cuyo coseno vale: –0.5
b) El ángulo de tercer cuadrante cuyo coseno vale: –0.5
c) El ángulo del cuarto cuadrante cuyo seno vale: 0.5.
a) El ángulo del 1º cuadrante: α = 60º tiene cos 60º = 0.5, el ángulo suplementario es:
180º-60º=120º
b) El correspondiente a 60º en el 3º cuadrante es 60º+180º = 240º
c) No existe ningún ángulo del 3º cuadrante que tenga el seno positivo.
2. Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador mide
el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35 0 ; retrocede
10m y mide de nuevo el ángulo, obteniendo un resultado de 25 0 ¿Qué altura tiene el
árbol?



y 
tg 25º =
x + 10 
tg 35º =
y
x
y = xtg 35º


y = ( x + 10) tg 25º
xtg35º= (x+10) tg25º
xtg35º = xtg25º +10tg25º
xtg35º-xtg25º = 10tg25º
x(tg35º-tg25º)=10tg25º
x=
10tg 25º
tg 35º −tg 25º
=19,94
y = 19,94tg35º = 13,96
3.
Usando las fórmulas de las relaciones fundamentales calcula el seno y la
tangente de un ángulo, sabiendo que cos α = 4/5 y 270°< α <360°
2
Sen2α+cos2α =1
4
senα = 1 − cos 2 α = 1 −   = −0.6 negativo por estar en
5
el 3º cuadrante.
Tg α =
senα
4
= −0.6 : = −0.75
cos α
5
EXAMEN DE TRIGONOMETRIA – 4º ESO
NOMBRE……………………………………………………………………………………………………
4. Calcula el área de un pentágono regular, cuya apotema vale 10cm.
El ángulo del triangulo rectángulo es 360º : 10 = 36º
p ⋅ ap
p ⋅10 5 ⋅ L ⋅10
=
=
2
2
2
L
L
tg36º = 2
= 10tg 36º = 7.26
10
2
5 ⋅14,52 ⋅10
A=
= 363cm 2
2
A=
L = 14,52
5. Resuelve las ecuaciones
a) 2cosx = 3tgx
(
)
senx
→ 2cos 2 x = 3senx → 2 1 - sen 2 x = 3senx
cos x
2 - 2sen 2 x − 3senx = 0 → 2sen 2 x + 3senx − 2 = 0
2 cos x = 3
senx =
− 3 ± 9 +16
→
4
senx = -2 no puede ser, porque el seno toma valores entre - 1 y 1.
senx =
1
→ x = 30º +360k
2
x = 150º +360k
k ∈Z
b) 2cos2x = sen2x -1
(
)
2 1 − sen 2 x = sen 2 − 1 → 2 - 2sen 2 − sen 2 + 1 = 0 → - 3sen 2 x = −3
−3
sen 2 x =
=1 →
senx = 1 = ±1 → senx = 1 → x = 90º +360k k ∈ Z
−3
senx = -1 → x = 270º +360k
OPCIÓN B
EXAMEN DE TRIGONOMETRIA – 4º ESO
NOMBRE……………………………………………………………………………………………………
1. Utilizando la calculadora, encuentra:
a) el ángulo del segundo cuadrante cuyo coseno vale: –0.5
b) El ángulo de tercer cuadrante cuyo coseno vale: –0.5
c) El ángulo del cuarto cuadrante cuyo seno vale: 0.5.
a) El ángulo del 1º cuadrante: α = 60º tiene cos 60º = 0.5, el ángulo suplementario es:
180º-60º=120º
b) El correspondiente a 60º en el 3º cuadrante es 60º+180º = 240º
c) No existe ningún ángulo del 3º cuadrante que tenga el seno positivo.
2. Desde el lugar donde me encuentro, la visual a la torre de una Iglesia forma un
ángulo de 52º con la horizontal. Si me alejo 25 m más de la torre, el ángulo es de 34º.
¿Cuál es la altura de la torre?



y 
tg 34º =
x + 25 
tg 52º =
y
x
y = xtg 52º


y = ( x + 25) tg 34º 
xtg52º = (x+25) tg34º
xtg52º = xtg34º +25tg34º
xtg52º-xtg43º = 25tg34º
x(tg52º-tg34º)=25tg34º
x=
25tg 34 º
tg 52º −tg 34º
=27,85
y = 27,85tg52º = 35, 65
3. Usando las fórmulas de las relaciones fundamentales calcula el coseno y la
tangente de un ángulo, sabiendo que sen α = 0.6 y 90°< α <180°.
Sen2α+cos2α =1
2º cuadrante
Tg α =
cos α = 1 − sen 2α = 1 − 0.6 2 = −0.8
senα
= 0.6 : (−0.8) = −0.75
cos α
negativo por estar en
EXAMEN DE TRIGONOMETRIA – 4º ESO
NOMBRE……………………………………………………………………………………………………
4. Calcula el perímetro y el área de un pentágono regular de 2,5 cm de lado.
El ángulo del triangulo rectángulo es 360º : 10 = 36º
p = 5 ⋅ 2,5 = 12,5cm
p ⋅ ap 12,5 ⋅ ap
=
2
2
L
1,25
tg36º =
ap = 1,25tg36º = 1,72cm
ap
12,5 ⋅1,72
A=
= 10,75cm 2
2
A=
5. Resuelve las ecuaciones
a) 2cos2x - sen2x + 1=0
b) 2cos2x + senx = 1
a) 2cos2x - sen2x + 1=0
(
)
2 1 − sen 2 x − sen 2 + 1 = 0 → 2 - 2sen 2 − sen 2 + 1 = 0 → - 3sen 2 x = −3
−3
sen 2 x =
=1 →
senx = 1 = ±1 → senx = 1 → x = 90º +360k k ∈ Z
−3
senx = -1 → x = 270º +360k
b) 2cos2x + senx = 1
(
)
2 1 − sen 2 x + senx = 1
2 − 2 sen x + senx −1 = 0
2
− 2 sen 2 x + senx + 1 = 0
senx =
−1 ± 1 + 8 − 1 ± 3
=
→ senx = 1 → x = 90º +360k k ∈ Z
−4
−4
1
→ senx = - → x = −30º +360k
2
x = 210º +360k