INFORMACION Historia de los números irracionales

INSTITUTO TECNICO MARIA INMACULADA
Coordinación
Formando líderes estudiantiles para un futuro mejor
Vo.Bo.
Eje temático: LOS NÚMEROS IRRACIONALES I
Área: MATEMÁTICAS
Asignatura: Matemáticas
Profesor:
Periodo:1
Grado:8
Guía: 2
Tiempo:4 h
Estudiante:
Estándar(es): * Reconoce los elementos que conforman al conjunto de los números IRRACIONALES.
*Justifica y realiza escritura de números irracionales.
Competencia(as): (* ) Interpretativa. ( - ) Argumentativa. (&) Propositiva.
- Identifico y resuelvo situaciones que involucren los números irracionales y sus propiedades.
* Representa enunciados de desplazamientos con números irracionales.
Indicador(es) de Desempeño: * Identifico y utilizo números irracionales en la solución de diversas situaciones.
* Efectuó operaciones con números irracionales aplicando correctamente sus propiedades.
* Aplic0 los números irracionales en la solución de ejercicios y problemas.
* Formulo y resuelvo problemas cotidianos aplicando los números irracionales..
INFORMACION
Historia de los números irracionales
Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando
escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró
que no se puede escribir como fracción, así que es irracional.
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los
números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso
no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para
siempre sin repetirse.
Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
3,1415926535897932384626433832795 (y más...)
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor
Pi.
Números como
22
/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción),
¡no porque esté loco!
Racional o irracional
Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:
Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así
19
/2 = 9,5
Aquí tienes más ejemplos:
así que no es irracional (es un número racional)
Números
En fracción
5
1,75
.001
√2
(raíz cuadrada de 2)
5/1
7/4
1/1000
¿Racional o
irracional?
Racional
Racional
Racional
?
¡Irracional!
Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?
Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo!
De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.
No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.
Así que la raíz de 2 es un número irracional
Números irracionales famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un
millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son
estos:
3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
El número e (el número de Euler) es otro número irracional
famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin
encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:
2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos
son:
1,61803398874989484820... (y más...)
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales.
Ejemplos:
√3 1,7320508075688772935274463415059 (etc)
√99 9,9498743710661995473447982100121 (etc)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son
irracionales.
CLAVE MATEMATICA
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se
pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es
circunferencia y su diámetro.
= 3.141592653589...
, que se define como la relación entre la longitud de la
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la
catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo,
, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto
Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras. (Razón de oro)
REPRESENTACION GRAFICA DE LOS NUMEROS I
También los números irracionales, las raíces, por ejemplo, se representan en la recta.
Por ejemplo, para calcular el punto que representa el número Ö2 realiza los siguientes pasos:


Levanta sobre la recta un cuadrado cuyo lado sea el segmento unidad entre el 0 y el 1. Según
el teorema de Pitágoras, la diagonal del cuadrado mide Ö2.
Utiliza un compás para trasladar esa diagonal sobre la recta. El punto de corte del arco del
compás sobre la recta representa el número Ö2.
Fíjate en la siguiente figura y dibújala en tu cuaderno.
Propiedades de los números irracionales
Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras
propiedades como:
Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la
cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la
multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo
número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma
manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).
Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para
cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso
multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.
La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.
Clasificación de los números irracionales
Dentro de la recta real numérica existen varios conjuntos de números, pero dentro de los números
irracionales hay más tipos para clasificar, estos son:
Número algebraico.- se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver alguna
ecuación algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o anidados. En general, las
raíces no exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es decir las raíces
cuadradas, cúbicas, etc.
Número trascendente.- este es un número irracional que no puede ser representado a través de un
número finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas
funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos, exponenciales, etcétera.
Aunque también pueden surgir de la simple acción de escribir números decimales al azar sin
periodicidad y sin un patrón determinado, podemos decir que son decimales infinitos.
Este último tipo, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación
algebraica, en otras palabras, son relevantes a la clasificación porque no tienen una representación
con un número radical.
Ejemplos de números irracionales
En primer lugar vamos a anotar los ya mencionados números irracionales algebraicos con ejemplos,
ya habíamos hablado de √2 o raíz cuadrada de dos que resulta de una ecuación algebraica, pero
también tenemos otros ejemplos que podrían resultar son:
(1+√3) /2
√ (1+√3) / 4
Por otro lado, tenemos a los números irracionales trascendentes, que no pueden representarse
mediante radicales como se lo ha hecho en el ejemplo anterior, sino que deben ser representados con
decimales infinitos no periódicos, y con tres puntos suspensivos para denotar que son infinitos, de lo
contrario estaríamos escribiendo números durante toda la eternidad, así:
0,1961325454898161376813268743781937693498749…
0,01001000100001000001000000100000001000000001…
TALLER
Realiza una tabla para colocar los siguientes números N, Q, Z, o I
Coloc cada número al mayor conjunto numérico al que pertenezca:
2,
,
,
,
,
,
,
,
.
,-
,
, 12,5. e, 5