Integrales Triples

Integrales Triples Centro de Masa y Momento de Inercia Integrales Triples en Coordenadas Cilindricas Coordenadas Cilindricas
Integrales Triples
Hermes Pantoja Carhuavilca
Facultad de Ingenierı́a Industrial
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Matematica II
Hermes Pantoja Carhuavilca
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C ONTENIDO
Integrales Triples
Introducción
Centro de Masa y Momento de Inercia
Integrales Triples en Coordenadas Cilindricas
Coordenadas Cilindricas
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D EFINICI ÓN
Definición
La integral triple de f sobre la caja B es
ZZZ
f (x, y, z)dV =
B
lı́m
l,m,n→∞
l X
m X
n
X
f (x∗ijk , y∗ijk , z∗ijk )∆V
i=1 j=1 k=1
si el lı́mite existe.
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I NTEGRAL T RIPLE
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V OLUMEN DE UN S OLIDO E
f (x, y, z) = 1
ZZZ
Volumen(E)=
dV
E
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Teorema (Teorema de Fubini)
Si f es continua sobre la caja rectangular B = [a, b] × [c, d] × [r, s]
entonces
ZZZ
f (x, y, z)dV =
B
Z sZ dZ b
r
c
f (x, y, z)dxdydz
a
Ejemplo
Evaluar la integral triple
ZZZ
xyz2 dV donde B está dado por
B
B = {(x, y, z) / 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3}
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I NTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS
E = {(x, y, z) / (x, y) ∈ D, u1 (x, y) ≤ z ≤ u2 (x, y)}
ZZZ
E
Integrales Triples
f (x, y, z)dV =
ZZ "Z u2 (x,y)
D
#
f (x, y, z)dz dA
u1 (x,y)
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I NTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS
E = {(x, y, z) / a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x), u1 (x, y) ≤ z ≤ u2 (x, y)}
ZZZ
E
Integrales Triples
f (x, y, z)dV =
Z b Z g2 (x) Z u2 (x,y)
a
g1 (x)
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f (x, y, z)dzdydx
u1 (x,y)
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I NTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS
E = {(x, y, z) / c ≤ y ≤ d, h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y), u1 (x, y) ≤ z ≤ u2 (x, y)}
ZZZ
E
Integrales Triples
f (x, y, z)dV =
Z d Z h2 (y) Z u2 (x,y)
c
h1 (y)
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f (x, y, z)dzdxdy
u1 (x,y)
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Ejemplo
Evaluar
ZZZ
zdV, donde Q es el tetraedro acotado por los planos
Q
x = 0, y = 0, z = 0 ; x + y + z = 1
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E JERCICIO 1
Ejercicio
Evalúe la integral
ZZZ
2ydV
E
Si E es el sólido acotado por los planos x + 2y + z = 4, x = 0, y = 0,
z=0
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E JERCICIO 2
Ejercicio
Evalúe la integral
ZZZ
y cos(x + z)dV
E
Si E es el sólido acotado por el cilindro x = y2 y los planos
x + z = π/2, y = 0, z = 0
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I NTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS
E = {(x, y, z) / (y, z) ∈ D, u1 (y, z) ≤ x ≤ u2 (y, z)}
ZZZ
E
Integrales Triples
f (x, y, z)dV =
ZZ "Z u2 (y,z)
D
#
f (x, y, z)dx dA
u1 (y,z)
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I NTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS
E = {(x, y, z) / (x, z) ∈ D, u1 (x, z) ≤ y ≤ u2 (x, z)}
ZZZ
E
Integrales Triples
f (x, y, z)dV =
ZZ "Z u2 (x,z)
D
#
f (x, y, z)dy dA
u1 (x,z)
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C ENTRO DE M ASA Y M OMENTO DE I NERCIA
Masa de un Solido
m=
ZZZ
ρ(x, y, z)dV
Q
Momentos
Myz =
Mxz =
Mxy =
Z
xρ(x, y, z)dV
Q
Z
yρ(x, y, z)dV
Q
Z
zρ(x, y, z)dV
Q
y Centro de Masa (x, y, z)
x=
Centro de Masa y Momento de Inercia
Myz
Mxy
Mxz
, y=
, z=
m
m
m
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E JEMPLO
Ejemplo
Encontrar el centro de masa de un solido de densidad constante que es
acotada por el cilindro parabólico x = y2 y los planos x = z ,z = 0;,
x = 1.
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S OLUCI ÓN
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I NTEGRALES T RIPLES EN C OORDENADAS
C ILINDRICAS
r ≥ 0,
0 ≤ θ < 2π
x = r cos θ, x2 + y2 = r2
y
y = r sin θ, tan θ =
x
z = z,
z=z
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Ejemplo
1. Coordenadas Cilindricas (2, 2π/3, 1) a Coordenadas
Rectangulares.
2. Coordenadas Rectangulares (3, −3, −7) a Coordenadas
Cilindricas.
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C OORDENADAS C ILINDRICAS
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C OORDENADAS C ILINDRICAS
Diferencial de volumen en coordenadas cilindricas
∆V = r∆r∆θ∆z
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C OORDENADAS C ILINDRICAS
E = {(x, y, z) / (x, y) ∈ D, u1 (x, y) ≤ z ≤ u2 (x, y)}
donde:
D = {(r, θ) / α ≤ θ ≤ β, h1 (θ) ≤ r ≤ h2 (θ)}
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C OORDENADAS C ILINDRICAS
Evaluación de la integral triple en coordenadas cilindricas
ZZZ
E
Coordenadas Cilindricas
f (x, y, z)dV =
ZZ "Z u2 (r,θ)
R
#
f (r cos θ, r sin θ, z)dz dA
u1 (r,θ)
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Ejemplo
Hallar el volumen de la región sólida Q que corta en la esfera
x2 + y2 + z2 = 4
el cilindro r = 2 sin θ, como se muestra en la figura.
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J ACOBIANO


 x = r cos θ
y = r sin θ

 z=z


cos θ −r sin θ 0
∂(x, y, z)


J(r, θ, z) =
= det  sin θ r cos θ 0  = r
∂(r, θ, z)
0
0
1
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Ejemplo
Evaluar
√
Z 2 Z
4−x2
√
−2 −
Coordenadas Cilindricas
4−x2
Z 2
√
x2 +y2
(x2 + y2 )dzdydx
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S OLUCI ÓN
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C OORDENADAS E SF ÉRICAS
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C AMBIO DE VARIABLE
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