Repartido 2 - Mecánica Estadística

INSTITUTO DE FÍSICA
MECÁNICA ESTADÍSTICA
Curso 2012
Práctico II – Postulados de Mecánica Estadística.
Fecha de Entrega: 21 de Setiembre de 2012. 1
Parte A: Ejercicios Teórico:
Ejercicio No 1 – Pico Agudo de la Degeneración.
Considere el ejemplo de un sistema de N espines de espín ½ donde N+ están
orientados en la dirección de un campo magnético externo aplicado H y N– están
orientados en la dirección opuesta. El exceso de espín es: ∆N = N + − N − ≡ 2r y la
degeneración de energía para un determinado exceso de espín es:
g (N , r ) =
N!
N
N

 + r ! − r !
2
 2

a) Observe que la degeneración, como función de r, es una función par.
b) Sin hacer uso de la aproximación de Stirling demuestre que:
 N
 N   r  N


i. ln  + r ! = ln  ! + ∑ ln + s 


 2
 2   s =1  2
 N
 N   r  N


ii. ln  − r ! = ln  ! − ∑ ln − s + 1


 2
 2   s =1  2
r (r + 1)
2
r
c) En los límites en que 1 << r << N, y haciendo uso de que
∑s =
s =1
demuestre que:
 2r 2 

g ( N , r ) = g ( N ,0)exp −
 N 
donde
g ( N ,0 )
N!
 N  
 2 !
  
2
.
d) Calcule, en esta aproximación, el número total de estados:
1
- La entrega mínima debe contener los ejercicios marcados con asterisco, que en este repartido son:
Ejercicios No 3, 4, 11 y 12.
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r=N
∑ g (N , r )
G=
2
r =− N
2
SUGERENCIA: Aproxime esta suma por una integral (válida en el límite r >> 1)
y, extienda los límites de integración hasta el infinito observando que el
integrando es despreciable si r > N . Recuerde que:
2
+∞
(
)
I n ≡ ∫ dx exp − αx 2 x n =
0
1
2α
( n+1)
2
 n +1
Γ

 2 
y la función Gamma tiene las siguientes propiedades:
Γ(n + 1) = n! para n entero,
1
Γ  = π , Γ(ν + 1) = νΓ(ν )
2
n! !
n 
Γ + 1 = π n +1 para n impar siendo por definición: 0! ! = 1 ,
2 
2 2
1! ! = 1 y n! ! = n (n − 2 )! ! para n ≥ 2.
e) Aplique la aproximación de Stirling en su forma n!≅ n n e − n 2πn para
obtener un valor aproximado de G. Interprete el resultado.
NOTA: Vea también el Ejercicio No 4.
Ejercicio No 2 – Oscilador Armónico Simple.
Considere un oscilador armónico simple (clásico), de masa m y frecuencia
característica ω0, con energía E:
a) Encuentre las trayectorias en el espacio de fase que corresponden a esta
energía. ¿Cuál es el “volumen”, en el espacio de fase (bidimensional),
encerrado por esta trayectoria?
b) Si la energía está indeterminada en unidades de ∆, encuentre cuál es el
“volumen” encerrado entre las trayectorias de energías E y E + ∆.
c) Comparando con los valores de energía discretos del resultado cuántico
interprete y comente.
Ejercicio No 3 (*) – Espacio Fásico (Reif 2.3).
Considere un conjunto de osciladores armónicos clásicos unidimensionales.
a) El desplazamiento x de un oscilador en función del tiempo t es
x = A cos (ωt + ϕ ) . Suponga que el ángulo ϕ de fase puede tomar un valor en
el intervalo 0 < ϕ < 2π con igual probabilidad. O sea, la probabilidad w(ϕ)dϕ
de que ϕ esté en el intervalo entre ϕ y ϕ + dϕ viene dada por w(ϕ) = (2π)-1.
Para cualquier instante determinado t, halle la probabilidad P(x)dx de que x
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esté entre x y x + dx calculando la suma w(ϕ)dϕ para todos los valores de ϕ
para los que x está en ese intervalo. Déjela expresada en función de A y x.
b) Considere el espacio fásico clásico para dicho conjunto de osciladores, cuyas
energías se sabe están entre E y E + δE. Calcule P(x)dx tomando la relación
del volumen del espacio fásico que está en ese intervalo de energía y en el
intervalo entre x y x + dx, al volumen total del espacio fásico que está en el
intervalo de energías entre E y E + δE. Déjela expresada en función de E y x.
c) Compare, relacionando E con A, los dos resultados anteriores.
Ejercicio No 4 (*) – Sistema de Spines y Temperatura Negativa (Reif 2.4 y 3.2).
Considere un sistema aislado formado por un gran número N de partículas
localizadas muy débilmente interactivas y situadas en un campo magnético externo H.
Cada partícula tiene espín ½ y momento magnético µ0. El momento magnético µ0 puede
tener sentido paralelo o antiparalelo al campo externo H. La energía del sistema es E =
(n2 – n1) µ0 H, siendo n1 el número de espines alineados paralelamente a H y n2 el
número de espines antiparalelos a H.
a) Considere el intervalo de energía entre E y E + δE, en el que δE << E, pero
es microscópicamente grande, de forma que δE >> µ0H. ¿Cuál será el
número total de estados Ω(E) que existen en este intervalo de energía?
b) De una expresión para ln Ω(E) en función de E. Simplifique esta expresión
aplicando la fórmula de Stirling en su forma más sencilla.
c) Suponga que la energía E está en una región en que Ω(E) es apreciable, esto
es, no muy cerca de los extremos posibles de energía ±Nµ0H. En este caso,
aplique la aproximación de Gauss a la parte a) para obtener una expresión
sencilla de Ω(E) en función de E.
NOTA: Utilice el resultado del Ejercicio No 1.
d) Utilizando la expresión de ln Ω(E) calculada en la parte b) y la definición
∂ ln Ω
β=
, determine la relación entre la temperatura absoluta T y la energía
∂E
total E de este sistema.
e) ¿Bajo qué circunstancias T es negativa?
f) El momento magnético total M de este sistema está relacionado con su
energía E. Utilice el resultado de la parte d) para determinar M en función del
campo externo H y la temperatura absoluta T.
Ejercicio No 5 – Sistema de Spines en Ausencia de Campo Externo.
Considere el mismo sistema de N de espines del Ejercicio No 4. Considere el
caso en que el sistema se encuentra en ausencia de campo externo. El momento
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N
magnético total de este sistema es M = ∑ µ i en donde el momento magnético del espín
i =1
i-ésimo puede valer + µ0 o – µ0 con igual probabilidad.
a) Calcule el valor máximo de M.
b) Calcule el valor esperado del momento magnético total M .
c) Calcule su dispersión
(∆M )2
.
d) Calcule su desviación cuadrática media ∆* M =
(∆M )2
. ¿Cómo depende
∆* M
con N? Interprete.
M max
Ejercicio No 6 – Sistemas de Espines en Contacto Térmico (Reif 3.3).
Considere dos sistemas de espines A y A’ colocados en un campo externo H. El
sistema A está formado por N partículas localizadas débilmente interactivas de espín ½ y
momento magnético µ0. De igual forma el sistema A’ está formado por N’ partículas
localizadas débilmente interactivas de espín ½ y momento magnético µ0’. Los dos
sistemas están inicialmente aislados, con energías totales respectivas bNµ0H y b’N’µ0’H.
Se ponen en contacto térmico mutuo. Se supone b << 1 y b' << 1 , de forma que las
expresiones simples de la parte c) del Ejercicio No 4 (y el Ejercicio No 1) pueden ser
utilizadas para la densidad de estados de los dos sistemas.
a) En la situación más probable correspondiente al equilibrio térmico final,
~
~
calcule la energía E del sistema A respecto a la energía E ′ del sistema A’.
~
b) ¿Cuál es el valor de la energía E del sistema A?
c) ¿Cuál es el calor Q absorbido por el sistema A al pasar de la situación inicial
a la final, cuando está en equilibrio con A’?
d) ¿Cuál es la probabilidad P(E)dE que A tenga energía final entre E y E + δE?
( )
e) ¿Cuál es el valor de la dispersión ∆* E
2
≡ (E − E
)
2
de la energía E del
sistema A en la situación final de equilibrio?
f) ¿Cuál es el valor de la dispersión relativa
∆* E
~ en el caso que N’ >> N?
E
Parte B: Ejercicios Prácticos:
Ejercicio No 7 – Probabilidad y Correlación en el Sistema de Espines.
Considere el mismo sistema del Ejercicio No 4. O sea, un sistema aislado
formado por N partículas localizadas muy débilmente interactivas, donde ahora N no es
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necesariamente grande. Las mismas están situadas en un campo magnético externo H.
Cada partícula tiene espín ½ y momento magnético µ0. El momento magnético µ0 puede
tener sentido paralelo o antiparalelo al campo externo H, lo que se representa con un
número cuanto σi (para el i-ésimo espín) que puede tomar valores +1 o –1,
respectivamente. La energía del sistema es E = ∆N µ0 H donde ∆N = N + − N − es el
exceso de espín, siendo N+ el número de espines alineados paralelamente a H y N– el
número de espines antiparalelos a H. La configuración del sistema (estado
microscópico) está dada por el conjunto de N números cuánticos σ1, σ2, . . . σN.
a) Calcule la probabilidad de una determinada configuración P(σ1, σ2, . . . σN)
usando el principio de iguales probabilidades a priori.
SUGERENCIA: Asuma P(σ1, σ2, . . . σN) normalizada, y utilice la
N!
.
degeneración g ( N , ∆N ) =
N + !N −!
b) El resultado de la parte a) es la probabilidad conjunta de las variables σi.
Calcule a partir de allí las probabilidades P+ y P– de que un determinado
espín σj tome valores +1 o –1, respectivamente. Exprese el resultado en
función de N+ y N–, en primer lugar y luego en función de E, N, µ0 y H.
SUGERENCIA: P+ = P(σ1 = +1) se calcula sumando P(σ1, σ2, . . . σN) para
el resto de todos los valores de espin compatibles con la energía del
sistema y σ1 = +1. Es decir, N – 1 espines con N+ – 1 alineados
paralelamente a H y N– antiparalelos a H.
NOTA: Observe que el resultado es independiente del espín que se considere
fijo, es independiente del tamaño del sistema, y, si N es grande,
corresponde a la probabilidad de un determinado resultado en un
ensemble de espines.
c) (Amit II.3.4) Procediendo como en la parte anterior calcule P+ +, P+ –, P– + y
P– –, las probabilidades conjuntas de que dos espines particulares σ1 y σ2
tomen los valores (+1, +1), (+1, − 1), (− 1, +1) y (−1, −1), respectivamente.
d) Utilice los resultados anteriores para estudiar la correlación entre los espines
calculando la covarianza C = σ 1σ 2 − σ 1 σ 2 , en función de N y ∆N.
Estudie el signo de la misma y su límite para N grande.
Ejercicio No 8 (Reif 3.1):
Una caja tiene una pared de separación que divide su volumen en la relación 3:1.
La parte mayor de la caja contiene 1000 moléculas de gas Ne; la más pequeña 100
moléculas de gas He. Se realiza un agujero en la pared de separación y se espera hasta
que se llega al equilibrio.
a) Determinar el número medio de moléculas de cada tipo que habrá a cada
lado de la separación.
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b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar las 1000 moléculas de Ne en la parte
más grande y las 100 de He en la parte más pequeña (o sea, la misma
distribución que el sistema inicial)?
Ejercicio No 9:
Considere la dependencia del número de estados accesibles con la energía para
partículas libres. Sea Φ(E) el número de estados con energía menor que E, y ω(E) la
dΦ ( E )
.
densidad de estados; o sea, el número de estados por unidad de energía: ω(E ) =
dE
a) Calcule Φ(E) y ω(E) para una partícula en una caja cúbica de volumen V = L3
con “energía grande”.
b) Calcule el número de estados entre E y E + δE para un átomo de hierro en
3
E
una caja cúbica de 10 cm de lado a 300 K, siendo E = k B T y δE =
.
2
100
c) Calcule, para partículas en una caja, la dependencia de Φ(E) con la energía
total E, el número de partículas N y el volumen V.
d
π 2 Rd
NOTA: El volumen de una esfera de dimensión d y radio R es
.
d 
Γ + 1
2 
d) Con los valores de la parte b) calcule
Φ (E + δE )
para N = 1023.
Φ (E )
DATOS ÚTILES:
•
Constante de Boltzmann: kB ≅ 1.3806503 × 1023 J/K,
•
Masa atómica del Hierro (Fe): 55.845 gramos/mol,
•
Vea el Ejercicio No 1 para las propiedades de las Funciones Gamma.
Ejercicio No 10:
Considere un sistema macroscópico a 300 K (temperatura ambiente).
a) Calcule el porcentaje de aumento del número de estados accesibles si la
energía aumenta 0.001 eV.
b) Suponga que el sistema absorbe un fotón de 500 nm de longitud de onda.
¿En qué factor aumenta el número de estados accesibles?
DATOS ÚTILES:
•
Constante de Plank: h = 6.6260693 × 10-34 Js.
•
1 eV = 1.602 × 10−19 J.
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Ejercicio No 11 (*) – Sistema de Dos Niveles.
Considere un sistema aislado de N partículas con solo dos niveles de energía
posibles, ± ε/2. Calcule:
a) El número de estados accesibles en función de la energía E.
b) La temperatura T.
c) La capacidad térmica C del sistema a temperatura T. En particular estudie:
i. ¿Cómo depende el signo de C con el de T?
ii. ¿Cuánto vale C cuando T → 0? Interprete.
iii. La dependencia de C con T en el límite de altas temperaturas.
iv. Haga un bosquejo de C(T).
Ejercicio No 12 (*) – Gas Reticular (sin Interacción).
Considere un gas de N partículas distribuidas en N0 celdas. Cada celda puede
estar vacía u ocupada por una única partícula. O sea: cada partícula está en una celda (y
no puede haber más de una partícula por celda) pero no todas las celdas están ocupadas:
N < N0. Si cada celda tiene volumen v0 fijo, el volumen del sistema total será: V = v0 N0.
a) Halle la entropía por partícula del sistema, s(v) siendo v = V/N el volumen
específico.
b) Obtenga una expresión para el cociente entre la presión y la temperatura p/T
en función de la concentración n = 1/v.
c) Muestre que en el límite N << N0 el resultado anterior tiende a la ecuación de
estado de los gases ideales.
d) (Kittel Problema 5.2) En el mismo límite de la parte anterior encuentre el
potencial químico µ en función de T y la fracción de celdas ocupadas N/N0.
NOTA: Compare con el resultado del Ejercicio No 14c.
Ejercicio No 13 – Cadena Lineal de Polímeros.
Una banda de goma, está sujeta por un extremo a un clavo y soporta por el otro
extremo un peso W. Suponga (como modelo microscópico sencillo de una banda de
goma) que está compuesta de una cadena de polímeros ligados de N segmentos
unidimensionales unidos extremo a extremo. Cada segmento tiene una longitud a y
puede orientarse paralela o perpendicularmente a la dirección vertical descendente.
Considerando el sistema como aislado y despreciando las energías cinéticas, los pesos
de los segmentos o cualquier interacción entre ellos:
a) Calcule la entropía S en función de longitud L de la cadena.
b) Encuentre una expresión para la longitud media L resultante de la banda
de goma como función de W.
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c) Calcule la constante elástica asociada.
Parte C: Ejercicios Adicionales:
Ejercicio No 14 – Gas Ideal (Kittel, Problemas 4.1 y 5.1):
Para el número de estados accesibles Φ(E) calculado en la parte c del Ejercicio
No 9 muestre que:
a)
E =
3
Nk B T
2
 ∂2S 
b)  2  es negativo.
 ∂E  N
c) Halle la relación entre el potencial químico µ con la temperatura T y el
volumen V.
NOTA: Compare con el resultado del Ejercicio No 12c.
Ejercicio No 15 – Mezcla de Gases Ideales (Reif 3.5 y 3.6):
Un sistema está formado por N1 moléculas de tipo 1 y N2 de tipo 2, encerradas
dentro de una caja de volumen V. Se supone que las moléculas tienen interacciones
mutuas muy débiles de forma que constituyen una mezcla de gas ideal.
a) ¿Cómo depende el número total de estados Ω(E) en el intervalo entre E y E +
δE del volumen del sistema?
b) Use el resultado anterior para hallar la ecuación de estado de este sistema,
esto es, la presión media p en función de V y T.
c) Una ampolla de vidrio contiene aire a la temperatura ambiente y presión de 1
atmósfera. Un físico la coloca en una cámara llena con gas de helio a 1
atmósfera y a la temperatura ambiente. Unos pocos meses más tarde, el físico
lee que el vidrio del que está hecha la ampolla es completamente permeable
al helio, aunque no a los otros gases. Suponiendo que el equilibrio se ha
alcanzado en el tiempo transcurrido, ¿cuál será la presión de gas que el físico
medirá dentro de la ampolla cuando vaya a comprobarla?
Parte D: Repaso Termodinámica:
Ejercicio No 16 – Proceso de Joule-Thompson o Joule Kelvin:
Considere un proceso isentálpico producido por un gradiente de presiones, por
ejemplo el pasaje de un gas de un recipiente a otro a través de una pared porosa.
a) Demuestre que:
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 ∂S 
i.   = −Vα .
 ∂P  H
V
 ∂T 
(Tα − 1) .
ii. µ J ≡ 
 =
 ∂P  H C p
1  ∂V 

 es el coeficiente de expansión térmica, µJ es el
V  ∂T  P
coeficiente de Joule-Thompson (o Joule-Kelvin) y Cp es la capacidad
calorífica a presión constante.
donde α ≡
b) Discuta en qué condiciones puede usarse este proceso para licuar (enfriar)
gases y si el mismo es reversible o no.
c) Aplique la ecuación ii de la parte a:
i. Un gas ideal.
ii. Un gas de van der Waals en el límite de muy bajas
concentraciones. ¿Cuándo será posible licuar el gas de van der
Waals?
a

NOTA: Para el gas de van der Waals  P + 2 (v − b ) = RT el
v 

límite de muy bajas concentraciones (pero no tan bajas
para tener un gas ideal) corresponde a v >> b, donde
v = 1 es el volumen específico.
n
(
)
Ejercicio No 17 – Magnetoestricción y Demagnetización Adiabática:
Para un material magnético, de momento magnético total M, que se encuentra en
un campo magnético de intensidad H, podemos escribir: 2
dE = TdS − PdV + HdM
Se definen los calores específicos a H y M constantes, con X = P o V constantes:
 ∂S 
C M, X ≡ T 

 ∂T  M,X
y
 ∂S 
C H, X ≡ T  
 ∂T  H, X
∂H  ∂M 
a) Mostrar que: C M, X − C H,X = T 
 
 .
 ∂T  M, X  ∂T  H,X
b) Magnetoestricción: La imantación de un cuerpo ferromagnético en un
campo H produce su deformación.
2
- En este caso existen dos formas diferentes de definir la energía del sistema, que dependen de qué parte
de la energía magnética se considera como parte del sistema. Las dos formas son:
dE A = TdS − PdV − MdH
dE B = TdS − PdV + HdM
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 ∂V 
∂M 
i. Demuestre que: 
 = −
 .
 ∂ H  P ,T
 ∂P  H,T
ii. Aplique para un material paramagnético en que M = χVH siendo
χ la susceptibilidad específica (por unidad de volumen). ¿Qué
sucede si χ solo depende de la temperatura?
c) Demagnetización Adiabática:
i. Demuestre que manteniendo cualesquiera de P o V constantes:
T ∂M 
 ∂T 

 =−


C H  ∂T  H
 ∂ H S
ii. Aplique a un material paramagnético que obedece la ley de Curie
( χ = K , siendo K independiente de la temperatura), y deduzca
T
qué sucede si se disminuye adiabáticamente la intensidad
magnética en este material.
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