PROCESOS ESTOC´ASTICOS I Tarea No. 3. Profesora: Dra. Bego

PROCESOS ESTOCÁSTICOS I
Tarea No. 3.
Profesora: Dra. Begoña Fernández Fernández
Fecha de entrega: 24 Mayo de 2012 1
1. Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad y F1 ⊂ F2 ⊂ F σ−álgebras. Sea Y una F-v.a.
Demostrar que:
E[Y |F1 ] = E[E[Y |F1 ]|F2 ] = E[E[Y |F2 ]F1 ].
2. Sea (Ω, F, (Fn )0≤n≤K , P ) un espacio de probabilidad filtrado. Supongamos que (Xn )0≤n≤K
es una Fn martingala. Demuestre que
Xn = E[Xk |Fn ],
0 ≤ n ≤ k ≤ K.
3. Consideremos el espacio de estados de dos lanzamientos de monedas Ω = {AA, AS, SA, SS}.
Supongamos que los precios de una acción están dados por:
S0 = 4, S1 (HH) = S1 (HT ) = 8, S1 (T H) = S1 (T T ) = 2,
S2 (HH) = 16, S2 (HT ) = S2 (T H) = 4, S2 (T T ) = 1.
Definimos además la variable X = I{4} S2 , que vale 1 si S2 es 4 y vale 0 si no. Determina la
σ−álgebra generada por S1 y la σ−álgebra generada por X.
4. Sea n un entero positivo y a y b reales. Consideremos Ω el espacio de todas los vectores en
Rn tales que todas sus entradas son a o b. Para ω ∈ Ω, i = 1, . . . , n, definimos Xi (ω) como la
proyección en la i−ésima coordenada.
Definimos además para i = 1, . . . , n a las variables Yi = X1 +X2 +. . .+Xi y Zi = X1 ·X2 ·. . .·Xi .
(i) Muestra que la σ−álgebra generada por (X1 , X2 , . . . , Xn ) es igual a la σ−álgebra generada por (Y1 , Y2 , . . . , Yn ).
(ii) Si a y b son distintos de 0, muestra que la σ−álgebra generada por (X1 , X2 , . . . , Xn ) es
igual a la σ−álgebra generada por (Z1 , Z2 , . . . , Zn ).
(iii) Para n = 2, a = 0 y b = 1, muestra que la Muestra que la σ−álgebra generada por
(X1 , X2 , . . . , Xn ) contiene propiamente a la σ−álgebra generada por (Z1 , Z2 , . . . , Zn ).
5. En la Urna de Polya comienzan w bolas blancas y b bolas negras para algunos enteros positivos
w y b dados. En un paso se saca una pelota aleatoriamente, se ve, se regresa y además se mete
otra con el mismo color. Este proceso se repite varias veces.
Sea (Xn )n≥0 la proporción de bolas blancas que hay en la urna tras n pasos. Muestra que
(Xn )n≥0 es martingala.
1 Fecha
tentativa.
1
6. Consideremos Sn0 , Sn1 , 0 ≤ n ≤ N dos activos financieros descritos por:
Sn0 = (1 + r)n ,
S00 = 1,
Sn1 = Tn Sn−1 ,
S01 = s,
donde r es constante (la tasa de interés), 1 + r > 0 y T1 , . . ., Tn son variables aleatorias
independientes idénticamente distribuidas tales que:
p = P [Ti = a] = 1 − P [Ti = b],
Definimos
S̃n =
0 < a < b.
Sn1
.
Sn0
En los siguientes casos, encuentre p tal, que (S̃n )0≤n≤N es martingala. En caso de que no
exista, justifique.
(i) 1 + r < a.
(ii) b < 1 + r.
(iii) a < 1 + r < b.
(iv) Para el caso en que existe p tal que (S̃n )0≤n≤N es martingala, de una expresión para las
siguientes cantidades:
E[máx{(S2 − K), 0}|F1 ],
E[máx{(S2 − K), 0}|F0 ]
Esto les debe dar el precio de un call europeo con precio de ejercicio K y fecha de ejercicio
K = 2.
Este modelo se conoce como el Modelo de Cox-Ross y Rubinstein. Revisen la bibliografı́a y
discutan los casos en los que no existe p, en términos de la noción de arbitraje en finanzas.
7. Sea (Xn )n≥0 una Cadena de Markov con espacio de estados finito E ⊂ R. Supongamos que la
cadena tiene dos estados absorbentes i y j y los demás estados son transitorios. Sea g : R → R
tal que (g(Xn ))n≥0 es martingala.
Demuestren, usando la propiedad de martingala, que las probabilidades de absorción ρki , ρkj ,
k ∈ E, k 6= i, j, satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:
g(k) = g(i)ρki + g(j)ρkj
1 = ρki + ρkj .
2
8. Considere una Cadena de Nacimiento y Muerte con valores en E = {0, 1, . . . , N }, donde el
estado 0 y el N son absorbentes, es decir, una Cadena de Markov con matriz de probabilidades
de transición dada por:.


1 0 0
· ·
·
·
·

 q1 r1 p1 · ·
·
·
·



 0 q2 r2 p2 ·
·
·
·



 ·
·
·
· ·
·
·
·



 ·
·
·
· ·
·
·
·



 ·
·
·
· ·
·
·
·


 ·
·
·
· · qN −1 rN −1 pN −1 
·
·
·
· ·
·
0
1
donde 0 < ri < 1, qi + ri + pi = 1, i ∈ {1, . . . , N − 1}.
(i) ¿Bajo qué condiciones sobre pi , qi , ri , i ∈ {1, . . . , N − 1} los estados 1, . . . , N − 1 son
transitorios?
(ii) Si los estados 1, . . . , N −1 son transitorios, ¿bajo qué condiciones la cadena es martingala?
(iii) Calcule las probabilidades de absorción, usando la propiedad de martingala.
9. Considere una Cadena de Markov con espacio de estados E = {0, . . . , 2N }. Supongamos que
los estados 0 y 2N son absorbentes y que las probabilidades de transición están dadas por
Pij = P [Xn = j|Xn−1 = i] =
(i) Supongamos que pi =
lidades de absorción.
1
2N .
2N j
pi (1 − pi )2N −j .
j
Demuestre que (Xn )n≥0 es martingala y calcule las probabi-
(ii) Sea 0 < q < 1 y supongamos que
pi =
1 − qi
.
1 − q 2N
Demuestre que (q 2nXn )n≥0 es una martingala. Calcule las probabilidades de absorción.
10. La Cadenas de Markov del ejercicio anterior es conocida como la Cadena de Wright. El
primer inciso es la cadena de Wright con deriva pura y el segundo es la de ventaja selectiva.
¿A qué problema corresponden? Busquen bibliografı́a y hagan un pequeño resumen.
11. Buscar información sobre la Paradoja de San Petesburgo. Hay varias discusiones en la literatura. Hagan un pequeño resumen.
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