Cálculo Avanzado

Cálculo Avanzado
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Índice general
1. Espacios Métricos
1.1. Métricas . . . . . . . . . . . . .
1.2. Abiertos . . . . . . . . . . . . .
1.3. Conceptos básicos de Topologı́a
1.4. Separabilidad . . . . . . . . . .
1.5. Completitud . . . . . . . . . . .
1.6. Conexión . . . . . . . . . . . .
1.7. Compacidad . . . . . . . . . . .
1.8. Teorema de Stone - Weierstrass
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2. Diferenciación
2.1. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Teorema de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
Capı́tulo 1
Espacios Métricos
1.1.
Métricas
Definición. Una métrica o distancia en un conjunto M es una función
d : M × M → R≥0
que cumple con las siguientes propiedades:
∀x ∈ M
∀x, y ∈ M
d(x, x) = 0
x 6= y ⇒ d(x, y) = d(y, x) > 0
∀x, y, z ∈ M
d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)
Lema 1. ∀x, y, z ∈ M vale |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y).
Demostración. Supongamos sin pérdida de generalidad d(x, z) > d(y, z) ya que si esto no pasa
llamamos x a y e y a x y obtenemos la misma desigualdad. Entonces hay que ver que d(x, z) −
d(y, z) ≤ d(x, y), pasando d(y, z) sumando al término de la derecha obtenemos d(x, z) ≤ d(x, y)+
d(y, z) que es la desigualdad triangular que habı́amos puesto como condición para cualquier
función que sea una métrica.
Definición. Un espacio métrico es un par (M, d) donde M es un conjunto y d es una métrica
de M .
Veamos algunos ejemplos de espacios métricos:
(R, d) con d(x, y) = |x − y|
(Rn , d2 ) con d(x, y) = ||x − y||2
(Rn , d∞ ) con d(x, y) = ||x − y||∞
(M, d) con d(x, x) = 0 y d(x, y) = 1(x 6= y)
Definición. Dos métricas d y d0 en un conjunto M son equivalentes si
∃ c1 , c2 ∈ R+ : c1 d0 (x, y) ≤ d(x, y) ≤ c2 d0 (x, y)
∀x, y ∈ M
Ejemplo 1. Probemos que las metricas dadas por || · ||1 , || · ||2 y || · ||∞ son métricas equivalentes
de Rn :
n
X
d1 (x, y) =
|xi − yi |
i=1
v
u n
uX
d2 (x, y) = t (xi − yi )2
i=1
d∞ (x, y) =
máx |xi − yi |
1≤i≤n
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CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
Demostración. Veamos que
d∞ ≤ d2 ≤ d1 ≤ n · d∞
Primero probemos la primer desigualdad. Para todo par x, y ∈ Rn queremos ver que
v
u n
uX
máx |xi − yi | ≤ t
|xi − yi |2
1≤i≤n
i=1
Como ambos términos son positivos, podemos elevar al cuadrado y nos queda
n
X
máx |xi − yi |2 ≤
1≤i≤n
|xi − yi |2
i=1
Ahora podemos observar fácilmente que el término de la izquierda es uno de los términos que
suman en la derecha, y como los términos de la derecha son cuadrados, entonces son positivos y
esto prueba la desigualdad, ya que del lado derecho de la desigualdad tenemos el término de la
izquierda más otros términos que son positivos.
Veamos ahora que se cumple la segunda desigualdad.
v
u n
n
X
uX
2
t
|xi − yi | ≤
|xi − yi |
i=1
i=1
Esta vez, si volvemos a elevar al cuadrado, ya que nuevamente los dos términos son positivos,
podemos expresar la desigualdad de esta manera
n
X
|xi − yi |2 ≤
i=1
n X
n
X
|xi − yi | · |xi − yi |
i=1 j=1
Del lado izquierdo tenemos los productos |xi − yi | · |xj − yj | sólo para los valores i = j, en cambio
del lado derecho de la desigualdad tenemos todos estos términos para 1 ≤ i, j ≤ n, por lo que los
términos de la izquierda son algunos de los términos de la derecha, y como son todos positivos,
entonces se cumple la desigualdad.
Por último veamos que se cumple la tercera desigualdad.
n
X
|xi − yi | ≤ n · máx |xi − yi |
1≤i≤n
i=1
Podemos reescribir esta desigualdad como
n
X
i=1
|xi − yi | ≤
n
X
i=1
máx |xi − yi |
1≤i≤n
Y si agrupamos uno a uno los sumandos de ambos lados, el de la derecha siempre es mayor o
igual al de la izquierda, por lo que queda probada la última desigualdad.
Podemos deducir entonces que las tres distancias son equivalentes.
1.2.
Abiertos
Definición. Sea (X, d) un espacio métrico, x0 ∈ X y ∈ R+ definimos la bola abierta centrada
en x0 y de radio como
B(x0 , ) = {x ∈ X / d(x, x0 ) < }
1.2. ABIERTOS
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Definición. Sea (X, d) un espacio métrico y sea U ⊆ X. Decimos que U es un abierto de X si
∀x ∈ U
∃ ∈ R+ / B(x0 , ) ⊆ U
Lema 2. Toda bola abierta es abierta.
Demostración. Por más que suene redundante, es necesario demostrar que una bola abierta
0)
cumple con la definición de abierto. Para esto alcanza con ver que B(x, −d(x,x
) ⊆ B(x0 , ),
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por lo que encontramos dada una bola B(x0 , ), una bola centrada en x y contenida en la bola
original para todo x de la bola.
Lema 3. Se cumplen las siguientes propiedades:
1. X es un abierto de (X, d) y también lo es ∅.
2. La unión de abiertos es abierto.
3. Intersección finita de abiertos es abierto.
Demostración. Veamos que se cumplen las tres propiedades:
1. Es trivial ver que ∅ es abierto porque la condición para ser abierto es que todos los puntos
del conjunto cumplan con una condición, y dado que ∅ no tiene ningún punto, entonces
todos sus puntos cumplen con todas las condiciones que se les quiera imponer. Para ver
que X es un abierto de (X, d) alcanza con ver que dado un punto x ∈ X, cualquier bola
centrada en x va a estar contenida en X ya que X contiene a todos los puntos de X y
toda bola de X está contenida en X.
[
2. Supongamos que x ∈
Xi , entonces existe al menos un i tal que x ∈ Xi , luego hay
i∈I
una bola contenida en Xi centrada en x, y como Xi ⊆
[
Xi , entonces esta bola también
i∈I
estará contenida en
[
Xi por lo que la unión de los Xi es un abierto.
i∈I
3. Supongamos que x ∈
\
Xi con I finito. Entonces para cada i ∈ I tenemos x ∈ Xi .
i∈I
Luego existen radios i tales que B(x, i ) ⊆ Xi . Luego nos tomamos mı́n i para cada x
y encontramos una bola con ese radio centrada en xi que está en la intersección de los
finitos abiertos. Si fuesen infinitos abiertos podrı́a pasar que i sea por ejemplo 1i por lo
que no podrı́amos tomar mı́nimo sino que tendrı́amos que tomar el ı́nfimo, y este ı́nfimo
serı́a 0 y el radio de una bola abierta tiene que ser un real positivo, por lo que no sólo
probamos que intersección finita de abiertos es abierto sino que también probamos que
intersección arbitraria de abiertos no siempre es abierto. Un ejemplo concreto serı́a tomar
en R el intervalo (− n1 , n1 ) para todo n ∈ N, la intersección de estos intervalos abiertos es
el intervalo [0, 0] que no es abierto.
Definición. Un espacio topológico es un espacio M y una colección de conjuntos A ∈ M a los
que llamamos abiertos tales que
1. ∅ ∈ A ∧ M ∈ A
2. X ∈ A ∧ Y ∈ A ⇒ X ∩ Y ∈ A
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CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
3. ∀i ∈ I Xi ∈ A ⇒
[
Xi ∈ A
i∈I
Definición. Sean (X, dx ), (Y, dy ) espacios métricos. Una función f : X → Y se dice continua
en x0 ∈ X si
∀ ∈ R+ ∃ δ ∈ R+ / dx (x0 , x) < δ ⇒ dy (f (x0 ), f (x)) < Se dice que f es continua si es continua en todos los puntos de X.
Definición. Se dice que f : X → Y es continua por abiertos si la preimagen de todo abierto es
abierto.
Lema 4. Una función es continua si y sólo si es continua por abiertos.
Demostración. Sea f : X → Y y U ⊂ X un abierto tal que f restringida a U es continua por
abiertos. Sea x0 ∈ U y ∈ R+ , tomamos V = B(f (x0 ), ) que es un abierto, entonces f −1 (V )
es un abierto de U . Como x0 ∈ f −1 (V ) entonces ∃δ1 ∈ R+ /B(x0 , δ1 ) ⊆ fU−1 (V ) donde fU−1 (V )
son las preimagenes de V por f que están en U . También existe δ2 ∈ R+ tal que B(x0 , δ2 ) ⊆ U .
Si tomamos δ = mı́n(δ1 , δ2 ) entonces B(x0 , δ) ⊆ fU−1 (V ) luego f es continua en x0 y como esta
demostración no usa ninguna dato de x0 más que estar en U es continua en todo U .
Sea f : X → Y continua y sea V ⊆ Y abierto y sea x0 ∈ f −1 (V ). Busco δ > 0 tal que
B(x0 , δ) ⊆ f −1 (V ).
f (x0 ) ∈ V ⇒ ∃ > 0/B(f (x0 , )) ⊆ V
⇒ ∃δ > 0/(d(x, x0 ) < δ ⇒ d(f (x), f (x0 )) < )
⇒ B(x0 , δ) ⊆ f −1 (V )
Esto demuestra que la preimagen de V es un abierto, por lo que f es continua por abiertos. La
misma demostración sirve para ver que si U ⊆ X entonces f continua en U implica f continua
por abiertos en U y viceversa.
[
Corolario 1. Sea f : X → Y con X =
Uα con los Uα abiertos. Si f restringida a Uα es
α∈I
continua para todo α entonces es continua en X.
Demostración. Como f es continua en todo Uα entonces es continua por abiertos en todo Uα .
Tomamos
V ⊆ Y y tomamos los conjuntos Aα = f −1 (V ) ∩ Uα para todo α, es fácil
S un abierto
ver que Aα = f −1 (V ) ya que todo punto de f −1 (V ) tiene que estar en al menos algún Aα ya
que está en f −1 (V ) y está en algún Uα . Además como Uα es abierto, la preimagen de abiertos
en f (Uα ) es abierto. Tomemos ahora f (Uα ) ∩ V
Definición. Sea (M, d) un espacio métrico, x ∈ M y r > 0. Se definen:
B(x, r) = {y ∈ M : d(x, y) < r}
B[x, r] = {y ∈ M : d(x, y) ≤ r}
S(x, r) = {y ∈ M : d(x, y) = r}
Definición. Si E es un R-espacio vectorial, una norma en E es una función ||·|| : E → R+ tal que
1. ||x|| > 0 si x 6= 0
2. λ||x|| = ||λx|| ∀λ ∈ R, x ∈ E
3. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ∀x, y ∈ E
1.2. ABIERTOS
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Definición. Si (M1 , d1 ), . . . , (Mn , dn ) son espacios métricos definimos en
M 1 × · · · × Mn
la métrica d como
d(x, y) = máx di (xi , yi )
1≤i≤n
Ası́ podemos definir las bolas como
B(x, r) =
n
Y
Bi (xi , r)
i=1
Definición. Si X es un conjunto, f : X → R se dice acotada si
∃ c > 0/|f (x)| ≤ c ∀x ∈ X
Definición. Si (M, d) es un espacio métrico, A ⊆ M y x ∈ M entonces
d(x, A) = ı́nf{d(x, a) : a ∈ A}
diam A = sup{d(a, b) : a, b ∈ A}
Si B ⊆ M
d(A, B) = ı́nf{d(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} = ı́nf{d(a, B) : a ∈ A}
A es acotado si diam A < ∞
Proposición 1. Sea (M, d) un espacio métrico, x ∈ M , A ⊆ M . Entonces
1. diam B(x, r) ≤ 2r (2r si M es normado)
2. A es acotado sı́ y sólo sı́ ∃x ∈ M, r ∈ R / A ⊆ B(x, r)
Demostración. 1. Es fácil ver que B(x, r) ≤ 2r por desigualdad triangular tomando los dos
puntos que distan a más de 2r y el centro de la bola y llegando a un absurdo. EN un espacio
normado tomamos v de norma r y x + v, x − v ∈ B(x, r) teniendo d(x + v, x − v) = 2r.
2. Si A es acotado entonces siendo a ∈ A se tiene que A ⊆ B(a,diam A) lo cual no es difı́cil de
probar.
Teorema 1. Sean ∅ =
6 X ⊂ M con M espacio métrico y a, b ∈ M . Entonces
|d(a, X) − d(b, X)| ≤ d(a, b)
Demostración. Como d(b, X) = ı́nf{d(b, x) : x ∈ X} entonces ∀inR+ , d(b, X) + no es cota
inferior de las distancias de b a los puntos de X, luego
∃x0 ∈ X / d(b, x0 ) > d(b, X) + Entonces
d(a, X) ≤ d(a, x0 ) ≤ d(a, b) + d(b, x0 ) < d(a, b) + d(b, X) + d(a, X) − d(b, X) < d(a, b) + ∀ > 0
Entonces se cumple el teorema si d(a, X) ≥ d(b, X), el otro caso se demuestra análogamente,
luego siempre se cumple el teorema.
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CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
Definición. Sean M, N espacios métricos, una inmersión isométrica es una función f : M → N
que conserva distancias (d(f (x), f (y)) = d(x, y)).
Si es sobreyectiva se llama isometrı́a. Es fácil ver que toda inmersión isométrica es inyectiva ya
que f (x) = f (y) ⇒ d(f (x), f (y)) = 0 ⇒ d(x, y) = 0 ⇒ x = y
Ejemplo 2. Si X es un conjunto, (M, d) un espacio métrico y f : X → M es inectiva le damos
a X la métrica d(x, y) = d(f (x), f (y)).
Ejemplo 3. Si E es normado y fijamos x0 ∈ E, f (x0 ) = x + x0 es una isometrı́a de E en E
Teorema 2. Todo espacio métrico M se puede llevar mediante una inmersión isométrica a un
espacio normado.
Demostración. Vamos a obtener una inmersión de M en B(M, R) (el conjunto de funciones
acotadas de M en R) con ||f || = supx∈M |f (x)|.
Fijamos a ∈ M y definimos ϕ : M → B(M, R) como ϕ(x) = dx − da donde dx (z) = d(x, z) y
da (z) = d(a, z).
Veamos que ϕ(x) es acotada:
|ϕ(x)(z)| = |dx (z) − da (z)| = |d(x, z) − d(a, z)| ≤ d(x, a)
∀z ∈ M
Luego ϕ(x) ∈ B(M, R).
Veamos que conserva distancias:
d(ϕ(x), ϕ(y)) = ||ϕ(x) − ϕ(y)|| = sup ||dx (z) − dy (z)|| = sup ||d(x, z) − d(z, y)|| ≤ d(x, y)
z∈M
z∈M
Pero para z = x o z = y se cumple la igualdad, luego d(ϕ(x), ϕ(y)) = d(x, y) y por lo tanto
encontramos una inmersión isométrica de M en un espacio normado.
Definición. Llamamos C([0, 1]) al conjunto de las funciones f : [0, 1] → R continuas. Podemos
definir varias métricas sobre este conjunto, dos de ellas son:
Z 1
d1 (f, g) =
|f (x) − g(x)|dx
0
d∞ (f, g) = sup |f (x) − g(x)|
x∈[0,1]
Es fácil comprobar que tanto d1 como d∞ son métricas.
1.3.
Conceptos básicos de Topologı́a
Definición. Un entorno básico de un punto x0 es una bola B(x0 , ) para algún ∈ R+ .
Definición. Si A ⊆ X, x0 es un punto de acumulación de A si todo entorno básico de x0
contiene infinitos puntos de A. Los puntos de acumulación se conocen también como puntos
lı́mites.
Definición. Se dice que A ⊆ X es cerrado si A contiene a todos sus puntos de acumulación.
Definición. x ∈ A se llama punto aislado si no es punto de acumulación de A.
Definición. x ∈ A se dice punto interior de A si existe un entorno básico de x contenido en A.
El conjunto A◦ de puntos interiores de A se llama interior de A.
Definición. A ⊆ X se dice abierto si todos sus puntos son interiores.
1.3. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOGÍA
11
Definición. La clausura A de A es la unión de A con sus puntos lı́mites.
Definición. La frontera de A es A − A◦ .
Definición. El conjunto derivado de A (A0 ) es el conjunto de sus puntos lı́mites.
Definición. A es acotado si ∃M > 0 y x ∈ X tal que A ⊆ B(x, M ).
Definición. Un conjunto A es denso en X si A = X.
Definición. Sea (xn )n∈N ⊆ X. Se dice que xn → x si d(xn , x) → 0.
Definición. Se dice que (xn )n∈N ⊆ X es de Cauchy si dado > 0 existe n0 ∈ N tal que
∀n, m > n0 se tiene d(xn , xm ) < .
Definición. X se dice completo si toda sucesión de Cauchy tiene lı́mite.
Definición. Dos métricas sobre un conjunto M se dicen topológicamente (o debilmente) equivalentes si todo conjunto A ⊆ M es abierto con ambas métricas o con ninguna, es decir, si las
dos métricas dan lugar a la misma noción de abierto.
Definición. Dos métricas d1 y d2 sobre un conjunto M se dicen equivalentes (o fuertemente
equivalentes) si
∃ c1 , c2 ∈ R+ : ∀x, y ∈ M c1 d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ c2 d2 (x, y)
Si dos métricas son fuertemente equivalente entonces son topológicamente equivalentes, lo inverso
no ocurre.
|x−y|
Ejemplo 4. (R, d) con d(x, y) = 1+|x−y|
es topológicamente equivalente a (R, d2 ) pero estas
métricas no son fuertemente equivalentes.
Proposición 2. Si (M, d) es un espacio métrico, A ⊆ M . Entonces M − A = M − A◦ y
M − A = (M − A)◦ .
Demostración. x ∈ M − A ⇔ B(x, r) corta a M − A para todo r > 0 ⇔ @B(x, r) ⊆ A ⇔ x no
es punto interior de A (x ∈ M − A◦ ). La otra igualdad se prueba de la misma manera.
Lema 5. A es abierto sii es unión de bolas abiertas
Demostración. Si A es abierto es fácil ver que para todo a ∈ A existe a > 0 tal que B(a, a ) ⊆ A,
luego la unión de estas bolas para todo a ∈ A está contenida en A porque es la unión de conjuntos
contenidos en A y contiene a A luego es igual a A.
Si A es unión de bolas abiertas entonces por ser unión de abierto es abierto.
Lema 6. A es cerrado sii M − A es abierto
Demostración. Queda como ejercicio.
Definición. f es un homeomorfismo si es biyectiva, continua y f −1 es continua.
Proposición 3. Dos métricas d1 , d2 definidas sobre un conjunto M son topológicamente equivalentes si y sólo si IdM : (M, d1 ) → (M, d2 ) es un homeomorfismo.
Demostración. Es claro que si f es un homeomorfismo las métricas son topológicamente equivalentes porque un homeomorfismo por tener inversa continua manda abiertos en abiertos y por ser
continua la preimagen de un abierto es abierto. Si son topológicamente equivalentes entonces como IdM es biyectiva y manda abiertos en abiertos y la preimagen de abiertos es abierto entonces
es continua de inversa continua, luego es un homeomorfismo.
12
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
Lema 7. El conjunto Da = {f ∈ B(M, N ) / f es discontinua en a} es abierto.
Demostración. Si f es continua en a entonces
∀ > 0 : ∃ δ > 0 / d(x, a) < δ ⇒ d(f (x), f (a)) < Como f ∈ B(M, N ) entonces f es discontinua en a y se cumple
∃ > 0 / ∀ δ > 0 : ∃ xδ / d(xδ , a) < δ ∧ d(f (xδ ), f (a)) ≥ Si g ∈ B(f, 3 ) tomando el de la definición de discontinua entonces g ∈ Da :
< d(f (xδ ), g(xδ )) + d(g(xδ ), g(a)) + d(g(a), f (a)) <
+ d(g(xδ ), g(a)) +
3
3
< d(g(xδ ), g(a))
3
Luego para todo δ podemos encontrar un punto xδ tal que d(xδ , a) < δ y d(g(xδ ), g(a)) > 3
luego g es discontinua en a. Como para cada f ∈ Da podemos encontrar una bola centrada en
f contenida en Da entonces Da es abierto.
Lema 8. Las funciones continuas y acotadas son un cerrado en el espacio de funciones acotadas:
C(M, N ) ⊆ B(M, N )
Demostración. El complemento de Da es cerrado para todo a, como intersección de cerrados
es cerrado tomamos la intersecciónd de los complementos de Da para todo a ∈ M , luego este
conjunto es el conjunto de las funciones continuas de M en N y es cerrado.
Lema 9. Sean f, g : M → N continuas, entonces
A = {x ∈ M : f (x) 6= g(x)}
es abierto en M
Demostración. A es la preimagen de R − {0} por d(f (x), g(x)) y como R − {0} es abierto luego
A es abierto.
1.4.
Separabilidad
Definición. Decimos que un espacio métrico es separable si contiene un denso numerable.
Ejemplo 5. R es separable ya que Q es un denso numerable.
Definición. Sea 1 ≤ p < ∞. Se define el conjunto
p
N
l = {(xn )n∈N ∈ R /
∞
X
|xn |p < ∞}
i=0
y cuando p = ∞ se define
l∞ = {(xn )n∈N ∈ RN acotadas}
Definimos la norma en lp
∞
X
1
||xn ||p = (
|xn |p ) p
i=0
y la norma en l∞
||xn ||∞ = sup xn
n∈N
Definimos también dp ((xn ), (yn )) = ||xn − yn ||p y de la misma forma definimos d∞ (xn , yn ) =
||xn − yn ||∞ .
1.5. COMPLETITUD
13
Lema 10. lp es separable. l∞ no es separable.
Demostración. Definimos
Ai = {(qn )n∈N ∈ QN / j > i ⇒ qj = 0}
Estos conjuntos son numerables y la unión de Ai para todo i es densa en lp para cada p.
Queda como ejercicio probar que esta unión es densa en lp para todo p y que l∞ no es separable.
Definición.
{Ui }i∈I es una base de abiertos de X si para todo U ⊆ X abierto existe J ⊆ I tal
[
que
Uj = U
j∈J
Teorema 3. Son equivalentes
1. X es separable.
2. X tiene una base de abiertos numerable.
3. X cumple con la propiedad de Lindelof (de todo cubrimiento abierto de X se puede extraer
un subcubrimiento numerable).
Demostración. 1 ⇒ 2) Sea A denso en X. El conjunto de bolas con centro en A y radio racional
es una base de abiertos ya que para todo abierto U ⊆ X existe para todo u ∈ U una bola centrada en u contenida en U de radio y existe un a ∈ A tal que d(u, a) < 3 y una bola centrada
en a de radio racional entre 3 y 2 . Es fácil ver que esta bola contiene a u y está contenida en
U , y estas bolas son numerables ya que unión numerable de numerables es numerable.
2 ⇒ 3) Tomamos una base numerable. Para cada Aj de los abiertos del cubrimiento se puede
escribir Aj ∩ X como unión de elementos de la base numerable. Para cada uno de estos elementos de la base numerable tomamos un abierto del cubrimiento, es claro que este conjunto es un
cubrimiento de X y además es numerable.
3 ⇒ 1) Para cada n tomamos Bn = {B(x, n1 )}x∈X . Estos cubrimientos (Bn ) admiten subcubrimientos numerables, luego tomamos los centros de las bolas que conforman subcubrimientos
numerables para cada n y este conjunto es numerable y es denso.
1.5.
Completitud
Definición. Un espacio métrico M se dice completo si toda sucesión de Cauchy tiene lı́mite.
f completo con
Definición. Una completación de un espacio métrico M es un espacio métrico M
f
f
una inmersión isométrica ϕ : M → M tal que ϕ(M ) es denso en M .
Lema 11. Un cerrado en un completo es completo.
Demostración. Sea X cerrado tal que X ⊆ M y M es completo. Cualquier sucesión de Cauchy
en X tiene lı́mite en M , y este lı́mite tiene que estar necesariamente en X pero X = X por ser
X cerrado, luego X es completo.
f de M y es única.
Teorema 4. Si M es un espacio métrico existe una completación M
Demostración. Si tomamos el espacio normado B(M, R) y tomamos a ∈ M . Definimos ϕ : M →
B(M, R) como ϕ(x) = dx − da . Es claro que ϕ es inyectiva y que ϕ(M ) ⊆ B(M, R) y como
B(M, R) es completo entonces ϕ(M ) es completo por ser completo en un cerrado y ϕ(M ) es
denso en ϕ(M ).
14
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
f1 y M
f2 dos
Probemos ahora la unicidad de la completación. Sea M un espacio métrico y M
f1 y ψ : M → M
f2 inmersiones isométricas). Entonces existe una
completaciones (ϕ : M → M
f1 y M
f2 .
isometrı́a f tal que f ◦ ϕ = ψ, es decir, que hay una isometrı́a entre M
Definamos f (ϕ(a)) = ψ(a). Es claro que conserva distancias, ahora tenemos que ver cómo extendemos a f para los elementos de las completaciones que no están en M , entonces tomamos un
elemento de una completación que no esté en M , como M es denso en sus completaciones, existe
una sucesión de Cauchy en M que converge a este elemento de su completación, entonces esta
sucesión tiene lı́mite en las dos completaciones, y mandamos por f al lı́mite en una completación
en el lı́mite en la otra completación. Queda como ejercicio probar que esto es una isometrı́a. Teorema 5. Si f : M → N es uniformemente continua entonces existe una única extensión
f→N
e uniformemente continua que extiende a f .
fe : M
Demostración. Si fe es uniformemente continua entonces dada una sucesión de Cauchy se tiene
f hay una sucesión de Cauchy en
que f ( lı́m xn ) = lı́m f (xn ). Como para todo punto de la M
n→∞
n→∞
M que tiende a ese punto entonces evaluamos f en esa sucesión y calculamos el lı́mite que es
único por ser f uniformemente continua.
Definición. X es nunca denso si (X)◦ = ∅.
Lema 12. Unión finita de nunca densos es nunca denso.
Demostración. Lo probaremos para dos y el resto de los casos salen por inducción. Sean A y B
nunca densos.
(A ∪ B)◦ = (A ∪ B)◦
Supongamos a ∈ (A ∪ B)◦ . Luego existe B(a, δ) ⊆ A ∪ B ⇒ B(a, δ) − A ⊆ B. Como B es nunca
denso entonces el único abierto que contiene B es el vacı́o, luego B(a, δ) ⊆ A pero el único
abierto que contiene A por ser A nunca denso es el vacı́o, luego no existe tal δ y A ∪ B es nunca
denso.
Definición. Se dice que X es magro si es unión numerable de nunca densos. Un magro puede
no ser nunca denso, por ejemplo Q
Teorema 6. Sea M un espacio métrico. M es completo sii para toda sucesión de cerrados no
vacı́os Fn ⊆ M tales que F1 ⊇ F2 ⊇ F4 ⊇ . . . y lı́m diam(Fn ) = 0 existe un único a ∈ M tal
n→∞
\
que
= {a}.
n∈N
Demostración. ⇒) Tomemos xn ∈ Fn . Es fácil ver que es de Cauchy ya que xm ∈ Fn si m > n
y como los diámetros de los Fn tienden a cero entonces dado hay un Fn0 con diámetro menor
a , luego d(xn , xm ) < si n, m > n0 . Por ser completo M todos los Fn son completos por ser
cerrados en un completo, luego el lı́mite de esta sucesión de Cauchy está en todos los Fn y hay
un punto en la intersección de los Fn que es el lı́mite de esta sucesión de Cauchy. El punto es
único porque si hay dos el diámetro de los Fn es mayor o igual a la distancia entre estos dos
puntos en la intersección y por lo tanto llegamos a un absurdo porque los diámetros tienden a
cero.
⇐) Tomemos una sucesión de Cauchy y sea Fn =
[
xi . Los Fn son cerrados y sus diámet-
i≥n
ros tienden a cero, si hay un punto en su intersección entonces este punto es necesariamente el
lı́mite de la sucesión de Cauchy ya que si este punto es a entonces d(a, xn ) tiende a cero y por lo
tanto a es el lı́mite de la sucesión de Cauchy. Como elegimos una sucesión de Cauchy arbitraria
toda sucesión de Cauchy tiene lı́mite y M es completo.
1.5. COMPLETITUD
15
Teorema 7. (Baire) Todo magro en un completo tiene interior vacı́o.
Demostración. El enunciado del teorema es equivalente, tomando complemento, a que la intersección numerable de abiertos densos en un completo es denso. Probemos esta versión del
teorema.
A=
\
An
n≥1
con An abiertos y densos. Queremos ver que cualquier bola abierta corta a A y esto probará que
A es denso.
Sea B una bola abierta. Como B y A1 son abiertos su intersección es abierta y como A1 es
denso es no vacia. Existe entonces B1 = B(a1 , δ1 ) tal que B1 ⊆ B ∩ A1 . Tomamos ahora B2 tal
que B2 ⊆ B1 ∩ A2 y ası́ sucesivamente, asegurandonos además que diam(Bi ) < 1i . Luego por el
teorema 6 tenemos que la intersección de todos estos cerrados tales que se contienen cada uno
al siguiente es no vacı́a, luego hay un punto de A que está en B, y como B es cualquier bola
abierta arbitraria entonces toda bola abierta tiene puntos de A entonces A es denso.
Definición. Un espacio normado completo se denomina espacio de Banach.
Definición. Si f : A → A es tal que f (a) = a con a ∈ A, el punto a se llama punto fijo de f .
Teorema 8. (Brouwer) Sea f : [0, 1] × [0, 1] × · · · × [0, 1] → [0, 1] × [0, 1] × · · · × [0, 1], entonces
f tiene un punto fijo.
Demostración. Sólo lo vamos a probar para f : [0, 1] → [0, 1].
Consideremos g definida por g(x) = f (x) − x. Entonces g(0) ≥ 0 y g(1) ≤ 1. Por Teorema del
Valor Medio se tiene que g tiene un cero, y este cero de g es un punto fijo de f .
Definición. Sean M, N espacios métricos. Decimos que f es una contracción estricta si existe
0 < c < 1 tal que d(f (x), f (y)) < c d(x, y) para todo x, y ∈ M .
Teorema 9. (del Punto Fijo de Banach) Sea M un espacio métrico completo y f : M → M
una contracción estricta, entonces existe un único punto fijo de f . Más precisamente, si x0 ∈ M
tomamos x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), . . . , luego a = lı́m xn es el punto fijo de f .
n→∞
Demostración. Supongamos que la sucesión {xn } converge a a. Como f es continua f (a) =
lı́m f (xn ) = lı́m xn+1 = a por lo que si {xn } converge entonces converge a un punto fijo. Es
n→∞
n→∞
fácil ver que si hay un punto fijo es único ya que si a y b son puntos fijos entonces d(a, b) =
d(f (a), f (b)).
Veamos ahora que la sucesión que definimos es de Cauchy. Sabemos que existe 0 < c < 1 tal que
d(f (x), f (y)) < c d(x, y), entonces
d(xn , xn+1 ) = d(f (xn−1 ), f (xn )) < c d(xn−1 , xn )
luego tenemos para todo n ≥ 1
d(xn , xn+1 ) < cn d(x0 , x1 )
Como la serie de cn converge sus colas tienden a cero y por desigualdad triangular obtenemos
que la sucesión es de Cauchy y por estar en un completo es convergente.
16
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
1.6.
Conexión
Definición. Un espacio métrico M se dice conexo si cada vez que M se descompone como A∪B
con A y B abiertos disjuntos se tiene A = ∅ o B = ∅. En particular X ⊆ M es conexo si cuando
X se escribe como A ∪ B con A y B abiertos en X entonces A = ∅ o B = ∅.
Proposición 4. R es conexo.
Demostración. Supongamos que R = A ∪ B con A y B abiertos disjuntos no vacı́os. Entonces
existen a ∈ A, b ∈ B. Supongamos sin pérdida de generalidad que a < b. Entonces consideremos
C = {x ∈ A / x < b}.
Si sup C = b entonces B no es abierto porque hay una sucesión de Cauchy en el complemento
de B (que es A y que es cerrado por ser B abierto) que tiende a algo que no está en A, es decir
b, luego sup C < b.
Si sup C ∈ A luego hay una sucesión convergente de la forma sup C + n1 que a partir de un cierto
valor de n está siempre en B por no estar en C y ser menor que b y que converge a algo de A,
luego por el mismo motivo del caso anterior llegamos a un absurdo.
El caso que nos queda es sup C ∈ B, pero entonces hay una sucesión convergente en C ⊆ A
que tiende al supremo, pero el supremo está en B y A es cerrado por ser B abierto, luego es
nuevamente un absurdo, que provino de suponer que tanto A como B son no vacı́os. Luego R
es conexo.
Corolario 2. M es un métrico conexo si y sólo si los únicos abiertos y cerrados en M son M y
∅
Demostración. Es evidente que si M es conexo y existe un abierto y cerrado A entonces siendo
B el complemento de A tenemos M = A ∪ B con A e B abiertos disjuntos, luego A = ∅ o B = ∅.
Si M y ∅ son los únicos abiertos y cerrados entonces si M = A ∪ B con A y B abiertos disjuntos
tenemos que A es abierto y cerrado, luego A = ∅ o B = ∅ y M es conexo.
Proposición
5. Sea {Xi }i∈I
\
[ una familia de conjuntos conexos en M con M espacio métrico.
Si
Xi 6= 0 entonces X =
Xi es conexo.
i∈I
i∈I
Demostración. Sea x ∈ X y X = A ∪ B con A y B abiertos disjuntos. Supongamos sin pérdida
de generalidad x ∈ A, luego (A ∩ Xi ) ∪ (B ∩ Xi ) = Xi ∀i ∈ I, entonces como A y B son
abiertos disjuntos en M se tiene que A ∩ Xi y B ∩ Xi son abiertos disjuntos en Xi , luego como
Xi es conexo tenemos B ∩ Xi = ∅ y como esto se cumple para todo Xi entonces B = ∅ y X es
conexo.
Definición. Una componente conexa de M es un conjunto X ⊆ M tal que X es conexo y si
Y ⊇ X es conexo entonces Y = X.
1.7.
Compacidad
Definición. Se dice que M es compacto si de cada cubrimiento abierto de M podemos extraer
un subcubrimiento finito.
Teorema 10. (Borel-Lebesgue) Si F ⊆ R es cerrado y acotado, luego es compacto.
Demostración. Supongamos F = [a, b] y {Aλ } un cubrimiento abierto de F y que F no es
compacto. Consideremos el siguiente conjunto
X = {x ∈ [a, b] / ∃ finitos λ1 , λ2 , . . . , λn / [a, b] =
n
[
i=1
Aλi }
1.7. COMPACIDAD
17
Existe c = sup X y por no ser F compacto c 6= b. Es claro que al menos un Aλi contiene a c
ya que la unión de todos es [a, b], pero también contiene un entorno de c por ser abierto, luego
si lo agregamos a los finitos que cubren el [a, c] tenemos un tal que hay finitos que cubren el
[a, c + ], por lo que llegamos a un absurdo que provino de suponer que [a, b] no era compacto.
Supongamos ahora que F no es un intervalo, pero existe un intervalo que contiene a F , es decir,
F ⊆ [a, b]. Luego podemos cubrir [a, b] con los Aλi y con R − F que son todos abiertos, luego
hay un subcubrimiento finito. Si a este subcubrimiento finito le sacamos R − F en caso de que
sea parte del subcubrimiento, conseguimos el subcubrimiento finito de F con los Aλi
Lema 13. Si K1 , . . . , Kn son compactos entonces K =
n
[
Ki es compacto.
i=1
Demostración. Cada cubrimiento de K cubre a cada uno de los Ki , luego podemos extraer un
subcubrimiento finito de cada uno, y la unión finita de estos finitos abiertos que cubren a cada
Ki es un subcubrimiento finito de K.
Definición. Se dice que una familia {Fλ }λ∈I tiene la propiedad de intersección finita (PIF) si
cualquier subfamilia finita tiene intersección no vacı́a.
Lema 14. M es compacto ⇔ toda familia de cerrados con la PIF tiene intersección no vacı́a
Demostración. Tomando complemento en la definición de compacto se tiene que si hay una
familia de cerrados cuya intersección es ∅ entonces hay una subfamilia finita cuya intersección
es ∅, luego, la familia no tiene la PIF.
Teorema 11. (Dini) Sea M un espacio métrico compacto y f, fn : M → R continuas tales
que f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ f3 (x) ≤ . . . ∀x ∈ M . SI fn → f puntualmente entonces fn → f
uniformemente.
Demostración. Dado > 0 para cada n ∈ N consideremos el siguiente conjunto: Fn = {x ∈
M / |fn (x) − f (x)| ≥ }.
Los\Fn son cerrados porque son preimagen por una función continua de un cerrado, Fn ⊃ Fn+1
y
Fn = ∅.
n≥1
Como M es compacto existen finitos Fi tales que su intersección es vacı́a, luego fn → f uniformemente.
Proposición 6. 1) Si K ⊆ M es compacto entonces K es cerrado en M .
2) Si M es compacto y K es cerrado en M entonces K es compacto.
Demostración. 1) Si K no es cerrado en M entonces existe en M un punto de acumulación de
K, llamemosle a. Tomamos An = {x / d(x, a) > n1 y es claro que la unión de todos los An cubre
a K sin embargo ninguna subfamilia finita cubre a K.
2) Dado un cubrimiento abierto de K tomamos ese cubrimiento y M −K que es abierto, entonces
tenemos un cubrimiento abierto de M que tiene un subcubrimiento finito. Ese subcubrimiento
finito, sacandole si es que lo tiene el abierto M − K es el subcubrimiento finito de K.
Lema 15. Intersección de compactos es compacto.
Demostración. Sean {Kλ }λ∈I compactos, su intersección está contenida en uno de ellos que es
compacto, además son todos cerrados y por ende su intersección es cerrado, luego su intersección
es un compacto.
Proposición 7. M es completo ⇒ M es compacto.
18
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
Demostración. M es denso y cerrado en su completación, luego M es su propia completación. Proposición 8. Si K ⊆ M es compacto entonces K es acotado.
Demostración. Tomamos para cada a ∈ K la bola Ba abierta de radio unitario centrada en a.
La unión de todas estas bolas es un cubrimiento abierto de K pero si unimos finitas de estas
bolas forman un conjunto acotado, luego ningún conjunto no acotado es compacto.
Proposición 9. Sea f : M → N continua. Si K ⊆ M es compacto entonces f (K) es compacto.
Demostración. Tomemos un cubrimiento abierto de f (K). Las preimagenes de este cubrimiento
forman un cubrimiento abierto de K, luego existe un subcubrimiento finito. Aplicando f a este
subcubrimiento recuperamos un subcubrimiento finito de f (K)
Corolario 3. Sean M y N espacios métricos, M compacto y f : M → N continua. Entonces
1) f es cerrada (manda cerrados en cerrados).
2) f es acotada (f (M ) es un conjunto acotado).
Demostración. 1) Sea K ⊆ M cerrado, entonces es compacto, luego f (K) es compacto y por
ende cerrado.
2) Como f (M ) es compacto entonces es acotado.
Corolario 4. Si M es compacto y N es un espacio métrico entonces C(M, N ) (el conjunto de
funciones continuas de M en N ) es un espacio métrico con
d(f, g) = sup d(f (x), g(x))
Demostración. Como las funciones continuas en un compacto son acotadas entonces C(M, N ) ⊆
B(M, N ).
Corolario 5. Sea f : M → N continua y biyectiva. Si M es compacto entonces f es un
homeomorfismo.
Demostración. Como f es cerrada entonces f −1 es continua.
Teorema 12. (Weierstrass) Si f : M → R es continua y M es compacto, entonces f alcanza su
máximo y su mı́nimo en M .
Demostración. Como M es compacto y f es continua entonces f (M ) es compacto, luego es
acotado y tiene infimo y supremo, y por ser compacto alcanza ambos.
Corolario 6. Si f : M → R es continua, M es compacto y f > 0 entonces ∃ c > 0 tal que
f ≥ c.
Demostración. Si 0 es el ı́nfimo de f (M ) entonces f alcanza el valor 0, luego si no lo alcanza no
es el ı́nfimo.
Corolario 7. Si M es un espacio métrico tal que F ⊆ M es compacto y G ⊆ M entonces existe
un punto en F que realiza la distancia a G (∃x ∈ F / d(x, G) = d(F, G))
Demostración. La función dG : M → R sale de un compacto y va a parar a R luego alcanza su
mı́nimo.
Definición. Sea X ⊆ M un espacio métrico. Se dice que X es totalmente acotado si ∀ > 0
existe un cubrimiento finito de X con conjuntos de diámetro menor a .
1.7. COMPACIDAD
19
Proposición 10. Son equivalentes:
1) X es totalmente acotado.
2) Dado > 0 existen x1 , . . . , xn tales que X ⊆
n
[
B(xi , ).
i=1
3) Dado > 0 existe F finito tal que ∀ x ∈ X : d(F, x) < .
Demostración. 1 ⇒ 2) Como X es totalmente acotado tomamos un cubrimiento finito de diametro menor a 2 , luego tomamos para cada conjunto un punto de ese conjunto y la bola
centrada en ese punto y de radio contiene a el conjunto, luego tomamos una bola de radio para cada conjunto y estas bolas cubren X.
2 ⇒ 3) Tomamos los centros de las bolas, luego todo punto de X está en una de las bolas
y por lo tanto dista a menos de de el centro de la bola en la que está, y el conjunto de los
centros de las bolas es el F que buscabamos.
3 ⇒ 1) Tomamos las bolas centradas en los puntos de F y de radio 2 siendo F el conjunto
finito al cual todos los puntos distan en menos de 2 y esto nos da el cubrimiento de X con
conjuntos de diámetro menor a .
Corolario 8. Si M es totalmente acotado y X ⊆ M entonces X es totalmente acotado.
Demostración. Tomamos finitas bolas de radio que cubran M , y también cubren X.
Corolario 9. X es totalmente acotado ⇒ X es acotado.
Demostración. Como podemos tomar finitas bolas de radio 1 que cubran X entonces sea D el
máximo de las distancias entre los centros de las bolas, luego D + 2 es una cota para la distancia
entre dos puntos de X y por ende X es acotado.
Corolario 10. Si X ⊆ Rn es acotado entonces es totalmente acotado.
Demostración. Como X es acotado existe n ∈ N tal que X ⊆ F = [−n, n] × · · · × [−n, n]. Luego
n
tomamos dado el conjunto de los (a1 , a2 , . . . , an ) tales que −n
≤ ai ≤ . Este conjunto
es finito y todo punto de F dista a menos de de este conjunto finito, luego F es totalmente
acotado y como X ⊆ F entonces X es también totalmente acotado.
Ejemplo 6. En l2 , B[0, 1] es acotado pero no es totalmente acotado.
Lema 16. M es totalmente acotado ⇔ toda sucesión en M tiene una subsucesión de Cauchy.
Demostración. ⇒) Sea {xn } una sucesión en M con infinitos términos distintos. Como M es
totalmente acotado, es unión finita de bolas de radio con > 0, luego alguna de estas bolas
tiene infinitos puntos de la sucesión. Tomamos uno en esa bola y el resto de la sucesión lo obtenemos escribiendo esa bola como unión de bolas de radio epsilon
, y ası́ procedemos inductivamente.
2
⇐) Si M no es totalmente acotado ∃ > 0 tal que M no se puede escribir como unión finita de
bolas de radio . Luego tomamos x1 ∈ M , x2 ∈ M − B(x1 , ), x3 ∈ M − (B(x1 , ) ∪ B(x2 , )), . . .
y esta sucesión no tiene subsucesiones de Cauchy.
Teorema 13. (Caracterización de Compacidad) Si M es un espacio métrico son equivalentes:
1) M es compacto.
20
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
2) Todo subconjunto infinito de M tiene algún punto de acumulación.
3) Toda sucesión en M tiene una subsucesión convergente.
4) M es completo y totalmente acotado.
Demostración. 1 ⇒ 2) Si F ⊆ M no tien puntos de acumulación, entonces todo E ⊆ F es
cerrado pues E = E ∪ E 0 ⊆ E ∪ F 0 = E. Si F es infinito tiene algún subconjunto numerable
E1 = {x1 , x2 , . . . }. Consideremos los conjuntos En = {xn , xn+1 , . . . }. Como están en F son
cerrados y además tienen la PIF, luego por el lema 14 M no es compacto.
2 ⇒ 3) Sea {xn } una sucesión en M . Si la sucesión tiene finitos puntos al menos uno aparece
infinitas veces y por lo tanto tomando todas las apariciones de ese punto tenemos una subsucesión convergente. Si esto no pasa, es decir, hay infinitos puntos, entonces el conjunto de puntos
de la sucesión tiene un punto de acumulación al que llamamos a, y por lo tanto para cada n
tenemos que hay infinitos puntos en B(a, n1 ), luego tomamos un punto en B(a, 1) y lo llamamos
xi1 , después tomamos un punto en B(a, 21 ) que aparezca después de x1 en la sucesión y lo llamamos xi2 , y ası́ nos vamos construyendo la subsucesión convergente tomando xij en B(a, 1j ) y
que aparezca en la sucesión después de xij−1 .
3 ⇒ 4) Si toda sucesión tiene una subsucesión convergente, esta subsucesión convergente es
de Cauchy, y por el lema 16 M es totalmente acotado. Tomemos una sucesión de Cauchy. Esta
tiene una subsucesión convergente, y por lo tanto la sucesión converge. Como la elección de la
sucesión de Cauchy es arbitraria, toda sucesión de Cauchy converge luego M es completo.
4 ⇒ 1) Supongamos que M no es compacto, luego ∃{Aλ }λ∈I un cubrimiento de M que no
admite un subcubrimiento finito. Como M es totalmente acotado, entonces existen cerrados
F1 , . . . , Fn de diámetro 1 que cubren M . Al menos uno de estos cerrados no se puede cubrir
con finitos Aλ porque sino cubrirı́amos M con finitos Aλ . Llamemosle E1 al cerrado que no se
puede cubrir con finitos Aλ . Tomemos entonces, por ser E1 totalmente acotado un cubrimiento de E1 por cerrados E11 , E12 , . . . , E1n1 de diámetro 21 . Ası́ podemos ir obteniendo cerrados
E1 , E2 , E3 , . . . tales que E1 ⊇ E2 ⊇ E3 ⊇
[. . . y diam(Ei ) → 0, luego por ser M completo por el
teorema 6 existe un único x tal que x ∈
Ei y por lo tanto existe un Aλ0 tal que x ∈ Aλ0 , pero
n∈N
por ser Aλ0 abierto existe B(x, ) ⊆ Aλ0 pero como diam(Ei ) → 0 existe n tal que diam(En ) < luego En ⊂ Aλ0 , pero habı́amos dicho que En no podı́a ser cubierto por finitos Aλ . El absurdo
provino de suponer que M no era compacto.
Teorema 14. (Cantor-Tychonov) Sean M1 , M2 , . . . , Mn espacios métricos.
M=
n
Y
Mi es compacto ⇔ ∀ i ∈ {1, . . . , n} Mi es compacto
i=1
Demostración. ⇒) Sea {Aij }j∈Ii un cubrimiento abierto de Mi , luego tomamos como cubrimiento abierto de M los abiertos:
A1j1 × A2j2 × · · · × Anjn
con ji ∈ Ii . Estos abiertos que son todas las combinaciones de productos de los abiertos que
cubren cada Mi y admiten un subcubrimiento finito de M , luego tomando proyección a cada
Mi de este subcubrimiento finito obtenemos un subcubrimiento finito de Mi para todo i.
⇐) Veremos que M es completo y totalmente acotado. Sea {xn } una sucesión de Cauchy. Como
1.7. COMPACIDAD
21
las proyecciones son Lipschitz entonces pi (xn ) es de Cauchy y converge a ai por ser M completo, luego xn de Cauchy converge a (a1 , a2 , . . . , an ) luego M es completo. Veamos que M es
totalmente acotado. Sean Fi ⊆ MI conjuntos finitos tales que D(xi , Fi ) < para todo xi ∈ Mi ,
luego F = F1 × F2 × · · · × Fn es un conjunto finito tal que d(x, F ) < para todo x ∈ M por lo
que M es totalmente acotado.
Definición. Sean M y N espacios métricos y E un conjunto de funciones f : M → N . Se dice
que E es equicontinuo en a si
∀ > 0 : ∃δ > 0 / d(x, a) < δ ⇒ d(f (x), f (a)) ∀f ∈ E
Se dice que E es equicontinuo si es equicontinuo en todos los puntos de M . Notemos que si E
es equicontinuo en A toda f ∈ E es continua en A.
Definición. Se dice que E es uniformemente equicontinuo si es equicontinuo en M y para cada
hay un δ que cumple con la definición de equicontinuo que no depende del punto a. Si E es
uniformemente equicontinuo, entonces toda f ∈ E es uniformemente continua.
Lema 17. Sean f, fn : M → N / fn → f puntualmente y {fn } es equicontinuo. Entonces
{f } ∪ {fn } es equicontinuo y f es continua.
Demostración. Sea a ∈ M . Dado > 0 ∃ δ > 0 / d(x, a) < δ ⇒ d(fn (x), fn (a)) < Tomando lı́mite en n obtenemos d(f (x), f (a)) ≤ porque d es continua.
∀n ∈ N.
Definición. Si E es un conjunto de funciones f : M → N y x ∈ M definimos E(x) = {f (x) :
f ∈ E.
Definición. Si X es compacto se dice que X es precompacto.
Lema 18. Sea f : M → N continua y X ⊆ M . Si X es precompacto entonces f (X) es
precompacto.
Demostración. X es compacto ⇒ f (X) es compacto ⇒ f (X) es cerrado ⇒ f (X) ⊆ f (X) ⊆
f (X) ⇒ f (X) es compacto.
Lema 19. X es precompacto ⇔ toda sucesión en X tiene una subsucesión convergente en X
Demostración. ⇒) Como X es compacto entonces toda sucesión en X es una sucesión en X y
por el teorema 13 tiene una subsucesión convergente.
⇐) X es denso en X, luego para toda sucesión {xi } en X existe una subsucesión {yi } en
X tal que d(xi , yi ) > 1i ∀i ∈ N, luego como {yi } tiene una subsucesión convergente, tomamos
los términos con los mismos ı́ndices en {xi } y se puede ver fácilmente que van a converger al
lı́mite de la subsucesión de los {yi }. Luego toda sucesión tiene una subsucesión convergente y X
es compacto.
Teorema 15. (Arzela-Ascoli) Sean K, N espacios métricos con K compacto y sea E ⊆ C(K, N ).
E es precompacto si y sólo si
1) E(x) es precompacto ∀x ∈ K.
2) E es equicontinuo.
22
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
Demostración. ⇒) Si x ∈ K definimos Dx : C(K, N ) → N como Dx (f ) = f (x). Dx es continua
para todo x ∈ K ya que es una contracción (no necesariamente estricta) y las contracciones son
continuas (de hecho son uniformemente continuas tomando δ = 2). Para ver que Dx es una
contracción alcanza con ver que
d(Dx (f ), Dx (g)) = d(f (x), f (g)) ≤ sup d(f (t), g(t)) = d(f, g)
t∈K
Luego como Dx es continua entonces Dx (E) = E(x) es precompacto por ser E precompacto.
n
[
Veamos ahora que E es equicontinuo. Sea > 0. Como E es compacto entonces E ⊆
B(fi , )
3
i=1
donde f1 , . . . , fn ∈ E.
Sea a ∈ K, veamos que E es equicontinuo en a. El conjunto {f1 , . . . , fn } es equicontinuo (por
ser un conjunto finito de funciones continuas). Luego existe δ > 0 tal que d(fi (x), fi (a)) < 3 si
d(x, a) < δ para i ∈ {1, . . . , n}. Luego para toda f ∈ E se tiene para algún i entre 1 y n que
f ∈ B(fi , 3 ) y luego
d(x, a) < δ ⇒ d(f (x), f (a)) < d(f (x), fi (x)) + d(fi (x), fi (a)) + d(fi (a), f (a)) <
+ + =
3 3 3
Luego E es equicontinuo.
⇐) Sea {fn } una sucesión en E. Debemos ver que {fn } tiene alguna subsucesión convergente
en C(K, N ) uniformemente.
Como K es compacto entonces K es separable. Sea D ⊆ K un denso numerable. Veremos que
{fn } tiene alguna subsucesión {fnk } que converge puntualmente en D.
Sea D = {x1 , x2 , . . . }. Como {fn (x1 ) : n ≥ 1} es compacto en N entonces
∃ fnk1 subsucesión de fn / fnk1 (x1 ) → lx1 ∈ N
Como {fnk1 (x2 ) : k1 ≥ 1} es compacto
∃ fnk2 subsucesión de fnk1 / fnk2 (x2 ) → lx2 ∈ N
Ası́ vamos tomando subsucesiones de la sucesión anterior para cada punto.
En este proceso vamos tomando de la sucesión fnki una subsucesión tal que d(fnki (xi ), lxi ) < 1i .
Ası́ para todo existe i0 tal que
∀x ∈ D ∃i0 / i > i0 ⇒ d(fnki (xi ), lxi ) < Y como al tomar todos los puntos de D salvo finitos se obtiene un denso entonces converge en
un denso
1.8.
Teorema de Stone - Weierstrass
Definición. Sea ϕ : R → R≥0 continua que se anula fuera de un intervalo [−δ, δ] y sea f : R → R
continua. La convolución f ∗ ϕ es una función de R en R dada por
Z +∞
Z δ
(f ∗ ϕ)(x) =
f (x + t)ϕ(t) dt =
f (x + t)ϕ(t) dt
−∞
−δ
Teorema 16. (Weierstrass) Dada f : [a, b] → R contnua, ∃ una sucesión de polinomios pn tal
que pn ⇒ f (pn converge uniformemente a f ) en [a, b].
La estrategia va a ser probarlo primero para el caso [a, b] = [0, 1], f (0) = 0, f (1) = 1 tomando
una sucesión ϕn / f ∗ ϕn sean polinomios en [0, 1] y f ∗ ϕn ⇒ f en [0, 1]. Esto nos va a llevar
1.8. TEOREMA DE STONE - WEIERSTRASS
23
tres lemas y luego del caso particular lo generalizaremos.
Vamos a necesitar definir
1
Z
(1 − t2 )n dt
cn =
−1
y
ϕn (t) =
teniendo
Z
1
(1 − t2 )n
c2
+∞
Z
1
ϕn (t) dt = 1
ϕn (t) dt =
−1
−∞
Lema 20. Si 0 < δ < 1 entonces lı́m ϕn (x) = 0 uniformemente en |x| ≥ δ
n→∞
Demostración.
Z
1
Z
2 n
1
(1 − t ) dt = 2
cn = 2
0
n
Z
n
(1 + t) (1 − t) dt ≥ 2
0
1
(1 − t)n dt =
0
|x| ≥ δ ⇒ x2 ≥ δ 2 ⇒ 1 − x2 ≤ 1 − δ 2 ⇒ 0 ≤ ϕn (x) ≤
2
n+1
1
n+1
(1 − δ 2 )n → 0
(1 − x2 )n ≤
cn
2
Como esto ocurre para todo δ > 0 entonces ϕn (x) → 0 para todo x > 0 tomando δ =
|x|
2 .
Lema 21. Si f : [0, 1] → R es continua, f (0) = f (1) = 0 y la consideramos definida para todo
R como f (x) = 0 si x ∈
/ [0, 1] entonces f ∗ ϕn es un polinomio para x ∈ [0, 1]
Demostración.
Z
1
f ∗ ϕn (x) =
f (x + t)ϕn (t) dt
−1
Cambiando variables y = x + t
Z
x+1
Z
f (y)ϕn (y − x) dy =
P (x) =
x−1
1
f (y)ϕn (y − x) dy
0
2n
X
1
αi (y)xi
x, y ∈ [0, 1] ⇒ y − x ∈ [−1, 1] ⇒ ϕn (y − x) = (1 − (y − x)2 )n ) =
cn
i=0
Nos queda entonces
Z
P (x) =
1
f (y)
0
2n
X
i
αi (y)x dy =
i=0
2n
X
i=0
x
i
Z
1
f (y)αi (y) dy
0
Lema 22. En las condiciones anteriores pn → f uniformemente en [0, 1]
R
R
Demostración. Como ϕn = 1 ⇒ f (x) = f (x)ϕn (t) dt
1
Z
Pn (x) − f (x) =
(f (x + t) − f (x))ϕn (t) dt
−1
Z
1
|Pn (x) − f (x)| ≤
|f (x + t) − f (x)|ϕn (t) dt
−1
24
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
Sea 0 < δ < 1
Z 1
Z
|f (x + t) − f (x)|ϕn (t) dt =
−1
δ
Z
|f (x + t) − f (x)|ϕn (t) dt +
−δ
|f (x + t) − f (x)|ϕn (t) dt
δ<|t|<1
Como f es uniformemente continua podemos tomar δ tal que para todo x se tiene que |f (x +
t) − f (x)| < 2 si |t| < δ
Z
|f (x + t) − f (x)|ϕn (t) dt ≤ 2||f || sup |ϕn (t)|
|t|<δ
δ<|t|<1
y como ϕn (t) tiene a cero entonces esta integral se puede hacer menor a
uniformemente a f en [0, 1] lo que prueba el teorema de Weierstrass
2
y luego Pn tiende
Definición. Si M es un espacio métrico compacto entonces C(M, R) es un espacio de Banach
con ||f || = sup |f (x)|.
x∈M
Si f y g están en C(M, R) entonces f g ∈ C(M, R) por lo que hay un producto que es conmutativo, asociativo, distribuye respecto a la suma y tiene elemento neutro. Es por entonces C(M, R)
un espacio vectorial.
Decimos que A ⊆ C(M, R) es un álgebra si
1) A es un subespacio vectorial de C(M, R).
2) A es cerrado por el producto.
Definición. Es fácil de verificar que intersección de álgebras es un álgebra. Si S ∈ C(M, R) la
intersección de todas las álgebras que contienen a S es el álgebra generada por S, es el álgebra
más chica que contiene a S y está formada por los polinomios sin término independiente en
varias variables de elementos de S. Al álgebra generada por S la denotamos con A(S).
Ejemplo 7. Si S = {x} entonces A(S) = A({x}) = {P polinomo : P (0) = 0}.
Lema 23. Si M es compacto y A ⊆ C(M, R) es un álgebra, entonces A es un álgebra.
Demostración. Sean f, g ∈ A y α, β ∈ R Luego existen fn , gn ∈ A tales que fn → f y gn → g.
Para ver que A es un álgebra alcanza con ver que
lı́m αfn + βgn = αf + βg
n→∞
y
lı́m fn gn = f g
n→∞
Con esto probamos que A es un álgebra.
Proposición 11. Sea M un compacto y f, g ∈ C(M, R), entonces |f |, (f ∨ g), (f ∧ g) ∈ C(M, R)
donde
f ∨ g = max(f, g) y f ∧ g = min(f, g)
V W
Proposición 12. Si A es un álgebra y fi (i ∈ {1, . . . , n}) entonces fi , fi ∈ A.
Demostración. Sólo probaremos el caso para dos y los demás casos salen por inducción ya que
∧ y ∨ son operadores asociativos.
f ∨g =
f + g + |f − g|
2
y
f ∧g =
f + g − |f − g|
2
Por lo que alcanza con probar que f ∈ A ⇒ |f | ∈ A.
Para ver esto usamos el teorema de Weierstrass y como |x| es una función continua la podemos
aproximar por una sucesión de polinomios pn , luego componiendo pn ◦ f (restandole a pn el valor
pn (0) que como tiende a cero sigue tendiendo pn a |x|) está en A y tiende a |f |.
1.8. TEOREMA DE STONE - WEIERSTRASS
25
Definición. Si M es un métrico compacto y S ∈ C(M, R) se dice que S separa puntos de M si
∀ x, y ∈ M, x 6= y : ∃f ∈ S / f (x) 6= f (y)
Lema 24. Sea A ∈ C(M, R) un álgebra que separa puntos y contiene a las constantes, entonces
dados x, y ∈ M y α, β ∈ R existe f ∈ A tal que f (x) = α, f (y) = β.
Demostración. Sea g ∈ A tal que g(x) 6= g(y) entonces existen s, t ∈ R tales que si f = sg + t
entonces f (x) = α y g(x) = β. s y t son tales que
g(x) 1
s
α
=
g(y) 1
t
β
Que tiene solución porque la matriz es inversible.
Teorema 17. (Stone - Weierstrass) Sea M un espacio métrico compacto y A ⊆ C(M, R) un
álgebra que separa puntos de M y contiene a las constantes, entonces A = C(M, R)
Demostración. Debemos ver que dados f ∈ C(M, R) y > 0 existe g ∈ A tal que
∀ z ∈ M : |g(z) − f (z)| < Dados x, y ∈ M ∃ gxy ∈ A / gxy (x) = f (x), gxy (y) = f (y).
Si x = y funcionan las constantes, sino usamos el lema anterior.
Fijemos x ∈ M . Por continuidad para cada y ∈ M existe una bola abierta Vxy centrada en y tal
que gxy (z) − f (z) > − ∀ z ∈ Vxy .
[
M=
Vxy ⇒ ∃ y1 , . . . , yn / M =
y∈M
n
[
Vxy
i=1
por ser M compacto. Definimos
gx = gxy1 ∨ gxy2 ∨ · · · ∨ gxyn
Es claro que gx ∈ A y gx (z) = máx gxyi (z). Luego
1≤i≤n
∀ z ∈ M : gx (z) > f (z) − Como gx (x) = f (x) por continuidad existe una bola abierta Ux centrada en x tal que gx (z) −
f (z) < ∀ z ∈ Ux .
n
[
[
Uxi
M=
Ux ⇒ ∃ x 1 , . . . , x n / M =
x∈M
i=1
Sea g = gx1 ∧ gx2 ∧ · · · ∧ gxn y es claro que g ∈ A y que para todo z ∈ M se tiene
f (z) − < g(z) < f (z) + Lo que prueba el teorema.
26
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
Capı́tulo 2
Diferenciación
2.1.
Transformaciones lineales
Definición. Llamaremos función lineal o transformación lineal indistintamente a las funciones
que van de espacios normados en espacios normados y que son transformaciones lineales si
consideramos a estos espacios normados como espacios vectoriales.
Lema 25. Sean M, N espacios normados y f : M → N una función lineal. Son equivalentes:
1) f es continua en M .
2) f es continua en 0.
3) sup ||f (x)|| < ∞.
||x||<1
4) ||f (x)|| < c||x||
∀ x ∈ M.
5) ||f (x) − f (y)|| ≤ c||x − y||
∀ x, y ∈ M .
Además el c de los items 4 y 5 es el mismo c.
Definición. Si E y F son espacios normados, L (E, F ) notará al espacio vectorial de funciones
||f (x)||
para f lineal y continua entonces obtenemos
lineales y continuas de E en F . Si ||f || = sup
x6=0 ||x||
un espacio normado.
Proposición 13. Si E y F son normados y F es de Banach entonces L (E, F ) es de Banach.
Demostración. Sea fn ∈ L (E, F ) una sucesión de Cauchy.
Dado > 0 ∃ n0 / ||fn − fm || = sup ||fn (y) − fm (y)|| < ∀ m, n > n0 .
||y||=1
fn (x) es de Cauchy en F por lo que fn tiende puntualmente a f . Por ser lineal y continua tiende
uniformemente a f .
Lema 26. Sea F normado y f : Rn → F lineal. Entonces f es continua.
Demostración. Sea ei (i ∈ {1, . . . , n}) la base canónica de Rn Entonces
||f (α1 e1 + · · · + αn en )|| =
n
X
f (αi ei ) ≤
i=1
≤
n
X
|αi |||f (ei )|| ≤ (|α1 | + · · · + |αn |)( máx ||f (ei )||) ≤ c||(α1 , . . . , αn )||2
1≤i≤n
i=1
27
28
CAPÍTULO 2. DIFERENCIACIÓN
donde c es una constante.
Teorema 18. Sea E un espacio normado de dimensión finita como espacio vectorial. Entonces
1) E es linealmente homeomorfo a Rn
2) E es de completo
3) Si F Es normado toda función lineal de E en F es continua.
4) Todas las normas de E son equivalentes.
Demostración. 1) Sea v1 , . . . , vn una base vectorial de E y h : Rn → E dado por
h(α1 , . . . , αn ) =
n
X
αi vi
i=1
Como los vi son linealmente independientes, h es inyectiva (además es lineal) y como son generadores, h es sobreyectiva (luego es biyectiva) ⇒ ∃ h−1 : E → Rn es lineal y h es continua por
el lema anterior. Veamos que h−1 es continua.
Como S[0, 1] ⊆ R es compacto y h es continua h alcanza máximo y mı́nimo en S[0, 1].
∃x0 ∈ S[0, 1] / ||h(x)|| ≥ ||h(x0 )||
∀ x ∈ S[0, 1]
x
)|| ≥ ||x||c.
Si x 6= 0 ∈ Rn entonces ||h(x)|| = ||x||||h( ||x||
−1
−1
Si x = h (y)) con y 6= 0 entonces ||h(h (y))|| > ||h−1 (y)c.
1
||y|| ≥ ||h−1 (y)||
c
Luego h−1 es continua.
2) Porque homeomorfismo uniforme manda completos en completos
3 y 4) Quedan como ejercicio.
Definición. L (Rn , Rm ) puede identificarse con Rn×m . Asociamos f ∈ L (Rn , Rm ) con A ∈
Rn×m si f (x) = Ax. Definimos
||A|| = sup ||Ax||
||x||=1
Proposición 14.
||BA|| ≤ ||B|| ||A||
Demostración.
||BAx|| ≤ ||B|| ||Ax|| ≤ ||B|| ||A|| ||x|| ⇒ ||BA|| ≤ ||B|| ||A||
Definición. L (Rn , Rn ) se notará como L (Rn ).
Definición. El conjutno de transformaciones lineales inversibles en L (Rn ) se notará L (Rn )−1 .
2.2. DIFERENCIALES
29
Teorema 19. Sea A ∈ L (Rn )−1
1) Si B ∈ L (Rn ) satisface ||B − A|| ||A−1 || < 1 entonces B también es inversible.
B(A, ||A1−1 || ) ⊆ L (Rn )−1 por lo que L (Rn )−1 es abierto.
2) Invertir es una función continua en L (Rn )−1 (es un homeomorfismo).
Demostración. 1) Llamemos α a
Si x ∈ Rn entonces
1
||A−1 ||
y β a ||B − A||. Nuestra hipótesis es β < α.
α||x|| = α||A−1 Ax|| ≤ α||A−1 || ||Ax|| = ||Ax|| ≤ ||(A − B)x|| + ||Bx|| ≤ β||x|| + ||Bx||
Luego tenemos
(α − β)||x|| ≤ ||Bx||
y por lo tanto ||Bx|| = 0 ⇒ ||x| = 0 por ser α − β > 0
2) Sea A ∈ L (Rn ). Tomemos Bn tal que Bn → A
(α − β)||x|| ≤ ||Bn x||
(α − β)||Bn−1 y|| ≤ ||y|| ⇒ ||Bn−1 || ≤
1
α−β
Bn−1 − A−1 = Bn−1 (A − Bn )A−1
Luego
||Bn−1 − A−1 || ≤ ||Bn−1 || ||A − Bn || ||A−1 || ≤
Pero si Bn → A entonces β → 0 y ||Bn − A|| ≤
Luego invertir es un homeomorfismo.
2.2.
β
α(α−β)
→
0
α2
β 1
α−βα
= 0.
Diferenciales
Definición. Sea f : U ⊆ Rn → Rm donde U es abierto y sea x ∈ U .
Si exite A ∈ L (Rn , Rm ) tal uqe
||f (x + h) − f (x) − Ah||
=0
h→0
||h||
lı́m
diremos que f es diferenciable en x y escribiremos f 0 (x) = A y la llamamos derivada total o
diferencial de f en x.
Si esto pasa para todo x ∈ U diremos que f es diferenciable en U .
Lema 27. Si existe el diferencial, es único.
Demostración. Sean U ⊆ Rn abierto, x ∈ U y f : U → Rm . Si A1 , A2 ∈ L (Rn , Rm ) son ambos
el diferencial de f en x entonces para cualquier h ∈ Rn − {0} se tiene
||(A1 − A2 )h|| ≤ ||f (x + h) − f (x) − A1 h|| + ||f (x + h) − f (x) − A2 h||
Dividiendo por h nos queda
||(A1 − A2 )th||
→0
||th||
Pero entonces como esto pasa para todo h 6= 0 se tiene A1 = A2 .
30
CAPÍTULO 2. DIFERENCIACIÓN
Teorema 20. (Regla de la cadena) Sea f : U ⊆ Rn → Rm y g : V ⊆ Rm → Rk con U, V
abiertos y f (U ) ⊆ V , f diferenciable en x0 ∈ U y g diferenciable en y0 = f (x0 ).
F = f ◦ g es diferenciable en x0 y F 0 (x0 ) = g 0 (f (x0 ))f 0 (x0 ).
Demostración. Sean A = f 0 (x0 ) y B = g 0 (y0 ). Veamos que
||F (x0 + h) − F (x0 ) − BAh||
→0
h→0
||h||
lı́m
Queda por demostrar.
Definición. Sea f : E ⊆ Rn → Rm . Decimos que f ∈ C 1 (E) si f es diferenciable en E y f 0 es
una función continua.
2.3.
Teorema de la función inversa
Teorema 21. (de la función inversa) Sea f : E ∈ Rn → Rn con E abierto, f ∈ C 1 (E) y sea
a ∈ E tal que f 0 (a) es inversible. Sea b = f (a). Existen abiertos U ⊆ E, V ⊆ f (E) tales que
a ∈ U, b ∈ V y f : U → V es biyectiva y además g = f −1 : V → U está en C 1 (V ).
Si esto pasa, g 0 (b) = f 0 (a)−1
Demostración. Si el teorema vale entonces como g(f (x)) = x se tiene g 0 (f (x))f 0 (x) = Id y luego
reemplazando a = x se tiene g 0 (b) = f 01(a) . Probemos ahora el teorema.
1
. Como f 0 es continua en a existe una bola en E
Llamemos A = f 0−1 (a) y sea ||A−1 || = 2λ
centrada en A, U ⊆ E tal que ||f 0 (x) − A|| < λ ∀x ∈ U .
Para todo x ∈ E definimos ϕy (x) = x + A−1 (y − f (x)).
Observamos que
f (x) = y ⇔ x es punto fijo de ϕy
Como f ∈ C 1 (E) entonces ϕy es diferenciable y vale
ϕ0y (x) = Id − A−1 f 0 (x) = A−1 (A − f 0 (x))
||ϕ0y (x)|| ≤ ||A−1 || ||A − f 0 (x)|| <
1
1
λ=
2λ
2
Luego obtenemos
1
||ϕy (x1 ) − ϕy (x2 )|| < ||x1 − x2 ||
2
Por ser ϕy una contracción estricta tiene un sólo punto fijo. Eso implica que f es inyectiva ya
que si f (x1 ) = f (x2 ) = y entonces ϕy tiene dos puntos fijos.
Llamemos V a f (U ). Entonces f : U → V es biyectiva. Queremos ver que V es abierto.
Sea y0 ∈ V : Existe entonces x0 ∈ U / f (x0 ) = y0 .
Sea B = B(x0 , r) / B = B[x0 , r] ⊆ U y probemos que
B(y0 , λr) ⊆ V
Tomemos y ∈ B(y0 , λr) y consideremos ϕy
||ϕy (x0 ) − x0 || = ||A−1 (y − f (x0 ))|| = ||A−1 (y − y0 )|| ≤ ||A−1 || ||y − y0 || ≤
r
2
Entonces para todo x ∈ B se tiene
||ϕy (x) − x0 || ≤ ||ϕy (x) − ϕy (x0 )|| + ||ϕy (x0 ) − x0 || ≤
r r
+ =r
2 2
Luego
ϕy (x) ∈ B[x0 , r] = B ⇒ ϕy (B) ⊆ B
Y como ϕy es una contracción estricta entonces tiene un punto fijo en B luego existe x ∈ B tal
que f (x) = y lo que demuestra que V es abierto porque B(y0 , λr) ⊆ V y esto pasa para cada
y0 ∈ V .