Universidad Autónoma de Yucatán Facultad de Matemáticas Un

Universidad Autónoma de Yucatán
Facultad de Matemáticas
Un estudio sobre la noción de función
constante
TESIS
Presentada por
Silvia Guadalupe López Alonzo
Asesor de tesis
M. en C. Eddie de Jesús Aparicio Landa
Para obtener el título de
Licenciada en Enseñanza de las Matemáticas
Mérida, Yucatán
Julio de 2009
AGRADECIMIENTOS
A mi mamá Silvia Alonzo, de quien siempre he contado con su apoyo y
confianza.
A mis hermanos Israel y Antonio, por su compañía y cariño.
A los maestros del Departamento de Matemática Educativa, por ser
nuestros guías a lo largo de la licenciatura.
En particular, agradezco a Eddie por ser mi asesor, y porque más que
ser un maestro, has sido un compañero y amigo; por tus consejos y por
toda la paciencia y confianza depositada en mí. Gracias!!
A mi amiga Elma, por convertirte en una hermana y por estar siempre
conmigo, por tu apoyo, ánimos, y por todas aquellas experiencias que
juntas hemos atravesado.
A todos aquellos amigos con los que siempre he podido contar y han
confiado en mí. En especial a Ana Luisa, Adlemy, Julieta, Vanesa,
Guillermo y a Erika, por la grata experiencia de haberte conocido y haber
compartido un semestre con nosotros.
i
ÍNDICE
Capítulo Primero: Antecedentes y planteamiento del problema
1.1 Justificación del estudio
1
1.2 Problema y objetivo de la investigación
2
1.3 La enseñanza del concepto función y algunas implicaciones
5
1.4 Historia del concepto función
7
Capítulo Segundo: Consideraciones teóricas en la investigación
2.1. La matemática Educativa y el sistema didáctico
11
2.2. Teorías en educación matemática
14
2.3. La Socioepistemología
16
2.4. La socioepistemología de la función
18
Capítulo Tercero: Método de investigación
3.1. La ingeniería didáctica
20
3.2. Análisis preliminar
21
3.2.1 Análisis de corte epistemológico
22
3.2.2. Análisis cognitivo
31
3.2.3. Análisis didáctico
34
ii
3.2.4. Conclusiones del análisis preliminar
35
Capítulo Cuarto: Resultados y conclusiones
4.1. Prueba piloto
37
4.1.1. Fases de la prueba piloto
37
4.1.2. Resultados de la prueba piloto
39
4.1.3. Análisis de los resultados de la prueba piloto
61
4.2. Prueba experimental
64
4.2.1. Fases de la prueba experimental
64
4.2.2. Resultados de la prueba experimental
66
4.2.3. Análisis de los resultados de la prueba experimental
75
4.3. Conclusiones
77
BIBLIOGRAFÍA
80
iii
CAPÍTULO 1
ANTECEDENTES Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1. Justificación del estudio
En el discurso educativo presente en las declaraciones y documentos oficiales, como
la reciente reforma de educación media (media superior), se presupone que los
egresados de bachillerato cuentan o deben contar con un conjunto de conocimientos
y habilidades proporcionados y desarrollados en sus cursos de matemáticas que les
permitan por un lado, entender su entorno, y por otro, resolver problemas que en
éste se plantee. Sin embargo, la experiencia y las investigaciones dan muestra de
que esto no es así en la mayoría de los egresados.
Ante tal hecho educativo y dado que los seres humanos vivimos en un entorno de
continuos cambios, en efecto, ¿quién no ha experimentado algún tipo de cambio en
su vida?,
el estudio (no sólo aprendizaje) de las llamadas matemáticas de las
variables, Geometría Analítica y Precálculo, está más que justificado en el
bachillerato.
En particular, el concepto de función es fundamental para la matemática moderna y
esencial en las esferas relacionadas con la ciencia y tecnología.
Sin embargo, pese a que se dedica todo un semestre y una asignatura al estudio del
concepto función, existen numerosas investigaciones que dan evidencia de un
conjunto de dificultades presentes en el aprendizaje de los estudiantes y que distan
de ser solucionadas cuando comienza la enseñanza del Cálculo (Artigue, 1995;
Aparicio, et al., 2008).
En tiempos recientes, la comunidad de matemática educativa ha afrontado el reto de
cómo mejorar la enseñanza y aprendizaje del Cálculo y la enseñanza de la
matemática en general, mostrando así su preocupación respecto a un complejo
tema. Es por esto, que se han realizado numerosas investigaciones que se
1
encuentran relacionadas con la enseñanza y aprendizaje del Cálculo, en particular,
en la literatura de hoy en día es posible encontrar investigaciones dedicadas al
estudio del concepto función, debido a la importancia de éste concepto, ya que un
estudiante que no aprenda y signifique de modo correcto dicho concepto, no solo
estará incapacitado para modelar y resolver problemas de su entorno, sino, que
también se encontrará incapacitado para realizar entendimientos claros de conceptos
matemáticos más avanzados, por ejemplo, conceptos tales como límite, derivada,
integral, por mencionar algunos.
Actualmente, la forma de tratamiento con el que se presenta el concepto función en
el ambiente escolar, propicia la generación de ideas erróneas en el estudiante,
generando de esta forma, que el entendimiento de éste concepto se convierta en un
desafío. Esto se debe a que por lo general, en la enseñanza del concepto función, se
centra la atención en el procedimiento, pero este énfasis no ha sido eficaz para la
construcción de concepciones fundamentales y que son significativas para permitir la
interpretación y la utilización de la función (Carlson; Oerhtman, 2005).
En el presente trabajo de investigación, nos interesamos por indagar sobre un hecho
de naturaleza cognoscitiva asociado al concepto función en matemáticas.
Particularmente, nos interesamos en entender cómo es que ciertas concepciones sui
géneris presentes en algunos pensadores matemáticos como Euler y Bernoulli, se
reproducen hoy día entre algunos estudiantes. Tal es el caso de presentar cierta
resistencia cognitiva a incorporar la noción de función constante como función. En el
siguiente apartado se ahonda al respecto.
1.2. Problema y objetivo de la investigación
La noción de función ha existido desde hace muchos siglos, sin embargo,
se
considera que aparece por primera vez en una forma muy general, en las escuelas
de filosofía natural de Oxford y París en el siglo XIV. No obstante, pasarían cientos
de años para que esta noción se estableciera entre la comunidad de matemáticos
como un concepto central de lo que hoy se conoce como Cálculo y el Análisis.
2
El origen y desarrollo de su significado a través de los años, es posible estudiarlo en
los escritos y trabajos de grandes pensadores del siglo XIV al siglo XX. Por ejemplo,
hoy se sabe gracias a estudios de corte histórico, que los primeros empleos de la
palabra 'función', si bien encapsulaban ideas del concepto moderno, estas eran
mucho más restrictivas.
Johann Bernoulli, en una carta que envía a Leibniz con fecha del 2 de septiembre de
1694, describe la función como:
“una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas
y constantes”.
A partir de dicho enunciado es posible interpretar que la noción de función que se
tiene en la época, está íntimamente asociada a ideas dinámicas, variacionales, al
mismo tiempo, es posible inferir que se piensa en función en términos de una (única)
expresión algebraica.
Se considera que no fue hasta 1748 cuando el concepto función obtuvo mayor
atención en las matemáticas de la mano de Euler, quien en su libro Introductio in
analysin infinitorum, dotara a dicho concepto de la siguiente definición:
“Una función de una cantidad variable, es una expresión analítica compuesta de
cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números ó cantidades
constantes”.
Nuevamente, una interpretación de este enunciado permite señalar que las ideas
dinámicas (incluso espaciales) están presentes, agregándose quizás, la idea de una
expresión analítica (escolarmente se puede pensar en fórmula), idea que parece no
estar muy clara en el enunciado ofrecido por Bernoulli.
Bajo la visión Euleriana de la noción de función –una sola expresión algebraica–, tal
expresión debería corresponder a una curva continua o mixta, debido a que en ese
tiempo, quedaba de manifiesto que una función podría ser representada
3
geométricamente por una curva, más no toda curva podría ser expresada por alguna
función de forma analítica.
En Aparicio y Cantoral (2006), se menciona que en la definición de función dada por
Euler (1748), se excluyen a expresiones de la forma:
y en Carlson y Oerhtman (2005) se menciona que entre los estudiantes existe la idea
errónea de que las funciones constantes (por ejemplo
) no son funciones, por el
hecho de presentar “no variación”.
De modo que, si las interpretaciones realizadas sobre las “definiciones” dadas por
Bernoulli y Euler resultan ser más o menos acertadas y la historia ofrece indicios
para pensar que en efecto, esto así es, resulta que bajo la definición moderna de
función, la función constante, al igual que la función por partes parecen quedar fuera
de las definiciones dadas por estos dos matemáticos. Luego entonces, ¿Qué explica
este hecho?, más aún, ¿Qué explica que tales ideas se reproduzcan hoy día entre
los estudiantes?
Hechos como estos y el que entre los estudiantes la función constante parece no
quedar del todo establecida en su cuerpo de conocimientos adquiridos en sus cursos
de Precálculo, nos motivó a plantearnos como tema de estudio, la “reproducibilidad”
de un hecho cognitivo, como es el caso de no considerar a la función constante como
función.
Para corroborar lo dicho en el párrafo precedente, basta con plantear a estudiantes
de bachillerato cuestiones como la siguiente: Señale ¿cuál o cuáles de entre las
expresiones abajo mostradas, representan o no una función?
A)
;
B)
;
C)
;
D)
Ante tal consigna, estamos convencidos de que las respuestas más comunes
tendrán un comportamiento más o menos de la siguiente manera, de entre una
4
población de 20 estudiantes, el 100% señalará al inciso D) como función,
aproximadamente el 50% señalará al inciso C) como no función, cerca del 60% dirá
que el inciso B) representa una función y como el 80% dirá que el inciso A) también
representa una función.
Estas premisas devienen por un lado, de la experiencia docente y por otro, de lo
reportado en la literatura especializada respecto al tipo de problemas que se
presentan en los estudiantes al momento de tratar con el concepto función constante.
Ahora bien, si bien es cierto se conocen este tipo de deficiencias entre los
estudiantes, también es cierto no se han realizado estudios que den cuenta de
aspectos que expliquen tal situación, en particular con la noción de función constante
y su relación con las dificultades sui géneris en algunos pensadores matemáticos de
antaño.
Por ello, en nuestra investigación nos proponemos responder la siguiente pregunta:
¿Qué naturaleza tienen las producciones estudiantiles respecto a la noción de
función constante y qué relación guarda ésta con la manifestada por pensadores
matemáticos de antaño?
1.3. La enseñanza del concepto función y algunas implicaciones
Según Resendiz (2006), la enseñanza del Cálculo ha resultado siempre
problemática, quizá sea esa la razón por la que se enseña a los estudiantes de forma
mecánica, centrando la enseñanza tradicional en la evaluación de habilidades
adquiridas que atañen a una práctica algorítmica de naturaleza algebraica para los
objetos del Cálculo, que si bien, logran disminuir sustancialmente el porcentaje de
alumnos reprobados, no se favorece que comprendan satisfactoriamente los
conceptos y métodos del Cálculo.
La relevancia del concepto función en distintos ámbitos científicos ha dirigido la
atención hacia el análisis de sus procesos de enseñanza y aprendizaje. En la
literatura especializada existen acercamientos teóricos que estudian al concepto y
5
donde reportan una gran variedad de dificultades en su aprendizaje (Dubinsky; Harel,
1992).
El concepto función es un objeto matemático de extrema complejidad, debido a que
posee múltiples formas de representación (gráficas, fórmulas, tablas, relaciones
verbales y representación icónica), que obligan al individuo a transformar una
representación en otra, según la situación y el contexto donde cobra vida. También
existen diversos subconceptos asociados al concepto función, a saber, dominio,
rango, cantidad variable, razón, función inversa, función composición, entre otros
(Del Castillo; Montiel, 2007).
El tratamiento que se ha dado a este concepto, refleja cierta linealidad en la
presentación, pues se va de lo más sencillo a lo más complejo para reforzar nociones
y no con la intención de hacerlas evolucionar.
Esto es, el tratamiento usual del concepto función parte de su definición formal:
“Una función es una correspondencia entre un conjunto
y otro conjunto
de números reales
, donde el número
de números reales
es único para un
valor dado de ”.
y se sigue con refuerzos en diversas representaciones de dicho concepto (Cantoral;
Montiel, 2006).
Debido al tratamiento otorgado a este concepto, los alumnos suelen considerar a las
funciones como dos expresiones separadas por un signo igual, y tienden a asociarla
con una fórmula, pero esta asociación función-fórmula parece ser perfectamente
razonable, ya que refleja la comprensión histórica de algunos matemáticos (Carlson;
Oerhtman, 2005).
Los estudiantes que piensan acerca de las funciones sólo en términos simbólicos de
las manipulaciones técnicas y de procedimiento, son incapaces de comprender una
cartografía más general de un conjunto de valores de entrada a un conjunto de
valores de salida.
6
Otra dificultad para los estudiantes es la distinción entre los atributos visuales de una
situación física y los atributos de la gráfica de una función que modela una situación.
A lo largo de prácticamente cualquier currículo escolar de funciones, el tratamiento
de dicho concepto, se centra en
reconocer sus características gráficas de las
funciones, tales como, la concavidad, los puntos de inflexión y la curvatura. Sin
embargo, cuando se trata de funciones que modelan situaciones concretas, a
menudo hay estructuras topográficas en el mundo real, similares a la representación
gráfica (por ejemplo, las curvas de una pista, la elevación de un viaje por carretera a
través de terreno montañoso, o la forma de un recipiente que se llena de líquido).
La considerable importancia de estas características físicas a menudo crea
confusión, dando pie a que los estudiantes piensan en el gráfico de una función
como una imagen de una situación física, más que como una cartografía a partir de
un conjunto de valores de entrada a un conjunto de valores de salida. Desarrollar una
comprensión de la función en tales situaciones del mundo real que modele el cambio
dinámico es un puente importante para el éxito en matemáticas avanzadas (Carlson;
Oerhtman, 2005).
Luzin (1998) señala que la confusión respecto a las funciones se puede deber a una
falta de comprensión de la diferencia entre 'función' y su representación. Mismo
hecho que ha sido posible observar en la noción de función de los pensadores
matemáticos de la antigüedad.
El Cálculo ofrece la oportunidad de poner a los estudiantes en contacto con el
método científico, una perspectiva histórica puede frecuentemente
ayudar en el
proceso de aprendizaje.
1.4. Historia del concepto función
El concepto función ha evolucionado en los últimos tres siglos, gracias a su íntima
relación con el Cálculo y el Análisis, ha madurado llegando a su estado actual. Esta
evolución se remonta a 4000 años atrás; 3700 de los cuales consisten en pocas
7
evoluciones hacia él, y en los últimos 300 tiene conexiones cercanas con el Cálculo y
el Análisis (Del Castillo; Montiel, 2007).
En un inicio, la palabra función era utilizada con su significado no matemático por
matemáticos como Leibniz y Johann Bernoulli, para este último, la introducción del
concepto función sucedió en un momento ideal, ya que se encontraba estudiando
problemas de cálculo de variaciones, en cuyas soluciones aparecían funciones.
Sin embargo, es gracias a Euler que el concepto función adquiere un papel central y
explícito en la matemática.
La vida de este académico del siglo XVIII estuvo exclusivamente dedicada a trabajar
en los diferentes campos de la matemática pura y aplicada, a lo largo de su vida
fueron 530 los libros y artículos que publicó, siendo estos de gran importancia por las
aportaciones matemáticas que presentan. Un ejemplo de esto, es la definición de
función presentada en 1748 en su libro Introductio in Analisyn Infinitorum (Struik,
1998).
“Una función de una cantidad variable, es una expresión analítica compuesta de
cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números ó cantidades
constantes”.
Otro gran texto fue Institutiones calculi differentialis (1755). En el definió una función
de manera totalmente general:
“Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas
cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se
llaman funciones de las segundas”.
Esta definición se aplica de manera más bien amplia e incluye todas las formas en
que una cantidad puede ser determinada por otra. Si, por tanto,
denota una
cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de
de cualquier
modo, o que son determinadas por ella, son llamadas funciones de .
8
Esto podría haber sido un gran logro empero, después de dar esta amplia definición,
Euler dedicó el libro al desarrollo del cálculo diferencial usando solamente funciones
analíticas.
Con el transcurrir de los años, la definición publicada por Euler se fue ampliando,
hasta llegar a algunas definiciones establecidas por Cauchy (1789-1857) y
Weirstrass (1815-1897). El mismo trabajo desarrollado por Fourier sobre la teoría
analítica del calor a principios del siglo XIX, habría de contribuir en el establecimiento
de una definición mucho más precisa de dicho concepto.
Cauchy, en 1821, dio una definición que hace de la dependencia entre variables el
centro del concepto de función. Escribió en su Cours d'analyse:
“Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una
de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno
ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante
una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las
otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a
las que se llaman funciones de esta variable”.
Fourier, en Théorie analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente definición:
“En general, la función
representa una sucesión de valores u ordenadas
cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la
abscisa
, hay un número igual de ordenadas
. Todas tienen valores
numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas
ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una forma
cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola”.
Dirichlet, en 1837, aceptó la definición de función de Fourier e inmediatamente de dar
esta definición, definió una función continua (usando continuo en el sentido
moderno).
9
Goursat en 1923, presenta la definición de función que aparece en la mayoría de los
libros de textos, hoy en día:
“Se dice que
es una función de
si a cada valor de
le corresponde un valor
de . Esta correspondencia se indica mediante la ecuación
”.
Notemos que en esta definición publicada a inicios del siglo XX, se sigue refiriendo al
concepto de función como una relación entre cantidades variables, sin embargo, se
habla ya de una relación de correspondencia, es decir, de una visión conjuntista y
estática del concepto, y de una arbitrariedad.
10
CAPITULO 2
CONSIDERACIONES TEÓRICAS EN LA INVESTIGACIÓN
Introducción
El proceso de selección de los problemas de investigación en cualquier disciplina
científica debe estar conectada con un marco teórico y con teorías específicas que
den significación a los mismos, de modo que los conocimientos aportados
contribuyan a la compresión global de los fenómenos didácticos (Aparicio, 2003).
En el capítulo anterior se ha discutido sobre nuestro problema de investigación y se
reconoce como objeto central de estudio a la función, y en particular a la función
constante.
La naturaleza del concepto de función es en extremo compleja, su desarrollo se ha
hecho casi a la par que evoluciona la cultura humana. Se trata de un objeto cultural
que ha sobrevivido al desarrollo del ámbito social, económico y tecnológico de la
sociedad, esto se refleja en su status y presencia en el currículum actual de nivel
básico, medio superior y superior.
Es debido a esta presencia sociocultural en la construcción del concepto función y a
la intervención de los elementos cognitivos, didácticos y epistemológicos presentes
en la aprehensión de todo concepto matemático que en nuestro trabajo se hace uso
de la aproximación socioepistemológica como marco teórico.
Una vez acogidos al seno de este marco teórico de investigación en matemática
educativa, discutiremos sobre algunos términos propios de nuestro ámbito.
2.1. La matemática Educativa y el sistema didáctico
Para algunos autores como Cordero (2001), la matemática educativa es una
disciplina que atiende como problemática fundamental, la enseñanza de la
11
matemática, o bien, su aprendizaje. En ese sentido, dice este autor, la Matemática
Educativa entre otras cosas, se ha formulado preguntas acerca del conocimiento
matemático. Estas han oscilado entre su naturaleza, sus formas y condiciones de
construcción, y sobre las construcciones que tienen que hacer los individuos para
que se dé tal conocimiento. De este modo, y de manera general, esta disciplina
busca dar alternativas de solución a problemáticas que tienen lugar en la esfera de la
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Su objeto de estudio se caracteriza
entonces, por atender de manera sistémica, los fenómenos didácticos relativos a la
matemática. En otras palabras, el punto de partida de la Matemática Educativa es la
problematización de la matemática a la luz de su didáctica o pedagogía, no a la
inversa (Rodríguez; Aparicio, 2007).
Hoy día, a nivel mundial, la Matemática Educativa posee un reconocimiento
importante, lo que indica la preocupación que existe por generar ambientes de
enseñanza-aprendizaje un tanto más efectivos y significativos. Al respecto, existen
una gama de teorías que sustentan los fenómenos didácticos que se suceden en la
terna didáctica: estudiante, profesor y saber. Dicha terna es mejor conocida como el
triángulo didáctico, el cual en principio es una noción utilizada para referir a un cierto
tipo de funcionamiento de lo que hasta el momento se consideran los principales
actores de todo proceso educativo: maestro, alumno y saber. Algo de lo que interesa
en nuestra disciplina, es el estudio de este funcionamiento en un sentido sistémico y
visto como un sistema.
Es por esto que se ha generado la preocupación por entender el tipo de relaciones
que se establecen entre este terna didáctica y cómo es que se establecen, y por ello
han surgido diversas concepciones teóricas que intentan estudiar dichas relaciones y
otras que se ocupan por constituir una base teórica que permita analizarlas con fines
didácticos.
Chevallard (1985) plantea que el sistema didáctico en la educación matemática
consiste en una relación, donde intervienen el saber, el alumno y el profesor, sugiere
que entre el primero y el tercero, se genera una transposición didáctica y entre el
12
alumno-profesor se establece la noción de contrato didáctico. Brousseau (1986)
discute dicho contrato como el conjunto de relaciones implícitas o explicitas que se
establecen entre el profesor y alumno durante el tratamiento escolar de un saber, a
fin de darle sentido a la situación de aprendizaje y de sistematizar las diversas
interacciones en el aula, quedando establecida una responsabilidad reciproca de
administrar el conocimiento matemático buscado.
La siguiente figura ilustra los componentes que son tomados como unidad de análisis
en el proceso enseñanza aprendizaje de un concepto matemático.
Transposición
Sistema
didáctica
Educativo
Saber
Escolar
Comunicación
Aprendizaje
Alumno
Unidad de análisis
El entorno inmediato del sistema didáctico es el “sistema de enseñanza”, que está
constituido por un conjunto diverso de dispositivos que permiten operar a los distintos
sistemas didácticos (Chevallard, 1991).
El sistema de enseñanza puede envejecer, y este envejecimiento puede darse en
dos sentidos:
a) Respecto al avance científico (envejecimiento biológico)
b) Respecto a los cambios sociales (envejecimiento moral)
13
Por otra parte, el saber enseñado dentro del sistema didáctico, requiere la
aprobación de la comunidad científica, pero también el de los padres que delegan en
las instituciones la instrucción de sus hijos. Así, alrededor del sistema didáctico
aparece lo que Chevallard denomina “noosfera” y que representa como el entorno
donde se piensa al sistema didáctico. En la noosfera, los representantes del sistema
de enseñanza, se encuentran directa o indirectamente con los representantes de la
sociedad. Esta versión simplificada, del funcionamiento escolar puede desarrollar
formas muy complejas de funcionamiento (Lezama, 2001).
Una característica que da originalidad a la forma de hacer investigación en
matemática educativa, es tomar en consideración a los fenómenos de enseñanzaaprendizaje de las matemáticas bajo un enfoque sistémico, es decir, en palabras de
(Ruiz, 1998) el funcionamiento global de un hecho didáctico no puede ser explicado
por el estudio separado de cada uno de los componentes, sino que tiene en cuenta la
complejidad de las interacciones entre el saber matemático, los alumnos y el
profesor, dentro del contexto particular de la clase. Así mismo (Brousseau, 1986),
señala que la didáctica de las matemáticas es considerada como el estudio de la
evolución de las interacciones entre un saber, un sistema educativo y los alumnos,
con objeto de optimizar los modos de apropiación de este saber por el sujeto.
Hacer investigación en nuestro campo disciplinar, es una tarea que consiste en
indagar sistemáticamente, formas de poder anticipar y controlar con base en ciertos
constructos teóricos, el conjunto de relaciones que han de establecer y hacer del
sistema didáctico, un sistema funcional.
2.2. Teorías en educación matemática
Actualmente existen diversas teorías que permiten guiar las investigaciones en
matemática educativa, por ejemplo, la teoría de los campos conceptuales (Vergnaud,
1991), la de las representaciones semióticas (Duval, 1999), la de la transposición
didáctica (Chevallard, 1998), las situaciones didácticas
(Brousseau, 1997), entre
otras. Estas teorías se centran, cada una, sobre alguno de los componentes del
14
sistema didáctico, explicando los fenómenos de la didáctica de las matemáticas
desde esa visión.
Por ejemplo, la teoría de los campos conceptuales es una teoría cognitivista que
tiene como finalidad principal proporcionar un marco que permita comprender las
filiaciones y rupturas entre los conocimientos de los niños y adolescentes. Esta teoría
centra su atención en el alumno y su relación con el saber matemático en situación
escolar. De la misma forma, la teoría de las representaciones semióticas de Duval
también es una teoría cognitivista que toma como centro de atención a la relación
entre el alumno y el saber, haciendo énfasis en que la coordinación de varios
registros de representación semiótica es fundamental para una aprehensión
conceptual de los objetos.
Por otro lado, la teoría de la transposición didáctica desarrollada por Chevallard,
centra su atención en las transformaciones adaptativas que un saber innato sufre
hasta el momento en que es presentado en su versión escolar, estableciendo de esta
manera una relación entre profesor y saber. Por último, la teoría de las situaciones
didácticas de Brousseau permite establecer un contrato didáctico entre el profesor y
el alumno, esta teoría propone la elaboración de un milium en el que se establece
una interacción entre el profesor, el alumno y el saber.
Sin embargo, dichas aproximaciones aunque explican las relaciones que desean
explicar, no asumen que este triángulo es situado. Dejando de lado los efectos del
entorno sociocultural sobre los agentes del sistema educativo, como establece la
aproximación teórica de la Socioepistemología, de que las prácticas sociales tienen
una función normativa en las actividades de los seres humanos. Y de esta manera,
dichas relaciones retomarían nuevos significados. Es decir, la relación alumnoprofesor es percibida como un producto de la cultura donde se encuentra inmerso el
individuo (Chí; Aparicio, 2007).
15
2.3. La Socioepistemología
Al percibir el carácter sociocultural de los fenómenos en didáctica de las
matemáticas, se permite hacer referencia a la aproximación teórica de la
socioepistemología, la cual permite hacer estudios de corte sociocultural de tal
manera que en ella se perciban al profesor, alumno y saber situados social y
culturalmente, y de esta manera darles un enfoque diferente, además de que un
tratamiento sistémico se concibe a su vez en escenarios socioculturales.
Considerando nuestro problema de investigación se puede observar el carácter
social del fenómeno que se está estudiando, es por esto, y dado que se desea
reconocer las relaciones que guardan los individuos y la cultura entorno a la
evolución del concepto función que nuestra investigación se sitúa en la denominada
aproximación socioepistemológica.
La Socioepistemología es una aproximación teórica emergente dentro de la disciplina
científica
denominada
Matemática
Educativa.
Como
se
ha
mencionado
anteriormente, el objetivo de la Matemática Educativa consiste en explorar y
entender cómo los seres humanos construyen conocimiento matemático, cómo
desarrollan por así decirlo una manera matemática de pensar. Dentro de esta
disciplina, la Socioepistemología ha hecho planteamientos novedosos, poniendo al
centro de la discusión, más que a los conceptos, a las prácticas sociales asociadas a
determinado conocimiento (Cantoral; López, s.f).
La aproximación socioepistemológica a la investigación en Matemática Educativa
busca construir una explicación sistémica de los fenómenos didácticos en el campo
de las matemáticas, no solo discute el asunto de la semiosis o de la cognición de
manera aislada, sino que busca intervenir en el sistema didáctico, en un sentido
amplio, al tratar a los fenómenos de producción, adquisición y de difusión del
conocimiento matemático desde una perspectiva múltiple que incorpore al estudio de
la epistemología del conocimiento, su dimensión sociocultural, los procesos
cognitivos asociados y los mecanismos de institucionalización vía la enseñanza
(Cantoral; Farfán, 2003).
16
Bajo esta aproximación teórica, el conocimiento matemático es explicado a través de
la reconstrucción de significados que el individuo lleva a cabo al ejercer
determinadas prácticas con carácter intencional. Es por ello que la epistemología de
los conceptos se vuelve ahora una epistemología de prácticas, en la que el foco de
atención se centra en analizar la relación entre prácticas sociales y conocimiento
(Buendía; et al., 2006).
Un aspecto que sin duda enriquece el planteamiento anterior es dar evidencia acerca
de cómo dicha reconstrucción de significados se lleva a cabo en el contexto
argumentativo del salón de clases. Las componentes de esta aproximación teórica –
la epistemología, la cognición, la didáctica y lo social- determinan la manera como se
proponen contextos interactivos argumentativos y explican científicamente cómo se
genera conocimiento (Buendía; et al., 2006).
El enfoque socioepistemológico, comparte la tesis de la semiótica cultural que
confiere a la actividad humana la función de producción de objeto, aunque el énfasis
socioepistemológico no está puesto ni en el objeto preexistente o construido, ni en su
representación producida o innata; sino más bien se interesa por modelar el papel de
la práctica social en la producción de conocimiento a fin de diseñar situaciones para
la intervención didáctica. Claramente, ello exige de un posicionamiento sobre el
sentido que adquiere la expresión práctica social en este enfoque (Cantoral; et al,
2006).
En primer término es importante que se distinga la noción de práctica en un sentido
llano, de aquella que se usa en este enfoque. La práctica social se entiende como
normativa de la actividad, más que como actividad humana reflexiva o reflexión sobre
la práctica. Ahí radica una de las principales distinciones teóricas del enfoque
socioepistemológico: “la práctica social” no es lo que hace en sí el individuo o el
grupo, sino aquello que les hace hacer lo que hacen”. De este modo, se pretende
explicar los procesos de construcción, adquisición y difusión del saber matemático
con base en prácticas sociales (Cantoral, et al, 2006).
17
La tesis central de esta aproximación teórica consiste en sostener que son las
prácticas sociales las generadoras de conocimiento (matemático).
2.4. La socioepistemología de la función
Actualmente,
diferentes
investigaciones
dentro
de
esta
perspectiva
socioepistemológica han identificado a la predicción como una práctica social
influyente en la construcción del concepto función, describiéndola como la práctica
social que permite determinar el estado futuro de un sistema, de un objeto o de un
fenómeno con base en el estudio sistemático de las causas que lo generan y los
efectos que produce. Esta práctica está íntimamente relacionada con la variación, ya
que para predecir es necesario cuantificar y analizar los cambios. Es decir, la
variación es una herramienta de análisis necesaria para la predicción (Zatti; Montiel,
2007).
Antes de intentar acotar el sentido del término variacional debemos dejar clara la
diferencia que percibimos entre cambio y variación: la noción de cambio denota la
modificación de estado, de apariencia, de comportamiento o de condición de un
cuerpo, de un sistema o de un objeto, mientras que la variación, la estamos
entendiendo como una cuantificación del cambio, es decir, estudiar la variación de un
sistema o cuerpo significa ejercer nuestro entendimiento para saber cómo y cuánto
cambia el sistema o cuerpo dado. Es en este sentido que nos referimos a los
argumentos de tipo variacional. Decimos que una persona utiliza o comunica
argumentos y estrategias de tipo variacional cuando hace uso de maniobras, ideas,
técnicas o explicaciones que de alguna manera reflejan y expresan el reconocimiento
cuantitativo de cambio en el sistema u objeto que se está estudiando (Cantoral; et al.,
2000).
En particular, trabajar con funciones facilita que emerjan de forma natural estrategias
y argumentos de tipo variacional los cuales constituyen el componente matemático
fundamental de nuestro trabajo.
18
Dado que nuestra investigación se ubica en la denominada aproximación
socioepistemológica, contemplamos cuatro dimensiones en la construcción social del
conocimiento matemático: la social, la epistemológica, la cognitiva y la didáctica.
Un análisis epistemológico de una determinada noción conduce a la determinación
de concepciones históricas ligadas a la misma y permite estudiar los procesos que
han seguido los conceptos matemáticos en su formación y en su desarrollo, los
mecanismos de producción de estos saberes y conocer las características de la
actividad matemática asociada (Zatti; Montiel, 2007).
El análisis epistemológico del concepto función, en esta aproximación, permite
determinar que cada tipo de función tiene un origen en un contexto específico, lo que
implica que cada una posea su propia naturaleza, que la distingue de las demás, y
problemáticas propias relativas a su apropiación.
Una vez que se distingue la naturaleza propia de cada función y que se reconocen a
las prácticas sociales como generadoras de conocimiento, se diseñan situaciones
fundamentadas en la Socioepistemología que permiten hacer evidentes herramientas
y argumentos; que permiten, a su vez, reconstruir significados.
A interés de nuestra investigación, centraremos nuestra atención en el estudio de la
naturaleza del concepto función constante, presentando a detalle en nuestro
siguiente capítulo el análisis epistemológico, cognitivo y didáctico de este concepto.
19
CAPÍTULO 3
MÉTODO DE INVESTIGACIÓN
3.1. La ingeniería didáctica
La noción de ingeniería didáctica surgió en la didáctica de las matemáticas a
comienzos de los años ochenta. Se denominó con este término a una forma de
trabajo didáctico equiparable con el trabajo del ingeniero quien, para realizar un
proyecto determinado, se basa en los conocimientos científicos de su dominio y
acepta someterse a un control de tipo científico. Sin embargo, al mismo tiempo, se
encuentra obligado a trabajar con objetos muchos más complejos que los objetos
depurados de la ciencia, y por tanto, tiene que abordar prácticamente, con todos los
medios disponibles, problemas de los que la ciencia no puede o no quiere hacerse
cargo (Artigue, 1995).
La ingeniería didáctica se delimita en cuatro fases: la fase uno de análisis preliminar,
la fase dos de concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas de la
ingeniería, la fase tres de experimentación y finalmente la fase cuatro de análisis a
posteriori y validación.
La primera fase, denominada análisis preliminar, como su nombre lo indica, consiste
en realizar un determinado número de análisis:
a) Un análisis de corte epistemológico sobre el contenido o concepto matemático
que forma parte del estudio. Para ello se precisa realizar una revisión
histórica-epistemológica de dicho contenido o concepto matemático. En
nuestro caso particular, el concepto función (función constante).
b) Un análisis didáctico que consiste en llevar a cabo una revisión de libros de
texto con el fin de analizar la forma en que un contenido o concepto específico
es tratado y desarrollado en los escenarios escolares. Así, nos ocupamos de
20
realizar una revisión y caracterización del tratamiento escolar que le es
conferido a la función constante.
c) Un análisis cognitivo que consiste en obtener información sobre las nociones,
concepciones e incluso dificultades de orden cognoscitivo que se presentan o
están presentes en los estudiantes referente al contenido. Para este tipo de
análisis se requiere de dispositivos o diseños didácticos a nivel experimental o
bien, basarse
en investigaciones que proporcionen información sobre las
dificultades y obstáculos relacionados con el aprendizaje y enseñanza de un
concepto entre los estudiantes. En nuestro caso nos basamos en reportes de
investigación publicados en revistas especializadas.
La segunda fase, concepción y análisis a priori, consiste en lograr identificar las
variables didácticas, y un conjunto de hipótesis que serán tomadas en consideración
para el diseño de un instrumento que se perfilará a hacer una ingeniería didáctica o
bien, una secuencia didáctica de experimentación y recolección de datos.
En nuestro trabajo, se consideraron una serie de variables que nos permitiera
estudiar las producciones de los estudiantes al momento de discutir sobre la noción
de función constante, de modo que, se estuviera en condiciones de ofrecer una
respuesta a nuestra pregunta de estudio planteada. El instrumento es llevado a
escena como parte de la tercera fase del método, la experimentación.
Por último, en el análisis a posteriori, se analizan los datos obtenidos en la
experimentación, y en confrontación de éste análisis con el a priori, se fundamentará
en esencia la validación o refutación de las hipótesis formuladas en la investigación.
3.2. Análisis preliminar
A continuación se presenta la primera fase de la ingeniería didáctica, es decir, el
análisis preliminar, efectuado bajo el reconocimiento de los aspectos de corte
epistemológico, cognitivo y didáctico.
21
3.2.1 Análisis de corte epistemológico
En el análisis de corte epistemológico se quiere analizar la forma en cómo el “objeto”
matemático función era concebido, empleado, institucionalizado o formalizado en
cierta época y cultura científica.
Este análisis se realizó con el fin de indagar sobre la construcción, desarrollo o
evolución histórica del concepto función, en particular, lo referido a la función
constante. Para ello se recurrió a un análisis histórico que abarcó del siglo XVIII al
siglo XX, período en el cual se llevara a cabo un claro proceso de matematización y
en el cual el concepto función se convirtiera en uno de los conceptos base del
Cálculo y el Análisis.
En el capítulo uno se comentó de manera breve la historia del concepto función, en
este apartado, ahondaremos más al respecto, con el fin de mostrar aquellos
elementos que nos dieron información sobre una posible ruta de “construcción” y
desarrollo del concepto función.
Como se ha mencionado anteriormente, la evolución del concepto función se
remonta a 4000 años atrás y a pesar de que diversos personajes trabajaron con éste
concepto, es posible que no comprendieran el concepto función en un sentido
amplio.
Se puede decir que el concepto función no nace únicamente en la matemática pura,
sino se utilizaba en otras ciencias antes de haber sido formalizado e incluso
identificado como tal.
Por ejemplo, en la astronomía, con Ptolomeo, se puede observar el empleo de
ciertas relaciones matemáticas para encontrar posiciones de los cuerpos.
En el segundo cuarto del siglo XIV, el interés ya no estaba tanto en el movimiento de
los cuerpos, sino en la cuantificación del cambio que fue abordado por un grupo de
lógicos y filósofos naturales del colegio de Merton, en Oxford, quienes estaban
interesados en la intensidad de cualidades. Un integrante de este grupo fue el
22
escolástico Nicolás Oresme (1323-1382), quien estudiara los fenómenos que
cambian, los cuales no eran matematizables (cualidades), por ejemplo, la velocidad;
de esta manera se abre una nueva vía de pensamiento y trabajo científico al
proponer una aproximación geométrica para mostrar la relación entre dos “cosas” o
cantidades variables, proponiendo el uso de una gráfica para marcar con una línea
perpendicular la magnitud variable (latitudes) cuyo valor dependía de otra variable
(longitudes). En su Tractatus de latitudinibus formarum, aparecen por primera vez
las “funciones” dibujadas. En este tratado se menciona que todo lo que varía puede
imaginarse como una cantidad continua representada mediante un segmento
rectilíneo; de este modo Oresme construye una demostración del teorema de Merton
(de la velocidad media), para explicar el movimiento uniformemente acelerado,
ilustrándolo mediante el área de un triángulo o de un trapecio.
Figura 3.1
Por ejemplo en la figura 3.1, se observa la representación de un movimiento
uniformemente acelerado durante un intervalo de tiempo
longitud
, la latitud en cada punto
de
correspondiente a la
es una ordenada
velocidad en el instante correspondiente, por lo que el lado
cuya longitud es la
de la configuración es
una gráfica tiempo contra velocidad. Oresme vio que la definición de aceleración
uniforme implica que
trapezoide con base
explícita que el área
es un segmento de línea recta, y que la configuración es un
y alturas
y
, y supuso sin prueba
de este trapezoide, es igual a la distancia total recorrida, quizá
basándose en el aspecto visual como constituida por muchos segmentos verticales o
23
indivisibles, cada uno de los cuales representa una velocidad continua para un
tiempo corto. De cualquier modo, a partir de la fórmula del área de un trapezoide se
sigue inmediatamente que
, así Oresme ha probado la regla de
Merton mediante una verificación geométrica.
Fue gracias a este tipo de trabajos que Oresme se acercaba a una idea más precisa
del concepto función, describiendo a las leyes de la naturaleza como leyes que dan
una dependencia entre una cantidad y otra.
En el siglo XVI Galileo empezaba a entender el concepto aun con mayor claridad,
sus estudios sobre el movimiento dejan ver una comprensión más clara del
establecimiento de una relación entre variables.
Casi al mismo tiempo que Galileo trabajaba con estas ideas, Descartes introducía el
álgebra a la geometría. En La Géometrie (La geometría) afirma que una curva puede
dibujarse al permitir que una línea tome sucesivamente un número infinito de valores
distintos. Esto de nuevo lleva el concepto de función asociado a la construcción de
una curva ya que Descartes estaría pensando en términos de la magnitud de una
expresión algebraica que toma infinitos valores.
La palabra función, como tantos términos matemáticos, fue usada por primera vez
con su significado no-matemático. Leibniz escribió en agosto de 1673 :
“… otros tipos de líneas que, dada una figura, llevan a cabo alguna función”.
Johann Bernoulli, en una carta a Leibniz escrita el 2 de septiembre de 1694, describe
una función como:
“… una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades
indeterminadas y constantes“.
La función era un concepto cuya introducción sucedió en el momento ideal en lo que
respecta a Johann Bernoulli ya que estaba estudiando problemas de cálculo de
variaciones en cuyas soluciones aparecen funciones.
24
Sin embargo, se dice que fue hasta el siglo XVIII cuando el concepto de función tomó
“fama” en las matemáticas. Esto se debió a Euler quien publicó su obra Introductio in
analysin infinitorum en el año de 1748, año en que hace central el concepto de
función en su presentación del Análisis. Él definió una función como sigue:
“Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de
cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades
constantes”.
Hasta la época de Euler, se consideraba a las cantidades trigonométricas seno,
coseno, tangente, etc., como líneas relacionadas con el círculo más que como
funciones. Fue él quien introdujo el acercamiento funcional.
El concepto de función había llevado a Euler a hacer muchos descubrimientos
importantes antes de que escribiera Introductio in analysin infinitorum. Por ejemplo,
había llegado a definir la función gamma y a resolver el problema de la suma de la
serie:
demostrando que la suma da
publicado en 1740.
Unos años después, en el año de 1746 D' Alembert publicó una solución al problema
de una cuerda tensa que vibra. La solución, como se sabe, depende de la forma
inicial de la cuerda y D' Alembert en su solución insistía en que la función que
describe las velocidades iniciales de cada punto de la cuerda debían ser expresadas
mediante una sola expresión analítica. Euler publicó un artículo en 1749 en el que
objetaba la restricción impuesta por D' Alembert, afirmando que, por razones físicas,
expresiones más generales para la forma inicial tenían que permitirse, pero D'
Alembert no estaba de acuerdo con Euler, iniciando de esta forma una larga
controversia sobre la naturaleza de las funciones que se permitían como condiciones
iníciales y en las integrales de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales
25
continuaban apareciendo en cantidades cada vez mayores en la teoría de la
elasticidad, la hidrodinámica, la aerodinámica y la geometría diferencial”.
En 1755 Euler publicó otro libro que lleva por título: Institutiones calculi differentialis.
En este libro presenta la definición de función como sigue:
“Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas
cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se
llaman funciones de las segundas. Esta definición se aplica de manera más
bien amplia e incluye todas las formas en que una cantidad puede ser
determinada por otra. Por tanto, si
denota una cantidad variable, entonces
todas las cantidades que dependen de
de cualquier modo, o que son
determinadas por ella, son llamadas funciones de ”.
Tal definición, se puede decir, logra en su momento tener tintes de modernidad.
Otros matemáticos dieron sus propias versiones de la definición de función.
Condorcet parece haber sido el primero en retomar la definición general de Euler de
1755.
Lacroix, quien había leído el trabajo inconcluso de Condorcet, escribió en 1797:
“Cada cantidad cuyo valor depende de una o más cantidades se llama una
función de éstas últimas, se conozca o no qué operación es necesario usar para
llegar de la última a la primera”.
Cauchy, en 1821, da a conocer una definición que hace de la dependencia entre
variables el centro del concepto de función. Escribió en su Cours d'analyse:
“Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una
de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno
ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante
una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las
26
otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a
las que se llaman funciones de esta variable”.
Nótese que a pesar de la generalidad de la definición de Cauchy, se percibe que él
aún piensa en una función en términos de una fórmula.
Durante esta época, con la invención de la máquina de vapor, base de la Revolución
Industrial, se despertó el interés por el desarrollo de una teoría matemática de la
conductividad del calor, más tarde concretada en la termodinámica.
Un personaje que contribuyó a la formación de esta teoría fue Jean B. Fourier (1768
– 1830), quien estudió la propagación de calor de un prisma rectangular inmerso por
largo tiempo en un medio con temperatura constante, puesto que a través de éste
análisis se pueden encontrar las ecuaciones que gobiernan el flujo de calor en
cuerpos sólidos.
El estudio se realizó durante un tiempo
volumen es
en un prisma rectangular de un sólido cuyo
. A continuación se presenta la ecuación que gobierna el
comportamiento del sistema:
de la cual empleando las ecuaciones diferenciales parciales y la técnica de
separación de variables encuentra como solución:
Fourier deduce los coeficientes de la serie derivando cada uno de los términos de la
misma y se ocupa de la convergencia. Ambos aspectos no habían sido tratados por
matemáticos como Euler, D’ Alembert y Bernouilli. Por otra parte, dada la naturaleza
física del problema, cualquier función arbitraria puede representar la temperatura del
sólido, por tanto, de la solución se deduce que toda función arbitraria en el intervalo
27
–
(elegido por conveniencia), puede expresarse por una serie de senos y
cosenos.
La afirmación anterior requiere de una nueva definición de función. Fourier, en
Théorie analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente definición:
“En general, la función
representa una sucesión de valores u ordenadas
cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la
abscisa
, hay un número igual de ordenadas
. Todas tienen valores
numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas
ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una forma
cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola.”
La afirmación anterior, representa uno de los primeros indicios de la arbitrariedad de
la regla de correspondencia que define a una función. Es decir, se observa la noción
de función como correspondencia numérica, se elimina la idea de una fórmula
definida por medio de una expresión analítica. El universo de funciones se amplía al
considerar aquellas definidas por partes o que no tienen una representación explícita.
Sin embargo, la contribución de Fourier de que toda función en el intervalo [
puede expresarse por una serie de senos y cosenos, aún no era admitida en el
cuerpo de conocimientos clásico del análisis de la época, haciendo necesario
justificar matemáticamente esta contribución, para lo cual Fourier se da a la tarea de
calcular matemáticamente los coeficientes de la serie presentada como solución a la
ecuación general de propagación del calor.
Al mismo tiempo, diversos matemáticos se dan a la tarea de calcular los coeficientes
de la serie de Fourier. Entre ellos podemos mencionar a Dirichlet (1805-1859), él
encuentra que la función
debe cumplir ser continua en el intervalo –
, salvo a
lo más en un número finito de puntos, en los que posee límites laterales y poseer un
número finito de máximos y mínimos en el intervalo. Estas condiciones consideran el
tipo de funciones manejadas en la época. Sin embargo, Dirichlet enfatiza que es
necesario considerar las funciones que no cumplían las condiciones impuestas.
28
Se considera que lo anterior, conduce, en parte, a Dirichlet a considerar la siguiente
definición de función:
“Si a cada
cuando
de un intervalo corresponde un único y finito, de manera que
recorre continuamente el intervalo,
también cambia
gradualmente, se dice que y es una función continua de . No es necesario que
y depende de
con la misma ley en todo el intervalo ni tampoco es preciso que
la dependencia sea expresable por medio de operaciones matemáticas”.
La definición anterior nuevamente enfatiza la necesidad de la arbitrariedad de la
regla de correspondencia que define
cada
y la caracteriza como aquella que asocia a
un único .
Poincaré estaba a disgusto con la dirección que había tomado la definición de
función. En 1899 escribió:
“Durante medio siglo hemos visto una masa de funciones extrañas que parecen
forzadas a parecerse lo menos posible a las funciones honestas que sirven a
algún propósito. [...] Antes, cuando se inventaba una nueva función era con una
meta práctica. Hoy son inventadas a propósito para mostrar que el
razonamiento de nuestros ancestros fallaba y nunca obtendremos más que eso
de ellas. Si la lógica fuera la única guía del profesor, tendría que empezar por lo
más general, es decir, las funciones más estrambóticas”.
En general, la matematización de fenómenos físicos da lugar a una reformulación del
conjunto de conocimientos que conforma el análisis matemático de la época, en
particular con respecto a la noción de función.
Los fenómenos que se modelan parten de la consideración de ciertas características,
dando lugar a expresiones que exigen una noción arbitraria de la regla de
correspondencia que define una función.
29
La revisión histórica permitió observar cómo la palabra “función” era usada como un
término designado a varias cantidades geométricas asociadas a una curva; éstas
eran funciones de la curva.
Más adelante, se observa un énfasis en ecuaciones y fórmulas relacionadas a las
ecuaciones de las curvas. En esta etapa de construcción del concepto, la función
parecía exigir necesariamente la presencia de la cantidad variable, lo cual parece
suponer que la función constante no era incorporada como función debido a la
carencia de esta variable.
Esta concepción analítica del concepto función fue la que prevaleció en el Cálculo del
siglo XVIII, misma idea que fue discutida por diversos matemáticos que se
encontraban conscientes de la naturaleza de funciones arbitrarias provenientes de la
integración de ecuaciones diferenciales parciales.
Con el transcurrir de los años, la definición se fue ampliando. En el año de 1822,
estudios relativos a la teoría analítica del calor le permitieron a Fourier presentar una
definición que se aleja deliberadamente de expresiones analíticas.
A mediados del siglo XIX se contribuye al establecimiento de una definición mucho
más precisa del concepto función, haciendo de la relación entre variables el centro
del concepto función, esto fue gracias a la elaboración de trabajos relativos a la
continuidad y discontinuidad de funciones arbitrarias.
En la perspectiva de la construcción social del conocimiento se establece que:
“…el desarrollo del concepto función se ha hecho casi a la par que el ser
humano, es decir, encontramos vestigios del uso de correspondencias en la
antigüedad, y actualmente se debate sobre la vigencia en el ámbito de las
matemáticas del paradigma de la función como un objeto analítico, empero, el
concepto función devino protagónico hasta que se le concibe como una fórmula,
es decir, hasta que se logró la integración entre dos dominios de
representación: el álgebra y la geometría. La complejidad del concepto función
se refleja en las diversas concepciones y diversas representaciones con las que
30
se enfrentan los estudiantes y profesores…” (Cantoral; Farfán (1998), citado en
Del Castillo; Montiel, 2007).
3.2.2. Análisis cognitivo
En este apartado, presentaremos algunos resultados de investigaciones asociadas a
esta dimensión cognitiva que no pretenden ser exhaustivos, más bien, ser un reflejo
de una problemática real.
Anteriormente se presentó un análisis epistemológico del concepto función, empero,
y para efectos de un trabajo de investigación en matemática educativa, es necesaria
la ampliación a un análisis epistemológico, con base en la revisión histórica de los
conceptos. Así podemos observar las disparidades
entre el saber científico y el
enseñado, así como identificar los obstáculos epistemológicos inherentes a los
conceptos. En esta dirección, y vinculado a las concepciones en los estudiantes,
Sierpinska (1989 y 1992) realiza las primeras investigaciones sobre el concepto que
nos interesa, el de función. En (Sierpinska, 1989) identifica cinco obstáculos
epistemológicos inherentes a este concepto:
1. Los objetos variables son aceptados en ciencias naturales o en aplicaciones,
pero no en la matemática pura.
2. Las magnitudes son entidades cualitativamente diferentes de los números; la
proporcionalidad es diferente de la igualdad.
3. Fuerte creencia en el poder de las operaciones formales con las expresiones
algebraicas.
4. Lo más importante de la matemática es proveerse de un cálculo poderoso que
permita a los científicos resolver sus problemas.
5. Los objetos geométricos son tomados implícitamente como un todo que
contiene en él mismo sus longitudes, su área o su volumen.
31
Además de localizar estos obstáculos, Sierpinska caracteriza las concepciones de
los estudiantes en:
- Concepción primitiva. Cuando una función es un desplazamiento de puntos sobre el
plano o sobre una línea.
- Concepción de razón o proporción. Cuando en el desplazamiento de puntos sobre
el plano, la nueva posición se puede describir en relación con la posición inicial por
una razón de distancias desde un punto fijo.
- Visión sintética. Cuando una función se identifica como su representación en el
plano. Las funciones son pensadas como objetos geométricos y se clasifican de
acuerdo con la forma de esos objetos.
- Tabla numérica. Cuando una función viene dada por su tabla de valores.
- Expresiones algebraicas. Cuando una función se identifica por su ecuación.
- Visión analítica de la curva. Cuando la función es un ente abstracto en unos ejes de
coordenadas.
- Relación funcional. Cuando existe un tipo especial de relaciones que llamamos
funciones.
En las conclusiones a las que llega, valora en forma muy positiva del contexto social
en el que se ha desarrollado la experiencia, e identifica como un obstáculo
epistemológico el concebir a la matemática como un conocimiento algorítmico, ya
que esto puede entorpecer el desarrollo de las concepciones sobre función.
De igual forma, en diversas investigaciones se hace alusión a la complejidad del
concepto función:
“La idea básica que se tiene de función consiste en relacionar a este concepto
con una fórmula algebraica, tal que a cada valor de las magnitudes literales
32
que aparecen en ella, haga corresponder un valor de la magnitud expresada
por la fórmula” (Aleksandrov, 1976).
“Los alumnos suelen considerar a las funciones como dos expresiones
separadas por un signo igual, y tienden a asociarla con una fórmula, esto es
debido al tratamiento escolar que le es otorgado a éste concepto. Los
estudiantes que piensan acerca de las funciones sólo en términos simbólicos
de las manipulaciones técnicas y de procedimiento, son incapaces de
comprender una cartografía más general de un conjunto de valores de entrada
a un conjunto de valores de salida” (Carlson; Oerhtman, 2005).
“El concepto función es un objeto matemático de extrema complejidad, debido
a que posee múltiples formas de representación (gráficas, fórmulas, tablas,
relaciones verbales y representación icónica), que obligan al individuo a
transformar una representación en otra, según la situación y el contexto donde
cobra vida. También existen diversos subconceptos asociados al concepto
función, a saber, dominio, rango, cantidad, variable, razón, inversa,
composición, entre otros” (Del Castillo; Montiel, 2007).
“La concepción más fundamental de una función es que es una relación entre
magnitudes variables. Si esto no es desarrollado, representaciones tales como
ecuaciones y gráficas pierden su significado y se hacen aisladas una de la
otra. Introducir funciones en jóvenes estudiantes mediante su elaborada
definición es un error didáctico” (Sierpinska, 1992).
Según Del Castillo y Montiel (2007) la enseñanza actual del concepto función deja a
un lado los argumentos visuales, entre otras causas por no considerarlos como
matemáticos, o bien, por la concepción que de la matemática y de la enseñanza se
posea sin considerar, por ejemplo, la estructura cognitiva de los estudiantes.
Las concepciones en el estudiante están determinadas por las concepciones
históricas ligadas a la noción de función, por el estatus que se le da dentro de los
33
programas oficiales y por cómo es presentado en los libros de texto y por el profesor
en clase (Ruiz, 1998 citado en Del Castillo; Montiel, 2007).
3.2.3. Análisis didáctico
La dimensión didáctica se refiere al estado que guarda la enseñanza del tema
aludido, para ello se recurrió a una revisión bibliográfica de dos libros de texto bajo el
fin de observar el papel que juega la función constante dentro del ámbito escolar.
En ambos libros de texto revisados, la función es vista como una correspondencia
entre dos conjuntos, en donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde
un único elemento del segundo conjunto.
En Stewart (2001) se presenta a la función constante hasta el tema de reglas de
derivación, haciendo mención de que se iniciará el tema con la más sencilla de todas
las funciones, la función constante
función corresponde a la recta horizontal
, mencionando que la gráfica de esta
.
Como podemos notar, en este caso la función contante no es presentada dentro del
tema correspondiente a funciones, ni tampoco se hace explícito que tipo de valores
son los que toma la constante .
En Leithold (1998) la función constante es presentada como ejemplo introductorio a
la función lineal
. Se menciona que la función definida por
, es
una función constante, y su gráfica corresponde a una recta horizontal situada a 5
unidades sobre el eje , y la función definida por
es una función constante
cuya gráfica es una recta horizontal ubicada a 4 unidades debajo del eje . Siguiente
de esta presentación, la función constante ya no es retomada en temas posteriores.
Bajo esta revisión pudimos constatar que cuando se presenta por primera vez la
función constante, se hace con especial énfasis a su representación gráfica,
haciendo mención de que la gráfica de una función constante corresponde a una
recta horizontal paralela al eje .
34
También se presenta poca atención en la explicitación del tipo de valores que puede
tomar la constante
y los ejemplos propuestos se reducen al conjunto de los
números enteros sin considerar al cero. Es quizá por esto, que al parecer algunos
estudiantes no consideran como funciones a expresiones de la forma
,
,
, entre otras.
Otro aspecto observado consiste en la importancia con la que se presenta a la
función constante, ya que el énfasis que se hace hacia la misma como función, es
mínimo, pues más bien esta función es presentada como un vínculo introductorio a
conceptos o temas posteriores como lo fueron la función lineal y las reglas de
derivación.
3.2.4. Conclusiones del análisis preliminar
En Stewart (2001) se presenta a la función constante como la función más sencilla
de todas, pero, ¿Qué tan cierto es eso, según la experiencia docente? En realidad, el
hecho de que los estudiantes se muestren renuentes hacia la función constante no
es de extrañarse, ya que éstos están reflejando un pensamiento que se encuentra
inerte al concepto mismo de función, pensamiento que consiste en la asociación de
la función con una fórmula o con una curva regular, misma idea dentro de la cual no
tiene cabida la función constante. Sin embargo, a pesar de que existen numerosas
investigaciones referentes a dificultades de los estudiantes al estudiar el concepto
función, parece ser que éstas no están siendo consideradas en la enseñanza de éste
concepto matemático.
Al indagar en la forma en que el concepto función es presentado en la matemática
escolar se observa que el tratamiento que se le otorga forja en los estudiantes una
idea de variación, considerando que la cantidad variable se debe encontrar en ambos
lados de la igualdad de la expresión funcional, generando dificultades en la
interpretación de lo que en verdad es una función.
Esta misma idea de variación asociada al concepto función, conlleva a los
estudiantes a mostrarse “renuentes” a aceptar a la función constante como función,
35
es decir, que el tratamiento escolar que le es otorgado al concepto función no
favorece la generación de aprendizajes.
Bajo esta hipótesis se recurrió al diseño de un instrumento que nos permitiera
estudiar las formas de pensamiento de los estudiantes cuando discuten sobre la
noción de función constante en un ambiente no típicamente escolar, a fin de dar una
explicación plausible al respecto, de modo que, se esté en condiciones de proponer
un tratamiento didáctico del concepto de función constante.
36
CAPÍTULO 4
RESULTADOS Y CONCLUSIONES
4.1. Prueba piloto
El análisis preliminar realizado al concepto función, ofreció aspectos esenciales para
nuestro diseño experimental.
La idea básica manejada en nuestro diseño fue la elaboración y aplicación de una
secuencia de actividades didácticas que ofreciera al estudiante la libertad de discutir
sobre el concepto de función constante, de tal forma que nos fuera posible identificar
el pensamiento de los estudiantes sobre éste concepto.
Previo a la aplicación del diseño experimental, se realizó una prueba piloto. Para la
realización e implementación de esta prueba se pensó en interactuar con estudiantes
universitarios que hubieran tenido algún contacto previo con el concepto de función
constante. Se eligieron a cuatro alumnos –tres hombres y una mujer- del segundo
semestre de la Licenciatura en Enseñanza de las Matemáticas impartida en la
Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán.
4.1.1. Fases de la prueba piloto
El cuerpo de actividades de esta prueba piloto, se desarrolla en hojas de papel y
computadora,
en la cual, recurriendo al software Sketchpad 4.05 de geometría
dinámica, proyectamos en la pantalla de la computadora una secuencia de
representaciones dinámicas asociadas a una expresión funcional.
Esta prueba se encontró dividida en tres fases, de las cuales, las primeras dos fueron
diseñadas con el fin de verificar si la función constante está presente en el
pensamiento de los estudiantes y cuáles son aquellas expresiones que identifican
como funciones constantes. En la tercera fase, se busca analizar el sentido en
variación de diferentes tipos de funciones.
37
Más explícitamente, en la primera fase se pretende identificar aquellos tipos de
funciones que están presentes en el pensamiento de los estudiantes, de tal forma,
que se solicita escriban en sus hojas de trabajo tres ejemplos de funciones y
posteriormente, se solicita realicen las gráficas de tres funciones que ellos decidan.
En esta primera etapa se esperaba que los estudiantes escribieran y trazaran
ejemplos de funciones, en las que la presencia de la variable fuera indispensable, de
tal forma, que entre sus respuestas no se espera que presenten a la función
constante.
En la segunda fase se presenta a los estudiantes por escrito, un listado de funciones,
entre las que se encuentran funciones polinómicas, exponenciales y constantes en
su mayoría, sin embargo, también se presentan ejemplos de funciones constantes no
típicamente escolares, esto con la intención de analizar la reacción de los
estudiantes ante estos ejemplos. De esta lista que se proporciona a los estudiantes,
se solicita encierren en un círculo aquellas expresiones que consideren representan
una función y que ofrezcan un argumento de porqué consideran que es o no una
función.
En esta segunda fase se espera que los estudiantes identifiquen de manera
inmediata a funciones del tipo exponencial, polinómica y a funciones constantes
típicamente escolares, por ejemplo,
, por otro lado, se espera que
presenten dificultades al aceptar funciones del tipo
,
, entre otras.
Estas primeras dos fases de la prueba fueron proporcionadas a los estudiantes en
una misma hoja de actividades.
En la tercera fase se tenía como propósito, crear un escenario específico donde los
estudiantes discutieran sobre la variación en algunos ejemplos de funciones,
mediante
la
explicitación
de
expresiones
funcionales
asociadas
a
las
representaciones dinámicas vistas en la pantalla de una computadora.
En esta fase se pretendía crear discusión entre los estudiantes al analizar las
diferentes formas de variación de distintos tipos de funciones, de tal forma que nos
38
proporcionaran aspectos esenciales para la identificación de su pensamiento cuando
discuten sobre la ausencia de variación que ocurre en el caso de la función
constante.
Por, último se solicita a los estudiantes que discutan sobre cómo definirían a la
función constante y que proporcionen ejemplos al respecto.
4.1.2. Resultados de la prueba piloto
Las respuestas presentadas en este apartado, corresponden a transcripciones fieles
de las hojas de trabajo de los estudiantes. Antes de presentar estos resultados,
haremos explícita algunas aclaraciones elementales para su entendimiento.
Con la intención de tener un código que nos permitiera identificar a cada uno de los
participantes, se recurrió a la enumeración de éstos, de tal forma que A1 alude al
alumno uno, y de manera análoga nos estaremos refiriendo a A2, A3 y A4.
En los casos en los que se considera pertinente, se presentan transcripciones del
diálogo de los estudiantes o alguna anotación realizada por el observador.
Actividad 1. Escribe ejemplos de 3 funciones que tú decidas.
A1
A2
,
,
39
A3
A4
Actividad 2. Traza la gráfica de tres funciones que tú decidas.
A1
A2
40
A3
A4
Actividad 3. Encierra en un círculo aquellas expresiones que consideres representan
una función y si te es posible, ofrece un argumento de porqué consideraste o no, que
representaba una función.
a)
b)
c)
d)
41
e)
f)
g)
h)
i)
j)
En este tercer reactivo, los estudiantes A1, A2 y A4 encerraron todo los incisos,
argumentando lo siguiente:
A1.
Todas son funciones, c), d), f), g), h), i), j) son funciones porque son constantes, en
realidad las que no son, son casos especiales de d).
a) y e) son polinomios, así que son funciones.
b) también es función siendo un caso particular de
.
A2.
Las gráficas encerradas representan funciones, puesto que solamente tienen un
valor de imagen de
.
A4.
Todas son funciones porque a cada “ ” del dominio le corresponde una única imagen
en “ ”.
A diferencia de sus compañeros, el estudiante A3, encerró a todos los incisos con
excepción del inciso d), sus argumentaciones son las siguientes:
42
A3.
a) Es una función, ya que al asignarle valores a “ ”, las
toman cada una valores
distintos. Además, al graficar la función, obtenemos una recta.
b) Es una función, ya que para cada “ ” en el dominio le corresponde una y solo una
en el rango.
c) Es la gráfica de una función constante, y para toda “ ” en el dominio,
toma
como valor .
d) Considero que no es función, dado que, la función está definida para valores de
“ ” y no para valores de .
e), f), g), h), i), j), son funciones, ya que
,
toma valores únicos.
Anotaciones del observador
Las respuestas de la actividad tres plasmadas en las hojas de trabajo, fueron
obtenidas después de una breve discusión realizada por el grupo, generada por el
hecho de que las funciones
,
y
fueron
reconocidas inmediatamente como funciones, sin embargo, se mostró cierta duda
sobre si las funciones del tipo
,
,
,
y
correspondían a funciones. Ante esta situación el estudiante A2 comenta
lo siguiente:
A2: (Analizando la función
) Para todo valor , siempre va a tener el mismo
valor -4.
Expresa lo dicho mientras mueve la mano derecha simulando una línea
recta
43
A2: No importa que yo trace una línea vertical, siempre la va a tocar en un punto,
entonces todas son funciones.
Actividad 4. Describan el comportamiento de la función correspondiente a la
representación dinámica y determinen su expresión analítica.
En esta actividad, se proyecta en la pantalla de la computadora un sistema de ejes
coordenados, en el cual se observa el trazo de un punto sobre el eje “ ” y el trazo de
un segundo punto sobre el eje “ ”, los cuales de manera dinámica indican los valores
que toma la función expresada según la relación que le ha sido asignada.
Para la adecuada lectura por parte de los estudiantes en esta cuarta actividad, a
manera de ejemplificación, se añade en la proyección 1 un tercer punto, cuyo trazo
indica la gráfica de la expresión funcional asociada a la representación dinámica.
Proyección 1.
1er instante
2do instante
44
3er instante
4to instante
A1.
Comportamiento: El punto tiene un comportamiento oscilatorio.
Expresión analítica:
,
.
A2.
Comportamiento: La gráfica tiene un comportamiento oscilatorio en “ ”, y esta
acotada entre dos valores de “ ”.
Expresión analítica: No es proporcionada por el estudiante.
A3.
Comportamiento: La función, va oscilando entre los valores 1 y -1, por tomar un
ejemplo. Dado un intervalo, en el dominio, como por ejemplo,
, cuando
desde -1, hasta que
Expresión analítica:
,
y para los
,
, cuando
,
comienza a crecer
.
. Pero como realmente no conocemos los valores
del rango, diremos que el rango es –
la función de manera más general es
y
oscila entre estos valores, así que,
.
45
A4.
Comportamiento: El punto de la gráfica oscila en el eje “ ” acotada entre dos puntos
del eje “ ”. Crece y decrece conforme avanza en el origen.
Expresión analítica: La función que representa es
punto
donde
es un
.
Proyección 2.
1er instante
2do instante
3er instante
4to instante
46
A1.
Comportamiento: Vemos que al principio de la animación el punto sube lentamente,
pero después sube cada vez más rápido.
Expresión analítica:
.
A2.
Comportamiento: Los valores de “ ” crecen más rápido que los valores de “ ”.
Expresión analítica:
.
A3.
47
Comportamiento: Cuando “ ” toma valores, cada vez, un poco más grandes,
va
creciendo cada vez más y más, con mayor capacidad que como crecen las “ ”.
Expresión analítica:
.
A4.
Comportamiento: Conforme “ ” crece, “ ” crece mucho más rápido y tiende al infinito.
Expresión analítica:
.
Proyección 3.
1er instante
2do instante
48
3er instante
4to instante
A1.
Comportamiento: El punto tiene un movimiento oscilatorio y cuando
el punto
alcanza un máximo.
Expresión analítica:
,
A2.
Comportamiento: La gráfica tiene un comportamiento oscilatorio y está acotada por
dos términos en “ ”.
Expresión analítica:
.
49
A3.
Comportamiento: La función oscila en un rango
dominio de , hay dos valores de
entre estos valores crecen de –
para los cuales
. Dado un intervalo en el
y
, y las
hasta .
Expresión analítica:
.
A4.
Comportamiento: La función oscila en el eje “ ”, corta al eje “ ” en
Expresión analítica:
.
.
Proyección 4.
1er instante
2do instante
50
3er instante
4to instante
A1.
Comportamiento: Primero el punto sube rápidamente, pero cuando “ ” se acerca a
cero el movimiento del punto se hace más lento, sin embargo al crecer “ ” el punto
vuelve a subir rápidamente.
Expresión analítica:
,
impar y
.
51
A2.
Comportamiento: La gráfica tiene un comportamiento creciente para valores de “ ”.
Expresión analítica:
para
impar.
A3.
Comportamiento: Para
cuenta que cuando “ ” tiende a
Cuando
,
Para
a
,
,
va creciendo cada vez más, teniendo en
,
Expresión analítica:
.
corta al eje “ ” en un punto , tal que
cada vez más que
tiende a
tiende a
.
al tomar valores grandes. Cuando
tiende
.
, donde
es impar.
52
A4.
Comportamiento: La función crece y se corta en algún punto del eje “ ”.
Expresión analítica:
,
impares.
Proyección 5.
1er instante
2do instante
3er instante
4to instante
53
A1.
Comportamiento: Conforme “ ” crece el valor en “ ” se queda estacionario, además
vemos que el valor es positivo.
Expresión analítica:
.
A2.
Comportamiento: La gráfica presenta un valor único “ ” para todos los valores de “ ”.
Expresión analítica:
, donde
.
A3.
Comportamiento: Para toda
, las imágenes de “ ” siempre van a tomar un
mismo valor constante.
Expresión analítica:
, donde
es constante.
54
A4.
Comportamiento: La función es constante.
Expresión analítica:
.
Anotaciones del observador
La respuesta proporcionada en esta quinta proyección se obtuvo de manera
relativamente rápida, sin embargo, en el discurso se observaron elementos que son
considerados de utilidad para la identificación del pensamiento de los estudiantes
sobre la función constante. Por esto, se añade una transcripción de la discusión
generada.
(Se inicia la animación)
A1: ¡Quédate haya, quédate haya! (Refiriéndose al punto ubicado sobre el eje “ ”).
A2: Y ahorita se dispara, ¿no?
“Señalando con la mano derecha sobre la pantalla de la computadora y a
la atura del punto, un movimiento horizontal cada vez más rápido”
A1: Es una función constante.
A2: ¿Es una función “ ” igual a una constante?
A3: “Acentúa con la cabeza”
55
A4. ¿Y ese punto de haya quién es? (Refiriéndose al punto ubicado sobre el eje “ ”).
A2: Es el punto del valor de “ ”, si no crece o decrece entonces es como si tuvieras
una línea recta, siempre se va a quedar allá.
Proyección 6.
Antes de exponer el desarrollo y resultados de la siguiente proyección,
mencionaremos como
se desarrollaron en los estudiantes las competencias
necesarias para su adecuada lectura. Para esto, se recurrió a una explicación por
parte del observador, realizando los siguientes pasos:
1. En una hoja de papel se presenta la gráfica de la función cuadrática
en
la manera habitual, es decir, sobre los ejes coordenados.
2. Se consideraron tres puntos consecutivos sobre el eje “ ”.
56
3. Inmediatamente, se dio paso a la proyección de estos puntos en sus respectivas
ordenadas.
4. Finalmente, se colocaron los ejes coordenados “ ” y “ ” paralelamente, mostrando
la ubicación de los puntos correspondientes a los presentados en gráfica previa.
Eje
Eje
Tras dicha actividad, los estudiantes estaban en posibilidades de interpretar la
similitud de la representación que le es mostrada en la pantalla de la computadora.
1er instante
2do instante
57
3er instante
4to instante
A1.
Comportamiento: Conforme “ ” crece el valor de “ ” permanece constante, entonces
tenemos una función constante.
Expresión analítica:
.
A2.
Comportamiento: La gráfica para un único “ ” tiene todos los valores de “ ”.
Expresión analítica:
para
.
58
A3.
, las imágenes de “ ” siempre van a tomar un
Comportamiento: Para todo
mismo valor constante.
Expresión analítica:
, donde
es constante.
A4.
Comportamiento: El punto en “ ” permanece constante, solo “ ” se mueve.
Expresión analítica:
.
Anotaciones del observador
Se observaron complicaciones para la asociación de la representación dinámica
proyectada con una función. En esta situación consideramos importante presentar
una transcripción del diálogo realizado por los estudiantes.
(Se inicia la animación)
…
A1: Que pasa con la “ ”, ósea ¿la “ ” se queda allá?, ¿la “ ” se mueve?
A2: ¿Pero no “ ” también es una recta?
59
A1: “Acentúa con la cabeza”
A2: ¿Todo este es el eje “ ”? (Señalando el trazo resultante de la animación del
punto representante de los valores de “ ”).
A1: Sí
A2: ¿Según para cada valor de “ ” está tomando uno de “ ”?
A1: No, para cada valor de “ ” se está tomando uno de “ ”.
A3: Sería como… imagínate dos rectas, por ejemplo la exponencial, cada vez que
“ ” se vaya estirando poquito a poquito, entonces “ ” se va a ir estirando cada vez
más rápido. Entonces esta es una constante (refiriéndose a la representación
proyectada).
A2: Entonces ¿un valor de “ ” está tomando todos los valores de “ ”?
Pero, el eje “ ” ¿dónde está?
A3: Es este puntito (Señalando el punto correspondiente a “ ” en la pantalla de la
computadora).
A2: ¿Es solo este punto el eje “ ”?
A1: Pero, ¿cómo? ¿entonces “ ” va a tomar valores cada vez más grandes?
A3: ¿En este caso? (Señalando la pantalla de la computadora).
A2: Sí.
A3: No, “ ” siempre va a obedecer a un valor constante.
Actividad 5. Si le tuvieran que explicar a alguien la función constante. ¿Cómo la
definirían y que ejemplos proporcionarían?
60
A1. Empezaríamos dando la definición de función constante, es decir que para todas
las “ ” en el dominio corresponde un único valor en el codominio, te podríamos como
ejemplo a
,
, etc. Las ilustraciones de las funciones constantes
tienen como graficas a rectas horizontales.
A2. Definición. Para cada valor de “ ” se toma un único valor de “ ”.
A3. Una función constante es una función que cumple que
en el dominio les
corresponde un solo valor en el codominio, y este valor es único.
Como por ejemplo,
, se cumple que
, las imágenes de toda “ ”,
siempre van a ser .
A4. La función constante es una función que a cada valor de “ ” le asigna el mismo
valor de “ ”. Su gráfica es una recta horizontal. Su rango es el valor del punto en “ ”.
Ejemplos:
,
,
.
4.1.3. Análisis de los resultados de la prueba piloto
Con la aplicación de esta prueba piloto pudimos observar que al contrario de lo que
se esperaba en las primeras dos fases, entre las funciones representadas de manera
escrita y gráfica por los estudiantes se encuentra la presencia de la función
constante. Sin embargo, este hecho, consideramos puede ser atribuido a la
distribución de los reactivos en la hoja de actividades, ya que estas dos primeras
instrucciones se encontraban en la misma hoja en la cual se solicita a los estudiantes
que encierren a aquellas expresiones que consideren representan una función, entre
61
las cuales se encuentra ejemplos de funciones constantes. Debido a esto, en la
prueba experimental se decide presentar en hojas por separado a cada instrucción.
En la segunda fase, nos percatamos del hecho de que los estudiantes no identifican
de manera espontánea como funciones a expresiones del tipo
,
, donde
, entre otras. Durante la aplicación de la prueba, los estudiantes
encerraron de manera inmediata a expresiones en las cuales se encontraba de
manera explícita la variable “ ”.
La discusión generada por los estudiantes les permitió identificar a las funciones
constantes no típicamente escolares como funciones, esto gracias a la aplicación de
la definición de función como regla de correspondencia, recurriendo de esta forma a
la representación o visualización gráfica de las expresiones analíticas, y analizando
que dicha representación corresponde a una línea recta horizontal paralela al eje “ ”,
de la cual pudieron argumentar que las expresiones a discusión sí representaban
funciones, y en particular, funciones constantes.
En la tercera fase se discutió sobre los diferentes tipos de variación de diferentes
funciones en las representaciones dinámicas que observaban en la pantalla de la
computadora, concluyendo siempre a una respuesta correcta. Las primeras cuatro
proyecciones, les permitió a los estudiantes familiarizarse con el escenario en el que
se encontraban trabajando, de tal forma que al presentarse en la quinta proyección
una función constante les fue fácil identificarla como tal. Sin embargo, en sus
argumentos es posible identificar dos puntos importantes:
-
La asociación de un dinamismo a la función constante, es decir, que a pesar
de que existe una carencia de variación en el eje “ ”, señalan un movimiento
continuo sobre el trazo de la gráfica de la función.
-
Se identifica a la función constante como una función representada por “ ”,
pero que en este caso, “ ” es representada por una constante.
Esto significa que, a pesar de la carencia explícita de la variable “ ” en la parte
derecha de la igualdad de la expresión funcional de funciones constantes, se
62
comenta sobre la presencia de ésta, pero con el caso particular de que en las
funciones constantes la variable “ ” se encuentra representada por un valor
constante, con esto podemos percatarnos de la indispensabilidad con la que los
estudiantes asocian a las expresiones funcionales y a la variable “ ”, y por tanto,
también se asocia un dinamismo a la gráfica de las funciones constantes, aún
cuando éste no sea generado por una variación en el eje “ ”.
En la sexta proyección de la cuarta actividad, los estudiantes presentan dificultades
para la identificación de la función correspondiente a la representación dinámica
proporcionada, se discute sobre el particular comportamiento que se observa en “ ”,
y se busca explicar su falta de movimiento y la posibilidad de que un único valor de
“ ” tome muchos valores de “ ”.
Mediante un análisis de la discusión generada por los estudiantes nos percatamos de
que la dificultad de reconocimiento de la función constante en esta representación,
no es generada solamente por la ausencia de variación en “ ”, sino también por el
orden con el cual es argumentada la relación funcional, es decir, que generalmente,
la función constante es presentada en los libros de texto como una correspondencia
en donde a cada valor de “ ” le corresponde un “único” valor en “ ”, empero, durante
la lectura de esta sexta proyección lo que los estudiantes observan y argumentan es
que en este caso un único valor de “ ” está tomando muchos valores de “ ”.
Los resultados de esta prueba piloto, si bien serán usados como antecedentes para
la realización de la secuencia didáctica de la prueba experimental, también nos
proporcionaron información sobre el pensamiento de los estudiantes sobre el
concepto función constante, y nos fue posible identificar una falta de entendimiento
por parte de los alumnos hacia éste concepto, ya que les he posible identificarlo e
incluso definirlo, sin embargo presentan poca clarificación sobre la relación que
ocurre en estos casos particulares de expresiones analíticas que carecen de manera
explícita de la variable “ ” en la parte derecha de la igualdad de la expresión
funcional.
63
4.2. Prueba experimental
Con la aplicación de la prueba piloto, se obtuvieron elementos esenciales para el
rediseño de las actividades que fueron presentadas, de tal forma que nos permitió
realizar
los cambios necesarios en la redacción, orden y presentación de las
actividades para la adecuada implementación de la secuencia didáctica llevada a
escena en la prueba experimental.
La secuencia didáctica de actividades de esta prueba experimental, se encuentra
dividida en cuatro fases, cada una de las cuales fue diseñada con una intención en
específico, y puestas en escena, nos ofrecerán los elementos que nos permitirán la
validación o refutación de la hipótesis. De esta forma se realiza la tercera fase,
correspondiente a la experimentación, de la metodología con la cual nos
encontramos trabajando, la ingeniería didáctica.
Para la implementación de esta prueba, se recurre a estudiantes que hayan tenido
contacto previo con la función constante en sus cursos escolares, para ello, se
eligieron en total a tres estudiantes -dos hombres y una mujer- del segundo semestre
de la Licenciatura en Ciencias de la Computación y la Licenciatura en Ingeniería en
Computación, impartidas en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma
de Yucatán. Su edad oscilaba entre los 18 y 20 años de edad.
4.2.1. Fases de la prueba experimental
La prueba se encuentra dividida en cuatro fases, puestas en escena mediante la
aplicación de un total de seis actividades, recurriendo para el desarrollo de dos de
éstas, a la utilización del software Sketchpad 4.05 de geometría dinámica, que nos
permitió la proyección de la representación dinámica de relaciones funcionales en la
pantalla de la computadora. Las cuatro actividades restantes son solicitadas a los
estudiantes por escrito, y los resultados de toda la secuencia didáctica son
plasmados en hojas de trabajo.
En la primera fase se pretendía identificar a las funciones que están presentes en el
pensamiento de los estudiantes. Por esto, se solicita en una primera actividad que
64
proporcionen tres ejemplos de funciones y en la segunda actividad se solicita el trazo
de gráficas de tres funciones cualesquiera. Cada una de estas actividades es
presentada en hojas de manera individual.
La segunda fase es cubierta con la tercera actividad, en ésta, se proyecta en la
computadora una animación de una persona caminando, y a su vez, también se
ofrece una representación de la relación entre la velocidad y el tiempo, siendo
particularmente en este caso la velocidad constante.
En la segunda fase se pretendía partir de una situación cotidiana para ilustrar a los
estudiantes mediante una representación no típicamente escolar, una relación entre
dos variables, de las cuales, una de ellas carece del sentido variación.
En esta fase se esperaba que se generara discusión entre los estudiantes sobre esta
situación particular, de tal forma que expresaran sus ideas al respecto y fuera posible
identificar su razonamiento sobre las relaciones que son representadas mediante
funciones constantes.
En la tercera fase se tenía como intención analizar el pensamiento de los estudiantes
respecto a expresiones analíticas correspondientes a funciones constantes que no
son presentadas regularmente en el escenario escolar.
Para lo anterior, se diseña la cuarta actividad, donde se presenta un conjunto de
expresiones analíticas, siendo funciones constantes en su mayoría, y dos casos de
funciones polinómicas y una exponencial. En esta actividad se solicita a los
estudiantes encierren en un círculo aquellas expresiones que consideren representan
una función, y argumenten el porqué de su selección, la cual se encontrará dirigida
por la utilización de dos definiciones de función que han sido determinantes en el
desarrollo histórico de éste concepto.
En la cuarta fase, se pretendía que los estudiantes analicen la variación de las
funciones sobre los ejes “ ” y “ ”. Esto es mediante la aplicación de la quinta
actividad, en la cual, se proyecta en la computadora a un sistema de ejes
coordenados y a un par de puntos dinámicos correspondientes a cada uno de éstos,
65
los cuales, se moverán respecto a una relación particular representante de una
función.
Por último, en la sexta actividad se solicita a los estudiantes que discutan sobre
cómo definirían a la función constante y que proporcionen ejemplos al respecto.
4.2.2. Resultados de la prueba experimental
Las respuestas presentadas en este apartado, corresponden a transcripciones fieles
de las hojas de trabajo de los estudiantes.
De igual forma a como se trabajó en la prueba piloto, con la intención de tener un
código que nos permitiera identificar a cada uno de los participantes, se recurrió a la
enumeración de estos, de tal forma que A1 alude al alumno uno, y de manera
análoga nos estaremos refiriendo a A2, A3.
En los casos en los que se considera pertinente, se presentan anotaciones
realizadas por el observador.
Actividad 1. Proporciona tres ejemplos de funciones que tú decidas.
A1
A2
A3
66
Actividad 2. Traza la gráfica de tres funciones cualesquiera.
A1
A2
A3
67
Actividad 3. Observen con atención la siguiente representación que estará en la
pantalla de la computadora y decidan si dicha representación corresponde a una
función. En caso afirmativo digan cuál es y porqué. En caso contrario, expliquen por
qué no corresponde a una función.
A1. Si,
1er instante
2do instante
3er instante
4to instante
donde
es constante, la velocidad siempre permanece constante,
sin importar el tiempo siempre es constante.
A2. Si es función,
, la velocidad con respecto al tiempo siempre es
constante.
68
A3. Si es una función,
,
, en cualquier minuto, hora, etc., la
velocidad siempre será la misma.
Anotaciones del observador
Al inicio de la proyección, los estudiantes observan con detenimiento la
representación dinámica y presentan reacciones de duda sobre su correspondencia
a una función. Debido a esto, analizan el comportamiento de las variables que
observan, considerando a la “distancia” como una de ellas, y señalando que ésta
varía con respecto al tiempo, pero que no es incluida en la relación, interrogándose
de esta forma si sólo deben considerar como variables al tiempo y la velocidad.
Después analizan la relación que presentan estas dos variables y se comenta sobre
su correspondencia con una función si el tiempo dependiera de la velocidad, y
señalan que su representación en el sistema de ejes coordenados quedaría
representada por una línea recta horizontal y paralela al eje “ ”, asociando como
expresión analítica a
, cuya simbología es ajustada posteriormente a la
situación planteada, y expresando esto como respuesta en sus hojas de trabajo. Sin
embargo, no se encuentran del todo convencidos de su respuesta, argumentando
que si consideran que es una función pero que no tiene mucho sentido.
Actividad 4
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función
es una relación entre cualesquiera variables , y; tal que
a cada valor de la primera variable , le corresponde un solo valor de la
segunda variable .
69
Una función de una cantidad variable es una expresión analítica
compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de
cantidades constantes o números.
1. Con base en las anteriores definiciones de función, encierra en un círculo aquellas
expresiones que consideren representan una función y si les es posible, ofrezcan
un argumento del porqué consideraron o no, representaban una función.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
A1. Todas son funciones porque a cada valor de la variable “ ” solo le corresponde
un solo valor de la segunda variable, sin importar que sea el mismo porque a “ ” solo
le corresponde un valor.
70
A2. Todas son funciones ya que en todas para cada valor del dominio de la función
le corresponde solo uno del contradominio. Igual se ve con la prueba de la línea
vertical en la gráfica.
A3. Todas son funciones, ya que a cada valor de “ ” le corresponde un solo valor de
“ ”, la gran mayoría de ellas al representarlas gráficamente dan como resultados
puntos y al imaginar con la prueba de línea vertical no corta más de dos puntos.
Anotaciones del observador
En la solución de esta actividad, primeramente los estudiantes leen de manera
detenida las definiciones de función proporcionadas, siguiente de esto, encierran de
manera inmediata a las funciones del tipo polinomial y posteriormente discuten sobre
el comportamiento gráfico de las expresiones faltantes. Se argumenta sobre las
características que debe cumplir una expresión para que represente una función, y
para ello recurren a la definición de función como correspondencia y a la prueba de
la recta vertical. De esta forma se concluye que todas las expresiones
proporcionadas son funciones debido a que cumplen con estas dos características.
Actividad 5
Proyección 1.
71
1er instante
2do instante
3er instante
4to instante
A1: Si es una función, es la función
A2: Si es función,
A3: Si, es la función
.
.
.
Proyección 2.
1er instante
2do instante
72
3er instante
A1: Si es una función,
4to instante
, donde
es una constante y
.
A2: Si es función,
, donde
es constante y
.
A3: Si es función,
, donde
es constante y
.
Proyección 3
1er instante
2do instante
73
3er instante
4to instante
Como respuesta a esta proyección, los tres estudiantes concluyeron lo siguiente:
Si es una función,
donde
es una constante mayor que cero y
.
Actividad 6. En tus propias palabras, ¿Cómo definirías lo que es una función
constante? Si te es posible, muestra al menos dos ejemplos de este tipo de función.
A1. Es la que sin importar en cual valor de
sea evaluada la función siempre va a
dar el mismo resultado.
Ejemplos:
,
A2. Es una función donde sin importar que valor tome
siempre va a resultar en el
mismo valor.
Ejemplos:
74
A3. Es una función que evaluada en cualquier valor de “ ” siempre es el mismo valor.
Ejemplos:
,
.
4.2.3. Análisis de los resultados de la prueba experimental
La puesta en escena de la secuencia didáctica diseñada para la prueba experimental
nos ofrece elementos para afirmar que la función constante, no es un tipo de función
característica que esté de manera natural en el pensamiento de los estudiantes. Esto
es posible observarlo en las respuestas proporcionadas por los estudiantes en las
primeras dos actividades, debido a que los trazos y expresiones funcionales
plasmadas por los estudiantes corresponden a funciones de tipo polinomial,
trigonométrica y valor absoluto.
En la tercera actividad es posible identificar cómo en los estudiantes se presentan
complicaciones para la caracterización del tipo de función que se encuentra presente
en la proyección dinámica.
En la cuarta actividad, de la lista proporcionada de expresiones funcionales, los
estudiantes consideran que todas corresponden a funciones, sin embargo en sus
argumentos es posible identificar como los estudiantes hicieron uso de la definición
de función como regla de correspondencia y de la prueba de la recta vertical,
dejando un lado la siguiente definición de función:
“Una función de una cantidad variable es una expresión analítica
compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de
cantidades constantes o números.”
Ante esta situación, en mi papel de observador, al término de la puesta en
escena de la prueba experimental, se recurrió a la realización de una entrevista
a los estudiantes con el fin de clarificar la ocurrencia de este hecho. A
continuación, se presenta una transcripción de la entrevista realizada.
75
Intervención del observador: En la actividad cuatro se presentaron las
siguientes dos definiciones del concepto función:
Definición 1: Una función
es una relación entre cualesquiera variables
“ ”, “ ”, tal que a cada valor de la primera variable “ ”, le corresponde un
solo valor de la segunda variable “ ”.
Definición 2: Una función de una cantidad variable es una expresión
analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y
de cantidades constantes o números.
y en la instrucción se solicita que con base en ellas, determinen aquellas
expresiones funcionales que consideran representan una función. Sin embargo,
durante su discusión solo hicieron uso de la definición 1, ¿A qué se debió esto?
A2: Porque para saber si es una función, trazas en la gráfica una línea vertical,
es lo primero que se te viene a la mente.
A3: Si lo leímos, pero me lo imaginé gráficamente, yo me las imaginé
gráficamente pero con la línea vertical y con ésta (señalando la definición 1).
A1: La definición 1 si cumple, no importa que sea el mismo valor, pero siempre
es un valor el que le corresponde.
Observador: ¿Qué ocurre con la segunda definición?
A3: Bueno, no sé, yo escribí en las hojas que todas me las imaginé
gráficamente pero con la prueba de la línea vertical y la definición 1. Pero igual
preguntaban si eran función, no qué tipo de función, entonces no tenía nada
que ver qué tan estricto era el único valor.
A1: Es que la definición 2 incluye las polinomiales, también la exponencial;
tiene una cantidad variable, pero estas otras son funciones constantes.
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Observador: Entonces, ¿la definición 2 no incluye las funciones constantes,
sólo la definición 1?
A1: Sí, la definición 1 si puede incluirlas, y tanto la definición 1 como la
definición 2 incluyen a las polinómicas, también la exponencial.
Observador: (Preguntando al estudiante A3) En particular, comentaste que la
función
es un punto, ¿A qué te referías?
A3: A que es un punto, son puntos, una sucesión de puntos.
Indicando con la mano derecha una sucesión de puntos formando una línea
recta
4.3. Conclusiones
En este trabajo de investigación se centró la atención en el estudio de las formas de
pensamiento de los estudiantes cuando se sitúan en un ambiente de discusión sobre
un conocimiento matemático particular, en este caso, función constante.
Si bien es cierto que actualmente existen numerosas investigaciones que reportan
dificultades que se encuentran asociadas al concepto función, y algunas en particular
señalan que los estudiantes presentan dificultades para reconocer a la función
constante como tal, no existen investigaciones enfocadas al estudio del porqué o a
qué obedece este hecho que, en principio, pareciera ser de poca relevancia.
Respecto a lo anterior, revisando la literatura en el área de historia de las
matemáticas, nos pudimos percatar que importantes pensadores matemáticos en los
siglos XVI al XIX, tuvieron que superar dificultades de entendimiento y consensos
asociados a la noción de función y en consecuencia, la noción de función constante,
tal y como se ha documentado en los capítulos precedentes.
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A partir de la perspectiva teórica socioepistemológica a la investigación en
Matemática Educativa, empleada en este estudio para dar cuentas de los resultados
generados, podemos afirmar que el tratamiento otorgado a la función constante en el
escenario escolar, no favorece en los estudiantes un claro entendimiento de éste
concepto, de manera que, a pesar de que los estudiantes tienen conocimiento de
dicho concepto y son capaces de caracterizarlo, definirlo e incluso, ejemplificarlo en
los términos que la escuela ha dispuesto, estos mismos estudiantes presentan
limitaciones de conceptualización y resignificación, correctamente, en escenarios no
típicamente escolares.
Por ejemplo, del análisis de las respuestas proporcionadas por los estudiantes en la
implementación de nuestro diseño didáctico, se obtuvieron indicios para decir que,
nociones como dependencia de variables y variación de variables en relación a la
noción de “regla” de correspondencia entre cantidades o valores cambiantes, no se
logran estabilizar de manera adecuada en la mente de dichos estudiantes, siendo
esto un factor que obstaculiza un amplio entendimiento del concepto función y
función constante.
Así mismo, pudimos detectar que, aun cuando la definición de función que se
presenta por lo general
en la matemática escolar, es la correspondencia entre
conjuntos, el tratamiento que se le otorga se basa en la idea de relación entre
variables, idea que hemos mostrado con anterioridad, ha estado siempre presente en
la mente de las personas que se han ocupado del estudio de las funciones.
Particularmente, nótese cómo al momento de solicitarles a los estudiantes que
grafiquen cualquier función que deseen, la función constante no figura entre las
respuestas dadas. De igual manera, nótese que lo mismo ocurre al momento en que
se les solicita dar tres ejemplos de cualesquiera funciones que ellos decidan.
Para finalizar, mencionaremos algunos aspectos relacionados a las posibles causas
del porqué algunos estudiantes manifiestan dificultades de orden cognoscitivo para
estabilizar en sus pensamientos a la función constante y sus representaciones
78
algebraicas. Naturalmente, tales aspectos devienen de la implementación del diseño
didáctico:
La noción de manera natural se haya presente en la mente de las personas
respecto a las funciones, es aquella que se ancla en una relación de tipo
variacional.
El escenario gráfico es la base sobre la cual se articulan y generan consensos
respecto a la noción de relación variacional en matemáticas. Es decir, es a
partir de las características visuales (explícitas o implícitas), manifiestas en
comportamientos gráficos de funciones, que es posible generar discusión y
consenso respecto a aquello que ha de definirse o caracterizarse como un
conocimiento matemático.
La definición de función dada en términos de correspondencia entre conjuntos,
se constituye como una herramienta que legitima las acciones y nociones de
los estudiantes, empero, no constituye una base sobre la cual pueda
desarrollarse un proceso de construcción del saber institucional o en vías de
constituirse.
Dicho así, se vislumbra la necesidad de establecer formas de articulación entre
nociones variacionales y nociones estáticas entre los estudiantes respecto al
concepto función, a fin de favorecer una resignificación del concepto y sus
principales características y propiedades. Nótese las expresiones dadas por los
estudiantes al momento de trabajar con representaciones dinámicas en la pantalla de
la computadora: “…quédate allá..” “…valor constante…” “…valor constante…”
“…estacionario…” “…se acerca…”.
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