Proposicional Pastoriza 2 - Facultad de Ciencias-UCV

Lógica proposicional 18
Ejercicio # 24
Complete las demostraciones formales siguientes dando las explicaciones de cada paso,
incluyendo las inferencias elementales o equivalencias usadas :
a) Razonamiento:
Si p → ( q → r ) , p ∨ ¬ s y q , entonces s → r
Demostración
Justificación
1) p → ( q → r )
2) p ∨ ¬ s
3) q
4) ¬ s ∨ p
5) s → p
6) s → ( q → r )
7) ( s ∧ q ) → r
8) q → [ s → ( q ∧ s ) ]
9) s → (q ∧ s )
10) s → ( s ∧ q )
11) s → r
b) Razonamiento:
Si p → ( q ∧ r ) , r → s y ¬ ( q ∧ s ) entonces ¬ p
Demostración
1) p → ( q ∧ r )
2) r → s
3) ¬ ( q ∧ s )
4) ¬ ( ¬ p )
5) p
6) q ∧ r
7) q
8) r ∧ q
9) r
10) s
11) q ∧ s
12) ( q ∧ s ) ∧ ¬ ( q ∧ s )
Justificación
Lógica proposicional 19
¿ Qué puede concluir acerca de la validez de cada razonamiento ?
Para cada expresión (que no sea premisa) determine a partir de cual(es) premisa(s) han
sido deducidas.
A partir de cada demostración formal, extraiga 3 razonamientos válidos (diferentes al
razonamiento dado)
Ejercicio # 25
Utilizando el método de reducción al absurdo diga si es válido o no el razonamiento siguiente :
P1. p → (q → r)
P2. p ∨ ¬s
P3.q
_________
∴ C.s → r
Justifique todos y cada uno de los pasos.
Ejercicio # 26
Demuestre la validez o invalidez para cada uno de los siguientes argumentos. Si es válido,
utilice cada uno de los métodos de demostración dados en clase.
a)
a∧¬b
(c∧d)→(a→b)
(e→c)∨(h∧d)
__________________
∴
¬e∨¬h
b) Si Dios quisiera evitar el mal, pero fuera incapaz de hacerlo, sería impotente; si fuera
capaz de evitar el mal, pero no quisiera hacerlo, sería malévolo. El mal sólo puede existir si
Dios no quiere o puede impedirlo. El mal existe. Si Dios existe, no es impotente o malévolo.
Luego, Dios no existe.
c)
(a∧b)→d
(b→g)→e
a
¬h
____________
Lógica proposicional 20
∴ d
(a→b)→c
___________
a∨c
d)
∴
e) El sólo puede tener muchos amigos si los respeta como individuos. Si los respeta como
individuos, no puede esperar que se comporten todos de la misma manera. El tiene muchos
amigos. Luego no espera que todos se comporten de la misma manera.
Ejercicio # 27
a) Demuestre la veracidad de la siguiente expresión:
(p→q)≡((p∧¬q)→(r∧¬r))
b) Investigue el enunciado del método de prueba formal de validez de razonamiento
denominado Reducción al absurdo.
c) Establezca la relación entre (b) y (a).
NOTA acerca de las demostraciones por el absurdo:
Vamos a transcribir del texto de J. D. García Bacca, TEXTOS CLÁSICOS PARA
HISTORIA DE LAS CIENCIAS, VOLUMEN SEGUNDO, UCV, Facultad de Humanidades y
Educación, Instituto de Filosofía, la traducción realizada por el autor del griego, el capítulo
Veintiseis, del libro primero, de los Analíticos Posteriores de Aristóteles.
citamos
“Capítulo Veintiseis
QUE LA DEMOSTRACION AFIRMATIVA ES SUPERIOR A LA DEMOSTRACION
POR CONDUCCION A UN IMPOSIBLE
I. Puesto que la demostración afirmativa es superior a la negativa, será también superior,
evidentemente, a la demostración por conducción a un imposible.
Empero es menester saber con saber-de-ideas 1 en qué se diferencian la demostración
negativa y la demostración por conducción a un imposible.
Supongamos que A no conviene a ninguno de los B, mas que B convenga a todos los
1
Para Aristóteles saber con saber-de-ideas es saber por medio de la demostración, que es a su vez una manera de
saber con saber-de-ciencia.
Lógica proposicional 21
G; se seguirá por necesidad que A no conviene a ningún G.
Tomadas las premisas de esta manera la demostración negativa demostraría que “A no
conviene a ningún G”.
La demostración por “conducción a un imposible” procedería de la siguiente manera:
si se ha de demostrar que “A no conviene a B”, comiéncese por admitir que “A conviene a B”,
y que “B conviene a G”, de donde se seguirá que “A conviene a G”.
Dése, empero, por conocido y acordado que es imposible que A convenga a G.
De donde se concluye que A no puede convenir a B.
Si, pues, se concede que B conviene a G, será imposible que A convenga a B.
II. Los términos se hallan en los dos casos dispuestos de la misma manera: consistiendo la
diferencia en señalar qué proposición negativa es más conocida para nosotros: si la
proposición “A no es G”, o la proposición “A no es B”. Así que, cuando la conclusión “A no
es G” sea lo más conocido, la demostración se hará por conducción a un imposible; cuando,
por el contrario, resulte más cognoscible la premisa silogística, la demostración será
propiamente demostración, ya que por naturaleza la proposición “A conviene a B”es anterior
a la proposición “A no conviene a G”.
Y la razón de esto es que las proposiciones de que procede la demostración son
anteriores por naturaleza a la conclusión misma. Ahora bien: “A no conviene a G” es la
conclusión y “A no conviene a B”es una de las premisas de que procede la conclusión; y no
consiste propiamente la conclusión en que se quite algo de alguien de cualquier manera, sino
en que la conclusión se deduzca de las premisas. Que el silogismo “es y se hace” precisamente
de algo que se haya como el todo a la parte o la parte al todo; correlación que no guardan entre
sí las premisas AG y AB.
Si, pues, la demostración que procede de premisas anteriores y mejor conocidas es
superior, - y son, por otra parte, ciertas las dos demostraciones negativas, sólo una procede
según lo que es anterior por naturaleza y la otra por lo que es posterior -, la demostración
negativa será en propiedad y puridad más excelente que la demostración por conducción a un
imposible;y siendo, por otra parte, la demostración categórico-afirmativa más excelente que la
negativa, es claro que será también más excelente que la demostración por conducción a un
imposible. “
fin de la cita
Ejercicio # 28
Simbolice y dé una demostración formal, empleando el método de reducción al absurdo, para
el siguiente razonamiento :
Lógica proposicional 22
P1 : 2a+b = 5 → 2a = 2
P2 : 2a+b = 5 ∨ b = 3
P3 : 2a = 2 → a = 1
P4 : b = 3 → 2a = 2
_____________________________
∴ a = 1
Ejercicio # 29
Demostrar que el siguiente razonamiento es válido:
P1.
x≠0
P2.
y≤0 → x>0
P3.
xy≠0 → x=0
____________________________
∴
(y ≤ 0 ∨ x y ≠ 0) → x > 0
a) Usando el método directo
b) Usando el método de reducción al absurdo
Resolución del punto a):
La simbolización que usaremos es:
p: x= 0
q: y ≤ 0
r: x > 0
s: xy = 0
de donde, con esta notación el razonamiento queda simbolizado así
P1.
¬p
P2.
q → r
P3.
¬p → p
_________________
∴
(q∨ ¬s) → r
Lógica proposicional 23
Una demostración de su validez consiste en.
Por favor completar la justificación de cada paso escribiendo la inferencia elemental que se ha
usado
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
justificación
¬p
q → r
¬p → p
q∨¬s
¬q → ¬s
¬(¬s)
s
¬(¬q)
q
r
(q∨¬s) → r
Vamos a hacer otra demostración usando una simbolización distinta.
Hacemos uso de la siguiente simbolización
p:
q:
r:
s:
x≠0
y≤0
x>0
xy≠0
la simbolización del razonamiento queda ahora
P1.
p
P2.
q → r
P3.
s → ¬p
_________________
∴
(q∨s) → r
Con esta nueva simbolización la demostración que haremos es
justificación
1.
2.
p
q → r
Lógica proposicional 24
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
s → ¬p
p → ¬s
¬s
¬q∨r
¬s ∨ r
(¬q∨r) ∧ (¬s∨r)
(¬q∧¬s) ∨ r
¬(q∨s) ∨ r
(q∨s) → r
Ejercicio # 30
Demuestre que los conjuntos de premisas siguientes son inconsistentes, deduciendo una
contradicción para cada uno:
a) P1: t → p
P2: t ∧r
P3: q → ¬r
P4 : p∨s → q
b) P1: 2 × 5 = 5 + 5 ↔ 2 × 6 = 6 + 6
P2: 3 × 4 = 10 ↔ 4 × 3 = 10
P3: 3 × 4 =10 ∨ 2 × 6 = 6 + 6
P4: 2 × 5 ≠ 5 + 5 ∧ 4 × 3 ≠ 10
Ejercicio # 31
Analice bien las siguientes demostraciones de validez. Encuentre el argumento elemental
válido que justifica cada paso y escríbalo. ¿ Qué relación hay entre los valores de verdad de la
conclusión Q1 y de la conclusión Q2 ? ¿ Se puede deducir el valor de verdad de Q1 y/o el de Q2
del conjunto de premisas P1, P2, ..., P5?.
i)
1.
2.
3.
4.
5.
Q1
razonamiento 1
P1.
P2.
P3.
P4.
P5.
p ⎯→ (q ∧ r)
(q ∨ s) ⎯→ t
¬t
¬s
s∨p
∴q ⎯→ t
Justificación
premisa 1
premisa 2
premisa 3
premisa 4
premisa 5
conclusión 1
Lógica proposicional 25
¬t
¬( q ∨ s)
¬q ∧ ¬s
¬q
6.
7.
8.
9.
10.
11.
¬t ⎯→ ¬q
q ⎯→ t
i)
1.
2.
3.
4.
5.
Q2
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
razonamiento 2
P1.
P2.
P3.
P4.
P5.
Justificación
p ⎯→ (q ∧ r)
(q ∨ s) ⎯→ t
¬t
¬s
s∨p
premisa 1
premisa 2
premisa 3
premisa 4
premisa 5
∴ ¬t ∧ q
¬(¬t ∧ q)
t ∨ ¬q
¬q
¬q ∨ ¬r
¬(q ∧ r)
¬p
¬(q ∨ s)
¬q ∧ ¬s
¬p ⎯→ s
s
¬s ∧ s
conclusión 2
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
Ejercicio # 32
Para cada uno de los siguientes condicionales directos, hallar las formas derivadas recíproco,
contrario del directo y contrario del recíproco así como sus valores de verdad:
a) Si 5+4 = 9 entonces (5+4)3 = 9x3.
b) Si estudio correctamente, entonces aprobaré.
c) Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un paralelogramo.
d) Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.
Lógica proposicional 26
e) Todo triángulo isósceles es equilátero.
f) Dados m, a, b, si m es un entero divisor de los enteros a y b, entonces m es divisor de la
suma de a + b.
g) Si x > 0, entonces x 2 > 0, ∀ x ∈ R.
Ejercicio # 33
Dada una matriz A entonces, para que tenga matriz inversa es necesario que su determinante
sea diferente de cero .
¿ Cuál de los enunciados siguientes se deduce de lo anterior ?
a) Para que una matriz A tenga una matriz inversa es suficiente que su determinante sea
cero.
b) Para que un determinante sea diferente de cero es suficiente que su matriz A tenga
inversa.
c) Para que su determinante sea cero es necesario que la matriz A no tenga inversa.
d) Una matriz A tiene inversa si, y únicamente si, su determinante no es cero.
e) Una matriz A tiene un determinante cero únicamente si no tiene inversa.
Ejercicio # 34
Encuentre la forma normal booleana conjuntiva (FNBC) y disyuntiva (FNBD) de las
expresiones:
a) ( p∧ q) ↔ (q ∧ p)
b) p → ( ( q ∧ r ) → s )
c) ( a ∨ b ) ∧ ( ¬ a ∨ ¬ b )
d) ( a → ( b ∨ ¬ c )) ∧ (( b ∨ a ) → a )
Resolución del punto a)
i) Buscamos primero la FNBD. En los pasos siguientes justifique cada uno de ellos.
Lógica proposicional 27
justificación
1. ( p∧ q) ↔ ( q∧ p)
2. ((p∧ q) ∧ ( q∧ p)) ∨ (¬( p∧ q) ∧ ¬( q∧ p))
3. ((p∧ q) ∧ (p∧ q)) ∨ (¬( p∧ q) ∧ ¬( p∧ q))
4. (p∧ q) ∨ (¬( p∧ q))
5. (p∧ q) ∨ (¬p ∨ ¬q)
6. (p∧ q) ∨ ¬p ∨ ¬q
7. (p∧ q) ∨ (¬p ∧ ( q ∨ ¬q)) ∨ (¬q ∧ ( p ∨ ¬p))
8. (p∧ q) ∨ ((¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)) ∨ ((¬q ∧ p) ∨ (¬q ∧ ¬p))
9. (p∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (¬q ∧ p) ∨ (¬q ∧ ¬p)
10. (p∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)) ∨ (p ∧ ¬q ) ∨ (¬p ∧ ¬q)
11. (p∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)) ∨ (p ∧ ¬q )
ii) Buscamos la FNBC; hasta el punto 5 el procedimiento es exactamente igual, luego
proseguimos:
6’. (¬p ∨ ¬q) ∨ (p∧ q)
7’. ((¬p ∨ ¬q) ∨ p) ∧ ((¬p ∨ ¬q) ∨ q)
8’. (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ q)
9’. (¬p ∨ p) ∧ (¬q ∨ q)
10’. (¬p ∨ p)
Se puede observar que el procedimiento seguido hasta cierto punto es común, difiere sólo
cuando se trata de buscar los términos finales para la FNB buscada.
Siempre, y en todos los casos, se usan las equivalencias lógicas como reglas de reemplazo de
las fbf intermedias que se van hallando. De manera sistemática se tratan de eliminar los
conectivos → y ↔ empleando fbf equivalentes. Se eliminan las negaciones que afectan a fbf
compuestas usando las leyes de De Morgan para obtener variables proposicionales o sus
negaciones. Las dobles negaciones también se suprimen. Se usan las equivalencias de
distributividad y asociatividad para conseguir fbf que contengan sólo las variables
proposicionales o sus negaciones. Se emplean las leyes de idempotencia para simplificar
expresiones duplicadas. Las expansiones booleanas y las propiedades de distributividad entre
el ∧ y el ∨ se emplean para incluir las variables proposicionales faltantes en los términos de
las fbf intermedias.
Se deben obtener así términos mínimos (minter) que son fbf dadas por conjunciones de las
proposiciones o sus negaciones donde aparecen todas las variables una sola vez, en el caso de
FNBD. Los términos máximos (maxter) son fbf dadas por disyunciones de las proposiciones o
sus negaciones donde aparecen todas las variables una sola vez, y son los términos que surgen
cuando se busca la FNBC.
Lógica proposicional 28
n
n
(Λ f i ) j = minterm j
y
i =1
(∨ f i ) j = maxterm j
i =1
donde f i es p i ó ¬p i
Una FNBD se escribe ∨ m int erm j , mientras que una FNBC es de la forma ∧ maxterm j
j
j
El cuadro siguiente resume la tipología de una FNB.
FNBD
cantidad de minterm
2n
j
p∧¬p
Formas normales
tipo
tautología
contingencia
contradicción
FNBC
cantidad de maxterm
p∨¬p
2n-j
2n
Ejercicio # 35
Encontrar las FNBD y FNBC de las funciones lógicas dadas por las tablas de verdad
siguientes:
a)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
F(p,q)
V
F
V
V
b)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
Gp,q)
V
V
V
V
c)
p
V
V
V
V
q
V
V
F
F
r
V
F
V
F
H(p,q,r)
V
F
V
F
Lógica proposicional 29
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
I(p,q,r)
V
V
V
F
V
F
V
F
d)
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
Resolución del punto c)
Para encontrar la FNBD de la expresión desconocida H(p,q,r) basta revisar en la tabla de
verdad para que asignaciones de verdad en sus componentes elementales, o proposiciones
atómicas, la H(p,q,r) es verdadera. Esto se da en los renglones 1, 3, y 7 de la tabla de verdad:
1. p, q y r son todas verdaderas
3. p, ¬q y r son todas verdaderas
7. ¬p, ¬q y r son todas verdaderas
luego construyendo la disyunción de los términos anteriores ( términos minimos o minterm )
se obtiene una expresión lógica A, la - FNBD - que buscamos, y es lógicamente equivalente a
la H(p,q,r) dada en la tabla.
A: (p∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r)
H(p,q,r) ≡ A
En otras palabras, al revisar los renglones que tienen valor de verdad V en la función H(p,q,r)
cada vez que encontramos esta situación vamos a construir el minterm correspondiente. Los
valores de verdad de las proposiciones atómicas en cada una de estas líneas deben ser todas V,
luego si la asignación de valor de verdad que aparece enumerada, en una cierta proposición, es
falso F, entonces el correspondiente valor de verdad de esa componente se debe negar para
obtener el valor deseado V.
Para hallar la FNBC de la función lógica H(p,q,r) se procede de manera similar, sólo que los
conceptos son duales, vamos a construir los maxterm. Basta revisar para que asignaciones de
Lógica proposicional 30
verdad en sus componentes la función H(p,q,r) tiene valor de verdad falso F; y considerar el
término máximo que es la disyunción de sus componentes con valor falso. Para lo cual se
niegan aquellas componentes elementales que tienen asignación de verdad verdadera. V. En la
tabla son las líneas 2, 4, 5, 6 y 8:
2. p, q y ¬r
4. p, ¬q y ¬r
5. ¬p, q y r
6. ¬p, q y ¬r
8 ¬p, ¬q y ¬r
Luego se contruye la conjunción de los maxterm anteriores, que exactamente correponden a la
negación de la enumeración realizada, y se obtiene así una expresión lógica B, la - FNBC que es lógicamente equivalente a la función H(p,q,r) dada.
B: ( ¬p ∨ ¬q ∨ r )∧ ( ¬p ∨ q ∨ r ) ∧ ( p ∨ ¬q ∨ ¬r ) ∧ ( p ∨ ¬q ∨ r ) ∧ ( p ∨ q ∨ r )
H(p,q,r) ≡ B
Vamos a verificar que efectivamente este procedimiento nos conduce a la construcción de una
fbf A que es la FBND lógicamente equivalente a la función H(p,q,r) que nos han dado.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
¬p
F
F
F
F
V
V
V
V
r
V
F
V
F
V
F
V
F
¬q
F
F
V
V
F
F
V
V
¬r
F
V
F
V
F
V
F
V
p∧ q ∧ r
V
F
F
F
F
F
F
F
p ¬q ∧ r
F
F
V
F
F
F
F
F
¬p∧ ¬q ∧ r
F
F
F
F
F
F
V
F
A
V
F
V
F
F
F
V
F
De igual manera con la fbf B que hemos hallado.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
¬p
F
F
F
F
V
V
V
V
¬q
F
F
V
V
F
F
V
V
¬r
F
V
F
V
F
V
F
V
¬p∨ ¬q ∨ r
V
F
V
V
V
V
V
V
¬p ∨ q ∨ r
V
V
V
F
V
V
V
V
p ∨ ¬q ∨¬r
V
V
V
V
F
V
V
V
p ∨ ¬q ∨ r
V
V
V
V
V
F
V
V
p ∨ q ∨r
V
V
V
V
V
V
V
F
B
V
F
V
F
F
F
V
F
Ejercicio # 36
Demostrar la validez o invalidez de los razonamientos siguientes usando el método de las
formas normales.
a) p →q ⇒ ¬q → ¬p
Lógica proposicional 31
b) p ∨ q ⇒ p
c) ( p ↔ q) ⇒ p
d) Si Luis se quedó hasta tarde viendo TV, necesitará dormir. Luis no durmió. Luego él
no se quedó viendo TV.
e) Si Luis se quedó hasta tarde viendo TV, necesitará dormir. Luis durmió. Luego luis se
quedó hasta tarde viendo TV.
f) (p ∧ q) → r, r → s ⇒ (p ∧ q) → r
Ejercicio # 37
a) Tres personas (p,q,r) juegan cara o sello usando la regla: cada uno lanza una moneda al
aire. Si todas salen cara o todas salen sello, pierden los tres jugadores. Si no sucede lo anterior,
gana el jugador cuya moneda es distinta de las otras.
• Escriba la tabla de verdad que representa la regla del juego para cada jugador.
• Escriba la forma normal mas simple que corresponda a la tabla de verdad de
cada uno de los jugadores.
• Represente el circuito lógico asociado (usando compuertas lógicas, e
interruptores).
b) En la Electricidad de Caracas se encienden a las 4:00 p.m. las luces del piso 1 si el
encargado de turno así lo ordena. Las del piso 2 no sólo dependen de la decisión del encargado
de turno, sino que el guardia también lo debe ordenar. Por otra parte, si no hay ninguna
persona en el piso 1 no se pueden encender las luces de este. Además de todo esto, en vista de
que hubo problemas con el encargado de turno, se acordó que cuando éste ordenara no
encender las luces en el piso 2 y el guardia si lo ordenara, fueran encendidos sin restricción
alguna. Diseñe y represente el circuito lógico asociado e indique cuando se encienden las luces
en cada piso.
c) Dado el siguiente circuito de compuertas:
Lógica proposicional 32
• Encuentre las formas normales disyuntivas y conjuntivas asociadas.
• Son éstas dos fórmulas equivalentes?. En caso afirmativo realice una demostración
formal.
d) Construya el circuito lógico asociado a la expresión:
p↔q
e) La luz en un cuarto se controla independientemente por tres interruptores (no confundir
con interruptores de un circuito). Ellos funcionan así: al apretar cualquiera de los interruptores
cambia el estado de la luz (encendido a apagado, o apagado a encendido). Diseñe un circuito
que represente el funcionamiento de los tres interruptores bajo las condiciones dadas.
f) Es la noche del 30 de febrero de 1930; una noche calmada y hermosa para la Srta.
Rococo quien se encuentra en vísperas de boda con el adinerado Sr. Barroco.
Esa noche, el padre de la Srta. Rococo le ofrecía un agasajo, con el mas fino
champagne y los mas ricos manjares, a manera de despedida. En la lujosa mansión de los
Rococo se encontraban, entre los invitados, la Srta. Corintio, amante silenciosa del Sr.
Barroco; el Sr. Dórico, socio minoritario en la compañía minera del Sr. Rococo, la Srta.
Samotracia, envidiosa y traicionera amiga de la Srta. Rococo y el Sr. Jónico, expretendiente de
la agasajada.
El Sr. Barroco propone un brindis por su esperada boda y minutos después la
Srta. Rococo moría envenenada.
El inspector Rousseau, de la policía local se hace cargo del caso y recoge las
siguientes declaraciones:
Sr. Barroco: " Era mi novia. Si esto es verdad, entonces yo la quería. Si yo la
hubiera matado, entonces no la quería; por lo tanto, yo no la maté "
Srta. Corintio: " Si yo la hubiese matado, entonces estaría felíz; si yo era
invitada, entonces ella me quería, o bien yo era invitada o bien yo la maté. Luego, yo estoy
feliz o ella me quería"
Sr. Dórico: " Todas las declaraciones son falsas. Nada de lo que diga es una
declaración. Luego, nada de lo que diga es falso "
Srta. Samotracia: " Todos los aquí presentes somos inocentes. Si alguien es
inocente y quería a la víctima, le desearía larga vida. No había invitado que no la quisiera. Yo
era invitada y estaba presente, por lo tanto yo le deseaba larga vida "
Sr. Jónico: " Todos los invitados éramos amigos de la familia, pero algunos
invitados no conocían a la Srta. Rococo. Los amigos de la familia no la hubieran matado. Por
consiguiente, yo era invitado y no la maté."
Lógica proposicional 33
El inspector Rousseau sabe que sólo una de las declaraciones es inválida, y así
descubrirá al asesino. Según esto, podría Ud. resolver el caso y así decir quién mato a la Srta.
Rococo?.
Razone su respuesta. Justifique todos sus pasos.
Ejercicio # 38
Diseñe y represente un circuito lógico que:
a) Calcule la suma de dos números binarios positivos de dos posiciones.
b) Calcule la suma de dos números binarios positivos de cuatro posiciones.
c) Calcule el producto de dos números binarios positivos de dos posiciones.
d) Calcule el producto de dos números binarios positivos de cuatro posiciones
Resolución del punto a)
Comenzaremos revisando la notación binaria de un número natural positivo. Al igual que en la
notación decimal, en los números binarios se emplea una notación posicional, o sea cada
símbolo numérico tiene un valor relativo a la posición en donde está usado.
Así el número 113(10 en notación decimal significa
113(10 = 1 102 + 1 101 + 3 100
o sea, los coeficientes 1, 1 y 3 se toman del conjunto de los dígitos { 0, 1, 2, ..., 9 } y un
mismo símbolo tiene un valor distinto, de acuerdo a la posición que ocupa ese símbolo en la
escritura del número. Por caso, el primer 1, leyendo de izquierda derecha del 113(10 significa
en realidad 100 = 1 102 del cual sólo se está tomando el coeficiente 1 del 102; el segundo 1
representa el coeficiente de 101, 10 = 1 101; y el 3 es el coeficiente de 100 ,3 = 3 100 = 3 1. El
símbolo (10 se utiliza a veces para indicar expresamente qué base de numeración se está usando
cuando puede existir confusión.
En la notación posicional binaria se emplea el conjunto de símbolos { 0, 1 } y la construcción
de los números se efectúa tomando las sucesivas potencias de 2, la base, de ahí el nombre
binario. Así el número binario 1101(2 significa
1101(2 = 1 23 + 1 22 + 0 21 + 1 20 = 13(10
Las cifras posicionales en la notación binaria representan los coeficientes de las sucesivas
Lógica proposicional 34
potencias de 2. Las operaciones aritméticas elementales se realizan igual que como estamos
acostumbrados en la notación decimal, con la diferencia que ahora las tablas de sumar y
multiplicar elementales son mucho más sencillas. Esta son:
+
0
1
0
0
1
1
1
10
x
0
1
0
0
0
1
0
1
Al realizar por ejemplo una suma de dos números binarios, en una columna cualquiera se
tienen sólo tres resultados posibles 0, 1 y 10. En este último caso el resultado dos - 10(2 en
notación binaria - se debe colocar el 0 en la respectiva columna y arrastrar a la columna
inmediata anterior a la izquierda el 1, tal como se hace en una suma ordinaria. Claro
suponiendo como lo estamos haciendo implícitamente que la última cifra de la derecha del
número binario es la menos significativa, o lo que es lo mismo se corresponde con la potencia
20 .
Así si queremos sumar el 11(10 + 9(10 = 20(10 , pero hacerla la cuenta indicada usando sus
respectivas expresiones binarias se tendrá:
24
1
1
23
22
1
21
1
20
potencias de 2
arrastre
1
1
0
0
1
0
1
1
primer número +
segundo número
0
1
0
0
resultado
Analizar la cuenta precedente nos sugiere que debemos ver con más atención la tabla de sumar
binaria; cuando el resultado es dos - 10(2 - podemos separar el resultado dos en dos partes, una
el 0 que es el número binario que va en la respectiva columna donde estemos haciendo la
operación, y otra el 1 que es el número binario de arrastre a la columna inmediata siguiente a
la izquierda.
Estas consideraciones conducen a construir un dispositivo lógico que se conoce con el nombre
de semisumador , dispositivo cuyo propósito no es otro que realizar la suma de dos números
binarios de una posición.
Lógica proposicional 35
Esto equivale a considerar dos tablas de verdad, una para obtener el resultado que va en la
posición en cuestión, y otra para el número de arrastre. Aquí usaremos el 1 como símbolo de
V, y el 0 como F.
Las dos tablas son entonces:
Resultadoo
p
1
1
0
0
FBND
Arrastre
p
1
1
0
0
FNBD
q
1
0
1
0
F(p,q)
0
1
1
0
(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
q
1
0
1
0
H(p,q)
1
0
0
0
p∧q
Las respectivas FNBD aparecen escritas debajo de las tablas. Ahora es muy sencillo construir
el circuito de un semisumador. Notar que el circuito de arrastre es también el circuito del
producto de dos números binarios de una posición.
Lógica proposicional 36
El circuito desarrollado se suele representar con un solo símbolo SS, semisumador
Ahora construir el circuito propuesto, uno que sume dos números binarios de dos posiciones
se vé facilitado ya que disponiendo de semisumadores la construcción es más sencilla.
Basta de nuevo observar como se suman dos números binarios de dos posiciones. Si sumamos
3(10 + 3(10 se tiene
22
1
21
1
20
potencias de 2
arrastre
0
0
1
1
1
1
primer número +
segundo número
1
1
0
resultado
El primer 1 del resultado, coeficiente de 22 , está en la tercera columna contando desde la
derecha, y puede ser considerado un número legítimo a costa de extender la cantidad de
posiciones a 3; o por el contrario considerar que se ha excedido la capacidad para representar
un número binario y ha ocurrido un desbordamiento - overflow -. Cuando se trabaja con lo que
se ha dado en llamar longitud de palabra fija siempre se adopta esta última convención.
El siguiente circuito reproduce como se ha hecho a mano la suma anterior, suponiendo
longitud de palabra 2. Primero se suman a0 y b0 , su contenido R0 es ya el resultado de la
primera posición r0. El número de arrastre A0 se suma a a1. El resultado de su contenido R1 es
sumado con b1 , cuyo resultado R2 es el contenido de la suma resultante r1. Existirá arrastre A
en la suma realizada si hay desbordamiento bien sea por A1 o por A2.
a = a1 a0
b = b1 b0
Lógica proposicional 37
Ejercicio # 39
i) Diseñe y represente un circuito lógico para comparar 2 cadenas binarias de 4 bits cada
una. El circuito debe responder con un 1 si ambas cadenas son iguales, y con un 0 si no, lo
son.
NOTA: Dos cadenas de bits de longitud n son iguales si y sólo si coinciden bit a bit, posición
a posición.
ii) Utilice el circuito de la parte i) para comparar las siguientes cadenas:
1101 con 1101, 1001 con 1011
Ejercicio # 40
i) Diseñe un circuito lógico para bcomparar 2 cadenas binarias de 4 bits cada una. El
circuito que realiza la bcomparación debe responder con un 1 si el primero y el cuarto bits de
ambas cadenas son iguales o si el segundo y el tercer bit de ambas cadenas son iguales.
ii) Utilice el circuito de la parte i) para bcomparar las siguientes cadenas:
1010 con
1110 con
1110
0110
Lógica proposicional 38
Ejercicio # 41
Usando las compuertas nini y la negación diseñe el circuito de un sumador de números
binarios de 2 bits.
Ejercicio # 42
Un byte u octeto es una disposición de 8 bits consecutivos, por ejemplo la sucesión 11011101.
Con un byte se pueden formar 28 o sea 256 combinaciones diferentes. Si nos ceñimos a sólo la
representación de números enteros debemos incorporar tambien una indicación del signo del
número. Usualmente esto se hace empleando el bit más significativo, el primero desde la
izquierda, para representar el signo. Casi siempre se conviene en que un 0 indica un signo
positivo y un 1 un signo negativo. Los restantes bits se usan para representar las magnitudes
numéricas. Con esta convención usando un octeto los números enteros que se pueden
representar son los 255 números comprendidos entre el -127 y el 127. La representaci'on
descripta antes se denomina signo-magnitud.
¿ Si Ud debe diseñar un circuito sumador de dos octetos donde los números se representan
usando la convención signo-magnitud que inconvenientes va ha encontrar y como puede
subsanarlos ?
El inconveniente encontrado antes por Ud se subsana cambiando la representación numérica y
entonces se adopta la notación de complemento a dos.
Esto es, la representación de un número entero en notación de complemento a dos se calcula
así:
1. se calcula el complemento a unos del número en cuestión, escrito en binario.
2. el complemento a dos se obtiene sumando un 1 al complemento a unos.
Un pequeño ejemplo aclara lo anterior:
el número +3(10 se representa
el complementoa unos es
el complemento a dos es
00000011
11111100
11111101
¿ Qué es lo que se gana adoptando esta representación de complemento a dos para los números
enteros ?
Diseñe un circuito sumador de dos bytes cuando los dos números enteros están representados
complemento a dos.
Lógica proposicional 39
SOBRE LA POESIA
habría un par de cosas que decir/
que nadie la lee mucho/
que esos nadie son pocos/
que todo el mundo está con el asunto de la crisis mundial/y
con el asunto de comer cada día/se trata
de un asunto importante/recuerdo
cuando murió de hambre el tío Juan/
decía que ni se acordaba de comer y que no había problema/
pero el problema fué después/
no había plata para el cajón/
y cuando finalmente pasó el camión municipal a llevárselo
el tío Juan parecía un pajarito/
los de la municipalidad lo miraron con desprecio o desdén/murmuraban
que siempre los están molestando/
que ellos eran hombres y enterraban hombres/y no
pajaritos como el tío Juan/especialmente
porque el tío estuvo cantando pío-pío todo el viaje hasta el crematorio municipal/
y a ellos les pareció un irrespeto y estaban muy ofendidos/
y cuando le daban un palmetazo para que se callara la boca/
el pío-pío volaba por la cabina del camión y ellos sentían que les hacía pío-pío en la cabeza/el
tío Juan era así/le gustaba cantar/
y no veía por qué la muerte era motivo para no cantar/
entró al horno cantando pío-pío/salieron sus cenizas y piaron un rato/
y los compañeros municipales se miraron los zapatos grises de vergüenza/pero
volviendo a la poesía/
los poetas ahora la pasan bastante mal/
nadie los lee mucho/esos nadie son pocos/
el oficio perdió prestigio/para un poeta es cada día más difícil
conseguir el amor de una muchacha/
ser candidato a presidente/que algún almacenero le fíe/
que un guerrero haga hazañas para que él las cante/
que un rey le pague cada verso con tres monedas de oro/
y nadie sabe si eso ocurre porque se terminaron la muchachas/los almaceneros/los guerreros/los reyes/
o simplemente los poetas/
o pasaron las dos cosas y es inútil
romperse la cabeza pensando en la cuestión/
lo lindo es saber que uno puede cantar pío-pío
en las más raras circunstancias/
tío Juan después de muerto/y ahora
para que me quierás/
de palabra
Juan Gelman
Lógica proposicional 40