LÓGICA MATEMÁTICA

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LÓGICA MATEMÁTICA
Ingeniería en Informática
2005-2006
HOJA 1
Primera parte: sintaxis de la lógica proposicional
1) Identica cuáles de las siguientes palabras no es una fórmula proposi-
cional:
a) ( p → q) ∧ r) ∨ (s ∧ t),
b) (¬(¬(¬(p ∧ (q → ¬(r))))),
c) ¬(p),
d) p¬ ∧ q.
2) Escribe en forma abreviada la fórmula proposicional
((( p → q) ∧ r) ∨ (s ∧ t)).
3) Escribe en forma no abreviada la fórmula proposicional
¬r → q ∧ t ∧ s.
4) Representa en forma de árbol estructural las siguientes fórmulas:
((p ∨ q) → r),
((p → q) → ((r → p) → (r → q))),
(¬(p ∨ q) ↔ (¬(p) ∧ ¬(q))),
((¬(¬(¬(p) ∨ r) ∨ q)) → (¬(p ∧ q) ∨ r)),
(((p ∨ r) → (p ∨ ¬(r))) ↔ (r → p)),
(p → (s → p)).
5) Se denomina nivel (o profundidad) de un vértice en un árbol con
raíz a la longitud del camino que une la raíz con dicho vértice.
La altura de un árbol con raíz es el mayor de los niveles de sus vértices
(i.e., la longitud del camino más largo posible entre la raíz y un vértice del
árbol).
La profundidad de una fórmula proposicional se dene como la altura
de su árbol sintáctico.
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Usando el principio de recursión estructural, dene recursivamente la función f p que asigna a cada fórmula φ su profundidad.
Sugerencia: usa la función que calcula el máximo entre dos números enteros.
6) a) Usando el principio de recursión estructural, dene recursivamente
la función f n que asocia a cada fórmula φ el número (entero no negativo) de
conectivos, sin contar los conectivos de aridad 0, que aparecen en la estructura
sintáctica de φ.
b) Demuestra por inducción estructural que para toda fórmula φ se verica que
f p(φ) ≤ f n(φ),
donde la función f p es la función profundidad del ejercicio anterior.
7) Formaliza este texto de Platón:
Si lo Uno está en movimiento, éste habrá de ser, o de movimiento sin
cambio en el estado, o de alteración.
No puede tratarse de un movimiento de alteración, porque entonces lo
Uno dejaría de ser Uno.
Si se tratara de la primero, tendría que ser, o bien rotación de lo Uno
sobre sí mismo en el propio lugar en que se encuentra, o bien cambio de un
lugar a otro. Ninguna de las dos cosas ocurre, sin embargo.
Luego lo Uno no está sujeto a ningún tipo de movimiento.
8) Formaliza el texto siguiente:
Si llueve las calles estarán vacías. Si las calles están vacías, el comercio
obtiene perdidas. Los músicos no podrían sobrevivir si los comerciantes no
les contratasen para componer canciones para publicidad. Los comerciantes
invierten en canciones publicitarias cuando tienen perdidas. Por tanto, si
llueve, los músicos pueden sobrevivir.