TEMA 4.- Campo magnético - COSAS DE CIENCIA... Física y Química

Tema 4.- Campo magnético
TEMA 4.- Campo magnético
ÍNDICE GENERAL
1.- Introducción.
2.- Campo magnético.
2.1.- Definición y unidades. Líneas de fuerza. Carácter relativo.
2.2.- Fuerzas magnéticas sobre cargas en movimiento.
2.2.1.- Fuerza de un campo magnético sobre una carga móvil: fuerza de Lorentz.
Aplicaciones.
2.2.2.- Fuerza de un campo magnético sobre una corriente rectilínea: primera ley de
Laplace.
2.2.3.- Fuerza de un campo magnético sobre una espira o circuito. Aplicaciones.
2.3.- Fuentes del campo magnético.
2.3.1.- Campo magnético creado por una carga móvil puntual.
2.3.2.- AMPLIACIÓN: Campo magnético creado por un elemento de corriente: ley
de Biot y Savart.
2.3.2.1.- AMPLIACIÓN: Campo magnético creado por una corriente
rectilínea e indefinida.
2.3.2.2.- AMPLIACIÓN: Campo magnético creado por una espira.
2.3.2.3.- AMPLIACIÓN: Campo magnético creado por un solenoide.
2.3.3.- AMPLIACIÓN: Ley de Ampère.
2.4.- Fuerzas entre corrientes paralelas. Definición de amperio.
2.5.- Analogías y diferencias entre los campos eléctrico y magnético.
3.- Inducción electromagnética.
3.1.- Experimentos de Faraday y Henry.
3.2.- Flujo del campo magnético.
3.3.- AMPLIACIÓN: Ley de Gauss para el magnetismo.
3.4.- Fuerza electromotriz inducida: leyes de Lenz y Faraday.
3.5.- Aplicaciones de la inducción electromagnética.
3.5.1.- Generadores de corriente alterna.
3.5.2.- Producción y transporte de la energía eléctrica. Transformadores.
Cuando la temperatura de un metal es muy baja (por debajo de un valor llamado temperatura crítica) no deja pasar las líneas de fuerza del campo
magnético a través de él, por lo que permanece levitando dentro de dicho campo. En dicho principio basan su funcionamiento, entre otros, los trenes
de levitación magnética de alta velocidad.
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1.- INTRODUCCIÓN.
Los fenómenos magnéticos se conocen desde la Antigüedad. Así, en la Grecia clásica ya se conocían
algunas sustancias como la magnetita (Fe3O4) que podían atraer pequeños trozos de hierro. A tales sustancias
se les denominó imanes naturales; los imanes artificiales son aquellas sustancias (acero, hierro, níquel, etc)
que tienen propiedades magnéticas si se las frota con imanes naturales. Ya se trate de uno u otro tipo, todos
los imanes presentan las siguientes propiedades:
•
•
•
•
Presentan la máxima atracción o repulsión en los extremos o polos magnéticos. Existe una zona neutra que no ejerce ningún tipo de interacción (generalmente, el centro del imán).
Los polos se conocen con los nombres de polo norte (N) y polo sur (S), representados con los colores azul y rojo respectivamente, por semejanza con los
polos norte y sur del planeta Tierra.
Los polos no se pueden separar, es decir, por pequeño que sea, un imán
presentará siempre dos polos (no existen los monopolos magnéticos).
Los polos del mismo nombre se repelen y los de distinto nombre se atraen.
El magnetismo comenzó a ser estudiado de forma rigurosa a finales del siglo XVIII y principios del XIX. Así, el físico danés Hans Christian Oersted realizó en el año
1819 un experimento para estudiar los efectos de las corrientes eléctricas sobre los imanes.
Colocó una aguja imantada paralelamente a un conductor; observó entonces que la
aguja se desviaba de su posición inicial cuando por el conductor circulaba una
corriente eléctrica, tendiendo a colocarse perpendicularmente a la dirección del
conductor. El sentido de la desviación cambiaba si también lo hacía el sentido de la
corriente. De dicho experimento dedujo que la corriente eléctrica – cargas en
movimiento – produce fuerzas magnéticas. En 1831, Michael Faraday observó el
efecto recíproco: aproximando y alejando un imán a un conductor, entonces en éste se
origina una corriente eléctrica. Ambos descubrimientos supusieron el inicio de una
nueva rama de la Física llamada Electromagnetismo.
Sabemos que los electrones que forman parte de los átomos giran alrededor del núcleo y sobre sí mismos; estos movimientos dan lugar a campos magnéticos, de manera que todos los electrones de un átomo pueden ocasionar que el átomo posea, en conjunto, un campo magnético resultante y que se
comporte como un pequeño imán. A los imanes atómicos se les llama dipolos magnéticos, y son los responsables del magnetismo natural de muchas sustancias. Ahora bien, en ausencia de un imán externo todos estos dipolos magnéticos suelen estar orientados al azar, de manera que sus efectos se compensan y la sustancia
no tendrá propiedades magnéticas.
AMPLIACIÓN: En presencia de un
imán, se produce la distorsión del movimiento de los electrones de la sustancia, apareciendo una alineación de todos los dipolos magnéticos (magnetización por alineación) en el mismo sentido o en sentido contrario. Así, dependiendo del comportamiento magnético
de la sustancia, éstas pueden clasificarse de la siguiente manera:
1. Sustancias diamagnéticas: presentan magnetización sólo por efecto de distorsión del movimiento
electrónico de sus átomos. Son repelidas débilmente por un imán, pues algunos dipolos magnéticos
se orientan en sentido contrario al campo magnético exterior. Ejemplos: Cu, Ag, Pb,...
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2. Sustancias paramagnéticas: presentan magnetización por efecto de alineación de sus dipolos magnéticos, aunque dicha alineación es muy débil. Son atraídas débilmente por un imán y apenas se
imantan. Ejemplos: Al, Pt, Mg, O,...
3. Sustancias ferromagnéticas: presentan magnetización incluso en ausencia de un campo magnético
exterior. Son fuertemente atraídas por un imán y fácilmente imantables. Constan de pequeñas regiones, llamadas dominios magnéticos, en las cuales todos los dipolos magnéticos tienen la misma
orientación. En presencia de un campo magnético externo, la mayoría de dichos dominios se orienta
en la misma dirección y sentido que el imán exterior. En algunas sustancias, como el acero, los dipo los magnéticos no suelen volver a su posición inicial tras cesar el campo magnético (magnetismo
permanente), por lo que suelen utilizarse para fabricar imanes
permanentes o soportes magnéticos para almacenar información (discos duros, grabadoras,...). Ejemplos de sustancias ferromagnéticas son el hierro, cobalto, níquel,... y todas sus aleaciones.
Indicamos finalmente, en la figura de la derecha, la orientación de las sustancias paramagnéticas y
diamagnéticas en presencia de un imán externo.
2.- CAMPO MAGNÉTICO.
2.1.- DEFINICIÓN Y UNIDADES. LÍNEAS DE FUERZA. CARÁCTER RELATIVO.
Del mismo modo que una masa crea un campo gravitatorio o una carga eléctrica crea un campo eléc trico, una carga en movimiento -corriente eléctrica - crea un campo magnético en el espacio circundante . El
⃗ , llamado vector inducción magnética, vector
valor de dicho campo viene determinado por el vector B
densidad de flujo magnético o, simplemente, vector campo magnético. Así, decimos que existe un campo
⃗ en un punto, si una carga “q” que se mueve con una velocidad ⃗
v por ese punto es desviamagnético B
da lateralmente debido a una fuerza cuyo valor depende del valor de la velocidad.
Análogamente a los campos gravitatorio y
eléctrico, el campo magnético puede representarse
mediante líneas de fuerza o de inducción, cuya dirección
es tangente al vector inducción magnética en cada punto.
Las líneas de fuerza correspondientes al campo magnético
originado por un imán salen del polo N y entran por el
polo S (en el interior del imán su sentido es contrario); se
tratan, por tanto, de líneas cerradas, lo cual es
consecuencia del carácter inseparable de los dos polos del imán (a diferencia de lo
que sucedía con los campos gravitatorio y eléctrico) y del carácter no conservativo
del campo magnético, como veremos más adelante.
La unidad del campo magnético en el S.I. es el tesla (T), que se define como el valor de
un campo magnético uniforme que ejerce una fuerza de 1 N sobre una carga de 1 C cuando se
mueve con una velocidad de 1 m/s en el interior del campo y perpendicularmente a las líneas de
inducción. Dicha unidad debe su nombre al científico yugoslavo Nikola Tesla (en la figura de la
derecha). Se trata de una unidad muy grande (un imán convencional puede alcanzar valores de
hasta 0´5 T), por lo que suelen utilizarse submúltiplos. Uno de ellos es el gauss (G),
correspondiente al sistema CGS, cuya equivalencia con el tesla es la siguiente:
1 T = 104 G
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Si un campo magnético uniforme (valor constante) es perpendicular al plano
del papel, suele representarse de la manera que se indica en la figura de la izquierda.
Mencionaremos finalmente que el campo magnético es relativo, es decir,
depende del sistema de referencia escogido. Así, por ejemplo, si el sistema de
referencia se encuentra justamente en la carga móvil, ésta no originará un campo
magnético al encontrarse en reposo con respecto a dicho sistema de referencia.
2.2.- FUERZAS MAGNÉTICAS SOBRE CARGAS EN MOVIMIENTO.
2.2.1.- FUERZA DE UN CAMPO MAGNÉTICO SOBRE UNA CARGA MÓVIL: FUERZA DE
LORENTZ. APLICACIONES.
•
Fue el físico holandés H.A. Lorentz quien estudió de
forma cuantitativa el efecto de un campo magnético sobre una
carga en movimiento. Sus observaciones fueron las siguientes:
• Si la carga se mueve en la misma dirección del campo,
éste no ejerce acción alguna sobre ella.
• Para cualquier otra dirección, la dirección de la fuerza
ejercida sobre la carga es perpendicular al plano determinado por los
vectores inducción magnética y velocidad, y su sentido viene dado por la regla del sacacorchos al
“llevar” el vector velocidad sobre el vector inducción magnética por el camino más corto.
El módulo o valor de esta fuerza es directamente proporcional a:
◦ El valor de la carga “q” que se mueve.
◦ El valor de la velocidad con que “q” se mueve.
⃗ en cada punto.
◦ El módulo o valor de B
⃗ .
v y B
◦ El seno del ángulo que forman las direcciones de los vectores ⃗
Todas las observaciones anteriores quedan englobadas en la siguiente expresión matemática:
⃗
F=q ⃗
v× ⃗
B⇒F=q · v ·B ·sen φ
De la expresión anterior deducimos que:
•
•
•
⃗ son perpendiculares, y nula si ambos vectores tienen la misma direcv y B
F será máxima si ⃗
ción.
La fuerza magnética sobre una carga positiva tiene sentido opuesto al de la fuerza que actúa sobre
una carga negativa que se mueva de la misma manera.
La cualidad de la materia, o magnitud activa, que crea el campo magnético es una magnitud vectov , llamada carga magnética, pues en tal caso podemos escribir, en analogía con los campos
rial, q ⃗
gravitatorio y eléctrico, que:
B=
•
F
q·v
Para conocer la dirección y sentido de la fuerza que actúa sobre una carga
móvil en el interior de un campo magnético se utiliza la “regla de la mano
izquierda” o la “regla del tornillo”.
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•
Una partícula cargada que se mueva perpendicularmente a un campo magnético
v es perpendicular a
uniforme describirá una trayectoria circular. En efecto, si ⃗
 , entonces la fuerza que experimentará la partícula será perpendicular a
B
ambos vectores; dicha fuerza es la fuerza normal, radial o centrípeta, la cual
curvará la trayectoria de la partícula haciéndole describir un m.c.u. de radio R
(aunque no se modificará el módulo de su velocidad). Podemos calcular dicho
radio aplicando la 2ª ley de Newton:
Σ⃗
F = m ·⃗a ⇒ q · v ·B = m ·
v2
m·v
p
⇒ R=
=
R
q ·B
q· B
Lógicamente, las partículas de mayor momento lineal (o
cantidad de movimiento) describirán trayectorias de mayor
radio. La velocidad angular y el período del m.c.u. que
describirá la partícula en el interior del campo magnético uniforme vendrán dados
por:
ω=
v
q·B
=
R
m
2π
2πm
T= ω =
qB
Observar que la velocidad angular es independiente del valor de la velocidad y del
radio de la trayectoria.
El sentido del movimiento circular descrito por la partícula dependerá del
sentido del campo magnético y del signo de la carga eléctrica (ver figura a la
derecha). Si la carga no se moviera perpendicularmente al campo, su trayectoria sería
helicoidal.
Si una carga eléctrica se mueve en una región en la que existan simultáneamente un campo eléctrico
⃗ y otro magnético B
⃗ , la fuerza total actuante sobre ella se llama fuerza de Lorentz, y será la suma
E
vectorial de las fuerzas eléctrica y magnética:
⃗
⃗)
F = F⃗e + F⃗m = q ( ⃗
E+⃗v ×B
Evidentemente, si la carga se encuentra en reposo el único campo que actuará sobre ella será el eléctrico.
Vamos a estudiar ahora dos de las principales aplicaciones que tienen las fuerzas magnéticas sobre
las cargas en movimiento: el ciclotrón y el espectrómetro de masas.
1. El ciclotrón fue el primer acelerador de partículas, construido en 1931
por los científicos estadounidenses Ernest O. Lawrence y M. Stanley
Livingston. Consta de los siguientes elementos:
•
•
•
•
•
Dos conductores huecos semicilíndricos llamados “des” debido a su
forma.
Un generador de corriente alterna de alta frecuencia, que crea entre
las dos “des” un campo eléctrico variable en el tiempo.
Un campo magnético uniforme perpendicular a las “des” producido
por un potente electroimán.
Una fuente de partículas cargadas situada en el centro de las “des”.
Una salida para las partículas cargadas, situada tangencialmente a
una de las “des”.
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Consideremos una partícula de carga +q y masa m, emitida por la fuente de partículas. Debido al
campo eléctrico, será acelerada hacia la “de” que posea polaridad negativa, llegando a ella con una velocidad
v1. En el interior de la “de” no existe campo eléctrico, pero sí un campo mag nético; por tanto, la partícula no
se verá acelerada, pero describirá una trayectoria circular de radio:
R1 =
m · v1
q·B
Si durante el tiempo necesario para que el ión complete una semicircunferencia el campo eléctrico cambia de
sentido, invirtiéndose la polaridad de las “des”, el ión será de nuevo acelerado en el espacio comprendido en tre ambas y penetrará en la otra “de” con una velocidad mayor, v 2, describiendo entonces una semicircunferencia de mayor radio que el de la anterior. De esta forma se consigue que la trayectoria del ión sea una espe cie de espiral, formada por arcos semicirculares de radio creciente, unidos por pequeños segmentos a lo largo
de los cuales el radio aumenta. La velocidad angular del ión en cada giro es:
ω=
v
q·B
=
R
m
de donde deducimos que la velocidad angular es independiente de la velocidad del ión y del radio de la circunferencia que describe, dependiendo únicamente de la inducción magnética y de la relación carga/masa del
ión.
En el momento en que el ión describa una trayectoria cuyo radio sea el de las “des”, se escapará tangencialmente a través de la salida, siendo máxima su velocidad:
v máx =
q · B· R
1
q 2 ·B2 · R 2
2
⇒ Ec = mvmáx =
m
2
2m
Vemos que la energía cinética del ión en el momento de la salida no depende de la diferencia de potencial
aplicada entre las “des”, sino de su radio, del campo magnético y de la relación entre su carga y su masa.
Hoy en día existen
grandes aceleradores de
partículas. El CERN (Organización Europea para la
Investigación Nuclear), en
Ginebra, posee un acelerador de unos 4 km de
radio, cuya función principal es el estudio de la
estructura interna de la
materia. Para ello, se hacen colisionar las partículas a elevadas velocidades; como resultado de estas
colisiones se han descubierto cientos de partículas fundamentales constituyentes de la materia.
2. El espectrómetro de masas fue el aparato que permitió
distinguir los distintos isótopos de los elementos. Para ello, los
iones positivos de los distintos isótopos son acelerados por el
campo eléctrico existente entre las placas de un condensador,
adquiriendo una energía cinética y una velocidad que vendrán
dadas por:
√
1
2q ·Δ V
q · Δ V= mv2 ⇒ v=
2
m
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siendo ΔV la diferencia de potencial entre las dos placas del condensador. Una vez acelerados, los
iones penetran perpendicularmente en un campo magnético uniforme, describiendo entonces una
trayectoria circular de radio
R=
mv
=
qB
m·
√
2q ·Δ V
m
1 2m · Δ V
=
qB
B
q
√
Por tanto, los iones que tengan la misma carga pero distinta masa – isótopos – describirán
trayectorias de distinto radio, impactando en puntos diferentes de la pantalla, donde se observarán y
recogerán por separado.
2.2.2.- FUERZA DE UN CAMPO MAGNÉTICO SOBRE UNA CORRIENTE RECTILÍNEA: PRI
MERA LEY DE LAPLACE.
Consideremos un conductor metálico de longitud L por el que circula una corriente de intensidad I,
colocado en el interior de un campo magnético B. Si llamamos “v” a la velocidad con que los electrones cir culan por el interior del conductor, tardarán un tiempo t = L/v en
atravesarlo; durante dicho tiempo, la cantidad de carga que
atraviesa el campo magnético es:
I=
q
L
⇒ q = I·t = I·
t
v
de modo que la fuerza magnética que el campo ejercerá sobre dicha cantidad de carga será, en módulo:
F = qvB ·sen φ = I ·
L
· vBsen φ = ILBsen φ
v
A la forma vectorial de la expresión anterior se le conoce con el nombre de primera ley de
Laplace:
⃗
⃗ ×B
⃗
F = I ·L
La fuerza anterior es, en realidad, la resultante de todas las fuerzas magnéticas que actúan sobre todas las
cargas que circulan por el conductor. La dirección de dicha fuerza será perpendicular al plano formado por la
corriente y el campo magnético, y su sentido vendrá dado por la regla de la mano izquierda o por la del
sacacorchos.
2.2.3.- FUERZA DE UN CAMPO MAGNÉTICO SOBRE UNA ESPIRA O CIRCUITO.
APLICACIONES.
AMPLIACIÓN: Consideremos la espira rectangular de la
figura de la izquierda, de lados a y b, capaz de girar
alrededor del eje OO´ y por la que circula una intensidad de
corriente I en sentido antihorario; sea φ el ángulo que
forman la normal a la superficie de la espira y el vector
inducción magnética. Entonces, sobre cada uno de los 4
conductores que forman la espira el campo magnético
ejercerá una fuerza cuyo valor, dirección y sentido vienen
determinados por la regla de la mano izquierda, tal y como
se indica en la figura de la derecha.
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Las fuerzas sobre los conductores “a” tienen el mismo valor pero sentidos contrarios, por lo que se anulan;
sin embargo, las que actúan sobre los conductores “b” tienen el mismo valor, sentido contrario y direcciones
paralelas, por lo que forman un par de fuerzas cuyo momento (de fuerza) valdrá:
M = F·d = I b B a sen φ
siendo d = a·sen φ la distancia mínima entre las direcciones de las dos fuerzas que constituyen el par. Como
la superficie de la espira es S = a·b, podemos escribir:
M = I B S sen φ
Si consideramos que ⃗
S es un vector perpendicular al plano de la espira y que avanza según la regla del
sacacorchos que gira según el sentido de la corriente, el momento de fuerza existente sobre ella cuando se
encuentra dentro de un campo magnético puede expresarse vectorialmente de la forma siguiente:
⃗ = I ·⃗
M
S× ⃗
B
El efecto de este momento de fuerza es hacer que la espira gire hasta que el vector superficie se oriente en la
misma dirección del campo magnético, momento en el cual desaparece la tendencia al movimiento al hacerse
nulo el momento de la fuerza. Este principio es el fundamento de los motores eléctricos, galvanómetros, amperímetros y voltímetros.
OBSERVACIONES:
1. La expresión anterior es válida sea cual sea la forma de la espira.
2. Si se trata de una bobina o solenoide (conjunto de N espiras superpuestas e idénticas), el momento
de fuerza total será:
⃗ = N I ·⃗
⃗
M
S×B
⃗ .
3. Al producto I · ⃗
S se le conoce como momento magnético de la espira, m
Mostramos a continuación las dos principales aplicaciones de la acción de un campo magnético so bre una espira, los galvanómetros y los motores.
El galvanómetro es un aparato que sirve para medir intensidades de corriente,
generalmente muy débiles. Se basa en la acción de un imán fijo sobre un conductor
rectangular móvil, el cual, al ser recorrido por una corriente eléctrica, gira bajo la
acción del par de fuerzas que el campo magnético creado por el imán ejerce sobre el
conductor. En el interior de la bobina se coloca un núcleo de hierro dulce, para así
concentrar en la bobina las líneas de inducción del imán. Del ángulo de giro efectuado
por dicha bobina se deduce la intensidad de la corriente que circula por ella mediante
una escala graduada. La sensibilidad de los galvanómetros es muy grande, pudiendo
llegar al picoamperio (10-12 A).
Un motor de corriente continua es un dispositivo que sirve para obtener
energía mecánica a partir de energía electromagnética. Así, al colocar una espira
en el interior de un campo magnético se genera un par de fuerzas que la orientan
hasta que el plano que la contiene sea perpendicular al campo magnético. Si en el
instante en el que la espira pasa por la posición de equilibrio se hace pasar la
corriente eléctrica en sentido contrario, el momento del par de fuerzas cambia de
sentido y la espira sigue girando tratando de encontrar la nueva posición de
equilibrio. Se trata, pues, de cambiar el sentido de la intensidad de la corriente eléctrica cada media vuelta
que recorra la espira. Las delgas, al rozar con las escobillas, son las que permiten cambiar el sentido de la
corriente dentro de la espira.
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2.3.- FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO.
De acuerdo con el experimento de Oersted, sabemos que cualquier carga eléctrica en movimiento genera a su alrededor un campo magnético. En este apartado estudiaremos los campos magnéticos que crean a
su alrededor una carga puntual y un elemento de corriente. Terminaremos estudiando la ley de Ampère, la
cual nos demuestra que el campo magnético no es conservativo.
2.3.1.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CARGA MÓVIL PUNTUAL.
El campo magnético que una carga puntual, q, crea a una distancia “r” de
ella depende de los siguientes factores, tal y como se ha observado
experimentalmente:
• Del valor de la carga que se mueve.
• De la velocidad, v, que posee.
• Del seno del ángulo que forma la dirección de la velocidad de la carga
con el vector que une su posición con el punto considerado.
• Del cuadrado de la distancia r.
Estos factores aparecen englobados en la siguiente expresión:
⃗=
B
μ 0 q ·⃗v × u⃗r
·
2
4π
r
donde u⃗r es el vector unitario en la dirección del segmento r. En la expresión anterior hemos considerado
que el medio es el vacío; entonces,
μ 0 = 4 π ·10−7 T· m · A−1 = 4 π ·10−7 N· A−2
es una constante llamada permeabilidad magnética del vacío, que nos da idea de la facilidad con que la
fuerza magnética se “propaga” por dicho medio.
2.3.2.- AMPLIACIÓN: CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN ELEMENTO DE CORRIEN
TE: LEY DE BIOT Y SAVART.
Consideremos ahora un elemento de corriente, d l , cuya dirección
es la del conductor y cuyo sentido es el de la corriente, por el que
circula una intensidad I. Si la carga, dq, contenida en dicho elemento
se desplaza a una velocidad v, el tiempo que tarda en recorrer la
longitud dl será t = dl/v, con lo cual:
dq = I· dt = I ·
dl
v
Sustituyendo en la expresión del apartado anterior tendremos que el
campo magnético creado por un elemento de corriente a una distancia r será:
⃗=
dB
μ 0 I · d ⃗l ×u⃗r
·
4π
r2
A la expresión anterior se le conoce con el nombre de ley de Biot y Savart, en
honor de los físicos Jean Baptiste Biot y Félix Savart.
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2.3.2.1.- AMPLIACIÓN: CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE
RECTILÍNEA E INDEFINIDA.
Podemos considerar que una corriente rectilínea está formada por
sucesivos elementos de corriente dl, cada uno de los cuales crea su propio campo,
de modo que el campo total originado será la suma de todos los campos
elementales, es decir, B = ∫ dB .Cada uno de estos campos elementales vendrá
dado por la ley de Biot y Savart:
dB=
μ 0 I ·dl · sen φ
·
4π
r2
A partir de la figura de la izquierda vemos que:
a
a
sen φ = ; tg φ =
r
l
de donde deducimos que:
2
r =
a2
a
a
; l=
⇒ dl =−
dφ
2
2
tg φ
sen φ
sen φ
Sustituyendo, obtenemos:
dB = −
μ 0 I ·sen φ ·d φ
·
4π
a
Para hallar el campo magnético total debemos integrar la expresión anterior entre los límites correspondientes a los extremos del conductor, que son desde - ∞ (φ = π) hasta + ∞ (φ = 0):
0
B = − ∫π
μ 0 I ·sen φ ·d φ
μ I π
μ I
μ I
π
·
= 0 ∫0 sen φ · d φ = 0 ·[−cos φ]0 ⇒ B = 0
4π
a
4 πa
4 πa
2πa
NOTA: Para conocer el sentido de las líneas de inducción del campo magnético
creado por un conductor rectilíneo indefinido se recurre a la “regla de la mano
derecha”: colocando el dedo pulgar de la mano derecha de manera que señale la
dirección y el sentido de la corriente, los dedos restantes, al cerrar la mano rodeando
al conductor, indicarán el sentido del campo. Recordemos que el módulo de dicho
campo a una distancia “x” del conductor viene dado por:
B=
μ0 I
2πx
2.3.2.2.- AMPLIACIÓN: CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA ESPIRA.
Al igual que en el caso anterior,
podemos considerar una espira o
corriente circular como formada por
infinitos elementos de corriente
rectilíneos, creando cada uno su propio
campo. El campo magnético total será perpendicular a la dirección de
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la corriente y el sentido de sus líneas de inducción vendrá dado por la regla de la mano derecha. Las líneas de
inducción salen por aquella cara en la que se ve circular la corriente en sentido contrario a las agujas del
reloj, y entran por aquella donde se ve circular la corriente en el mismo sentido. Así pues, el campo
magnético creado por una espira puede asemejarse al creado por un imán que tuviera como contorno el
propio circuito: el polo norte del imán sería la cara donde se ve circular la corriente en sentido contrario a las
agujas del reloj, y el polo sur, la cara donde se ve circular la corriente en el mismo sentido. Una regla
mnemotécnica para recordarlo aparece en la figura de la página anterior.
Sea una espira de radio R por la que circula una intensidad I, supuesta dicha corriente formada por infinitos elementos de corriente dl. El
campo magnético creado por cada uno de ellos en un punto del eje que pasa
por el centro de la espira y perpendicular al plano limitado por ella será:
dB=
μ 0 · I ·dl
4π r
2
⃗ será perpendicular a la dirección de r y se puede descomponer en dos
Ahora bien, el vector d B
componentes:
• Una en dirección perpendicular al eje de la espira que, por razones de simetría, se anula con la
componente correspondiente al elemento de la espira diametralmente opuesto.
• Otra en la dirección del eje de la espira, cuyo valor será:
dB ´= dB· sen β =
puesto que sen β =
μ 0 ·I · dl
4 π· r
2
· sen β =
μ 0 ·I · R ·dl
4π·r
3
R
. Para obtener el campo total, integramos la expresión anterior:
r
2πR
B´= ∫0
μ 0 ·I · R
4π·r
3
· dl =
μ0 · I · R
4π ·r
3
2 πR
∫0
dl ⇒ B´=
μ 0 ·I · R 2
2r
3
En el centro de la espira, r = R, con lo cual la expresión anterior se transforma en:
B´=
μ0 · I
2R
2.3.2.3.- AMPLIACIÓN: CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN SOLENOIDE.
B=
μ 0 · N ·I
L
Un solenoide se puede definir como un
conjunto de corrientes circulares o espiras
equidistantes y paralelas. Si disponemos de
un solenoide (o bobina) de longitud L
formado por N espiras atravesadas por una
intensidad de corriente I, el campo magnético
en un punto de su eje es el siguiente:
En el dibujo superior se representan las líneas de fuerza del campo magnético creado por un
solenoide cilíndrico. En el caso de que la bobina fuese circular (toroide) en vez de cilíndrica,
la longitud L corresponde al valor de la circunferencia media del toroide. Las líneas de
inducción aparecen en la figura de la izquierda.
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2.3.3.- AMPLIACIÓN: LEY DE AMPÈRE.
Consideremos un conductor rectilíneo por el que circula una intensidad de corriente
saliente I; si trazamos una circunferencia de radio r con centro en el conductor,
entonces el campo magnético en todos los puntos de dicha circunferencia será:
B=
μ 0 ·I
2π·r
La circulación del vector inducción magnética a lo largo de dicha circunferencia, o lo
que es lo mismo, el trabajo realizado por la fuerza magnética a lo largo de una trayectoria cerrada será:
μ ·I
∮ B⃗ · d ⃗l = ∮ B· dl = B ∮ dl = 2 0π r ·2 π r = μ0 · I
donde “I” es la intensidad de la corriente “encerrada” por la circunferencia. Fue el físico francés
A. M. Ampère quien generalizó dicha ley a cualquier curva que encierre al conductor y al caso
de que sean varios los conductores encerrados; en tal caso, la intensidad neta de corriente
encerrada por la curva, ∑ Ii , será la suma algebraica de corrientes, tomadas como positivas
i
o negativas según sea su sentido.
En definitiva, la ley de Ampère para el campo magnético establece que la circulación del campo
magnético a través de una trayectoria cerrada es igual al producto de la permeabilidad magnética del vacío
por la intensidad neta de corriente encerrada por la curva:
⃗ d ⃗l = μ 0 · ∑ Ii
∮ B·
i
La principal consecuencia de la ley de Ampère es que el campo magnético NO es conservativo, y por
tanto no existirá un potencial magnético o una energía potencial magnética. Dicho resultado también puede
deducirse del carácter de las líneas de fuerza del campo magnético, que son cerradas, a diferencia de las de
los campos gravitatorio o eléctrico, que son abiertas.
2.4.- FUERZAS ENTRE CORRIENTES PARALELAS. DEFINICIÓN DE AMPERIO.
Sean dos corrientes rectilíneas, indefinidas y
paralelas, por las que circulan intensidades I 1 e I2 en el
mismo sentido (figura a). La corriente I 1 originará un campo
magnético que actuará sobre la corriente I 2, ejerciendo sobre
ella una fuerza atractiva, F 12, hacia I1. Del mismo modo, la
corriente I2 origina otro campo magnético que ejerce sobre
la corriente I1 una fuerza, F21, también atractiva. Si las
corrientes circulasen en sentidos contrarios, las fuerzas
resultantes serían repulsivas (ver figura b).
Si llamamos “d” a la distancia que separa los dos
conductores, el campo magnético que la corriente I 1 crea
sobre el segundo conductor será:
B1 =
Salvador Molina Burgos ([email protected])
μ 0 · I1
2πd
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Tema 4.- Campo magnético
Análogamente, el campo magnético que la corriente I2 crea en un punto del primer conductor será:
B2 =
μ 0 ·I 2
2π d
Las fuerzas que ambos campos magnéticos ejercerán sobre un segmento de longitud L de ambos conductores
será:
F12 = I2·L·B1
F21 = I1·L·B2
El sentido de ambas fuerzas ya lo hemos indicado anteriormente. El módulo o valor de la fuerza de interacción entre ambos hilos conductores es el siguiente:
F 12 = F21 = F =
μ 0 · I1 ·I 2
·L
2π d
de modo que la fuerza por unidad de longitud con que ambos conductores se atraen o se repelen vendrá dada
por:
F μ 0 · I1 · I2
=
L
2πd
De la expresión anterior se deduce la definición internacional del amperio: es la intensidad de una corriente constante que, circulando por dos conductores paralelos, rectilíneos e indefinidos, de sección circular despreciable y colocados a una distancia de 1 m el uno del otro en el vacío, produce entre ambos una fuerza de
atracción o repulsión de 2·10-7 N por metro de longitud.
En los siguientes vídeos puedes visualizar los aspectos más importantes del campo magnético:
http://www.youtube.com/watch?v=Xq5oVzWI7f0 (1 de 2)
http://www.youtube.com/watch?v=69CmBVptCXw (2 de 2)
2.5.- ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE LOS CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO.
En la siguiente tabla aparecen de forma breve las principales analogías y diferencias entre ambos
campos:
CAMPO ELÉCTRICO
CAMPO MAGNÉTICO
Es un campo de fuerzas centrales.
No es un campo de fuerzas centrales.
Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
Depende no sólo de la distancia, sino también de la
orientación.
Es originado por una carga eléctrica, ya se encuentre
en reposo o en movimiento.
Es originado únicamente por una carga eléctrica en
movimiento.
La dirección del campo eléctrico es radial con respecto a la carga que lo origina.
La dirección del campo magnético es perpendicular
al plano que contiene a la velocidad de la carga y a
r .
Depende del medio.
Depende del medio.
Las líneas de fuerza son abiertas y normales a las superficies equipotenciales.
Las líneas de fuerza o de inducción son cerradas.
Es un campo conservativo, por lo que existe una
energía potencial asociada.
No es un campo conservativo, por lo que no existe
una energía potencial asociada.
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Las cargas eléctricas positiva y negativa se pueden
separar.
Los polos norte y sur de un imán (monopolos magnéticos) no se pueden separar.
Se puede apantallar.
Se puede apantallar.
9
La constante característica es del orden de 9·10 .
La constante característica es del orden de 10 -7.
3.- INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.
3.1.- EXPERIMENTOS DE FARADAY Y HENRY.
Sobre el año 1830 el científico Michael Faraday, en Inglaterra, y Joseph
Henry, en Estados Unidos, llevaron a cabo una serie de experimentos para estudiar de qué formas podía generarse una corriente eléctrica. Mostramos a continuación un breve resumen de dichos experimentos:
1. Consideremos un circuito inerte (trozo de conductor sin ningún generador en contacto con él) en el
que se intercala un galvanómetro para detectar las
posibles corrientes eléctricas. Entonces, si se aleja
o se acerca un imán al circuito, se observa en él
un paso de corriente. También se detecta corriente
si permanece fijo el imán y es el conductor el que
se mueve. Dicha corriente es de mayor intensidad
cuanto más potente es el imán, así como cuanto
mayor es la velocidad de desplazamiento relativo entre el imán y la espira.
2. También se observa producción de corriente si
en vez de disponer de un imán móvil, se
acerca o se aleja un solenoide por el que
circula una intensidad de corriente constante.
3. Aunque el solenoide se encuentre en reposo, si
por él circula una corriente de intensidad
variable también aparece una corriente en el
circuito inerte.
4. Finalmente, aunque no exista movimiento
relativo ni variación de la intensidad,
también se obtiene una corriente eléctrica
en el circuito inerte si se mueve
rápidamente un trozo cualquiera de hierro
entre el imán y el circuito inerte.
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Tema 4.- Campo magnético
Estas experiencias que acabamos de describir constituyen los fenómenos de inducción electromagnética, y ponen de manifiesto que los campos magnéticos, en determinadas circunstancias, pueden producir
corrientes eléctricas.
3.2.- FLUJO DEL CAMPO MAGNÉTICO.
El flujo del campo magnético se define de manera análoga al flujo del campo
eléctrico: nos indica la densidad de líneas de campo o de inducción que atraviesa una
determinada superficie.
AMPLIACIÓN: Si consideramos que la superficie está formada por la suma de elementos de superficie infinitesimales, d ⃗
S , entonces el flujo del campo magnético que
la atraviesa será:
⃗ ·d ⃗
dΦ= ⃗
B·d ⃗
S⇒ Φ = ∫ B
S
Si el campo magnético es uniforme, entonces el flujo magnético dependerá del valor del campo magnético,
de la superficie que atraviesan las líneas de fuerza de dicho campo y de la orientación relativa entre ambos
⃗ y ⃗
vectores (o ángulo que forman los vectores B
S ):
Φ=⃗
B· ⃗
S = B·S · cos α
En el S.I. el flujo se expresa en webers (Wb):
1 Wb = 1 T·m2
aunque en el sistema CGS su unidad es el maxwell (1 Mx = 1 G·m 2), estando ambas unidades relacionadas
de la manera siguiente:
1 Wb = 108 Mx
3.3.- AMPLIACIÓN: LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO.
Hemos dicho en el apartado anterior que el flujo magnético es proporcional al número neto de líneas
de campo que atraviesan la superficie. Puesto que no existe el monopolo magnético, las líneas del campo
magnético son siempre cerradas y, por tanto, escogida una superficie cerrada cualquiera, saldrán de ella tan tas líneas como entren, con lo que el
número neto de líneas de campo que la atraviesan es cero. Así pues, la ley de Gauss para el magnetismo, que
es una de las ecuaciones fundamentales del Electromagnetismo, tiene la forma siguiente:
 = ∮S 
B· d 
S= 0
3.4.- FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA: LEYES DE FARADAY Y DE LENZ.
Volviendo a las experiencias de Faraday y Henry, vemos que en todas ellas ha existido una variación
del flujo magnético (ya sea porque haya variado el campo magnético, o la superficie que atraviesan las líneas
de inducción o la posición relativa de ambos) a través de la superficie limitada por el conductor inerte. Esta
conclusión pone en evidencia que la variación de un campo magnético da lugar a un campo eléctrico, que es
el resultado contrario al obtenido en los experimentos de Öersted (en los que se obtenía un campo magnético
a partir de una corriente eléctrica).
La fuerza electromotriz (f.e.m.) se define como el trabajo que realiza el campo eléctrico que aparece en el conductor, por unidad de carga, para producir una corriente eléctrica en el circuito . Por ello, tendrá
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las mismas unidades que el potencial eléctrico (de hecho, en ocasiones también se le llama diferencia de potencial, ddp). Así, la fuerza electromotriz inducida será la producida en un circuito inerte a partir de la variación del flujo magnético que atraviesa la superficie limitada por él.
El circuito cerrado donde se origina la corriente se llama inducido; el cuerpo que crea el campo magnético se llama inductor, y puede ser...
•
•
•
•
...un imán permanente.
...un electroimán (dinamo o alternador).
...una bobina recorrida por una corriente alterna (transformador).
...una bobina recorrida por una corriente continua que es interrumpida miles de veces cada segundo.
La ley de Faraday establece que el valor de la fuerza electromotriz inducida, ε, es independiente de
las causas que provocan la variación de flujo y solamente depende de la mayor o menor rapidez con que varía el flujo a través de la superficie limitada por el circuito y del número de espiras que éste posea:
ε=−
dΦ
dt
Si el circuito estuviese constituido por N espiras, la ley de Faraday tomaría la forma siguiente:
ε=− N
dΦ
dt
OBSERVACIONES:
1. La ley de Faraday nos indica que cuanto más rápidamente varía el flujo que atraviese la espira, ma yor será la f.e.m. inducida en ella.
2. La fuerza electromotriz inducida se expresará en voltios (V) si el flujo se mide en webers y el tiempo
en segundos.
3. El signo negativo que aparece en la ley de Faraday nos indica que el signo de la
fuerza electromotriz inducida es negativo si la variación del flujo magnético es
positiva, y viceversa. Dicho signo está relacionado con el sentido de la corriente
inducida en un circuito, la cual se determina a partir de la ley de Lenz: “el sentido de
la corriente inducida es tal que el campo magnético creado por ella tiende a oponerse
a la variación de flujo magnético que la produce”. El significado físico de esta ley es
sencillo: el comportamiento de la corriente intenta contrarrestar a la energía
magnética que la produce; así pues, la ley de Lenz no es más que la expresión del principio de
conservación de la energía en el fenómeno de la inducción electromagnética.
3.5.- APLICACIONES DE LA INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.
Una de las principales aplicaciones de la inducción electromagnética es la obtención de la energía
eléctrica a nivel industrial, pues permite transformar la energía mecánica en energía eléctrica. En este apartado estudiaremos algunas de las principales aplicaciones de este principio físico, fundamentales en el desarro llo de la sociedad tal y como la conocemos hoy en día.
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Tema 4.- Campo magnético
3.5.1.- GENERADORES DE CORRIENTE ALTERNA.
Los generadores son aparatos que transforman
energía mecánica en energía eléctrica. Están formados
por un conjunto o cuadro de N espiras situadas en un
campo magnético uniforme creado por un imán o un
electroimán. El cuadro gira alrededor de un eje perpendicular al campo magnético con velocidad angular constante. El giro de la espira dentro del campo magnético
produce una variación del flujo magnético que la atraviesa (ya que varía la posición relativa entre el vector inducción magnética y el vector superficie de la espira) y,
por tanto, una fuerza electromotriz inducida en la misma. Los extremos del cuadro se conectan, mediante
unas escobillas, a los terminales del circuito externo. Según la ley de Lenz, para oponerse a la variación
(aumentos y disminuciones que se suceden con una cierta frecuencia) de flujo magnético la intensidad de la
corriente eléctrica inducida en la espira genera un campo magnético que se opone a dicha variación. Con ello
se consigue una corriente alterna, cuyo sentido cambia cada cierto tiempo. En Europa, la frecuencia de la
corriente alterna es de 50 Hz.
Consideremos una espira de superficie S que gira con
velocidad angular constante, ω, en el interior de un campo
magnético B generado por un imán. Entonces, el ángulo que
⃗ y ⃗
forman los vectores B
S será α = ωt. El flujo magnético
que atraviesa la superficie de la espira será:
Φ=⃗
B· ⃗
S = B·S · cos α = B·S ·cos ω t
De acuerdo con la ley de Faraday, la f.e.m. inducida en la espira será:
ε=−
dΦ
= BS ω sen ω t ⇒ εmáx = BS ω
dt
Vemos que la f.e.m. inducida (o diferencia de potencial) varía periódicamente en el tiempo, lo cual significa
que la corriente eléctrica inducida en la espira también lo hará. A dicha corriente se le llama corriente alterna, que es la empleada en todos los hogares e industrias por su facilidad de obtención, manejo y transporte.
Si el metal que forma la espira tiene una resistencia R, el valor de la intensidad de la corriente inducida se
calcula a partir de la ley de Ohm:
BS ω
BS ω
I= ε =
sen ω t ⇒ I máx =
R
R
R
Los alternadores son aparatos que transforman también energía
mecánica en energía eléctrica. Consta de dos partes fundamentales, el
inductor o rotor, que es el que crea el campo magnético y el inducido o
estator, que es el conductor que es atravesado por las líneas de fuerza de
dicho campo magnético. El rotor, que en estas máquinas coincide con el
inductor, es el elemento giratorio del alternador, que recibe la energía
mecánica mediante el giro. En dicho elemento se encuentran distribuidos
un número de pares de polos fijos, bien formados por imanes permanentes
o bien por electroimanes alimentados con corriente continua. La rotación del inductor hace que su campo
magnético, formado por imanes fijos, se haga variable en el tiempo, de modo que la variación de flujo magnético que atraviesa los polos del inducido genera en él una corriente alterna que se recoge en los terminales
de la máquina.
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En los siguientes vídeos puedes observar las principales características del fenómeno de inducción electreomagnética:
http://www.youtube.com/watch?v=ukykF7DZr_8 (1 de 2)
http://www.youtube.com/watch?v=5Yg_wqzlp5k (2 de 2)
3.5.2.- PRODUCCIÓN Y TRANSPORTE DE LA ENERGÍA ELÉCTRICA. TRANSFORMA
DORES.
Los transformadores son aparatos que, basándose en la inducción
electromagnética, sirven para transformar una corriente alterna de intensidad
y tensión dadas (corriente primaria) en otra corriente alterna (corriente
secundaria) de distinta intensidad y tensión. Están formados por dos bobinas
independientes, arrolladas sobre un núcleo de hierro dulce. Una de las
bobinas es de hilo grueso y pocas espiras (N 1); la otra, de hilo delgado y
muchas espiras (N2).
AMPLIACIÓN: Si no existen pérdidas de energía, entonces las energías de las corrientes primaria y secundaria han de ser iguales:
V1·I1·t = V2·I2·t ⇒
V1 I 2
=
V2 I 1
donde V1 y V2 son las tensiones o fuerzas electromotrices en el primario y en el secundario, respectivamente.
Por otra parte, las tensiones o fuerzas electromotrices en los circuitos primario y secundario serán, de acuerdo con la ley de Faraday:
V 1 = ε1 =− N1 ·
dϕ
dt
V 2 = ε 2 = − N2 ·
dϕ
dt
ya que, al no haber pérdidas, las dos bobinas son atravesadas por el mismo flujo. Así pues, se cumplirá que:
V 1 I2
N
= = 1
V 2 I1 N 2
El cociente N1/N2 se llama relación de transformación; en función de su valor los transformadores pueden
ser:
•
•
Elevadores, si N2 > N1, pues entonces V2 > V1.
Reductores, si N2 < N1, pues entonces V2 < V1.
Así pues, en función del número de bobinas del primario y del secundario del transformador, podemos conseguir aumentar el voltaje o reducirlo. Esto último es lo que tiene lugar cuando empleamos los “cargadores”
de multitud de dispositivos (teléfonos móviles, reproductores, cámaras,...) y los conectamos a la red eléctri ca; el transformador reduce la tensión de la red – 230 V – hasta la tensión máxima que pueda admitir el apa rato, generalmente unos pocos voltios.
AMPLIACIÓN: La electricidad es la forma de energía más solicitada hoy en día por diversos motivos:
1. Permite su transporte y distribución en fracciones de segundo.
2. Puede transformarse, con pocas pérdidas, en energía mecánica y energía térmica.
3. Puede disponerse de ella en cualquier momento.
Salvador Molina Burgos ([email protected])
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Tema 4.- Campo magnético
4. Es una energía relativamente limpia.
Veremos a continuación la obtención, el transporte y la distribución de energía eléctrica. Recordemos que el consumo de energía eléctrica es un componente básico en el nivel de calidad de vida y es fundamental para el desarrollo industrial de un país.
a) Obtención: se lleva a cabo a partir de las fuentes primarias en las centrales eléctricas:
TIPO DE CENTRAL
ENERGÍA PRIMARIA QUE TRANSFORMA
térmica
Procedente de la combustión de carbón, petróleo o
gas natural
nuclear
Procedente de reacciones de fisión nuclear
hidroeléctrica
Energía potencial del agua
solar (fotovoltaica o térmica)
Energía del Sol
eólica
Energía del viento
geotérmica
Calor interno de la Tierra
mareomotriz
Energía de las mareas
En general, consisten en grandes turbinas movidas por agua (central hidroeléctrica) o vapor de agua (centrales térmicas, nucleares, etc.), las cuales hacen girar a un alternador, en el que se origina la corriente eléctrica.
b) Transporte: se realiza a través de cables especiales llamados líneas de transmisión. Estas líneas de
alta tensión (hasta 500000 V) conducen la electricidad desde la central hasta una subestación, que
suele estar a la entrada de las poblaciones, donde se reduce la tensión hasta unos 12000 V.
c) Distribución: Desde la subestación parten líneas de tensión media hasta unos transformadores situa dos cerca de los lugares de consumo. En ellos, la tensión se reduce hasta 220 V (en instalaciones domésticas) o 380 V (para usos industriales). A partir de este punto, las líneas de distribución suelen ser
subterráneas.
Puedes observar de forma interactiva los pricipales aspectos del tema en la siguiente página web:
http://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/campmag/index.html
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