Una alternativa operativa del pensamiento

ESTADISTICA ESPAÑOLA
núm. 105, 1984, pá^s. 143 a 159
La probabilidad corrparativa : Una alternativa
operativa del pensamiento
por RAFAEL GALANTE G UI LLE
Profesor Agregado de Matemáticas
y MARIA TERESA RUIZ GARCIA DE ANGEI.A
RESUMEN
Desde la perspectiva de la Filosofía de la Ciencia y por medio de un
patrón comparativo, estudiamos la génesis motivacional contingente de los
Modelos del Pensamiento, resaltando que son, por una parte, la medida de la
información de entrada y, por otra, un cierto criterio de coste en la aproximación a la realidad lo que diferencian a unos de otros. Posteriormente en un
marco metodológico se fundamenta la probabilidad comparativa, dentro de la
estructura de los sistemas formales, estableciendo la «pragmaticidad del sistema» como criterio de mayor relevancia en su construcción y permanencia. Se
enuncia la axiomática de la probabilidad comparativa, asi como los problemas
que conlleva, y finalizamos con unas notas sobi^e el «aparente» dilema Cuantificación-Comparación .
Palabras clave: Probabilidad comparativa, fundamentos. Lenguaje potencial.
Información. Metodologfa Científica. Pragmaticidad, consistencia, compatibilidad, independencia. Axiomática de la probabilidad comparativa.
1-^-^
F.^ f A1)i^7 !C A f^,^f'Atit)i .^
L.u.^ rrtctte ^^tc^trc^u.s ^^s c^l urte cic^ ^rt^ur
,^E^ns^rrtcÍc^ ^n !u ^^Pruc'tdu^t
MOTIVACIC)1'^ E INTROi)UCC'IUN IIISTC_)RIC'A
E1 primer y principal prablema planteado por el hc^mbre es, posiblemente, la identificación de Ias proyecciones de los entes creados por él, tanto en sus sensaciones cognoscitívas como incognoscitivas; ésta da lugar a las universales ', pero ante la imposibílidad
de una identifícación uniforme de los entes, se opta par una identificacicín coherente de
dichos entes, y ésta por estar fuera es convenida o formalizada y es este carácter singular
y subjetivo de dicha identificación lo que origina las diversas escuelas del pensamiento, es
decir, se propane unos principios de determinación (pensamienta clásico aristotélico-tomista, aspectos cientificos idealizados en unos marcos de observación y coherencía aproximativa muy limitadas, etc. }, de indeterminación (estado de ías ciencias, ampli^ndose los
campos de aleatoriedad en sus estudios, eic. ); tanto en uno como en otro de los modelos
se intenta llegar a la realidad par medio de una apraximación, pero mientras la primera
desprecia dicha aproximación y es por ello por la que utiliZa un lenguaje accional, la
.
segunda la tiene en cuenta estableciendo unas cotas de error en sus modelos de identificación autoconvincente, y esto da lugar al pasa de un lenguaje accional (quizá sería más
acertado hablar de lenguaje causal o lenguaje factuai en el sentido de que es un lenguaje
de hechos, aunque lo que quiero resaltar con este léxica es que dada una serie de condiciones en un sistema o ambiente el resultado está (teóricamente hablando) determinado
unívocamente, (como dice P. Mittelstaedt, en su libro «Problemas Filosóficos de la Física
Moderna»: «La ley causal dá la posibilidad de hacer predicciones para el futuro a partir del
pasado y del presente. Así como la objetividad de las propiedades de una cosa es una
consecuencia de la aplicación de la categoria de la sustancia, la individualidad hay que
atribuirla a la aplicación de la categoría de la causalidad») a un lenguaje potencial o de
posibilidad de ser, sin embargo, son tan estrictos los marcos hipotéticos de dicha indeterminación que na es sino solapadamente una determinación trastocada y de aqui la incoherencia e inexplicación en la manifestación de muchos fenómenos, e incluso ya estudiados
anteriormente, pero en los cuales se desea una mejor apruxímacíón a Ia realidad (modelos
de comportamiento paranormales, por ejemplo: los fenómenos degenerativos de comunicación tanto cerebrales corno de ordenadares cuando se producen factores perturbantes,
por lo que tanto la transmisión como la descoclificación no es uniforme ni coherente can la
' En el ínfitíno (potencial) y en la universa[idad (posibilidad de to incognoscible, subyace un
factar de indeterrnínación (ímposibílídad de determinacián), que en nucstro marco sensíiivo cognoscible se proyecta como una contradiccíán a reduccíón de nuestro convencimiento determinativo
accic^nal a dos posibilidades que por su carácter accíonal {realizable cognoscible) se excluyen en
nuestro c©nvencimíento, Pensar cn la naturaleza multifonne de los entcs (naturaleza ondulocorpuscular dcl electrón, etc.). Este lastre es debido a que et pensamiento del hombre está aún
codificad© mediante un algoritmo de aplicaciones uniformes, es decir, que determínan una irnagen
a partír de un objcto,
Prt{)f3Af;il 1i7^^[) C^Oti1f'^EZ^^T1^^^^
1^5
codificacicin de los estímulc^s c^ entr^^cia de infc^rmacic^n, ejemplos de c^ichc^s mc^delos de
pensamientc^ son ic^s t~ritc;ric^s dc: [^^ ecisic^n Múltiplc.^ c.^n Amhiente de íZres^,0 en los
problemas de optimízación de toma de decisión. Por tantc^, 1^^ prohabilidad marca el paso
de un lenguaje accional a un lenguaje potencial (también cun respecto a este último se
podría utilizar el término de lenguaje casual, aunque lc^ clue se yuier^: estahlecer es que,
dada una serie de condiciones en un sistema, el resultado no está determinado, sino que
hay posibilidad de realizacián de una serie de acciones, v esto se debe, generalmente, a
que la informacián que se posee del sistema es parcial o incompleta ).
Ante un déficit de información en la proyecci^n de existencia de ciertos fenámenos
necesitamos idealizar la situacián accional de dichos fenómenos para poder estudiar la
situación potencial en ellos `; sin embargo, debid© al lastre histórico, las primeras formulaciones de dichos modelos matemáticos exigen condiciones a dichos fenómenos para poder
ser tratados como fenómenos de azar, entre las cuales cabe mencionar dos que no intervienen directamente en la naturaieza de la incertidumbre: el de posibilidad de repetición
indefinida y en condiciones análogas y la llamada ley de estabilización de la frecuencia ^,
en los cuales se basa matemáticamente para poder obtener por inducción los resultados
formales que, aunque desprovisto de todo condicionamiento factual, en proyección sobre
el mundo real perceptible es bastante generosa. No obstante cabe destacar el momento
histórico en que se desarrolló, pues en estos momentos se estaba recurriendo a la formalización de eualquier modeio matemático para así ser desprovisto de posibles contradicciones
internas, para lo cual se utilizaba las axiomáticas, muy de moda, que aunque pronto se
dernostró su incompletitud, sin embargo, no se ha sabido crear un nuevo modelo de
^ensamiento más riguroso y eficaz que el ya citado desde los tiempos de Euclides.
Análogo a como por especialización del estudio de los fenómenos dio lugar a la necesidad de introducir nuevas geometrías para poder comprender {autoconvencerse) el comportamiento de éstos, los cuales ya no eran explicables bajo la dirección de la geometría
2 Ayer, A. J.: Matemática en ^a Cienc•ia del Comportamiento, Alianza Edit. «De un modo
general, el hablar de acontecimientos que suceden simultáneamente de un modo casual no impGcan
que no estén relacionados entre sí por algo semejante a una ley, o que no pueda describirse en ef
futuro una ley que los ponga en mutua relación, sino solamente que ninguna !ey de este tipo forma
parte de nuestro sisterna de creencias aceptadas. ^
3 Kranft, V.: E^ Circulo de Viena, Edit. Taurus. «Convergencia e irregularidad se hailan, pues,
en contradicción, pues el límite es una propiedad de la ley de formación... Waisr^nann señaló
todavía otra objeción fundamental contra la teoria frecuencial de la probabilidad. EI cálculo de
probabilidades traba^ja con sucesiones infinitas, pero las series estadisticas sólo son ^nitas... Frente
a la teoría frecuencial de la probabilidad, Waismann síguiendo a Wittegenstein, proporcionó una
fundamentación lógica rigurosa a la conccpeión de la probabilidad des^arrollada por Bolzano, Krie s,
y recientemente por Keynes, como perfeccionamiento de la teoría combinatoria clásiea de la
probabilidad... La probabilidad exprnesa con ello una relación lógica entre enunciados..., esta
relación sálo está determinada par+cialmente y n© completamcnte, y la magnitud de la determinación origina gradación de la probabilidad. ^
l46
^^s^t^.^t^^s^^r^tt^.^ r.swaNC^i_a
euclidiana, Considerandc^ a la prubabilidad como una estipulación o informacic^n defarmante del cosmo anárquico de la realidad, en probabilidad ocurre un comportamiento
bastante análoga; pues la aproximación obtenida teniendo en cuenta el puntc7 de vista de
la probabilidad cuantitativa se va haciendo cada vez más insostenible y necesita, par tanto,
una especialización más fina para poder explicar aunque groseramente el comportamiento
de dichos fenómenos; ello es debido a las restricciones tan serias que se le impone a la
naturaieza del cvncepto de prababilidad en el cansiderado, pues supone que de antemano
podemos cuantificar dicha incertidumbre en términos de números reales y de los cuales
extrae sus propiedades en cuanto a eomportamiento. Son, par tanto, situaciones est^iticas o
solapadamente dinámicas obtenidas por un coste de depreciación demasiado alto. Así, la
especialización en eI estudio del comportamiento incierto de dichos fenómenos, ya sea
para no pagar estos costes altos de depreciación que restringe la exactitud en el estudio
del comportamiento de dichos fenómenos, ya sea por la imposibilidad {un ejemplo lo
cc+nstituyen las probabilidades lexicográficas) de explicacíbn de fená ^ menos de azar por
estas medidas estáticas y cuantificadas, se intenta transformar el estudio de la naturaleza
de la probabilidad, transformando la referencia cuantitativa en un refereneial cualitativo
de orden que nos obliga a introducir las modelos matemáticos de probabílídad comparativa.
Sin embargo, puest© que la transformación no es accidental sino de naturaleza, dicho
cambio se hace por ahora lento e impreciso, ya que aunque uno se ve tentado de realizar
un estudio paralela al realizado para la probabilidad cuantitativa, su eficacia queda mermada, pues no se trata de un cambio operacional sino de naturaleza y se necesita resultados formaies así como un criterio referencial más explícito que, o bíen se espera sea
obtenido en otras ramas de las matemáticas, o bien se obtiene en ella para su posterior
proyección en las demás. Es de notar las palabras de H. Bergson en su libro «La Evolución
Creadara»: «Para imaginarse esa irreductibilidad e irreversíbilidad hay que romper con los
hábitos científicos que responden a las exigencias fundamentales del pensamiento, violentar la mente, ir contra la inclinación natural de la inteligencia». Por supuesto, este cambio
en la naturaleza sería deseable de forma que volviendo al punto de partida de cuantificación, su comportamiento coincida con el conocido, es decir, inicialmente se pretende sea
una extensión formal del construido sobre la naturaleza cuantitativa. Los axiomas son
propiamente de relación y se les incorpora otros para la posibilidad de dicha extensión. Sin
embargo, en cuanto a términos definitorios su formalización matemática na responde de
una manera precisa a dicha extensión, sobre todo, en el concepto de independencia de
sucesos. Es por esto, par lo que quedan problemas abiertos en la formulación matemática
de este comportamiento cualitativo-comparativo de los fenómenos de azar.
Siguiendo el curso histórico de los acontecimientos que establecieron la necesidad de
un modelo operativa para dar coherencia a la evolución de los fenómenos que se desarrollan en un ambiente aleatorio, hay que resaltar que los primeros intentos los encontramos en
PRC)F3AE3IL[DAD C(^MPARATI^'A
la correspondencia que mantenían Pascal y Fermat referente a la solución de unos problemas de juegos de azar que le habia planteado el Caballero De !^iere, hasta que Pierre
Simon conde de Laplace, escribió el primer libro de Cálculo de Probabilidades, dando el
concepto laplaciano de probabil idad como el coeiente del número de casos favorables al
número de casos posibles, sin embargo, esta definición es muy estática, pues sólo se puede
aplicar cuando los sucesos elementales son equiprobables. Posteriormente, el holandés
Richard von Mises dio una nueva definición de probabilidad como el iimite de la frecuencia relativa, cuando el número de pruebas del experimento se hace cada vez mayor; sin
embargo, esta definición fue muy criticada; hasta que a principios del siglo xx Frechet y
Kolmogoroff establecieron una teorfa axiomática de la probabilidad cuantitativa basándose en la Teoría de Conj untos y de la Medida.
Fundamentación
Muchas de las dificultades encontradas por ingenieros, físicos, científicos sociales y
filósofos se deben, posiblemente, a un error en los conceptos de la probabilidad en los
cuales ellos confían. Métodos para regular los fenómenos aleatorios y el diseño de inferencia y sistemas de toma de decisión son de gran importancia en campos tan diversos como
ingenieria, física y ciencia del comportamiento. Efectivamente, hoy en día en que por una
parte 1a especialización en la profesión es más intensa, incluso en edades muy tempranas
como es el caso de las carreras profesíonales universitarias españolas, debido quizá a la
amplitud e intensidad de los conocimientos a impartir; sin embargo, el campo de actividad
de la mayoría de las investigaciones en los que el conocimiento de la relación existente
entre las condiciones del sistema y su propia evolución (aunque sea a nivel descriptivo
convincente, lo que algunos científicos experimentales llaman conñrmables o no) es parcial,
es decir, el grado de verificación de dichas hipótesis metodológica s©n apro^cimativas por lo
que se supone no tomar en cuenta, ya sea en el dominio conceptual como en el operativo
el modelo de pensamiento determinista pues canduciria a una incompatibilidad con la
verificación o no de los experimentos en estudio. Por causa de dicha inoperancia del
modelo determinista se hace uso de un modelo metodológico que dentro de su cuerpo
disciplinario no se encuentre la posibilidad de confirmación o no de su aparato metodolc5gico en sí, sino en lo que en palabras de los filósofos del Círculo de Viena llaman «secciones
de confirmación», es decir, grado de proximidad c^ ajuste del modelo teórico al modelo
hipotéticamente real a. A tenor de esto último y por razones obvias de investigación en las
que se han puesto de manifiesto la necesidad de la interdisciplinariedad entre carnpos y
metodologias que aparentemente estaban inconexas, debido en parte a su incipiente apara-
` Kraft, V.; ©bra citada. «Los enunciados probabilitarios son indecidibles teóricamente. No
pueden confirmarse o de sconfirmarse empiricamente en modo alguno. ^
1 ar^
^.ti-r,^c>^tir^c.^ f=^^.^^c,i.^,
to fc^rmal, en lc^s que el grddc^ eomparativc^ tn la manife:^tación de sus fenc^menos es
suficientemc:nte íntensa. Este e5 el caso, en particular, de ias C'iencias dei Comportamiento
(como la Teoría de la Información, Ecc^nc^mía, Psicología, etc. }, en las que la proyección
del aparato metodológico matemático ha permitido no sólo el estudic^ de nuevos fenómenos síno de volver a plantear el mode[o hipotético de fenómenos ya estudiado, de aqui que
algunas investigacíones c©rnparativas establezcan que lo que las mat^emáticas mecanicistas
{Cálculo lnfinitesirnal, Algebra Multilineal, etc. ), supusieron a las ciencias experimentales
en su primer nivel descríptivo es la probabilidad y su aparato metodológico (Inferencia
Matemática, Teoría de la Decisic^n, Teoría de Juegos, Procesos Estocásticos, etc.), a las
Ciencias del Comportamiento. Además probabilidad y estadística son usadas todo el tiempo por científicos para el análisis de experimentos y el grado con el cuai ellos confirman la
hipótesis: la probabilidad es una parte integral de la metodología de las ciencias.
E1 muy amplio campo de aplicación de la prc^babilidad, y la variedad de fenómenos
aleatorios, inducen un gran número de opciones tanto sobre la naturaleza de la probabilidad como de sus conceptos asociados. En una tentativa de establecer los elementos
característicos de los diversos modelos de probabilidad consideraremos las siguientes
dimensiones: 1, Domínio de aplicación. 2. Forma de las proposiciones de la probabilidad. 3. Relación entre dichas proposiciones. 4. La información de entrada y procedimientos para ser usados en las medíciones. 5. E1 propósito de la teoría. Estas dimensiones son interdependientes y no pueden ser consideradas aisladas. En lo referente al
punto l, ejemplos específicos de aplicacic5n de las teorías de la probabilidad se pueden
encontrar en campos tan diversos como las ciencias experimentales (en los modelos
físicos de las distribuciones de los electrones que golpean una pantalla, en las distribuciones de la rnedida de errar al realizar unas mediciones {Teoría de Control e Instrumentaeíón), en Biología es necesario e] aparato probabilístico para formular y describir los
problemas referente a la Teoría Genética (ver J. H. Woodger, Biologfa y Lenguaje,
Edit. Tecnos, Madrid, 1978), ciencias del comportamíento (modelas teáricos de aprendizaje, modelos económicos de comportamiento colectivo, análisis de series temporales,
movilidad geográfica) en los problemas de simulación de fenómenos, ya sea porque el
coste del experimento sea muy alto o por la imposibílidad material de realizarlo, se
acude a simularlo, para lo cual se suele utilizar (por la envergadura del número de datos
a utilizar) soportes automatizados, como los ordenadores. Investigaciones psicológicas de
los errores en la percepción y en general en cualquier tipo de actividad de fenómenos
donde antes de realizar el experimento no se pueda predecir el resultado que se va a
obtener. En lo referente al punto 3 hay que hacer notar que, situado dentra del ambiente
de una teoría deductiva formalizada, una vez establecido los términos primitivos (estos
son términos que no se definen en la teoría, por ello también se llaman términos no
definidos o no definitoríos) y a éstos no se debe (teóricamente hablando, referente al
problema de consistencia del modelo) atribuir ninguna interpretacibn fáctica y por eilo
en matemática no cabe considerar el fenómeno desconfirmador, es decir, las verdades
PRUBAE311_II^AU C^CJMPARATIVA
• 149
matemáticas no requieren evidencia faetual ni ninguna otra justificación empírica. Platón
considera esta forma del conocimiento de hechos ideales como anamnesis, es decir, un
feedback como procesU de control, o, dicho de otra manera, una retroalimentación o vuelta
a recordar de un conocimiento que el homhre ya ha poseído antes alguna vez y como
dice H. Bergson «del futuro sólo se prevé lo que se pueda recompaner con elementos
semejantes a los del pasado», pues según el código formalista hay que considerar a
estos términos no definitorios corno una sarta de símbolos; aunque éstos en realidad son
inferidos de su utilización vulgar. Luego, el siguiente paso de formalización de la teoria
consiste en establecer los axiomas, que son una serie de proposiciones o enunciados
estableciendo una relación entre los términos primitivos {y en parte explican o delimitan
el contenido de éstos, es decir, constituyen el marco de referencia o de limitación o
acotacibn del comportamiento de los términos primitivos, creando el madelo relacional
de dichos términas primitivos e intentando explicar sus características de comportamiento
más significativas; esto supone a nivel no de interpretación de dichos términos
primitivos 5 sino de relación entre éstos, pues como dice E,. Nagel y J. Newman «describir los axiomas como generalizaciones inductivas a partir de la experiencia sería no
reclamar para ellos rnás que algún grado de verdad probable», es decir, crean el marco
de comportamiento de los entes no definitorios mientras que los principios e inferencia
lógica son la carga hereditaña subyacente «necesaria» para el convencimiento y universalidad de eomunicación de dichas entes matemáticos}; sin embargo, estas relaciones se
suelen obtener, en un primer nivel intuitivo, de la experiencia y se consideran aquellas
relaciones que son más primitivas o básicas para formular la teoría, aunque no por esto
hay que tener confusión entre significado lógico (significado} y significado psicológico
{significante) del término «base», es decir, lo que ocurre es que algunas experiencias
ocasionan psicológicamente la formación de ideas. Por todo esta se le exige al modelo las
cuatro siguientes condiciones que constituyen las cuatro cuestiones metateóricas fundamentales de un sistema axiomático, y son: la de independencia de los axiomas, es decir,
que ningún axioma se puede deducir de los otros restantes, la de consistencia, en lo
referente a no contradicción de dichos axiomas y éste puede considerarse, sin lugar a
duda, el punto mas critico de la teoría, el cual quedó acotado por el resultado de
K. Godel en su teorema de incompletitud axiomática en el cual explica que es irnposible
construir un sistema de p^stulados o axiomas (la diferencia entre ambos términos es sólo
de utilización, pues el término postulado se suele utilizar en problernas de formulación
geométrica 6) que no sea autocontradictorio y contenga entre sus consecuencias todas las
proposiciones verdaderas que puedan formularse en el lenguaje de la aritmética. 1✓1
s Poincar^, H.: Ciencia y Método, Edit. Espasa-Calpe. «De esta rnanera para demostrar un
tcorema no es necesario ni útil saber lo que quiere decir. ^•
6 Wilder, R. L.: E! método axiorn4tico. «Un axioma es una verdad autoevidente. Un
posiulado es un hecho geornEtrico tan simple y obvio que puede suponerse su valide2. ^
15O
E...s_r,^t^tsT^ac-.^^ E^s^Atir.^t_a
problema de la consisténcía de un sistema axiomático puede cunsiderarse como un
problerna de formalizacicín de ia l^gica determinista. A tenor det resulteda de Godel 1^
yue se suele hacer (puesto yue actualmente no hay otrca camino viable) es demostrar la
c©nsistencia de un sistema axiomátic:o dado relativa a la supuesta consistencia de otro
sistema y, por tanto, no es posible una demrastración que podríamos adjetivizar de
absoluta. Una vez establecidos los problemas, intimamente relacionados, de consistencia y
completitud (aunque hay que distinguir et plano sint^ictico, que es el que tratamos, del
plano semántico en dichos problernas), hay que hacer notar un último aspecta de la
te©ría que es el de pragmaticidad, es decir, la proyección por una traducción (^ deformacicSn inelástica!) sobre el mundo de las realidades aparentes na sea vacia en contenido;
aunque este punto podría reducirse al problema de compatibilidad fáctica, es decir,
hablando farmalrnente que no puede existir ninguna traducción coherente de dicho
sistema axiomático yue sea incompatible con nuestro modelo de comportamiento de los
fenómenos; sin embargo, es necesario ser más exigente en el problema de la pragmaticidad (sobre todo, en la etapa de investigación y aprendizaje), pues una vez resueltos los
problemas formales simbólicos primitivos y de comportamiento, estos modelos formales
del pensamiento (sobre todo aquéllos cuya creacián no se debe a la necesidad de
resalución de un cierto problema sino a un cierto juego simbálico donde las reglas son el
formalismo lógico convincente) deben proyectarse sobre dicho conocímíento, entendiéndose dicha compatibiíidad y pragmaticidad como inmersa en una escala aproximativa, y
.
por supuestv, no como rnodelo perfecto de acaple de nuestras explicaciones fácticas,
pero entendiéndose que los costes de dicha aproximación, en sacrificio a nuestro convencimiento, deben ser tales que estemos dispuestos a soportarlos aun a tenor de limitar
nuestra explicacián. Es de resaltar que en este purito hay opiniones contrarias, citemos
una nota de A. Heyting en su libro Introducción al intuicionismo de la Editorial Tecnos
(Madrid, 1976): «Far: la única manera de lograr un rigor absoluto es abstraer todo
signiñcado de los enunciados matemáticos y atender a ellos por sí mismos, como sucesiones de slgnOS, dejando de lado el sentido que puedan transmitir; entonces es posible
formular unas reglas definidas para deducir enunciados nuevos de los que ya se tengan y
evitar la incertidumbre que procede de la ambigiiedad del lenguaje. In: las construcciones matemáticas deben ser tan inrnediatas para el entendimiento y sus resultados tan
claros que no necesiten fundamentación de ningún tipo». Sin eri^bargo, este punto
sanciona en parte, la existencia de la propia teoría (y esto aún más, en nuestro ambiente
relativo a problemas de inferencia, contraste, toma de decisión, etc.), aunque aquí el
significado del término existencia es el vulgar y no la aserción de éste realizada por
Poincaré: «En matemática, la palabra existir no puede tener más que un sentido: significa
exento de contradicción». Es, pues, en este aspecto (donde se vincula una cierta contradiccián, aunque ésta sólo pueda existir a nivel formal) donde las afirmaciones matemáticas que podemos considerar como analíticas (y por esto no transmiten ninguna información fáctica) o verdadera «a priori», es decir, que su verdad es lágicamente independien-
PR(^)BABiL._i[lAI) C'C)!^1PAKATl^`^^
15l
te de toda evidencia empírica, o lógicamente anterior a ella y la aplicabilidad de ésta a
cuestiones empíricas y estc^ se debe a que aunque las conclusiones no afirman nada que
se pueda considerar teóricamente nuevo, en el sentido de que cualquier propasición de
ésta está contenida en las premisas iniciales c^ axiamas; sin embargo, los resultados
obtenidos pueden considerarse psicológicamente nuevos. Relativo a esta se hace natar
que hay que tomar una decisión referente a las combinaciones, entre los términos
primitivos, que consideramos básicas y a esto alude las palabras de Poincaré: «Admitamos
que hayan establecido que todos los teoremas pueden deducirse por procedimientos
analíticos, por simple combinacián lógica de un número finito de axiomas, y que estos
axiomas no sean más que convenciones. E1 filósofo conservará el derecho a buscar los
orígenes de estas convenciones y a investigar por qué ha sido preferible a las convenciones cantrarias. Entre todas las construcciones que se pueden realizar con los materiales
que provee la lógica, es necesario hacer una elección»; sin embargo, sería preferible
utilizar el léxico de decisión puesto que además de realizarse una elección (es decir,
previamente hay un estado de ambígiiedad y una serie de alternativas posibles y se ha
llegado a elegir una); esta elección se ha realizado de una manera racional y no fortuita,
en base a una serie de condicionamientos, corno establece D. J. Vti'hite en su libro Tevría
de la decisión, Editorial Alianza Universidad, Madrid, 1972: «La decisión lógica reyuiere
enlazar el estado de ambigíiedad con el estado de selección par medio de un conjunto de
operaciones cognoscitivas inambiguas e identificables. En la práctica hay que esperar que
la resolución de ambigiiedades específicas se lograra rnediante una mezcla compuesta de
decisión y elección. La resolución de un problema puede implicar una mezcla compuesta
de procesos de selección, algunos de los cuales son cognoscitivos e indentificables (a los
que denominaremos «decisión pura»), y algunos de los cuales no son así ^a los que
denominaremos «elección pura») » .
Una vez establecido los términos primitivos y los axiomas, la teoría está completamente determinada; sin embarga, hay que precisar los principios de la lógica, es decir, el
tipo de sentencias y reglas de deducción o inferencia, que se utilizaran en la demostración de los resultados o teoremas '. Este punto de fijación de los principios lógicos no es
superfluo, ya que, generalmente, no se aceptan los mismos, pues aunque la escisión que
dio lugar entre los matemáticos de principios de siglo xx se debió a una serie de
cuestiones sobre los fundamentos de las matemáticas; esto originó la adopción de unos
principios lógicos diferentes y así los intuicionistas no aceptan la validez del principio del
tercero excluido en los procesos de existencia que involucran conjuntos con infinitos
elementos, pues como dice S. C. Klene: « En la matemática clásica ocurren demostraciones
' Nagel escribe para explicar el concepto de ciencia formal de Grassmann: «Las ciencias
formales se caracterizan por e1 hecho de que sus únicos principios de pnocedimiento son las reglas
de la lógica, así como por la circunstancia de que sus teoremas no son "sobre" ningún aspecto del
mundo existente, sino "sobre" cualquier cosa postulada por el pensamiento^.
157
E-Sj A[)I^1 IC A E-^SP,atiU1.A
no constructivas c^ incíirectas de existencia, yue los intuicionistas nc^ aceptan» y esto
porque el probletna de existencia para éstos Cs un prc^hlema de cc^nstruccicín y de aquí
clue el punto m^rs discrepante entre las ttsis intuicionista y fc^rmalista es que aquéllos no
aceptan el infinito actual sino el infinitc^ potencial, como dice S. Korner refiríéndose a los
intuicionistas: « Una totalidad infinita completa no puede ni percíbirse ni contemplarse
introspectivamente. En otros térrninos: ni la metamatemática ni la matemática intuicionista pueden admitir proposiciones acerca de infinitudes reales, pudiendo admitirta sólo
acerca de infinitudes potenciales». Por ello, éstos consideran que es más eficaz transformar la naturaleza negativa de un concepto en un concepto positivo. Sin embargo, se
puede considerar que la negación no es un efecto de la impotencía y menas aún una
ausencia de la potencia, sino una manifestación de la potencia no compatible con una
aseveracíón anteriormente hecha. .
LJtilizando la terminología de Fíne en un intento de clasificación de algunas teorías de
la probabilidad, según I^s caracteristicas antes meneionadas:
Axiomática Comparativa: l, ^, 5, son ignorados; 2, relación comparativa de probabi[idad; 3, conjunto de axiomas estabieciendo un orden comp[eto de sucesos.
Cálculo de Kolmogorov: 1, 4, 5, son ignorados; 2, asignación de números a los
sucesos, cuantificación en términos reales; 3, conjunto de axiamas que determinan la
probabilídad como una medida normalizada, obteniendo dicho modelo inductivamente a
partir del comportamiento de las frecuencias relativas de 1os sucesos.
Teoria Usual de la Frecuencia Relativa: 1, experimentos indefinidamente repetibies;
2, cuantifrcación de los sucesos; 3, análogos a los del cálculo de Kolmogorov; 4,
observación de las frecuencias relativas y principios estadisticos «ad hoc^; S, caracteristicas fisicas de un experímento útíl para la predicción, tiene por fin ser empírica y
objetiva.
Tearia de la Frecuencia Relativa de Von Mises: 1, experimentos índefinidamente
repetidos de una clase especial; 2, cuantifieación de los sucesos; 3, cálculo de la medida
de Jordan; 4, frecuencias relativas observadas, principias estadísticos «ad hoc»; 5, análogo a la teoría usual de la frecuencía relativa.
Teoría de la Frecuencia Relativa ^de Reichenbach-Salmon: 1 y 2, análogo a la teorza
usual de la frecuencia relativa; 3, funciones no negativas de conjunto, finitamente aditivas
y normalizadas; 4, frecuencia relativa observada, principios racionales de estímación; 5,
elaboración de un razonarniento inductivo.
Teoria Clásica de Jaynes: 1, incierto; 2, cuantificación; 3, análogo al cálculo de
Kolmogarov; 4, «test de información» y aplicación de los principios de entropia máxima;
5, permite establecer proposiones de probabilidad en algunas situaciones, significado
incierto.
F'F2f 1R,.^Hll^l[^^^ [) C()±^tF'AFtA I i^ A
]S^
"I`eoria Comparativa Lógica de Kc.^opman: 1, prc^pc^siciones describiendo los experimentos; 2, comparativa; 3, conjunto de axiomas que restringen las posihles relaciones
cc^mpdrativas, nc^ necesit^^ tener un c^rcien completo; ^, intuición; 5, incierta.
"I'eoría Lógica de Carnap: 1, enunciado en cierto lenguaje; ?, cuantificación; ^,
funciones no negativa, finitamente aditivas junto con axiomas dt invarianza; 4, principiUs
«a priori» del razanamiento inductivo; 5, elaboración del comportamiento y razonamiento «racional» inductivo.
Teoría Subjetiva Personalista de De Finetti-Savage: l, opiniones, juicios y preferencias individuales; 2, cuantificación; 3, restricciones de consistencia o coherencia como
axiomas; 4, intuición o introspección; 5, expresión de las opiniones del individuo en
forma útil para seleccionar sus decisiones más satisfactorias.
EI concepto de probabilidad comparativa (utilizaremos la abreviatura CP) es de gran
interés, pues incluye los siguientes puntos: 1' , CP confecciona un model© más realista de
los fenómenos aleatorios, cuando se tiene poca información y datos «a priori» para
estimar razonablemente la probabilidad cuantitativa; 2' , CP se establece para una clase
más amplia, de modelos de fenómenos aleatorios, que la teoría usual cuantitativa; 3' , CP
amplía la estructura de la probabilidad cuantitativa y especialmente los axiomas de
Kolmogorov, estableciendo una base desde la cual se deriva la probabilidad cuantitativa;
4', CP parece ser un concepto suficientemente rico para soportar una gran variedad de
aplicaciones significativas. Las relaciones lógicas entre CP y probabilidad cuantitativa es
tal que estamos siempre más confiados acerca de las estimaciones de la primera que dé la
última. E1 punto 2' se refiere a fenómenos de los que existen ejemplos relativamente
simples para los cuales son válidas las proposiciones de CP, mientras que son incompatibles para cualquier representación en la teoría usual cuantitativa; un ejemplo lo constituyen las llamadas probabilidades lexicográficas. Una característica de estos modelos de
fenómenos aleatorios es no admitir la ejecución de infinitas repeticiones independientes.
AXIOMATICA DE LA PROBABILIDAD COMPARATIVA
Relativo a los fundamentos axiorr^ticos que son suficiente para el caso finito CP, es una
relación binaria entre sucesos, o sus representaciones como conjuntos o proposiciones,
que denotamos A? B y leeremos «el suceso A es al rnenos tan probable como el
suceso B» o bien «A es preferible o indiferente a B», y así podemos establecer la
relación de indiferencia A^ B y la relación de preferencia estricta A> B. Los sucesas
son elementos d^ un campo.`^de sunconjunto de S2, esto en lo que se refiere al punto ^
relativo a la forma de las proposiciones de la probabilidad. Se establecen los axiomas
que caracterizan la familia de CP, consistente en uno de no trivialidad s2 >_ ^ donde c^
es el conjunto vacío, atro de comparabilidad o de que todos los sucesos san compara-
15^
E.^T^Aí^ItiT1('A ESPAy()í A
b1es, el cual nU es insignificante, aunque haya sido estudiado por muchos estudiosos de
la prc^hahilidad como, por ejempto, Keynes y Koopman «A >_ B o B>_ A», otro
axioma de transitividad de la relación «A > B y B> C entances A> C», otro de
improbabilidaci de imposibilidad «A > c^ ^ y otro que nos dice que la relación se
canserva ante las uniones disjuntas Hsi A^ (B ^ C) = c^ entances ( B >_ C) es
equivalente a A^^ B > ^,^1 C). De estos axiomas se deducen comu consecuencias ias
dos pr^apiedades que G. Hasenjaeger, en su libra Cc^nc•^ntt^s v YrvhlPmus c^e lu L ^kicu
,^1'oralernu. Edit. Labor, Barcelana, 19r68, han de tener los gradas de seguridad para ser
med idos .
Una funcián real valuada se dice asignada a(asociada a o cancuer+da con) una
relación de orden (en particular una CP) si es isótona para dicho orden, es decir:
P: , `^ --^ fft
A? B.^ P( A)? P( B 1
y en tal caso nos refrerimos a P como una probabilidad cuantitativa asociada. Sin
embargo, la axiomática anter^or no nos permite conciuir que dada una reiacián CP
satisfaciendo los cinco anteriores axiomas exista una probabiiidad cuantitativa que
cancuerde con >_ , un contraejemplo son los órdenes lexícográficos. Por ello, para
garantizar dicha existencia se impone un S.° axiama y es que el espacio topológico
correspondiente tenga una base numerable, o bien tenga un canjunto numerable denso
respecto al orden. Sin embargo, se puede utilizar como condición suf;ciente un axioma
de continuidad monótona para la relación CP.
Para eliminar aquellas rela.ciones CP que permitan sucesas inftniiamente o infinitesimalmente probables, Fine establece un 6.° axioma arquimidiano y es que toda escala
superior para un suceso sea de longitud finita (donde una escala superior para A es
cualquier s^cesión de con^ untos en la cual los. huecos entre términas sucesivos sean de
tamaño al menos igual a A). Esta versión del axioma arquimidiano es estrictamente más
fuerte que uno propuesto p©r Luce, empleando series estándar en lugar de escala
super^ior. El ?.° axioma de continuidad monótona, establecido por Villegas, junto con
los cuatra primeros irnplican el S.° y el ^.° axiama.
CJbservar que en el caso de existencia de una probabilidad cuantitativa asociada,
existen infinitas, pues toda funcián creciente de una dada es una probabilidad cuantitativa asociada.
Condiciones necesarias y suficientes que aseguran que una relación CP admite una
representación finitamente aditiva no necesariamente cínica cuando t2 es finito han sido
dadas primero por Kraft y también por Scott. El tratamiento de Scott parece preferible,
y puede ser extendido más fácilmente en el caso infinito. En esencia ei teorema de
Scott demuestra que una reiación CP es compatible con una representación fir ^ tamente
PROBAA[LIDAD C't^1Mf'ARATIVA
aditiva si y solarnente si cuando CP es extendida a una colección de objetos, que no son
sucesos más grandes, no es posib^e llegar a encontrar inconsistencia en el orden de los
.
no sucesos. Sin embargo, la hipótesis del teorema de Scott no parece un axioma
aceptable para CP, y esto nos da lugar a la pregunta: ^por qué debe ser construida con
objetos que no tienen intetpretación razonable en términos de fenómenos aleatorios? E1
hecho es que la clase de relaciones CP razonables es significativamente mayor que la clase
de relaciones compatibles con una representación finitamente aditiva. Savage introduce las
nociones de finitud y estrechez de una relación CP, pero ha demostrado que su hipótesis
más débil de la e^cistencia de particiones casi uniformes cuando es combinada con el 5. °
axioma es suficiente para la aditividad finita.
El conjunto formado por los cuatro primeros axiomas, el 6.° y la condición de Luce
parece ser !a mejor caracterizacián publicada de los subconjuntos de relaciones CP
compatibles con la aditividad finita.
Análogo a como en la Teoña de Kolmogoroff de la probabilidad cuantitativa (ver
M. Loeve, Tec^ríu d^e lu ^rohuhilidud, Edit. Tecnos^ se establece que la aditividad
numerable es equivalente a la aditividad finita y continuidad en el vacío, induce a
introducir un 8.° axioma de continuidad en el vacio como débil versión del 7.° axioma
de continuidad monótona y que en el caso de una representación aditiva finita nos
asegura la aditividad numerabie, por tanto, imponiendo aparte de los cuatro primeros y
la condición de Luce, el ?.° axioma, se obtiene que existe una representación satisfaciendo los axiomas de Kolmogoroff. Ville,gas ha demostrado que podemos sustituir la
condición de Luce por la condición de no poseer átomos en dicho teorema. Desafortunadamente las condiciones de Villegas conducen a una teoria de aditividad numerable
que es estrictamente menos poderosa que la anterior, por tanto, la versión de Villegas
implica la versión de Luce, pero no recíprocamente.
En un primer intento se establece la probabilidad comparativa condicional CCP
tlA,CE ,^, A>BC sii AiB >* C/B
que debe leerse ^< A dado 8 es al rnenos tan probable como C dado 8» , como u na
relación ternaria que verifica los seis primeros axiomas y uno más que expresa que se
conserva ante la intersección condicionada a superconjuntos.
Posteriormente, las primeras investigaciones de probabilidad cuaternaria comparativa condicional QCCP, denotadas AIB ?* GD, y se lee «A dado B es al menos tan
probable como C dado D», fueron iniciadas por Keynes y Koopman. Recientes investigaciones sobre QCCP y sus relaciones con probabilidad cuantitativa condicional han
sido realizadas por pomotor y Luce. La aproximación de Fine fue motivada por u n
primer traba^jo de Renyi sobre probabilidad condicional y conduce a un cor^j unto de
(5h
E ^+EAf)Eti'E`iC`A ESP.^VO[..4
axiomas diferentes de los de Domotor y Luce. Los seis primeros axiomas de C^CCP son
totalmente análogos a los de C.'P, mientras que un último establece su comportamiento
ante intersecciones. Existen contrae^ emplos específicos de la uniciciad de QCCP correspondiente a CP que son fáci[mente construibles en la ciase de relaciones CP qc,e admiten
una representación de medida de probabilidad no única. EI resultado negativo relativo a
la compatibilidad de CP y QCCP sugiere que no todas las formulaciones cuantitativas
de problemas de inferencias son posibles en el sistema de CP. Es p^osible establecer un
debilitado teorema de Bayes para QCCP.
La nocián de independencia tiene gran significado tanto para la práctica como para
la teoria de la probabilidad . Se desea considerar una estructura formai para la noción
informal de que la ocurrencia de A no esté influenciada por la ocurrencia de B.
Semejante a la aproximación original dada par Kolmogoroff, se intenta axiomatízar
la inciependencia entre sucesos y no entre experimentos. Para ello, se establece un
primer axioma de que la relación de independencia es símétrica, de independencia con
la ocurrencia de f2, de conservarse ante la complementariedad y de ser cerrado para la
unión disjunta, un axíoma de relacíán con CP, un axioma que garantice la asociatividad
y otro que constituye un resultado análogo a otro de la axiomática de Kolmogoroff, y
que no se obtiene de los anteriores axiomas.
Una discrepancia significativa entre la nocián de independencia comparativa y la de
Kolmagoroff es que la relación de independencia no está deierrnina+da por la relación CP,
es decir, que la factoñzación de la probabilidad producto es necesario, pera no suficiente para la independencia, aná.logo a lo que ocurre con las uníones disjuntas en
probabilidad cuantitativa, es decir, si los sucesos son tales que su intersección es
imposíble, entonces la pcobabilidad de la unión es la suma de las probabilidades de los
sucesos componentes, pero no recíprocamente debido a la existencia de sucesos no
vacíos de probabilidad nula, análogamente en probabilidad comparativa si los sucesos
son independientes la probabilidad de la íntersección es el producto de las probabílidades
de los sucesos componente ^ , pero no recíprocamente. Para asegurar esta dir^ección
inversa de la relacián CP ^ a la independencia se establece un 8.° axioma. Un último
axioma que asegura que dicho concepto de independencia es compatibie con la operación limite de sucesiones monótonas de sucesos, es decir, que la independencia se
conserva ante el límite de sucesiones monátonas de sucesos independientes. Esta
caracterización de independencia es demasiada débil para asegurar que es compatible
con ia definicián de índependencía usual de Kolmogoroff. Por recurr^encia se exiiende el
concepto de independencia al caso de n-sucesas, y diremos que dos experimentos son
indep^endientes si nuestra preferencía por los actos basados en los resuttados de un
experimento son incambiables cuando somos infarmados de las resultados del otro
experimento.
F'Ftf}BAHIL.CI)A[) (^()!^[PARACI^'A
i5?
En CP la esperanza es un funcional lineal cuntinuo soure el espacio de variable
aleatoria. Se define axiomáticamente mediante cinco axiomas y este concepto contiene
como caso particular el concepto de esperanza matemática de las probabilidades cuantitativas.
Para resaltar la importancia de la estadística en la comprensión de los fenómenos
actualmente, citaremos unas palabras de N. Wiener: «Así pues, Newton y Planck-Bohr
formaron, respectivamente, la tesis y la antítesis de una antimonia hegeliana. La síntesis
es la teoría est,adística descubierta por Heisenberg en 1925, en la que la dinámica
estadistica newtoniana de Gibbs se reempla.za por una teoria estadística muy similar a la
de Newtan y Gibbs para fenómenos de gran escala, pero en la que la colección
completa de datos para el presente y el futuro no es suficiente para predecir el futuro
más que estadísticamente» .
CUANTiFICACION-COMPARACION. EL DILEMA
CON TIN U I DAD-Dl SCON TI N U I DAD
La comparación es una cuantificación incipiente por intervalo o clase, mientras que
la cuantificación puntual puede llegar a ser antinómica, consideremos un resultado que
parece tener relación con el axioma de Zermelo, consideremos el númer^o r^eal uno y
consideremos la función siguiente a sucesor de la axiomática de Peano que nos sirve
para construir extensivamente los números naturales, es decir, el siguiente de un
número en un conjunto numcrico dado es otro de este conjunto, tal que, según la
relación de orden establecida en este conjunto compatible con su estructura algebraica,
no hay interiores en el sentido de estar minorado par el dado y mayorada por el
siguiente. Pues bien, el siguiente al l en R no existe, pues si existiese, llamémosle, «y» la
semisuma 1+ y/2 es menor que «y^^ , y mayor que 1(traducido en términos de Zennelo,
cualquier intervalo abierto por la izquierda en 1, no tiene un pr^rner elemento, luega el
problema se reduce a encontrar un orden en R que sea «bueno»); pues bien, esto me
plantea la consistencia o más precisamente la coherencia factual del continuo, y es que
parece que el individuo tiene una existencia discreta a saltos, en la cadena de activación exterior del pensamiento, estímulo --^ sensación --^ percepción --♦ imagen --^ pensamiento, sabemos que la cadena de transmisión de los men^ajes de información se realiza
gracias a un proceso químico-eléctrico entre la sinapsis del axon de las neuronas y las
dendritas de las neuronas sobre las que inciden, hay un tiempo, llamado tiempo de
latencia o período i-e^ractario el cual dicho axon no puede transmitir información por
dicho canal y aunque el número de neuronas sea elevado siempre será finito, por lo que
(aunque no es un razonamiento lógico sina intuitivo) presupongo que la percepción está
discretizada, pues realizando un partición más fína cada vez en el tiempo, habrá
E-s^r^^»s-r^c ^ f.s^^,:^+c_^L.A
instantes (intervalos de Icxtigitud cada vez más pequeñosl en los euales no se codificará
inf^rmación en el cerebro; tcad^ estu para Ilegar a que el pensamiento cahenente que se
establece en el consciente, en cuanto capacidad de codificación según modeias
aprehendidos det comp^artamiento comparativo histcírico y herencial de la especie, en su
confrontación con el medio, tiene ciiscontinuidades y esta se establece en tanto y en
cuanto la continuidad como concepto factual es un grado de aproximacibn o finura cte
los modeios ideales de cornportamiento a!os modeios de evolución real ^` . Luego la
continuidad, como tal puede iener una existencia, p^ero sólo desde el punto de vista
forrnal, es decir, su existencia se estipula dentro de la no-contradicción en e! modelo
operativo, de! pensamiento, de hecho en nuestra axiomótiea de la CP se establece un
axioma de continuidad monótona y un axioma en ^l la independencia entre sucesos se
c4nserva ante la operación límite de sucesiones monótonas de sucesos, esto es análogo
a lo que ocurre con ivs números irracionales que tiene una existencia conceptua! sólo
formal, es decir, lo que llamamos un concepto «necesario» desde un punto de vista
operativo, y lo único que se le exige es la no contradición en el modelo de pensamiento
en el que se encuentra, y es que desde un punto de vista intuicianista, en el que la
existencia de los objetos matemáticos, es sinónimo de consirucción, no tiene mucho
sentido la continuidad en tanto en cuanto ^sta coexiste en un ptano de dependencia con
el concepto de un conjunto de cardinal transfinito (na numerable). Por ello la continuidad «existe» sálo desde un punto de vista formal.
BIBLIQGRAFIA
KA^t.,wN, A.: lndependence in Comparutive Probaóility. M. S. Thesis, Corne[I Uni., Ithaca. New
York, 1970.
F[NE, T.: «A Note on the Existence of Quantiiative Probability». Ann. A^lath. Sturist., 42, 1971.
: Axíc^murics nj' Prc^fiu6ility. Academic Press. New York, 1973.
SAVAGE, L. J.: F'vundatir^ns of' Stutistics. Wiley. New York, 1954.
DOMOTOR, Z.: «Probabilistic Relational Struetures and Their Applications».
Stanford Univ., 1969.
Tech. Rep., 144,
K.EYNES, J. Ñi.':^ A Treutise on Proh^óihty. Harper. New Yor, 19ó2.
VlLLEGAS, C.: «(Jn Qualitative Probability a-Algebras». Ann. Muth. Stutist., 3S, 1964.
LuçE, R. D.: «On the Numerical Representation of Qualitative Conditional Probability». Ann.
1Nath. Statist., 39, l%S.
^` Bergson, H.: Lu evc^lucicín creudoru, Edit. Espasa-Catpe. ^Aunque la vida evolucione attte
nuestros ojos como una creación continua de forma imprevisible, siempre subsiste Ea idea de que
tanto forma como imprevisibilidad y continuidad son puras apariencias en las que se reflejan otras
tantes ignorancias.»
15^
PR()BASII.^IIaA[U C'O:^iPARATI^'A
KRAFT, C.; PRATT. .1..
Stutist. ,
y SEIDENBERG. A.: «lntult^ve PrObabllity On Finite Sets». Ann.
Mttth.
30, 1959.
KOOPMAN, B.: «The Bases of Probability». Bul^. Am^r. ,^uth. .Sr^c•.. 46, 194(}.
ScoTT, D.: «Measurement Structures and Linear Inequalities» . J. Muth. P.c^^ch^^l^^x^a,
1, 19ó4.
SUMMARY
COMPARATIVE PROBABILITY: A OPERATIVE CHOICE OF THE
THOUGHT
From the point of view of Science Philosophy and through a comparative methode, we study the contingent motivational genesis of thinking
models pointing out ihai they are the measure of information in the beginnig and on the other hand certain cost criterium in the aproximation to reality which make the diference between ane and another. After that in a
metodologic reference, it is fundamented the comparative probability turns
into the model of the formal sistems, making the «utility of the sistem» as
the most relevant criterium i n its construction and the stayi n,g of t he
model . The axiomatic is enunciated of the comparative probabil ity so as
the problems they bring with them and we finnish a notes about the
«non-real» dilema Cuantification-Comparation.
Key h^ords: Comparative probability, foundations. Potential language. Information. Scientific Methodology. Pragmaticity, consistency, compatibility, independence. Axiomatic of comparative probability.
AMS 19f30. Subject classification: 60A05.