Cálculo 1 Dr. Humberto A. Carrillo Calvet Tarea 6: Axiomas. 1. Sean

Cálculo 1
Dr. Humberto A. Carrillo Calvet
Tarea 6: Axiomas.
1. Sean a; b; c; d 2 R. Demostrar las siguientes a…rmaciones:
a) a 0 = 0 = 0 a b)
d)
a = ( 1)a c) a( b) =
( a) = a e) ( a)( b) = ab f)
1
g) 1
= 1 h)
a
b=
(ab) = ( a)b
0=0
(a + b) i) a
(b
c) = (a
b) + c
2. Demuestra que:
a) a + b = a + c; entonces b = c
b) Si ab = 0; entonces a = 0 o b = 0
c) Si ab 6= 0; entonces (ab)
d) Si a 6= 0;entonces (a
1
)
1
=a
1
=a
1
1
b
e) Si ab = ac y a 6= 0; entonces b = c
3. Demostrar las siguientes propiedades algebraicas:
a) (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd;
b) Si b; d 6= 0 entonces
a
b
c) Si b; c; d 6= 0 entonces
d) Si b; d 6= 0 entonces
a
b
c
d
=
a
b
c
d
=
a d
b c
=
c
d
e) Si b; c 6= 0 entonces
división);
=
a c
b c
f) Si b 6= 0 entonces
a
b
=
b
g) (x + y)(x
y) = x
2
y
(Regla del Sandwich);
() a d = b c (Proporciones);
a
b
2
a c
b d;
(Ley de Cancelación de Factores en la
a
=
a
b:
2
h) (x + y) = x + 2xy + y 2
4. Si a; b 2 R
2
f0g, ¿Cuándo pasa que
a
b
= ab ?
5. Resolver las siguientes ecuaciones utilizando los axiomas de campo:
a) 35 x + 7 = 2x
2
b) x + 4x
2
4
3;
x 2 R;
5 = 0; x 2 R;
c) 9x + 54x + 79 = 0; x 2 R:
6. Sean a; b; c; d 2 R: Probar que:
a)
1 < 0;
b) a < b () b
a > 0;
c) a < b () 9 c > 0 tal que a + c = b (Ayuda: Utilizar el inciso
anterior);
1
d) a2 + b2
0, y si ab 6= 0 entonces a2 + b2 > 0;
e) Si 0 < a < 1 entonces 0 < an < a < 1 8n 2 N; n
2;
f) Siempre hay un número entre a y b;
p
p
g) Si 0 < a < b =) 0 < a < b:
7. Sea x 2 R tal que 0
x < h para cada h > 0. Probar que x = 0.
8. Resolver las siguientes desigualdades utilizando los axiomas de orden:
a)
5
4x
2
b) x
2
c) 3x
+3
5
3
2x; x 2 R;
5x + 6 < 0; x 2 R;
7x + 4
0; x 2 R:
2