FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Sistema de los Números Reales PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Sistema de los números reales Definición: Llamaremos sistema de los números reales a un conjunto ℝ, provisto de dos operaciones + y ∗ (leyes de composición interna) y una relación de orden denotada por "<“. ℕ = 1,2, … ℤ = … , −2, −1,0,1,2, … 𝑎 ℚ = : 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0 𝑏 Como 2 ∉ ℚ y 2 ∈ 𝐼, se tiene ℚ∩𝐼 =∅yℝ=ℚ∪𝐼 PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Axiomas de Igualdad Reflexiva ∀𝑎 ∈ ℝ ∶ 𝑎 = 𝑎 Simetría ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∶ 𝑎 = 𝑏 → 𝑏 = 𝑎 Transitiva ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ∶ 𝑎 = 𝑏 𝑦 𝑏 = 𝑐 → 𝑎 = 𝑐 Principio de Sustitución Si 𝑷(𝒂) es una proposición verdadera y 𝒂 = 𝒃, entonces 𝑷(𝒃) es también una proposición verdadera. PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Axiomas de adición y multiplicación +: ℝ × ℝ → ℝ (𝑎, 𝑏) → 𝑎+𝑏 =𝑐 La suma de 𝑎 y 𝑏 es 𝑐 ⋅∶ ℝ × ℝ → ℝ (𝑎, 𝑏) → 𝑎∙𝑏 =𝑐 El producto de 𝑎 y 𝑏 es 𝑐 PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Axiomas de adición y multiplicación 1. Ley de Cerradura: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ → 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ 𝑦 𝑎𝑏 ∈ ℝ. 2. Ley conmutativa: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑦 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 3. Ley asociativa: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑦 𝑎𝑏 𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) 4. Ley de existencia y unicidad del neutro aditivo y del neutro multiplicativo: ∃! 0 ∈ ℝ, ∀ 𝑎 ∈ ℝ: 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 ∃! 1 ∈ ℝ − 0 , ∀ 𝑎 ∈ ℝ: 𝑎1 = 1𝑎 = 𝑎 PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Axiomas de adición y multiplicación 5. Ley de existencia y unicidad del opuesto y del inverso: ∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∃! −𝑎 ∈ ℝ: 𝑎 + −𝑎 = −𝑎 + 𝑎 = 0 ∀ 𝑎 ∈ ℝ − 0 , ∃! 𝑎−1 ∈ ℝ: 𝑎𝑎−1 = 𝑎−1 𝑎 = 1 6. Ley de distribución de la multiplicación respectode la adición: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Sustracción y división de números reales Definición: Para cualquier números reales 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , definiremos la sustracción de números reales por: 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) Definición: Para cualquier números reales 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , donde 𝑏 ≠ 0, definiremos al cociente de números reales por: 𝑎 = 𝑎𝑏 −1 𝑏 PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Relación de orden En el conjunto de los números reales existe un subconjunto de ℝ que denotaremos por ℝ+ y se llama el conjunto de los números reales positivos - 0 1 2 3 3 4 + + ℝ PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Relación de orden - Axiomas Ley de tricotomía: Dado 𝑎 ∈ ℝ, se verifica una y solo una de las tres posibilidades 𝑎 ∈ ℝ+ , −𝑎 ∈ ℝ+ , 𝑎 = 0 Ley de clausura en ℝ+ : Si 𝑎 ∈ ℝ+ y 𝑏 ∈ ℝ+ entonces 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ+ 𝑦 𝑎𝑏 ∈ ℝ+ PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Relación de orden - Axiomas Definición : Si 𝑎 ∈ ℝ, decimos que • 𝑎 es positive si 𝑎 ∈ ℝ+ • 𝑎 es negative si −𝑎 ∈ ℝ+ ℝ− : Conjunto de los números reales negativos Luego ℝ = ℝ+ ∪ ℝ− ∪ 0 PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Relación de orden - Axiomas En base a los axiomas de relación de orden daremos las siguientes definiciones: Definición: Si 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ decimos que: 1. 𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑏 − 𝑎 ∈ ℝ+ 2. 𝑎 > 𝑏 ↔ 𝑎 − 𝑏 ∈ ℝ+ 3. 𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 < 𝑏 4. 𝑎 ≥ 𝑏 ↔ 𝑎 > 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Relación de orden-Propiedades 1. ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ una y solamente una de las relaciones se cumple: 𝑎 < 𝑏, 𝑎 = 𝑏, 𝑏 < 𝑎 (𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜𝑡𝑜𝑚í𝑎) 2. Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑏 < 𝑐 entonces 𝑎 < 𝑐 (transitiva). 3. Leyes de Monotonía Si 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐, ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ. (Consistencia aditiva) Si 𝑎 < 𝑏, 𝑐 > 0 entonces 𝑎 ∙ 𝑐 < 𝑏 ∙ 𝑐 (Consistencia multiplicativa) Si 𝑎 < 𝑏, 𝑐 < 0 entonces 𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐 (Consistencia multiplicativa) PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Relación de orden-Teoremas 1. ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ: Si 𝑎 < 𝑐 ∧ 𝑏 < 𝑑 ↔ 𝑎 + 𝑏 < 𝑐 + 𝑑 2. Para 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, si 𝑎 < 𝑏 → −𝑎 > −𝑏 3. Para 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 → 𝑎2 > 0 4. Para 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 entonces: a. Si 𝑎 > 0 → 𝑎−1 > 0 b. Si 𝑎 < 0 → 𝑎−1 < 0 5. Para 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, donde 𝑎 y 𝑏 tienen el mismo signo, si 𝑎 < 𝑏 → 𝑎−1 > 𝑏 −1 PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Ejercicios 1. Para cada número real 𝑎 ∈ ℝ, demostrar que 𝑎 + 𝑎 = 2𝑎. 2. Para cada número real 𝑎 ∈ ℝ, demostrar que 𝑎0 = 0. 3. Para cada número real 𝑎 ∈ ℝ, demostrar que −(−a) = 𝑎. 4. Para 𝑎 ∈ ℝ, demostrar si 𝑎 ≠ 0, entonces 1 = . 𝑎 𝑎𝑏 −1 = 𝑎−1 5. ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑏 ≠ 0, demostrar que 𝑎−1 𝑏 −1 . 6. Dados 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ ℝ, demostrar que 𝑎𝑏 + 𝑎(−𝑏) = 0. PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Ejercicios Para cada número real 𝑎 ∈ ℝ, demostrar que 𝑎 + 𝑎 = 2𝑎. • 𝑎 + 𝑎 = 1𝑎 + 1𝑎 Ley de existencia y unicidad del neutro mult. • …… = 1 + 1 𝑎 Ley de distribución de multiplicación • … … = 2𝑎 Suma en ℕ. PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Ejercicios Para cada número real 𝑎 ∈ ℝ, demostrar que 𝑎0 = 0. 𝑎0 = = = 𝑎 1 + −1 𝑎1 + 𝑎 −1 𝑎 + −𝑎 0 ……………… ……………… ……………… ……………… Muestre que 𝑎 −1 = −𝑎 PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Ejercicios ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑏 ≠ 0, demostrar que 𝑎𝑏 𝒂𝒃 −𝟏 = = = = = 𝑎𝑏 −1 1 𝑎𝑏 −1 𝑎−1 𝑎𝑏𝑏 −1 𝑎𝑏 −1 𝑎𝑏 𝑎−1 𝑏 −1 1. 𝑎−1 𝑏 −1 𝒂−𝟏 𝒃−𝟏 PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA −1 = 𝑎−1 𝑏 −1 ……………………... ……………………… ……………………… ……………………… ……………………… FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Ejercicios Dados 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ ℝ, demostrar que 𝑎𝑏 + 𝑎(−𝑏) = 0. • 𝑎𝑏 + 𝑎 −𝑏 = 𝑎(𝑏 + (−𝑏)) Ley de distribución de multiplicación • … … … … … . . = 𝑎(0) Ley de existencia y unicidad del opuesto aditivo • ……………..= 0 Se demostró que 𝑎0 = 0 PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Intervalos PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Clases de intervalos Forma simbólica Forma de desigualdad Intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] 𝑎≤𝑥≤𝑏 Intervalo abierto < 𝑎, 𝑏 > 𝑎<𝑥<𝑏 [𝑎, 𝑏 > 𝑎≤𝑥<𝑏 < 𝑎, 𝑏] 𝑎<𝑥≤𝑏 < 𝑎, +∞ > 𝑥>𝑎 [𝑎, +∞ > 𝑥≥𝑎 < −∞, 𝑏 > 𝑥<𝑏 < −∞, 𝑏] 𝑥≤𝑏 Intervalo semiabierto Intervalo no acotado PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA Forma gráfica FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Ejercicios 1. Demuestre que si 𝑥 ∈ [2, 4] entonces 2𝑥 + 3 ∈ [7; 11]. 2. Demuestre que si 2𝑥 − 6 ∈ [−4; 4] entonces 𝑥 ∈ [1; 5]. 3. Realiza las siguientes operaciones a) < −2; 3] ∪< 0; 4 > − [2; 6] b) < −2; 3] ∪ < 0; 4 > −[2; 6] PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Ejercicios 1. Demuestre que si 𝑥 ∈ [2, 4] entonces 2𝑥 + 3 ∈ [7; 11]. 2≤𝑥≤4 4 ≤ 2𝑥 ≤ 8 7 ≤ 2𝑥 + 3 ≤ 11 ∴ 2𝑥 + 3 ∈ 7; 11 PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Ejercicios 2. Demuestre que si 2𝑥 − 6 ∈ [−4; 4] entonces 𝑥 ∈ [1; 5]. −4 ≤ 2𝑥 − 6 ≤ 4 −4 + 6 ≤ 2𝑥 − 6 + 6 ≤ 4 + 6 2 ≤ 2𝑥 ≤ 10 1 1 1 2≤ 2𝑥 ≤ 10 2 2 2 1≤𝑥≤5 ∴ 𝑥 ∈ [1; 5] PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Ejercicios 𝑎) < −2; 3] ∪< 0; 4 > − [2; 6] • < −2; 3] ∪< 0; 4 > =< −2; 4 > • −2; 4 − 2; 6 = −2; 2 PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Bibliografía 1. Figueroa, R. Matemática Básica. Novena edición 2006. Ediciones RFG. 2. Espinoza, E. Matemática Básica. 2005. Lima-Perú. 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