Gravitación universal Impulso mecánico y cantidad de movimiento

Gravitación universal
Impulso mecánico y cantidad de movimiento
Movimiento armónico simple. Péndulo matemático
* Recordad que la calculadora ha de estar en radianes en los problemas del MAS *
1. Calcular a qué altura nos hemos de alejar de la superficie terrestre para que la
aceleración de la gravedad sea de 4 m/s2 . Datos, G = 6, 67 × 10−11 Nm2 /kg2 ,
MT = 5, 9 × 1024 kg, RT = 6, 378 × 106 m.
2. Calcula la aceleración de la gravedad en el planeta enano Plutón sabiendo que su
masa es 0, 00169 veces la masa de la Tierra y que su radio es 0, 18 veces el radio
terrestre.
3. Calcula el impulso mecánico que se ha ejercido sobre un cuerpo sobre el que se ha
aplicado una fuerza de de 50 N durante 10 segundos. Obtener la variación de la
cantidad de movimiento. Determina la velocidad final sabiendo que parte del reposo
y que la masa del cuerpo es de 20 kg.
4. Una bola de hierro de 1 kg se desplaza a 4 m/s e impacta sobre una de plastelina 2 kg
que se halla en reposo. Tras la colisión las dos bolas se quedan unidas. Determina
a qué velocidad se mueven las dos juntas tras la colisión.
5. De un muelle colgamos un masa de 100 gramos y se alarga 8 cm. Calcula cual será
el periodo de las oscilaciones si ponemos a oscilar el cuerpo. Si el cuerpo de antes lo
ponemos ahora a oscilar con una amplitud de 15 cm, determina cual es la velocidad
y aceleración máximas que tendrá el cuerpo.
6. La ecuación de un movimiento armónico simple es
!
"
π
π
y = 10 sin
t+
2
3
Calcula: a) amplitud, pulsación, periodo y frecuencia; b) halla la posición, velocidad
y aceleración para t = 1s; c) determina en qué instantes a = 0 m/s2
7. La ecuación de la velocidad de un MAS es
#
v = 2π 16 − y 2
Escribe la ecuación general del MAS sabiendo que para t = 0 el cuerpo tiene una
elongación y = 2. Determina la velocidad y aceleración máximas.
8. El periodo de las oscilaciones de un MAS es de 4 s, su amplitud de 1 m y su fase
inicial π. Escribe la ecuación general del MAS. Determina en qué instante alcanza
su velocidad máxima. Halla la aceleración en t = 0.5 s.
9. La acelaración de un MAS viene dada por la expresión a = −9 y. Sabiendo que su
velocidad máxima es 6 m/s y que para t = 0 se halla en el origen, calcula: a) la
ecuación del movimiento, b) la ecuación de la velocidad y c) el valor de esta última
en t = 3 s.
10. Hallar qué longitud ha de tener un péndulo en la Tierra para que el periodo de
oscilación sea de 2 s. Ahora queremos que el péndulo tenga un periodo de 2.2 s.
¿Habrá que alargarlo o acortarlo? ¿En qué cantidad exactamente? (g = 9.8 m/s2 )
11. En un planeta un péndulo de longitud L oscila con un periodo de 1 s. Nos llevamos
ahora el mismo péndulo a otro planeta donde el periodo es ahora de 1.5 s. ¿Cuántas
veces es mayor la aceleración de la gravedad de un planeta con respecto al otro?
Gravitación universal
F =G
m1 m2
r2
g=
G MT
(RT + h)2
gp =
G Mp
Rp2
Impulso mecánico
F t = m (v − vo ) = ∆ p
Conservación de la cantidad de movimiento
m1 v"1 + m2 v"2 = m1 v"1" + m2 v"2"
choque elástico
m1 v"1 + m2 v"2 = (m1 + m2 ) v""
choque inelástico
Movimiento armónico simple
Ley de Hooke
F = −k ∆y
y = A sin(ω t + ϕ)
vmax = A ω
T = 2π
%
L
g
ω=
$
k
m
v = A ω cos(ω t + ϕ)
a = −A ω 2 sin(ω t + ϕ)
Péndulo matemático
2
$
2π
m
T =
= 2π
ω
k
#
v = ±ω A2 − y 2
a = −ω 2 y
amax = A ω 2
Soluciones
(1) h = 3605, 14 km;
(2) gp = 0, 511 m/s2 ;
(3) I = 500 N/s, ∆ p = 500 kg m/s, v = 25 m/s;
(4) v " = 1.33 m/s;
(5) T = 0.568 s, vmax = 1.66 m/s, amax = 18.375 m/s2 ;
(6) a) A = 10, ω = π/2, T = 4 s, f = 0.25 Hz; b) y = 5 m, v = −13.6 m/s,
a = −12.33 m/s2 ; c) t = 2n − 1/3;
(7) y = 4 sin(2π t + π/6), vmax = 8π, amax = 16π 2 ;
(8) y = sin(π/2 t + π), t = 2 s, a = 1.744 m/s2 ;
(9) a) y = 2 sin(3 t), b) v = 6 cos(3 t), c) v = −5.46 m/s;
(10) L = 0.9929 m. Hay que alargarlo exactamente 0.2085 m;
(11) g1 = 2.25 g2
Primera edición de 1686 de los ”Principia Mathematica” de Isaac Newton, donde se
enuncia por primera vez la ley de la gravitación universal
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