RESUMEN DE FÍSICA

pg. 1 de 9
RESUMEN DE FÍSICA - 2º BACH.
PARTE IIA - GRAVITACIÓN/CAMPO
ELÉCTRICO
Emiliano G. Flores
[email protected]
Resumen Este documento contiene un resumen de los conceptos y expresiones matemáticas más
significativas de la materia de Física del segundo curso de Bachillerato. Su función es servir de guía
cuando se necesite hacer un repaso general de la materia en ocasiones como, por ejemplo, la preparación del examen de la misma en la Prueba de Acceso a la Universidad. Esta SEGUNDA PARTE (a)
contiene los temas : GRAVITACIÓN , CAMPO ELÉCTRICO
El documento ha sido elaborado con LYX 2.0.5 : http://www.lyx.org/
Se ha utilizado como base una plantilla en LATEX obtenida de : http://www.howtotex.com/
————————————————————————————————————————————————–
1.
1.1.
GRAVITACIÓN I : LEYES DE KEPLER Y L.G.U.
LEYES
DE
KEPLER
Describen la cinemática del movimiento planetario :
1. Primera Ley : Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol fijo en uno de los focos
2. Segunda Ley : El radio vector del planeta barre áreas iguales en tiempos iguales
var eol ar =
dA
dt
= const ant e
3. Tercera Ley : Los cuadrados de los periodos de revolución de distintos planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas elípticas (o de los radios de las órbitas,
en las órbitas circulares)
T12 T22
= 3 = ... = const ant e
a13
a2
La excentricidad de la órbita elíptica puede calcularse a partir de afelio (posición más alejada
ra − r p
del Sol) y el perihelio (posición más cercana al Sol) del planeta : e =
. En la figura
ra + r p
pueden verse las relaciones entre los parámetros de la elipse :
Resumen de Física, 2º de Bachillerato (parte IIa) - [email protected]
pg. 2 de 9
1.2.
INTERACCIÓN
GRAVITATORIA .
LEY
DE
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
La Ley de Gravitación Universal permite obtener la fuerza de interacción gravitatoria entre dos masas
puntuales :
m1 m2
~u r (N )
(1)
F~ = −G
r2
donde para calcular la fuerza sobre una de las masas, se toma el origen de ~r y de u
~ r en la otra
masa. La constante que aparece en la expresión de la LGU es la constante de gravitación universal :
G = 6, 67,10−11 (N .m2 .k g −2 )
Deducción de la 3ª Ley de Kepler : Combinando la LGU con la 2ª Ley de Newton y suponiendo órbitas
circulares, se obtiene la 3ª Ley de Kepler, expresada en la forma :
T12
r13
=
T22
r23
= ... =
4π2
GM
(2)
siendo M la masa central alrededor de la cual orbitan las demás.
1.3.
FUERZAS
CENTRALES .
CONSERVACIÓN
DEL MOMENTO ANGULAR
El momento angular se define como
~L = ~r ∧ ~p = ~r ∧ m.~
v (k g.m2 .s−1 )
y el momento de una fuerza como
~ = ~r ∧ F~
M
(N .m)
~
~
Si L y M se calculan en relación al mismo punto, se demuestra que :
~ =
M
d ~L
(3)
(4)
(5)
dt
~ ⇒ ~L = c ~t e
~ =0
En consecuencia si M
−→
Para una fuerza central, tal como la gravitatoria, ~r k F~ y por lo tanto : ~L = c t e
Se demuestra (2ª Ley de Kepler) que :
var eol ar =
2.
2.1.
dA
dt
=
~L 2m
(m2 .s−1 )
(6)
AMPLIACIÓN DE MECÁNICA : TRABAJO Y ENERGÍA
TRABAJO. ENERGÍA
CINÉTICA
El trabajo elemental o diferencial realizado por una fuerza es :
dW = F~.d~r = F.d r.cos(α)
(7)
Para obtener el trabajo total realizado por la fuerza entre dos puntos (a y b) de una trayectoria, se
integra la ecuación correspondiente a dW , obteniéndose :
ˆ b
Wa→b =
F~.d~r (J)
(8)
a
Puesto que F~ = F~T + F~N se deduce que F~N no realiza trabajo, por ser perpendicular a d~r. Además,
dv
F~T es tangente a la trayectoria, y su módulo es F T = m
, luego :
dt
ˆ rb
ˆ vb
dv
1
1
m
v d v = mvb2 − mva2
Wa→b =
dr = m
dt
2
2
ra
va
Energía cinética : La función escalar Ec =
1
m v 2 se denomina Energía cinética y se expresa en julios.
2
Su relación con el trabajo realizado por la fuerza es :
Wa→b = Ec (b) − Ec (a) = ∆Ec
(9)
La ecuación 9 indica que el trabajo realizado por la fuerza entre dos puntos equivale al aumento de
energía cinética entre esos dos puntos.
Resumen de Física, 2º de Bachillerato (parte IIa) - [email protected]
pg. 3 de 9
2.2.
FUERZA
CONSERVATIVA .
ENERGÍA
POTENCIAL
Una fuerza conservativa (tal como la fuerza gravitatoria o la fuerza elástica) es aquella que tiene
una energía potencial asociada. Dicha energía potencial es una función escalar de la posición, que
depende solo de las coordenadas de dicha posición. Por ejemplo, en el caso de la fuerza elástica,
E P = 12 k x 2 , siendo x la distancia al punto de equilibrio. Se considera que la disminución de la energía
potencial entre dos puntos equivale al trabajo realizado por la fuerza entre esos dos puntos :
Wa→b = −∆E p = E p (a) − E p (b)
(10)
La relación entre fuerza y energía potencial puede expresarse, recordando la ecuación 7,como :
d E p = − F~.d~r ⇒ F~ = −
d Ep
(11)
d~r
Como consecuencias de la definición de fuerza conservativa, se obtienen dos propiedades equivalentes :
• El trabajo realizado por una fuerza conservativa entre dos puntos no depende de la trayectoria
N
II
I
, siendo I, I I, ..., N las distintas
= ... = Wa→b
= Wa→b
seguida para ir de un punto al otro : Wa→b
trayectorias.
• El trabajo realizado por una fuerza conservativa es nulo a lo largo de cualquier trayectoria
cerrada : Wa→n→a = 0
En resumen : el trabajo de una fuerza conservativa no depende de la trayectoria, solo de las posiciones
inicial y final
2.3.
ENERGÍA
MECÁNICA .
CONSERVACIÓN
DE LA
ENERGÍA
La energía mecánica es la suma de energía potencial y energía cinética : Em = E p + Ec
(J)
Combinando las ecuaciones 9 y 10 se obtiene : −∆E p = ∆Ec ⇒ ∆E p + ∆Ec = 0 ⇒ ∆Em = 0 , lo que
significa que la energía mecánica se mantiene constante, resultado que también puede expresarse
como :
Ec (a) + E p (a) = Ec (b) + E p (b) = ... = c t e
(12)
Los resultados anteriores son válidos si solo actúan fuerzas conservativas. Si además intervienen
fuerzas no conservativas, la variación de la energía mecánica coincidirá con el trabajo realizado por
esas fuerzas : ∆Em = WN C , con lo que la ecuación 12 quedará expresada en la forma :
Ec (a) + E p (a) + WN C = Ec (b) + E p (b)
(13)
Si las fuerzas no conservativas realizan un trabajo negativo, tal como ocurre con las fuerzas de rozamiento, la energía mecánica disminuirá (y aumentará en el caso contrario, como ocurre al lanzar
un cohete propulsor)
3.
3.1.
GRAVITACIÓN II - CAMPO GRAVITATORIO
CAMPO
GRAVITATORIO
Toda masa M interacciona con otras masas (según la LGU) a través de su campo gravitatorio (o región
del espacio en la que atrae a otras masas con una fuerza dada por la LGU). El campo gravitatorio
de M queda definido en cada punto del espacio que rodea a M por el vector intensidad de campo
gravitatorio : g~ =
F~g r avi t at or ia
m prue ba
, cuyo módulo es la fuerza por unidad de masa sobre una determinada
masa de prueba colocada en ese punto. La intensidad de campo gravitatorio se mide en N /k g que
es equivalente a m/s2 , por lo que también se denomina a g~ en un punto como aceleración de la
gravedad en ese punto. Es frecuente referirse a g~ como el campo gravitatorio (obviando el término
intensidad)
El campo gravitatorio de una masa puntual M se obtiene a partir de la definición de g~ y de la LGU :
Resumen de Física, 2º de Bachillerato (parte IIa) - [email protected]
pg. 4 de 9
g~ =
F~g r avi t at or ia
m prue ba
= −G
M
r2
~u r (N /k g ≡ m/s2 )
(14)
De acuerdo con la ecuación 14, la Fuerza gravitatoria puede expresarse como : F~ = m~
g
El campo originado por una distribución de masas en un punto se obtiene sumando los campos
individuales de cada una de las masas en dicho punto, lo que se conoce como PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN : g~T = g~1 + g~2 + ... + g~n
Si la masa M es una esfera homogénea de radio R , el campo en el exterior (re x t ≥ R) equivale al
de una masa puntual M que estuviera situada en el centro de la esfera. En los puntos del interior
(rint ≤ R) el campo solo depende de la masa interior Mint de la esfera desde rint hasta el centro.
Puesto que la densidad es constante, se tiene :
M
4
πR3
3
=
Mint
4
3
πrint
3
⇒ Mint = M
3
rint
R3
Por ejemplo, el campo gravitatorio terrestre, considerando la Tierra como una esfera homogénea, y
aplicando lo explicado en el párrafo anterior es ( h es la altura sobre la superficie de la Tierra ) :

MT
MT

 re x t ≥ R T g e x t = G re2x t = G (R T +h)2

r
int
≤ RT
g int = G
MT
R3T
rint
VARIACIÓN DE g ( 0 < r < 3Rt )
10
g(r) (N/Kg)
8
6
4
2
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
Distancia al centro de la Tierra (en unidades de Rt) : r/Rt
Figura 1: Variación del campo gravitatorio con la distancia al centro de la Tierra
3.2.
ENERGÍA
POTENCIAL GRAVITATORIA .
ENERGÍA
MECÁNICA
La Energía potencial de un sistema de dos masas puntuales es, a partir de las ecuaciones 1 y 11 :
ˆ
Ep = −
F~.d~r = −
ˆ
ˆ
F.d r.cos(π) = G M m
1
r2
d r = −G
Mm
r
+ C te
(15)
con C t e = 0 cuando se toma el origen de E p en el infinito, es decir : E p → 0 cuando r → ∞
La Energía mecánica de la masa m que se mueve en el campo de M (fija) es :
1
Mm
Em = mv 2 − G
2
r
La Energía mecánica de un cuerpo sometido solo a la acción de la gravedad, es constante.
Resumen de Física, 2º de Bachillerato (parte IIa) - [email protected]
(16)
pg. 5 de 9
3.3.
VELOCIDAD
DE LANZAMIENTO.
VELOCIDAD
DE ESCAPE
Si se desea que una masa m alcance una altura h sobre la superficie de otra masa M, esférica de radio
R que se considera fija, deberá darse a m una velocidad inicial en la superficie que puede calcularse
a partir de la ecuación 16 :
1
2
2
−
mvsup
GMm
R
=−
GMm
R+h
2
= 2G M (
⇒ vsup
1
R
−
1
R+h
)
La velocidad de escape es la velocidad inicial que debe tener una masa m para escapar del campo
gravitatorio de otra masa M , que se considera fija. Se obtiene igualando a cero la Energía mecánica (la masa m debe alejarse infinitamente de M y su energía cinética disminuir hasta anularse)
Suponiendo que M es una esfera de radio R y que m se lanza desde la superficie de M , se obtiene :
GM m
1 2
−
=0
Em = mvescape
2
R
v
t2 G M
vescape =
R
(17)
(18)
La velocidad de escape no depende de la masa que se lanza (la energía de lanzamiento sí)
Suponiendo que se dejara la masa m anterior a una distancia infinita con velocidad nula, puede
deducirse del planteamiento anterior que llegaría a la superficie de la masa M justamente con una
velocidad igual que la de escape (lógicamente, de signo opuesto)
3.4.
SATÉLITES. ENERGÍA
3.4.1.
CONCEPTOS GENERALES
DE SATELIZACIÓN
Un satélite es un cuerpo capturado por el campo gravitatorio de otro que se considera fijo. El satélite
gira alrededor del cuerpo fijo en una órbita cerrada (elipse o circunferencia) según las Leyes de
Kepler y sometido a la fuerza gravitatoria, según la L.G.U.
El momento angular y la energía mecánica del satélite se conservan, por ser la fuerza gravitatoria
una fuerza central conservativa, tal como se expuso en los apartados anteriores.
La energía mecánica de un satélite es siempre negativa :
1
Mm
Em = mv 2 − G
<0
2
r
(19)
tanto en órbitas elípticas como en órbitas circulares : Em < 0 . En una órbita elíptica v y r varían con
el tiempo, manteniéndose constante la velocidad areolar (segunda Ley de Kepler)
Si la energía mecánica es igual o mayor que cero, la trayectoria será abierta y la masa m ya no será
un satélite de M, porque escapará del campo de ésta. La trayectoria será una parábola si Em = 0 o
una hipérbola, si Em > 0
3.4.2.
ÓRBITAS CIRCULARES
En las órbitas circulares el módulo de la velocidad orbital (vor b ) y la distancia al centro del cuerpo
fijo o radio de la órbita (ror b ) son constantes.
A veces se usa también la altura de la órbita sobre la superficie del cuerpo fijo (hor b = ror b − R)
donde R es el radio del cuerpo fijo que suponemos esférico.
La tercera Ley de Kepler se expresa en la forma dada en la ecuación 2 para órbitas circulares
La aceleración del satélite es solo aceleración normal o centrípeta y coincide con la intensidad del
campo gravitatorio en cualquier punto de la órbita circular :
M
M
−
→=−
→
a
g r = −G 2 u~r = −G
u~r
n
(R + hor b )2
ror b
Resumen de Física, 2º de Bachillerato (parte IIa) - [email protected]
(20)
pg. 6 de 9
De la segunda Ley de Newton y la ecuación 20 se obtiene la velocidad orbital para las órbitas circulares :
v
v
t GM t GM
vor b =
=
(21)
ror b
(R + hor b )
Combinando la ecuación 19 y la ecuación 21 se obtiene la energía mecánica para órbitas circulares
Em = −
1 GMm
=−
2 ror b
1
GMm
(22)
2 (R + hor b )
De las ecuaciones anteriores se deduce que la velocidad en las órbitas circulares disminuye al aumentar el radio de la órbita, mientras que la energía mecánica aumenta al aumentar radio.
3.4.3.
ENERGÍA DE SATELIZACIÓN. ENERGÍA DE CAMBIO DE ÓRBITA
En los párrafos siguientes se tomará como cuerpo fijo la Tierra con masa M T y radio R T
SATELIZACIÓN : Para colocar una masa m en órbita alrededor de la Tierra se necesita realizar un
trabajo externo al campo gravitatorio (tal como el que realiza un cohete propulsor) que aporte la
energía necesaria para que la masa m ascienda hasta la órbita y permanezca estable en dicha órbita.
Dicho trabajo se obtiene aplicando la ecuación 13 :
Em (super f icie) + We x t = Em (ór bi t a)
1
2
G MT m
mvr2ot −
We x t =
1
2
RT
1 2
G MT m
+ We x t = mvor
b−
2
ror b
2
2
m(vor
b − vr ot ) + G M T m(
1
RT
−
1
ror b
)
(23)
Se ha tenido en cuenta la energía cinética de la masa m debida a la rotación de la Tierra. Dicha
energía cinética es máxima para una masa situada en el ecuador y mínima en los polos.
Si suponemos ÓRBITAS CIRCULARES y además se desprecia la energía cinética de rotación en la superficie
de la Tierra, la ecuación 23 puede escribirse, recordando la 22 como :
We x t =
G MT m
RT
−
1 G MT m
2 ror b
= G M T m(
1
RT
−
1
2ror b
)
(24)
Puesto que el trabajo externo se aplica a la masa m en forma de energía cinética en el punto de
lanzamiento, la velocidad de lanzamiento puede calcularse haciendo :
v
t 2W
1
ex t
2
We x t = mvl anz ⇒ vl anz =
2
m
CAMBIO DE ÓRBITA : Para cambiar una masa m desde una órbita interna (órbita 1) hasta otra más
externa (órbita 2) se necesita realizar también un trabajo externo al campo gravitatorio que aporte
la energía necesaria para el cambio. Dicho trabajo se obtiene, para órbitas circulares, a partir de :
Em1 (ór bi t a1 ) + We x t = Em2 (ór bi t a2 )
−
1 G MT m
2 ror b1
+ We x t = −
We x t = G M T m(
1
2ror b1
1 G MT m
2 ror b2
−
1
2ror b2
)
Resumen de Física, 2º de Bachillerato (parte IIa) - [email protected]
pg. 7 de 9
4.
CAMPO ELÉCTRICO
4.1.
INTERACCIÓN
ELÉCTRICA .
LEY
DE
COULOMB
La Ley de Coulomb permite calcular la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, o fuerza
electrostática, de forma análoga a la LGU para la interacción gravitatoria entre dos masas
F~e = K
q1 q2
r2
~u r
(N )
(25)
donde para calcular la fuerza sobre una de las cargas, se toma el origen de ~r y de u
~ r en la otra carga.
La constante K que aparece en la Ley de Coulomb es la constante electrostática del medio en el que
se encuentran las cargas. Para el vacío (y aproximadamente en el aire) Ko ≈ 9 · 109 (N .m2 .C −2 ) ,
siendo C (culombio) la unidad de carga en el S.I.
A diferencia de la interacción gravitatoria, la fuerza electrostática puede ser de atracción o de repulsión, dependiendo de los signos de las cargas : atracción si son de distinto signo y repulsión si son
de igual signo.
La carga eléctrica está cuantizada, siendo la unidad fundamental de carga la carga absoluta del electrón :
e = 1, 6 · 10−19 C
La constante electrostática se expresa también en función de la permitividad del medio (ε) en la
forma
1
1
; Ko =
K=
≈ 9 · 109 (N .m2 .C −2 )
4πε
4πεo
4.2.
CAMPO
ELÉCTRICO
Toda carga Q interacciona con otras cargas (según la Ley de Coulomb) a través de su campo eléctrico
(o región del espacio en la que interacciona con otras cargas con una fuerza dada por la Ley de
Coulomb). El campo eléctrico de Q queda definido en cada punto del espacio que rodea a Q por el
F~
vector intensidad de campo eléctrico : E~ = e , cuyo módulo es la fuerza por unidad de carga sobre
q prue ba
una determinada carga de prueba positiva colocada en ese punto. La intensidad del campo eléctrico
se mide en N /C que NO es equivalente a m/s2 , siendo ésta una de las diferencias entre el campo
eléctrico y el gravitatorio.
El campo eléctrico de una carga puntual Q se obtiene a partir de la definición de E~ y de la Ley de
Coulomb :
E~ =
F~e
q prue ba
=K
Q
r2
~u r (N /C ≡ V /m)
(26)
De acuerdo con la ecuación 26, la Fuerza eléctrica puede expresarse como : F~e = q E~
Si la carga Q está distribuida en una esfera homogénea de radio R , el campo en el exterior (re x t ≥ R)
equivale al de una carga puntual Q que estuviera situada en el centro de la esfera. En los puntos del
interior (rint ≤ R) el campo solo depende de la carga interior Q int de la esfera desde rint hasta el
centro. Puesto que la densidad de carga es constante, se tiene :
Q
4
πR3
3
=
Q int
4
3
πrint
3
⇒ Q int = Q
3
rint
R3
Por lo tanto, el campo eléctrico originado por una esfera homogénea, varía de forma distinta en el
exterior y en el interior de la esfera, dependiendo además de si la esfera es hueca (carga homogénea
solo en la superficie) o maciza (carga homogénea en todo el volumen)

Ee x t = K rQ2

 re x t ≥ R T
ex t
rint ≤ R
Eint = 0 (esfera hueca)

r ≤ R
Eint = K RQ3 rint (esfera maciza)
int
T
T
Puede observarse la analogía con el campo gravitatorio de una esfera en la figura 1
Resumen de Física, 2º de Bachillerato (parte IIa) - [email protected]
pg. 8 de 9
4.3.
ENERGÍA
4.3.1.
POTENCIAL ELECTROSTÁTICA .
POTENCIAL.
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA. ENERGÍA MECÁNICA.
La fuerza electrostática es conservativa, por lo que admite una energía potencial asociada que puede
obtenerse a partir de ecuaciones análogas a las usadas para el campo gravitatorio, tal como se hizo
en el apartado 3.2
La Energía potencial de un sistema de dos cargas puntuales es :
Ep = K
Qq
(J)
r
cuando se toma el origen de E p en el infinito, es decir : E p → 0 cuando r → ∞
(27)
La Energía mecánica de la carga q que se mueve en el campo de Q (fija) es :
1
Qq
Em = Ec + E p = mv 2 + K
2
r
(28)
La Energía mecánica, si solo actúa la fuerza electrostática, es constante.
4.3.2.
POTENCIAL ELECTROSTÁTICO. DIFERENCIA DE POTENCIAL.
De forma análoga que en el campo eléctrico, puede definirse el potencial electrostático en un punto
del campo como la Energía potencial electrostática por unidad de carga que adquiere una carga de
prueba positiva colocada en ese punto. El potencial es un escalar y se mide en voltios (V ≡ J/C)
V=
Ep
q
(V ≡ J/C)
(29)
Por lo tanto, la energía potencial en un punto A del campo puede expresarse como : E pA = VA q
Si el campo eléctrico corresponde a una carga puntual fija Q (campo radial) el potencial puede
expresarse, a partir de las ecuaciones 27 y 29 como :
V =K
Q
(30)
r
La variación de energía potencial para una carga q al moverse entre dos puntos del campo de Q,
puede expresarse como :
∆E p = E p1 − E p0 = q(V1 − V0 ) = q∆V
(31)
donde ∆V es la diferencia de potencial entre esos dos puntos del campo
4.3.3.
MOVIMIENTO DE CARGAS EN EL CAMPO ELECTROSTÁTICO.
El trabajo realizado por el campo electrostático para mover una partícula de carga q y masa m entre
dos puntos del campo se puede expresar a partir de la variación de E p , o a partir de la variación de
Ec , mediante las ecuaciones:
W0→1 = −∆E p = E p0 − E p1 = q(V0 − V1 ) = −q∆V
1
1
W0→1 = ∆Ec = mv12 − mv02
2
2
(32)
(33)
En el campo electrostático la energía mecánica se conserva, luego :
Em0 = Em1 ⇒
1
2
mv02 + qV0 =
1
2
mv12 + qV1
(34)
SIGNO DEL TRABAJO : A partir de la ec 32 se deduce que :
• Si q e ∆V tienen distinto signo =⇒ W > 0 , la carga se mueve a favor del campo y su Ec aumenta
• Si q e ∆V tienen igual signo =⇒ W < 0 , la carga se moverá en contra del campo (si se realiza
sobre ella un trabajo externo que aporte la energía necesaria)
• Los casos anteriores se resumen en que las CARGAS POSITIVAS se mueven, por efecto del campo,
HACIA LOS POTENCIALES DECRECIENTES y las NEGATIVAS hacia los POTENCIALES CRECIENTES
Resumen de Física, 2º de Bachillerato (parte IIa) - [email protected]
pg. 9 de 9
ÍNDICE
1. Gravitación I : Leyes de Kepler y L.G.U.
1.1. Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Interacción gravitatoria. Ley de Gravitación Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Fuerzas centrales. Conservación del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2
2. Ampliación de mecánica : Trabajo y energía
2.1. Trabajo. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Fuerza conservativa. Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Energía mecánica. Conservación de la Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3
3. Gravitación II - Campo gravitatorio
3.1. Campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Energía potencial gravitatoria. Energía mecánica . . . . . . . .
3.3. Velocidad de lanzamiento. Velocidad de escape . . . . . . . . .
3.4. Satélites. Energía de satelización . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Órbitas circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3. Energía de satelización. Energía de cambio de órbita .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
4
5
5
5
5
6
4. Campo eléctrico
4.1. Interacción eléctrica. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . .
4.2. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Energía potencial electrostática. Potencial. . . . . . . . . . . .
4.3.1. Energía potencial electrostática. Energía mecánica. .
4.3.2. Potencial electrostático. Diferencia de potencial. . .
4.3.3. Movimiento de cargas en el campo electrostático. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
8
8
8
8
.
.
.
.
.
.
Resumen de Física, 2º de Bachillerato (parte IIa) - [email protected]