Búsqueda de puntos críticos y elaboración de gráficas de funciones

Búsqueda de puntos crı́ticos y elaboración de gráficas de funciones
de varias variables con Mathematica R
Jorge Garza
Universidad Autónoma Metropolitana.
División de Ciencias Básicas e Ingenierı́a. Departamento de Quı́mica.
San Rafael Atlixco 186. Col. Vicentina. Del. Iztapalapa. C.P. 09340. México, D. F.
Como es sabido Mathematica es un programa que
permite hacer múltiples operaciones y procedimientos de las matemáticas, uno de estos procedimientos es el de hacer gráficas de una o varias variables
con instrucciones sencillas. Por supuesto que el uso
de Mathematica no está restringido al uso solamente
de los matemáticos ya que puede ser usado en cualquier rama de las ciencias básicas, ingenierı́as, economı́a, etc. Como veremos a lo largo de este trabajo, con unas cuantas instrucciones de este programa podemos generar gráficas que pueden llegar a
ser un reto intentarlas hacer con papel y lápiz. Seguiremos la convención de muchos textos de Mathematica en donde el tipo de letra para las instrucciones de este software será en courier. En este trabajo decidimos usar Mathematica por varias razones:
Recibido: 14 de febrero 2007
Aceptado: 23 de abril 2007
Resumen
En este trabajo se presenta el uso del programa
computacional Mathematica para analizar funciones que dependen de varias variables. En particular, se presenta la manera de elaborar gráficas de estas funciones y las gráficas que resultan de la búsqueda de sus puntos crı́ticos cuando se imponen restricciones. Se presenta también el uso de la técnica de
multiplicadores de Lagrange y su fácil implementación con este programa.
I. Introducción
Algunas asignaturas de ciencias básicas e ingenierı́as
involucran temas donde hay funciones de varias variables [1,2]. En muchas ocasiones no es sencillo elaborar y visualizar las gráficas de dichas funciones
y, mucho menos hacer un análisis de la búsqueda
de sus máximos y mı́nimos cuando hay restricciones impuestas por algún problema a resolver. Evidentemente la búsqueda de máximos y mı́nimos es
un tema que se encuentra en muchas aplicaciones
de las ciencias básicas e ingenierı́as, basta mencionar la búsqueda de pozos petroleros o la búsqueda de la estructura óptima de una proteı́na como
ejemplos de actualidad en donde se presenta este tema. La intención de este trabajo es hacer uso de algunos comandos de Mathematica v5.2 para elaborar gráficas de funciones que dependen de dos variables y también gráficas en donde se intersectan
las mencionadas funciones con funciones que representan restricciones en la búsqueda de puntos crı́ticos: máximos, mı́nimos o puntos silla. Ası́ como el
de obtener los puntos crı́ticos cuando se imponen o
no restricciones. De esta manera se pretende contribuir a tener una herramienta adicional para la exposición de estos temas en el salón de clase.
1. Es un programa que puede realizar gráficas en
tres dimensiones de manera sencilla.
2. Puede trabajar de manera algebraica.
3. Se encuentra en desarrollo permanente.
4. La Universidad Autónoma Metropolitana ofrece cursos donde se usa este programa y lo pone a
disposición de cualquier miembro de la comunidad universitaria para usarlo dentro de sus instalaciones.
Sin embargo, es importante mencionar que existen
programas que hacen cosas similares a Mathematica
y que pueden ser usados para desarrollar el tema que
aquı́ se presenta.
II. Definición de funciones de dos variables y
sus gráficas
Lo primero que haremos será definir en Mathematica
una función de dos variables, por ejemplo:
In[1]:= f[x ,y ]=x∧ 2(x∧ 2-1)+y∧ 2(y∧ 2-1);
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1
0.5
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-0.2
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-0.4
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-0.5
-0.5
0
-0.5
0.5
1 -1
Figura 1
-1
-1
Recordemos que para ejecutar una instrucción en
Mathematica debemos de accionar la tecla Intro, en
teclados extendidos, o simultáneamente las teclas
Shift y Enter en teclados limitados. Cualquier duda sobre el uso de Mathematica puede ser disipada al consultar el libro que se encuentra incluido en
la ayuda que proporciona el programa, en donde se
puede encontrar una introducción básica o avanzada del paquete computacional.
Para poder ver la gráfica asociada a esta función
usaremos la instrucción Plot3D en el rango de y
In[2]:= g1=Plot3D[f[x,y],{x,-1,1},
{y,-1,1}];
Otra forma de graficar a la función f (x, y) se puede
obtener con el comando ContourPlot para poder
ver las curvas de nivel de esta función
In[3]:= ContourPlot[f[x,y],{x,-1,1},
{y,-1,1}]
En esta última gráfica las zonas claras representan
los valores más grandes de la función y las zonas
obscuras los valores más pequeños. Es claro de estas
dos gráficas que nuestra función de ejemplo exhibe
un máximo en (0,0) y cuatro pozos alrededor de éste.
III. Búsqueda de puntos crı́ticos en funciones de dos variables
Para poder caraterizar los puntos crı́ticos de la función f (x, y) es importante recordar los criterios de
máximos y mı́nimos de una función que depende de
dos variables:
En un punto crı́tico
∂f (x, y)
∂f (x, y)
=
=0
∂x
∂y
-0.5
0
0.5
1
Figura 2
Para poder saber si un punto crı́tico se encuentra
en un máximo, mı́nimo o punto silla es necesario
considerar los criterios de la Tabla 1.
Apliquemos estos criterios a nuestra función. Lo primero que haremos será encontrar los puntos crı́ticos,
para esto tenemos que encontrar las raı́ces de las funciones que resultan de derivar a la función con respecto a x y con respecto y. Para esto usaremos las
instrucciones Solve[ ] y D[ ].
In[4]:= puntos = Solve[{D[f[x,y],x]==0,
D[f[x,y],y]==0},{x,y}]
n
n
o
Out[4]= {x → 0, y → 0}, x → 0, y → − √12 ,
n
o n
o
x → 0, y → √12 , x → − √12 , y → − √12 ,
o n
o
n
x → − √12 , y → √12 , x → √12 , y → − √12 ,
n
o n
o
x → √12 , y → √12 , y → 0, x → − √12 ,
n
oo
y → 0, x → √12
Del resultado anterior vemos que la función exhibe
9 puntos crı́ticos ya que encontramos nueve raı́ces.
Ahora evaluemos las segundas derivadas en cada uno
de estos puntos crı́ticos. Ya que las coordenadas de
los puntos crı́ticos se han guardado en el arreglo puntos podemos hacer uso de ellos. Si deseamos la coordenada x del cuarto punto crı́tico tenemos que usar
simplemente la instrucción:
In[5]:= puntos[[4, 1]]
Búsqueda de puntos crı́ticos y elaboración. . . Jorge Garza
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Tabla 1. Criterios para determinar puntos crı́ticos en funciones de dos variables.
Punto
crı́tico
Máximo
Mı́nimo
Punto silla
∂ 2 f (x,y)
∂x2
∂ 2 f (x,y)
∂y 2
<0
>0
< 0 ó > 0
<0
>0
> 0 ó < 0
Out[5]= x → − √12
delta =
∂ 2 f (x,y) ∂ 2 f (x,y)
∂x2
∂y 2
−
∂ 2 f (x,y)
∂x∂y
2
>0
>0
<0
Tabla 2. Puntos crı́ticos de la función
y si queremos solamente el valor de x es necesario
hacer uso del operador de reemplazo /. [3,4].
In[6]:= x /. puntos[[4,1]]
Out[6]= − √12
2
Entonces para evaluar ∂ f∂x(x,y)
en las coordenadas
2
del cuarto punto crı́tico tendremos que usar la instrucción
In[7]:= D[f[x,y],{x,2}]/.x → x /.
puntos [[4,1]] /.y→ y/.puntos[[4,2]]
Out[7]= 4
Con este procedimiento también podemos obtener el
valor de delta
In[8]:= D[f[x,y],{x,2}] D[f[x,y],{y,2}](D[f[x,y],x,y])∧ 2/.x→x/.
puntos[[4,1]]/.y→ y/.puntos[[4,2]]
Out[8]= 16
en este caso se debe de escribir toda la instrucción
en una lı́nea.
Ası́ como hicimos el análisis para el cuarto punto
crı́tico, se puede hacer para cualquier otro. A continuación se propone el mismo procedimiento definiendo la variable cont para cambiarla dependiendo del punto crı́tico a analizar:
In[9]:= cont=2;
segenx = D[f[x,y],{x,2}]/.x→ x/.
puntos[[cont,1]]/.y→ y/.
puntos[[cont,2]];
segeny= D[f[x,y],{y,2}]/.x→ x/.
puntos[[cont,1]]/.y→ y/.
puntos[[cont,2]];
cruzada = D[f[x,y],x,y]/.x→ x/.
puntos[[cont, 1]]/.y→ y/.
puntos[[cont,2]];
delta = segenx*segeny-(cruzada)∧ 2;
Print["Punto crı́tico ", cont];
Print["Segunda derivada en x = ",
f (x, y) = x2 (x2 − 1) + y 2 (y 2 − 1)
Punto
Crı́tico
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∂ 2 f (x,y)
∂x2
∂ 2 f (x,y)
∂y 2
delta
−2
−2
−2
4
4
4
4
4
4
−2
4
4
4
4
4
4
−2
−2
4
−8
−8
16
16
16
16
−8
−8
segenx];
Print["Segunda derivada en y = ",
segeny];
Print["delta
= ", delta ];
Out[9]= Punto crı́tico 2
Segunda derivada en x = −2
Segunda derivada en y = 4
delta
=−8
Este procedimiento fue aplicado para el punto crı́tico
2 pero basta cambiar el valor de cont para obtener
la Tabla 2.
De esta tabla podemos concluir que existen 4 mı́nimos, 1 máximo y 4 puntos de silla. Lo que hemos
discutido para nuestra función de ejemplo se puede aplicar a cualquier otra función de varias variables. Se pueden encontrar varios ejemplos de este tipo en la Referencia 4.
IV. Búsqueda de puntos crı́ticos
con restricciones
En muchas ocasiones es necesario buscar los puntos crı́ticos de nuestra función de estudio imponiendo restricciones que demanda el problema en sı́. Un
problema tı́pico es: Encuentre el volumen máximo
de una caja sin tapa cuya área de la superficie sea
de 40 cm2 [2]. Sabemos que el volumen de la caja es
V = xyz, donde x representa el largo, y el ancho y
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0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
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0
1
0.5
-0.2
1
-0.4
0.5
0
-1
0
-0.5
-0.5
-0.5
0
-0.5
0
0.5
0.5
1 -1
1 -1
Figura 4
Figura 3
z la altura. Además, el área de la superficie se obtendrá de:
A = xy + 2xz + 2yz
Evidentemente tenemos que maximizar a V pero debemos tomar en cuenta que A =constante. La solución de este problema la dejaremos para el final de esta sección y haremos un análisis similar para nuestra función f (x, y).
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
1
0.5
0
-0.5
IVa. Graficando una restricción y
la función f (x, y)
Geométricamente se puede plantear la restricción como la proyección de su gráfica sobre la superficie
que describe la función f (x, y). Vamos a suponer que
queremos encontrar los puntos crı́ticos de f (x, y) sobre la curva que describe la función x2 + y 2 = 1. Lo
primero que vamos a hacer es la gráfica de la función
x2 + y 2 = 1 en tres dimensiones, para poder proyectarla después sobre la función f (x, y). Para esto vamos a usar la instrucción ParametricPlot3D, lo
que sı́ debemos tomar en cuenta es que en coordenadas polares la ecuación de una circunferencia puede ser escrita como cos2 t + sen2 t = 1, con t variando de 0 a 2π:
In[10]:= x[t ] = Cos[t];
y[t ]=Sin[t];
g2 = ParametricPlot3D[{x[t],y[t],0},
{t, 0, 2Pi}, PlotRange→{-1,0}];
En este caso hemos hecho la gráfica de tal manera
que la circunferencia quede ubicada en z = 0. La
búsqueda de puntos crı́ticos en este caso es similar a
ir siguiendo la trayectoria de la circunferencia pero
sobre la superficie que describe f (x, y).
-0.5
0
0.5
1 -1
Figura 5
Podemos sobreponer ambas gráficas con la instrucción Show
In[11]:= Show[g1, g2];
Lo que pretendemos hacer con la búsqueda de estos
puntos crı́ticos es similar a tratar de caminar sobre
la circunferencia y observar los cambios en f (x, y).
Otra manera de hacer el análisis es proyectar la circunferencia a lo largo del eje z y observar la intersección de esta gráfica con la función f (x, y). Para hacer esto usamos nuevamente ParametricPlot3D
In[12]:= g3 = ParametricPlot3D[{x[t],
y[t],v}, {t,0,2Pi},{v,-1,0},
PlotRange→{-1,0}]
Finalmente podemos sobreponer ambas gráficas
In[13]:= Show[g1,g3]
Búsqueda de puntos crı́ticos y elaboración. . . Jorge Garza
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parámetro t para ser enfáticos, pero no era necesario ya que se habı́an definido previamente.
0
-0.25
-0.5
-0.75
-1
-1
1
0.5
0
-0.5
-0.5
0
0.5
1 -1
Figura 6
Entonces la función que debemos de analizar es aquella que resulta de la intersección entre la proyección
de la circunferencia sobre f (x, y).
Por supuesto que hemos usado una forma de visualizar la intersección, sin embargo existe una forma mas
sencilla de hacerlo. Simplemente tenemos que poner
la dependencia explı́cita de y en x o de ambas variables en términos de un parámetro, en nuestro caso ese parámetro es t, y luego sustituir en f (x, y), lo
cual es muy sencillo en Mathematica
In[14]:= x[t ] = Cos[t];
y[t ] = Sin[t];
ParametricPlot3D[{x[t],y[t],f[x[t],
y[t]]},{t,0,2Pi},PlotRange→{-1,0}];
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
1
0.5
0
-0.5
-0.5
0
0.5
1 -1
Figura 7
Observando la Figura 7 podemos ver que existen 8
puntos crı́ticos: 4 máximos y 4 mı́nimos. En este caso definimos nuevamente a x y a y en términos del
IVb. La técnica de los multiplicadores
de Lagrange
Podemos trabajar con la ecuación que resulta de sustituir x(t) y y(t) en la función f (x, y) y luego encontrar los puntos crı́ticos. Sin embargo, recordemos
que la técnica de multiplicadores de Lagrange evita hacer este procedimineto ya que en muchas ocasiones no es fácil escribir a la función f (x, y) en términos de un parámetro. La técnica de multiplicadores de Lagrange está basada en los siguientes pasos:
1. Escribir una nueva función que combine a f (x, y) y a la restricción, o restricciones, que imponga el problema, de la siguiente manera
g(x, y) = f (x, y) − λ(x2 + y 2 − 1)
El parámetro λ es conocido como multiplicador
de Lagrange y tendremos tantos multiplicadores
como restricciones imponga el problema.
2. Derivar a g(x, y) con respecto a x y a y.
3. Resolver las ecuaciones simultáneas que resultan de igualar las primeras derivadas a cero,
además de tomar en cuenta la restricción.
Apliquemos estos pasos a nuestro problema.
1. Definición de g(x, y)
In[15]:= g[x ,y ] =f[x,y]-lambda*
(x∧ 2+y∧ 2-1);
2. Obtención de las primeras derivadas
In[16]:= dgx = D[g[x,y],x];
dgy = D[g[x,y],y];
3. Solución de las ecuaciones simultáneas, donde
las primeras derivadas son igualadas a cero y la
restricción es tomada en cuenta explı́citamente
In[17]:= otros= Solve[{dgx==0,dgy==0,
x∧ 2+y∧ 2==1},{x,y,lambda}]
o
nn
Out[16]=
lambda → 0, x → − √12 , y → − √12 ,
n
o
lambda → 0, x → − √12 , y → √12 ,
n
o
lambda → 0, x → √12 , y → − √12 ,
n
o
lambda → 0, x → √12 , y → √12 ,
{lambda → 1, x → 0, y → −1},
{lambda → 1, x → 0, y → 1},
{lambda → 1, y → 0, x → −1},
{lambda → 1, y → 0, x → 1}}
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El resultado concuerda con lo que observamos en
la Figura 7 ya que hemos encontrado 8 puntos crı́ticos que pueden ser caracterizados como lo hemos discutido con anterioridad.
Para terminar resolvamos el problema de maximizar
el volumen de la caja siguiendo los pasos anteriores
In[17]:= vol[x ,y ,z ] = x*y*z;
sup[x ,y ,z ] = x*y+ 2*x*z + 2*y*z;
aux[x ,y ,z ] = vol[x,y,z]lambda(sup[x,y,z]-40);
dvolx = D[aux[x,y,z],x];
dvoly = D[aux[x,y,z],y];
dvolz = D[aux[x,y,z],z];
resul = Solve[{dvolx==0,dvoly==0,
dvolz==0, sup [x,y,z]==40},
{x,y,z,lambda }]
Out[17]=
q
q
n
5
,
lambda
→
−
{x → −2 10
3
6,
q
q
y → −2 10
, z → − 10
3 },
q 3
q
5
{x → 2 10
,
lambda
→
,
q
q 3
o 6
10
y → 2 10
3 ,z →
3 }
El conjunto de raı́ces que debemos usar es aquél que
genera x, y y z positivos ya que fı́sicamente es el que
tiene sentido.
V. Conclusiones
En este trabajo se muestra el uso de algunas instrucciones de Mathematica para visualizar funciones de
varias variables, las cuales en muchas ocasiones pueden ser dı́ficiles de generar con papel y lápiz para muchos estudiantes del primer año de licenciaturas en ciencias básicas o ingenierı́as. Además se
muestra un procedimiento para hacer uso de la técnica de los multiplicadores de Lagrange.
La cantidad de problemas del cálculo diferencial de
varias variables que se pueden abordar con este software queda a la imaginación de profesores y estudiantes ya que el número de instrucciones que se deben de usar son reducidas.
Agradecimientos
Agradezco a la Dra. Rubicelia Vargas sus comentarios sobre el manuscrito para que tuviera una presentación adecuada hacia los lectores de la revista
CONTACTOS.
Bibliografı́a
1. Kaplan, W. Advanced Calculus. Addison Wesley, 5th Edition. USA, 2002.
ContactoS 64, 55–60 (2007)
2. Haasser, N. B.; Lasalle, J. P.; Sullivan, J. A.
Análisis Matemático 2. Editorial Trillas. México, 1985.
3. Wellin, P.; Gaylord, R.; Kamin, S. An Introduction to Programming with Mathematica. Cambridge University Press, United Kingdom, 2005.
4. Don, E. Mathematica. Schaum’s Outlines Series. McGraw Hill. USA, 2001.
cs