Miscellaneous Integrals (Answers)

Miscellaneous Integrals (Answers)
Instructions: For each of the following, you should be able to perform each of the integrations and
differentiate the result to get back to the original integrand without any errors.
√
1
√ dx = 2 tan−1 ( x) + C
1.
(1 + x) x
x
x
x x sec2 x
dx = − ln tan
− 1 − ln 1 + tan
+ ln tan2
− 1 − 2 tan
+C
2.
1 + tan x
2
2
2
2
3.
sin x sec x dx = − ln(cos x) + C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
csc x cot x
dx = − tan−1 (cscx) + C
1 + csc2 x
tan x
1
dx = sec2 x + C
cos2 x
2
csc4 x dx = −
cosx
2 cos x
+C
−
3 sin x
3 sin3 x
x tan2 x dx = −
1
x2
+ x tan x − ln(1 + tan2 x) + C
2
2
x3
1
x
x2
1
cos x sin x +
+ x cos2 x − cos x sin x − + C
2
6
2
4
4
2
x5 2 − x3 dx = − (2 − x3 )(3x3 + 4) 2 − x3 + C
45
x
1
√
+C
dx = sinh−1
2
x2 + 4
x
x2
x
25
√
sinh−1
dx =
25 + x2 −
+C
2
2
5
25 + x2
1
1
2
2
−1
sin x + C
(cos x) 4 − sin x dx = sin x 4 − sin x + 2 sin
2
2
2x − 1
1
2
−1
√
√
dx
=
tan
+C
x2 − x + 1
3
3
2
2x + 1 2
3
1
x2 + x + 1 dx =
x + x + 1 + sinh−1 √
+C
x+
4
8
2
3
√
5
29
103 √
5x + 31
2
−1
dx = ln(3x − 4x + 11) +
(6x − 4) + C
29 tan
3x2 − 4x + 11
6
87
58
x2 cos2 x dx =
x3
x4 + 1
dx
=
− x + 2 tan−1 x + C
x2 + 1
3
√
2 x4 + x7 (1 + x3 )
x4 + x7 dx =
+C
17.
9x2
√
√
√
x
18.
dx = 2 x − 2 tan−1 ( x) + C
1+x
sin x
cos x
19.
dx = sin−1
+C
2
4 − sin2 x
16.
1
20.
21.
cos 2x
dx = 2 sin x − ln(sec x + tan x) + C
cos x
tan x
dx = − ln(ln(cos x)) + C
ln(cos x)
√
22.
x7
x4 + 2 dx = −
1 − x4 + C
6
1 − x4
ln(1 + x) dx = (x + 1)(ln(x + 1) − 1) + C
23.
x2
1 2
sec−1 x −
x −1+C
2
2
x
x 2
9
+C
x2 + 9 dx =
x + 9 + sinh−1
25.
2
2
3
x
x
x2
√
+C
dx = −
4 − x2 + 2 sin−1
26.
2
2
4 − x2
1
1
27.
2x − x2 dx = (x − 1) 2x − x2 + sin−1 (x − 1) + C
2
2
4x − 2
dx = 2 ln x + ln(x − 1) − 3 ln(x + 1) + C
28.
x3 − x
√
x3
x
x4
−1
√
dx =
+ 2x − 2 2 tanh
+C
29.
x2 − 2
3
2
sec x tan x
dx = ln(sec x) + ln(x − 1) − 3 ln(x + 1) + C
30.
sec x + sec2 x
1
x+2
x
− tan−1 (x + 1) + C
dx = −
31.
(x2 + 2x + 2)2
2(x2 + 2x + 2 2
x1/3
6
12
32.
dx = x5/6 − x7/12 + 3x1/3 − 12x1/12 + 4 ln(1 + x1/12 ) − 2 ln(x1/6 − x1/12 + 1) +
1/2
1/4
5
x + x
7
√
1
−1
1/12
√ (2x
4 3 tan
− 1) + C
3
1
1
dx = tan x + C
33.
1 + cos 2x
2
sec x
34.
dx = ln(csc x − cot x) + C
tan x
3 − 5 cos2 x
35.
sec3 x tan3 x dx =
+C
15 cos5 x
1
x3
x2
tan−1 x −
+ ln(x2 + 1) + C
36.
x2 tan−1 x dx =
3
6
6
2
x
3
3
3x2
37.
x(ln x)3 dx =
ln3 x − x2 ln2 (x) + x2 ln x −
+C
2
4
4
8
1
1
√
dx = − tanh−1 √
+C
38.
x 1 + x2
x2 + 1
ex 1
39.
ex 1 + e2x dx =
1 + e2x + sinh−1 (ex ) + C
2
2
24.
x sec−1 x dx =
2
x
x
+C
dx = − 4x − x2 + 2 sin−1 −1 +
2
4x − x2
√
3
1
1
1 x2 − 9
√
√
41.
arctan
−
dx =
+C
18
x2
54
x3 x2 − 9
x2 − 9
x
1
1
−16
−15
42.
dx =
−
+C
(7 x + 1)
(7 x + 1)
(7x + 1)17
784
735
4x2 + x + 1
1
43.
dx = ln x + tan−1 (2x) + C
4x3 + x
2
4x3 − x + 1
2
1
4
2x − 1
2
−1
√
44.
dx = 4x − ln(x + 1) + ln(x − x + 1) − √ tan
+C
x3 + 1
3
2
3
3
1
1
1
45.
tan2 x sec x dx = sin x tan2 x + sin x − ln(sec x + tan x) + C
2
2
2
2
x + 2x + 2
−1
46.
dx =
+ ln(x + 1) + C
3
(x + 1)
2(x + 1)2
4
x + 2x + 2
2
47.
dx = − 3 + ln(x + 1) + C
x5 + x4
3x
8x2 − 4x + 7
48.
dx = 2 ln(4x + 1) − tan−1 x + C
(x2 + 1)(4x + 1)
3x5 − x4 + 2x3 − 12x2 − 2x + 1
1
2
49.
+ ln(x − 1) + ln(x2 + x + 1) − 2
+C
dx =
(x3 − 1)2
x−1
x +x+1
2
1
x
x
−1
dx = tan
+1 +C
50.
x4 + 4x2 + 8
4
2
51. (ln x)6 dx = x(ln x)6 − 6x(ln x)5 + 30x(ln x)4 − 120x(ln x)3 + 360x(ln x)2 − 720x ln x + 720x + C
√
40.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
5/2
(1 + x2/3 )3/2
3
2/3
1
+
x
dx
=
+C
5
x1/3
(arcsin x)2
1
√
dx = (sin−1 x)3 + C
3
1 − x2
−2
1
6
dx = √ + 1/6 + 6 tan−1 (x1/6 ) + C
x x
x3/2 (1 + x1/3 )
tan3 x dx =
1
1
tan2 x − ln(1 + tan2 x) + C
2
2
1
1
1
1
cos3 x sin x +
cos x sin x + x + C
sin2 x cos4 x dx = − sin x cos5 x +
6
24
16
16
2
2
xex
1
dx = tan−1 (ex ) + C
2
1 + e2x2
√
cos3 x
2
√
dx = − (sin x)5/2 + 2 sin x + C
5
sin x
2
2
1
x3 e−x dx = − e−x (x2 + 1) + C
2
√
√
√
√
sin x dx = 2 sin( x) − 2 x cos( x) + C
3
1
+C
1 − x2
x
x
1
1 − x2 + sin−1 x + C
62.
x2 1 − x2 dx = − (1 − x2 )3/2 +
4
8
8
x 2
9 x2 − 9 dx =
x − 9 − ln x + x2 − 9 + C
63.
2
2
1
x − 1
1
64.
x 2x − x2 dx = − (2x − x2 )3/2 +
2x − x2 + sin−1 (x − 1) + C
2
2
2
5
1
x−2
dx =
+ ln(1 + 2x) + C
65.
4x2 + 4x + 1
4(1 + 2x) 4
2x2 − 5x − 1
66.
dx = 2 ln(x − 1) − ln(x − 2) + ln(x + 1) + C
x3 − 2x2 − x + 2
e2x
1
67.
dx = ln(e2x − 1) + C
2x
e −1
2
cos x
68.
dx = − ln(−1 + sin x) + ln(−2 + sin x) + C
2
sin x − 3 sin x + 2
5
3
2x3 + 3x2 + 4
+ 2 ln(x + 1) + C
dx = −
+
69.
4
3
(x + 1)
3(x + 1)
x+1
sec2 x
70.
dx = tan−1 (1 + tan x) + C
2
tan x + 2 tan x + 2
3
1
1
x + x2 + 2x + 1
dx = −
+ ln(x2 + 1) + tan−1 x + C
71.
x4 + 2x2 + 1
2(x2 + 1) 2
1
1
72.
sin x cos 3x dx = − cos(4x) + cos(2x) + C
8
4
2
(3x6 − x3 − 2) x3 − 1 + C
73.
x5 x3 − 1 dx =
45
74.
ln(x2 + 2x) dx = x ln(x2 + 2x) − 2x + 2 ln(x + 2) + C
61.
arcsin x
sin−1 x
dx = −
− tanh−1
2
x
x
√
75.
76.
√
2
1 + sin x
dx = (1 + sin x)3/2 + C
sec x
3
x2/3 (1
1
dx = 3 tan−1 (x1/3 ) + C
+ x2/3 )
1
sin x
dx = ln(sec x + tan x) + C
sin 2x
2
x
√
√
78.
1 + cos x dx = 2 2 sin
+C
2
√
√
2(−1 + sin x) 1 + sin x
+C
1 + sin x dx =
79.
cos x
x
1 x
sec2 x
1 2 x
2 x
80.
dx
=
−
ln
tan
+
2
tan
−
1
+
ln
tan
−
2
tan
−
1
+C
2
2
2
2
2
2
1 − tan2 x
√
1 + 2x
1
√
81.
ln(x2 + x + 1) dx = x ln(x2 + x + 1) − 2x + ln(x2 + x + 1) + 3 tan−1
+C
2
3
77.
4
82.
ex sin−1 (ex ) dx = ex sin−1 (ex ) +
1 − e2x + C
1
tan−1 x
arctan x
+ ln x − ln(x2 + 1) + C
dx
=
−
2
x
x
2
25 x 2
x2
√
ln x + x2 − 25 + C
x − 25 +
dx =
84.
2
2
x2 − 25
1
x3
1
+ ln(x2 + 1) + C
85.
dx =
2
(x + 1)2
2(x2 + 1) 2
√
6x − x2
1
√
+C
dx = −
86.
2
3x
x 6x − x
3x + 2
x−6
87.
dx = √
+C
2
3/2
(x + 4)
2 x2 + 4
2
4
88.
x3/2 ln x dx = x5/2 ln x − x5/2 + C
5
25
1
1 + sin2 x
89.
dx = (1 + sin2 x)3/2 + C
sec x csc x
3
√
√
e sin x
√
dx = 2e sin x + C
90.
sec x sin x
1
91.
xex sin x dx = − ex (x cos x − cos x − x sin x) + C
2
3/2
3/2
2
92.
x2 ex dx = (x3/2 − 1)ex + C
3
1
1
tan−1 x
1
arctan x
− ln(x − 1) + ln(x2 + 1) + C
dx
=
−
−
93.
3
2
(x − 1)
2(x − 1)
4(x − 1) 4
8
√
3 √
x
94.
ln(1 + x) dx = (x − 1) ln(1 + sqrtx) + + x − + C
2
2
2x + 3
2
11 −1 3x − 1
√
sin
95.
dx = −
3 + 6x − 9x2 +
+C
9
9
2
3 + 6x − 9x2
1
√
dx = tan−1
e2x − 1 + C
96.
e2x − 1
x3
1
x4
+ x2 + 3x −
+ 4 ln(x − 1) + C
dx =
97.
2
(x − 1)
3
x−1
√
√
x 1
2
x2
+ − ln(x + 1) + C
98.
x3/2 tan−1 ( x) dx = x5/2 tan−1 ( x) −
5
10 5 5
√
√
√
99.
sec−1 ( x) dx = x sec−1 ( x) − x − 1 + C
83.
100.
x
1 − x2
1
1
dx
=
1 − x4 + sin−1 (x2 ) + C
2
1+x
2
2
5