Calculo de la Emisión de Energía en el Interior Solar debido a la

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Cálculo de la emisión de energı́a en el interior solar debido a la cadena PP
Jonathan M. Marı́n
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de fı́sica
[email protected]
Abstract
En el presente trabajo se desarrolla un cálculo numérico
para la tasa de generación de energı́a de una estrella con
una masa solar, tal como el sol, debido a la cadena protón protón (PP) la cual se considera como el principal mecanismo por el cual los núcleos de hidrógeno (protones) son convertidos en núcleos de helio. Para hacer más real nuestros
cálculos usamos los datos de las densidades, temperaturas
y composición quı́mica locales del modelo solar estandar
de Bahcall[3] encontrándose una concordancia entre la región de producción de energı́a de nuestro modelo con la
región en donde se ha completado la luminosidad solar.
1.. Introducción
En un tiempo se desconocı́a como las estrellas producen
su propia energı́a y era una cuestión intrigante que duró miles de años hasta finales del siglo XIX donde se involucraron una larga serie de argumentos observacionales y teóricos que dieron frutos para proponer que la posible fuente
de energı́a serı́a la conversión de alguna fracción de masa
de la estrella (inicialmente el estudio se basó en nuestro sol)
en energı́a de acuerdo con la famosa ecuación de Einstein
E = mc2 y posteriormente gracias al avance en la época
(siglo XX) en el desarrollo de la mecánica cuántica se conoció en detalle el mecanismo de dicha conversión pues la
única forma de producir tal energı́a es por medio de las reacciones termonucleares.
La cadena protón-protón (PP) es la principal serie de reacciones de fusión nuclear por las cuales los núcleos de
hidrógeno (protones) se convierten en núcleos de helio en el
interior de las estrellas de baja masa. Esta cadena está descrita en tres pasos o tres subcadenas, dependiendo de los
agentes interactuantes, conocidas como PPI, PPII y PPIII.
Posteriormente después de que los núcleos de H han sido consumidos para producir He, algunos remanentes de H
pueden interactuar con núcleos más pesados como el carbono, oxı́geno o nitrógeno cuyas reacciones son conocidas
Benjamı́n Calvo Mozo
Universidad Nacional de Colombia
Observatorio Astronómico Nacional
[email protected]
como ciclo CNO; este último proceso domina en estrellas
muy masivas.
Es nuestro objetivo determinar la tasa de generación de
energı́a para el sol calculando las tasas de reacción correspondientes a las interacciones presentes en la cadena PP
e importando los datos de masa (M/M! ), radio (R/R! ),
temperatura (T), densidad (ρ), presión (P), luminosidad
(L/L! ) y las fracciones de masa del H, He3 , He4 , (XH ,
XHe3 , XHe4 ) respectivamente, datados en el SSM (modelo
solar estandar) BS2005-AGS,OP[3] para hallar el valor de
la tasa de generación de energı́a " debida a la cadena PP.
2.. Cadena PP
La serie más importante de reacciones de fusión son
aquellas que convierten hidrógeno en helio en un proceso conocido como “quemado de hidrógeno”. La probabilidad de que cuatro protones se fusionen para formar helio es
completamente despreciable, en vez de esto, la reacción debe proceder por una serie de pasos, por ejemplo (PPI, PPII
y PPIII), que dentro de las varias posibilidades tendremos
en cuenta como la principal cadena de reacciones para el
quemado de hidrógeno la cadena PP.
Para determinar completamente la cadena de reacciones, es
posible pensar en determinar las tasas de todas las reacciones posibles entre las partı́culas presentes en el medio a estudiar. Sin embargo se ha podido determinar que muchas
de las posibles reacciones ocurren a una tasa despreciable o
su sección eficaz es muy pequeña o incluso el producto de
las abundancias de las especies interactuantes es muy pequeña[1] que tales reacciones son consideradas a aportar un
minúsculo porcentaje a la producción de energı́a y por ende
pueden ser despreciadas; esta condición será aplicada en el
presente trabajo.
2.1.. Cadena PPI
Esta rama la constituyen los siguientes pasos:
H 1 + H 1 −→ D2 + β + + ν
(1)
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D2 + H 1 −→ He3 + γ
H 3 + H 3 −→ He4 + 2H 1
(2)
(3)
La secuencia principal por el cual los núcleos de
hidrógeno se convierten en núcleos de helio inicia por el
proceso de interacción débil entre dos protones que forman
un núcleo de hidrógeno pesado, deuterio (D2 o H 2 ), junto
con la emisión de un positrón y un neutrino. Una vez producido el deuterio este reacciona con un protón para crear
un isótopo ligero del helio con la emisión de un rayo γ. El
núcleo de He3 puede entonces interactuar con otro núcleo
de He3 para finalizar lo que se ha denominado cadena PPI
o dar paso a la cadena PPII cuando el He3 en vez de reaccionar con otro núcleo semejante, interactúa con un núcleo
de He4 (o partı́cula α).
2.2.. Cadena PPII
Esta rama de la cadena PP consta en esencia de las siguientes reacciones:
He + He −→ Be + γ
(4)
Be7 + e− −→ Li7 + ν
(5)
3
4
7
Li7 + H 1 −→ He4 + He4
(6)
Con la interacción del He3 con un núcleo de He4 inicia la
cadena PPII cuyo resultado es la formación del núcleo Be7
junto con la emisión γ. Allı́ una vez formado el Be7 este puede reaccionar con un electrón para dar continuidad a
PPII, que da origen al núcleo de Li7 y un neutrino. El 90 %
de los neutrinos producidos en la reacción Be7 (e− , ν)Li7
transportan una energı́a de 0.861 MeV, mientras el resto
(10 %) transportan 0.383 MeV dependiendo si el Li7 está en
el estado base o en un estado excitado respectivamente. Y
por último el Li7 interactúa con un protón para formar dos
partı́culas α.
La rama PPII es dominante en un rango de temperaturas
entre 14 a 23 MK aproximadamente.
2.3.. Cadena PPIII
Y por último la tercera rama de la cadena PP viene dada
por:
Be7 + H 1 −→ B 8 + γ
(7)
B 8 −→ Be8 + e+ + ν
Be8 −→ 2He4
(8)
(9)
En vez de que el Be reaccione con un electrón, como
en PPII, puede reaccionar con un protón y se produce
la primera interacción de lo que se conoce como cadena
PPIII (la suerte de que interaccione con electrones o con
protones depende de los tiempos de vida relativos del
7
Be7 contra la captura de electrones y contra la captura de
protones) en el cual se produce un núcleo de B 8 y emisión
γ. Posteriormente el B 8 decae a Be8 (ver ec.(8)) que es
inestable y se rompe en dos partı́culas α.
La cadena PPIII llega a ser dominante a temperaturas
superiores a los 23 MK y aunque su contribución a la
generación de energı́a es de 0.11 % es muy importante
para el problema de los neutrinos solares ya que genera
neutrinos de muy alta energı́a hasta de 14.06 MeV.
3.. Tasa de generación de energı́a (!)
Procedemos a calcular la tasa de la reacción p-p rpp [1]
debida a la reación (1) (sin la corrección del apantallamiento
electrónico) y posteriormente la tasa de reacción r33 debida
a la reacción (3) como[1]
raX = (1 + δaX )−1 na nX λaX
(10)
donde a es la partı́cula proyectil y X la partı́cula blanco,
Na,X son las densidades de cada especie y λaX [1] la tasa
de reacción por pareja de partı́cula con
λaX
"3/2
1
e−τ ×
=
KT
$ !
"2 %
# ∞
E − E0
×
S(E) exp −
dE
∆/2
0
!
8
µπ
"1/2 !
(11)
en donde µ es la masa reducida de las partı́culas involucradas en la reacción, K la constante de Boltzmann, τ es
el parámetro donde está contenida la fuerte dependencia
de la tasa de reacción con la temperatura, E0 frecuentemente llamada la energı́a más efectiva para las reacciones
termonucleares, que resulta del producto entre los factores
exp(−E/KT ) proveniente de la distribución de energı́a
maxwelliana y el factor exp(−bE 1/2 ) introducido por la
penetración a la barrera de coulomb, ası́ se forma un pico
(el pico de “Gamow”) de energı́a E0 con un ancho de pico
igual a ∆.
Ası́ obtenemos la tasa de generación de energı́a por PPI
dada por[1]
ρ"P P I = 1,069 × 10−5 rpp + 2,060 × 10−5 r33 ergcm−3 s−1
(12)
Debido al corto tiempo de vida media del deuterio D en
la reacción (2) podemos asumir que la abundancia de dicho
isótopo se encuentra en equilibrio, por consiguiente el He3
es predominantemente destruı́do por interacciones consigo
mismo, ec.(3), después de que este ha alcanzado el equilibrio. Únicamente para una abundancia muy baja del He3
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(comparada con su valor de equilibrio) la destrucción de
He3 ocurre principalmente por interacciones con el deuterio; ec.(2). Ası́ considerando la tasa
dD
≈0
(13)
dt
la tasa de generación de energı́a por PPI se simplifica a
ρ"P P I = 2,099 × 10−5 rpp
ergcm−3 s−1
(14)
en equilibrio, o
−2/3
2
"P P I = 2,326 × 106 ρXH
T6
× (1 +
1/3
0,012328T6
+
−1/3
exp(−33,748T6
2/3
0,010785T6
ergg
)×
+ 0,000929T6 )
−1 −1
s
(15)
Teniendo en cuenta la contribución de PPI a la tasa de
generación de energı́a ahora estudiamos el funcionamiento
de la cadena completa descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales gobernando las abundancias. Si las únicas
fuentes de cambio en abundancias son reacciones nucleares
y teniendo en cuenta que la competencia para los núcleos
de He3 es la que determina si es PPI, PPII o PPIII la que
domina y las siguientes simplificaciones secuenciales:
Debido al corto tiempo de vida media que presenta el
deuterio (segundos a horas), tal isótopo es considerado
a estar en equilibrio y por ende se tiene la ec.(13)
El equilibrio para los nucleos de Li7 y Be7 ocurre en
un tiempo relativamente corto (del orden de un año o
menos) por tanto estas dos abundancias alcanzan bastante rápido el equilibrio, es decir
d(Be7 + Li7 )
≈0
dt
(16)
Y la última consideración ocurre cuando el He3 alcanza el equilibrio
dHe3
≈0
dt
(17)
se tiene que la cadena PP operando en equilibrio se simplifica a
dHe4
1 dH
=−
(18)
dt
4 dt
Teniendo en cuenta la contribución de "P P I calculamos
la tasa de generación de energı́a en la cadena completa PP
operando en equilibrio
"=
"P P I
Ψ" (α)
0,98032
(19)
o
−2/3
2
" = 2,3727 × 106 ρXH
T6
1/3
× (1 + 0,012328T6
−1/3
exp(−33,748T6
2/3
+ 0,010785T6
)Ψ" (α)×
+ 0,000929T6 )
ergg −1 s−1
(20)
en donde T6 denota la temperatura local en millones de Kelvin y Ψ" (α) representa la corrección de la tasa de generación de energı́a a PPI por la simultaneidad de PPII y PPIII,
con
"
! 4 "2
!
λ234
He
He4
=
α T,
H
λ33 λpp
H
4.. Cálculo de la emisión de energı́a
Importando los datos necesarios del modelo solar estandar usado (BS2005-ags,op)[3], es decir importando los valores de la densidad, temperatura y composición quı́mica
locales, calculamos el valor de α y posteriormente Ψ(α)[1]
que está dado por la siguiente expresión:
Ψ(α) = Φ(α)×(0,980FP P I +0,960FP P II +0,721FP P III )
(21)
donde
!
2
Φ(α) = 1 − α + α 1 +
α
"1/2
(22)
y FP P I , FP P II , FP P III son las fracciones de partı́culas α
producidas por cada cadena PP respectivamente ya que la
energı́a que transportan los neutrinos en cada cadena PP es
diferente y por consiguiente la pérdida de energı́a también
será diferente.
Luego hallamos el valor de la tasa de generación de energı́a
" de la ec.(20) y realizamos su gráfica con respecto al radio
de la zona en unidades del radio solar (Figura 1) en donde
observamos que para un radio mayor a 0.35 veces el radio
del sol (R! ) la liberación de energı́a es casi nula, por consiguiente la cadena PP contribuye efectivamente en el interior
solar en radios menores a 0.35R! . Para ilustrar mejor nuestro resultado graficamos (Figura 2) también la luminosidad
en el interior solar de acuerdo con los datos extraı́dos del
modelo SSM[3], notándose que a 0.35R! ya se tiene en el
interior solar el total de la luminosidad del sol.
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5.. Conclusión
En el presente trabajo se reprodujo enteramente el proceso de cálculo del coeficiente de emisión de energı́a por unidad de tiempo y por unidad de masa en el interior solar, el
cual es uno de los parámetros fundamentales de la estructura
ed una estrella. El mecansmo de liberación de energı́a para
este caso es el debido a la cadena protón-protón (PP) el cual
es el fundamental para una estrella como el sol. En nuestros
cálculos seguimos el método desarrollado por Clayton[1] el
cual es un trabajo fundamental y clásico en este contexto.
Sin embargo, las ecuaciones (15), (19) y (20) del presente
trabajo incluyen una ligera mejora con respecto a las que se
encuentran en la referencia citada, pues nuestras expresiones incluyen una mejor aproximación. Como en el cálculo
de ", nuestro objetivo fundamental, intervienen los valores
de la densidad, temperatura y composición quı́mica locales
del interior solar, hemos importado dichos datos de uno de
los mejores modelos solares conocidos en la literatura como es el desarrollado por Bahcall[2]. En dicho modelo la
luminosidad del sol básicamente se ha completado a partir
de 0.35R! , y nuestro " decae prácticamente a cero a partir
de dicho radio, aproximadamente, indicándonos que la corrección a la generación de energı́a en el sol por parte del
ciclo CNO es prácticamente irrelevante.
Figura 1. Variación de la tasa de generación
de energı́a debida a la contribución de la cadena PP con respecto al radio normalizado
del sol.
Referencias
[1] Donald D. Clayton, “Principles of stellar evolution
and nucleosynthesis”, University of Chicago Press
(1983).
[2] P. D. Parker, J. N. Bahcall & W. A. Fowler, “Astrophys. J.”, 139:602 (1964).
[3] En la siguiente página http://www.sns.ias.edu/ jnb/ se
pueden descargar los datos del modelo solar estandar
empleados en este trabajo.
Figura 2. Variación de la fracción de luminosidad en unidades de la luminosidad solar
con respecto al radio normalizado del sol.