Técnicas de Investigación Social Medir la realidad social

Licenciatura en Sociología – Curso 2006/07
Técnicas de
Investigación Social
Medir la realidad social (4)
La regresión
(relación entre variables)
El término REGRESIÓN fue introducido por GALTON en su
libro “Natural inheritance” (1889) refiriéndose a la “ley de la
regresión universal”:
“Cada peculiaridad en un hombre es compartida por sus
descendientes, pero en media, en un grado menor”.
Regresión a la media Regresión a la media
Su trabajo se centraba en la descripción de los rasgos físicos de los
descendientes (una variable) a partir de los de sus padres (otra variable).
PEARSON (un amigo suyo) realizó un estudio con más de 1000
registros de grupos familiares observando una relación del tipo:
Altura del hijo = 85cm + 0,5 altura del padre (aprox.)
FRANCIS GALTON
Conclusión: los padres muy altos tienen tendencia a tener hijos
que heredan parte de esta altura, aunque tienen tendencia a
acercarse (regresar) a la media. Lo mismo puede decirse de los
padres muy bajos.
Hoy en día el sentido de regresión es el de predicción de una
medida basándonos en el conocimiento de otra.
Estadístico y aventurero
Fundador (con otros) de
la estadística moderna
para explicar las teorías
de Darwin.
Primo de Darwin
1
Estudio conjunto de dos variables
A la derecha tenemos una posible manera de recoger los datos
obtenido observando dos variables en varios individuos de
una muestra.
Altura
en cm.
Peso en
Kg.
162
61
154
60
180
78
158
62
171
66
169
60
166
54
176
84
163
68
...
...
En cada fila tenemos los datos de un individuo
Cada columna representa los valores que toma una variable
sobre los mismos.
Las individuos no se muestran en ningún orden particular.
Dichas observaciones pueden ser representadas en un
diagrama de dispersión (‘scatterplot’). En ellos, cada
individuos es un punto cuyas coordenadas son los valores de
las variables.
Diagramas de dispersión o nube de puntos
Tenemos las alturas y los pesos de 30 individuos representados en un diagrama
de dispersión.
100
90
Pesa 76 kg.
80
Mide 187 cm.
70
60
Pesa 50 kg.
50
Mide 161 cm.
40
30
140
150
160
170
180
190
200
2
Relación entre variables
Tenemos las alturas y los pesos de 30 individuos representados en un
diagrama de dispersión.
100
90
80
70
60
re
Pa
50
ce
eso
p
l
e
que
c
nta
e
aum
on
ltu
la a
ra
40
30
140
150
160
170
180
190
200
Predicción de una variable en función de otra
Aparentemente el peso aumenta 10Kg por cada 10 cm de altura... o sea,
el peso aumenta en una unidad por cada unidad de altura.
100
90
80
Tenemos las alturas y los pesos de 30 individuos representados en un diagrama de dispersión.
70
60
10 kg.
50
10 cm.
40
30
140
150
160
170
180
190
200
3
Cómo reconocer relación directa e inversa
330
Incorrelación
280
100
230
Fuerte relación
directa.
90
180
80
70
130
60
80
50
40
30
140
150
160
170
180
190
200
Para valores de X por encima de la
media tenemos valores de Y por encima
y por debajo en proporciones similares.
Incorrelación.
80
Cierta relación
inversa
70
60
50
40
30
20
10
0
140
150
160
170
180
190
200
30
140
150
160
170
180
190
200
Se llama relación directa o creciente
entre X e Y cuando:
Para los valores de X mayores que la media
le corresponden valores de Y mayores
también.
Para los valores de X menores que la media
le corresponden valores de Y menores
también.
Para los valores de X mayores que la
media le corresponden valores de Y
menores. Esto es relación inversa o
decreciente.
Cómo reconocer buena o mala relación
100
330
Poca relación
280
Fuerte relación
directa.
o
90
80
230
o
70
180
60
o
130
o
50
80
40
30
30
140
150
160
170
180
190
200
80
Cierta relación
inversa
60
50
40
30
20
10
0
140
150
160
170
180
190
150
160
170
180
190
200
Conocido X sabemos que Y se
mueve por una horquilla
estrecha. Buena relación.
Dado un valor de X no
podemos decir gran cosa sobre
Y. Mala relación.
Independencia.
70
o
140
200
Lo de “horquilla estrecha” hay
que entenderlo con respecto a
la dispersión que tiene la
variable Y por si sola, cuando
no se considera X.
4
Relación entre variables (Definición)
Se considera que dos variables cuantitativas están relacionadas entre sí cuando los
valores de una de ellas varían de forma sistemática con respecto a los valores
homónimos de la otra; en otras palabras, si tenemos dos variables, A y B, existe
relación entre ellas si al aumentar los valores de A también lo hacen los de B, o
por el contrario si al aumentar los valores de A disminuyen los de B.
Relación entre variables (Significado)
La relación entre dos variables cuantitativas queda representada mediante la
línea de mejor ajuste, que es la que esquematiza las condiciones de la nube de
puntos y de la relación. Los componentes elementales de una línea de ajuste y
por extensión de una relación entre dos variables son:
La fuerza
El sentido
La forma
5
Relación entre variables (Definición)
La fuerza mide el grado en que la línea representa a la nube de puntos. Si la
nube es estrecha y alargada una línea recta representará adecuadamente a la
nube de puntos y a la relación y por tanto ésta será fuerte. Si por el contrario,
la nube de puntos tiene una tendencia elíptica o circular, una línea recta que
trate de representar a la misma será consecuencia de una relación débil y poco
representativa, con amplios residuos.
El sentido de la relación se refiere a cómo varían los valores de B con
respecto a A. Si al crecer los valores de la variable A lo hacen los de B, será
una relación positiva (a valores bajos de A le corresponden valores bajos de
B). Si al aumentar A, disminuye B, será una relación negativa (a valores bajos
de A le corresponden valores altos de B y viceversa).
La forma establece el tipo de línea a emplear para definir el mejor ajuste. Se
pueden emplear tres tipos de líneas: una línea recta, una curva monotónica y
una curva no monotónica.
Relación entre variables (Definición)
En el caso de usar una recta, se admite que existe una proporción entre la
diferencia entre dos valores A y la diferencia entre dos valores de B. A ese
factor de ajuste entre ambas series se le llama pendiente de la recta, y se
asume que es constante a lo largo de toda la recta de ajuste.
En el caso de usar una curva monotónica, ese factor de proporción entre las
dos variables no es constante a lo largo de toda la recta, y por lo tanto la
pendiente de la misma es variable en su recorrido. Se dice entonces que la
línea de ajuste es no lineal monotónica, puesto que la línea se ha convertido en
curva. Sin embargo, lo que no varía es el sentido de la relación: si la relación
es positiva lo será a lo largo de todo el recorrido de la curva y si es negativa,
será negativa en toda la curva.
Por último, en el caso de usar una curva no monotónica varía tanto la
pendiente de la curva como el sentido de la relación, que en unos sectores
puede ser positiva (ascendente) y en otros negativa (descendente).
6
Relación entre variables no lineales
Covarianza de dos variables X e Y
La covarianza entre dos variables, Sxy, nos indica si la posible relación entre
dos variables es directa o inversa.
S xy =
1
∑ ( xi − x )( yi − y )
n i
Directa: Sxy > 0
Directa: Sxy < 0
Directa: Sxy = 0
El signo de la covarianza nos dice si el aspecto de la nube de puntos es
creciente o no, pero no nos dice nada sobre el grado de relación entre las
variables.
7
Cálculo de la covarianza
La covarianza entre dos variables Var1 y Var2 viene dada por:
S xy =
Donde
xi
1
( xi − x )( yi − y )
∑
n i
indica el valor de la variable Var1 para el individuo i,
yi
el valor de la variable Var2 para el individuo i, x la media de Var1 e
media de Var2.
indica
y
la
Indicadores de correlación
La correlación mide la relación lineal entre dos variables y su sentido (si es
directo o inverso). Cuando la relación es perfectamente lineal dicho
coeficiente vale 1 (ó -1). Cuando el coeficiente tiene un valor próximo a cero,
o bien no existe relación entre las variables analizadas o bien dicha relación
no es lineal.
La correlación habitualmente denotada por r se puede estimar de dos maneras
diferentes:
El coeficiente de correlación de Pearson denotado por r
es utilizado cuando ambas variables son cuantitativas
siguiendo una distribución normal
El coeficiente de correlación de Spearman denotado por
rs se utiliza cuando alguna de las variables es ordinal o
incluso dicotómica o para variables cuantitativas con
muestras pequeñas.
8
Coeficiente de correlación lineal de Pearson
El coeficiente de correlación lineal de Pearson de dos
variables, r, nos indica si los puntos tienen una tendencia a
disponerse alineadamente (excluyendo rectas horizontales y
verticales).
Tiene el mismo signo que Sxy por tanto de su signo
obtenemos el que la posible relación sea directa o inversa.
r es útil para determinar si hay relación lineal entre dos
variables, pero no servirá para otro tipo de relaciones
(cuadrática, logarítmica,...)
r=
S xy
SxS y
Coeficiente de correlación de Pearson
El coeficiente de correlación de Pearson se obtiene calculando en primer lugar
la covarianza entre las variables, que es una medida de asociación con
dependencia de las unidades de medida de las variables. Después se divide
por el producto de cada una de las desviaciones típicas de ambas variables,
resultando una medida de asociación adimensional.
r=
S xy
SxS y
9
Coeficiente de correlación lineal de Pearson
Principio de isomorfía: sólo si la estructura de la hipótesis sustantiva supone
una relación lineal, tendrá sentido utilizar el coeficiente de Pearson.
Si la relación hipóteticamente se supone no lineal, no deberá utilizarse este
coeficiente para contrastar la hipótesis.
Si el coeficiente de Pearson calculado para la distribución conjunta informa
que no existe relación, deberá tenerse muy presente de que la conclusión es
que No hay relación lineal.
Propiedades de r
Es adimensional
Sólo toma valores comprendidos entre [-1,1]
Las variables son incorrelada si r = 0
Relación lineal perfecta entre dos variables se produce si r = +1 o r =-1
Excluimos los casos de puntos alineados horizontal o verticalmente.
Cuanto más cerca esté r de +1 o -1 mejor será el grado de relación lineal.
Siempre que no existan observaciones anómalas..
Relación
inversa
perfecta
-1
Variables
incorreladas
0
Relación
directa
casi
perfecta
+1
10
Correlación de Sperman
El coeficiente de correlación de Spearman es una técnica no paramétrica que
se basa en los rangos en vez de en los valores originales de la variable.
Cálculo de Rangos
Para los datos de las variables Var1 y Var2 se calculan los rangos de los valores
de éstas, a los que se denota por: Ri(Var1) y Ri(Var2), siendo Ri(Var1) los
rangos de la variable Var1 asociados al individuo i y Ri(Var2) los rangos de la
variable Var2 asociados al individuo i. Ejemplo:
Var1
Var2
R1(Var1) Ri(Var2)
Máximo valor
rango mayor
Empate rangos 1 y 2
rango 1,5
10
8
1,5
17
6
5
10
7
1,5
15
4
22
6
7
7
3
Correlación de Sperman (valores intermedios)
Cálculo de valores intermedios
A continuación, se realizan los siguientes cálculos intermedios:
11
Coeficiente de Spearman
Cálculo del coeficiente de correlación de Spearman.
“A partir de los coeficientes calculados con anterioridad, se
calcula el coeficiente de correlación rs de Spearman dado por:
12
13
14
15
Entrenando el ojo: correlaciones positivas
330
280
230
180
130
80
30
140
r=0,1
150
160
170
180
190
200
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
140
110
100
100
90
90
80
80
150
160
170
180
190
200
70
70
60
60
50
50
r=0,6
40
30
140
r=0,4
150
160
170
180
190
r=0,8
40
200
30
140
150
160
170
180
190
200
Entrenando el ojo: casi perfectas y positivas
100
100
90
90
80
80
70
70
60
60
50
50
r=0,9
40
30
140
150
160
170
180
190
r=0,99
40
200
30
140
150
160
170
180
190
200
100
90
80
70
60
50
r=1
40
30
140
150
160
170
180
190
200
16
Entrenando el ojo: correlaciones negativas
80
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
70
60
50
40
30
20
r=-0,5
140
150
160
170
180
190
200
0
140
80
80
70
70
60
60
50
50
40
40
30
30
20
10
0
140
r=-0,7
10
150
160
170
180
190
200
160
170
180
190
200
20
r=-0,95
150
10
160
170
180
190
200
r=-0,999
0
140
150
Preguntas más frecuentes
¿Si r = 0 eso quiere decir que no las variables son independientes?.
En la práctica, casi siempre sí, pero no tiene
por qué ser cierto en todos los casos.
Lo contrario si es cierto: Independencia implica incorrelación
Me ha salido r =1’2 ¿la relación es “superlineal”?
¿Superqué? Eso es un error de cálculo. Siempre debe tomar un
valor entre -1 y +1.
¿A partir de qué valores se considera que hay “buena relación lineal”?
Es difícil dar un valor concreto. Podemos decir que si |r|>0,7 hay
buena relación lineal y que si |r|>0,4 hay cierta relación.
17
Otros coeficientes de correlación
Cuando las variables en vez de ser numéricas
son ordinales, se utilizan otro tipo de
indicadores.
Disponemos para estos casos de dos estadísticos,
aunque no los usaremos en clase:
Maurice George Kendall
ρ (‘ro’) de Spearman
τ (‘tau’) de Kendall
Charles Edward Spearman
18