Producto escalar

Producto escalar
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Producto escalar
En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto (en inglés, dot
product), es una aplicación externa bilineal definida sobre un espacio vectorial, cuyo resultado al operar entre sí dos
vectores, es un escalar o número.
Formalmente, un producto escalar es una aplicación de la forma:
donde para dos vectores
cualesquiera del espacio vectorial
, se obtendrá un escalar (denotado por
, o más corrientemente
), del cuerpo o campo de escalares
.
En el caso de espacios vectoriales reales (sobre
) dotados de una base ortonormal (p.e., la base canónica de
),
el
producto
escalar
de
dos
vectores
y
con
componentes
y
puede calcularse sumando los productos de las componentes de los vectores dos a dos:
=
=
=
• Nótese que el producto escalar de un vector
por sí mismo, por componentes, corresponde a:
=
=
=
Definición general
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y
definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una aplicación
vectorial y
es el cuerpo sobre el que está definido V.
debe satisfacer las siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda y por la derecha:
2. Hermiticidad:
3. Definida positiva:
donde
,
,y
donde V es un espacio
, y análogamente
si y sólo si x = 0,
son vectores de V,
representan escalares del cuerpo
y
es el conjugado del
complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g.,
), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el
ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por
o por
Un espacio vectorial sobre el cuerpo
o
.
dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o
espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá
que es un espacio euclídeo.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:
.
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Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real
El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el
producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) es la proyección escalar de A
en B.
En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es
Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base
del espacio vectorial escogida.
Proyección de un vector sobre otro
Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es A cos
θ = proy AB, será
de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de
ellos por la proyección del otro sobre él.
Ángulos entre dos vectores
La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores:
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos
vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.
ya que el valor del coseno de 90º es cero.
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Vectores paralelos o en una misma dirección
Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o de 180 grados.
Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos
vale lo mismo que el producto escalar.
Propiedades del producto escalar
1. Conmutativa:
2. Distributiva respecto a la suma vectorial:
3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:
Expresión analítica del producto escalar
Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base
canónica en
formada por los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:
El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:
Norma o Módulo de un vector
Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.
Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.
Efectuado el producto escalar, tenemos:
de modo que
Por componentes, tomando la base canónica en
de modo que
formada por los vectores unitarios {i, j, k}
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Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales
• En el espacio vectorial
se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto
punto) por:
• En el espacio vectorial
Siendo
se suele definir el producto interior por:
el número complejo conjugado de
• En el espacio vectorial de las matrices de m x n elementos
donde tr(A) es la traza de la matriz A y
es la matriz traspuesta de B.
• En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo acotado por a y b :
C[a, b]
• En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:
Dado
tal que
:
Productos interiores definidos en otros espacios vectoriales
Se pueden definir y manejar espacios vectoriales no euclídeos, es decir, aquellos con un tensor de curvatura distinto
al del espacio euclídeo, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y volúmenes. En otras geometrías,
como la riemanniana o la diferencial por ejemplo, se adopta el concepto de geodésica en lugar del de segmento y,
también, se modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual introduciendo el uso del tensor
métrico
.
Así, dados dos vectores
y
el producto escalar se queda como:
Fácilmente ampliable a espacios de más dimensiones.
Referencias
Véase también
•
•
•
•
•
•
Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
Portal:Física. Contenido relacionado con Física.
Espacio vectorial
Norma vectorial
Combinación lineal
Sistema generador
• Independencia lineal
• Matriz de Gram
Producto escalar
•
•
•
•
•
•
•
Base (álgebra)
Base Ortogonal
Base Ortonormal
Coordenadas cartesianas
Producto vectorial
Producto mixto
Producto tensorial
Bibliografía
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ISBN 84-291-4382-3.
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español), Alianza universidad. ISBN 84-206-6203-8, ISBN 84-206-6998-9.
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Fuentes y contribuyentes del artículo
Fuentes y contribuyentes del artículo
Producto escalar Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39740324 Contribuyentes: Algarabia, Camilo, Cgb, Davius, Diegusjaimes, Dusan, Edgardo C, Eligna, Fsd141,
Gengiskanhg, GermanX, Götz, Hanspore, JA Galán Baho, Juan Antonio Cordero, Juan Mayordomo, ManuelMore, Matdrodes, Ooscarr, Petronas, Pino, PoLuX124, Raulshc, Richy, Roberpl,
SpeedyGonzalez, Tano4595, Tirithel, Wewe, Wikiwert, Wricardoh, 83 ediciones anónimas
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes
Archivo:Dot Product.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Dot_Product.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Mazin07, 1 ediciones anónimas
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