Cálculo vectorial Magnitudes escalares y vectoriales Cálculo

Magnitudes escalares y
vectoriales
Magnitud escalar:
magnitud física que queda totalmente definida mediante un escalar
Cálculo vectorial
Magnitud vectorial:
magnitud física que necesita para a quedar definida, además de un
escalar, una dirección y un sentido.
Magnitudes escalares:
Magnitudes vectoriales:
Temperatura (23ºC)
Masa (10g)
Carga eléctrica (1C)
Cálculo vectorial. Definiciones
r
r
r
Velocidad (2i + 3 j + 1k )m / s
r
Fuerza (2k ) N
Sistema de referencia
Sistema de referencia
Z
Vector:
ortonormal destrógiro, se representa
mediante tres semirrectas de origen el
punto O, origen del sistema, ejes OX, OY
y OZ
segmento orientado en el espacio mediante una flecha
que permite representar una magnitud vectorial
•Módulo: su longitud, expressa la medida de la magnitud
que representa.
•Dirección:
la de la recta sobre la cual se encuentra
(linea de acción).
•Sentido:
Z
O
se indica con la punta de flecha
Y
Y
v
X
X
Sistema de referencia
r
i = (1,0,0)
r
j = (0,1,0)
r
k = (0,0,1)
Sistema de referencia
r
i = (1,0,0)
r
j = (0,1,0)
r
k = (0,0,1)
Z
vz
k
O
j
O
Y
Las componentes de un
vector en un sistema de
referencia son las
coordenadas del punto
extremo del vector al colocar
el origen del vector en el
origen del sistema de
referencia (vx, vy, vz).
Z
vx
v ó
(vx,vy,vz)
vy
Y
i
X
X
r
r
r
r
v = (v x ,v y ,vz ) = v x i + v y j + vz k
1
Sistema de referencia
Operaciones con vectores
Las componentes de un
vector en un sistema de
referencia son las
coordenadas del punto
extremo del vector al colocar
el origen del vector en el
origen del sistema de
referencia (vx, vy, vz).
Z
vz
v ó
(vx,vy,vz)
O
vx
vy
Producto por un escalar a
Misma dirección y sentido
a v a vx i
Y
vz
v vx i
vy
El módulo de un vector se
puede calcular a partir de sus
componentes como:
X
Módulo multiplicado por
a·v
av y j a vz k
v y j vz k
v2x v2y v2z
v
Operaciones con vectores
Operaciones con vectores
Producto por un escalar a
a ax i
ay j
b bx i
by j bz k
suma de dos vectores:
az k
vector resultante de unir el
origen del primero con el
extremo del segundo al
colocarlos un a continuación del
otro.
Misma dirección y sentido
Módulo multiplicado por
a·v
a
a v a vx i
a
av y j a vz k
a
a b
Vector unitario
b
Misma dirección y sentido
v
Módulo unidad
uv
r
r
r
r r
a + b = (a x + bx )i + (a y + by ) j + (a z + bz )k
v
v
uv
Operaciones con vectores
Producto escalar: escalar
producto de los módulos por el
coseno del ángulo que forman
los dos vectores
α
a
Operaciones con vectores
a ax i
ay j
b bx i
by j bz k
a·a a · a cos0 a2
az k
Producto escalar: escalar
producto de los módulos por el
coseno del ángulo que forman
los dos vectores
a b a· b 0
α
a
b
||
r r rr
a ⋅ b = |a | b cosα
b
||
r r rr
a ⋅ b = |a | b cosα
2
Operaciones con vectores
producto vectorial:
|ar × ar| = |ar||· ar|sin0= 0
un vector de módulo el
producto de los módulos
por el seno del ángulo que
forman los dos vectores,
dirección normal al plano
que forman, y sentido el
que indicado por la regla
de la mano derecha.
α
a
b
b
a
r
i
r r
a × b = ax
bx
r
j
r
k
ay
by
az
bz
r r
a ×b
|ar × b|= |ar||b|senα
r
r
3